ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Îòæå, ïîâíà â³äïîâ³äü íà ïîñòàâëåíå âèùå çàïèòàííÿ
òàêà: áóäü-ÿêà ôóíêö³ÿ f(x), ÿêà ìຠïåðâ³ñíó, â òîé æå ÷àñ
ìຠíåñê³í÷åííó ìíîæèíó ïåðâ³ñíèõ, ùî â³äð³çíÿþòüñÿ îäíà
â³ä îäíî¿ íà ñòàëó.
Çàóâàæåííÿ. Ïðè äîâåäåíí³ òåîðåìè 8.1.2 äëÿ ñòèñëîãî
âèêëàäàííÿ ³ äëÿ çðó÷íîñò³ ìè íå êîíêðåòèçóâàëè ìíîæèíó,
íà ÿê³é áóëà çàäàíà ôóíêö³ÿ f(x). Öå ìè áóäåìî ðîáèòè
³ ó ïîäàëüøîìó. Ïåâíà ð³÷, ó ðàç³ ïîòðåáè ìè áóäåìî
êîíêðåòèçóâàòè ìíîæèíó, íà ÿê³é áóäå çàäàíà ôóíêö³ÿ f(x).
Òåïåð íàñòàâ ÷àñ ââåñòè äóæå âàæëèâå ÿê ç ïðàêòè÷íî¿,
òàê ³ òåîðåòè÷íî¿ òî÷îê çîðó ïîíÿòòÿ.
Îçíà÷åííÿ 8.1.2. Ìíîæèíà âñ³õ ïåðâ³ñíèõ äëÿ ôóíêö³¿
f(x) íàçèâàºòüñÿ íåâèçíà÷åíèì ³íòåãðàëîì ³ ïîçíà÷àºòüñÿ
∫ fxdx ( ) = x ( ) + C. (8.1.6)
Ó ë³â³é ÷àñòèí³ ð³âíîñò³ (8.1.6) ñèìâîë ∫ º çíàê ³íòåãðàëà;
f(x) — ï³ä³íòåãðàëüíà ôóíêö³ÿ; x — çì³ííà ³íòåãðóâàííÿ;
f(x) dx — ï³ä³íòåãðàëüíèé âèðàç, à ó ¿¿ ïðàâ³é ÷àñòèí³ (x) º
îäíà ³ç ïåðâ³ñíèõ äëÿ ôóíêö³¿ f(x), Ñ — äîâ³ëüíà ñòàëà.
Ðîçøóê ôóíêö³¿ (x) çà â³äîìîþ ïîõ³äíîþ ′(x) =f(x)
(àáî çà â³äîìèì ¿¿ äèôåðåíö³àëîì d = ′(x)dx) íàçèâàºòüñÿ
³íòåãðóâàííÿì (ä³ÿ îáåðíåíà äèôåðåíö³þâàííþ).
Çàóâàæåííÿ 1. Íà ïåðøèé ïîãëÿä, çäàºòüñÿ, ùî íåâèçíà÷åí³ñòü
³íòåãðàëà, ÿêà âèðàæåíà ôîðìóëîþ (8.1.6), äåê³ëüêà
óñêëàäíþº ä³þ, ÿêà îáåðíåíà äèôåðåíö³þâàííþ (òðåáà
ïèñàòè ùå ÿêóñü äîâ³ëüíó ñòàëó). Àëå á³ëüø óâàæíèé
àíàë³ç ïîêàçóº, ùî áåç äîâ³ëüíî¿ ñòàëî¿, ÿêà âõîäèòü ó ôîðìóëó
(8.1.6), íåìîæëèâî áóëî á, íàïðèêëàä, ó öüîìó ïóíêò³
ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó 1. ijéñíî, îñê³ëüêè ôóíêö³ÿ S = S(t) º çà
îçíà÷åííÿì ïåðâ³ñíîþ äëÿ ôóíêö³¿ v(t), òî
S(t) =S 1 (t) +C,
äå ôóíêö³ÿ S 1 (t) º äåÿêà ïåðâ³ñíà äëÿ ôóíêö³¿ v(t).
Ïðîàíàë³çóºìî òåïåð ð³âí³ñòü ç òî÷êè çîðó ìåõàí³êè.
Îñòàííÿ ôîðìóëà âèðàæຠíåâèçíà÷åí³ñòü øëÿõó, ùî â ìåõàí³ö³
º êðàìîëüíèì. Ïðîòå âñå áóäå ãàðàçä, ÿêùî ìè ðîçãëÿíåìî
äîäàòêîâó óìîâó: S(0) = S 0 . Çâ³äêè çíàõîäèìî, ùî
C = S 0 – S 1 (0).
Îòæå, îñòàòî÷íèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ 1 òàêèé:
S(t) =S 1 (t) + S 0 – S 1 (0).
³äïîâ³äü îäíîçíà÷íà, ³ âñå çàëèøèëîñÿ íà ñâî¿õ ì³ñöÿõ.
Òåïåð çàïèòàºìî ñåáå: à ÷è ìîæíà áóëî ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó
áåç ñòàëî¿ Ñ? Ïåâíà ð³÷, ùî í³. Òàêèì ÷èíîì ñòàëà, ÿêà
âõîäèòü ó ôîðìóëó, º íå øêîäà, à áëàãî, ò³ëüêè öèì áëàãîì
òðåáà äîáðå ðîçïîðÿäèòèñÿ.
Çàóâàæåííÿ 2. ßê ïîêàçóº ³ñòîð³ÿ ìàòåìàòèêè, îïåðàö³¿,
ÿê³ º îáåðíåíèìè, ÿâëÿþòü ñîáîþ, ÿê ïðàâèëî, á³ëüø
ñêëàäí³ îïåðàö³¿ ³, á³ëüø òîãî, º ³íîä³ ïðîñòî íåìîæëèâèìè
íà âèõ³äí³é ìíîæèí³. Òàê, íàïðèêëàä, íåõàé íà ìíîæèí³
íàòóðàëüíèõ ÷èñåë ââåäåíî îïåðàö³þ äîäàâàííÿ. Òàêà îïåðàö³ÿ
ìîæëèâà. Îáåðíåíîþ îïåðàö³ºþ º îïåðàö³ÿ â³äí³ìàííÿ.
ßê â³äîìî (äèâ. ï. 1.2.1), îïåðàö³ÿ â³äí³ìàííÿ íà ìíîæèí³
íàòóðàëüíèõ ÷èñåë íå çàâæäè ìîæëèâà. Àíàëîã³÷í³
ïðèêëàäè ìîæíà íàâåñòè äëÿ â³äïîâ³äíèõ îïåðàö³é ìíîæåííÿ
³ ä³ëåííÿ, ï³äíåñåííÿ äî ñòåïåíÿ ³ äîáóâàííÿ êîðåíÿ.
Ùîäî îïåðàö³¿ ³íòåãðóâàííÿ, ÿêà º îáåðíåíîþ äî îïåðàö³¿
äèôåðåíö³þâàííÿ, òî òàêîæ ìîæíà ñêàçàòè, ùî âîíà º á³ëüø
ñêëàäíîþ. Çàïðîïîíóºìî ÷èòà÷åâ³ ïðîâåñòè òàêèé åêñïåðèìåíò:
ï³ä³éòè äî ìàòåìàòèêà-ïðîôåñ³îíàëà ³ ïîïðîñèòè éîãî
ïðîäèôåðåíö³þâàòè áóäü-ÿêó ôóíêö³þ. ßêùî ó ìàòåìàòèêà
áóäå ÷àñ, òî â³í íåãàéíî â³äãóêíåòüñÿ íà âàøå ïðîõàííÿ.
Òåïåð óÿâ³òü ñîá³ àíàëîã³÷íó êàðòèíó, àëå ç ïðîõàííÿì ïðî-
³íòåãðóâàòè äåÿêó ôóíêö³þ. Ó çàëåæíîñò³ â³ä ñòðóêòóðè ï³ä-
³íòåãðàëüíî¿ ôóíêö³¿ ðåàêö³ÿ íà ïðîõàííÿ áóäå ð³çíîþ. Íàïðèêëàä,
ÿêùî ñòðóêòóðà ï³ä³íòåãðàëüíî¿ ôóíêö³¿ äëÿ ìàòåìàòèêà-ïðîôåñ³îíàëà
º íå äîñèòü çíàéîìîþ, òî â³í, íà íàø
ïîãëÿä, ñêàæå: ÿ ïîäóìàþ. Òàêà ðåàêö³ÿ íà ïðîõàííÿ ö³ëêîì
çðîçóì³ëà ³ íå º äèâíîþ. Ñïðàâà â òîìó, ùî äåÿê³ ôóíêö³¿
íà ìíîæèí³ åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é âàæêî ³íòåãðóþòüñÿ,
à ³íêîëè ³ çîâñ³ì íå ³íòåãðóþòüñÿ. Íàïðèêëàä, äëÿ ôóíêö³¿
f(x) =e -x2 ïåðâ³ñíà, à òèì ñàìèì ³ íåâèçíà÷åíèé ³íòåãðàë â
åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³ÿõ íå ³ñíóþòü (³íòåãðàë “íå áåðåòüñÿ”).
Òàêèõ ³íòåãðàë³â ìîæíà íàâåñòè äóæå áàãàòî. Îäíàê áóâàº,
ùî äåÿêèé ³íòåãðàë íå áåðåòüñÿ, àëå ÷àñòî çóñòð³÷àºòüñÿ ó
ïðèêëàäíèõ ïèòàííÿõ. Ó òàêîìó âèïàäêó ìàòåìàòèêè, ÿê
ïðàâèëî, ââîäÿòü ñïåö³àëüí³ ôóíêö³¿. Îäíó ç òàêèõ ôóíêö³é
262 263