ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Öÿ âëàñòèâ³ñòü âèïëèâຠç âëàñòèâîñòåé 3 ³ 4.
Çàóâàæåííÿ 1. Ïåâíà ð³÷, ùî ïðè ôîðìóëþâàíí³ âëàñòèâîñòåé
òà ¿õ äîâåäåíí³ ìè ïðèïóñêàëè, ùî âñ³ ôóíêö³¿,
ÿê³ âõîäÿòü ó â³äïîâ³äí³ ð³âíîñò³, ìàþòü ïåðâ³ñí³.
Çàóâàæåííÿ 2. Âèõîäÿ÷è ç îçíà÷åííÿ íåâèçíà÷åíîãî
³íòåãðàëà, ð³âí³ñòü ³íòåãðàë³â òðåáà ðîçóì³òè ç òî÷í³ñòþ äî
äîâ³ëüíîãî ñòàëîãî. ²íøèìè ñëîâàìè, íåâèçíà÷åí³ ³íòåãðàëè
áóäóòü ð³âíèìè òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè ïîõ³äí³ â³ä íèõ
ñï³âïàäàþòü.
8.2.2. Îñíîâíà òàáëèöÿ íåâèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â
Î÷åâèäíî, ùî íà ï³äñòàâ³ ð³âíîñò³ (8.1.6) ïðîáëåìà ³íòåãðóâàííÿ
çâîäèòüñÿ äî ïðîáëåìè çíàõîäæåííÿ â³äïîâ³äíèõ
ïåðâ³ñíèõ. Ùîäî ïåðâ³ñíèõ, òî âîíè çíàõîäÿòüñÿ çà òàêèì
îñíîâíèì ïðàâèëîì: ïåðâ³ñíà â³ä äàíî¿ ôóíêö³¿ º ôóíêö³ÿ,
ïîõ³äíà ÿêî¿ äîð³âíþº äàí³é ôóíêö³¿. Òåïåð íåâàæêî ñêëàñòè
òàáëèöþ äåÿêèõ íåâèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â.
1.
α+ 1
α x
∫ xdx= + C, α≠−1. 2.
α+ 1
dx
x
−1
∫x dx = ∫ = ln x + C .
x
x a
x x
3. ∫adx= + C;
∫ edx= e + C. 4. ∫ sin xdx =− cos x + C .
ln a
2
5. ∫ cos xdx = sin x + C . 6. ∫ sec xdx = tg x + C .
2
7. ∫ cosec xdx =− ctg x + C . 8.
9. ∫ 2 2
11.
∫
a
dx
− x
2 2
x
= arcsin + C .
a
dx 1 x arctg C
x + a = a a
+
dx 1 x − a
. 10. ∫ =
2 2 ln + C .
x − a 2a x+
a
∫
x
dx
± a
2 2
= ln + ± +
2 2
x x a C
Ñïðàâåäëèâ³ñòü ôîðìóë ³íòåãðóâàííÿ, à òàêîæ êîæíèé
ðåçóëüòàò ³íòåãðóâàííÿ ìîæíà ïåðåâ³ðèòè øëÿõîì äèôåðåíö³þâàííÿ,
îñê³ëüêè ³íòåãðóâàííÿ º ä³ÿ, îáåðíåíà äèôåðåíö³þâàííþ.
.
Ó íàéïðîñò³øîìó âèïàäêó, êîëè çàäàíèé ³íòåãðàë ÿâëÿº
îäíó ³ç ôîðìóë ³íòåãðóâàííÿ, çàäà÷à ³íòåãðóâàííÿ çâîäèòüñÿ
äî ïðîñòîãî çàñòîñóâàííÿ ö³º¿ ôîðìóëè.  óñ³õ ³íøèõ âèïàäêàõ
çàäà÷à ³íòåãðóâàííÿ ïîëÿãຠâ òîìó, ùîá øëÿõîì
ïåðåòâîðåíü ïðèâåñòè äàíèé ³íòåãðàë äî îäí³º¿ àáî äî äåê³ëüêîõ
â³äîìèõ ôîðìóë ³íòåãðóâàííÿ (ÿêùî öå ìîæëèâî).
8.3. ÎÑÍÎÂͲ ÌÅÒÎÄÈ ²ÍÒÅÃÐÓÂÀÍÍß
ßê óæå áóëî ñêàçàíî, íå ³ñíóº óí³âåðñàëüíîãî ìåòîäó ³íòåãðóâàííÿ
ôóíêö³é. ² òîìó íàâ³òü â XXI ñòîð³÷÷³ äîñë³äíèêó
³íêîëè òðåáà ïðîÿâëÿòè íàïîëåãëèâ³ñòü ³ âèíàõ³äëèâ³ñòü äëÿ
çíàõîäæåííÿ îòðèìàíîãî â ïðîöåñ³ íàóêîâî¿ ðîáîòè íåâèçíà-
÷åíîãî ³íòåãðàëà.  áàãàòüîõ æå âèïàäêàõ äîñë³äíèêè êîðèñòóþòüñÿ
êëàñè÷íèìè (ðîçðîáëåíèìè áàãàòüìà ìàòåìàòèêàìè
ð³çíèõ ð³âí³â, çîêðåìà êëàñèêàìè ìàòåìàòè÷íîãî àíàë³çó),
àáî òàê çâàíèìè îñíîâíèìè ìåòîäàìè. Äî íèõ íàëåæàòü:
ìåòîä áåçïîñåðåäíüîãî ³íòåãðóâàííÿ, ìåòîä ï³äñòàíîâêè (ìåòîä
çàì³íè) ³ ìåòîä ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè.
8.3.1. Ìåòîä áåçïîñåðåäíüîãî ³íòåãðóâàííÿ
³í çàñíîâàíèé íà çàãàëüíèõ âëàñòèâîñòÿõ íåâèçíà÷åíîãî
³íòåãðàëà ³ òàáëèö³ ³íòåãðàë³â. ßê îêðåìèé âèïàäîê ñþäè
âõîäèòü ìåòîä çîáðàæåííÿ ôóíêö³¿ ó âèãëÿä³ ñóìè ôóíêö³é.
Íàïðèêëàä,
3 2 1/2 2/3
x − 2 x + 1 ⎛ x x 1 ⎞
1/ 4 5/12 −1/4
∫ dx = ∫ 2 dx
1/ 4 1/4 1/ 4 ( x 2x x ) dx
4
⎜ − + ⎟ = ∫ − + =
x ⎝ x x x ⎠
ÂÏÐÀÂÈ
5 17 3
4 12 4
4 24 4
= x − x + x + C .
5 17 3
Çíàéòè ³íòåãðàëè ³ îòðèìàí³ â³äïîâ³ä³ ïåðåâ³ðèòè äèôåðåíö³þâàííÿì.
8.1. ( x+
)
∫ x dx ; 8.2.
⎛ 3 x x ⎞
∫ ⎜
−
dx
x 4 ⎟ ;
⎝ ⎠
266 267