ЛЕКЦІЇ ² ВПРАВИ

(÷èñëî åëåìåíò³â ñê³í÷åííî¿ ìíîæèíè). ª äâà ñïîñîáè äëÿ
ïîð³âíÿííÿ ïîòóæíîñò³ ñê³í÷åííèõ ìíîæèí: áåçïîñåðåäíüî
ïåðåðàõóâàòè åëåìåíòè ìíîæèíè àáî çàñòîñóâàòè ìåòîä â³äïîâ³äíîñò³
(ìåòîä “ãîñòèííî¿ ãîñïîäèí³”). Ìåòîä â³äïîâ³äíîñò³
ïîëÿãຠâ òîìó, ùî “ãîñòèííà ãîñïîäèíÿ”, íå ðàõóþ÷è
ãîñòåé, çàïðîøóº ¿õ äî ñòîëó ³ ïåðåä êîæíèì ç íèõ ñòàâèòü
íàá³ð. Ïîíÿòòÿ â³äïîâ³äíîñò³ íàëåæèòü äî ïåðâèííèõ. Êàæóòü,
ùî ì³æ äâîìà ìíîæèíàìè À òà  âñòàíîâëåíà â³äïîâ³äí³ñòü,
ÿêùî êîæíîìó åëåìåíòó îäí³º¿ ìíîæèíè â³äïîâ³äàº
ïåâíèé åëåìåíò äðóãî¿ ìíîæèíè. Ïðè öüîìó ìîæëèâèé òàêèé
âèïàäîê: êîæíîìó åëåìåíòó ³ç À â³äïîâ³äຠëèøå îäèí
åëåìåíò ³ç Â, òà, íàâïàêè, êîæíîìó åëåìåíòó ³ç  â³äïîâ³äàº
ëèøå îäèí åëåìåíò ³ç À, òîä³ ö³ ìíîæèíè áóäóòü åêâ³âàëåíòíèìè
(ïîçíà÷àþòü À∼Â).
Çàóâàæèìî, ùî íåñê³í÷åíí³ ìíîæèíè ìîæíà ïîð³âíþâàòè
çà ïîòóæí³ñòþ, ëèøå âèêîðèñòîâóþ÷è ìåòîä â³äïîâ³äíîñò³. Äëÿ
öüîãî íåñê³í÷åííó ìíîæèíó ïîð³âíþþòü ç ìíîæèíîþ íàòóðàëüíèõ
÷èñåë. Ïðè öüîìó ç’ÿñîâóºòüñÿ, ùî âñ³ íåñê³í÷åíí³
ìíîæèíè ïîä³ëÿþòüñÿ íà 2 êëàñè: êëàñ åêâ³âàëåíòíèõ ìíîæèí³
âñ³õ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë (òàê³ ìíîæèíè íàçèâàþòüñÿ ç÷èñëåííèìè)
³ êëàñ íå åêâ³âàëåíòíèõ ìíîæèí³ âñ³õ íàòóðàëüíèõ
÷èñåë (òàê³ ìíîæèíè íàçèâàþòüñÿ íåç÷èñëåííèìè).
Ââåäåìî ïîíÿòòÿ ï³äìíîæèíè. Ìíîæèíó  íàçèâàþòü
ï³äìíîæèíîþ ìíîæèíè À, ÿêùî âñ³ åëåìåíòè  íàëåæàòü
ìíîæèí³ À (ïîçíà÷àþòü  ⊂ À). Áóäü-ÿêà ìíîæèíà À ìàº
ñâî¿ ï³äìíîæèíè: ïîðîæíþ ìíîæèíó ³ ñàìó ìíîæèíó À.
ßêùî äëÿ äâîõ ìíîæèí À ³  îäíî÷àñíî ñïðàâåäëèâ³ òâåðäæåííÿ
À⊂ Â ³ Â⊂ À, òî ìíîæèíè À ³ Â ñêëàäàþòüñÿ ç îäíèõ
³ òèõ ñàìèõ åëåìåíò³â ³ íàçèâàþòüñÿ ð³âíèìè, àáî çá³æíèìè
(ïîçíà÷àþòü À=Â).
Ââåäåìî òàê³ îïåðàö³¿ íàä ìíîæèíàìè.
1. Îá’ºäíàííÿì (ñóìîþ) äâîõ ìíîæèí À ³  íàçèâàºòüñÿ
ìíîæèíà Ñ, êîæíèé åëåìåíò ÿêî¿ íàëåæèòü àáî ìíîæèí³ À
àáî ìíîæèí³ Â (ïîçíà÷àþòü Ñ=À∪Â).
2. Ïåðåð³çîì (äîáóòêîì) äâîõ ìíîæèí À ³  íàçèâàºòüñÿ
ìíîæèíà Ñ, êîæíèé åëåìåíò ÿêî¿ íàëåæèòü ìíîæèí³ À ³
ìíîæèí³ Â (ïîçíà÷àþòü Ñ=À∩Â).
3. гçíèöåþ äâîõ ìíîæèí À ³  íàçèâàºòüñÿ ìíîæèíà Ñ,
êîæíèé åëåìåíò ÿêî¿ íàëåæèòü ìíîæèí³ À ³ íå íàëåæèòü
ìíîæèí³ Â (ïîçíà÷àþòü Ñ=À\Â).
Óâîäÿ÷è îïåðàö³¿ íàä ìíîæèíàìè, ìè íå âðàõîâóâàëè, ùî
ñàì³ ìíîæèíè ìîæóòü ìàòè âíóòð³øíþ ñòðóêòóðó, òîáòî
ââàæàëè, ùî âñ³ åëåìåíòè ìíîæèíè ð³âíîïðàâí³. Ïðîòå â
ìàòåìàòèö³ òàê³ “÷èñò³” ìíîæèíè çóñòð³÷àþòüñÿ äóæå ð³äêî.
Çíà÷íî ÷àñò³øå âèâ÷àþòü ìíîæèíè, ì³æ åëåìåíòàìè
ÿêèõ ³ñíóþòü ò³ ÷è ³íø³ â³äíîøåííÿ. Îäíèì ç íàéâàæëèâ³øèõ
â³äíîøåíü º â³äíîøåííÿ ïîðÿäêó. ³äíîøåííÿ ïîðÿäêó
º íå ùî ³íøå, ÿê ïðàâèëî, ùî âñòàíîâëþº ïîðÿäîê “ñë³äóâàííÿ“
åëåìåíò³â ìíîæèíè.
Íåõàé À – äåÿêà ìíîæèíà. Ìíîæèíà À íàçèâàºòüñÿ óïîðÿäêîâàíîþ
ìíîæèíîþ, ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêèõ äâîõ ¿¿ åëåìåíò³â
à, b âñòàíîâëåíî îäíå ç òàêèõ â³äíîøåíü ïîðÿäêó: àáî
à≤b (à íå ïåðåâèùóº b), àáî b≤à (b íå ïåðåâèùóº à).
Óïîðÿäêîâàí³ ìíîæèíè ìàþòü òàê³ âëàñòèâîñò³:
1) ðåôëåêñèâí³ñòü: áóäü-ÿêèé åëåìåíò íå ïåðåâèùóº ñàìîãî
ñåáå;
2) àíòèñèìåòðè÷í³ñòü: ÿêùî à íå ïåðåâèùóº b, à b íå
ïåðåâèùóº a, òî åëåìåíòè à ³ b çá³ãàþòüñÿ;
3) òðàíçèòèâí³ñòü: ÿêùî à íå ïåðåâèùóº b, à b íå ïåðåâèùóº
ñ, òî à íå ïåðåâèùóº ñ.
Ó ñôîðìóëüîâàíîìó âèùå îçíà÷åíí³ óïîðÿäêîâàíî¿ ìíîæèíè,
åëåìåíòàìè ÿêî¿ ìîæóòü áóòè îá’ºêòè áóäü-ÿêî¿ ïðèðîäè,
çíàê ≤ ÷èòàºòüñÿ “íå ïåðåâèùóº”. Öåé çíàê (“ìåíøå
àáî äîð³âíþº”) íàáóâຠçâè÷àéíîãî çì³ñòó òîä³, êîëè åëåìåíòè
ìíîæèíè À – ä³éñí³ ÷èñëà.
Óïîðÿäêîâàí³ (ñê³í÷åíí³ àáî ç÷èñëåíí³) ìíîæèíè ÷àñòî
çàïèñóþòü, ðîçì³ùóþ÷è ¿õí³ åëåìåíòè ó çàäàíîìó ïîðÿäêó â
êðóãëèõ äóæêàõ. Íàïðèêëàä, çàïèñè (1;2;3) ³ (2;1;3) º ð³çíèìè
ñê³í÷åííèìè âïîðÿäêîâàíèìè ìíîæèíàìè.
1.1.2. Ëîã³÷í³ ñèìâîëè
Ó ìàòåìàòè÷íèõ òâåðäæåííÿõ ÷àñòî ïîâòîðþþòüñÿ îêðåì³
ñëîâà ³ ö³ë³ âèðàçè. Òîìó ïðè ¿õ çàïèñó êîðèñíî âæèâàòè
åêîíîìíó ëîã³÷íó ñèìâîë³êó.
Òóò ìè âêàæåìî ëèøå äåê³ëüêà ñàìèõ ïðîñòèõ ÷àñòî
âæèâàíèõ ëîã³÷íèõ âèðàç³â. Çàì³ñòü ñë³â “³ñíóº” àáî “çíàé-
18 19