ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çã³äíî ç ôîðìóëîþ (8.1.1) ìàºìî
x y ′ =α. Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî
y
y′ α
= . (8.1.2)
y x
Ïðî³íòåãðóºìî (äèâ. ïðèêë. 8.3.4) îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíîñò³
(8.1.2). Â ðåçóëüòàò³ îäåðæèìî:
ln y =α ln x + ln c .
Ç îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ âèïëèâàº, ùî y = C⋅ x α . C=± c1
—
äîâ³ëüíà ñòàëà.
Íà îñíîâ³ ðåçóëüòàòó ïðèêëàäà 8.1.1 ñïðàâåäëèâå òàêå
òâåðäæåííÿ.
Òåîðåìà 8.1.1 (êðèòåð³é ñòàëîñò³ åëàñòè÷íîñò³ ôóíêö³¿).
Äëÿ òîãî ùîá äèôåðåíö³éîâíà ôóíêö³ÿ ìàëà ñòàëó
åëàñòè÷í³ñòü, íåîáõ³äíî ³ äîñòàòíüî, ùîá âîíà ñï³âïàäàëà ç³
ñòåïåíåâîþ ôóíêö³ºþ.
y x α−1
Íåîáõ³äí³ñòü äîâîäèòüñÿ áåçïîñåðåäíüî: Ex
= Cα x = α,
α
Cx
à äîñòàòí³ñòü âèïëèâຠç ðîçâ’ÿçàííÿ ïðèêëàäó 8.1.1.
Íåâàæêî ïîáà÷èòè, ùî ñôîðìóëüîâàí³ çàäà÷³ 1 – 3 ç
ìàòåìàòè÷íî¿ òî÷êè çîðó çâîäÿòüñÿ äî îäíî¿ òîé ñàìî¿ ïðîáëåìè:
ïî çàäàí³é íà ³íòåðâàë³ (a, b) ôóíêö³¿ f(x) òðåáà
çíàéòè äèôåðåíö³éîâíó ôóíêö³þ (x) òàêó, ùîá ¿¿ ïîõ³äíà â
êîæí³é òî÷ö³ ³íòåðâàëó (a, b) äîð³âíþâàëî á ôóíêö³¿ f(x).
Îçíà÷åííÿ 8.1.1. Äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³ (a, b)
ôóíêö³ÿ (x) íàçèâàºòüñÿ ïåðâ³ñíîþ äëÿ ôóíêö³¿ f(x), çàäàíî¿
â öüîìó æ ³íòåðâàë³, ÿêùî
′ ( x) = f( x), ∀x∈ ( a, b)
. (8.1.3)
Ïðèêëàä 8.1.2. Çíàéòè ïåðâ³ñíó (x) äëÿ ôóíêö³¿
f(x) =2x, ∀x∈(−∞, ∞).
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çðàçó æ âèäíî, ùî øóêàíîþ ôóíêö³ºþ
áóäå òàêà
2
( ) =
F x x
0
,
òîìó ùî çà âèçíà÷åííÿì ïåðâ³ñíî¿ ′ 0 (x) =2x,∀x∈(−∞; ∞).
Ëåãêî áà÷èòè, ùî ôóíêö³¿ 1 (x) =x 2 + 13 ³ (x) =x 2 + C, äå
Ñ — äîâ³ëüíà ñòàëà, òåæ º ïåðâ³ñíèìè.
1
Îñê³ëüêè ïîõ³äíà â³ä êîíñòàíòè äîð³âíþº íóëþ, òî ñïðàâäæóþòüñÿ
ð³âíîñò³
2
′
2
′
F1( ′ x) = ( x + 13) = 2 x, F′
( x) = ( x + c) = 2 x, ∀x∈( −∞,
∞)
³, òàêèì ÷èíîì, ôóíêö³¿ 0 (x), 1 (x) i (x) ä³éñíî ÿâëÿþòü
ñîáîþ ïåðâ³ñí³ ôóíêö³¿ äëÿ ôóíêö³¿ f(x) =2x, x ∈ (–∞, ∞).
Íàâåäåíèé ïðèêëàä 8.1.2 ïîêàçóº, ùî îïåðàö³ÿ çíàõîäæåííÿ
ïåðâ³ñíî¿ íåîäíîçíà÷íà. Ó çâ’ÿçêó ç öèì âèíèêàº
ïèòàííÿ: ÿêùî ôóíêö³ÿ f(x) ìຠïåðâ³ñíó, òî ñê³ëüêè ìîæå
áóòè ïåðâ³ñíèõ ³ ÿê âîíè ì³æ ñîáîþ áóäóòü â³äð³çíÿòèñÿ?
Íà ïåðøó ÷àñòèíó çàïèòàííÿ ìîæíà â³äïîâ³ñòè òàê: ¿õ
(ïåðâ³ñíèõ) áåçë³÷. Öåé ôàêò ïîÿñíþºòüñÿ òèì, ùî ÿêùî
ôóíêö³ÿ (x) º ïåðâ³ñíîþ äëÿ ôóíêö³ÿ f(x), òî ³ ôóíêö³ÿ
(x) +Ñ, äå Ñ — äîâ³ëüíà ñòàëà, òåæ º ïåðâ³ñíîþ (ïîõ³äíà
â³ä ñòàëî¿ äîð³âíþº íóëþ).
Äðóãà ÷àñòèíà ïèòàííÿ íå ïðîñòà, ³ âîíà ïîòðåáóº äîïîì³æíèõ
òâåðäæåíü.
Òåîðåìà 8.1.2. Áóäü-ÿê³ äâ³ ïåðâ³ñí³ äëÿ ò³º¿ ñàìî¿
ôóíêö³¿ f(x) â³äð³çíÿþòüñÿ îäíà â³ä îäíî¿ ò³ëüêè íà ñòàëó.
Äîâåäåííÿ. Ðîçãëÿíåìî äëÿ ôóíêö³¿ f(x) äâ³ äîâ³ëüí³
ïåðâ³ñí³: 1 (x) i 2 (x). Äàë³, ââåäåìî ôóíêö³þ
( ) ( ) ( )
F x = F2 x − F1 x .
(8.1.4)
Çíàéäåìî òåïåð ïîõ³äíó â³ä ö³º¿ ôóíêö³¿:
( ) ( ) ( )
′ x = ′ 2
− ′
1
= f x − f x = 0.
(8.1.5)
 îñòàííüîìó ëàíöþæêó ð³âíîñòåé (8.1.5) ìè ïðèéíÿëè äî
óâàãè, ùî 1 (x) i 2 (x) ÿâëÿþòü ñîáîþ ïåðâ³ñí³ äëÿ ôóíêö³¿
f(x).
Îñê³ëüêè ïîõ³äíà ôóíêö³¿ (x) äîð³âíþº íóëþ, òî çã³äíî ç
íàñë³äêîì 1 òåîðåìè Ëàãðàíæà (îñíîâíî¿ ëåìè ³íòåãðàëüíîãî
÷èñëåííÿ), (x) =C (C — ñòàëà) äëÿ áóäü-ÿêî¿ çì³ííî¿ ³ç
³íòåðâàëó, äå çàäàíà ôóíêö³ÿ f(x).
Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ð³âíîñò³ (8.1.4) áóäåìî ìàòè
2 (x) – 1 (x) =Ñ àáî 2 (x) = 1 (x) +Ñ.
Òåîðåìó äîâåäåíî.
260 261