ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

Òàáëèöÿ ïîõ³äíèõ ñêëàäåíèõ ôóíêö³é
y y′ y y′
1 c = const 0 9 sin u(x) u′(x) cos u(x)
m
2 u ( x),
m∈
R
3 ux ( )
u( x
4 a ) ( a > 0, a ≠1)
5
u( x)
e
6
log
a
ux ( )
( a > 0, a ≠1)
7 lnu(x)
8
( )
⎡⎣ux
( ) ⎤⎦
v x
m− mu
1 ( x) u′ ( x)
10 cos ux ( ) −u′
( x)sin u( x)
u′
( x)
2 ux ( )
u′
( x)
11 tg u(x) 2
cos ux ( )
u′
( x)
u( x
a
) ln a⋅u′
( x)
12 ctg u(x) −
2
sin ux ( )
e
u( x)
u′
( x)
u′ ( x)
13 arcsin u(x) 2
1 − u ( x)
u′
( x)
ux ( )lna
u′
( x)
ux ( )
v
v 1
uv u vu − u
u′
( x)
14 arccos u(x)
−
2
1 − u ( x)
u′
( x)
15 arctg u(x) 2
1 + u ( x)
u′
( x)
′ ln + ′ 16 arcctg u(x) −
2
1 + u ( x)
Çàóâàæåííÿ 1. Ïîõ³äíà, ÿêà çàïèñàíà ó ñüîìîìó ðÿäêó
òàáëèö³, íàçèâàºòüñÿ ëîãàðèôì³÷íîþ ïîõ³äíîþ. Ëîãàðèôì³÷íó
ïîõ³äíó ( ln u)
′ ′ = íàçèâàþòü òàêîæ â³äíîñíîþ øâèä-
u
u
ê³ñòþ çì³íè ôóíêö³¿, àáî òåìïîì çì³íè ôóíêö³¿. Ñë³ä ñêàçàòè,
ùî îñòàíí³é òåðì³í äóæå ÷àñòî âèêîðèñòîâóºòüñÿ ó
òåîðåòè÷íèõ ïèòàííÿõ ç åêîíîì³êè.
Çàóâàæåííÿ 2. Íàâåäåíîþ òàáëèöåþ ìîæíà êîðèñòóâàòèñÿ
³ äëÿ âèçíà÷åííÿ ïîõ³äíèõ â³ä îñíîâíèõ åëåìåíòàðíèõ
ôóíêö³é, ÿê³ çàëåæàòü ò³ëüêè â³ä õ. Äëÿ öüîãî ó íàâåäåí³é
òàáëèö³ òðåáà ïîêëàñòè u(x) =x (u′ = 1).
Ïðèêëàäè 7.7.6 — 7.7.10. Êîðèñòóþ÷èñü ôîðìóëàìè äèôåðåíö³þâàííÿ,
çíàéòè ïîõ³äí³ òàêèõ ôóíêö³é:
7.7.6.
2 1 3 2
y = x + + x +
2 ;
x 5
1 2+
x x arcsinx x
7.7.7. y = sin2x+ ln −2 ⋅ cos3 x+ + arctg + arccose
2 2− x tgx x+
2
2x
7.7.8. y = x ; 7.7.9.
7.7.10.
cos αtg
α
y( α ) =
1+
2tg
c
.
5
yt () =
;
asin
t − bcos
t
Ðîçâ’ÿçàííÿ.
7.7.6. Çàïèøåìî ôóíêö³þ ó âèãëÿä³:
1
2 −2 2
3
y= x + x + x + .
5
Çàñòîñîâóþ÷è ôîðìóëó äèôåðåíö³þâàííÿ ñòåïåíåâî¿ ôóíêö³¿
³ ïðàâèëî äèôåðåíö³þâàííÿ àëãåáðà¿÷íî¿ ñóìè, áóäåìî
ìàòè:
2
−3 1
3
y′ = 2x − 2x + x −
.
3
7.7.7. Ñïî÷àòêó çíàéäåìî ïîõ³äí³ êîæíîãî ³ç àëãåáðè÷íèõ
äîäàíê³â, ÿê³ âõîäÿòü ó ñòðóêòóðó äàíî¿ ôóíêö³¿:
⎛1 ⎞
′ 1
⎜ sin 2x⎟
= ⋅ 2cos 2x = cos 2x
,
⎝2 ⎠ 2
⎛
′
2+ x ⎞ 1⎛ 2+
x⎞ 1
ln ln
⎛
( ln ( 2 ) ln ( 2
′ ⎞
= = + − − ))
=
⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 ⎟
x x
⎝ −x
⎠ 2⎝
2−x⎠
2⎝ ⎠
2x
;
216 217