ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

8.12. ∫ sin( ax + b)
dx ; 8.13.
∫
dx
5x
4
+ ; 8.14. ∫ ( α− ) 8
5 dα;
dv
8.15. ∫
2
v + 7
; 8.16. 3dt
dx
∫ 2 ; 8.17. ∫
5 t
3
(3x
+ 2)
;
8.18.
8.21.
8.24.
8.27.
∫
∫
dx
2x
+ 5
; 8.19. ∫ ctg 5xdx ; 8.20.
cos xdx
2sin x + 1
; 8.22. sin 2xdx
∫ ; 8.23.
2
1+
sin x
x
edx
∫
3+
4e
∫
x
x
3
xdx
4 4
+ a
; 8.25.
; 8.28.
∫
∫
xdx
9 − x
2
xdx
bx − a
2 2 2
; 8.26.
; 8.29.
2
x
∫ xsin dx ; 3
∫
∫
∫
cos 2xdx
( 2+
sin2x) 3
xdx
x + ;
2
2 3
a
− x dx .
2 2
8.3.3. Ìåòîä ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè
Íåõàé çàäàí³ äâ³ äèôåðåíö³éîâí³ ôóíêö³¿: u = u(x) ³
v = v(x). Ðîçãëÿíåìî äîáóòîê y = uv. Çíàéäåìî
dy = udv + vdu àáî d(uv) =udv + vdu. Óçÿâøè â³ä îáîõ ÷àñòèí
îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ ³íòåãðàë, îòðèìàºìî
àáî
∫duv ( ) = ∫udv + ∫ vdu,
uv = ∫udv + ∫vdu ⇒ ∫udv = uv −∫ vdu . (8.3.10)
Öÿ ôîðìóëà íàçèâàºòüñÿ ôîðìóëîþ ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè.
Âîíà âèêîðèñòîâóºòüñÿ åôåêòèâíî òîä³, êîëè ³íòåãðàë
ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ ñïðîùóºòüñÿ ó ñåíñ³ ³íòåãðóâàííÿ.
Íàïðèêëàä,
x
x
⎡ x= u,
dv=
e dx⎤
x x x x
∫xe dx = ⎢
xe e dx xe e C
x ⎥ = − ∫ = − + .
⎣du = dx,
v = e ⎦
;
Çà äîïîìîãîþ ìåòîäà ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè çíàõîäÿòüñÿ
³íòåãðàëè âèäó:
1. ∫ P ( ) x
n
x e dx , äå P n (x) — ìíîãî÷ëåí n-ãî ñòåïåíÿ. Ôîðìóëà
³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè â öüîìó âèïàäêó çàñòîñîâóºòüñÿ
ïîñë³äîâíî:
x
Px ( ) = u, i= n, n− 1, K ,1, edx=
dv.
i
2. ( ) ax +
∫ P b
n
x e dx , ∫ Pn
( x)sinxdx
, ∫ Pn
( x)cosxdx
, ∫ Pn
( x)sin( ax+
b)
dx ,
∫ Pn
( x)cos( ax+
b)
dx .
×åðåç u ïîçíà÷àþòü P n (x), à ÷åðåç dv — âèðàç, ùî çàëèøèâñÿ
ï³ä çíàêîì ³íòåãðàëà.
Íàïðèêëàä,
2
2
⎡ x = u dv = sin xdx⎤
2
∫x sin xdx = ⎢
⎥ = − x cos x + 2∫xcos
xdx =
⎣du = 2xdx v = −cosx
⎦
⎡ x = u dv = cos xdx⎤
= ⎢
= − cos + 2 sin + 2 cos +
du = dx v = sin x
⎥
⎣
⎦
2
x x x x x C
3. ∫ Pn
( x)lnxdx
. Òóò ñë³ä ïîêëàñòè ln x = u, P n (x)dx = dv.
4. ∫ P ( )ln m
n
x xdx , äå m — ö³ëå äîäàòíå ÷èñëî, m > 1. ²íòåãðóºòüñÿ
øëÿõîì ïîñë³äîâíîãî çàñòîñóâàííÿ ôîðìóëè ³íòåãðóâàííÿ
÷àñòèíàìè:
i
ln x = u, i = m, m − 1, K ,1, Pn
( x)
dx = dv.
Íàïðèêëàä,
2
⎡ ln x= u dv=
xdx⎤
2 2
2 x
2
2 x 1
xln xdx
⎢
⎥
∫ = 1 x = ln x− 2lnx dx=
⎢
∫
du = 2lnx dx v =
⎥ 2 2 x
⎢⎣
x 2 ⎥⎦
2
⎡lnx= u dv=
xdx⎤
2 2 2
x 2 x 2
2 x x
= ln x− xlnxdx ⎢
⎥
∫ = dx x = ln x− lnx+ + C
2 ⎢du
v ⎥
.
= = 2 2 4
⎢⎣
x 2 ⎥⎦
.
272 273