ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Òåîðåìà 7.13.2 (Ðîëëÿ 1 ïðî êîð³íü ïîõ³äíî¿). ßêùî
ôóíêö³ÿ f(õ) íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ [a, b], äèôåðåíö³éîâíà
íà ³íòåðâàë³ (à, b) ³ f(a) =f(b), òî ³ñíóº õî÷à á îäíà òàêà
òî÷êà ξ∈(à, b), ùî f′(ξ) =0.
Ä î â å ä å í í ÿ. 1) ÿêùî f(õ) = const, òîáòî f(x) =f(a) =f(b),
x∈(a, b), òî f′(ξ) = 0 äëÿ ∀ξ∈(a, b); 2) f(x) ≠ const. Îñê³ëüêè
f(a) =f(b) ³ f(x) íåïåðåðâíà, òî íà ³íòåðâàë³ (a, b) âîíà ïîâèííà
äîñÿãàòè, ïðèíàéìí³, ñâîãî íàéá³ëüøîãî àáî íàéìåíøîãî
çíà÷åííÿ (ìîæëèâî ³ òå ³ äðóãå, ÿêùî òàêèìè íå
º f(a) =f(b)). Îòæå, çíàéäåòüñÿ õî÷à á îäíà òî÷êà ξ∈(à, b) ëîêàëüíîãî
åêñòðåìóìó. Àëå òîä³ ó ö³é òî÷ö³ çà òåîðåìîþ
Ôåðìà f′(ξ) =0.
Òåîðåìà 7.13.3 (Ëàãðàíæà 2 ïðî ñê³í÷åííèé ïðèð³ñò
ôóíêö³¿). ßêùî ôóíêö³ÿ f(x) íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ [a, b],
äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³ (a, b), òî çíàéäåòüñÿ òàêà òî÷êà
ξ∈(a, b), ùî
( ) − f( a)
f b
b − a
( )
= f′
ξ . (7.13.2)
Ä î â å ä å í í ÿ. Ïîáóäóºìî äîïîì³æíó ôóíêö³þ (õ), ÿêà
çàäîâîëüíÿëà á òåîðåìó Ðîëëÿ:
( ) − f( a) ( ) , ( ( ) ( ) 0 )
f b
( x) = f( x) −f( a)
− x− a a = b =
b−
a
Çà òåîðåìîþ Ðîëëÿ ³ñíóº òàêà òî÷êà ξ∈(a, b), ùî ′(ξ) =0.
Òîä³
( ) − ( ) ( ) − ( )
f b f a f b f a
′ ( ξ ) = f′ ( ξ)
− = 0 ⇒ = f′
( ξ)
.
b −a b −a
Î÷åâèäíî, ùî òåîðåìà Ðîëëÿ º îêðåìèì âèïàäêîì òåîðåìè
Ëàãðàíæà (ïðè f(a) =f(b)).
Çàóâàæèìî òàêîæ, ùî ³ç ð³âíîñò³ (7.13.2) âèïëèâຠòàê
íàçâàíà ôîðìóëà Ëàãðàíæà:
f(b) –f(a) =f′(ξ)(b – a). (7.13.3)
1
Ðîëëü ̳øåëü (1652 – 1719) — ôðàíöóçüêèé ìàòåìàòèê.
2
Ëàãðàíæ Ëó³ (1736 – 1813) — âèäàòíèé ôðàíöóçüêèé ìàòåìàòèê ³
ìåõàí³ê.
.
Ç òåîðåìè Ëàãðàíæà âèïëèâàþòü òàê³ íàñë³äêè:
Íàñë³äîê 1 (êðèòåð³é ñòàëîñò³ äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿
íà ³íòåðâàë³). Äëÿ òîãî ùîá äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³
(a, b) ôóíêö³ÿ f(x) äîð³âíþâàëà ñòàë³é, íåîáõ³äíî ³ äîñòàòíüî,
ùîá f′(x) =0∀x ∈(a, b).
Íåîáõ³äí³ñòü. Íåõàé f(x) =C ∀x ∈(a, b), äå C — ñòàëà.
ßñíî, ùî f′(x) =0∀x ∈(a, b).
Äîñòàòí³ñòü. Íåõàé f′(x) =0∀x ∈(a, b). ³çüìåìî íà
³íòåðâàë³ (a,b) äâ³ äîâ³ëüí³ òî÷êè x 1 i x 2 (x 1 < x 2 ). Òîä³ ôóíêö³ÿ
f(x) íà ñåãìåíò³ [x 1 , x 2 ] çàäîâîëüíÿº âñ³ óìîâè òåîðåìè
Ëàãðàíæà. Âíàñë³äîê ÷îãî âèêîíóºòüñÿ ð³âí³ñòü
fx ( ) − fx ( ) = f′
( ξ)( x − x),
x < ξ < x. (7.13.4)
2 1 2 1 1 2
Çà óìîâîþ f′(x) =0∀x ∈(a, b), çîêðåìà é ïðè x = ξ, òîáòî
f′(ξ) = 0. Òîä³ ç ð³âíîñò³ (7.13.4) âèïëèâàº, ùî
f(x 2 )–f(x 1 ) = 0, àáî
f(x 2 )=f(x 1 ). (7.13.5)
Îñê³ëüêè òî÷êè x 1 i x 2 äîâ³ëüí³, òî ð³âí³ñòü (7.13.5) îçíà-
÷àº, ùî f(x) =C ∀x ∈(a, b), äå C — ñòàëà, ùî ³ òðåáà áóëî
äîâåñòè.
Íàñë³äîê 2 (îñíîâíà ëåìà ³íòåãðàëüíîãî ÷èñëåííÿ).
Äëÿ òîãî ùîá äâ³ äèôåðåíö³éîâí³ íà ³íòåðâàë³ (a, b) ôóíêö³¿
f(x) i ϕ(x) â³äð³çíÿëèñÿ íà ñòàëó, íåîáõ³äíî ³ äîñòàòíüî,
ùîá ¿õí³ ïîõ³äí³ ñï³âïàäàëè, òîáòî
f′(x) =ϕ′(x) ∀x ∈(a, b). (7.13.6)
Í å î á õ³ ä í ³ ñ ò ü. Íåõàé
f(x) –ϕ(x) =C ∀x ∈(a, b). (7.13.7)
Î÷åâèäíî, ùî ïðè öüîìó âèêîíóºòüñÿ óìîâà (7.13.6).
Äîñòàòí³ñòü. Íåõàé òåïåð ìຠì³ñöå (7.13.6). Ïîçíà÷èìî
ð³çíèöþ f(x) –ϕ(x) ÷åðåç ψ(x): ψ(x) =f(x) –ϕ(x). Òîä³
ôóíêö³ÿ ψ(x) ìຠïîõ³äíó ³ ψ′(x) =f′(x) –ϕ′(x) =0.
Çâ³äñè çã³äíî ç íàñë³äêîì 1 âèïëèâàº, ùî ψ(x) =C, àáî
f(x) –ϕ(x) =C ∀x ∈(a, b), ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.
238 239