You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Îñê³ëüêè f′(x) =tgα äîð³âíþº òàíãåíñó êóòà íàõèëó äîòè÷íî¿<br />
äî êðèâî¿ ó = f(x) â òî÷ö³ õ, òî dy = f′(x) dx º ïðèð³ñò<br />
îðäèíàòè äîòè÷íî¿. Ó òîé æå ÷àñ ∆ó º ïðèð³ñò îðäèíàòè<br />
êðèâî¿.<br />
7.10.2. ²íâàð³àíòí³ñòü ôîðìè ïåðøîãî äèôåðåíö³àëà<br />
Íåõàé äàíà äèôåðåíö³éîâíà ôóíêö³ÿ y = f(u), äå u = u(x),<br />
òîáòî y = f(u(x)).  ï. 7.8 áóëî äîâåäåíî, ùî ïîõ³äíà ñêëàäåíî¿<br />
ôóíêö³¿ äîð³âíþº<br />
dy dy du<br />
= ⋅ ⇒ dy = y′ u⋅ u′ {<br />
xdx = y′<br />
udu<br />
dx du dx<br />
.<br />
Îòæå, ôîðìóëà äëÿ îá÷èñëåííÿ äèôåðåíö³àëà (7.10.2) íå<br />
çàëåæèòü â³ä òîãî, áóäå õ íåçàëåæíîþ çì³ííîþ àáî ôóíêö³-<br />
ºþ â³ä íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿.<br />
7.10.3. Çàñòîñóâàííÿ äèôåðåíö³àëà äëÿ íàáëèæåíèõ<br />
îá÷èñëåíü çíà÷åíü ôóíêö³é<br />
Íåõàé äàíà äèôåðåíö³éîâíà ôóíêö³ÿ ó = f(õ). Ó â³äïîâ³äíîñò³<br />
äî ââåäåíîãî ïîíÿòòÿ äèôåðåíö³àëà ¿¿ ïðèð³ñò ïðè<br />
äîñòàòíüî ìàëèõ çíà÷åííÿõ ∆õ ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:<br />
∆ó = dy + α(x, ∆x) ∆x, àáî ∆ó ≈ dy, àáî<br />
f(x + ∆x) ≈ f(x) +f′(x) ∆x. (7.10.4)<br />
Öÿ ôîðìóëà âèçíà÷ຠñïîñ³á íàáëèæåíîãî îá÷èñëåííÿ<br />
ôóíêö³¿.<br />
Íàïðèêëàä, íåõàé fx ( ) = x. Òîä³ x+∆x ≈<br />
∆x<br />
x + .<br />
2 x<br />
ßêùî õ = 1, òî<br />
∆x<br />
1+∆x<br />
≈ 1+ .<br />
2<br />
Òàê,<br />
1,005 =<br />
0,005<br />
1+ 0,005 ≈ 1+ = 1,0025 .<br />
2<br />
Î÷åâèäíî, ùî òî÷í³ñòü òàêèõ íàáëèæåíèõ îá÷èñëåíü çàëåæèòü<br />
â³ä õàðàêòåðó ïîâåä³íêè ôóíêö³¿ â îêîë³ òî÷êè õ ³<br />
âåëè÷èíè ïðèðîñòó àðãóìåíòó ∆õ.<br />
du<br />
7.10.4. Äèôåðåíö³àëè âèùèõ ïîðÿäê³â<br />
Âîíè âèçíà÷àþòüñÿ àíàëîã³÷íî ïîõ³äíèì âèùîãî ïîðÿäêó:<br />
d 2 y = d(dy) =d(y′dx) =(y′′dx) dx = y′′dx 2 . Âçàãàë³, d n y = y (n) dx n º<br />
äèôåðåíö³àë n-ãî ïîðÿäêó, äå x íåçàëåæíà çì³ííà.<br />
7.11. ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß ÏÎÕ²ÄÍί<br />
 ÅÊÎÍÎֲ̲<br />
7.11.1. Äåÿê³ òåðì³íè â åêîíîì³ö³, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³<br />
ç ïîíÿòòÿì ïîõ³äíî¿<br />
Ó ï. 6.1.2 áóëî âñòàíîâëåíî, ùî ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³ º<br />
ïîõ³äíà îáñÿãó âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ çà ÷àñîì. Ðîçãëÿíåìî<br />
ùå îäíå ïîíÿòòÿ, ÿêå ³ëþñòðóº åêîíîì³÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿.<br />
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç ó âèòðàòè âèïóñêàºìî¿ ïðîäóêö³¿. Íåõàé<br />
∆õ º ïðèð³ñò ïðîäóêö³¿, òîä³ ∆ó º ïðèð³ñò âèòðàò âèðîáíèöòâà.<br />
ßñíî, ùî º ñåðåäí³é ïðèð³ñò âèòðàò âèðîáíèö-<br />
∆y<br />
∆ x<br />
òâà íà îäèíèöþ ïðîäóêö³¿, à ïîõ³äíà y′(õ) º øâèäê³ñòü çì³íè<br />
âèòðàò çà óìîâè, ùî ê³ëüê³ñòü âèïóñêàºìî¿ ïðîäóêö³¿ äîð³âíþº<br />
õ. Î÷åâèäíî, ùî ââåäåíà òàêèì ÷èíîì ïîõ³äíà çàëåæèòü<br />
â³ä ê³ëüêîñò³ âèïóñêàºìî¿ ïðîäóêö³¿.  åêîíîì³ö³ âåëè÷èíà<br />
y′(õ) âèðàæຠãðàíè÷í³ âèòðàòè âèðîáíèöòâà.<br />
Êîðèñòóþ÷èñü åêîíîì³÷íèìè òåðì³íàìè, ìîæíà òàêîæ<br />
ââåñòè òàê³ ïîíÿòòÿ, ÿê ãðàíè÷íà âèðó÷êà, ãðàíè÷íà ïðîäóêòèâí³ñòü,<br />
ãðàíè÷íèé äîõîä òà ³íø³ ãðàíè÷í³ âåëè÷èíè.<br />
Î÷åâèäíî, ùî ãðàíè÷í³ âåëè÷èíè õàðàêòåðèçóþòü ïðîöåñ<br />
çì³íè ñòàíó åêîíîì³÷íîãî îá’ºêòà.<br />
Íàâåäåí³ ì³ðêóâàííÿ ïîÿñíþþòü çì³ñò ïîõ³äíî¿ â åêîíîì³ö³.<br />
Âîíà ÿâëÿº ñîáîþ øâèäê³ñòü çì³íè äåÿêîãî åêîíîì³÷íîãî<br />
ïðîöåñó çà ÷àñîì (íàïðèêëàä, ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³)<br />
àáî çà ³íøèì äîñë³äæóâàíèì ôàêòîðîì (íàïðèêëàä,<br />
ãðàíè÷í³ âèòðàòè âèðîáíèöòâà).<br />
Íà çàê³í÷åííÿ ðîçãëÿíåìî åêîíîì³÷íèé çì³ñò ïîõ³äíèõ<br />
â³ä äåÿêèõ ôóíêö³é, ââåäåíèõ ó ï. 6.1.6. Ôóíêö³ÿ ïîïèòó<br />
D = D(p) õàðàêòåðèçóº çàëåæí³ñòü ïîïèòó â³ä ö³íè ð äåÿêîãî<br />
òîâàðó. Îñê³ëüêè ïðè ï³äâèùåíí³ ö³í ïîïèò íà òîâàð çìåíøóºòüñÿ,<br />
òî ïîõ³äíà D′(p) º âåëè÷èíîþ â³ä’ºìíîþ. Âîíà ïîêàçóº,<br />
ó ñê³ëüêè ðàç³â çìåíøóºòüñÿ ïîïèò ó çâ’ÿçêó ç ðîñòîì<br />
ö³íè òîâàðó íà îäíó îäèíèöþ.<br />
226 227
Change language