Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
1<br />
îòðèìàºìî äð³á<br />
m = 2 m<br />
n 2n , ÿêèé º ñêîðîòíèì. Òàêèì ÷èíîì,<br />
1<br />
íàøå ïðèïóùåííÿ íåâ³ðíå. ×èñëî 2 íå ìîæå áóòè<br />
ðàö³îíàëüíèì.<br />
Âèñíîâîê. ²ñíóþòü ÷èñëà íåðàö³îíàëüí³. ¯õ ìàòåìàòèêè<br />
íàçâàëè ³ððàö³îíàëüíèìè.<br />
Äëÿ á³ëüøîãî ðîçóì³ííÿ ïðèðîäè ðàö³îíàëüíèõ òà<br />
³ððàö³îíàëüíèõ ÷èñåë ìè çíîâó ðîçãëÿíåìî ðàö³îíàëüíå<br />
÷èñëî m/n ÿê ðåçóëüòàò ä³ëåííÿ m íà n. Òóò ìîæëèâ³ äâà<br />
âèïàäêè:<br />
1) îòðèìàºìî ñê³í÷åííèé äåñÿòêîâèé äð³á; 2) îòðèìàºìî<br />
íåñê³í÷åííèé äåñÿòêîâèé ïåð³îäè÷íèé äð³á.<br />
Ïîêàæåìî, ùî öå ä³éñíî òàê. Ðîçãëÿíåìî äîâ³ëüíå<br />
äîäàòíå ÷èñëî m/n, äå m ³ n äîäàòí³ ö³ë³ ÷èñëà. Ïðè ä³ëåíí³<br />
íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m íà íàòóðàëüíå ÷èñëî n â îñòà÷³<br />
ìîæóòü ïîÿâèòèñÿ ò³ëüêè ÷èñëà, ÿê³ íàëåæàòü ï³äìíîæèí³<br />
ö³ëèõ ÷èñåë â³ä 0 äî n – 1. ßêùî â ïðîöåñ³ ä³ëåííÿ â îñòà÷³<br />
ä³ñòàíåìî ÷èñëî 0, òî ïðîöåñ ä³ëåííÿ çàê³í÷åíî ³ ÷èñëî m/n<br />
çîáðàçèòüñÿ ÿê ñê³í÷åííèé äåñÿòêîâèé äð³á. ßêùî æ â<br />
ïðîöåñ³ ä³ëåííÿ ÷èñëî íóëü â îñòà÷³ íå ä³ñòàíåìî, òî õî÷à á<br />
÷åðåç n – 1 êðîê íåìèíó÷å âèíèêíå ïîâòîðåííÿ (öèêë) îñòà-<br />
÷³. Î÷åâèäíî, ùî ïîâòîðåííÿ îñòà÷³ ìîæå çä³éñíèòèñÿ ³<br />
ðàí³øå. Òàêèì ÷èíîì, ðåçóëüòàòîì ä³ëåííÿ â äðóãîìó âèïàäêó<br />
º íåñê³í÷åííèé äåñÿòêîâèé ïåð³îäè÷íèé äð³á.<br />
Çàóâàæåííÿ. Íåñê³í÷åííèé äð³á âèãëÿäó α 0 , α 1 ...α n (9)<br />
ñï³âïàäຠç ÷èñëîì α 0 ,α 1 ...(α n + 1). Öå òâåðäæåííÿ äîâîäèòüñÿ<br />
çà äîïîìîãîþ ôîðìóëè äëÿ îá÷èñëåííÿ ñóìè íåñê³í÷åííî<br />
ñïàäíî¿ ãåîìåòðè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿. ³äïîâ³äíà ôîðìóëà íàâîäèòüñÿ<br />
â øê³ëüíîìó êóðñ³ ìàòåìàòèêè áåç íàëåæíîãî îá´ðóíòóâàííÿ.<br />
Âîíî áóäå ïðîâåäåíî ï³çí³øå.<br />
Âðàõîâóþ÷è çàóâàæåííÿ ³ ïðîöåñ ä³ëåííÿ ÷èñëà m íà<br />
÷èñëî n, áóäü-ÿêå ðàö³îíàëüíå ÷èñëî ìîæíà çîáðàçèòè ó<br />
âèãëÿä³ ñê³í÷åííîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó àáî ó âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî<br />
äåñÿòêîâîãî ïåð³îäè÷íîãî äðîáó, àëå áåç ïåð³îäó,<br />
ÿêèé äîð³âíþº 9. Ö³ëêîì î÷åâèäíî, ùî êð³ì âêàçàíèõ äåñÿòêîâèõ<br />
äðîá³â, ³ñíóþòü íåñê³í÷åíí³ äåñÿòêîâ³ íåïåð³îäè÷í³<br />
äðîáè. Íàïðèêëàä, ÷èñëî 0,10010001... . Îñê³ëüêè 2 íå º<br />
÷èñëîì ðàö³îíàëüíèì, òî âîíî òàêîæ íå ìîæå áóòè çîáðàæåíå<br />
ó âèãëÿä³ ñê³í÷åííîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó àáî íåñê³í-<br />
÷åííîãî äåñÿòêîâîãî ïåð³îäè÷íîãî äðîáó. Òàêèì ÷èíîì, ÷èñëî<br />
2 ìîæíà çîáðàçèòè ò³ëüêè ó âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî<br />
äåñÿòêîâîãî íåïåð³îäè÷íîãî äðîáó. Çãàäàºìî òàêîæ, ùî ÷èñëî<br />
2 áóëî ðàí³øå íàçâàíî ³ððàö³îíàëüíèì. Ó â³äïîâ³äíîñò³<br />
äî öüîãî íàçâåìî ìíîæèíó âñ³õ íåñê³í÷åííèõ äåñÿòêîâèõ<br />
íåïåð³îäè÷íèõ äðîá³â ìíîæèíîþ ³ððàö³îíàëüíèõ ÷èñåë. Ó<br />
á³ëüø äåòàëüíèõ êóðñàõ ìàòåìàòè÷íîãî àíàë³çó äîâîäèòüñÿ,<br />
ùî ä³éñíî áóäü-ÿêå ³ððàö³îíàëüíå ÷èñëî ìîæíà çîáðàçèòè ó<br />
âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî äåñÿòêîâîãî íåïåð³îäè÷íîãî äðîáó.<br />
1.2.5. ijéñí³ ÷èñëà<br />
Ñóêóïí³ñòü ðàö³îíàëüíèõ é ³ððàö³îíàëüíèõ ÷èñåë íàçèâàþòü<br />
ìíîæèíîþ ä³éñíèõ ÷èñåë. Ìíîæèíà ä³éñíèõ ÷èñåë, ÿê<br />
³ ìíîæèíà ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë, º óïîðÿäêîâàíîþ.<br />
Íåõàé a ³ b äîäàòí³ ³ððàö³îíàëüí³ ÷èñëà:<br />
a = α 0 , α 1 α 2 ... α k ...<br />
b = β 0 , β 1 β 2 ... β k ...<br />
Ââàæàºìî, ùî a
Change language