Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Ïðè çîáðàæåíí³ ñèíóñî¿äè öå òðåáà âðàõîâóâàòè, íàâ³òü<br />
òîä³, êîëè âèêëàäà÷ ïðîïîíóº ñòóäåíòó ñõåìàòè÷íî çîáðàçèòè<br />
ôóíêö³þ y =sinx ó ãðàô³÷í³é ôîðì³.<br />
7.12.1.2. Çðîñòàííÿ (ñïàäàííÿ) äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿<br />
íà ³íòåðâàë³<br />
Ö³ ïîíÿòòÿ áóëî ââåäåío ó ï. 6.14. ßêùî ôóíêö³ÿ y = f(x)<br />
äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³ (a, b), òî çã³äíî ç íàñë³äêîì 3<br />
òåîðåìè Ëàãðàíæà (äèâ. ï. 7.13.2), çíàõîäæåííÿ ³íòåðâàë³â<br />
çðîñòàííÿ (ñïàäàííÿ) ôóíêö³¿ íå º ïðèíöèïîâîþ ïðîáëåìîþ.<br />
Äëÿ äîñÿãíåííÿ ö³º¿ ìåòè òðåáà ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ<br />
f′(x) >0(f′(x) < 0), x ∈ (a, b). Çàóâàæèìî, ùî ôóíêö³ÿ y = f(x)<br />
ìîæå áóòè äèôåðåíö³éîâíîþ íà áóäü-ÿê³é ÷èñëîâ³é ìíîæèí³,<br />
çîêðåìà íà ìíîæèí³ óñ³õ ä³éñíèõ ÷èñåë. Ó öüîìó âèïàäêó<br />
àëãîðèòì âèð³øåííÿ çàäà÷³ òîé ñàìèé: òðåáà ðîçâ’ÿçàòè<br />
ð³âíÿííÿ f′(x) >0(f′(x) < 0), àëå âæå ïðè x ∈ (−∞, ∞). Ñàìå<br />
öåé âèïàäîê ìè íà êîíêðåòíîìó ïðèêëàä³ ³ ðîçãëÿíåìî.<br />
Ïðèêëàä 7.12.2. Çíàéòè ³íòåðâàëè çðîñòàííÿ (ñïàäàííÿ)<br />
ôóíêö³¿<br />
1 3 5 2<br />
y = x − x + 6x + 7, x∈( −∞, ∞).<br />
3 2<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çíàéäåìî ïîõ³äíó äàíî¿ ôóíêö³¿<br />
′ = − 5 + 6. (7.12.1)<br />
2<br />
y x x<br />
2<br />
2<br />
Ðîçâ’ÿçóþ÷è íåð³âíîñò³ x − 5x+ 6> 0 i x − 5x+ 6< 0 áóäüÿêèì<br />
ñïîñîáîì, îòðèìàºìî, ùî ïðè x∈( −∞,2) ∪(3, ∞ ) y′ > 0, à<br />
ïðè x∈ (2,3) y′ < 0 . Öå îçíà÷ຠçã³äíî ç íàñë³äêîì 3 òåîðåìè<br />
Ëàãðàíæà, ùî ïðè x ∈( −∞,2) ∪(3, ∞)<br />
äàíà ôóíêö³ÿ çðîñòàº,<br />
à ïðè x ∈ (2,3) — ñïàäàº. Îòæå, ³íòåðâàëè çðîñòàííÿ (ñïàäàííÿ)<br />
äàíî¿ ôóíêö³¿ çíàéäåíî.<br />
7.12.1.3. Äîñë³äæåííÿ ³ ïîáóäîâà ãðàô³êó ôóíêö³¿<br />
Ïîâíå äîñë³äæåííÿ ³ ïîáóäîâà ãðàô³êó ôóíêö³¿ áóäå íàâåäåíî<br />
ó ï. 7.19. Îäíàê íå çàâæäè òðåáà ïðîâîäèòè ïîâíå<br />
äîñë³äæåííÿ. ²íêîëè äîñòàòíüî çàñòîñóâàòè ò³ëüêè ïîõ³äíó<br />
(ïåðøîãî ³ äðóãîãî ïîðÿäê³â). Ùîá ó öüîìó âïåâíèòèñÿ, ìè<br />
ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä.<br />
Ïðèêëàä 7.12.3. Äîñë³äèòè ôóíêö³þ<br />
1 5<br />
= − + 6 + 7, ∈ [0,4] .<br />
3 2<br />
3 2<br />
y x x x x<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ñïî÷àòêó âñòàíîâëþºìî, ùî äàíà ôóíêö³ÿ<br />
— òà ñàìà, ùî ³ ó ïîïåðåäíüîìó ïðèêëàä³, ò³ëüêè çàäàíà<br />
âîíà íà ñåãìåíò³ [0, 4]. Äàë³ äîñë³äæåííÿ ïðîâîäèìî çà<br />
òàêîþ ñõåìîþ:<br />
1. Çíàéäåìî ïîõ³äíó äàíî¿ ôóíêö³¿. Î÷åâèäíî, ùî âîíà<br />
çíàõîäèòüñÿ çà ôîðìóëîþ (7.12.1).<br />
2. Çíàéäåìî êðèòè÷í³ òî÷êè ç ð³âíÿííÿ y′ = 0 àáî<br />
x 2 –5x + 6 = 0. Êðèòè÷í³ òî÷êè òàê³: x 1 = 2, x 2 = 3. ßñíî, ùî<br />
âîíè ïîïàäàþòü â ³íòåðâàë (0,4). Îòæå, â öèõ òî÷êàõ òðåáà<br />
äîñë³äèòè äàíó ôóíêö³þ íà åêñòðåìóì.<br />
3. Ïðèéìàþ÷è äî óâàãè ïðèêëàä 7.12.2 ³ òå, ùî äàíà<br />
ôóíêö³ÿ çàäàíà íà ñåãìåíò³ [0,4], âñòàíîâëþºìî, ùî ôóíêö³ÿ<br />
1 3 5 2<br />
y= x − x + 6x+ 7, ( x∈[0,4])<br />
çðîñòຠíà ìíîæèí³: [0,2) ∪ (3,4]<br />
3 2<br />
³ ñïàäຠíà ³íòåðâàë³ (2, 3). Òàêèì ÷èíîì, ïðè ïåðåõîä³<br />
÷åðåç êðèòè÷íó òî÷êó x 1 = 2 çë³âà íàïðàâî ïîõ³äíà äàíî¿<br />
ôóíêö³¿ çì³íþº çíàê ç “+” íà “–”, ïðè ïåðåõîä³ ÷åðåç êðèòè÷íó<br />
òî÷êó x 2 = 3 çë³âà íàïðàâî ïîõ³äíà äàíî¿ ôóíêö³¿<br />
çì³íþº çíàê ç “–“ íà “+”. Îñòàíí³ îáñòàâèíè çã³äíî ç ïåðøîþ<br />
äîñòàòíüîþ óìîâîþ ³ñíóâàííÿ åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ äîçâîëÿþòü<br />
ñêàçàòè, ùî òî÷êà x 1 = 2 º òî÷êîþ ìàêñèìóìó äàíî¿<br />
ôóíêö³¿, à òî÷êà x 2 = 3 — òî÷êîþ ¿¿ ì³í³ìóìó. Ïðè<br />
öüîìó<br />
35 23<br />
ymax<br />
= y(2) = , ymin<br />
= y(3)<br />
= . (7.12.2)<br />
3 2<br />
Äîñë³äæåííÿ íà åêñòðåìóì ôóíêö³¿ ìîæíà çä³éñíèòè é<br />
³íøèì ñïîñîáîì, à ñàìå: çà äîïîìîãîþ äðóãî¿ äîñòàòíüî¿<br />
óìîâè ³ñíóâàííÿ åêñòðåìóìó ôóíêö³¿. Äëÿ ö³º¿ ìåòè çíàéäåìî<br />
äðóãó ïîõ³äíó äàíî¿ ôóíêö³¿ (y′′ =2x – 5) ³ çíàéäåìî ¿¿<br />
çíà÷åííÿ â êðèòè÷íèõ òî÷êàõ:<br />
y′′ (2) = 4 − 5 =− 1 < 0, y′′<br />
(3) = 6 − 5 = 1 > 0.<br />
230 231
Change language