ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

7.9.8. Çíàõîäèìî y′:
Òîä³
⎛ π ⎞
y′ = cos x = sin ⎜x+
⎟
⎝ 2 ⎠ .
⎛ π ⎞
y′′ =− sin x = sin( x+π ) = sin ⎜x+ 2 ⋅ 2
⎟
⎝ ⎠ ,
⎛ π ⎞
y′′′ =− cos x = sin ⎜x+ 3 ⋅ 2
⎟
⎝ ⎠ ,
( 4)
⎛ π ⎞
y = sin x = sin ( x+ 2π ) = sin ⎜x+ 4 ⋅ 2
⎟
⎝ ⎠ .
Î÷åâèäíî, ùî äàë³ çíàõîäèòè ïîõ³äí³ íå ìຠïîòðåáè,
îñê³ëüêè ¿õ âèðàçè áóäóòü öèêë³÷íî ïîâòîðþâàòèñÿ. Öå
ïðèâîäèòü äî òîãî, ùî ìîæíà çàïèñàòè çàãàëüíó ôîðìóëó:
( k)
( sin ) ( k ) ⎛ π ⎞
y = x = sin ⎜x+ k⋅ , k∈
2
⎟ N .
⎝ ⎠
Òåïåð çíàéäåìî y (k) (0):
( )
1 n
k k ⎛ π ⎞ ⎪⎧ −
(0) sin (0) sin
, k = 2 n+
y = x = ⎜k⋅ 1;
2
⎟ = ⎨
⎝ ⎠ ⎪⎩ 0, k = 2 n.
( ) ( ) ( )
7.9.9. Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ, ùî ìຠì³ñöå ôîðìóëà
( k)
( cos ) ( k ) ⎛ π ⎞
y = x = cos ⎜x+ k⋅ , k∈
2
⎟ N .
⎝ ⎠
Ç îñòàííüî¿ ôîðìóëè âèïëèâຠòàêà:
( )
1 n
k k ⎛ π ⎞ ⎪⎧ −
(0) cos (0) cos
, k = 2 n
y = x = ⎜k⋅ ;
2
⎟ = ⎨
⎝ ⎠ ⎪⎩ 0, k = 2n+
1.
( ) ( ) ( )
(7.9.9)
(7.9.10)
7.10. ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀË ÔÓÍÊÖ²¯
7.10.1. Îçíà÷åííÿ
Íåõàé ôóíêö³ÿ ó = f(õ) äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³
(a, b). Òîä³, çã³äíî ç îçíà÷åííÿì ïîõ³äíî¿, ¿¿ ïðèð³ñò ìîæíà
çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:
∆ó = f′(õ) ∆õ + α(õ, ∆õ) ∆õ, (7.10.1)
äå α(õ, ∆õ) ïðÿìóº äî íóëÿ ïðè ∆õ → 0.
ßêùî ïðè äåÿêîìó ô³êñîâàíîìó çíà÷åííþ x: f′(õ) ≠ 0, òî
ïðè ∆õ → 0 äîáóòîê f′(õ)∆õ º íåñê³í÷åííî ìàëîþ ôóíêö³ºþ
îäíàêîâîãî ïîðÿäêó ìàëèçíè â³äíîñíî ∆õ (äèâ. ï. 6.2.2).
Äîáóòîê æå α(õ, ∆õ) ∆õ º íåñê³í÷åííî ìàëîþ ôóíêö³ºþ
á³ëüø âèñîêîãî ïîðÿäêó ìàëèçíè â³äíîñíî ∆õ, òîìó ùî
α( x, ∆x)
∆ x
lim
= lim α ( x, ∆ x) = 0.
∆x
∆x→0 ∆x→0
Òàêèì ÷èíîì, ÿêùî f′(õ) ≠ 0, òî f′(õ)∆õ ÿâëÿº ñîáîþ ãîëîâíó
÷àñòèíó ïðèðîñòó ôóíêö³¿ f(õ) ïðè ô³êñîâàíîìó õ. Öÿ
÷àñòèíà ïðèðîñòó íàçèâàºòüñÿ äèôåðåíö³àëîì ôóíêö³¿ f(õ) ³
ïîçíà÷àºòüñÿ dó, àáî d f(x), dó = f′(x) ∆x.
Çàóâàæåííÿ. Ïîçíà÷åííÿ dó = f′(x) ∆x áóäåìî çáåð³ãàòè
³ ó âèïàäêó êîëè f′(õ) = 0.
ßêùî ó = õ, òî ó′ =(õ)′ = 1. Îòæå, dó = dx = ∆õ, òîáòî äèôåðåíö³àë
dõ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ õ çá³ãàºòüñÿ ç ¿¿ ïðèðîñòîì.
Òîä³
dy = f′
( x)
dx . (7.10.2)
Çâ³äêè
dy
y′ = f′
( x)
= . (7.10.3)
dx
Òàêèì ÷èíîì, ïîõ³äíó f′(x) ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê â³äíîøåííÿ
äèôåðåíö³àëà ôóíêö³¿ äî äèôåðåíö³àëà íåçàëåæíî¿
çì³ííî¿. Äèôåðåíö³àë dy = f′(x) dx íàçèâàþòü ùå äèôåðåíö³àëîì
ïåðøîãî ïîðÿäêó. ²ç ôîðìóëè (7.10.2) âèïëèâàº, ùî
äëÿ îá÷èñëåííÿ äèôåðåíö³àëà ôóíêö³¿ íåîáõ³äíî çíàéòè ¿¿
ïîõ³äíó ³ ïîìíîæèòè íà äèôåðåíö³àë íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿.
224 225