ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

7.13. r(ϕ) =ϕ sin ϕ + cos ϕ; îá÷èñëèòè r′(π);
7.14. z =(y 2 –2y) tgy; îá÷èñëèòè z′(0);
2x
7.32.
−
z = 3e x x ; 7.33. g=arctg
2
1 − x
;
7.15.
2 2
r 2x
u()
r = 2 2
2x
− r
; îá÷èñëèòè
⎛du
⎞
⎜ ⎟
dr
;
⎝ ⎠ =
r
x
7.34. y = arcsin x; 7.35. ω= ln(sin(cos7 t))
.
7.9. ÏÎÕ²ÄͲ ÂÈÙÈÕ ÏÎÐßÄʲÂ
7.16. y = ( 2+ 3x) 5
; 7.17. y sin( 2x
1)
= − ;
7.18. y = ctg x ; 7.19. 3
z = x + x ;
7.20.
v =
1
( 1+
sin4y
) 3
; 7.21. y = x
3 3 x ;
sin x
7.22. y = lncos3x; 7.23. y =
2 ;
2cos x
7.24. y = sin 2 x + sin x 2 ; îá÷èñëèòè y′(0);
x a
7.25. y = cos cos
a
+ x
; à — ñòàëà; îá÷èñëèòè y′(a);
3
e
7.26. y = ln ; îá÷èñëèòè y′(0);
1
x3x
+ e
x 1 x
7.27. fx ( ) = 3 + + 6
5x
; îá÷èñëèòè f′(1);
2
1+
x
2
7.28. y = cos x− 2ln cos x; 7.29. v = ln 1 − x
;
aϕ
= − ; 7.31. x( ϕ ) = e sint ϕ;
7.30. z x( 1 lnx)
7.9.1. Îçíà÷åííÿ
ßêùî ó′ º ïîõ³äíà â³ä ôóíêö³¿ ó = f(õ) (çà óìîâè, ùî âîíà
³ñíóº), òî ïîõ³äíà â³ä ó′ íàçèâàºòüñÿ äðóãîþ ïîõ³äíîþ, àáî
ïîõ³äíîþ äðóãîãî ïîðÿäêó, â³ä ôóíêö³¿ ó ³ ïîçíà÷àºòüñÿ ó′′,
2
dy
àáî f′′(õ), àáî 2
dx .
Àíàëîã³÷íî îçíà÷àþòüñÿ ³ ïîçíà÷àþòüñÿ ïîõ³äí³ áóäüÿêîãî
ïîðÿäêó:
dy
ïîõ³äíà òðåòüîãî ïîðÿäêó (ó′′)′ = ó′′′(õ) = 3 3
dx ;
ïîõ³äíà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó (ó′′′)′ = ó (4) = f (4) (õ) =
4
d y
4
dx ;
dy
ïîõ³äíà n-ãî ïîðÿäêó (y (n-1) )′ = y (n) = f (n) (x) =
n n
dx .
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó äëÿ çíàõîäæåííÿ ïîõ³äíî¿ áóäüÿêîãî
âèùîãî ïîðÿäêó â³ä äàíî¿ ôóíêö³¿ äîâîäèòüñÿ ïîñë³äîâíî
çíàõîäèòè óñ³ ¿¿ ïîõ³äí³ íèæ÷èõ ïîðÿäê³â.
7.9.2. Ïðèêëàäè
Äëÿ äàíèõ ôóíêö³é çíàéòè ïîõ³äí³ âêàçàíîãî ïîðÿäêó (â
äåÿêèõ âèïàäêàõ, êð³ì öüîãî, äîäàòêîâî òðåáà çíàéòè çíà-
÷åííÿ â³äïîâ³äíî¿ ïîõ³äíî¿ ó çàäàí³é òî÷ö³):
7.9.1. ó = õ 5 +7õ 3 + 9, ó (6) =?
7.9.2. ó =lnõ, ó (5) = ? 7.9.3. y = x ln x, ó (6) =?
7.9.4. s = arctg 2x, s′′(–1) = ? 7.9.5. y = x m , m∈N; y (k) =?
220 221