ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

1⎛
1 1 ⎞ 2
= ⎜ + ⎟=
,
2
2⎝2+ x 2−x⎠
4 − x
x x x
( x) x ( x)
2 cos3
′ = 2 ln 2 ⋅ cos3 + 2 − sin 3 ⋅ 3 ,
1 ⋅tg
x−arcsin
x⋅
1
2
2
⎛arcsin x ⎞
′
1−
x
cos x
⎜ ⎟ =
,
2
⎝ tg x ⎠
tg x
⎛ x ⎞
′ 1 ⎛ x ⎞
′ 2
⎜arctg ⎟ = ⋅ ,
2 ⎜ ⎟ =
2 2
⎝ x+ 2⎠ ⎛ x ⎞ ⎝ x+
2⎠ ( x+ 2)
+ x
1+ ⎜ ⎟
⎝ x + 2 ⎠
2x
2x
2
( arccos
′ ⋅e
e ) =−
4x
.
1−e
×èòà÷åâ³ ðåêîìåíäóºìî çàïèñàòè ïîõ³äíó ôóíêö³¿ ó ÷åðåç
îòðèìàí³ ôîðìóëè ³ çà ôîðìóëîþ (7.6.4).
7.7.8. Ñïî÷àòêó ïðîëîãàðèôìóºìî îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíîñò³
y = x çà îñíîâîþ ÷èñëà å. Ó ðåçóëüòàò³ îäåðæèìî:
2x
ln y =2x ln x. Ïîò³ì çíàéäåìî ïîõ³äí³ â³ä îáîõ ÷àñòèí
îñòàííüî¿ ð³âíîñò³.
Ïðè öüîìó, çàñòîñîâóþ÷è ëîãàðèôì³÷íó ïîõ³äíó, ìàòèìåìî
= 2(lnx
+ 1)
y′ y
.
Çâ³äêè îòðèìàºìî, ùî
2x
( ) àáî ( )
y′ = 2y lnx+ 1 y′
= 2x lnx+ 1 .
³äçíà÷èìî, ùî ïîõ³äíó äàíî¿ ôóíêö³¿ ìîæíà çíàéòè áåçïîñåðåäíüî,
êîðèñòóþ÷èñü ïðè öüîìó ôîðìóëîþ 8 ³ç òàáëèö³.
− ′ − 5( acos t + bsin t)
′ =− − − =
.
2
7.7.9. y 5( asin t bcos t) ( asin t bcos
t)
( asin
t − bcost)
2
7.7.10.
( sin )′
⎛cos
α⋅tg
α⎞ ′ α cos α
y′ = ⎜ ⎟ = = , c −ñòàëà .
⎝ 1+2tgc ⎠ 1+ 2tgc 1+
2tgc
Ñë³ä ìàòè íà óâàç³, ùî íå çàâæäè äîö³ëüíî äèôåðåíö³þâàòè
çàäàíó ôóíêö³þ â³äðàçó. Ìîæíà ïîïåðåäíüî ï³ääàòè ¿¿
òîòîæí³ì ïåðåòâîðåííÿì, ÿêùî öå âåäå äî ñïðîùåííÿ äèôåðåíö³þâàííÿ.
Òðåáà òàêîæ óÿâëÿòè, ùî ÿê àðãóìåíòè, òàê ³
ôóíêö³¿ ìîæóòü áóòè ïîçíà÷åí³ ð³çíîìàí³òíèìè áóêâàìè,
ïðè öüîìó ïåðø çà âñå òðåáà ÷³òêî âèçíà÷èòè, ÿê³ áóêâè
â³äïîâ³äàþòü çì³ííèì âåëè÷èíàì, à ÿê³ ñòàëèì.
ÂÏÐÀÂÈ
Çíàéòè ïîõ³äí³ òàêèõ ôóíêö³é (ó äåÿêèõ âèïàäêàõ òðåáà
òàêîæ îá÷èñëèòè çíà÷åííÿ ïîõ³äíèõ ó òî÷ö³):
7.1.
x
3
3
2
= + 3 − ; 7.2. 2
y x x
7.3. y ( x a) 2
7.5.
7.7.
7.9.
y = x− x ;
1 1
= − , a = const; 7.4. s = 2
t
+ t
;
z x x
3
3
= 3 − 2 + 4 ; 7.6.
v =
2
x −
x
2
2t
u = ; t + 3
3
+ 3
; 7.8. y = x 2 sin x;
1+ cosϕ
z = ; 7.10. ctg
sin ϕ y=− 3cos t t;
x
7.11. fx ( ) = ;
1 + x
m t
7.12. Ft () = t
+ m
, m — ïàðàìåòð; îá÷èñëèòè
⎛dF
⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ =
t
m
;
218 219