You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Çà ïåð³îä ÷àñó â³ä t 0 äî t 0 + ∆t ê³ëüê³ñòü âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿<br />
çì³íèòüñÿ ùîäî çíà÷åííÿ Q 0 = Q(t 0 ) äî Q 0 + ∆ Q. Òîä³<br />
ñåðåäíÿ ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³ çà öåé ïåð³îä ÷àñó âèçíà÷à-<br />
DQ<br />
ºòüñÿ çà ôîðìóëîþ qcp.<br />
= . Î÷åâèäíî, ùî ïðîäóêòèâí³ñòü<br />
D t<br />
ïðàö³ â ìîìåíò ÷àñó t 0 , ìîæíà çíàéòè ÿê ãðàíè÷íå çíà÷åííÿ<br />
ñåðåäíüî¿ ïðîäóêòèâíîñò³ ïðàö³ çà ïåð³îä ÷àñó â³ä t 0 äî<br />
t 0 + ∆t, êîëè ∆t → 0, òîáòî<br />
∆Q<br />
q = lim Qcp<br />
.<br />
= lim<br />
∆→ t 0 ∆→ t 0 ∆ t<br />
. (7.1.4)<br />
Ìè ðîçãëÿíóëè òðè ð³çí³ ïî õàðàêòåðó çàäà÷³ ³ ïðè öüîìó<br />
ç’ÿñóâàëè, ùî äëÿ ¿õ ðîçâ’ÿçàííÿ (äèâ. 7.1.2 − 7.1.4)<br />
òðåáà îá÷èñëèòè ãðàíèöþ ñïåö³àëüíîãî òèïó, à ñàìå ãðàíèöþ<br />
â³äíîøåííÿ ïðèðîñòó ôóíêö³¿ äî ïðèðîñòó íåçàëåæíî¿<br />
çì³ííî¿, êîëè îñòàíí³é ïðÿìóº äî íóëÿ. Ìàòåìàòèêè öå ïîì³òèëè<br />
³ ââåëè àáñòðàêòíå ïîíÿòòÿ ïîõ³äíî¿ ÿêå º îñíîâíèì<br />
ïîíÿòòÿì äèôåðåíö³àëüíîãî ÷èñëåííÿ.<br />
7.2. ÏÎÕ²ÄÍÀ<br />
7.2.1. Àáñòðàêòíå îçíà÷åííÿ ïîõ³äíî¿<br />
Àáñòðàêòíå ïîíÿòòÿ ïîõ³äíî¿ (áåç ðîçãëÿäó êîíêðåòíî¿<br />
çàäà÷³) ââåäåìî òàêèì ÷èíîì:<br />
1 0 . Íàäàìî àðãóìåíòó õ 0 äîâ³ëüíèé ïðèð³ñò ∆õ ≠ 0 ³, ï³äñòàâëÿþ÷è<br />
äî äàíîãî âèðàçó ôóíêö³¿ çàì³ñòü õ 0 çíà÷åííÿ<br />
õ 0 + ∆õ, çíàõîäèìî íàðîùåíå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
ó + ∆ó = f(õ 0 + ∆õ).<br />
2 0 . Çíàõîäèìî ïðèð³ñò ôóíêö³¿<br />
∆ó = f(õ 0 + ∆õ) – f(õ 0 ).<br />
3 0 . Ñêëàäàºìî â³äíîøåííÿ<br />
D y fx ( +D -<br />
=<br />
0<br />
x) fx (<br />
0)<br />
.<br />
Dx<br />
Dx<br />
4 0 . Øóêàºìî ãðàíèöþ öüîãî â³äíîøåííÿ ïðè ∆õ → 0.<br />
 ðåçóëüòàò³ ìè ïðèõîäèìî äî îçíà÷åííÿ ïîõ³äíî¿.<br />
Îçíà÷åííÿ 7.2.1. Ïîõ³äíîþ ôóíêö³¿ ó = f(õ) â òî÷ö³ õ 0<br />
íàçèâàºòüñÿ ãðàíèöÿ â³äíîøåííÿ ¿¿ ïðèðîñòó ∆ó äî â³äïîâ³äíîãî<br />
ïðèðîñòó ∆õ àðãóìåíòó, êîëè îñòàíí³é ïðÿìóº äî<br />
íóëÿ (çà óìîâè, ùî âîíà ³ñíóº):<br />
∆ y fx (<br />
0<br />
+∆x) −fx<br />
(<br />
0)<br />
lim = lim<br />
. (7.2.1)<br />
∆x<br />
∆x<br />
∆x→0 ∆x→0<br />
Ïîõ³äíà â òî÷ö³ õ 0 ïîçíà÷àºòüñÿ ó′(õ 0 ), f′(õ 0 ) àáî dy<br />
dx ïðè<br />
x = õ 0 . Ïîõ³äíà â òî÷ö³ õ 0 º ÷èñëî. ßêùî æ òî÷êà õ äîâ³ëüíà<br />
³ äëÿ êîæíîãî õ ³ç äåÿêî¿ ìíîæèíè Õ ³ñíóº ïîõ³äíà, òî âîíà<br />
âèçíà÷ຠäåÿêó ôóíêö³þ, ÿêà çàäàíà íà ö³é ìíîæèí³ Õ. Ïðè<br />
öüîìó çíàõîäæåííÿ ïîõ³äíî¿ íàçèâàºòüñÿ äèôåðåíö³þâàííÿì.<br />
Òåïåð ïîâåðíåìîñÿ äî ðîçãëÿäóâàíèõ âèùå çàäà÷.<br />
7.2.2. Ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿<br />
²ç çàäà÷³ ïðî äîòè÷íó âèïëèâຠãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿:<br />
ïîõ³äíà f′(õ 0 ) º êóòîâèé êîåô³ö³ºíò (òàíãåíñ êóòà<br />
íàõèëó) äîòè÷íî¿, ÿêà ïðîâåäåíà äî êðèâî¿ ó = f(õ) â òî÷ö³<br />
M 0 (õ 0 , f(x 0 )), òîáòî<br />
k = f′(õ 0 ). (7.2.2)<br />
Îòæå, ð³âíÿííÿ äîòè÷íî¿, ÿêà ïðîâåäåíà äî êðèâî¿ ó = f(õ)<br />
â òî÷ö³ M 0 (õ 0 , f(x 0 )) íàáóâຠâèãëÿäó:<br />
y − f(õ 0 )=f′(õ 0 )(x − õ 0 ). (7.2.3)<br />
7.2.3. Ìåõàí³÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿<br />
²ç çàäà÷³ ïðî øâèäê³ñòü ðóõó âèïëèâຠìåõàí³÷íèé çì³ñò<br />
ïîõ³äíî¿: ïîõ³äíà øëÿõó çà ÷àñîì S′(t 0 ) º øâèäê³ñòü ìàòåð³àëüíî¿<br />
òî÷êè â ìîìåíò ÷àñó t 0 : v(t 0 )=S′(t 0 ).<br />
7.2.4. Åêîíîì³÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿<br />
²ç çàäà÷³ ïðî ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³ âèïëèâàº, ùî ïîõ³äíà<br />
îáñÿãó âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ çà ÷àñîì Q′(t 0 ) º ïðîäóêòèâí³ñòü<br />
ïðàö³ q â ìîìåíò ÷àñó t 0 : q(t 0 )=Q′(t 0 ).<br />
200 201
Change language