You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Çâ³äñè ó êð – ó äîò ≤ 0 (≥ 0) ⇒ êðèâà f(x) — îïóêëà (óãíóòà).<br />
Àáñöèñè òî÷îê ïåðåãèíó êðèâîþ ó = f(x) º òî÷êè, â ÿêèõ<br />
çì³íþºòüñÿ ïîâåä³íêà ó′′. Òîìó ¿õ ìîæíà çíàéòè çà íàñòóïíèì<br />
ïðàâèëîì:<br />
1) çíàéòè ó′′ ³ òî÷êè õ, â ÿêèõ ó′′ = 0 àáî íå ³ñíóº;<br />
2) âèçíà÷èòè çíàê ó′′ çë³âà ³ ñïðàâà â³ä êîæíî¿ ç öèõ<br />
òî÷îê.<br />
ßêùî ïî ð³çí³ ñòîðîíè â³ä öèõ òî÷îê ó′′ ìຠð³çí³ çíàêè,<br />
òî âîíè º àáñöèñàìè òî÷îê ïåðåãèíó.<br />
7.18. ÀCÈÌÏÒÎÒÈ<br />
7.18.1. Îçíà÷åííÿ<br />
Àñèìïòîòîþ êðèâî¿ y = f(x) íàçèâàºòüñÿ òàêà ïðÿìà, ùî<br />
â³äñòàíü â³ä òî÷êè (x, f(x)) äî ö³º¿ ïðÿìî¿ ïðÿìóº äî íóëÿ<br />
ïðè íåîáìåæåíîìó â³ääàëåíí³ ¿¿ â³ä ïî÷àòêó êîîðäèíàò.<br />
Êðèâà ìîæå íàáëèæàòèñÿ äî ñâ àñèìïòîòè òèìè ñàìèìè<br />
ñïîñîáàìè, ÿê ³ çì³ííà äî ñâ ãðàíèö³: ç îäí³º¿ ï³âïëîùèíè<br />
àáî ïåðåõîäÿ÷è ç îäí³º¿ ï³âïëîùèíè íà ³íøó.<br />
Àñèìïòîòè áóâàþòü âåðòèêàëüí³ ³ íåâåðòèêàëüí³.<br />
7.18.2. Âåðòèêàëüí³ àñèìïòîòè<br />
ßêùî ïðè õ = à ôóíêö³ÿ ó = f(x) ìຠðîçðèâ äðóãîãî ðîäó<br />
³ ïðè õ → à ± 0 âîíà ïðÿìóº äî íåñê³í÷åííîñò³ (áóäü-ÿêîãî<br />
çíàêà), òî ïðÿìà õ = à º âåðòèêàëüíîþ àñèìïòîòîþ êðèâî¿<br />
y = f(x).<br />
7.18.3. Íåâåðòèêàëüí³ àñèìïòîòè<br />
Íåâåðòèêàëüí³ àñèìïòîòè êðèâî¿ y = f(x), ÿêùî âîíè ³ñíóþòü,<br />
ìàþòü âèãëÿä ó = kõ + b (ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿), äå ïàðàìåòðè<br />
k ³ b âèçíà÷àþòüñÿ çà ôîðìóëàìè:<br />
k<br />
1,2<br />
lim<br />
x→±∞<br />
( )<br />
f x<br />
= ³ b1,2 lim f( x)<br />
kx<br />
x→±∞<br />
x<br />
= ⎡⎣<br />
− ⎤⎦<br />
ïðè îäíàêîâ³é â îáîõ ôîðìóëàõ ïîâåä³íö³ õ, òîáòî â îáîõ<br />
ôîðìóëàõ x → +∞ àáî x → –∞.<br />
7.19. ÇÀÃÀËÜÍÀ ÑÕÅÌÀ ÄÎÑ˲ÄÆÅÍÍß<br />
ÔÓÍÊÖ²¯ ² ÏÎÁÓÄÎÂÀ ¯¯ ÃÐÀÔ²ÊÓ<br />
Äëÿ äîñë³äæåííÿ ôóíêö³¿ ðåêîìåíäîâàíî:<br />
1) çíàéòè îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿;<br />
2) çíàéòè òî÷êè ðîçðèâó ôóíêö³¿ òà ¿¿ îäíîñòîðîíí³ ãðàíèö³<br />
â öèõ òî÷êàõ, à òàêîæ òî÷êè ïåðåòèíó ç îñÿìè êîîðäèíàò;<br />
3) äîñë³äèòè ôóíêö³þ íà ïàðí³ñòü, íåïàðí³ñòü ³ ïåð³îäè÷í³ñòü;<br />
4) çíàéòè ³íòåðâàëè ìîíîòîííîñò³ ôóíêö³¿, òî÷êè åêñòðåìóìó<br />
³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ â öèõ òî÷êàõ;<br />
5) âèçíà÷èòè ³íòåðâàëè îïóêëîñò³ ³ óãíóòîñò³ êðèâî¿ ³<br />
òî÷êè ïåðåãèíó;<br />
6) çíàéòè àñèìïòîòè êðèâî¿;<br />
7) ïîáóäóâàòè ãðàô³ê ôóíêö³¿.<br />
Ïðè íåîáõ³äíîñò³ âèçíà÷àþòü îáëàñòü çíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
E(f).<br />
2 1<br />
Ïðèêëàä 7.19.1. Äîñë³äèòè ôóíêö³þ y = 1 + 2<br />
x<br />
− x<br />
³ ïîáóäóâàòè<br />
¿¿ ãðàô³ê.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
1) îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿: x∈(–∞, 0)∪(0,+∞);<br />
2<br />
x + 2x− 1<br />
2) òî÷êà ðîçðèâó: õ =0: lim<br />
x→ 0±<br />
0<br />
2 =−∞ . Â òî÷ö³ õ =0<br />
x<br />
ôóíêö³ÿ íå ³ñíóº, îòæå, êðèâà íå ïåðåòèíຠâ³ñü îðäèíàò:<br />
2 1<br />
2<br />
y = 0 ⇒ 1 + 0 x 2x 1 0 x<br />
2<br />
1,2<br />
1 2<br />
x<br />
− x<br />
= ⇒ + − = ⇒ =− ± — òî÷êè ïåðåòèíó<br />
îñ³ àáñöèñ;<br />
3) ôóíêö³ÿ í³ ïàðíà, í³ íåïàðíà, í³ ïåð³îäè÷íà;<br />
2 2 21 ( − x)<br />
4) çíàõîäèìî y′ =− + =<br />
2 3 3<br />
. Îòæå, òî÷êà (x = 1) —<br />
x x x<br />
ñòàö³îíàðíà. Ðîçáèâàºìî îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ íà<br />
³íòåðâàëè:<br />
(-∞, 0), y′ < 0 — ôóíêö³ÿ ñïàäàº;<br />
(0, 1), y′ > 0 — ôóíêö³ÿ çðîñòàº;<br />
(1,+∞), y′ < 0 — ôóíêö³ÿ ñïàäàº.<br />
256 257
Change language