ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

 òî÷ö³ õ = 1 ôóíêö³ÿ ìຠìàêñèìóì: y′| x 0; y′| x>1 3/2 > 0; y| x = 3/2 = 1 + 4/3 – 4/9 = 17/9.
Òî÷êà ïåðåãèíó (3/2, 17/9);
2
x + 2x−1
6) ïåðåïèøåìî çàäàíó ôóíêö³þ ó âèãëÿä³ y =
2 .
x
Âåðòèêàëüíà àñèìïòîòà: õ = 0. Çíàõîäèìî
2
y x + 2x−1
k1,2 = lim = lim = 0, b
3
1,2
= lim ( y− kx)
= 1.
x→±∞ x x→±∞ x
x→±∞
Ãîðèçîíòàëüíà àñèìïòîòà: ó =1;
7) ãðàô³ê ôóíêö³¿ çîáðàæåíèé íà ðèñ. 7.5.
Ðèñ. 7.5
ÒÅÌÀ 8
ÍÅÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÉ ²ÍÒÅÃÐÀË ² ÉÎÃÎ
×ÈÑËÅÍÍß
8.1. ÏÅвÑÍÀ ² ÍÅÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÉ
²ÍÒÅÃÐÀË
8.1.1. Ïðîáëåìí³ çàäà÷³
Îñíîâíà çàäà÷à äèôåðåíö³àëüíîãî ÷èñëåííÿ ïîëÿãຠâ
òîìó, ùîá â³ä çàäàíî¿ ôóíêö³¿ f(x) çíàéòè ¿¿ ïîõ³äíó. Çà
äîïîìîãîþ äèôåðåíö³þâàííÿ ìîæíà ðîçâ’ÿçàòè òàê³ çàäà÷³:
1 0 . ³äîìî çàêîí ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè
S = S(t). Òðåáà çíàéòè øâèäê³ñòü v â ìîìåíò ÷àñó t.
Ðîçâ’ÿçàííÿ ïðîñòå: v(t) =S′(t).
2 0 . ³äîìî ð³âíÿííÿ êðèâî¿ ó = f(x). Òðåáà çíàéòè êóò
íàõèëó äîòè÷íî¿, ÿêà ïðîâåäåíà äî ãðàô³êà ôóíêö³¿ ó = f(x)
÷åðåç äîâ³ëüíó òî÷êó M(x, f(x)). Ðîçâ’ÿçàííÿ òàêå:
k(x) =f′(x).
3 0 . Çàäàíî ôóíêö³þ ó = f(x). Òðåáà çíàéòè åëàñòè÷í³ñòü
ö³º¿ ôóíêö³¿. Ðîçâ’ÿçàííÿ òàêå:
E
y
x
= x
y
y ′ . (8.1.1)
Íà ïðàêòèö³ ³ñíóþòü òàêîæ ³ òàê³ çàäà÷³:
1. Äëÿ çàäàíî¿ øâèäêîñò³ v(t) ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè òðåáà
çíàéòè ïðîéäåíèé íåþ øëÿõ S = S(t).
2. Çà â³äîìèì êóòîâèì êîåô³ö³ºíòîì k(x) =f′(x) òðåáà
çíàéòè êðèâó, ÿêà çàäàíà ð³âíÿííÿì ó = f(x).
3. ³äîìî, ùî åëàñòè÷í³ñòü ôóíêö³¿ f(x) äîð³âíþº ϕ(x).
Òðåáà çíàéòè ñàìó ôóíêö³þ f(x).
Çàóâàæåííÿ. Çàäà÷³ 1 – 2 êëàñè÷í³ ³ ìàéæå â êîæíîìó
ó÷áîâîìó ïîñ³áíèêó ç êóðñó âèùî¿ ìàòåìàòèêè âîíè íàâîäÿòüñÿ.
Ùîäî çàäà÷³ 3, òî âîíà, ìîæëèâî, ïîñòàâëåíà âïåðøå.
Ïðèêëàä 8.1.1. Çíàéòè ôóíêö³þ, åëàñòè÷í³ñòü ÿêî¿ äîð³âíþº
α(α = ñonst).
258 259