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Öÿ âëàñòèâ³ñòü âèïëèâຠç âëàñòèâîñòåé 3 ³ 4.<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Ïåâíà ð³÷, ùî ïðè ôîðìóëþâàíí³ âëàñòèâîñòåé<br />
òà ¿õ äîâåäåíí³ ìè ïðèïóñêàëè, ùî âñ³ ôóíêö³¿,<br />
ÿê³ âõîäÿòü ó â³äïîâ³äí³ ð³âíîñò³, ìàþòü ïåðâ³ñí³.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Âèõîäÿ÷è ç îçíà÷åííÿ íåâèçíà÷åíîãî<br />
³íòåãðàëà, ð³âí³ñòü ³íòåãðàë³â òðåáà ðîçóì³òè ç òî÷í³ñòþ äî<br />
äîâ³ëüíîãî ñòàëîãî. ²íøèìè ñëîâàìè, íåâèçíà÷åí³ ³íòåãðàëè<br />
áóäóòü ð³âíèìè òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè ïîõ³äí³ â³ä íèõ<br />
ñï³âïàäàþòü.<br />
8.2.2. Îñíîâíà òàáëèöÿ íåâèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â<br />
Î÷åâèäíî, ùî íà ï³äñòàâ³ ð³âíîñò³ (8.1.6) ïðîáëåìà ³íòåãðóâàííÿ<br />
çâîäèòüñÿ äî ïðîáëåìè çíàõîäæåííÿ â³äïîâ³äíèõ<br />
ïåðâ³ñíèõ. Ùîäî ïåðâ³ñíèõ, òî âîíè çíàõîäÿòüñÿ çà òàêèì<br />
îñíîâíèì ïðàâèëîì: ïåðâ³ñíà â³ä äàíî¿ ôóíêö³¿ º ôóíêö³ÿ,<br />
ïîõ³äíà ÿêî¿ äîð³âíþº äàí³é ôóíêö³¿. Òåïåð íåâàæêî ñêëàñòè<br />
òàáëèöþ äåÿêèõ íåâèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â.<br />
1.<br />
α+ 1<br />
α x<br />
∫ xdx= + C, α≠−1. 2.<br />
α+ 1<br />
dx<br />
x<br />
−1<br />
∫x dx = ∫ = ln x + C .<br />
x<br />
x a<br />
x x<br />
3. ∫adx= + C;<br />
∫ edx= e + C. 4. ∫ sin xdx =− cos x + C .<br />
ln a<br />
2<br />
5. ∫ cos xdx = sin x + C . 6. ∫ sec xdx = tg x + C .<br />
2<br />
7. ∫ cosec xdx =− ctg x + C . 8.<br />
9. ∫ 2 2<br />
11.<br />
∫<br />
a<br />
dx<br />
− x<br />
2 2<br />
x<br />
= arcsin + C .<br />
a<br />
dx 1 x arctg C<br />
x + a = a a<br />
+<br />
dx 1 x − a<br />
. 10. ∫ =<br />
2 2 ln + C .<br />
x − a 2a x+<br />
a<br />
∫<br />
x<br />
dx<br />
± a<br />
2 2<br />
= ln + ± +<br />
2 2<br />
x x a C<br />
Ñïðàâåäëèâ³ñòü ôîðìóë ³íòåãðóâàííÿ, à òàêîæ êîæíèé<br />
ðåçóëüòàò ³íòåãðóâàííÿ ìîæíà ïåðåâ³ðèòè øëÿõîì äèôåðåíö³þâàííÿ,<br />
îñê³ëüêè ³íòåãðóâàííÿ º ä³ÿ, îáåðíåíà äèôåðåíö³þâàííþ.<br />
.<br />
Ó íàéïðîñò³øîìó âèïàäêó, êîëè çàäàíèé ³íòåãðàë ÿâëÿº<br />
îäíó ³ç ôîðìóë ³íòåãðóâàííÿ, çàäà÷à ³íòåãðóâàííÿ çâîäèòüñÿ<br />
äî ïðîñòîãî çàñòîñóâàííÿ ö³º¿ ôîðìóëè.  óñ³õ ³íøèõ âèïàäêàõ<br />
çàäà÷à ³íòåãðóâàííÿ ïîëÿãຠâ òîìó, ùîá øëÿõîì<br />
ïåðåòâîðåíü ïðèâåñòè äàíèé ³íòåãðàë äî îäí³º¿ àáî äî äåê³ëüêîõ<br />
â³äîìèõ ôîðìóë ³íòåãðóâàííÿ (ÿêùî öå ìîæëèâî).<br />
8.3. ÎÑÍÎÂͲ ÌÅÒÎÄÈ ²ÍÒÅÃÐÓÂÀÍÍß<br />
ßê óæå áóëî ñêàçàíî, íå ³ñíóº óí³âåðñàëüíîãî ìåòîäó ³íòåãðóâàííÿ<br />
ôóíêö³é. ² òîìó íàâ³òü â XXI ñòîð³÷÷³ äîñë³äíèêó<br />
³íêîëè òðåáà ïðîÿâëÿòè íàïîëåãëèâ³ñòü ³ âèíàõ³äëèâ³ñòü äëÿ<br />
çíàõîäæåííÿ îòðèìàíîãî â ïðîöåñ³ íàóêîâî¿ ðîáîòè íåâèçíà-<br />
÷åíîãî ³íòåãðàëà.  áàãàòüîõ æå âèïàäêàõ äîñë³äíèêè êîðèñòóþòüñÿ<br />
êëàñè÷íèìè (ðîçðîáëåíèìè áàãàòüìà ìàòåìàòèêàìè<br />
ð³çíèõ ð³âí³â, çîêðåìà êëàñèêàìè ìàòåìàòè÷íîãî àíàë³çó),<br />
àáî òàê çâàíèìè îñíîâíèìè ìåòîäàìè. Äî íèõ íàëåæàòü:<br />
ìåòîä áåçïîñåðåäíüîãî ³íòåãðóâàííÿ, ìåòîä ï³äñòàíîâêè (ìåòîä<br />
çàì³íè) ³ ìåòîä ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè.<br />
8.3.1. Ìåòîä áåçïîñåðåäíüîãî ³íòåãðóâàííÿ<br />
³í çàñíîâàíèé íà çàãàëüíèõ âëàñòèâîñòÿõ íåâèçíà÷åíîãî<br />
³íòåãðàëà ³ òàáëèö³ ³íòåãðàë³â. ßê îêðåìèé âèïàäîê ñþäè<br />
âõîäèòü ìåòîä çîáðàæåííÿ ôóíêö³¿ ó âèãëÿä³ ñóìè ôóíêö³é.<br />
Íàïðèêëàä,<br />
3 2 1/2 2/3<br />
x − 2 x + 1 ⎛ x x 1 ⎞<br />
1/ 4 5/12 −1/4<br />
∫ dx = ∫ 2 dx<br />
1/ 4 1/4 1/ 4 ( x 2x x ) dx<br />
4<br />
⎜ − + ⎟ = ∫ − + =<br />
x ⎝ x x x ⎠<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
5 17 3<br />
4 12 4<br />
4 24 4<br />
= x − x + x + C .<br />
5 17 3<br />
Çíàéòè ³íòåãðàëè ³ îòðèìàí³ â³äïîâ³ä³ ïåðåâ³ðèòè äèôåðåíö³þâàííÿì.<br />
8.1. ( x+<br />
)<br />
∫ x dx ; 8.2.<br />
⎛ 3 x x ⎞<br />
∫ ⎜<br />
−<br />
dx<br />
x 4 ⎟ ;<br />
⎝ ⎠<br />
266 267