Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Îòæå, ìíîæèíà êðèòè÷íèõ òî÷îê ö³º¿ ôóíêö³¿ º ò³ëüêè<br />
ìíîæèíà êîðåí³â ð³âíÿííÿ f′(x) = 0, òîáòî {–1, 3}. Äëÿ òî÷êè<br />
õ 1 = –1 ïðè ìàëîìó h >0 f′(x 1 – h) > 0, f′(x 1 + h) < 0, ³ òîìó â<br />
òî÷ö³ õ 1 = –1 ôóíêö³ÿ ìຠëîêàëüíèé ìàêñèìóì f(-1) = 0.<br />
Äëÿ òî÷êè õ 2 = 3 ïðè ìàëîìó h >0 f′(x 2 – h) 0 ⇒ â x 2 = 3 ôóíêö³ÿ ìຠëîêàëüíèé ì³í³ìóì<br />
f(3) = 8.<br />
Ðîçãëÿíåìî äðóãó äîñòàòíþ óìîâó ëîêàëüíîãî åêñòðåìóìó.<br />
Òåîðåìà 7.16.3. Íåõàé äëÿ ôóíêö³¿ f(x) òî÷êà õ 0 º êðèòè÷íîþ<br />
³ f(x) â õ 0 ìຠíåïåðåðâíó äðóãó ïîõ³äíó. Òîä³ ÿêùî<br />
f′′(x 0 ) ≠ 0, òî â òî÷ö³ õ 0 ôóíêö³ÿ ìຠëîêàëüíèé åêñòðåìóì.<br />
Ïðè÷îìó ÿêùî f′′(x 0 ) > 0, òî f(x) â õ 0 ìຠëîêàëüíèé ì³í³ìóì,<br />
ÿêùî æ f′′(x 0 ) < 0, òî f(x) â õ 0 ìຠëîêàëüíèé ìàêñèìóì.<br />
Äîâåäåííÿ. Îñê³ëüêè õ 0 êðèòè÷íà òî÷êà ³ ôóíêö³ÿ f(x)<br />
â õ 0 ìຠäðóãó ïîõ³äíó, òî âîíà ìຠ³ ïåðøó ïîõ³äíó, ïðè÷îìó<br />
f′(x 0 ) = 0. Íåõàé f′′(x 0 ) > 0. Òîä³ f′(x) â äåÿêîìó îêîë³<br />
òî÷êè õ 0 çðîñòàº. Îñê³ëüêè f′(x 0 ) = 0 ³ f′(x) çðîñòàº, òî ïðè<br />
x < x 0 áóäå f′(x) x 0 f′(x) > 0 ³ ç ïîïåðåäíüî¿<br />
òåîðåìè õ 0 º òî÷êîþ ëîêàëüíîãî ì³í³ìóìó. Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ<br />
òåîðåìà ó âèïàäêó f′′(x 0 ) 0, òî â òî÷ö³ õ 2 = 3 ôóíêö³ÿ ìຠëîêàëüíèé<br />
ì³í³ìóì f(3) = 8.<br />
Äðóãèé ñïîñ³á äîñë³äæåííÿ ôóíêö³¿ íà åêñòðåìóì ÷àñòî<br />
âèÿâëÿºòüñÿ ïðîñò³øå ïåðøîãî. Àëå ñë³ä ñêàçàòè, ùî ïåðøèé<br />
ñïîñ³á á³ëüø óí³âåðñàëüíèé. Öå ïîÿñíþºòüñÿ òèì, ùî íå çàâæäè<br />
³ñíóº äðóãà ïîõ³äíà â êðèòè÷í³é òî÷ö³. À ÿêùî ³ñíóº, òî<br />
âîíà ìîæå â êðèòè÷í³é òî÷ö³ äîð³âíþâàòè íóëþ.<br />
7.17. ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÎÃÎ<br />
×ÈÑËÅÍÍß ÄËß ÄÎÑ˲ÄÆÅÍÍß<br />
ÔÓÍÊÖ²¯<br />
7.17.1. Âèçíà÷åííÿ ïðîì³æê³â ìîíîòîííîñò³ ôóíêö³¿<br />
Äëÿ ¿õ âèçíà÷åííÿ íåîáõ³äíî:<br />
1) çíàéòè îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿;<br />
2) çíàéòè ïîõ³äíó ôóíêö³¿;<br />
3) çíàéòè ñòàö³îíàðí³ òî÷êè ç ð³âíÿííÿ f′(x) =0;<br />
4) ðîçä³ëèòè ñòàö³îíàðíèìè òî÷êàìè ³ òî÷êàìè ðîçðèâó<br />
îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ íà ïðîì³æêè;<br />
5) â êîæíîìó ³ç îòðèìàíèõ ïðîì³æê³â âèçíà÷èòè çíàê<br />
ïîõ³äíî¿ (ó′ < 0 — ôóíêö³ÿ ñïàäàº, ó′ > 0 — çðîñòàº).<br />
7.17.2. Çíàõîäæåííÿ íàéá³ëüøîãî àáî íàéìåíøîãî<br />
çíà÷åííÿ íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿<br />
Íåõàé f(x) íåïåðåðâíà íà â³äð³çêó [à, b]. Äëÿ âèð³øåííÿ<br />
âêàçàíî¿ ïðîáëåìè òðåáà: 1) çíàéòè êðèòè÷í³ òî÷êè, ÿê³<br />
çíàõîäÿòüñÿ óñåðåäèí³ [a, b]; 2) îá÷èñëèòè çíà÷åííÿ ôóíêö³é<br />
íà ê³íöÿõ â³äð³çêà, òîáòî f(a) ³ f(b); 3) ïîð³âíÿòè çíà-<br />
÷åííÿ ôóíêö³¿ â êðèòè÷íèõ òî÷êàõ ³ íà ê³íöÿõ. Ñàìå âåëèêå<br />
³ áóäå íàéá³ëüøèì, ñàìå ìåíøå — íàéìåíøèì.<br />
7.17.3. Îïóêëîñò³ êðèâî¿ ³ òî÷êè ïåðåãèíó<br />
ßêùî â äåÿêîìó ³íòåðâàë³ êðèâà ðîçòàøîâàíà íèæ÷å<br />
(âèùå) áóäü-ÿêî¿ ñâ äîòè÷íî¿, òîáòî ó êð – ó äîò ≤ 0<br />
(ó êð – ó äîò ≥ 0), òî âîíà íàçèâàºòüñÿ îïóêëîþ (óãíóòîþ). Òóò<br />
ó êð , ó äîò — â³äïîâ³äíî îðäèíàòà êðèâî¿ ³ äîòè÷íî¿ äîâ³ëüíî¿<br />
òî÷êè ³íòåðâàëó. Òî÷êîþ ïåðåãèíó íàçèâàºòüñÿ òî÷êà, â ÿê³é<br />
îïóêëà ÷àñòèíà êðèâî¿ â³äîêðåìëþºòüñÿ â³ä óãíóòî¿.<br />
Òåîðåìà 7.17.1 (ïðî óìîâè îïóêëîñò³ ³ óãíóòîñò³ êðèâî¿).<br />
ßêùî f′′(x) < 0 íà (a, b), òî f(x) îïóêëà íà (a, b), à ÿêùî<br />
f′′(x) > 0, òî óãíóòà.<br />
Äîâåäåííÿ. Íåõàé f′′(x) 0).  îêîë³ äîâ³ëüíî¿<br />
òî÷êè çà ôîðìóëîþ Òåéëîðà (7.15.16) ìàºìî<br />
( 0 ) ( ) ( ) ( )<br />
f′ x f′′ ξ<br />
2<br />
yêð.<br />
= f( x0)<br />
+ x − x0 + x −x0<br />
14444244443 1! 2! .<br />
yñ³÷<br />
.<br />
254 255
Change language