You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
̲ͲÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÑ<strong>²</strong>ÒÈ ² ÍÀÓÊÈ ÓÊÐÀ¯ÍÈ<br />
Îäåñüêèé íàö³îíàëüíèé óí³âåðñèòåò ³ì. ². ². Ìå÷íèêîâà<br />
Íàâ÷àëüíî-íàóêîâ³ êîìïëåêñè "øêîëà – êîëåäæ – óí³âåðñèòåò"<br />
²íñòèòóò ï³ñëÿäèïëîìíî¿ îñâ³òè<br />
²íñòèòóò ìàòåìàòèêè, åêîíîì³êè òà ìåõàí³êè<br />
Ï. Â. Êåðåêåøà<br />
ËÅÊÖ²¯ ² ÂÏÐÀÂÈ<br />
ç âèùî¿ ìàòåìàòèêè<br />
Äëÿ ñòóäåíò³â<br />
åêîíîì³÷íèõ ñïåö³àëüíîñòåé<br />
Ðåêîìåíäîâàíî ̳í³ñòåðñòâîì îñâ³òè ³ íàóêè Óêðà¿-<br />
íè ÿê íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê äëÿ ñòóäåíò³â åêîíîì³÷íèõ<br />
ñïåö³àëüíîñòåé âèùèõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â.<br />
Ëèñò ¹ 14/18.2-421 â³ä 27.02.2002 ð.<br />
Îäåñà<br />
«Àñòðîïðèíò»<br />
2003
ÁÁÊ 22.1ÿ73<br />
Ê36<br />
ÓÄÊ 51(075.8)<br />
Íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê íàïèñàíèé â³äïîâ³äíî äî òèïîâî¿<br />
ïðîãðàìè ̳í³ñòåðñòâà îñâ³òè ³ íàóêè Óêðà¿íè ç êóðñó âèùî¿<br />
ìàòåìàòèêè äëÿ åêîíîì³ñò³â. ³í ì³ñòèòü îñíîâí³ òåìè ç ìàòåìàòè÷íîãî<br />
àíàë³çó, âèùî¿ àëãåáðè, àíàë³òè÷íî¿ ãåîìåò𳿠³<br />
äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü. Êð³ì öüîãî, ïîñ³áíèê ìຠäâà äîäàòêè,<br />
â ÿêèõ íàâåäåí³ â³äîìîñò³ ïðî êîìïëåêñí³ ÷èñëà ³ äîâ³äêîâèé<br />
ìàòåð³àë ç åëåìåíòàðíî¿ òà âèùî¿ ìàòåìàòèêè.<br />
Íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê àäðåñîâàíî ñòóäåíòàì óñ³õ åêîíîì³÷íèõ<br />
ñïåö³àëüíîñòåé âèùèõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â òà êîëåäæ³â<br />
åêîíîì³÷íîãî ïðîô³ëþ, ÿê³ âèâ÷àþòü âèùó ìàòåìàòèêó.<br />
Çàïðîïîíîâàíèé ïîñ³áíèê ìîæå áóòè êîðèñíèì åêîíîì³ñòàì-àíàë³òèêàì,<br />
ô³íàíñèñòàì ³ á³çíåñìåíàì, ÿê³ ó ñâî¿é ðîáîò³<br />
çàñòîñîâóþòü ìàòåìàòè÷í³ ìåòîäè.<br />
Ðåöåíçåíòè: Þ. É. ×åðñüêèé, äîêòîð ô³çèêî-ìàòåìàòè÷íèõ<br />
íàóê, ïðîôåñîð êàôåäðè âèùî¿ ìàòåìàòèêè<br />
Îäåñüêî¿ äåðæàâíî¿ àêàäå쳿 áóä³âíèöòâà<br />
³ àðõ³òåêòóðè;<br />
1602010000–054<br />
Ê<br />
549—2003<br />
ISBN 966-549-871-1<br />
Â. Î. Àíäð³ºíêî, äîêòîð ô³çèêî-ìàòåìàòè÷íèõ<br />
íàóê, ïðîôåñîð êàôåäðè ìàòåìàòè÷íîãî<br />
àíàë³çó ϳâäåííîóêðà¿íñüêîãî äåðæàâíîãî<br />
ïåäàãîã³÷íîãî óí³âåðñèòåòó ³ì. Ê. Ä. Óøèíñüêîãî.<br />
Ðåêîìåíäîâàíî äî äðóêó â÷åíîþ ðàäîþ ²íñòèòóòó ï³ñëÿäèïëîìíî¿<br />
îñâ³òè ³ â÷åíîþ ðàäîþ Îäåñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó<br />
³ì. ². ². Ìå÷íèêîâà.<br />
Áåç îãîëîø.<br />
© Ï. Â. Êåðåêåøà, 2003<br />
Çì³ñò<br />
Ïåðåäìîâà ................................................................... 16<br />
ÒÅÌÀ 1. IJÉÑͲ ×ÈÑËÀ<br />
1.1. Ìíîæèíè òà ñèìâîëè..................................... 17<br />
1.1.1. Ìíîæèíè òà îñíîâí³ ïîçíà÷åííÿ .................... 17<br />
1.1.2. Ëîã³÷í³ ñèìâîëè ............................................ 19<br />
1.2. Ìíîæèíà ä³éñíèõ ÷èñåë ................................. 20<br />
1.2.1. Íàòóðàëüí³ ÷èñëà òà 䳿 íàä íèìè ................ 20<br />
1.2.2. Ö³ë³ ÷èñëà..................................................... 21<br />
1.2.3. Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà .......................................... 22<br />
1.2.4. ²ððàö³îíàëüí³ ÷èñëà ....................................... 23<br />
1.2.5. ijéñí³ ÷èñëà.................................................. 25<br />
1.2.6. ×èñëîâà â³ñü.................................................. 26<br />
1.2.7. Ìîäóëü ä³éñíîãî ÷èñëà .................................. 28<br />
1.2.8. ×èñëîâ³ ìíîæèíè, ÿê³ íàé÷àñò³øå çóñòð³-<br />
÷àþòüñÿ â ìàòåìàòè÷íîìó àíàë³ç³. Ïîçíà-<br />
÷åííÿ ............................................................ 30<br />
Âïðàâè .................................................................... 31<br />
ÒÅÌÀ 2. ÎÑÍÎÂÈ ÀËÃÅÁÐÈ ÂÅÊÒÎв ² ÌÀÒÐÈÖÜ<br />
2.1. Âåêòîðè ......................................................... 32<br />
2.1.1. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ ............................................ 32<br />
2.1.2. Îïåðàö³¿ íàä âåêòîðàìè ................................. 33<br />
2.1.3. ˳í³éíèé âåêòîðíèé ïðîñò³ð .......................... 34<br />
2.1.4. ˳í³éíà íåçàëåæí³ñòü âåêòîð³â ....................... 34<br />
2.1.5. Áàçèñ ë³í³éíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòîðó .............. 36<br />
2.1.6. Ñêàëÿðíèé äîáóòîê äâîõ âåêòîð³â .................. 37<br />
2.1.7. Ïðîñò³ð òîâàð³â, âåêòîð ö³í òà âàðò³ñòü<br />
íàáîðó òîâàð³â ............................................... 38<br />
Âïðàâè .................................................................... 40<br />
2.2. Ìàòðèö³ ³ ¿õ âèäè ......................................... 42<br />
2.2.1. Ïðîáëåìí³ çàäà÷³ ........................................... 42<br />
2.2.2. Îçíà÷åííÿ ..................................................... 43<br />
2.2.3. ij¿ íàä ìàòðèöÿìè ........................................ 46<br />
2.3. Âèçíà÷íèê, ì³íîðè ³ àëãåáðà¿÷í³ äîïîâíåííÿ<br />
............................................................ 51<br />
2.3.1. Îçíà÷åííÿ ..................................................... 51<br />
2.3.2. Âëàñòèâîñò³ âèçíà÷íèê³â ................................ 54<br />
3
2.4. Ðàíã ìàòðèö³ ................................................. 58<br />
2.4.1. Îçíà÷åííÿ ..................................................... 58<br />
2.5. Îáåðíåíà ìàòðèöÿ .......................................... 62<br />
2.5.1. Îçíà÷åííÿ. Òåîðåìà ïðî îáåðíåíó ìàòðèöþ.................................................................<br />
62<br />
2.5.2. Àëãîðèòì îá÷èñëåííÿ îáåðíåíî¿ ìàòðèö³ ....... 63<br />
2.5.3. Âëàñòèâîñò³ íåâèðîäæåíèõ ìàòðèöü ................ 64<br />
Âïðàâè .................................................................... 65<br />
ÒÅÌÀ 3. ÑÈÑÒÅÌÈ Ë²Í²ÉÍÈÕ ÀËÃÅÁÐÀ¯×ÍÈÕ Ð²ÂÍßÍÜ<br />
3.1. Ïî÷àòêîâ³ çíàííÿ ïðî ñèñòåìè àëãåáðà¿÷íèõ<br />
ð³âíÿíü ................................................... 68<br />
3.1.1. Çîáðàæåííÿ ÑËÀÐ ......................................... 68<br />
3.1.2. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ ³ îçíà÷åííÿ ......................... 69<br />
3.2. Ñèñòåìà n ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü<br />
ç n íåâ³äîìèìè ............................................. 71<br />
3.2.1. Ñèñòåìà äâîõ ð³âíÿíü ç äâîìà íåâ³äîìèìè<br />
................................................................. 71<br />
3.3. Ìåòîäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ ñèñòåìè n àëãåáðà-<br />
¿÷íèõ ð³âíÿíü ç n íåâ³äîìèìè ....................... 72<br />
3.3.1. Ìàòðè÷íèé ìåòîä........................................... 72<br />
3.3.2. Ìåòîä âèçíà÷íèê³â (ïðàâèëî Êðàìåðà) ........... 73<br />
3.4. Ñèñòåìa m ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü<br />
ç n íåâ³äîìèìè ............................................. 75<br />
3.5. Ìåòîä Ãàóññà ................................................ 76<br />
3.5.1. Ïðîáëåìè ...................................................... 76<br />
3.5.2. Àëãîðèòì ìåòîäó Ãàóññà................................ 77<br />
3.6. Ñèñòåìà ë³í³éíèõ îäíîð³äíèõ àëãåáðà¿÷íèõ<br />
ð³âíÿíü ................................................... 82<br />
3.6.1. Îçíà÷åííÿ ..................................................... 82<br />
3.6.2. Íåòðèâ³àëüí³ ðîçâ’ÿçêè îäíîð³äíî¿<br />
ñèñòåìè ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü .......... 82<br />
Âïðàâè .................................................................... 83<br />
ÒÅÌÀ 4. ˲Ͳ¯ ÍÀ ÏËÎÙÈͲ ² Ó ÏÐÎÑÒÎв<br />
4.1. Ïðÿìîêóòí³ êîîðäèíàòè íà ïëîùèí³<br />
³ ¿õ íàéïðîñò³ø³ çàñòîñóâàííÿ ........................ 87<br />
4.1.1. Îçíà÷åííÿ ..................................................... 87<br />
4.1.2. ³äñòàíü ì³æ äâîìà òî÷êàìè íà ïëîùèí³ ...... 89<br />
4.1.3. ijëåííÿ â³äð³çêà â äàíîìó â³äíîøåíí³ ........... 90<br />
4.1.4. Ïëîùà òðèêóòíèêà ........................................ 92<br />
Âïðàâè .................................................................... 95<br />
4.2. Ìåòîä êîîðäèíàò íà ïëîùèí³ ......................... 95<br />
4.2.1. ˳í³ÿ ÿê ìíîæèíà òî÷îê ............................... 96<br />
4.2.2. гâíÿííÿ ë³í³¿ íà ïëîùèí³ ............................ 97<br />
4.2.3. Ïîáóäîâà ë³í³¿ çà ¿¿ ð³âíÿííÿì ................... 101<br />
4.2.4. Äåÿê³ åëåìåíòàðí³ çàäà÷³ ............................. 102<br />
Âïðàâè .................................................................. 104<br />
4.3. гâíÿííÿ ë³í³¿ ïåðøîãî ïîðÿäêó ................. 105<br />
4.3.1. гâíÿííÿ ïðÿìî¿ ç êóòîâèì êîåô³ö³ºíòîì ... 105<br />
4.3.2. Êóò ì³æ äâîìà ïðÿìèìè ............................. 108<br />
4.3.3. гâíÿííÿ ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç<br />
äàíó òî÷êó â çàäàíîìó íàïðÿì³ ................... 111<br />
4.3.4. гâíÿííÿ ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç äâ³<br />
äàí³ òî÷êè ................................................... 113<br />
4.3.5. Âçàºìíå ðîçòàøóâàííÿ äâîõ ïðÿìèõ ............ 115<br />
4.3.6. ³äñòàíü â³ä òî÷êè äî ïðÿìî¿ ...................... 117<br />
Âïðàâè .................................................................. 119<br />
4.4. Ë³í³¿ äðóãîãî ïîðÿäêó ................................. 122<br />
4.4.1. Åë³ïñ ........................................................... 123<br />
4.4.2. óïåðáîëà..................................................... 125<br />
4.4.3. Ïàðàáîëà ..................................................... 126<br />
Âïðàâè .................................................................. 127<br />
4.5. Ïîíÿòòÿ ïðî ð³âíÿííÿ ïëîùèíè ³ ïðÿìî¿<br />
ó ïðîñòîð³ ................................................... 128<br />
4.5.1. Çàãàëüíå ð³âíÿííÿ ïëîùèíè ........................ 128<br />
4.5.2. Ïðÿìà ë³í³ÿ ó ïðîñòîð³ ............................... 130<br />
4.6. Áþäæåòíà ìíîæèíà .................................... 130<br />
4.6.1. Ïðîáëåìíèé ïðèêëàä ................................... 130<br />
4.6.2. Ïîíÿòòÿ ³ îçíà÷åííÿ ................................... 132<br />
Âïðàâè .................................................................. 133<br />
ÒÅÌÀ 5. ÃÐÀÍÈÖ² ×ÈÑËÎÂÈÕ ÏÎÑ˲ÄÎÂÍÎÑÒÅÉ<br />
5.1. ×èñëîâ³ ïîñë³äîâíîñò³ òà àðèôìåòè÷í³ ä³¿<br />
íàä íèìè..................................................... 134<br />
5.1.1. Îçíà÷åííÿ ³ ïðèêëàäè ................................. 134<br />
5.1.2. Àðèôìåòè÷í³ îïåðàö³¿ íàä ïîñë³äîâíîñòÿìè<br />
.......................................................... 135<br />
5.1.3. Îáìåæåí³ òà íåîáìåæåí³ ïîñë³äîâíîñò³ ......... 135<br />
4 5
5.1.4. Íåñê³í÷åííî âåëèê³ òà ìàë³ ïîñë³äîâíîñò³ .... 136<br />
5.1.5. Îñíîâí³ òåîðåìè ïðî íåñê³í÷åííî ìàë³<br />
ïîñë³äîâíîñò³ ............................................... 140<br />
5.2. Ãðàíèöÿ ÷èñëîâî¿ ïîñë³äîâíîñò³.................... 142<br />
5.2.1. Ïîíÿòòÿ çá³æíî¿ ïîñë³äîâíîñò³ ..................... 142<br />
5.2.2. Îñíîâí³ òåîðåìè ïðî ãðàíèö³ ....................... 143<br />
5.2.3. Ãðàíè÷íèé ïåðåõ³ä â íåð³âíîñòÿõ................. 145<br />
5.2.4. Ãðàíèö³ ìîíîòîííèõ ïîñë³äîâíîñòåé ............. 147<br />
5.2.5. ×èñëî å ....................................................... 149<br />
5.2.6. Ïîíÿòòÿ ïðî åêñïîíåíö³àëüíó ôóíêö³þ<br />
òà íàòóðàëüíèé ëîãàðèôì ............................ 151<br />
Âïðàâè .................................................................. 151<br />
ÒÅÌÀ 6. ÃÐÀÍÈÖß ÔÓÍÊÖ²¯<br />
6.1. Ôóíêö³ÿ îäí³º¿ çì³ííî¿ ................................ 154<br />
6.1.1. Îçíà÷åííÿ ................................................... 154<br />
6.1.2. Ñïîñîáè çàäàííÿ ôóíêö³¿ ............................. 155<br />
6.1.3. Åëåìåíòàðí³ ôóíêö³¿ òà ¿õ êëàñèô³êàö³ÿ ...... 161<br />
6.1.4. Äåÿê³ âàæëèâ³ êëàñè ôóíêö³é ..................... 162<br />
6.1.5. Ïîáóäîâà ãðàô³ê³â ôóíêö³é ìåòîäîì<br />
ïåðåòâîðåíü.................................................. 163<br />
Âïðàâè .................................................................. 164<br />
6.1.6. Äåÿê³ ôóíêö³îíàëüí³ çàëåæíîñò³,<br />
ÿê³ âèêîðèñòîâóþòüñÿ â åêîíîì³ö³ ............... 165<br />
Âïðàâè .................................................................. 168<br />
6.2. Ïîíÿòòÿ ïðî ãðàíèöþ ôóíêö³¿ ..................... 169<br />
6.2.1. Ïðîáëåìí³ ïðèêëàäè ³ îçíà÷åííÿ ................. 169<br />
6.2.2. Ïîð³âíÿííÿ íåñê³í÷åííî ìàëèõ âåëè÷èí....... 177<br />
6.2.3. Äâ³ âàæëèâ³ ãðàíèö³ .................................... 178<br />
6.3. Íåïåðåðâí³ñòü ôóíêö³¿.................................. 182<br />
6.3.1. Íåïåðåðâí³ñòü ôóíêö³¿ â òî÷ö³..................... 182<br />
6.3.2. Àðèôìåòè÷í³ îïåðàö³¿ íàä íåïåðåðâíèìè<br />
ôóíêö³ÿìè ................................................... 184<br />
6.3.3. Òî÷êè ðîçðèâó ôóíêö³¿ òà ¿õ êëàñèô³êàö³ÿ<br />
.............................................................. 184<br />
6.3.4. Ïîíÿòòÿ ïðî îäíîñòîðîííþ íåïåðåðâí³ñòü..... 186<br />
6.3.5. Ëîêàëüí³ âëàñòèâîñò³ íåïåðåðâíèõ ôóíêö³é .. 187<br />
6.3.6. Ãëîáàëüí³ âëàñòèâîñò³ íåïåðåðâíèõ ôóíêö³é,<br />
ÿê³ çàäàí³ íà ñåãìåíò³........................... 188<br />
6.3.7. Íåïåðåðâí³ ³ ðîçðèâí³ ôóíêö³¿ â ïðèðîä³<br />
òà åêîíîì³ö³ ................................................ 189<br />
6.3.8. Äåÿê³ âàæëèâ³ ãðàíèö³ ................................ 190<br />
Âïðàâè .................................................................. 193<br />
ÒÅÌÀ 7. ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÅ ×ÈÑËÅÍÍß ÔÓÍÊÖ²¯ ÎÄͲª¯<br />
Ç̲ÍÍί<br />
7.1. Çàäà÷³, ÿê³ ïðèâîäÿòü äî ïîíÿòòÿ ïîõ³äíî¿ ... 197<br />
7.1.1. Çàäà÷à ïðî äîòè÷íó äî êðèâî¿ ..................... 197<br />
7.1.2. Çàäà÷à ïðî øâèäê³ñòü ðóõó ......................... 199<br />
7.1.3. Çàäà÷à ïðî ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³ ................. 199<br />
7.2. Ïîõ³äíà ....................................................... 200<br />
7.2.1. Àáñòðàêòíå îçíà÷åííÿ ïîõ³äíî¿ .................... 200<br />
7.2.2. Ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿........................ 201<br />
7.2.3. Ìåõàí³÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿ ........................... 201<br />
7.2.4. Åêîíîì³÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿ ......................... 201<br />
7.3. Çàëåæí³ñòü ì³æ íåïåðåâí³ñòþ ³ äèôåðåíö³éîâí³ñòþ<br />
ôóíêö³¿ ...................................... 202<br />
7.4. Ïîõ³äí³ åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é .................... 205<br />
7.4.1. Ïîõ³äíà ñòàëî¿ ôóíêö³¿<br />
y = f(x) = C = const, x = (a, b) ........................ 205<br />
7.4.2. Ïîõ³äíà ëîãàðèôì³÷íî¿ ôóíêö³¿<br />
y = log a x, a > 0, a ≠ 1, x∈ (0, ∞)........................ 205<br />
7.4.3. Ïîõ³äíà ïîêàçíèêîâî¿ ôóíêö³¿ y = a x ,<br />
x ∈ R, a > 0, a ≠ 1 .......................................... 206<br />
7.4.4. Ïîõ³äíà ñòåïåíåâî¿ ôóíêö³¿ y = x α ................ 207<br />
7.4.5. Ïîõ³äíà ôóíêö³¿ y = sin x, x∈R ..................... 208<br />
7.4.6. Ïîõ³äíà ôóíêö³¿ y = cos x, x∈R .................... 208<br />
7.5. Ïîõ³äíà îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿ ........................... 209<br />
7.5.1. Ïîõ³äí³ îáåðíåíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ<br />
ôóíêö³é ....................................................... 210<br />
7.6. Îñíîâí³ ïðàâèëà äèôåðåíö³þâàííÿ ôóíêö³é<br />
.............................................................. 211<br />
7.7. Ïðèêëàäè çàñòîñóâàííÿ îñíîâíèõ ïðàâèë<br />
äèôåðåíöþâàííÿ ôóíêö³é ............................. 213<br />
7.8. Ïîõ³äíà ñêëàäåíî¿ ôóíêö³¿ ........................... 214<br />
7.8.1. Òåîðåìà (ïðî ïîõ³äíó ñêëàäåíî¿ ôóíêö³¿) ..... 214<br />
7.8.2. Òàáëèöÿ ïîõ³äíèõ ñêëàäåíèõ ôóíêö³é .......... 215<br />
Âïðàâè .................................................................. 219<br />
6 7
7.9. Ïîõ³äí³ âèùèõ ïîðÿäê³â ............................ 221<br />
7.9.1. Îçíà÷åííÿ .................................................. 221<br />
7.9.2. Ïðèêëàäè .................................................. 221<br />
7.10. Äèôåðåíö³àë ôóíêö³¿ .................................. 225<br />
7.10.1. Îçíà÷åííÿ .................................................. 225<br />
7.10.2. ²íâàð³àíòí³ñòü ôîðìè ïåðøîãî<br />
äèôåðåíö³àëà .............................................. 226<br />
7.10.3. Çàñòîñóâàííÿ äèôåðåíö³àëà äëÿ íàáëèæåíèõ<br />
îá÷èñëåíü çíà÷åíü ôóíêö³é............. 226<br />
7.10.4. Äèôåðåíö³àëè âèùèõ ïîðÿäê³â ................... 227<br />
7.11. Çàñòîñóâàííÿ ïîõ³äíî¿ â åêîíîì³ö³ .............. 227<br />
7.11.1. Äåÿê³ òåðì³íè â åêîíîì³ö³, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³<br />
ç ïîíÿòòÿì ïîõ³äíî¿ ............................. 227<br />
7.11.2. Ïîíÿòòÿ åëàñòè÷íîñò³ ôóíêö³¿ .................... 228<br />
7.12. Êëàñè÷í³ çàñòîñóâàííÿ ïîõ³äíî¿ â ìàòåìàòèö³<br />
òà åêîíîì³ö³ ................................... 229<br />
7.12.1. Çàñòîñóâàííÿ ïîõ³äíî¿ â ìàòåìàòèö³ ........... 229<br />
7.12.2. Çàñòîñóâàííÿ ïîõ³äíî¿ â åêîíîì³ö³ ............. 232<br />
7.13. Åêñòðåìóì ôóíêö³¿ ³ îñíîâí³ òåîðåìè<br />
äèôåðåíö³àëüíîãî ÷èñëåííÿ ........................ 236<br />
7.13.1. Îçíà÷åííÿ åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ ................... 236<br />
7.13.2. Îñíîâí³ òåîðåìè äèôåðåíö³àëüíîãî<br />
÷èñëåííÿ .................................................... 237<br />
7.14. Ðîçêðèòòÿ íåâèçíà÷åíîñòåé ......................... 241<br />
7.14.1. Ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ ...................................... 241<br />
7.14.2. Çàñòîñóâàííÿ ïðàâèëà Ëîï³òàëÿ<br />
äëÿ ðîçêðèòòÿ íåâèçíà÷åíîñòåé<br />
0/0 òà ∞/∞ ................................................ 241<br />
7.14.3. Ðîçêðèòòÿ íåâèçíà÷åíîñòåé 0 ⋅∞<br />
òà ∞ –∞ ..................................................... 243<br />
7.14.4. Ðîçêðèòòÿ íåâèçíà÷åíîñòåé 1 ∞ , ∞ 0 òà 0 0 ...... 244<br />
Âïðàâè .................................................................. 246<br />
7.15. Ôîðìóëà Òåéëîðà ....................................... 246<br />
7.15.1. Ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ìíîãî÷ëåíà .............. 246<br />
7.15.2. Ôîðìóëà á³íîìà Íüþòîíà ........................... 248<br />
7.15.3. Ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ôóíêö³¿ ................... 249<br />
7.16. Íåîáõ³äí³ òà äîñòàòí³ óìîâè ³ñíóâàííÿ<br />
åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ .................................... 252<br />
7.16.1. Íåîáõ³äíà óìîâà ³ñíóâàííÿ åêñòðåìóìó<br />
ôóíêö³¿ ...................................................... 252<br />
7.16.2. Äîñòàòí³ óìîâè åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ ........... 253<br />
7.17. Çàñòîñóâàííÿ äèôåðåíö³àëüíîãî ÷èñëåííÿ<br />
äëÿ äîñë³äæåííÿ ôóíêö³¿.......................... 255<br />
7.17.1. Âèçíà÷åííÿ ïðîì³æê³â ìîíîòîííîñò³<br />
ôóíêö³¿ ...................................................... 255<br />
7.17.2. Çíàõîäæåííÿ íàéá³ëüøîãî ³ íàéìåíøîãî<br />
çíà÷åííÿ íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿ .................... 255<br />
7.17.3. Îïóêëîñò³ êðèâî¿ ³ òî÷êè ïåðåãèíó ............ 255<br />
7.18. Àcèìïòîòè ................................................. 256<br />
7.18.1. Îçíà÷åííÿ .................................................. 256<br />
7.18.2. Âåðòèêàëüí³ àñèìïòîòè............................... 256<br />
7.18.3. Íåâåðòèêàëüí³ àñèìïòîòè ........................... 256<br />
7.19. Çàãàëüíà ñõåìà äîñë³äæåííÿ ôóíêö³¿<br />
³ ïîáóäîâà ¿¿ ãðàô³êà ................................. 257<br />
ÒÅÌÀ 8. ÍÅÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÉ ²ÍÒÅÃÐÀË ² ÉÎÃÎ ×ÈÑËÅÍÍß<br />
8.1. Ïåðâ³ñíà ³ íåâèçíà÷åíèé ³íòåãðàë ............... 259<br />
8.1.1. Ïðîáëåìí³ çàäà÷³ ....................................... 259<br />
8.2. Âëàñòèâîñò³ íåâèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â<br />
òà ¿õíÿ îñíîâíà òàáëèöÿ ............................ 264<br />
8.2.1. Âëàñòèâîñò³ ³ ¿õ äîâåäåííÿ ......................... 264<br />
8.2.2. Îñíîâíà òàáëèöÿ íåâèçíà÷åíèõ<br />
³íòåãðàë³â .................................................. 266<br />
8.3. Îñíîâí³ ìåòîäè ³íòåãðóâàííÿ ...................... 267<br />
8.3.1. Ìåòîä áåçïîñåðåäíüîãî ³íòåãðóâàííÿ ........... 267<br />
Âïðàâè .................................................................. 267<br />
8.3.2. Ìåòîä ï³äñòàíîâêè ..................................... 268<br />
Âïðàâè .................................................................. 271<br />
8.3.3. Ìåòîä ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè ................... 272<br />
Âïðàâè .................................................................. 274<br />
8.4. ²íòåãðóâàííÿ ðàö³îíàëüíèõ ôóíêö³é ........... 275<br />
8.4.1. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ ïðî ðàö³îíàëüí³<br />
ôóíêö³¿ ...................................................... 275<br />
8.4.2. ²íòåãðóâàííÿ ìíîãî÷ëåí³â ........................... 275<br />
8.4.3. ²íòåãðóâàííÿ äðîáîâî-ðàö³îíàëüíèõ<br />
ôóíêö³é ..................................................... 275<br />
Âïðàâè .................................................................. 279<br />
8 9
8.5. ²íòåãðóâàííÿ äåÿêèõ ³ððàö³îíàëüíèõ<br />
ôóíêö³é ....................................................... 280<br />
8.5.1. ²íòåãðàëè âèäó Rxx ( , α β<br />
∫ , x, K ) dx ..................... 280<br />
8.5.2. ²íòåãðàëè ç ðàäèêàëàìè ............................... 280<br />
Âïðàâè .................................................................. 281<br />
8.6. ²íòåãðóâàííÿ âèðàç³â ç òðèãîíîìåòðè÷íèìè<br />
ôóíêö³ÿìè ............................................. 282<br />
Âïðàâè .................................................................. 284<br />
ÒÅÌÀ 9. ÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÉ ²ÍÒÅÃÐÀË<br />
9.1. Çàäà÷³, ÿê³ ïðèâîäÿòü äî ïîíÿòòÿ âèçíà-<br />
÷åíîãî ³íòåãðàëà .......................................... 286<br />
9.1.1. Çàäà÷à ïðî ïëîùó êðèâîë³í³éíî¿<br />
òðàïåö³¿ ....................................................... 286<br />
9.1.2. Çàäà÷à ïðî ðîáîòó çì³ííî¿ ñèëè .................. 289<br />
9.1.3. Çàäà÷à ïðî îáñÿã ïðîäóêö³¿ .......................... 291<br />
9.2. Îçíà÷åííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà ................. 291<br />
9.2.1. Îçíà÷åííÿ òà óìîâè ³ñíóâàííÿ âèçíà-<br />
÷åíîãî ³íòåãðàëà .......................................... 292<br />
9.2.2. Ãåîìåòðè÷íèé, ìåõàí³÷íèé ³ åêîíîì³÷íèé<br />
çì³ñò âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà .................. 293<br />
9.3. Âëàñòèâîñò³ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà ................ 295<br />
9.4. Îñíîâíà ôîðìóëà ³íòåãðàëüíîãî ÷èñëåííÿ ..... 300<br />
9.4.1. ²íòåãðàë ³ç çì³ííîþ âåðõíüîþ ìåæåþ .......... 300<br />
9.4.2. Ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáí³öà .................... 301<br />
9.5. Îñíîâí³ ìåòîäè îá÷èñëåííÿ âèçíà÷åíèõ<br />
³íòåãðàë³â .................................................... 302<br />
9.5.1. Áåïîñåðåäí³é ìåòîä ...................................... 302<br />
9.5.2. Ìåòîä çàì³íè çì³ííî¿, àáî ï³äñòàíîâêè ......... 303<br />
9.5.3. Ìåòîä ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè ..................... 306<br />
Âïðàâè .................................................................. 307<br />
9.6. Íåâëàñí³ ³íòåãðàëè ....................................... 307<br />
9.6.1. Íåâëàñí³ ³íòåãðàëè ² ðîäó ........................... 307<br />
9.6.2. Íåâëàñí³ ³íòåãðàëè II ðîäó .......................... 312<br />
Âïðàâè .................................................................. 317<br />
9.7. Ãåîìåòðè÷í³ çàñòîñóâàííÿ âèçíà÷åíîãî<br />
³íòåãðàëà ..................................................... 317<br />
9.7.1. Îá÷èñëåííÿ ïëîù ô³ãóð ............................... 317<br />
Âïðàâè .................................................................. 323<br />
9.7.2. Îá÷èñëåííÿ äîâæèíè äóã êðèâèõ<br />
ë³í³é .......................................................... 323<br />
Âïðàâè .................................................................. 327<br />
9.8. Îá÷èñëåííÿ îá’ºì³â ò³ë .............................. 327<br />
9.8.1. Îá÷èñëåííÿ îá’ºì³â ò³ë çà â³äîìèìè<br />
ïëîùàìè ïåðåð³ç³â ..................................... 327<br />
9.8.2. Îá’ºì ò³ëà îáåðòàííÿ ................................ 329<br />
Âïðàâè .................................................................. 330<br />
9.9. Ïëîùà ïîâåðõí³ ò³ëà îáåðòàííÿ .................. 330<br />
9.9.1. Âèïàäîê îáåðòàííÿ êðèâî¿, ÿêà çàäàíà<br />
ð³âíÿííÿì y = f(x), x∈ [a, b] ........................ 330<br />
9.9.2. Âèïàäîê îáåðòàííÿ êðèâî¿, ÿêà çàäàíà<br />
ïàðàìåòðè÷íî ............................................. 331<br />
Âïðàâè .................................................................. 332<br />
9.10. Ô³çè÷í³ çàñòîñóâàííÿ âèçíà÷åíîãî<br />
³íòåãðàëà.................................................... 332<br />
9.10.1. Ðîáîòà çì³ííî¿ ñèëè .................................. 332<br />
9.10.2. Îá÷èñëåííÿ ïðîéäåíîãî øëÿõó ................... 334<br />
9.11. Çàñòîñóâàííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà<br />
â åêîíîì³ö³ ................................................ 335<br />
9.11.1. Çàñòîñóâàííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà<br />
â äèíàì³÷íèõ ïðîöåñàõ .............................. 335<br />
9.11.2. Çàñòîñóâàííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà<br />
â çàäà÷àõ ðåàë³çàö³¿ òîâàð³â ....................... 337<br />
9.11.3. Çàñòîñóâàííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà<br />
â çàäà÷àõ îá÷èñëåííÿ âèòðàò, äîõîä³â<br />
òà ïðèáóòê³â .............................................. 339<br />
9.12. Íàáëèæåíå îá÷èñëåííÿ âèçíà÷åíèõ<br />
³íòåãðàë³â .................................................. 340<br />
9.12.1. Ôîðìóëà ïðÿìîêóòíèê³â ............................. 340<br />
9.12.2. Ôîðìóëà òðàïåö³é ...................................... 341<br />
ÒÅÌÀ 10. ÔÓÍÊÖ²¯ ÁÀÃÀÒÜÎÕ Ç̲ÍÍÈÕ<br />
10.1. Îñíîâí³ îçíà÷åííÿ ³ ïîíÿòòÿ ...................... 343<br />
10.1.1. Ïðîáëåìí³ ïðèêëàäè .................................. 343<br />
10.1.2. Îçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ áàãàòüîõ çì³ííèõ.......... 344<br />
10.1.3. Ôóíêö³ÿ äâîõ çì³ííèõ ³ ¿¿ îáëàñòü<br />
âèçíà÷åííÿ................................................. 345<br />
Âïðàâè .................................................................. 351<br />
10 11
10.2. Ãðàíèöÿ ³ íåïåðåðâí³ñòü ôóíêö³¿<br />
äâîõ çì³ííèõ............................................. 352<br />
10.2.1. Ãðàíèöÿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ .................. 352<br />
10.3. ×àñòèíí³ ïîõ³äí³ ........................................ 356<br />
10.3.1. ×àñòèíí³ ïîõ³äí³ ïåðøîãî ïîðÿäêó............. 356<br />
Âïðàâè .................................................................. 360<br />
10.3.2. Ïîõ³äí³ âèùèõ ïîðÿäê³â ............................ 360<br />
10.3.3. Ãåîìåòðè÷íèé òà åêîíîì³÷íèé çì³ñò<br />
÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ ................................... 362<br />
10.4. Äèôåðåíö³éîâí³ñòü ôóíêö³¿ ......................... 366<br />
10.4.1. Äèôåðåíö³éîâí³ñòü â òî÷ö³ ......................... 366<br />
10.4.2. Äèôåðåíö³àë ôóíêö³¿ .................................. 367<br />
10.4.3. Ïîõ³äíà çà íàïðÿìîì ................................. 368<br />
10.5. Ãðà䳺íò ôóíêö³¿ ....................................... 372<br />
10.5.1. Ïîíÿòòÿ ïðî ñêàëÿðí³ òà âåêòîðí³<br />
ïîëÿ .......................................................... 372<br />
10.5.2. Ãðà䳺íò ôóíêö³¿ ........................................ 373<br />
Âïðàâè .................................................................. 378<br />
10.6. Åêñòðåìàëüí³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ áàãàòüîõ<br />
çì³ííèõ ..................................................... 378<br />
10.6.1. Åêñòðåìóì ôóíêö³¿ .................................... 378<br />
10.6.2. Íàéá³ëüø³ òà íàéìåíø³ çíà÷åííÿ<br />
ôóíêö³¿ ...................................................... 385<br />
Âïðàâè .................................................................. 388<br />
10.7. Óìîâíèé åêñòðåìóì .................................... 388<br />
10.7.1. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ ³ îçíà÷åííÿ...................... 388<br />
Âïðàâè .................................................................. 392<br />
10.8. Ïîíÿòòÿ ïðî åìï³ðè÷í³ ôîðìóëè ................ 392<br />
10.8.1. Ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ó âèïàäêó<br />
ìîæëèâî¿ ë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³ çì³ííèõ<br />
x òà y ....................................................... 396<br />
10.8.2. Ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ìîæëèâî¿<br />
ñòåïåíåâî¿ çàëåæíîñò³ x òà y ................... 399<br />
ÒÅÌÀ 11. ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜͲ вÂÍßÍÍß<br />
11.1. Çàäà÷³ ïðèðîäîçíàâñòâà, ùî ïðèâîäÿòü<br />
äî äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ....................... 402<br />
11.1.1. Íàéïðîñò³øà ìîäåëü íàêîïè÷åííÿ<br />
êàï³òàëó..................................................... 402<br />
11.1.2. Ïðî ðîçïàä ðàä³þ ...................................... 403<br />
11.1.3. Ïðî â³ëüíå ïàä³ííÿ ìàòåð³àëüíî¿<br />
òî÷êè ......................................................... 404<br />
11.2. Îcíîâí³ ïîíÿòòÿ òà îçíà÷åííÿ..................... 404<br />
11.2.1. Îçíà÷åííÿ .................................................. 404<br />
11.3. Ïðèêëàäè äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü, ðîçâ’ÿçêè<br />
ÿêèõ çíàõîäÿòüñÿ â ÿâíîìó âèãëÿä³<br />
çà äîïîìîãîþ åëåìåíòàðíèõ ïðèéîì³â<br />
......................................................... 405<br />
11.4. Äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ ïåðøîãî ïîðÿäêó.<br />
Òåîðåìà Êîø³ ...................................... 409<br />
11.4.1. Ïîëå íàïðÿì³â (³çîêë³íè) ........................... 411<br />
11.4.2. Êëàñè íåë³í³éíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü<br />
ïåðøîãî ïîðÿäêó, ÿê³ ðîçâ’ÿçóþòüñÿ<br />
ó êâàäðàòóðàõ ............................................ 413<br />
Âïðàâè .................................................................. 416<br />
Âïðàâè .................................................................. 420<br />
11.5. ˳í³éí³ äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ ïåðøîãî<br />
ïîðÿäêó ..................................................... 420<br />
11.5.1. Îçíà÷åííÿ .................................................. 420<br />
Âïðàâè .................................................................. 426<br />
11.6. ˳í³éí³ äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ äðóãîãî<br />
ïîðÿäêó ..................................................... 427<br />
11.6.1. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ ³ îçíà÷åííÿ...................... 427<br />
11.6.2. ˳í³éí³ îäíîð³äí³ äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ<br />
äðóãîãî ïîðÿäêó ................................... 428<br />
11.6.3. ˳í³éíî çàëåæí³ òà íåçàëåæí³ ôóíêö³¿<br />
íà ³íòåðâàë³ (a, b) ...................................... 429<br />
11.7. ˳í³éí³ äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ äðóãîãî<br />
ïîðÿäêó ç³ ñòàëèìè êîåô³ö³ºíòàìè ............. 434<br />
11.7.1. Îäíîð³äí³ ð³âíÿííÿ .................................... 434<br />
Âïðàâè .................................................................. 436<br />
11.7.2. Íåîäíîð³äí³ ð³âíÿííÿ ................................. 437<br />
Âïðàâè .................................................................. 442<br />
11.8. Äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ âèùèõ ïîðÿäê³â,<br />
ùî äîïóñêàþòü çíèæåííÿ ïîðÿäêó ....... 443<br />
11.8.1. гâíÿííÿ n-ãî ïîðÿäêó âèäó y (n) = f(x) ........ 443<br />
11.8.2. гâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó.......................... 443<br />
12 13
11.9. Çàñòîñóâàííÿ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü<br />
â åêîíîì³ö³ ................................................ 444<br />
11.9.1. Ìîäåëü Åâàíñà ........................................... 444<br />
11.9.2. Ìîäåëü äèíàì³êè ôîíä³â ............................ 446<br />
11.9.3. Ìîäåëü Ñîëîó ............................................ 448<br />
Âïðàâè .................................................................. 450<br />
ÒÅÌÀ 12. ÐßÄÈ<br />
12.1. ×èñëîâ³ ðÿäè ............................................. 451<br />
12.1.1. Ïîíÿòòÿ ÷èñëîâîãî ðÿäó............................. 451<br />
12.1.2. Íåîáõ³äíà óìîâà çá³æíîñò³ ðÿäó ................. 453<br />
12.2. Äîñòàòí³ îçíàêè çá³æíîñò³ ðÿä³â ç äîäàòíèìè<br />
÷ëåíàìè ....................................... 454<br />
12.2.1. Äîïîì³æíå òâåðäæåííÿ .............................. 454<br />
12.2.2. Îçíàêà ïîð³âíÿííÿ ðÿä³â ........................... 455<br />
12.2.3. Îçíàêà çá³æíîñò³ Äàëàìáåðà ....................... 456<br />
Âïðàâè .................................................................. 459<br />
12.3. Çíàêîïåðåì³æí³ ðÿäè ................................. 460<br />
12.4. Ïîíÿòòÿ ïðî àáñîëþòíî òà óìîâíî<br />
çá³æí³ ðÿäè ............................................... 461<br />
Âïðàâè .................................................................. 463<br />
12.5. Ïîíÿòòÿ ïðî ôóíêö³îíàëüí³ ðÿäè ............... 463<br />
12.5.1. Ñòåïåíåâ³ ðÿäè ........................................... 463<br />
12.5.2. ²íòåðâàë çá³æíîñò³ ñòåïåíåâîãî ðÿäó ........... 464<br />
12.5.3. Âèçíà÷åííÿ ðàä³óñà çá³æíîñò³ ñòåïåíåâîãî<br />
ðÿäó ............................................... 466<br />
Âïðàâè .................................................................. 468<br />
12.5.4. Âëàñòèâîñò³ ñòåïåíåâèõ ðÿä³â ..................... 468<br />
12.5.5. Ðîçêëàäàííÿ ôóíêö³é â ñòåïåíåâ³ ðÿäè<br />
Òåéëîðà ³ Ìàêëîðåíà ................................. 469<br />
12.5.6. Äîâåäåííÿ ôîðìóëè Åéëåðà ........................ 472<br />
12.6. Çàñòîñóâàííÿ ðÿä³â .................................... 474<br />
12.6.1. Çàñòîñóâàííÿ ðÿä³â äëÿ îá÷èñëåííÿ<br />
âèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â ................................ 475<br />
12.6.2. Çàñòîñóâàííÿ ðÿä³â äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ<br />
äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ............................ 475<br />
Âïðàâè .................................................................. 477<br />
ÄÎÄÀÒÎÊ 1. ÅËÅÌÅÍÒÀÐͲ <strong>²</strong>ÄÎÌÎÑÒ² ÏÐÎ ÊÎÌÏËÅÊÑͲ<br />
×ÈÑËÀ<br />
13.1. Ìíîæèíà êîìïëåêñíèõ ÷èñåë ..................... 479<br />
13.1.1. Ïîíÿòòÿ ïðî êîìïëåêñí³ ÷èñëà .................. 479<br />
13.1.2. Çîáðàæåííÿ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë ................. 480<br />
13.1.3. ij¿ íàä êîìïëåêñíèìè ÷èñëàìè ................. 482<br />
13.1.4. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ êâàäðàòíèõ ð³âíÿíü<br />
ç â³ä’ºìíèì äèñêðèì³íàíòîì ...................... 486<br />
Âïðàâè .................................................................. 487<br />
ÄÎÄÀÒÎÊ 2. ÎÑÍÎÂͲ ÔÎÐÌÓËÈ, ÏÎÇÍÀ×ÅÍÍß ÒÀ ÂÀÆ-<br />
ËÈ<strong>²</strong> ÑÒÀ˲<br />
14.1. Àðèôìåòèêà ............................................... 489<br />
14.2. Àëãåáðà..................................................... 490<br />
14.3. Òðèãîíîìåòð³ÿ ............................................ 495<br />
14.4. Åëåìåíòè âèùî¿ ìàòåìàòèêè ...................... 504<br />
14.5. Ãðàô³êè äåÿêèõ îñíîâíèõ åëåìåíòàðíèõ<br />
ôóíêö³é ..................................................... 508<br />
14.6. Îñíîâí³ ìàòåìàòè÷í³ ïîçíà÷åííÿ ................ 513<br />
14.7. Íàáëèæåíå çíà÷åííÿ äåÿêèõ ñòàëèõ ........... 516<br />
14.8. Êâàäðàòè íàòóðàëüíèõ ÷èñåë â³ä 1 äî 99 ... 516<br />
14.9. Êâàäðàòí³ ³ êóá³÷í³ êîðåí³ ......................... 517<br />
14 15
Ïåðåäìîâà<br />
Ç óñ³õ ñîö³àëüíèõ íàóê åêîíîì³êà á³ëüø âñüîãî çàñòîñîâóº<br />
ìàòåìàòè÷í³ ìåòîäè. Ïîºäíàííÿ åêîíîì³÷íî¿ äóìêè ç<br />
ìàòåìàòè÷íèìè äîñë³äæåííÿìè º ³ áóäå àêòóàëüíèì, îñê³ëüêè<br />
ìàòåìàòè÷í³ ìåòîäè äîçâîëÿþòü àðãóìåíòîâàíî ³ íàä³éíî<br />
ïðîãíîçóâàòè åêîíîì³÷í³ ÿâèùà. Ìàòåìàòè÷íèé àïàðàò º<br />
âàæëèâèì çíàðÿääÿì äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ åêîíîì³÷íèõ çàäà÷,<br />
ïî÷èíàþ÷è ç ì³êðîåêîíîì³êè ³ çàê³í÷óþ÷è ìàêðîåêîíîì³êîþ.<br />
Íà ïðîòÿç³ îñòàíí³õ äåñÿòèð³÷ åêîíîì³ñòè âäàëî çàñòîñîâóþòü<br />
ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³ ç òàêèìè ìàòåìàòè÷íèìè<br />
ïîíÿòòÿìè, ÿê “âåêòîð”, “ìàòðèöÿ”, “ïîõ³äíà”,<br />
“íåâèçíà÷åíèé ³ âèçíà÷åíèé ³íòåãðàëè” ³ òàêå ³íøå. Äëÿ<br />
òîãî ùîá îïåðóâàòè òàêèìè ïîíÿòòÿìè, ìàéáóòí³é åêîíîì³ñò<br />
ïîâèíåí ìàòè ìàòåìàòè÷íó êóëüòóðó. Íà ðîçâèíåííÿ ¿¿ ³<br />
íàïðàâëåíî íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê, â ÿêîìó ìàòåð³àëè ç âèùî¿<br />
ìàòåìàòèêè ïîäàþòüñÿ ñòðîãî, àëå â ðîçóìíèõ ìåæàõ.<br />
Òðàäèö³éí³ òåìè ç âèùî¿ ìàòåìàòèêè ñïî÷àòêó ïîäàþòüñÿ<br />
òàê, ùîá ìàòåìàòè÷í³ ïîíÿòòÿ áóëè ïîâ’ÿçàí³ ç ïðîáëåìíèìè<br />
çàäà÷àìè. Ïîò³ì äîâîäÿòüñÿ îñíîâí³ òåîðåìè ³ íà ¿õ<br />
îñíîâ³ âêàçóþòüñÿ ìàòåìàòè÷í³ ìåòîäè, ÿê³ çàñòîñîâóþòüñÿ<br />
äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ïðàêòè÷íèõ çàäà÷, çîêðåìà â åêîíîì³ö³.<br />
Ïîäàí³ ïðè öüîìó ìàòåð³àëè ³ëþñòðóþòüñÿ ðîçâ’ÿçàííÿì<br />
áàãàòüîõ ïðèêëàä³â ³ çàäà÷, â òîìó ÷èñë³ çàäà÷ åêîíîì³÷íîãî<br />
çì³ñòó.  îñòàíí³õ çàäà÷àõ âèêîðèñòîâóþòüñÿ òàê³ âàæëèâ³<br />
åêîíîì³÷í³ ïîíÿòòÿ, ÿê “âåêòîð ö³í”, “ïðîñò³ð òîâàð³â”, “áþäæåòíà<br />
ìíîæèíà”, “ãðàíè÷í³ âèòðàòè”, “ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³”,<br />
“åëàñòè÷í³ñòü âèðîáíèöòâà”, “ïðîïîçèö³ÿ òà ïîïèò”, “ð³âíîâàæíà<br />
ö³íà” ³ òàêå ³íøå.<br />
Äëÿ ñàìîñò³éíî¿ ðîáîòè ñòóäåíò³â ï³ñëÿ êîæíîãî ï³äðîçä³ëó<br />
òåìè íàâîäÿòüñÿ âïðàâè. Íàâîäÿòüñÿ òàêîæ ³ñòîðè÷í³<br />
â³äîìîñò³ ïðî âèäàòíèõ ìàòåìàòèê³â, ÿê³ âíåñëè ñóòòºâèé<br />
âêëàä ó ðîçâèòîê ìàòåìàòèêè.<br />
Àâòîð<br />
Òåìà 1<br />
IJÉÑͲ ×ÈÑËÀ<br />
1.1. ÌÍÎÆÈÍÈ ÒÀ ÑÈÌÂÎËÈ<br />
1.1.1. Ìíîæèíè òà îñíîâí³ ïîçíà÷åííÿ<br />
Ó ìàòåìàòèö³ ïîíÿòòÿ ðîçä³ëÿþòüñÿ íà ïåðâèíí³ ³ òàê³,<br />
ùî âèçíà÷àþòüñÿ ÷åðåç ïåðâèíí³ (ïîõ³äí³). Ïåðâèíí³ ïîíÿòòÿ<br />
º íåâèçíà÷óâàíèìè. Îäíèì ³ç òàêèõ íåâèçíà÷óâàíèõ<br />
ïîíÿòü º “ìíîæèíà”. Öüîìó ïîíÿòòþ íå ìîæíà äàòè ôîðìàëüíå<br />
îçíà÷åííÿ, ÿêå á íå çâîäèëîñÿ ïðîñòî äî çàì³íè<br />
ñëîâà “ìíîæèíà” éîãî ñèíîí³ìàìè “ñóêóïí³ñòü”, “íàá³ð åëåìåíò³â”,<br />
”ñ³ìåéí³ñòü” òîùî. Ìíîæèíó ìîæíà ñêëàäàòè íà<br />
ï³äñòàâ³ íàéð³çíîìàí³òí³øèõ îçíàê ç ð³çíèõ îá’ºêò³â. Ìíîæèíó<br />
ìîæíà çàäàòè, çàçíà÷èâøè, íàïðèêëàä, äåÿêó âëàñòèâ³ñòü<br />
îá’ºêò³â, ùî ¿¿ óòâîðþþòü. Ïðèêëàäàìè òàêèõ ìíîæèí<br />
º ñóêóïí³ñòü äåðåâ ó áîòàí³÷íîìó ñàäó Îäåñüêîãî íàö³îíàëüíîãî<br />
óí³âåðñèòåòó, íàá³ð ñòóäåíò³â ó 2002 ðîö³ íà åêîíîì³-<br />
÷íèé ôàêóëüòåò ²íñòèòóòó ï³ñëÿäèïëîìíî¿ îñâ³òè, ìíîæèíà<br />
ìîëåêóë ó áàñåéí³ ×îðíîãî ìîðÿ. Íàäàë³ îá’ºêòè ìíîæèíè<br />
áóäåìî íàçèâàòè åëåìåíòàìè. Òàêèì ÷èíîì, ìíîæèíà ñêëàäàºòüñÿ<br />
ç åëåìåíò³â. Ìíîæèíè íàé÷àñò³øå ïîçíà÷àþòü âåëèêèìè<br />
ëàòèíñüêèìè áóêâàìè À, Â, Ñ, ... X, Y, Z; åëåìåíòè ïîçíà÷àþòü<br />
ìàëèìè áóêâàìè a, b, c, ... x, y, z. Ìíîæèíà, ÿêà íå<br />
ìຠåëåìåíò³â, íàçèâàºòüñÿ ïîðîæíüîþ ìíîæèíîþ ³ ïîçíà÷à-<br />
ºòüñÿ ∅. Äëÿ òîãî ùîá ïîêàçàòè, ùî åëåìåíò à íàëåæèòü<br />
ìíîæèí³ À, âèêîðèñòîâóþòü êâàíòîð (ëîã³÷íèé çíàê) íàëåæíîñò³<br />
“∈”. ßêùî À — ìíîæèíà, à — ¿¿ åëåìåíò, òî öå ñèìâîë³÷íî<br />
çàïèñóþòü òàê: a ∈ A ³ ÷èòàþòü: “à íàëåæèòü À”.<br />
Ñèìâîë³÷íèé çàïèñ a∉A îçíà÷àº, ùî “à íå íàëåæèòü À”.<br />
Ìíîæèíè ïîä³ëÿþòüñÿ íà ñê³í÷åíí³ òà íåñê³í÷åíí³. Ìíîæèíè,<br />
åëåìåíòè ÿêèõ ìîæíà ïåðåðàõóâàòè, íàçèâàþòüñÿ<br />
ñê³í÷åííèìè. Ìíîæèíà, ÿêà íå º ñê³í÷åííîþ íàçèâàºòüñÿ<br />
íåñê³í÷åííîþ (íàïðèêëàä, ìíîæèíà âñ³õ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë).<br />
Äëÿ ñê³í÷åííèõ ìíîæèí ââîäÿòü ïîíÿòòÿ ïîòóæíîñò³<br />
16 17
(÷èñëî åëåìåíò³â ñê³í÷åííî¿ ìíîæèíè). ª äâà ñïîñîáè äëÿ<br />
ïîð³âíÿííÿ ïîòóæíîñò³ ñê³í÷åííèõ ìíîæèí: áåçïîñåðåäíüî<br />
ïåðåðàõóâàòè åëåìåíòè ìíîæèíè àáî çàñòîñóâàòè ìåòîä â³äïîâ³äíîñò³<br />
(ìåòîä “ãîñòèííî¿ ãîñïîäèí³”). Ìåòîä â³äïîâ³äíîñò³<br />
ïîëÿãຠâ òîìó, ùî “ãîñòèííà ãîñïîäèíÿ”, íå ðàõóþ÷è<br />
ãîñòåé, çàïðîøóº ¿õ äî ñòîëó ³ ïåðåä êîæíèì ç íèõ ñòàâèòü<br />
íàá³ð. Ïîíÿòòÿ â³äïîâ³äíîñò³ íàëåæèòü äî ïåðâèííèõ. Êàæóòü,<br />
ùî ì³æ äâîìà ìíîæèíàìè À òà  âñòàíîâëåíà â³äïîâ³äí³ñòü,<br />
ÿêùî êîæíîìó åëåìåíòó îäí³º¿ ìíîæèíè â³äïîâ³äàº<br />
ïåâíèé åëåìåíò äðóãî¿ ìíîæèíè. Ïðè öüîìó ìîæëèâèé òàêèé<br />
âèïàäîê: êîæíîìó åëåìåíòó ³ç À â³äïîâ³äຠëèøå îäèí<br />
åëåìåíò ³ç Â, òà, íàâïàêè, êîæíîìó åëåìåíòó ³ç  â³äïîâ³äàº<br />
ëèøå îäèí åëåìåíò ³ç À, òîä³ ö³ ìíîæèíè áóäóòü åêâ³âàëåíòíèìè<br />
(ïîçíà÷àþòü À∼Â).<br />
Çàóâàæèìî, ùî íåñê³í÷åíí³ ìíîæèíè ìîæíà ïîð³âíþâàòè<br />
çà ïîòóæí³ñòþ, ëèøå âèêîðèñòîâóþ÷è ìåòîä â³äïîâ³äíîñò³. Äëÿ<br />
öüîãî íåñê³í÷åííó ìíîæèíó ïîð³âíþþòü ç ìíîæèíîþ íàòóðàëüíèõ<br />
÷èñåë. Ïðè öüîìó ç’ÿñîâóºòüñÿ, ùî âñ³ íåñê³í÷åíí³<br />
ìíîæèíè ïîä³ëÿþòüñÿ íà 2 êëàñè: êëàñ åêâ³âàëåíòíèõ ìíîæèí³<br />
âñ³õ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë (òàê³ ìíîæèíè íàçèâàþòüñÿ ç÷èñëåííèìè)<br />
³ êëàñ íå åêâ³âàëåíòíèõ ìíîæèí³ âñ³õ íàòóðàëüíèõ<br />
÷èñåë (òàê³ ìíîæèíè íàçèâàþòüñÿ íåç÷èñëåííèìè).<br />
Ââåäåìî ïîíÿòòÿ ï³äìíîæèíè. Ìíîæèíó  íàçèâàþòü<br />
ï³äìíîæèíîþ ìíîæèíè À, ÿêùî âñ³ åëåìåíòè  íàëåæàòü<br />
ìíîæèí³ À (ïîçíà÷àþòü  ⊂ À). Áóäü-ÿêà ìíîæèíà À ìàº<br />
ñâî¿ ï³äìíîæèíè: ïîðîæíþ ìíîæèíó ³ ñàìó ìíîæèíó À.<br />
ßêùî äëÿ äâîõ ìíîæèí À ³  îäíî÷àñíî ñïðàâåäëèâ³ òâåðäæåííÿ<br />
À⊂ Â ³ Â⊂ À, òî ìíîæèíè À ³ Â ñêëàäàþòüñÿ ç îäíèõ<br />
³ òèõ ñàìèõ åëåìåíò³â ³ íàçèâàþòüñÿ ð³âíèìè, àáî çá³æíèìè<br />
(ïîçíà÷àþòü À=Â).<br />
Ââåäåìî òàê³ îïåðàö³¿ íàä ìíîæèíàìè.<br />
1. Îá’ºäíàííÿì (ñóìîþ) äâîõ ìíîæèí À ³  íàçèâàºòüñÿ<br />
ìíîæèíà Ñ, êîæíèé åëåìåíò ÿêî¿ íàëåæèòü àáî ìíîæèí³ À<br />
àáî ìíîæèí³ Â (ïîçíà÷àþòü Ñ=À∪Â).<br />
2. Ïåðåð³çîì (äîáóòêîì) äâîõ ìíîæèí À ³  íàçèâàºòüñÿ<br />
ìíîæèíà Ñ, êîæíèé åëåìåíò ÿêî¿ íàëåæèòü ìíîæèí³ À ³<br />
ìíîæèí³ Â (ïîçíà÷àþòü Ñ=À∩Â).<br />
3. гçíèöåþ äâîõ ìíîæèí À ³  íàçèâàºòüñÿ ìíîæèíà Ñ,<br />
êîæíèé åëåìåíò ÿêî¿ íàëåæèòü ìíîæèí³ À ³ íå íàëåæèòü<br />
ìíîæèí³ Â (ïîçíà÷àþòü Ñ=À\Â).<br />
Óâîäÿ÷è îïåðàö³¿ íàä ìíîæèíàìè, ìè íå âðàõîâóâàëè, ùî<br />
ñàì³ ìíîæèíè ìîæóòü ìàòè âíóòð³øíþ ñòðóêòóðó, òîáòî<br />
ââàæàëè, ùî âñ³ åëåìåíòè ìíîæèíè ð³âíîïðàâí³. Ïðîòå â<br />
ìàòåìàòèö³ òàê³ “÷èñò³” ìíîæèíè çóñòð³÷àþòüñÿ äóæå ð³äêî.<br />
Çíà÷íî ÷àñò³øå âèâ÷àþòü ìíîæèíè, ì³æ åëåìåíòàìè<br />
ÿêèõ ³ñíóþòü ò³ ÷è ³íø³ â³äíîøåííÿ. Îäíèì ç íàéâàæëèâ³øèõ<br />
â³äíîøåíü º â³äíîøåííÿ ïîðÿäêó. ³äíîøåííÿ ïîðÿäêó<br />
º íå ùî ³íøå, ÿê ïðàâèëî, ùî âñòàíîâëþº ïîðÿäîê “ñë³äóâàííÿ“<br />
åëåìåíò³â ìíîæèíè.<br />
Íåõàé À – äåÿêà ìíîæèíà. Ìíîæèíà À íàçèâàºòüñÿ óïîðÿäêîâàíîþ<br />
ìíîæèíîþ, ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêèõ äâîõ ¿¿ åëåìåíò³â<br />
à, b âñòàíîâëåíî îäíå ç òàêèõ â³äíîøåíü ïîðÿäêó: àáî<br />
à≤b (à íå ïåðåâèùóº b), àáî b≤à (b íå ïåðåâèùóº à).<br />
Óïîðÿäêîâàí³ ìíîæèíè ìàþòü òàê³ âëàñòèâîñò³:<br />
1) ðåôëåêñèâí³ñòü: áóäü-ÿêèé åëåìåíò íå ïåðåâèùóº ñàìîãî<br />
ñåáå;<br />
2) àíòèñèìåòðè÷í³ñòü: ÿêùî à íå ïåðåâèùóº b, à b íå<br />
ïåðåâèùóº a, òî åëåìåíòè à ³ b çá³ãàþòüñÿ;<br />
3) òðàíçèòèâí³ñòü: ÿêùî à íå ïåðåâèùóº b, à b íå ïåðåâèùóº<br />
ñ, òî à íå ïåðåâèùóº ñ.<br />
Ó ñôîðìóëüîâàíîìó âèùå îçíà÷åíí³ óïîðÿäêîâàíî¿ ìíîæèíè,<br />
åëåìåíòàìè ÿêî¿ ìîæóòü áóòè îá’ºêòè áóäü-ÿêî¿ ïðèðîäè,<br />
çíàê ≤ ÷èòàºòüñÿ “íå ïåðåâèùóº”. Öåé çíàê (“ìåíøå<br />
àáî äîð³âíþº”) íàáóâຠçâè÷àéíîãî çì³ñòó òîä³, êîëè åëåìåíòè<br />
ìíîæèíè À – ä³éñí³ ÷èñëà.<br />
Óïîðÿäêîâàí³ (ñê³í÷åíí³ àáî ç÷èñëåíí³) ìíîæèíè ÷àñòî<br />
çàïèñóþòü, ðîçì³ùóþ÷è ¿õí³ åëåìåíòè ó çàäàíîìó ïîðÿäêó â<br />
êðóãëèõ äóæêàõ. Íàïðèêëàä, çàïèñè (1;2;3) ³ (2;1;3) º ð³çíèìè<br />
ñê³í÷åííèìè âïîðÿäêîâàíèìè ìíîæèíàìè.<br />
1.1.2. Ëîã³÷í³ ñèìâîëè<br />
Ó ìàòåìàòè÷íèõ òâåðäæåííÿõ ÷àñòî ïîâòîðþþòüñÿ îêðåì³<br />
ñëîâà ³ ö³ë³ âèðàçè. Òîìó ïðè ¿õ çàïèñó êîðèñíî âæèâàòè<br />
åêîíîìíó ëîã³÷íó ñèìâîë³êó.<br />
Òóò ìè âêàæåìî ëèøå äåê³ëüêà ñàìèõ ïðîñòèõ ÷àñòî<br />
âæèâàíèõ ëîã³÷íèõ âèðàç³â. Çàì³ñòü ñë³â “³ñíóº” àáî “çíàé-<br />
18 19
äåòüñÿ” âèêîðèñòîâóþòü ñèìâîë ∃. Öåé ñèìâîë âèíèê ç<br />
àíãë³éñüêîãî ñëîâà Existence, ùî óêðà¿íñüêîþ ìîâîþ îçíà÷àº<br />
“³ñíóº”. Äëÿ ñòâîðåííÿ ñèìâîëó ∃ âçÿëè ïåðøó áóêâó àíãë³éñüêîãî<br />
ñëîâà Existence ³ ïåðåâåðíóëè ¿¿ ñïðàâà íàë³âî<br />
íà 180 ãðàäóñ³â. Ùî ñòîñóºòüñÿ ñèìâîëó ∀, òî â³í îçíà÷àº<br />
“áóäü-ÿêèé”, “êîæíèé”, ”óñÿêèé”. Éîãî ñòâîðèëè ç ïåðøî¿<br />
áóêâè àíãë³éñüêîãî ñëîâà Any. ×èòà÷, ìàáóòü, çäîãàäàâñÿ, ÿê<br />
âèíèê ñèìâîë ∀.<br />
1.2. ÌÍÎÆÈÍÀ IJÉÑÍÈÕ ×ÈÑÅË<br />
1.2.1. Íàòóðàëüí³ ÷èñëà òà 䳿 íàä íèìè<br />
×èñëî òåæ º ïåðâèííå ïîíÿòòÿ ³ íå ìຠîçíà÷åííÿ. Íàéïðîñò³ø³<br />
÷èñëà º íàòóðàëüí³. Ö³ ÷èñëà âèêîðèñòîâóâàëèñÿ<br />
ëþäüìè äëÿ ë³÷áè. Âîíè âèíèêëè íà ðàíí³õ åòàïàõ ðîçâèòêó<br />
öèâ³ë³çàö³¿. Ìíîæèíà íàòóðàëüíèõ ÷èñåë º âïîðÿäêîâàíîþ<br />
ìíîæèíîþ, òîáòî äëÿ áóäü-ÿêèõ äâîõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë<br />
m ³ n ñïðàâäæóºòüñÿ îäíå ç òàêèõ ñï³ââ³äíîøåíü: àáî<br />
m=n (m äîð³âíþº n), àáî m
÷èñåë íå çàìêíåíà â³äíîñíî ä³ëåííÿ. Ìíîæèíà ö³ëèõ ÷èñåë<br />
º óïîðÿäêîâàíîþ ìíîæèíîþ.<br />
1.2.3. Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà<br />
Ðàö³îíàëüíèé äð³á — öå äð³á ó âèãëÿä³ m/n, äå m ö³ëå<br />
÷èñëî, à n íàòóðàëüíå. ßêùî ÷èñåëüíèê ³ çíàìåííèê —<br />
âçàºìíî ïðîñò³ ÷èñëà, òî äð³á íàçèâàºòüñÿ íåñêîðîòíèì. Äâà<br />
ðàö³îíàëüí³ äðîáè m/n ³ m 1 /n 1 íàçèâàþòü åêâ³âàëåíòíèìè,<br />
ÿêùî m·n 1 =n·m 1 . Ðàö³îíàëüíèì ÷èñëîì íàçèâàºòüñÿ ìíîæèíà<br />
âñ³õ åêâ³âàëåíòíèõ ì³æ ñîáîþ ðàö³îíàëüíèõ äðîá³â. Íà<br />
ìíîæèí³ ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë ââîäÿòüñÿ 4 îïåðàö³¿ (àðèôìåòè÷í³<br />
䳿).<br />
m1 m2<br />
Íåõàé r1 = ; r2<br />
=<br />
n n . Òîä³<br />
1 2<br />
m ⋅ n ± m ⋅n<br />
; 3)<br />
1 2 2 1<br />
1–2) r1 ± r2<br />
=<br />
n1⋅<br />
n2<br />
4)<br />
m ⋅ n<br />
r : r = ( r ≠0)<br />
.<br />
1 2<br />
1 2 2<br />
n1⋅<br />
m2<br />
m ⋅ m<br />
r ⋅ r =<br />
1 2<br />
1 2<br />
n1⋅<br />
n ;<br />
2<br />
Âèñíîâîê. Íà ìíîæèí³ ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë îïåðàö³¿<br />
1)–3) çàìêíåí³. ×åòâåðòà îïåðàö³ÿ íà ìíîæèí³ ðàö³îíàëüíèõ<br />
÷èñåë íå çàâæäè çä³éñíþºòüñÿ. Âîíà ïîòðåáóº äîäàòêîâî¿<br />
óìîâè.<br />
Ìíîæèíà ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë º óïîðÿäêîâàíîþ. Äëÿ öüîãî<br />
òðåáà ââàæàòè, ùî áóäü-ÿêå äîäàòíå ÷èñëî ³ ÷èñëî íóëü<br />
º ÷èñëîì á³ëüøèì, í³æ áóäü-ÿêå â³ä’ºìíå ÷èñëî. Äîäàòí³ ÷èñëà<br />
ïîð³âíþþòüñÿ ì³æ ñîáîþ òàê:<br />
m1 m2<br />
r1 = ≤ r2 = ⇔ mn<br />
1 2<br />
≤nm<br />
1 2<br />
n1 n<br />
.<br />
2<br />
ßêùî æ ÷èñëà r 1 ³ r 2 — â³ä’ºìí³, òî ç äâîõ öèõ ÷èñåë<br />
ââàæàºòüñÿ á³ëüøèì òå ÷èñëî, ÿêå çà àáñîëþòíîþ âåëè÷èíîþ<br />
º ÷èñëîì ìåíøèì.<br />
Çàóâàæåííÿ. Çíàê ⇒ îçíà÷àº, ùî ç ïåðøîãî òâåðäæåííÿ<br />
âèïëèâຠäðóãå, à çíàê ⇔ îçíà÷àº, ùî ç ïåðøîãî<br />
òâåðäæåííÿ âèïëèâຠäðóãå ³ íàâïàêè.<br />
Òåîðåìà 1.2.1 (ïðî ù³ëüí³ñòü ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë).<br />
̳æ äâîìà ð³çíèìè ðàö³îíàëüíèìè ÷èñëàìè ³ñíóº íåñê³í-<br />
÷åííà ìíîæèíà ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë.<br />
Äîâåäåííÿ. Ùîá äîâåñòè öå òâåðäæåííÿ, ìè ïîêàæåìî,<br />
ùî ì³æ áóäü-ÿêèìè ð³çíèìè äâîìà ðàö³îíàëüíèìè ÷èñëàìè<br />
r 1 ³ r 2 º ïðèíàéìí³ îäíå ÷èñëî r 3 .<br />
1<br />
+<br />
2<br />
Íåõàé r1 < r2,<br />
r<br />
3<br />
= r r . Ïîêàæåìî, ùî r<br />
2<br />
1 r1 + r2 ⇒ r2 > = r<br />
3.<br />
2<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
1.2.4. ²ððàö³îíàëüí³ ÷èñëà<br />
²ððàö³îíàëüí³ ÷èñëà (íåðàö³îíàëüí³ ÷èñëà) âèíèêëè òàêîæ<br />
â ðåçóëüòàò³ ä³ÿëüíîñò³ ëþäåé. ßê ïðèêëàä ìîæíà<br />
âçÿòè çíàõîäæåííÿ äîâæèíè ä³àãîíàë³ êâàäðàòà ç³ ñòîðîíîþ,<br />
ÿêà äîð³âíþº îäèíèö³.  ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî 2 . Ïîêàæåìî,<br />
ùî 2 íå º ðàö³îíàëüíèì ÷èñëîì.<br />
Äîâåäåííÿ öüîãî ôàêòó áóäåìî ïðîâîäèòè ìåòîäîì<br />
â³ä ñóïðîòèâíîãî. Ïðèïóñòèìî, ùî 2 = m / n (ðàö³îíàëüíå<br />
÷èñëî). Ïðè öüîìó áóäåìî ââàæàòè, ùî m/n — íåñêîðîòíèé<br />
äð³á. Òîä³ ìàºìî:<br />
2<br />
m m 2 2<br />
2 = ⇒ 2= ⇒ m = 2n<br />
2<br />
.<br />
n n<br />
Öå îçíà÷àº, ùî m 2 — ïàðíå ÷èñëî. Íåâàæêî ïîêàçàòè, ùî<br />
ÿêùî m 2 ïàðíå, òî m òåæ ïàðíå. Áóäü-ÿêå ïàðíå ÷èñëî<br />
ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³ m=2m 1 , ï³ñëÿ ÷îãî îòðèìàºìî<br />
4m = 2n ⇒ 2m = n . Îòæå, n — òåæ ïàðíå ÷èñëî. Òîìó<br />
2 2 2 2<br />
1 1<br />
22 23
1<br />
îòðèìàºìî äð³á<br />
m = 2 m<br />
n 2n , ÿêèé º ñêîðîòíèì. Òàêèì ÷èíîì,<br />
1<br />
íàøå ïðèïóùåííÿ íåâ³ðíå. ×èñëî 2 íå ìîæå áóòè<br />
ðàö³îíàëüíèì.<br />
Âèñíîâîê. ²ñíóþòü ÷èñëà íåðàö³îíàëüí³. ¯õ ìàòåìàòèêè<br />
íàçâàëè ³ððàö³îíàëüíèìè.<br />
Äëÿ á³ëüøîãî ðîçóì³ííÿ ïðèðîäè ðàö³îíàëüíèõ òà<br />
³ððàö³îíàëüíèõ ÷èñåë ìè çíîâó ðîçãëÿíåìî ðàö³îíàëüíå<br />
÷èñëî m/n ÿê ðåçóëüòàò ä³ëåííÿ m íà n. Òóò ìîæëèâ³ äâà<br />
âèïàäêè:<br />
1) îòðèìàºìî ñê³í÷åííèé äåñÿòêîâèé äð³á; 2) îòðèìàºìî<br />
íåñê³í÷åííèé äåñÿòêîâèé ïåð³îäè÷íèé äð³á.<br />
Ïîêàæåìî, ùî öå ä³éñíî òàê. Ðîçãëÿíåìî äîâ³ëüíå<br />
äîäàòíå ÷èñëî m/n, äå m ³ n äîäàòí³ ö³ë³ ÷èñëà. Ïðè ä³ëåíí³<br />
íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m íà íàòóðàëüíå ÷èñëî n â îñòà÷³<br />
ìîæóòü ïîÿâèòèñÿ ò³ëüêè ÷èñëà, ÿê³ íàëåæàòü ï³äìíîæèí³<br />
ö³ëèõ ÷èñåë â³ä 0 äî n – 1. ßêùî â ïðîöåñ³ ä³ëåííÿ â îñòà÷³<br />
ä³ñòàíåìî ÷èñëî 0, òî ïðîöåñ ä³ëåííÿ çàê³í÷åíî ³ ÷èñëî m/n<br />
çîáðàçèòüñÿ ÿê ñê³í÷åííèé äåñÿòêîâèé äð³á. ßêùî æ â<br />
ïðîöåñ³ ä³ëåííÿ ÷èñëî íóëü â îñòà÷³ íå ä³ñòàíåìî, òî õî÷à á<br />
÷åðåç n – 1 êðîê íåìèíó÷å âèíèêíå ïîâòîðåííÿ (öèêë) îñòà-<br />
÷³. Î÷åâèäíî, ùî ïîâòîðåííÿ îñòà÷³ ìîæå çä³éñíèòèñÿ ³<br />
ðàí³øå. Òàêèì ÷èíîì, ðåçóëüòàòîì ä³ëåííÿ â äðóãîìó âèïàäêó<br />
º íåñê³í÷åííèé äåñÿòêîâèé ïåð³îäè÷íèé äð³á.<br />
Çàóâàæåííÿ. Íåñê³í÷åííèé äð³á âèãëÿäó α 0 , α 1 ...α n (9)<br />
ñï³âïàäຠç ÷èñëîì α 0 ,α 1 ...(α n + 1). Öå òâåðäæåííÿ äîâîäèòüñÿ<br />
çà äîïîìîãîþ ôîðìóëè äëÿ îá÷èñëåííÿ ñóìè íåñê³í÷åííî<br />
ñïàäíî¿ ãåîìåòðè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿. ³äïîâ³äíà ôîðìóëà íàâîäèòüñÿ<br />
â øê³ëüíîìó êóðñ³ ìàòåìàòèêè áåç íàëåæíîãî îá´ðóíòóâàííÿ.<br />
Âîíî áóäå ïðîâåäåíî ï³çí³øå.<br />
Âðàõîâóþ÷è çàóâàæåííÿ ³ ïðîöåñ ä³ëåííÿ ÷èñëà m íà<br />
÷èñëî n, áóäü-ÿêå ðàö³îíàëüíå ÷èñëî ìîæíà çîáðàçèòè ó<br />
âèãëÿä³ ñê³í÷åííîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó àáî ó âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî<br />
äåñÿòêîâîãî ïåð³îäè÷íîãî äðîáó, àëå áåç ïåð³îäó,<br />
ÿêèé äîð³âíþº 9. Ö³ëêîì î÷åâèäíî, ùî êð³ì âêàçàíèõ äåñÿòêîâèõ<br />
äðîá³â, ³ñíóþòü íåñê³í÷åíí³ äåñÿòêîâ³ íåïåð³îäè÷í³<br />
äðîáè. Íàïðèêëàä, ÷èñëî 0,10010001... . Îñê³ëüêè 2 íå º<br />
÷èñëîì ðàö³îíàëüíèì, òî âîíî òàêîæ íå ìîæå áóòè çîáðàæåíå<br />
ó âèãëÿä³ ñê³í÷åííîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó àáî íåñê³í-<br />
÷åííîãî äåñÿòêîâîãî ïåð³îäè÷íîãî äðîáó. Òàêèì ÷èíîì, ÷èñëî<br />
2 ìîæíà çîáðàçèòè ò³ëüêè ó âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî<br />
äåñÿòêîâîãî íåïåð³îäè÷íîãî äðîáó. Çãàäàºìî òàêîæ, ùî ÷èñëî<br />
2 áóëî ðàí³øå íàçâàíî ³ððàö³îíàëüíèì. Ó â³äïîâ³äíîñò³<br />
äî öüîãî íàçâåìî ìíîæèíó âñ³õ íåñê³í÷åííèõ äåñÿòêîâèõ<br />
íåïåð³îäè÷íèõ äðîá³â ìíîæèíîþ ³ððàö³îíàëüíèõ ÷èñåë. Ó<br />
á³ëüø äåòàëüíèõ êóðñàõ ìàòåìàòè÷íîãî àíàë³çó äîâîäèòüñÿ,<br />
ùî ä³éñíî áóäü-ÿêå ³ððàö³îíàëüíå ÷èñëî ìîæíà çîáðàçèòè ó<br />
âèãëÿä³ íåñê³í÷åííîãî äåñÿòêîâîãî íåïåð³îäè÷íîãî äðîáó.<br />
1.2.5. ijéñí³ ÷èñëà<br />
Ñóêóïí³ñòü ðàö³îíàëüíèõ é ³ððàö³îíàëüíèõ ÷èñåë íàçèâàþòü<br />
ìíîæèíîþ ä³éñíèõ ÷èñåë. Ìíîæèíà ä³éñíèõ ÷èñåë, ÿê<br />
³ ìíîæèíà ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë, º óïîðÿäêîâàíîþ.<br />
Íåõàé a ³ b äîäàòí³ ³ððàö³îíàëüí³ ÷èñëà:<br />
a = α 0 , α 1 α 2 ... α k ...<br />
b = β 0 , β 1 β 2 ... β k ...<br />
Ââàæàºìî, ùî a
Òàêèì ÷èíîì, áóäü-ÿêå ³ððàö³îíàëüíå ÷èñëî ìîæíà íàáëèçèòè<br />
ç áóäü-ÿêîþ íàïåðåä çàäàíîþ òî÷í³ñòþ ðàö³îíàëüíèìè<br />
÷èñëàìè.<br />
1.2.6. ×èñëîâà â³ñü<br />
Êîæíå ö³ëå ÷èñëî íà ïðÿì³é ë³í³¿ ìîæå áóòè çîáðàæåíå<br />
ÿê ïåâíà òî÷êà ö³º¿ ïðÿìî¿. Ñïðàâä³, â³çüìåìî äîâ³ëüíó ãîðèçîíòàëüíó<br />
ïðÿìó õ ³ íà í³é çàô³êñóºìî òî÷êó 0. Òî÷êó 0<br />
íàçâåìî ïî÷àòêîì êîîðäèíàò (â³ä ëàòèíñüêîãî ñëîâà<br />
“Origen”, ùî îçíà÷ຠïî÷àòîê). Ö³é òî÷ö³ ïîñòàâèìî ó â³äïîâ³äí³ñòü<br />
÷èñëî 0. Ïîò³ì â³çüìåìî â³äð³çîê, äîâæèíà ÿêîãî<br />
äîð³âíþº îäèíèö³ (íàïðèêëàä, îäèí ñàíòèìåòð, îäèí ìåòð àáî<br />
ÿêàñü ³íøà îäèíèöÿ âèì³ðó). Âêàçàíèé â³äð³çîê ùå íàçèâàþòü<br />
ìàñøòàáîì, à éîãî äîâæèíó îäèíèöåþ âèì³ðó. Òî÷êà 0<br />
ïîä³ëÿº ïðÿìó íà äâà ïðîìåí³. Îäèí ç öèõ ïðîìåí³â ââàæàþòü<br />
äîäàòíèì, à äðóãèé — â³ä’ºìíèì. Äîäàòíèì, ÿê ïðàâèëî,<br />
íàçèâàþòü òîé ïðîì³íü, ùî âèõîäèòü ç òî÷êè 0 ³ íàïðÿìëåíèé<br />
âïðàâî.<br />
Îçíà÷åííÿ. Ïðÿìà ë³í³ÿ, íà ÿê³é âèáðàíî íóëüîâó òî÷êó<br />
(ïî÷àòîê êîîðäèíàò), äîäàòíèé íàïðÿì ³ ìàñøòàá íàçèâàºòüñÿ<br />
êîîðäèíàòíîþ ïðÿìîþ. Òàêèì ÷èíîì, ïðÿìà õ (ðèñ. 1.1)<br />
º êîîðäèíàòíîþ ïðÿìîþ. Òåïåð, ùîá çîáðàçèòè ö³ëå ÷èñëî m<br />
íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é, òðåáà îäèíèöþ äîâæèíè â³äêëàñòè<br />
m ðàç³â â³ä íóëüîâî¿ òî÷êè âïðàâî, ÿêùî m > 0, ³ âë³âî ⏐m⏐<br />
ðàç³â, ÿêùî m < 0. ʳíöåâà òî÷êà â³äïîâ³äíîãî â³äð³çêó áóäå<br />
çîáðàæåííÿì ö³ëîãî ÷èñëà m (ðèñ. 1.1).<br />
Ðèñ. 1.1<br />
Ïåðåéäåìî äî çîáðàæåííÿ ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë. Äëÿ çíàõîäæåííÿ<br />
íà êîîðäèíàòí³é ïðÿì³é òî÷êè, ÿêà â³äïîâ³äàº<br />
÷èñëó m , òðåáà ïîä³ëèòè çàäàíó îäèíèöþ äîâæèíè íà n<br />
n<br />
ð³âíèõ ÷àñòèí (íàïðèêëàä, çà äîïîìîãîþ òåîðåìè Ôàëåñà 1 )<br />
1<br />
Ôàëéñ ̳ëåòñüêèé (640–548 äî í.å.) — äàâíüîãðåöüêèé â÷åíèé<br />
ìàòåð³àë³ñò, ðîäîíà÷àëüíèê ãðåöüêî¿ ìàòåìàòèêè.<br />
³ â³äêëàñòè m ðàç³â îäåðæàíó ÷àñòèíó âïðàâî, ÿêùî m > 0, ³<br />
⏐m⏐ ðàç³â — âë³âî, ÿêùî m < 0. ³äïîâ³äíó òî÷êó êîîðäèíàòíî¿<br />
ïðÿìî¿ ³ ââàæàþòü çîáðàæåííÿì ÷èñëà m n . Òî÷êè<br />
ïðÿìî¿ õ, ÿê³ º çîáðàæåííÿì ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë, íàçèâàþòü<br />
ðàö³îíàëüíèìè òî÷êàìè. Îòæå, êîæíîìó ðàö³îíàëüíîìó ÷èñëó<br />
íà ïðÿì³é â³äïîâ³äຠö³ëêîì âèçíà÷åíà òî÷êà. Îäíàê âèíèêàº<br />
çàïèòàííÿ: ÷è êîæí³é òî÷ö³ ïðÿìî¿ õ â³äïîâ³äຠðàö³îíàëüíå<br />
÷èñëî? Ùîá â³äïîâ³ñòè íà öå çàïèòàííÿ, ðîçãëÿíåìî<br />
êëàñè÷íèé ïðèêëàä. Íà ïðÿì³é õ ïîáóäóºìî êâàäðàò, äîâæèíà<br />
ñòîðîíè ÿêîãî äîð³âíþº îäèíèö³ (ðèñ. 1.1). Ïîò³ì ïðîâåäåìî<br />
äóãó êîëà ç öåíòðîì ó òî÷ö³ 0 ³ ðàä³óñîì äîâæèíè<br />
2 . Â ðåçóëüòàò³, äóãà ïåðåòíå ïðÿìó õ â òî÷ö³ Ì. Òàêèì<br />
÷èíîì, òî÷ö³ Ì íå â³äïîâ³äຠðàö³îíàëüíå ÷èñëî.  ï. 1.2.4<br />
öåé ôàêò áóëî äîâåäåíî.<br />
Öèì ñàìèì ïîêàçàíî, ùî ì³æ ìíîæèíîþ ðàö³îíàëüíèõ<br />
÷èñåë ³ ìíîæèíîþ òî÷îê êîîðäèíàòíî¿ ïðÿìî¿ íå ³ñíóº âçà-<br />
ºìíî îäíîçíà÷íî¿ â³äïîâ³äíîñò³. Íà ïðÿì³é õ, êð³ì ðàö³îíàëüíèõ<br />
òî÷îê, º ùå ³íø³. Ö³ òî÷êè íàçèâàþòü ³ððàö³îíàëüíèìè.<br />
Ïðè öüîìó â á³ëüø çàãàëüíèõ êóðñàõ ìàòåìàòè-<br />
÷íîãî àíàë³çó äîâîäèòüñÿ, ùî, ïî-ïåðøå, êîæíîìó<br />
³ððàö³îíàëüíîìó ÷èñëó â³äïîâ³äຠëèøå îäíà òî÷êà; ïî-äðóãå,<br />
ñóêóïí³ñòü ðàö³îíàëüíèõ é ³ððàö³îíàëüíèõ òî÷îê ïîâí³ñòþ<br />
çàïîâíþº êîîðäèíàòíó ïðÿìó; ïî-òðåòº, ì³æ òî÷êàìè<br />
ïðÿìî¿ ³ ìíîæèíîþ ä³éñíèõ ÷èñåë ³ñíóº âçàºìîîäíîçíà÷íà<br />
â³äïîâ³äí³ñòü: êîæí³é òî÷ö³ êîîðäèíàòíî¿ ïðÿìî¿ â³äïîâ³äàº,<br />
ä³éñíå ÷èñëî ³, íàâïàêè, êîæíîìó ä³éñíîìó ÷èñëó â³äïîâ³äàº<br />
òî÷êà êîîðäèíàòíî¿ ïðÿìî¿. Òîìó ä³éñí³ ÷èñëà îòîòîæíþþòüñÿ<br />
ç â³äïîâ³äíèìè òî÷êàìè êîîðäèíàòíî¿ ïðÿìî¿, à ñàìó<br />
êîîðäèíàòíó ïðÿìó íàçèâàþòü ÷èñëîâîþ (ä³éñíîþ) â³ññþ.<br />
Ïðè öüîìó ÷èñëî, ÿêå â³äïîâ³äຠòî÷ö³, íàçèâàºòüñÿ êîîðäèíàòîþ<br />
ö³º¿ òî÷êè íà ä³éñí³é îñ³ õ.<br />
Íàäàë³, çàì³ñòü ôðàçè “ä³éñíå ÷èñëî õ, àáî ïðîñòî ÷èñëî<br />
õ” áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè ôðàçó “òî÷êà õ” ³, íàâïàêè, çàì³ñòü<br />
ôðàçè “òî÷êà õ” áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè ôðàçó “÷èñëî<br />
õ”.<br />
26 27
1.2.7. Ìîäóëü ä³éñíîãî ÷èñëà<br />
Ìîäóëåì ä³éñíîãî ÷èñëà x íàçèâàºòüñÿ ÷èñëî x, ÿêùî<br />
x ≥ 0, ³ ïðîòèëåæíå éîìó ÷èñëî –x, ÿêùî x < 0. Ìîäóëü ÷èñëà<br />
õ ïîçíà÷àºòüñÿ ñèìâîëîì x ³ ÷èòàºòüñÿ “ìîäóëü ÷èñëà õ”.<br />
Îòæå, çà îçíà÷åííÿì<br />
⎧x, x ≥ 0<br />
x = ⎨<br />
⎩ − x, x < 0<br />
.<br />
Ç ãåîìåòðè÷íî¿ òî÷êè çîðó ìîäóëü ÷èñëà x îçíà÷ຠâ³äñòàíü<br />
òî÷êè ÷èñëîâî¿ îñ³ ç àáñöèñîþ õ äî òî÷êè â³äë³êó 0.<br />
Îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ ìîäóëÿ ä³éñíîãî ÷èñëà òàê³:<br />
1. x ≤ x .<br />
2. −x ≤ x .<br />
3. x < δ ⇔ − δ < x < δ .<br />
Ñë³ä ñêàçàòè, ùî ïîíÿòòÿ ìîäóëÿ ä³éñíîãî ÷èñëà ³ éîãî<br />
îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ âèâ÷àþòüñÿ â êóðñ³ ìàòåìàòèêè ñåðåäíüî¿<br />
øêîëè. Äëÿ âèâ÷åííÿ êóðñó âèùî¿ ìàòåìàòèêè öüîãî<br />
íåäîñòàòíüî. Ðîçãëÿíåìî ³íø³ âëàñòèâîñò³ ìîäóëÿ ÷èñëà.<br />
Äëÿ öüîãî ñôîðìóëþºìî ³ äîâåäåìî òàê³ òåîðåìè.<br />
Òåîðåìà 1.2.2. Ìîäóëü ñóìè äâîõ ÷èñåë õ ³ ó íå ïåðåâèùóº<br />
ñóìè ìîäóë³â öèõ ÷èñåë, òîáòî x + y ≤ x + y .<br />
Äîâåäåííÿ. Ðîçãëÿíåìî äâà âèïàäêè:<br />
1) x+ y≥0 ⇒ x+ y = ( x+ y)<br />
≤ x + y ;<br />
2) x+ y< 0 ⇒ x+ y =− ( x+ y)<br />
≤ x + y .<br />
Ïðè äîâåäåíí³ òåîðåìè ìè ñêîðèñòóâàëèñÿ ïåðøèìè äâîìà<br />
îñíîâíèìè âëàñòèâîñòÿìè ìîäóëÿ ä³éñíîãî ÷èñëà.<br />
Òåîðåìà 1.2.3. Ìîäóëü ð³çíèö³ äâîõ ÷èñåë õ ³ ó á³ëüøå<br />
àáî äîð³âíþº ð³çíèö³ ìîäóë³â öèõ ÷èñåë, òîáòî<br />
x−y ≥ x − y .<br />
Äîâåäåííÿ. Çàïèøåìî î÷åâèäíó òîòîæí³ñòü:<br />
x = ( x− y)<br />
+ y .<br />
Íà îñíîâ³ òåîðåìè 1.2.2 ìàºìî<br />
x = ( x− y)<br />
+ y ≤ x− y + y ,<br />
çâ³äê³ëÿ ³ âèïëèâຠíåð³âí³ñòü, ÿêó òðåáà áóëî äîâåñòè.<br />
Òåîðåìà 1.2.4. Ìîäóëü äîáóòêó äâîõ ÷èñåë õ ³ ó äîð³âíþº<br />
äîáóòêó ìîäóë³â öèõ ÷èñåë, òîáòî<br />
x⋅ y = x ⋅ y .<br />
Öþ òåîðåìó ðåêîìåíäóºìî ÷èòà÷àì äîâåñòè ñàìîñò³éíî.<br />
Äîâåäåííÿ òåîðåìè 1.2.4 ïðîñòå, àëå ïîòðåáóº ðîçãëÿäàííÿ<br />
âñ³õ ìîæëèâèõ âèïàäê³â ³ âèêîðèñòàííÿ îçíà÷åííÿ ìîäóëÿ<br />
÷èñëà.<br />
Òåîðåìà 1.2.5. Ìîäóëü ñòåïåíÿ ÷èñëà õ äîð³âíþº ñòåïåíþ<br />
ìîäóëÿ öüîãî ÷èñëà, òîáòî<br />
n<br />
x<br />
=<br />
Äîâåäåííÿ ö³º¿ òåîðåìè âèïëèâຠ³ç òåîðåìè 1.2.4.<br />
Òåîðåìà 1.2.6. Ìîäóëü ÷àñòêè äâîõ ÷èñåë õ ³ ó (y ≠ 0)<br />
äîð³âíþº ÷àñòö³ ìîäóë³â öèõ ÷èñåë, òîáòî<br />
x<br />
x x<br />
= , y ≠ 0<br />
y y .<br />
x<br />
Äîâåäåííÿ. Çîáðàçèìî ÷èñëî õ òàê: x = y, y ≠ 0. Òîä³ çà<br />
y<br />
òåîðåìîþ 1.2.4<br />
x<br />
x = y ,<br />
y<br />
çâ³äêè îòðèìàºìî ð³âí³ñòü, ÿêó òðåáà áóëî äîâåñòè.<br />
n<br />
.<br />
28 29
1.2.8. ×èñëîâ³ ìíîæèíè, ÿê³ íàé÷àñò³øå çóñòð³÷àþòüñÿ<br />
â ìàòåìàòè÷íîìó àíàë³ç³. Ïîçíà÷åííÿ<br />
×èñëà 1, 2, 3,…,n,… íàçèâàþòüñÿ íàòóðàëüíèìè ÷èñëàìè.<br />
Ö³ ÷èñëà óòâîðþþòü ìíîæèíó, ÿêà ïîçíà÷àºòüñÿ ÷åðåç N.<br />
×èñëà 0,±1,±2,… íàçèâàþòüñÿ ö³ëèìè ÷èñëàìè. Âîíè óòâîðþþòü<br />
ìíîæèíó, ÿêà ïîçíà÷àºòüñÿ ÷åðåç Z. ×èñëà âèäó<br />
m<br />
, m ∈Z,<br />
n ∈ N íàçèâàþòüñÿ ðàö³îíàëüíèìè. Ìíîæèíà âñ³õ<br />
n<br />
ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë ïîçíà÷àºòüñÿ ÷åðåç Q. Ìíîæèíó âñ³õ<br />
³ððàö³îíàëüíèõ ÷èñåë ïîçíà÷èìî ÷åðåç I. Îá’ºäíàííÿ ðàö³îíàëüíèõ<br />
é ³ððàö³îíàëüíèõ ÷èñåë óòâîðþº ìíîæèíó ä³éñíèõ<br />
÷èñåë. Öÿ ìíîæèíà ïîçíà÷àºòüñÿ ÷åðåç R. Îòæå, R = Q∪I .<br />
Ðîçãëÿíåìî òåïåð ìíîæèíè ÷èñåë, ÿê³ º ï³äìíîæèíàìè<br />
ìíîæèíè R. ×åðåç { x∈R a≤ x≤b}<br />
ïîçíà÷èìî ìíîæèíó ä³éñíèõ<br />
÷èñåë, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü íåð³âíîñò³<br />
a ≤ x ≤ b.<br />
Òóò à i b – äâà ä³éñíèõ ÷èñëà (äâ³ òî÷êè ÷èñëîâî¿ îñ³),<br />
ïðè÷îìó à
Òåìà 2<br />
Îñíîâè àëãåáðè âåêòîð³â ³ ìàòðèöü<br />
2.1. ÂÅÊÒÎÐÈ<br />
2.1.1. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ<br />
Ó øê³ëüíîìó êóðñ³ ìàòåìàòèêè âåêòîð âèçíà÷åíèé ÿê<br />
uuur<br />
íàïðÿìëåíèé â³äð³çîê AB , ó ÿêîìó òî÷êà À ðîçãëÿäàºòüñÿ<br />
ÿê ïî÷àòîê, à òî÷êà  — ê³íåöü. Âåêòîð ìîæå ïîçíà÷àòèñÿ<br />
rrrr<br />
r r<br />
³ îäí³ºþ ë³òåðîþ, íàïðèêëàä abcx , , , , X,<br />
P . Äîâæèíîþ, àáî<br />
uuur<br />
ìîäóëåì, âåêòîðà AB íàçèâàþòü äîâæèíó â³äð³çêà AB ³<br />
uuur r<br />
ïîçíà÷àþòü AB , a .<br />
Ó ïðÿìîêóòí³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò, â³äïîâ³äíî íà ïëîùèí³<br />
é ó ïðîñòîð³, âåêòîð uur<br />
X ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³ óïîðÿäêîâàíî¿<br />
ïàðè ÷èñåë (õ 1 , õ 2 ) òà óïîðÿäêîâàíî¿ òð³éêè ÷èñåë<br />
uur<br />
uur<br />
(õ 1 , õ 2 , õ 3 ), òîáòî X = ( x<br />
1, x<br />
2)<br />
(íà ïëîùèí³) ³ X = ( x<br />
1, x<br />
2, x<br />
3)<br />
(ó ïðîñòîð³).<br />
Óçàãàëüíèìî òåïåð ïîíÿòòÿ âåêòîðà uur<br />
X çà äîïîìîãîþ<br />
òàêèõ îçíà÷åíü.<br />
Îçíà÷åííÿ 2.1.1. Äîâ³ëüíèé óïîðÿäêîâàíèé íàá³ð x 1 ,<br />
x 2 ,…, x n ³ç n ä³éñíèõ ÷èñåë íàçèâàºòüñÿ n-âèì³ðíèì âåêòîðîì<br />
uur<br />
X . ×èñëà x 1 , x 2 ,…, x n , ñêëàäîâ³ íàáîðó, íàçèâàþòüñÿ<br />
êîìïîíåíòàìè (êîîðäèíàòàìè) âåêòîðà uur<br />
X . ×èñëî n íàçèâàþòü<br />
ðîçì³ðí³ñòþ âåêòîðà.<br />
Îçíà÷åííÿ 2.1.2. Ñóêóïí³ñòü óñ³õ n-âèì³ðíèõ âåêòîð³â<br />
íàçèâàºòüñÿ n-âèì³ðíèì âåêòîðíèì ïðîñòîðîì.<br />
Êîìïîíåíòè n-âèì³ðíîãî âåêòîðà ìîæíà ðîçòàøîâóâàòè â<br />
ðÿäîê àáî â ñòîâïåöü. Ó ïåðøîìó âèïàäêó ãîâîðÿòü ïðî<br />
âåêòîð-ðÿäîê<br />
uur<br />
X = ( x1, x2,..., x n<br />
),<br />
â äðóãîìó — ïðî âåêòîð-ñòîâïåöü<br />
r<br />
X<br />
⎛x1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
x<br />
⎟.<br />
...<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝xn<br />
⎠<br />
2<br />
= ⎜ ⎟<br />
Äâà âåêòîðè ð³âí³ òîä³ é ò³ëüêè òîä³, êîëè ð³âí³ ¿õ êîìïîíåíòè.<br />
ßê âèäíî ç îçíà÷åííÿ, ãîâîðèòè ïðî ð³âí³ñòü àáî<br />
íåð³âí³ñòü âåêòîð³â ìîæíà ëèøå äëÿ âåêòîð³â îäí³º¿ ðîçì³ðíîñò³.<br />
Äîâæèíà (ìîäóëü) âåêòîðà îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ:<br />
n<br />
( )<br />
uur<br />
1/ 2<br />
X = x + x + ... + x = ∑ x .<br />
2 2 2 2<br />
1 2 n<br />
i=<br />
1<br />
1<br />
2.1.2. Îïåðàö³¿ íàä âåêòîðàìè<br />
r<br />
r<br />
Ñóìîþ äâîõ âåêòîð³â a=<br />
( a1, a2,..., a n<br />
) ³ b= ( b1, b2,..., b<br />
n)<br />
íàçèâàºòüñÿ<br />
òðåò³é âåêòîð c= ( c1, c2,..., c<br />
r<br />
n<br />
), êîìïîíåíòè ÿêîãî äîð³âíþþòü<br />
ñóì³ êîìïîíåíò äîäàíê³â âåêòîð³â: c1 = a1 + b1,<br />
c2 = a2 + b2,..., cn = an + b<br />
n.<br />
гçíèöåþ a r r<br />
³ b º âåêòîð<br />
r r r<br />
c = a− b= ( a1−b1, a2 −b2,..., an<br />
−bn)<br />
.<br />
Íåõàé ìàºìî âåêòîð a r ³ ä³éñíå ÷èñëî λ. Äîáóòêîì ÷èñëà<br />
λ íà âåêòîð a r º âåêòîð b r , ÿêèé âèçíà÷àºòüñÿ çà ïðàâèëîì<br />
λ a = ( λa1, λa2,..., λa n),<br />
ïðè÷îìó äîâæèíà éîãî äîð³âíþº<br />
r<br />
λ a r .<br />
Äëÿ áóäü-ÿêèõ âåêòîð³â ³ ÷èñåë ñïðàâåäëèâî:<br />
r r r r<br />
1. a+ b = b+<br />
a — çàêîí ïåðåì³ùåííÿ.<br />
r r r r r r<br />
2. ( a+ b) + c = a+ ( b+<br />
c ) — çàêîí ñïîëó÷åííÿ (ïîºäíàííÿ).<br />
r r r r<br />
3. a+ 0 = a(0 = (0,...,0)).<br />
4. Äëÿ áóäü-ÿêîãî a r r<br />
r r<br />
³ñíóº a ' òàêèé, ùî a+ a′ = 0.<br />
32 33
5. 1⋅ a=<br />
a .<br />
r r<br />
6. ( αβ ) a = α( βa)<br />
, α ³ β — ä³éñí³ ÷èñëà.<br />
r r r r<br />
7. α ( a+ b)<br />
=α a+αb.<br />
r r r<br />
8. ( α+β )a =α a+βa<br />
.<br />
2.1.3. ˳í³éíèé âåêòîðíèé ïðîñò³ð<br />
Âåêòîðíèé ïðîñò³ð íàçèâàºòüñÿ ë³í³éíèì, ÿêùî â íüîìó<br />
âèçíà÷åí³ îïåðàö³¿ äîäàâàííÿ ³ ìíîæåííÿ íà ÷èñëî ç âëàñòèâîñòÿìè<br />
1 – 8.<br />
2.1.4. ˳í³éíà íåçàëåæí³ñòü âåêòîð³â<br />
r r r<br />
Íåõàé a1, a2,..., an<br />
— âåêòîðè ðîçì³ðíîñò³ n. Òîä³ âåêòîð<br />
r r r r<br />
b =λ<br />
1a +λ<br />
1 2 a + ... +λ<br />
2<br />
na<br />
n<br />
, äå λ<br />
i ( i = 1, n ) — ä³éñí³ ÷èñëà, íàçèâà-<br />
ºòüñÿ ë³í³éíîþ êîìá³íàö³ºþ âåêòîð³â.<br />
Îçíà÷åííÿ 2.1.3. Ñóêóïí³ñòü<br />
âåêòîð³â a r , a<br />
r ,..., a<br />
r<br />
1 2 n<br />
(ïðè n ≥ 2) íàçèâàºòüñÿ ë³í³éíî<br />
çàëåæíîþ, ÿêùî õî-<br />
÷à á îäèí ³ç öèõ âåêòîð³â º<br />
ë³í³éíîþ êîìá³íàö³ºþ ³íøèõ.<br />
Çîêðåìà, íà ïëîùèí³<br />
áóäü-ÿê³ òðè âåêòîðè ë³í³éíî<br />
çàëåæí³, òîìó ùî îäèí ³ç<br />
íèõ ìîæíà çàïèñàòè ÿê ë³í³éíó<br />
êîìá³íàö³þ äâîõ ³íøèõ<br />
(ðèñ. 2.1).<br />
Ðèñ. 2.1<br />
a r =λ<br />
3 1a r +λ<br />
1 2a<br />
r . 2<br />
Îçíà÷åííÿ 2.1.4. ßêùî æîäíèé ç ñóêóïíîñò³ âåêòîð³â<br />
a r , a r , ..., a r íå º ë³í³éíîþ êîìá³íàö³ºþ ³íøèõ, òî ö³ âåêòîðè<br />
1 2<br />
íàçèâàþòüñÿ n<br />
ë³í³éíî íåçàëåæíèìè.<br />
r r r<br />
Äëÿ ë³í³éíî¿ íåçàëåæíîñò³ âåêòîð³â a , a , ..., a íåîáõ³äíî<br />
³ äîñòàòíüî, ùîá ð³âí³ñòü<br />
1 2 n<br />
r r r<br />
λ<br />
1a +λ<br />
2<br />
a + ... +λ a = 0<br />
1 2<br />
n<br />
n<br />
âèêîíóâàëàñÿ ò³ëüêè ïðè λ<br />
1<br />
=λ<br />
2<br />
= ... =λ<br />
n<br />
= 0 . Öå òâåðäæåííÿ<br />
áåçïîñåðåäíüî âèïëèâຠç îçíà÷åííÿ ë³í³éíî¿ íåçàëåæíîñò³<br />
âåêòîð³â.<br />
² íàâïàêè, ÿêùî çàçíà÷åíà ð³âí³ñòü ìຠì³ñöå, êîëè íå âñ³<br />
÷èñëà λ 1 , λ 2 , …, λ n äîð³âíþþòü íóëþ, òî ñóêóïí³ñòü âåêòîð³â<br />
r r r<br />
a1, a 2,...,<br />
a n ë³í³éíî çàëåæíà.<br />
r r<br />
r<br />
Ïðèêëàä 2.1.1. Âåêòîðè a = (2,1,0), a = (0,1,1) ³ a = (4,5,3)<br />
1 2<br />
3<br />
r r r<br />
ë³í³éíî çàëåæí³, òîìó ùî 2a + 3a − a = 0.<br />
1 2 3<br />
Ñïðàâä³<br />
2(2,1,0) + 3(0,1,1) – (4,5,3) = (4,2,0) + (0,3,3) + (–4, –5, –3) =<br />
= (4–4, 2+3–5, 3–3) = (0,0,0) = 0.<br />
r<br />
r<br />
r<br />
Ïðèêëàä 2.1.2. Âåêòîðè b 1<br />
= (1,0,0) , b 2<br />
= (0,12,0) ³ b 3<br />
= (0,0,72)<br />
r r r<br />
ë³í³éíî íåçàëåæí³. ijéñíî, ³ç λ<br />
1b1 +λ<br />
2b2 +λ<br />
3b 3<br />
= 0 âèïëèâàº<br />
λ 1 (1,0,0) + λ 2 (0,12,0) + λ 3 (0,0,72) = (λ 1 , 12λ 2 , 72λ 3 )<br />
³ âåêòîð (λ 1 ,12λ 2 ,72λ 3 ) áóäå íóëüîâèì, ÿêùî λ 1 = λ 2 = λ 3 =0.<br />
Ïðèêëàä 2.1.3. Çíàéäåìî âñ³ çíà÷åííÿ λ 1 , λ 2 , λ 3 , ïðè ÿêèõ<br />
âèêîíóºòüñÿ ð³âí³ñòü<br />
r r r r r r<br />
λ<br />
1a +λ<br />
1 2a +λ<br />
2 3a<br />
= 0 , äå a = (2,1,0), a = (0, − 2,1), a = (1,2, −1)<br />
.<br />
3<br />
1 2 3<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è â ð³âí³ñòü êîìïîíåíòè âåêòîð³â, îòðèìàºìî<br />
r r r<br />
λ a +λ a +λ a =λ (2,1,0) +λ (0, − 2,1) +λ (1,2, − 1) =<br />
1 1 2 2 n n 1 2 3<br />
=(2λ 1 ,λ 1 ,0) + (0,–2λ 2 ,λ 2 )+(λ 3 ,2λ 3 ,–λ 3 )=<br />
=(2λ 1 + λ 3 ,λ 1 –2λ 2 +2λ 3 ,λ 2 −λ 3 ) = (0,0,0).<br />
Ç óìîâè ð³âíîñò³ äâîõ âåêòîð³â âèïëèâàº<br />
2λ 1 +λ 3 =0,<br />
λ 1 − 2λ 2 +2λ 3 =0,<br />
λ 2 −λ 3 =0.<br />
34 35
Öÿ ñèñòåìà ð³âíÿíü ìຠò³ëüêè íóëüîâèé ðîçâ’ÿçîê:<br />
r r r<br />
λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0. Îòæå, âåêòîðè a1, a2,<br />
a ë³í³éíî íåçàëåæí³.<br />
3<br />
2.1.5. Áàçèñ ë³í³éíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòîðó<br />
Áàçèñîì ë³í³éíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòîðó íàçèâàºòüñÿ<br />
áóäü-ÿêà óïîðÿäêîâàíà ñóêóïí³ñòü âåêòîð³â, ÿêà çàäîâîëüíÿº<br />
âèìîãè:<br />
1) óñ³ âåêòîðè ö³º¿ ñóêóïíîñò³ ë³í³éíî íåçàëåæí³;<br />
2) áóäü-ÿêèé âåêòîð öüîãî ïðîñòîðó º ë³í³éíà êîìá³íàö³ÿ<br />
äàíî¿ ñóêóïíîñò³ âåêòîð³â.<br />
 n-âèì³ðíîìó ë³í³éíîìó ïðîñòîð³ (àáî ë³í³éíîìó ïðîñòîð³<br />
ðîçì³ðíîñò³ n) áóäü-ÿêà ñóêóïí³ñòü ³ç n ë³í³éíî íåçàëåæíèõ<br />
âåêòîð³â óòâîðþº áàçèñ ïðîñòîðó. Çâè÷àéíî â ÿêîñò³<br />
áàçèñó îáèðàþòü íàéá³ëüø ïðîñòó ñóêóïí³ñòü âåêòîð³â. Íàïðèêëàä,<br />
r r r<br />
e1 = (1,0,...,0), e2<br />
= (0,1,...,0),..., e n<br />
= (0,0,...,1) .<br />
Òåîðåìà 2.1.1.  n-âèì³ðíîìó ë³í³éíîìó ïðîñòîð³ ñèñòåìà<br />
âåêòîð³â e1, e2, ..., en<br />
ñêëàäຠáàçèñ öüîãî ïðîñòîðó.<br />
r r r<br />
r r r<br />
Äîâåäåííÿ. 1) Ïîêàæåìî, ùî âåêòîðè e1, e2, ..., en<br />
ë³í³éíî<br />
íåçàëåæí³. Äëÿ öüîãî ñë³ä äîâåñòè, ùî ñï³ââ³äíîøåííÿ<br />
r r r<br />
λ<br />
1e1 +λ<br />
2 e2<br />
+ ... +λ<br />
n<br />
en<br />
= 0<br />
(2.1.1)<br />
ìຠì³ñöå ò³ëüêè ïðè λ 1 = λ 2 =…= λ n = 0. ²ç (2.1.1) ç óðàõóâàííÿì<br />
÷èñëîâèõ çíà÷åíü êîìïîíåíò³â âåêòîð³â å 1 , å 2 ,…,å n ,<br />
âèïëèâàº<br />
λ 1 ⋅1=0, λ 2 ⋅1=0,…, λ n ⋅1=0, òîáòî λ 1 = λ 2 =…=λ n =0.<br />
r<br />
2) Áóäü-ÿêèé âåêòîð a = ( a1, a2,..., a n<br />
)<br />
r r r<br />
º ë³í³éíîþ êîìá³íàö³ºþ<br />
âåêòîð³â e1, e2,..., e ç êîåô³ö³ºíòàìè à<br />
n<br />
1 , à 2 ,…,à n . ijéñíî,<br />
r r r<br />
ae 1 1<br />
+ ... + ae<br />
n n<br />
= a1(1,0,...,0) + ... + an(0,0,...,1) = ( a1, a2,..., an)<br />
= a. (2.1.2)<br />
r r r<br />
Îòæå, ñèñòåìà e1, e2,..., en<br />
º áàçèñîì. Öåé áàçèñ íàçèâàþòü<br />
îðòîíîðìîâàíèì, à ð³âí³ñòü (2.1.2) — ðîçêëàäàííÿì âåêòîðà<br />
a r â ë³í³éíîìó ïðîñòîð³ çà îðòîíîðìîâàíèì áàçèñîì.<br />
Ó òðèâèì³ðíîìó ïðîñòîð³ äëÿ îðòîíîðìîâàíèõ<br />
r r<br />
âåêòîð³â<br />
áàçèñó çàñòîñîâóþòü òàêîæ ïîçíà÷åííÿ i = (1,0,0), j = (0,1,0) ,<br />
r<br />
k = (0,0,1) . Ðîçêëàäàííÿ âåêòîðà a r â òðèâèì³ðíîìó ïðîñòîð³<br />
çà îðòîíîðìîâàíèì áàçèñîì ìຠâèãëÿä:<br />
r r r r r r r<br />
a = a1i+ a2 j+ a3k = axi+ ay j+<br />
azk<br />
,<br />
äå à 1 , à 2 , à 3 ³ à õ , à ó , à z º ð³çí³ ïîçíà÷åííÿ ïðîåêö³é âåêòîðà<br />
a r<br />
íà îñ³ êîîðäèíàò (Oõ, Oó, Oz).<br />
Ìíîæèíà âåêòîð³â äåÿêîãî ë³í³éíîãî ïðîñòîðó íàçèâàºòüñÿ<br />
ë³í³éíèì ï³äïðîñòîðîì (ë³í³éíèì ìíîãîâèäîì), ÿêùî<br />
îïåðàö³¿ äîäàâàííÿ, ð³çíèö³ ³ ìíîæåííÿ íà ÷èñëî äàþòü<br />
âåêòîð ³ç ö³º¿ æ ìíîæèíè. Òàê, äâîâèì³ðíèé ïðîñò³ð º ï³äïðîñòîðîì<br />
òðèâèì³ðíîãî ïðîñòîðó.<br />
2.1.6. Ñêàëÿðíèé äîáóòîê äâîõ âåêòîð³â<br />
r Íà ïëîùèí³ r ñêàëÿðíèì äîáóòêîì äâîõ âåêòîð³â<br />
a = ( a1, a2)<br />
³ b = ( b1, b2)<br />
íàçèâàºòüñÿ ÷èñëî, ÿêå äîð³âíþº äîáóòêó<br />
¿õ äîâæèí íà êîñèíóñ êóòà ì³æ íèìè:<br />
r r r r r r r r<br />
a⋅ b = a b = a b a b. (2.1.3)<br />
( , ) cos( )<br />
∧<br />
Ç êóðñó ìàòåìàòèêè ñåðåäíüî¿ øêîëè â³äîìî, ùî íà ïëîùèí³<br />
îðòè (îðòîíîðìîâàí³ âåêòîðè) i = (1, 0), j = (0,1) âçàºìíî<br />
r r<br />
ïåðïåíäèêóëÿðí³. Òîä³ ç (2.1.3) âèïëèâຠùå îäíå îçíà÷åííÿ<br />
ñêàëÿðíîãî äîáóòêó äâîõ âåêòîð³â a = ( a1, a<br />
r<br />
r<br />
2)<br />
³ b = ( b1, b<br />
2)<br />
.<br />
r r r r r r r r<br />
ab ⋅ = ( ai+ a j)( bi+ b j)<br />
= aa<br />
1 2 1 2 1 2<br />
+ bb<br />
1 2; i= (1,0), j = (0,1) .<br />
Àíàëîã³÷íî ââîäèòüñÿ ñêàëÿðíèé äîáóòîê ³ â n-âèì³ðíîìó<br />
ïðîñòîð³ ðîçì³ðíîñò³ n>2.<br />
Äëÿ r n-âèì³ðíîãî ïðîñòîðó r ñêàëÿðíèé äîáóòîê äâîõ âåêòîð³â<br />
a = ( a1, a2,..., a n<br />
) ³ b = ( b1, b2,..., b n<br />
) âèçíà÷àºòüñÿ (çà àíàëî㳺þ<br />
ç îñòàííüîþ ð³âí³ñòþ) òàêèì ÷èíîì:<br />
r r r r<br />
ab ⋅ = ab , = ab+ ab+ ... + ab<br />
n n . (2.1.4)<br />
( ) 1 1 2 2<br />
36 37
Îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ ñêàëÿðíîãî äîáóòêó òàê³:<br />
r r r r<br />
1. a⋅ b = b⋅a<br />
.<br />
r r r r r r<br />
2. λ( ab ⋅ ) = ( λa) ⋅ b= a⋅( λb)<br />
.<br />
r r r r r r r<br />
3. a⋅ ( b+ c)<br />
= a⋅ b+ a⋅c<br />
.<br />
r r r r<br />
r<br />
4. a⋅a<br />
≥0, a⋅ a = 0 òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè a = 0 .<br />
Âåêòîðè, ñêàëÿðíèé äîáóòîê ÿêèõ äîð³âíþº íóëþ, íàçèâàþòüñÿ<br />
îðòîãîíàëüíèìè. Ëåãêî ïîáà÷èòè, ùî âåêòîðè áàçèñó<br />
r r r<br />
r r<br />
e1, e2,..., en<br />
ïîïàðíî îðòîãîíàëüí³, òîáòî ei<br />
⋅ e j<br />
= 0 ïðè i ≠ j, à<br />
r r<br />
ei<br />
⋅ e j<br />
= 1 ïðè i = j. Äëÿ äâîâèì³ðíèõ ³ òðèâèì³ðíèõ ïðîñòîð³â<br />
ïîíÿòòÿ îðòîãîíàëüíîñò³ òà ïåðïåíäèêóëÿðíîñò³ çá³ãàþòüñÿ.<br />
ßêùî â ë³í³éíîìó ïðîñòîð³ âèçíà÷åíî ñêàëÿðíèé äîáóòîê<br />
äâîõ âåêòîð³â çà ïðàâèëîì (2.1.4) ç âëàñòèâîñòÿìè 1 – 4, òî<br />
â³í íàçèâàºòüñÿ åâêë³äîâèì.<br />
 åâêë³äîâîìó ïðîñòîð³ â³äñòàíü ì³æ äâîìà òî÷êàìè<br />
À (õ 1 , õ 2 ,…, õ n ) ³  (ó 1 , ó 2 ,…, y n ) âèçíà÷àºòüñÿ ÿê äîâæèíà<br />
ur<br />
AB = a = y1 −x1, y2 −x2,..., y n<br />
−x n<br />
, òîáòî<br />
âåêòîðà ( )<br />
uuuur r r r r2<br />
2 2 2<br />
AB = AB = a = a ⋅ a = a = y − x + y − x + + y −x .<br />
( ) ( ) ( )<br />
1 1 2 2<br />
...<br />
n n<br />
2.1.7. Ïðîñò³ð òîâàð³â, âåêòîð ö³í òà âàðò³ñòü íàáîðó<br />
òîâàð³â<br />
ßê â³äîìî, â åêîíîì³ö³ ï³ä òîâàðîì ðîçó쳺òüñÿ äåÿêå<br />
áëàãî àáî ïîñëóãà, ÿê³ íàä³éøëè â ïðîäàæ ó âèçíà÷åíèé ÷àñ<br />
³ ó âèçíà÷åíîìó ì³ñö³. Áóäåìî ââàæàòè, ùî º ï ð³çíèõ òîâàð³â.<br />
×åðåç õ ³ ïîçíà÷èìî ê³ëüê³ñòü ³-ãî òîâàðó, òîä³ íàá³ð<br />
òîâàð³â ìîæíà ïîçíà÷èòè ÷åðåç n-âèì³ðíèé âåêòîð<br />
Õ=(õ 1 , ..., õ n ). Ìíîæèíà âñ³õ íàáîð³â òîâàð³â íàçèâàºòüñÿ<br />
ïðîñòîðîì òîâàð³â. Öåé ïðîñò³ð ïîçíà÷èìî áóêâîþ Ñ. Îêðåì³<br />
âåêòîðè áóäåìî íàçèâàòè åëåìåíòàìè ïðîñòîðó Ñ.<br />
Îñê³ëüêè ê³ëüê³ñòü òîâàð³â íå ìîæå áóòè â³ä’ºìíîþ, òî î÷åâèäíî,<br />
ùî ïðîñò³ð Ñ º ï³äìíîæèíîþ ë³í³éíîãî ïðîñòîðó âåêòîð³â<br />
ðîçì³ðíîñò³ n. Ïðîñò³ð Ñ ñêëàäàºòüñÿ ³ç âåêòîð³â,<br />
êîìïîíåíòè ÿêèõ º íåâ³ä’ºìí³ ÷èñëà. Ó ïðîñòîð³ òîâàð³â Ñ<br />
ìîæíà äîäàâàòè âåêòîðè ³ ìíîæèòè ¿õ íà íåâ³ä’ºìí³ ä³éñí³<br />
÷èñëà (íà ïðàêòèö³ âåêòîðè ïîìíîæóþòüñÿ íà íåâ³ä’ºìí³<br />
ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà).<br />
Ïðèïóñòèìî òàêîæ, ùî êîæíèé òîâàð ìຠö³íó. Î÷åâèäíî,<br />
ùî óñ³ ö³íè º ñòðîãî äîäàòíèìè.<br />
Íåõàé ö³íà îäèíèö³ ³-ãî òîâàðó º ð ³ , òîä³ âåêòîð<br />
P r =(ð 1 , ..., ð n ) º âåêòîð ö³í. Íàá³ð òîâàð³â ÿê âåêòîð ìຠòó<br />
ñàìó ðîçì³ðí³ñòü, ùî ³ âåêòîð ö³í. Äëÿ íàáîðó òîâàð³â<br />
X r =(õ 1 , ..., õ n ) ³ âåêòîðà ö³í ¿õ ñêàëÿðíèé äîáóòîê º ÷èñëî<br />
PX<br />
rr = p 1 x 1 +...+ p n x n , ÿêå íàçèâàºòüñÿ ö³íîþ íàáîðó, àáî éîãî<br />
âàðò³ñòþ, ³ ïîçíà÷àºòüñÿ ñèìâîëîì ñ ( X r ) .<br />
Ðîçãëÿíåìî òàêîæ ïîíÿòòÿ ³íòåíñèâíîñò³ ðîáîòè ï³äïðè-<br />
ºìñòâà. Ïðèïóñòèìî, ùî ï³ä âïëèâîì äåÿêèõ ôàêòîð³â (çîâí³øí³õ<br />
³ âíóòð³øí³õ) âèðîáíèöòâî êîæíîãî ç òîâàð³â çá³ëüøó-<br />
ºòüñÿ àáî çìåíøóºòüñÿ â λ ðàç³â. Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ïðîöåñ³â<br />
òàêîãî òèïó ââåäåìî ïàðàìåòð λ 1 , ÿêèé õàðàêòåðèçóº<br />
³íòåíñèâí³ñòü ðîáîòè ï³äïðèºìñòâà é îá÷èñëþºòüñÿ òàê:<br />
λ<br />
1<br />
= ⎨<br />
⎪λ<br />
⎧λ,<br />
ÿêùî âèðîáíèöòâî òîâàð³â â λ ðàç³â çá³ëüøóºòüñÿ,<br />
⎪<br />
1 , ÿêùî âèðîáíèöòâî òîâàð³â â λ ðàç³â çìåíøóºòüñÿ.<br />
⎩<br />
Ïðè λ 1 =1 áóäåìî ââàæàòè, ùî ³íòåíñèâí³ñòü ðîáîòè ï³äïðèºìñòâà<br />
íîðìàëüíà (çâè÷àéíà). ²íø³ ³íòåíñèâíîñò³ ïîð³âíþþòüñÿ<br />
ç íîðìàëüíîþ. Òàêèì ÷èíîì, ÿêùî ï³äïðèºìñòâî<br />
ïðè íîðìàëüí³é ³íòåíñèâíîñò³ âèðîáëÿº âåêòîð òîâàð³â<br />
X r =(õ,, ... õ n ), òî ïðè ³íòåíñèâíîñò³ λ 1 (λ 1 ≠1) áóäå âèðîáëÿòè<br />
λ 1 X r òîâàð³â.<br />
Àíàëîã³÷íî ìîæíà ââåñòè ïîíÿòòÿ ³íòåíñèâíîñò³ ïðîäàæó<br />
òîâàð³â.<br />
Ïðèêëàä 2.1.4. ʳîñê çà äåíü ïðîäຠãàçåòè 50 íàéìåíóâàíü.<br />
Íàâåä³òü ìîæëèâ³ âàð³àíòè ââåäåííÿ åëåìåíò³â ïðîñòîðó<br />
òîâàð³â.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îáìåæèìîñÿ ò³ëüêè äâîìà âàð³àíòàìè:<br />
1 0 . Ó ÿêîñò³ åëåìåíòà ïðîñòîðó Ñ ìîæíà âçÿòè âåêòîð<br />
ðîçì³ðíîñò³ 50, äå êîìïîíåíòè âåêòîðà ÿâëÿþòü ñîáîþ ê³ëüê³ñòü<br />
ïðîäàíèõ ãàçåò ïî 50 íàéìåíóâàííÿì êîæíî¿.<br />
38 39
2 0 . Ó ÿêîñò³ åëåìåíòà ïðîñòîðó Ñ ìîæíà âçÿòè âåêòîð<br />
X r =(õ 1 , õ 2 , õ 3 ) ðîçì³ðíîñò³ 3, êîìïîíåíòè ÿêîãî âèçíà÷àþòüñÿ<br />
òàêèì ÷èíîì:<br />
õ 1 — ê³ëüê³ñòü ïðîäàíèõ ãàçåò, âàðò³ñòü îäíîãî åêçåìïëÿðà<br />
ÿêèõ íå ïåðåâèùóº 1 ãðèâíþ;<br />
õ 2 — ê³ëüê³ñòü ïðîäàíèõ ãàçåò, âàðò³ñòü îäíîãî åêçåìïëÿðà<br />
ÿêèõ íå ïåðåâèùóº 1.5 ãðèâí³, àëå ïåðåâèùóº 1 ãðèâíþ;<br />
õ 3 — ê³ëüê³ñòü ïðîäàíèõ ãàçåò, âàðò³ñòü îäíîãî åêçåìïëÿðà<br />
ÿêèõ ïåðåâèùóº 1.5 ãðèâí³.<br />
×èòà÷åâ³ ïðîïîíóºìî íàâåñòè ³íø³ âàð³àíòè.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
2.1. ʳîñê äâà äí³ ïðîäຠíàá³ð ãàçåò, ùî ñêëàäàºòüñÿ ³ç<br />
îäíàêîâî¿ ê³ëüêîñò³ íàéìåíóâàíü. Òðåáà çíàéòè ê³ëüê³ñòü<br />
ïðîäàíèõ çà äâà äí³ ãàçåò êîæíîãî íàéìåíóâàííÿ, ÿêùî çà<br />
êîæíèé äåíü ö³ äàí³ â³äîì³, ³ ðåçóëüòàò çàïèñàòè ó âèãëÿä³<br />
âåêòîðà.<br />
2.2. ʳîñê äâà äí³ ïðîäຠíàá³ð ãàçåò, ïðè÷îìó ê³ëüê³ñòü<br />
íàéìåíóâàíü íå îäíàêîâà.<br />
Òðåáà çíàéòè ê³ëüê³ñòü ïðîäàíèõ çà äâà äí³ ãàçåò êîæíîãî<br />
íàéìåíóâàííÿ, ÿêùî çà êîæíèé äåíü ö³ äàí³ â³äîì³, ³<br />
ç’ÿñóâàòè ïèòàííÿ ïðî ìîæëèâ³ñòü ðîçâ’ÿçàííÿ ö³º¿ çàäà÷³<br />
ó âèãëÿä³ âåêòîðà.<br />
2.3. ʳîñê, ÿêèé ïðàöþº ç 9-¿ ãîäèíè ðàíêó äî 9-¿ ãîäèíè<br />
âå÷îðà, ïðîäຠñèãàðåòè 25 âèä³â. ³äîìî, ùî ç 9-¿ ãîäèíè äî<br />
13-¿ ãîäèíè âåêòîð ïðîäàíèõ ñèãàðåò òàêèé:<br />
X r =(x 1 ,x 2 ,x 3 , ..., x 25 ). Ç 13-¿ ãîäèíè äî 17-¿ ãîäèíè ïðîäàíî<br />
ñèãàðåò âäâ³÷³ ìåíøå, í³æ çà ïåðøèé ïåð³îä (9 00 –13 00 ), à ç<br />
17-¿ ãîäèíè äî 21-¿ ãîäèíè ïðîäàíî ñèãàðåò âäâ³÷³ á³ëüøå ó<br />
ïîð³âíÿíí³ ç òèì ñàìèì ïåðøèì ïåð³îäîì. ³äîìî òàêîæ,<br />
ùî ö³íè íà ñèãàðåòè òàê³: âàðò³ñòü ïåðøî¿ äåñÿòêè àñîðòèìåíòó<br />
1.5 ãðí., âàðò³ñòü äðóãî¿ äåñÿòêè àñîðòèìåíòó 2 ãðí.,<br />
à ³íø³ ñèãàðåòè àñîðòèìåíòó êîøòóþòü 3 ãðí. Òðåáà çíàéòè<br />
äåííó âèðó÷êó â³ä ïðîäàæó ñèãàðåò. Ïðèéìàþ÷è äî óâàãè<br />
ïðèêëàä 2.1.4, ðîçâ’ÿæ³òü öþ âïðàâó äâîìà ñïîñîáàìè.<br />
2.4. Âçóòòºâà ôàáðèêà “Çîëóøêà” â ëþòîìó 2003 ðîêó<br />
âèðîáèëà Q r Ï =(× Ï , Æ Ï , Ä Ï ) ïàð âçóòòÿ, äå × Ï — ê³ëüê³ñòü<br />
ïàð ÷îëîâ³÷îãî âçóòòÿ, Æ Ï — ê³ëüê³ñòü ïàð æ³íî÷îãî âçóòòÿ,<br />
Ä ï — ê³ëüê³ñòü ïàð äèòÿ÷îãî âçóòòÿ. ³äîìî, ùî â ñ³÷í³<br />
2003 ðîêó ôàáðèêà âèðîáèëà â 1.2 ðàç ìåíøå ïàð âçóòòÿ ó<br />
ïîð³âíÿíí³ ç ëþòèì, à â áåðåçí³ ó 1.5 ðàç á³ëüøå òàêîæ â<br />
ïîð³âíÿíí³ ç ëþòèì. Òðåáà çíàéòè âåêòîð òîâàð³â çà ïåðøèé<br />
êâàðòàë 2003 ðîêó.<br />
2.5. Ïðè íîðìàëüí³é ³íòåíñèâíîñò³ ðîáîòè ôàáðèêà “×îðíîìîðî÷êà”<br />
(ì. Îäåñà) âèðîáëÿº òàêèé âåêòîð (àñîðòèìåíò)<br />
ìîðîæåíîãî X r =(x 1 , x 2 , ..., x 50 ). Ïðè öüîìó óïîðÿäêîâàí³ñòü<br />
àñîðòèìåíòó óçãîäæóºòüñÿ çã³äíî ç àëôàâ³òîì ðîñ³éñüêî¿<br />
ìîâè. Íàïðèêëàä, x 1 º ê³ëüê³ñòü áðèêåò³â ìîðîæåíîãî “Àññîëü”.<br />
Ó áåðåçí³ ì³ñÿö³ ³íòåíñèâí³ñòü ðîáîòè λ 1 äîð³âíþº 0.7,<br />
à â ëèïí³ — 2. Òðåáà çíàéòè ó ñê³ëüêè ðàç³â çá³ëüøèâñÿ<br />
âåêòîð ìîðîæåíîãî ó ëèïí³ ì³ñÿö³ ó ïîð³âíÿíí³ ç âåêòîðîì<br />
ìîðîæåíîãî ó áåðåçí³ ì³ñÿö³.<br />
2.6. Âêàæ³òü óïîðÿäêîâàíó ïàðó ÷èñåë (õ, ó), ïðè ÿê³é<br />
ë³í³éíà êîìá³íàö³ÿ<br />
⎛3⎞ ⎛7<br />
⎞<br />
x⎜ ⎟+<br />
y⎜ ⎟ çàäîâîëüíÿº òàê³ âèìîãè:<br />
⎝5⎠ ⎝11⎠ 1) äîð³âíþº âåêòîðó (17, 27); 2) ìຠäîäàòí³ êîîðäèíàòè.<br />
2.7. Äîâåñòè ë³í³éíó çàëåæí³ñòü âåêòîð³â:<br />
r<br />
r<br />
1) a<br />
1<br />
= (2, −1,2)<br />
³ a<br />
2<br />
= (6, −3,6)<br />
;<br />
r r<br />
r<br />
2) a<br />
1<br />
= (5,2) , a<br />
2<br />
= (30,12) , a<br />
3<br />
= ( −15, −6)<br />
;<br />
r<br />
r<br />
r<br />
3) a<br />
1<br />
= (2,6,2,6) , a<br />
2<br />
= (4,2,2,4) , a<br />
3<br />
= (6, −2,2,2)<br />
.<br />
2.8. Äîâåñòè ë³í³éíó íåçàëåæí³ñòü âåêòîð³â:<br />
r<br />
r<br />
1) a<br />
1<br />
= (1,3) ³ a<br />
2<br />
= (2,5) ;<br />
r<br />
r<br />
2) a<br />
1<br />
= (1, −3, 5) ³ a<br />
2<br />
= (2, −6,7)<br />
;<br />
r<br />
r<br />
3) a<br />
1<br />
= (5,11) ³ a<br />
2<br />
= (10, 0) .<br />
r r r<br />
r<br />
2.9. Ó áàçèñ³ e1, e2,<br />
e çàäàíî âåêòîðè a<br />
3<br />
1<br />
= (5,5,0) ,<br />
r<br />
r<br />
a<br />
2<br />
= (5, −5,5)<br />
i a<br />
3<br />
= ( −15,25, −30)<br />
.<br />
r r r<br />
Ïîêàæ³òü, ùî âåêòîðè a1, a2,<br />
a óòâîðþþòü áàçèñ.<br />
3<br />
40 41
2.10. Äëÿ ïðèäáàííÿ çîøèò³â äâîõ âèä³â ñòóäåíò ç³ ñâîãî<br />
áþäæåòó âèä³ëèâ 10 ãðèâåíü. ³äîìî, ùî çîøèò ïåðøîãî<br />
âèäó êîøòóº 1.5 ãðí., à çîøèò äðóãîãî âèäó êîøòóº 0.5 ãðí.<br />
ßê³ ìîæëèâ³ âàð³àíòè êóï³âë³ çîøèò³â ð³çíèõ íàáîð³â?<br />
ßê âïëèíå íà ðîçâ’ÿçîê ö³º¿ âïðàâè àêö³ÿ, ïðè ÿê³é ñòóäåíò<br />
ïî ðåêîìåíäàö³¿ ïðîôåñîðà ìàòåìàòèêè ïðèäáຠîáîâ’ÿçêîâî<br />
2 çîøèòè ïåðøîãî âèäó (äëÿ çàïèñó ëåêö³é) ³ 5 çîøèò³â<br />
äðóãîãî âèäó (äëÿ âèêîíàííÿ âïðàâ)?<br />
2.11. Íåõàé ìàþòü ì³ñöå óìîâè âïðàâè 2.10. Ïðè öüîìó<br />
âèíèêëà ñèòóàö³ÿ, ÿêà ïîâ’ÿçàíà ç³ çðîñòàííÿì ö³í íà çîøèòè.<br />
Ñòóäåíò â÷àñíî íå êóïèâ çîøèòè. Êîëè æ â³í çàáàæàâ<br />
¿õ ïðèäáàòè, òî âçíàâ íåïðèºìíó íîâèíó: ö³íè íà çîøèòè<br />
ïåðøîãî âèäó çðîñëè íà 5%, à äðóãîãî — íà 10 %.<br />
Íåîáõ³äíî âèçíà÷èòè, íà ñê³ëüêè ñòàâ “ëåãøèì ãàìàíåöü”<br />
ñòóäåíòà, ÿêùî â³í âèð³øèâ çä³éñíèòè çàïëàíîâàíó êóï³âëþ<br />
(5 çîøèò³â ïåðøîãî âèäó ³ 5 çîøèò³â äðóãîãî âèäó)?<br />
2.12. Íåõàé êîæåí ñòóäåíò ïîòîêó (100 îñ³á) çàáàæàâ<br />
êóïèòè 5 çîøèò³â ïåðøîãî âèäó ³ 5 çîøèò³â äðóãîãî âèäó<br />
çà ö³íîþ, ÿêà ïîçíà÷åíà ó âïðàâ³ 2.10. Ïðè öüîìó ç’ÿñóâàëîñÿ,<br />
ùî çîøèòè ìîæíà êóïèòè îïòîì çà íèæ÷èìè ö³íàìè<br />
(âàðò³ñòü çîøèòó ïåðøîãî âèäó ñêëàäຠ90%, à âàðò³ñòü çîøèòó<br />
äðóãîãî âèäó ñêëàäຠ95 % â³ä ö³í, ÿê³ çàô³êñîâàí³ â<br />
óìîâàõ âïðàâè 2.10). Òðåáà âèçíà÷èòè, ÿêó ñóìó ãðîøåé<br />
çåêîíîìèâ êîæíèé ñòóäåíò ³ óâåñü ïîò³ê ó ö³ëîìó.<br />
2.2. ÌÀÒÐÈÖ² ² ¯Õ ÂÈÄÈ<br />
2.2.1. Ïðîáëåìí³ çàäà÷³<br />
×àñòî ïðè äîñë³äæåíí³ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â âèíèêຠïèòàííÿ<br />
ïðî çîáðàæåííÿ äåÿêèõ âàæëèâèõ çàëåæíîñòåé. Íàïðèêëàä,<br />
òðåáà îïèñàòè ðîçïîä³ë âåêòîðà ðåñóðñó R r =(åíåðã³ÿ,<br />
òðóä, íàóêà) â ïðîìèñëîâîñò³ ³ â ñ³ëüñüêîìó ãîñïîäàðñòâ³.<br />
Öþ çàäà÷ó ìîæíà âèð³øèòè çà äîïîìîãîþ äàë³<br />
íàâåäåíî¿ òàáëèö³.<br />
Òåïåð óÿâ³òü ñîá³ çàäà÷ó îïèñàííÿ ðîçïîä³ëó âåêòîðà ðåñóðñó<br />
R r ðîçì³ðíîñò³ 10 ïî 50 ãàëóçÿì åêîíîì³êè. Çíîâó æ<br />
òàêè ìîæíà ñêëàñòè òàáëèöþ, àëå âîíà áóäå äóæå ãðîì³çäêîþ.<br />
Ðåñóðñè<br />
ïðîìèñëîâ³ñòü<br />
Ãàëóç³ åêîíîì³êè<br />
Åíåðã³ÿ a b<br />
Òðóä c d<br />
Íàóêà e f<br />
Òàáëèöÿ<br />
ñ³ëüñüêå ãîñïîäàðñòâî<br />
Ó çâ’ÿçêó ç öèì âèíèêëà ïðîáëåìà çîáðàæåííÿ îïèñàíîãî<br />
òèïó òàáëèöü â êîìïàêòí³é ôîðì³. Ñë³ä ñêàçàòè, ùî àíàëîã³÷íà<br />
ïðîáëåìà âèíèêàëà ³ â ³íøèõ äèñöèïë³íàõ, çîêðåìà<br />
â ñàì³é ìàòåìàòèö³. Òðåáà áóëî äóìàòè, ùî é çä³éñíèëè<br />
ìàòåìàòèêè. Âîíè äîñèòü âäàëî ââåëè ïîíÿòòÿ ìàòðèö³.<br />
Óïåðøå ìàòðèöÿ ÿê ìàòåìàòè÷íå ïîíÿòòÿ ç’ÿâèëàñÿ â ïðàöÿõ<br />
àíãë³éñüêèõ ìàòåìàòèê³â Ó. Ãàì³ëüòîíà (1805 – 1865),<br />
À. Êåë³ (1821 – 1897), Äæ. ѳëüâåñòðà (1814 – 1897) ó ñåðåäèí³<br />
XIX ñòîð³÷÷ÿ. Îñíîâè òåî𳿠ìàòðèöü ñòâîðåíî í³ìåöüêèìè<br />
ìàòåìàòèêàìè Ê. Âåéºðøòðàññîì (1815 – 1897) ³<br />
Ã. Ôðîáåí³óñîì (1849 – 1917) ó ê³íö³ XIX — íà ïî÷àòêó<br />
XX ñòîð³÷÷ÿ.<br />
2.2.2. Îçíà÷åííÿ<br />
Ïðÿìîêóòíà òàáëèöÿ, ÿêà ñêëàäåíà ³ç äîâ³ëüíîãî íàáîðó<br />
÷èñåë, íàçèâàºòüñÿ ïðÿìîêóòíîþ ìàòðèöåþ.<br />
×èñëà òàáëèö³ íàçèâàþòüñÿ åëåìåíòàìè ìàòðèö³. Åëåìåíòè,<br />
ÿê³ ðîçòàøîâàí³ ïî ãîðèçîíòàë³ (âåðòèêàë³), ñêëàäàþòü<br />
ðÿäîê (ñòîâïåöü) ìàòðèö³. Ïðèêëàä ìàòðèö³ ³ ôîðìè ¿¿<br />
çàïèñó:<br />
⎛a11 a12 ... a1n<br />
⎞ a11 a12 ... a1n<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
a21 a22 ... a2n<br />
⎟<br />
a21 a22 ... a2n<br />
⎜ ... ... ... ... ⎟ ... ... ... ...<br />
A = ⎜<br />
⎟ =<br />
⎜ai1 ai2 ... ain ⎟ ai1 ai2<br />
... ain<br />
⎜ ... ... ... ... ⎟ ... ... ... ...<br />
⎜<br />
1 2... ⎟<br />
⎝am am amn⎠<br />
am 1<br />
am2...<br />
a<br />
mn .<br />
42 43
Äîâ³ëüíèé åëåìåíò ìàòðèö³ ïîçíà÷àºòüñÿ a ij , äå ³íäåêñ i<br />
âèçíà÷ຠíîìåð ðÿäêà, j — íîìåð ñòîâïöÿ, íà ïåðåòèí³ ÿêèõ<br />
çíàõîäèòüñÿ öåé åëåìåíò. Ó íàâåäåíî¿ ìàòðèö³ m ðÿäê³â ³<br />
n ñòîâïö³â. ²íîä³ ìàòðèöþ çàïèñóþòü ó âèãëÿä³ ñóêóïíîñò³<br />
åëåìåíò³â À = {a ij }, i = 1, m, j = 1, n , ÿêùî íå ïîòð³áíî âêàçóâàòè<br />
çíà÷åííÿ ¿¿ åëåìåíò³â.<br />
Äîáóòîê ÷èñëà ðÿäê³â m íà ÷èñëî ñòîâïö³â n ìàòðèö³<br />
íàçèâàþòü ðîçì³ðîì ìàòðèö³ ³ ïîçíà÷àþòü m × n.<br />
Òåïåð ïîâåðíåìîñÿ äî òàáëèö³. Âîíà ìîæå áóòè çàïèñàíà<br />
ó âèãëÿä³ ìàòðèö³.<br />
Ìàòðèöÿ òåæ òàáëèöÿ. Ïðîòå çàïèñ âêàçàíîãî âèùå ðîçïîä³ëó<br />
äîñèòü ïðîñòèé ³ ãîëîâíå — êîìïàêòíèé.<br />
Ó ìàòðè÷í³é ôîðì³ íàâåäåíà òàáëèöÿ âèãëÿäèòü òàê:<br />
⎛a<br />
a<br />
A a a<br />
⎜<br />
⎝a<br />
a<br />
11 12<br />
⎜ ⎟<br />
= ⎜ 21 22 ⎟<br />
31 32<br />
Ó öüîìó çàïèñó åëåìåíòè ìàòðèö³ ìàþòü ïåâíèé çì³ñò.<br />
Òàê, íàïðèêëàä, åëåìåíò a 11 ïîêàçóº ñóêóïíó ê³ëüê³ñòü åíåð㳿,<br />
ÿêó âæèâຠïðîìèñëîâ³ñòü, à åëåìåíò a 33 ïîêàçóº ê³ëüê³ñòü<br />
íàóêîâèõ ðîçðîáîê, ÿê³ âèêîðèñòîâóº ñ³ëüñüêå ãîñïîäàðñòâî.<br />
Çàóâàæåííÿ. Âåêòîðè ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê ÷àñòêîâ³<br />
âèïàäêè ìàòðèöü. Íàïðèêëàä, n-âèì³ðíèé âåêòîð-ðÿäîê º<br />
ìàòðèöåþ ðîçì³ðîì 1×n, à n-âèì³ðíèé âåêòîð-ñòîâïåöü —<br />
ìàòðèöåþ n × 1.<br />
Ìàòðèöÿ, â ÿê³é ÷èñëî ðÿäê³â äîð³âíþº ÷èñëó ñòîâïö³â, íàçèâàºòüñÿ<br />
êâàäðàòíîþ. ʳëüê³ñòü ðÿäê³â (ñòîâïö³â) êâàäðàòíî¿<br />
ìàòðèö³ íàçèâàºòüñÿ ¿¿ ïîðÿäêîì. Íàïðèêëàä, ìàòðèöÿ<br />
⎛2 5⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝011⎠<br />
— äðóãîãî ïîðÿäêó,<br />
⎞<br />
.<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛123⎞<br />
⎜ ⎟<br />
456<br />
⎜789⎟<br />
⎝ ⎠<br />
— òðåòüîãî ïîðÿäêó.<br />
Î÷åâèäíî, ùî ðîçì³ð êâàäðàòíî¿ ìàòðèö³ ïîðÿäêó n äîð³âíþº<br />
n 2 .<br />
Ó êâàäðàòí³é ìàòðèö³ âèä³ëÿþòü: ãîëîâíó ä³àãîíàëü —<br />
åëåìåíòè, ùî çíàõîäÿòüñÿ íà ä³àãîíàë³, ÿêà ì³ñòèòü ïåðøèé<br />
³ îñòàíí³é åëåìåíòè ìàòðèö³; ïîá³÷íó ä³àãîíàëü — åëåìåíòè<br />
äðóãî¿ ä³àãîíàë³. Íàïðèêëàä, ó ìàòðèö³<br />
⎛ b b b<br />
⎜<br />
⎜ b b b<br />
⎜<br />
⎝<br />
b b b<br />
11 12 13<br />
21 22 23<br />
31 32 33<br />
⎞ →b , b , b<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠ → b , b , b<br />
13 22 31<br />
11 22 33<br />
ßêùî ó âèõ³äí³é ìàòðèö³ À çàì³íèòè ðÿäêè íà ñòîâïö³ ó<br />
â³äïîâ³äíîìó ïîðÿäêó (ïåðøèé ðÿäîê íà ïåðøèé ñòîâïåöü ³<br />
ò. ä.), òî îòðèìàºìî ìàòðèöþ À Ò (À Ò ), ÿêà íàçèâàºòüñÿ òðàíñïîíîâàíîþ<br />
ìàòðèöåþ ïî â³äíîøåííþ äî À. Î÷åâèäíî, ùî<br />
(À Ò ) Ò = À. Åëåìåíòè ìàòðèöü À ³ À Ò ïîâ’ÿçàí³ ñï³ââ³äíîøåííÿì<br />
aij<br />
= aji<br />
( i = 1, n, j = 1, m)<br />
.<br />
Íàïðèêëàä,<br />
C<br />
⎛c<br />
c<br />
⎞<br />
⎛c<br />
⎞<br />
⎜<br />
C = c C = c c c<br />
⎜ ⎟<br />
⎝c3<br />
⎠<br />
1<br />
⎟ T<br />
2<br />
,<br />
1 2 3<br />
11 12<br />
⎜ ⎟ c11 c21 c<br />
T<br />
⎛<br />
31 ⎞<br />
= ⎜c21 c22<br />
⎟,<br />
C = ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
⎝c12 c22 c32<br />
⎠<br />
c31 c ⎟<br />
32<br />
( )<br />
⎝ ⎠<br />
3× 2 2× 3 −<br />
— åëåìåíòè ïîá³÷íî¿ äèàãîíàë³;<br />
— åëåìåíòè ãîëîâíî¿ äèàãîíàë³.<br />
ðîçì³ð ìàòðèö³.<br />
Ç îçíà÷åííÿ ìàòðèö³ ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê, ùî ñèñòåìà<br />
âåêòîð³â ìîæå áóòè çîáðàæåíà äâîìà ìàòðèöÿìè À é À Ò ,<br />
òîáòî êîìïîíåíòè êîæíîãî âåêòîðà ìîæóòü çàïèñóâàòèñÿ ïî<br />
ðÿäêàõ àáî ñòîâïöÿõ.<br />
Ìàòðèöÿ íàçèâàºòüñÿ íóëüîâîþ, ÿêùî âñ³ ¿¿ åëåìåíòè º<br />
íóë³; ä³àãîíàëüíîþ, ÿêùî âñ³ åëåìåíòè, çà âèêëþ÷åííÿì ãîëîâíî¿<br />
ä³àãîíàë³, äîð³âíþþòü íóëþ; òðèêóòíîþ, ÿêùî íèæí³<br />
àáî âåðõí³ åëåìåíòè íàä ãîëîâíîþ ³ ïîá³÷íîþ ä³àãîíàëÿìè<br />
äîð³âíþþòü íóëþ; ñèìåòðè÷íîþ, ÿêùî a ij = a ji .<br />
44 45
ijàãîíàëüíà ìàòðèöÿ, â ÿêî¿ âñ³ åëåìåíòè ãîëîâíî¿ ä³àãîíàë³<br />
äîð³âíþþòü îäèíèö³, íàçèâàºòüñÿ îäèíè÷íîþ ³ ïîçíà÷à-<br />
ºòüñÿ áóêâîþ Å (I)<br />
⎛1 0... 0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
0 1 ... 0<br />
E = ⎜ ⎟<br />
⎜ ... ... ... ... ⎟ .<br />
⎜<br />
00...1⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2.2.3. ij¿ íàä ìàòðèöÿìè<br />
Ñóìîþ äâîõ ìàòðèöü îäíàêîâèõ ðîçì³ð³â íàçèâàºòüñÿ<br />
ìàòðèöÿ òîãî æ ðîçì³ðó, åëåìåíòè ÿêî¿ äîð³âíþþòü ñóìàì<br />
â³äïîâ³äíèõ åëåìåíò³â äîäàíê³â ìàòðèöü.<br />
Çà îçíà÷åííÿì ñóìà ìàòðèöü À ³ Â<br />
º ìàòðèöÿ<br />
⎛a11 a12 ... a1 n ⎞ ⎛b11 b12 ... b1<br />
n ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
a21 a22 ... a2n<br />
b21 b22 ... b2<br />
n<br />
A= ⎜ ⎟ B = ⎜ ⎟<br />
⎜... ... ... ... ⎟ ⎜... ... ... ... ⎟<br />
⎜ a a ... a ⎟ ⎜ b b ... b ⎟<br />
⎝ m1 m2 mn⎠ ⎝ m1 m2<br />
mn⎠<br />
⎛a + b a + b ... a + b<br />
⎜<br />
⎜<br />
a + b a + b ... a + b<br />
11 11 12 12 1n<br />
1n<br />
21 21 22 22 2n<br />
2n<br />
= + = ⎜ ... ... ... ... ⎟ (2.2.1)<br />
⎜<br />
am 1<br />
+ bm 1<br />
am2 + bm 2...<br />
amn + b ⎟<br />
⎝ mn ⎠ .<br />
C A B<br />
Î÷åâèäíî, ùî À +  =  + À; À +0=0+À = À.<br />
Ìàòðèö³ À ³ Â íàçèâàþòüñÿ ïðîòèëåæíèìè, ÿêùî ¿õ ñóìà<br />
À + Â =0 º íóëü-ìàòðèöÿ. Ìàòðèöÿ, ïðîòèëåæíà ìàòðèö³ À,<br />
ïîçíà÷àºòüñÿ –À, ³ ¿¿ åëåìåíòè ïðîòèëåæí³ çà çíàêîì åëåìåíòàì<br />
ìàòðèö³ À. Òîä³ ð³çíèöÿ äâîõ ìàòðèöü À ³  ìîæå<br />
áóòè çàì³íåíà ñóìîþ À ³ (–Â):<br />
C = À – Â = À +(–Â).<br />
Äîáóòêîì ìàòðèö³ íà ÷èñëî (àáî ÷èñëà íà ìàòðèöþ) íàçèâàºòüñÿ<br />
ìàòðèöÿ, åëåìåíòè ÿêî¿ º äîáóòêè åëåìåíò³â äàíî¿<br />
ìàòðèö³ íà öå ÷èñëî<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎛a11 a12 ... a1 n ⎞ ⎛λa11 λa12 ... λa1<br />
n ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
a21 a22 ... a2n<br />
λa21 λa22 ... λa2n<br />
λ A= Aλ = λ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />
⎜... ... ... ... ⎟ ⎜ ... ... ... ... ⎟.<br />
⎜ a a ... a ⎟ ⎜ λa λa ... λa<br />
⎟<br />
⎝ m1 m2 mn ⎠ ⎝ m1 m2<br />
mn ⎠<br />
Î÷åâèäí³ âëàñòèâîñò³: λ (À + Â) =λÀ + λÂ; À⋅0 =0⋅À =0.<br />
Ïîð³âíþþ÷è âèçíà÷åííÿ îïåðàö³é äîäàâàííÿ, â³äí³ìàííÿ<br />
³ ìíîæåííÿ ìàòðèöü íà ÷èñëî ç àíàëîã³÷íèìè îïåðàö³ÿìè<br />
íàä âåêòîðàìè, áà÷èìî ¿õ àíàëîã³þ.<br />
Äîáóòêîì äâîõ ìàòðèöü À ³  (÷èñëî ñòîâïö³â ïåðøî¿<br />
ìàòðèö³ ïîâèííî äîð³âíþâàòè ÷èñëó ðÿäê³â äðóãî¿ ìàòðèö³)<br />
íàçèâàºòüñÿ òðåòÿ ìàòðèöÿ C, ó ÿê³é åëåìåíò c ij äîð³âíþº<br />
ñóì³ äîáóòê³â åëåìåíò³â i-ãî ðÿäêà ìàòðèö³ À íà â³äïîâ³äí³<br />
åëåìåíòè j-ãî ñòîâïöÿ ìàòðèö³ Â, òîáòî<br />
{ }<br />
1 1<br />
C = A⋅ B = c , äå c = a b + ... + a b , i = 1, m, j = 1, p . (2.2.2)<br />
ij ij i j in nj<br />
ßêùî ìàòðèöÿ À ìຠðîçì³ð m×n,  — n × p, òî Ñ áóäå<br />
ìàòè ðîçì³ð m × p.<br />
Äâ³ ìàòðèö³ íàçèâàþòüñÿ ïîãîäæåíèìè, ÿêùî ÷èñëî<br />
ñòîâïö³â ïåðøî¿ ìàòðèö³ äîð³âíþº ÷èñëó ðÿäê³â äðóãî¿.<br />
Ïðèêëàä 2.2.1. Çíàéòè äîáóòîê ìàòðèöü<br />
123 ⎛7⎞<br />
⎛ ⎞ ⎜ ⎟<br />
A= ⎜ ⎟ i B = 8<br />
456<br />
⎝ ⎠<br />
.<br />
⎜9<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ö³ ìàòðèö³ ïîãîäæåí³ (ê³ëüê³ñòü ñòîâïö³â<br />
ìàòðèö³ À äîð³âíþº 3, à ê³ëüê³ñòü ðÿäê³â ìàòðèö³  òåæ<br />
äîð³âíþº 3). Çà âèçíà÷åííÿì äîáóòêó çíàõîäèìî<br />
⎛7⎞<br />
⎛123⎞⎜ ⎟ ⎛17 ⋅ + 28 ⋅ + 39 ⋅ ⎞ ⎛50⎞<br />
AB ⋅ = ⎜ ⎟ 8<br />
456 = ⎜ ⎟=<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝47 ⋅ + 58 ⋅ + 69 ⋅ ⎠ ⎝122⎠<br />
.<br />
⎜9⎟<br />
⎝ ⎠<br />
46 47
Ïðèêëàä 2.2.2. Çíàéòè äîáóòîê ìàòðèöü<br />
123<br />
æ10ö æ ö A= i B 0 5<br />
=<br />
ç 456<br />
÷<br />
è ø .<br />
çè70ø<br />
÷<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ö³ ìàòðèö³ òàêîæ ïîãîäæåí³ (ê³ëüê³ñòü<br />
ñòîâïö³â ìàòðèö³ A äîð³âíþº 3, à ê³ëüê³ñòü ðÿäê³â ìàòðèö³ B<br />
òàêîæ äîð³âíþº 3). Çà îçíà÷åííÿì äîáóòêó ìàòðèöü ìàºìî:<br />
æ10ö æ1 2 3ö æ1× 1+ 2× 0+ 3× 7 1× 0+ 2× 5+ 3×<br />
0ö æ22 10ö<br />
AB × = 05 × = =<br />
.<br />
ç 456 è ÷ ø ç41 × + 50 × + 67 × 40 × + 55 × + 60 ×<br />
÷ ç46 25<br />
è ø è ÷ ø<br />
çè70<br />
÷ ø<br />
Ïðèêëàä 2.2.3. ϳäðÿäíèê-áóä³âåëüíèê óêëàâ äîãîâ³ð íà<br />
áóä³âíèöòâî òàêèõ ñïîðóä: 3 øêîëè, 5 äèòÿ÷èõ ñàäê³â,<br />
9 æèòëîâèõ áóäèíê³â. Ìàòåð³àëàìè äëÿ áóä³âíèöòâà º ñòàëü,<br />
ë³ñ, ñêëî, öåãëà. ʳëüê³ñòü ñèðîâèíè, à òàêîæ ðîáî÷î¿ ñèëè<br />
íà êîæíèé âèä ñïîðóäè â äåÿêèõ óìîâíèõ îäèíèöÿõ âèçíà-<br />
÷àºòüñÿ ìàòðèöåþ<br />
⎛10 17 8 5 11⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
A = 7 12 4 3 8<br />
.<br />
⎜5 15 10 4 9⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
Òóò à 11 =10, à 21 =7, à 31 =5 â³äïîâ³äíî îçíà÷àº, ùî íà ñïîðóäó<br />
øêîëè, äèòÿ÷îãî ñàäêà, æèòëîâîãî áóäèíêó âèêîðèñòîâóºòüñÿ<br />
10, 7, 5 îäèíèöü ñòàë³ â³äïîâ³äíî; à 12 =17, à 22 =12, à 32 =15<br />
îçíà÷àº, ùî íà ñïîðóäó øêîëè, äèòÿ÷îãî ñàäêà, æèòëîâîãî<br />
áóäèíêó âèêîðèñòîâóºòüñÿ 17, 12, 15 îäèíèöü ë³ñó â³äïîâ³äíî;<br />
à 13 =8, à 23 =4, à 33 =10 îçíà÷àº, ùî íà ñïîðóäó øêîëè, äèòÿ-<br />
÷îãî ñàäêà, æèòëîâîãî áóäèíêó âèêîðèñòîâóºòüñÿ 8, 4, 10<br />
îäèíèöü ñêëà â³äïîâ³äíî; à 14 =5, à 24 =3, à 34 =4 îçíà÷àº, ùî íà<br />
ñïîðóäó øêîëè, äèòÿ÷îãî ñàäêà, æèòëîâîãî áóäèíêó âèêîðèñòîâóºòüñÿ<br />
5, 3, 4 îäèíèöü öåãëè â³äïîâ³äíî; à 15 =11, à 25 =8,<br />
à 35 =9 îçíà÷àº, ùî íà ñïîðóäó øêîëè, äèòÿ÷îãî ñàäêà, æèòëîâîãî<br />
áóäèíêó âèêîðèñòîâóºòüñÿ 11, 8, 9 îäèíèöü ðîáî÷î¿<br />
ñèëè â³äïîâ³äíî.<br />
Îäèíèöÿ ñòàë³ êîøòóº 120 ãðí., îäèíèöÿ ë³ñó — 70 ãðí.,<br />
îäèíèöÿ ñêëà — 50 ãðí., îäèíèöÿ öåãëè — 40 ãðí., îäèíèöÿ<br />
ðîáî÷î¿ ñèëè — 100 ãðí.<br />
Çàóâàæèìî, ùî âñ³ öèôðè, ÿê³ ô³ãóðóþòü â çàäà÷³, —<br />
óìîâí³ ³ íå â³äïîâ³äàþòü ä³éñíèì äàíèì.<br />
Òðåáà âèçíà÷èòè: 1. Çàãàëüíó ê³ëüê³ñòü íåîáõ³äíèõ ìàòåð³àë³â<br />
íà áóä³âíèöòâî ñïîðóä. 2. Âàðò³ñòü ìàòåð³àë³â ³ ðîáî-<br />
÷î¿ ñèëè äëÿ êîæíîãî âèäó ñïîðóä. 3. Çàãàëüíó âàðò³ñòü<br />
ìàòåð³àë³â ³ ðîáî÷î¿ ñèëè.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1. Äîãîâ³ð, ÿêèé ï³äðÿäíèê óêëàâ íà<br />
áóä³âíèöòâî ñïîðóä, çîáðàçèìî ó âèãëÿä³ âåêòîðà-ðÿäêà<br />
 = (3 5 9). Ùîá óçíàòè ê³ëüê³ñòü íåîáõ³äíèõ ìàòåð³àë³â ³<br />
îäèíèöü ðîáî÷î¿ ñèëè, òðåáà ïåðåìíîæèòè ìàòðèö³ À òà  ³<br />
çíàéòè äîáóòîê B ⋅ A ó âêàçàíîìó ïîðÿäêó. Öåé äîáóòîê ìàº<br />
ñåíñ, òîìó ùî â ìàòðèö³ B òðè ñòîâïö³, à â ìàòðèö³ À —<br />
ñò³ëüêè æ ðÿäê³â.  ðåçóëüòàò³ òàêîãî ïåðåìíîæåííÿ ìàºìî:<br />
ÂÀ = (110 246 134 66 154).<br />
Îòæå, ï³äðÿäíèê ïîâèíåí ïðèäáàòè ñòàë³ 110 îäèíèöü,<br />
ë³ñó 246 îäèíèöü, ñêëà 134 îäèíèö³, öåãëè 66 îäèíèöü òà<br />
154 îäèíèö³ ðîáî÷î¿ ñèëè.<br />
2. Ùîá óçíàòè âàðò³ñòü ìàòåð³àë³â òà ðîáî÷î¿ ñèëè ââåäåìî<br />
â ðîçãëÿä âåêòîð ö³í, ÿêèé äëÿ çðó÷íîñò³ ïîçíà÷èìî<br />
ÿê âåêòîð-ñòîâïåöü<br />
⎛120⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
70<br />
⎟<br />
P = ⎜50<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
40<br />
.<br />
⎜ ⎟<br />
⎜100⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Ïîìíîæèìî òåïåð ñïðàâà ìàòðèöþ À íà âåêòîð-ñòîâïåöü<br />
Ð. Â ðåçóëüòàò³ ìàòèìåìî<br />
⎛4090⎞<br />
⎜ ⎟<br />
AP = 2800<br />
.<br />
⎜3210⎟<br />
⎝ ⎠<br />
48 49
Òàêèì ÷èíîì, âàðò³ñòü ìàòåð³àë³â ³ ðîáî÷î¿ ñèëè äëÿ<br />
ïîáóäîâè øêîëè ñòàíîâèòü 4090 ãðí., äëÿ ïîáóäîâè äèòÿ÷îãî<br />
ñàäêà — 2800 ãðí., äëÿ ïîáóäîâè æèòëîâîãî áóäèíêó<br />
— 3210 ãðí.<br />
3. Ùîá â³äïîâ³ñòè íà òðåòº ïèòàííÿ, ñêëàäåìî äîáóòîê<br />
ìàòðèöü Â, À ³ Ð.  ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî, ùî ÂÀÐ = 55160.<br />
Îòæå, âàðò³ñòü óñ³õ ñïîðóä ñòàíîâèòü 55160 ãðí. (ïåâíà<br />
ð³÷, óìîâíî).<br />
×èòà÷åâ³ íàïîëåãëèâî ðåêîìåíäóºìî: 1) ïåðåâ³ðèòè âñ³<br />
ïðîì³æí³ âèêëàäêè; 2) ïîÿñíèòè, ÷îìó äîáóòîê ÑÀ íå ìàº<br />
ñìèñëó; 3) ïîêàçàòè âëàñòèâ³ñòü àñîö³àòèâíîñò³ ìàòðèöü Â,<br />
À ³ Ð.<br />
Íà çàê³í÷åííÿ â³äì³òèìî îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ ìíîæåííÿ<br />
ìàòðèöü.<br />
1. À⋅0 =0.<br />
2. À⋅Å = E⋅À=A (A — êâàäðàòíà ìàòðèöÿ).<br />
3. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó À⋅Â ≠ Â⋅À (À⋅Â ³ Â⋅À ìàþòü<br />
ñåíñ). ßêùî À⋅Â = Â⋅À, òî ìàòðèö³ íàçèâàþòüñÿ ïåðåñòàâíèìè<br />
(êîìóòàòèâíèìè).<br />
4. Íåõàé À, Â, Ñ — ìàòðèö³, ÿê³ ìîæíà äîäàâàòè ³ ïåðåìíîæóâàòè,<br />
³ α — ÷èñëî. Òîä³ ìàþòü ì³ñöå ð³âíîñò³<br />
α⋅(À⋅Â) =(α⋅À)⋅Â = À⋅(α⋅Â), À⋅Â⋅C =(À⋅Â)⋅C = À⋅(Â⋅C),<br />
À⋅(Â + C) =À⋅Â + À⋅C.<br />
5. (À⋅Â) Ò = Â Ò ⋅À Ò .<br />
Äîâåäåìî âëàñòèâ³ñòü 2, ïðè÷îìó íå îáìåæóþ÷è çàãàëüí³ñòü<br />
ïðè n =2.<br />
Íåõàé<br />
Òîä³<br />
A<br />
⎛a<br />
a ⎞ ⎛10⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟.<br />
⎝ ⎠ ⎝01⎠<br />
11 12<br />
= , E =<br />
a21 a22<br />
⎛a ⋅ 1+ a ⋅0 a ⋅ 0+ a ⋅1⎞ ⎛a a ⎞<br />
A⋅ E = =<br />
11 12 11 12 11 12<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝a21 ⋅ 1+ a22 ⋅0 a21 ⋅ 0+ a22 ⋅1⎠ ⎝a21 a22<br />
⎠ ,<br />
⎛1⋅ a + 0⋅a 0⋅ a + 1⋅a ⎞ ⎛a a ⎞<br />
E⋅ A= =<br />
11 12 11 12 11 12<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝1⋅ a21 + 0⋅a22 0⋅ a21 + 1⋅a22 ⎠ ⎝a21 a22<br />
⎠ ,<br />
çâ³äêè âèïëèâàº, ùî À⋅Å = E⋅À = A. Îòæå, âëàñòèâ³ñòü 2 ïðè<br />
n = 2 äîâåäåíî.<br />
²íø³ âëàñòèâîñò³ ïðè n = 2 ðåêîìåíäóºìî ÷èòà÷åâ³ äîâåñòè<br />
ñàìîñò³éíî.<br />
2.3. ÂÈÇÍÀ×ÍÈÊ, ̲ÍÎÐÈ É ÀËÃÅÁÐÀ¯×Ͳ<br />
ÄÎÏÎÂÍÅÍÍß<br />
2.3.1. Îçíà÷åííÿ<br />
Ðîçãëÿíåìî êâàäðàòíó ìàòðèöþ<br />
A<br />
⎛a a ... a<br />
⎜<br />
⎜<br />
a a ... a<br />
... ... ... ...<br />
⎜<br />
⎝a a ... a<br />
11 12 1n<br />
21 22 2n<br />
= ⎜ ⎟<br />
n1 n2<br />
nn<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
. (2.3.1)<br />
⎟<br />
⎠<br />
¯é ìîæíà ïîñòàâèòè ó â³äïîâ³äí³ñòü âèçíà÷åíå ÷èñëî, ÿêå<br />
íàçèâàºòüñÿ äåòåðì³íàíòîì, àáî âèçíà÷íèêîì ìàòðèö³.<br />
Ïîçíà÷àºòüñÿ âîíî ñèìâîëàìè<br />
a11 a12 ... a1n<br />
=∆<br />
a a ... a<br />
=<br />
... ... ... ...<br />
=<br />
a a ... a<br />
21 22 2n<br />
det A<br />
A<br />
A .<br />
n1 n2<br />
nn<br />
(2.3.2)<br />
Ïîíÿòòÿ âèçíà÷íèêà ââîäèòüñÿ ò³ëüêè äëÿ êâàäðàòíèõ<br />
ìàòðèöü. Ââîäèòüñÿ òàêîæ ïîíÿòòÿ ïîðÿäêó âèçíà÷íèêà,<br />
ÿêèé äîð³âíþº ïîðÿäêó ìàòðèö³.<br />
̳íîðîì äåÿêîãî åëåìåíòà êâàäðàòíî¿ ìàòðèö³ íàçèâà-<br />
ºòüñÿ âèçíà÷íèê íîâî¿ ìàòðèö³, ÿêó îòðèìóºìî ³ç äàíî¿ ìàòðèö³<br />
âèêðåñëþâàííÿì ðÿäêà ³ ñòîâïöÿ, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ íà<br />
öüîìó åëåìåíò³, íàïðèêëàä ì³íîð a ij -ãî åëåìåíòà ìàòðèö³ À ïîçíà÷àºòüñÿ<br />
òàê:<br />
50 51
a a ... a a ... a<br />
a a ... a a ... a<br />
... ... ... ... ... ... ...<br />
M = a a ... a a ... a<br />
a a ... a a ... a<br />
... ... ... ... ... ... ...<br />
a a ... a a ... a<br />
11 12 1 j− 1 1 j+<br />
1 1n<br />
21 22 2 j− 1 2 j+<br />
1 2n<br />
ij i−11 i−12 i−1 j−1 i− 1 j+ 1 i−1n<br />
i+ 11 i+ 12 i+ 1 j− 1 i+ 1j+<br />
1 i+<br />
1n<br />
n1 n2 nj− 1 nj+<br />
1 nn<br />
. (2.3.3)<br />
̳íîðîì ìàòðèö³ ïåðøîãî ïîðÿäêó À =(à 11 ) ïðèéíÿòî<br />
ââàæàòè åëåìåíò à 11 , òîáòî Ì 11 = à 11 .<br />
⎛a11 a12<br />
⎞<br />
Äëÿ ìàòðèö³ äðóãîãî ïîðÿäêó A = ⎜ ⎟ ìàºìî ÷îòèðè<br />
⎝a21 a22<br />
⎠<br />
ì³íîðè ïåðøîãî ïîðÿäêó: Ì 11 = à 22 , Ì 12 = à 21 , Ì 21 = à 12 ,<br />
Ì 22 = à 11 .<br />
Âèçíà÷íèê ïîðÿäêó n, äå n > 1, º ÷èñëî, ùî îá÷èñëþºòüñÿ<br />
çà ôîðìóëîþ<br />
n<br />
n<br />
i+<br />
j<br />
A<br />
det A ( 1) aijMij aijAij<br />
j= 1 j=<br />
1<br />
∆ = = ∑ − = ∑ . (2.3.4)<br />
Òóò ÷èñëî A ij = (-1) i+j M ij íàçèâàºòüñÿ àëãåáðà¿÷íèì äîïîâíåííÿì<br />
åëåìåíòà a ij .<br />
Ó ôîðìóë³ (2.3.4) ³íäåêñ i ìîæå ïðèéìàòè áóäü-ÿêå çíà-<br />
÷åííÿ â³ä 1 äî n. Êð³ì öüîãî, ³íäåêñè i òà j ìîæíà ïîì³íÿòè<br />
ì³ñöÿìè. Ïðè öüîìó çíà÷åííÿ âèçíà÷íèêà íå çì³íèòüñÿ.<br />
 ïåðøîìó âèïàäêó çà ôîðìóëîþ (2.3.4) âèçíà÷íèê îá-<br />
÷èñëþºòüñÿ çà åëåìåíòàìè áóäü-ÿêîãî ðÿäêà, â äðóãîìó —<br />
çà åëåìåíòàìè áóäü-ÿêîãî ñòîâïöÿ.<br />
Ôîðìóëà (2.3.4) º çì³ñòîâíîþ â ³íäóêòèâíîìó ñåíñ³, òîáòî<br />
ðîçêðèòòÿ (îá÷èñëåííÿ) âèçíà÷íèê³â á³ëüø âèñîêîãî ïîðÿäêó<br />
çä³éñíþºòüñÿ ïîñë³äîâíî ÷åðåç âèçíà÷íèêè á³ëüø íèçüêîãî<br />
ïîðÿäêó. Íàïðèêëàä,<br />
⎛a<br />
a ⎞<br />
det ⎜ = ( − 1) + ( − 1) = −<br />
⎝a<br />
⎠<br />
11 12 1+ 1 1+<br />
2<br />
⎟ a11M11 a12M12 a11a22 a12a21<br />
21<br />
a22<br />
.<br />
Âèçíà÷íèê äðóãîãî ïîðÿäêó äîð³âíþº ð³çíèö³ äîáóòê³â<br />
åëåìåíò³â, ùî ðîçòàøîâàí³ íà ãîëîâí³é ³ ïîá³÷í³é ä³àãîíàëÿõ.<br />
Ðîçãëÿíåìî òåïåð âèçíà÷íèê òðåòüîãî ïîðÿäêó<br />
⎛a11 a12 a13<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ 1+ 1 1+ 2 1+<br />
3<br />
det a21 a22 a23 = ( − 1) a11M11 + ( − 1) a12M12 + ( − 1) a13M13<br />
=<br />
⎜a31 a32 a ⎟<br />
⎝<br />
33 ⎠<br />
a a a a a a<br />
= a − a + a = a a<br />
22 23 21 23 21 22<br />
11 12 13<br />
a<br />
32 a<br />
33 a<br />
31 a<br />
33<br />
31 32<br />
= a ( a a −a a ) −a ( a a − a a ) + a ( a a − a a ) =<br />
11 22 33 23 32 12 21 33 31 23 13 21 32 31 22<br />
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −a13a22a31 −a11a23a32 − a12a21a33<br />
.<br />
Îòðèìàíà ôîðìóëà äîçâîëÿº âñòàíîâèòè äâà ïðîñòèõ<br />
ïðàâèëà éîãî îá÷èñëåííÿ. Ïåðøå — ïðàâèëî òðèêóòíèê³â,<br />
ùî âêàçóº, ÿê³ òðè åëåìåíòè ïåðåìíîæóþòüñÿ ³ ÿêèé çíàê<br />
¿ì ïðèïèñóºòüñÿ<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
• • • = • • • + • • • + • • • − • • • − • • • − • • •<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
³ ïðàâèëî ïðèïèñóâàííÿ ñòîâïö³â:<br />
a a a<br />
a a a<br />
a a a<br />
11 12 13<br />
21 22 23<br />
31 32 33<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11 12<br />
21 22<br />
31 32<br />
Òàêèì ÷èíîì, äëÿ áåçïîñåðåäíüîãî îá÷èñëåííÿ âèçíà÷íèêà<br />
òðåòüîãî ïîðÿäêó ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè òðè ïðàâèëà:<br />
òðèêóòíèê³â, ïðèïèñóâàííÿ ñòîâïö³â ³ ðîçêëàäàííÿ ïî åëåìåíòàõ<br />
áóäü-ÿêîãî ñòîâïöÿ àáî ðÿäêà.<br />
Äëÿ áåçïîñåðåäíüîãî ðîçêðèòòÿ âèçíà÷íèêà á³ëüø âèñîêîãî<br />
ïîðÿäêó º ëèøå îäíå ïðàâèëî — ðîçêëàäàííÿ çà åëåìåíòàìè<br />
áóäü-ÿêîãî ñòîâïöÿ àáî ðÿäêà.<br />
.<br />
52 53
Ïðèêëàä 2.3.1. Îá÷èñëèòè âèçíà÷íèê<br />
1 2 3 4<br />
0 0 2 5<br />
∆=<br />
2 1 3 1 .<br />
1 2 1 7<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñê³ëüêè âèçíà÷íèê ìຠäâà íóë³ ó äðóãîìó<br />
ðÿäêó, òî ðîçêëàäåìî éîãî ïî åëåìåíòàõ öüîãî æ ðÿäêà<br />
124 123<br />
2+ 3 2+<br />
4<br />
∆= 0+ 0 + ( −1) ⋅2⋅ 211 + ( −1) ⋅5⋅213<br />
.<br />
127 1 21<br />
Ðîçêðèâàþ÷è âèçíà÷íèêè òðåòüîãî ïîðÿäêó çà áóäü-ÿêèì<br />
ïðàâèëîì, îòðèìàºìî ∆ =2⋅9+5⋅6=48.<br />
2.3.2. Âëàñòèâîñò³ âèçíà÷íèê³â<br />
Íàâåäåìî îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ âèçíà÷íèê³â.<br />
1. Âåëè÷èíà âèçíà÷íèêà íå çì³íèòüñÿ, ÿêùî âñ³ éîãî<br />
ðÿäêè çàì³íèòè ñòîâïöÿìè ç òèì æå íîìåðîì, òîáòî<br />
T<br />
A = A .<br />
2. ßêùî ïîì³íÿòè ì³ñöÿìè äâà ñòîâïöÿ (ðÿäêè) âèçíà÷íèêà,<br />
òî éîãî çíàê çì³íèòüñÿ íà ïðîòèëåæíèé. Íàïðèêëàä,<br />
21 12 73<br />
∆ = = 6− 7= − 1; = 7− 6= 1; = 7− 6 1<br />
73 37 21<br />
= .<br />
3. Âèçíà÷íèê, ÿêèé ìຠäâà îäíàêîâèõ ñòîâïöÿ (ðÿäêè),<br />
äîð³âíþº íóëþ.<br />
ijéñíî, ÿêùî ó âèçíà÷íèêà äâà ñòîâïöÿ îäíàêîâ³, òî,<br />
ÿêùî ïîì³íÿºìî ¿õ ì³ñöÿìè, çíàê âèçíà÷íèêà çà âëàñòèâ³ñòþ<br />
2 ïîâèíåí çì³íèòèñÿ íà ïðîòèëåæíèé, à ñàì âèçíà÷íèê<br />
íå çì³íèòüñÿ, òîáòî ∆ =–∆ ⇒ 2∆ =0 ³ ∆ =0.<br />
4. ßêùî âñ³ åëåìåíòè áóäü-ÿêîãî ñòîâïöÿ (ðÿäêà) ì³ñòÿòü<br />
çàãàëüíèé ìíîæíèê, òî éîãî ìîæíà âèíåñòè çà çíàê âèçíà÷íèêà.<br />
Íàïðèêëàä,<br />
a11 ma12 a11 a12<br />
2 5<br />
= m ; = 20− 5= 15,<br />
a ma a a 110<br />
21 22 21 22<br />
2 5 2 5⋅1 2 1<br />
= = 5⋅ = 5(4− 1) = 15.<br />
110 1 5⋅<br />
2 12<br />
5. Âèçíà÷íèê, ó ÿêîãî åëåìåíòè äâîõ ñòîâïö³â (ðÿäê³â)<br />
â³äïîâ³äíî ïðîïîðö³éí³, äîð³âíþº íóëþ. ijéñíî, íåõàé<br />
Òîä³<br />
a a a ma<br />
11 12 11 11<br />
∆= =<br />
a21 a22 a21 ma<br />
.<br />
21<br />
a11 ma11 a11 a11<br />
= m = m⋅ 0 0<br />
a ma a a<br />
= .<br />
21 21 21 21<br />
6. ßêùî êîæíèé åëåìåíò áóäü-ÿêîãî ñòîâïöÿ (ðÿäêà) º<br />
ñóìîþ äâîõ äîäàíê³â, òî âèçíà÷íèê äîð³âíþº ñóì³ äâîõ âèçíà÷íèê³â,<br />
ó ÿêèõ ñòîâïöÿìè (ðÿäêàìè) º â³äïîâ³äí³ äîäàíêè,<br />
à ³íø³ åëåìåíòè çá³ãàþòüñÿ ç³ ñòîâïöÿìè (ðÿäêàìè) çàäàíîãî<br />
âèçíà÷íèêà:<br />
a + a a a a a a 2 + ( −1) ⋅4 5 2 5 −4 5<br />
'<br />
'<br />
11 11 12 11 12 11 12<br />
= + ;<br />
= +<br />
' '<br />
21<br />
+ a<br />
21 22 21<br />
a22<br />
3+<br />
2 7 3 7 2 7<br />
.<br />
21 22<br />
a a a a a<br />
Îñòàííÿ ð³âí³ñòü ä³éñíî ñïðàâåäëèâà:<br />
2 + (1)4 − ⋅ 5 25 −45<br />
=− 39, + = 14 −15 −28 − 10 =−39<br />
.<br />
3+<br />
2 7 3 7 2 7<br />
7. Âèçíà÷íèê íå çì³íèòüñÿ, ÿêùî äî åëåìåíò³â áóäü-ÿêîãî<br />
éîãî ñòîâïöÿ (ðÿäêà) äîäàòè â³äïîâ³äí³ åëåìåíòè äðóãîãî<br />
ñòîâïöÿ (ðÿäêà), ïîìíîæåí³ íà òå ñàìå ÷èñëî.<br />
Öÿ âëàñòèâ³ñòü âèïëèâຠç âëàñòèâîñòåé 3,4,6. ijéñíî,<br />
íåõàé<br />
a11 a12 a11 + ma12 a12<br />
∆= i ∆<br />
1<br />
=<br />
a a a + ma a<br />
.<br />
21 22 21 22 22<br />
54 55
Òîä³<br />
a<br />
12 12<br />
∆<br />
1<br />
=∆+ m =∆ a<br />
22 a<br />
.<br />
22<br />
8. Ñóìà äîáóòê³â åëåìåíò³â a ij äåÿêîãî ðÿäêà (ñòîâïöÿ)<br />
âèçíà÷íèêà íà àëãåáðà¿÷í³ äîïîâíåííÿ åëåìåíò³â ³íøîãî<br />
ðÿäêà (ñòîâïöÿ) äîð³âíþº íóëþ:<br />
n<br />
n<br />
ik jk ki kj<br />
k= 1 k=<br />
1<br />
∑ a A = ∑ a A = 0, i ≠ j, i, j = 1, n.<br />
Öþ âëàñòèâ³ñòü ìè äîâåäåìî ó çàãàëüíîìó âèïàäêó. Ïîðÿä<br />
³ç êâàäðàòíîþ ìàòðèöåþ (2.3.1) ðîçãëÿíåìî äîïîì³æíó<br />
ìàòðèöþ A , ÿêà áóäóºòüñÿ ³ç ìàòðèö³ A çàì³íîþ j-ãî ðÿäêà<br />
íà ³-é ðÿäîê (i≠j, i, j = 1, n ):<br />
a<br />
⎛a11 a12 ... a1<br />
n ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
... ... ... ...<br />
⎟<br />
⎜a1 2<br />
... ⎟<br />
i<br />
ai ain<br />
⎜<br />
⎟<br />
A = ⎜... ... ... ... ⎟<br />
⎜a1 2<br />
... ⎟<br />
i<br />
ai ain<br />
,<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜... ... ... ... ⎟<br />
⎜<br />
1 2<br />
...<br />
⎟<br />
⎝an an ann⎠<br />
òîáòî ìàòðèöÿ A ìຠäâà îäíàêîâèõ ðÿäêè. ßñíî, ùî òàêó<br />
âëàñòèâ³ñòü áóäå ìàòè ³ â³äïîâ³äíèé âèçíà÷íèê A . Çã³äíî<br />
ç âëàñòèâ³ñòþ 3 ¿¿ âèçíà÷íèê äîð³âíþº íóëþ. Ç äðóãîãî<br />
áîêó, îá÷èñëèìî âèçíà÷íèê A ñïîñîáîì ðîçêëàäàííÿ çà<br />
åëåìåíòàìè j-ãî ðÿäêà, ó ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî:<br />
n<br />
A = ∑ aik<br />
Ajk<br />
= 0, i ≠ j, i, j = 1, n.<br />
k=<br />
1<br />
Òàêèì ÷èíîì, ïåðøà ÷àñòèíà âëàñòèâîñò³ 8 äîâåäåíà.<br />
Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ äðóãà ÷àñòèíà âëàñòèâîñò³ 8.<br />
Ïîäàìî áåç äîâåäåííÿ ùå îäíó âëàñòèâ³ñòü âèçíà÷íèêà<br />
ìàòðèö³, ÿêà º äîáóòêîì äâîõ êâàäðàòíèõ ìàòðèöü.<br />
9. Âèçíà÷íèê äîáóòêó äâîõ êâàäðàòíèõ ìàòðèöü äîð³âíþº<br />
äîáóòêó ¿õ âèçíà÷íèê³â:<br />
C = A ⋅ B , äå C = AB; A i B — ìàòðèö³ n-ãî ïîðÿäêó.<br />
³äçíà÷èìî, ùî âèêîðèñòàííÿ âëàñòèâîñòåé âèçíà÷íèêà<br />
ñïðîùóº éîãî îá÷èñëåííÿ.<br />
Ïðèêëàä 2.3.2. Îá÷èñëèòè âèçíà÷íèê<br />
123<br />
∆= 456<br />
.<br />
789<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Âèçíà÷íèê áóäåìî îá÷èñëþâàòè òðüîìà<br />
ñïîñîáàìè.<br />
1 0 (áàçóºòüñÿ íà ïðàâèë³ òðèêóòíèê³â). Âèêîðèñòîâóþ÷è<br />
éîãî, îòðèìàºìî:<br />
123<br />
∆ = 456= 159 ⋅ ⋅ + 267 ⋅ ⋅ + 483 ⋅ ⋅ −753 ⋅ ⋅ −429 ⋅ ⋅ −861 ⋅ ⋅ = 0.<br />
789<br />
2 0 (áàçóºòüñÿ íà ðîçêëàäàíí³ âèçíà÷íèêà ïî åëåìåíòàõ<br />
ðÿäê³â òà ñòîâïö³â). Çã³äíî ç ôîðìóëîþ 2.3.4 ìàºìî:<br />
123<br />
56 46 45<br />
∆= = − ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ =<br />
89 79 78<br />
789<br />
1+ 1 1+ 2 1+<br />
3<br />
456 (1) (1) 2 (1) 3 0.<br />
3 0 (áàçóºòüñÿ íà âëàñòèâîñòÿõ âèçíà÷íèêà). Çàñòîñîâóþ÷è<br />
ïîñë³äîâíî ïðàâèëà 7,4 áóäåìî ìàòè:<br />
123 1 2 3<br />
−3 −6 1 2<br />
∆= 456= 0−3 − 6 = = (3)(6) − ⋅ − = 0.<br />
−6 −12 1 2<br />
789 0−6−12<br />
56 57
Àëãîðèòìè îá÷èñëåííÿ âèçíà÷íèêà ïåðøèìè äâîìà ñïîñîáàìè<br />
äóæå ïðîñò³. Âîíè îáóìîâëþþòüñÿ ïðàâèëîì òðèêóòíèê³â<br />
òà ôîðìóëîþ (2.3.4). Ùîäî òðåòüîãî ñïîñîáó, òî â³í<br />
ïîòðåáóº íèçêó ïåðåòâîðåíü âèçíà÷íèêà, ÿê³ íå çì³íþþòü<br />
éîãî çíà÷åííÿ. Ó íàøîìó âèïàäêó ìè çðîáèëè òàê³ ïåðåòâîðåííÿ:<br />
1) çàëèøèëè ïåðøèé ðÿäîê áåç çì³íè; 2) åëåìåíòè<br />
ïåðøîãî ðÿäêà ïîìíîæèëè íà –4 ³ äîáàâèëè äî â³äïîâ³äíèõ<br />
åëåìåíò³â äðóãîãî ðÿäêà.  ðåçóëüòàò³ îòðèìàëè íîâ³ åëåìåíòè<br />
äðóãîãî ðÿäêà; 3) åëåìåíòè ïåðøîãî ðÿäêà ïîìíîæèëè<br />
íà –7 ³ äîáàâèëè äî â³äïîâ³äíèõ åëåìåíò³â òðåòüîãî ðÿäêà.<br />
 ðåçóëüòàò³ îòðèìàëè íîâ³ åëåìåíòè òðåòüîãî ðÿäêà. Çàóâàæèìî<br />
òàêîæ, ùî ïåðåòâîðåííÿ 2) – 3) çä³éñíþþòüñÿ îäíî÷àñíî<br />
(ïåðåòâîðåíèé âèçíà÷íèê îäèí).<br />
Çàóâàæåííÿ. Äëÿ îá÷èñëåííÿ âèçíà÷íèêà ó ïðèêëàä³<br />
2.3.2 ìè çàïðîïîíóâàëè òðè ñïîñîáè. Íà íàø ïîãëÿä, ñàìèé<br />
åôåêòèâíèé ñïîñ³á — òðåò³é, ïðîòå â³í ïîòðåáóº äîáðèõ<br />
çíàíü âëàñòèâîñòåé âèçíà÷íèêà, âèíàõ³äëèâîñò³ ³ “íàáèòòÿ<br />
ðóêè” (ïðàêòèêè). Ïåðø³ äâà ñïîñîáè ìåíø åôåêòèâí³, àëå<br />
á³ëüø íàä³éí³ â òîìó ïëàí³, ùî ïåâíà ïîñë³äîâí³ñòü êðîê³â<br />
(àëãîðèòì) îá÷èñëåííÿ âêàçóº íàïðÿìîê äîñÿãíåííÿ ìåòè ³<br />
òèì ñàìèì çìåíøóº éìîâ³ðí³ñòü çðîáèòè ïîìèëêó. ³ä ïîìèëîê<br />
í³õòî íå çàñòðàõîâàíèé. ¯õ ìîæíà ìàòè, îá÷èñëþþ÷è<br />
âèçíà÷íèê áóäü-ÿêèì ñïîñîáîì. Òîìó ÷èòà÷ ïîâèíåí ñàì<br />
âèáðàòè çðó÷íèé äëÿ íüîãî ñïîñ³á îá÷èñëåííÿ âèçíà÷íèê³â.<br />
Ö³ ïðîïîçèö³¿ ñòîñóþòüñÿ îá÷èñëåííÿ âèçíà÷íèê³â òðåòüîãî<br />
ïîðÿäêó. Ùîäî îá÷èñëåííÿ âèçíà÷íèê³â ïîðÿäêó âèùå òðåòüîãî,<br />
òî òðåáà âèêîðèñòîâóâàòè òðåò³é ñïîñ³á ³, ïåâíà ð³÷,<br />
äðóãèé ñïîñ³á.<br />
2.4. ÐÀÍÃ ÌÀÒÐÈÖ²<br />
2.4.1. Îçíà÷åííÿ<br />
Êâàäðàòíà ìàòðèöÿ À íàçèâàºòüñÿ âèðîäæåíîþ (îñîáëèâîþ),<br />
ÿêùî ¿¿ âèçíà÷íèê äîð³âíþº íóëþ (|A| = 0), ³ íåâèðîäæåíîþ<br />
(íåîñîáëèâîþ) ó âèïàäêó |A| ≠ 0.<br />
²ç ìàòðèö³ ðîçì³ðó m×n ìîæíà, âèêðåñëþþ÷è äåÿêå ÷èñëî<br />
ðÿäê³â ³ ñòîâïö³â, ð³çíèìè ñïîñîáàìè óòâîðèòè êâàäðàòí³<br />
ìàòðèö³. Âèçíà÷íèêè ìàòðèöü, ÿê³ îäåðæàíî òàêèì ÷èíîì,<br />
íàçèâàþòüñÿ ì³íîðàìè ìàòðèö³ ðîçì³ðó m×n. Äåÿê³ ç öèõ<br />
ì³íîð³â ìîæóòü áóòè â³äì³íí³ â³ä íóëÿ, ³íø³ äîð³âíþâàòè<br />
íóëþ.<br />
Âçàãàë³, ç ìàòðèö³ ðîçì³ðó m×n ìîæíà ñêëàñòè ì³íîðè,<br />
ïîðÿäîê ÿêèõ íå ïåðåâèùóº min (m,n).<br />
Ðàíãîì ìàòðèö³ À (êâàäðàòíî¿ àáî m×n) íàçèâàºòüñÿ<br />
íàéâèùèé ïîðÿäîê ¿¿ â³äì³ííèõ â³ä íóëÿ ì³íîð³â. ßêùî<br />
öåé ïîðÿäîê äîð³âíþº r, òî çàïèñóþòü r = rang A =RgA.<br />
Î÷åâèäíî, ùî ÿêùî ðàíã ìàòðèö³ À äîð³âíþº r, òî âñ³ ì³íîðè<br />
á³ëüø âèñîêîãî ïîðÿäêó, ÿêùî âîíè ³ñíóþòü, äîð³âíþþòü<br />
íóëþ.<br />
Íóëü-ìàòðèöÿ (âñ³ åëåìåíòè äîð³âíþþòü íóëþ) ìຠíóëüîâèé<br />
ðàíã.<br />
Ïðèêëàä 2.4.1. Çíàéòè ðàíã ìàòðèö³<br />
⎛123⎞<br />
⎜ ⎟<br />
A = 456<br />
.<br />
⎜789⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Âèçíà÷íèê ìàòðèö³ À äîð³âíþº íóëþ (öå áóëî ïîêàçàíî<br />
ó ïðèêëàä³ 2.3.2, ïðè÷îìó òðüîìà ñïîñîáàìè). Îñê³ëüêè<br />
12<br />
45<br />
M<br />
33<br />
= = 5− 8=−3 ≠ 0 ,<br />
òî Rg A = 2 (ðàíã À äîð³âíþº 2). Î÷åâèäíî, ùî ìàòðèöÿ À<br />
ì³ñòèòü ³ ³íø³ ì³íîðè äðóãîãî ïîðÿäêó, â³äì³íí³ â³ä íóëÿ.<br />
Ðåêîìåíäóºìî ÷èòà÷åâ³ âèçíà÷èòè ¿õ.<br />
Ñïîñ³á âèçíà÷åííÿ ðàíãó ìàòðèö³ çàñíîâàíî íà çàñòîñóâàíí³<br />
òàê çâàíèõ åëåìåíòàðíèõ ïåðåòâîðåíü ìàòðèöü, ùî<br />
íå çì³íþþòü ¿¿ ðàíã:<br />
1. Îáì³í ì³ñöÿìè áóäü-ÿêèõ äâîõ ñòîâïö³â (ðÿäê³â).<br />
2. Ìíîæåííÿ êîæíîãî åëåìåíòà áóäü-ÿêîãî ðÿäêà (ñòîâïöÿ)<br />
íà îäèí ³ òîé ñàìèé â³äì³ííèé â³ä íóëÿ ìíîæíèê.<br />
3. Âèêðåñëþâàííÿ ñòîâïöÿ (ðÿäêà), ÿêèé ö³ëêîì ñêëàäà-<br />
ºòüñÿ ç íóë³â.<br />
4. Äîäàâàííÿ äî åëåìåíò³â äîâ³ëüíîãî ñòîâïöÿ (ðÿäêà)<br />
â³äïîâ³äíèõ åëåìåíò³â áóäü-ÿêîãî äðóãîãî ñòîâïöÿ (ðÿäêà),<br />
ïîìíîæåíèõ íà äîâ³ëüíå ÷èñëî.<br />
58 59
Äâ³ ìàòðèö³ À ³  íàçèâàþòüñÿ åêâ³âàëåíòíèìè, ÿêùî<br />
â³ä êîæíî¿ ç íèõ ìîæíà ïåðåéòè äî ³íøî¿ çà äîïîìîãîþ<br />
ñê³í÷åííîãî ÷èñëà åëåìåíòàðíèõ ïåðåòâîðåíü.<br />
Ïðèêëàä 2.4.2. Çíàéòè ðàíã ìàòðèö³<br />
⎛0 2 − 4⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
−1 −4 5<br />
⎟<br />
A = ⎜3 1 7⎟<br />
⎜ ⎟<br />
0 5 −10<br />
.<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜2 3 0⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïîì³íÿâøè ì³ñöÿìè ïåðøèé ³ äðóãèé<br />
ñòîâïö³, à ïîò³ì ïîìíîæóþ÷è ïåðøèé ðÿäîê íà 1/2, îòðèìà-<br />
ºìî:<br />
⎛ 1 0 − 2⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
−4 −1 5<br />
⎟<br />
⎜ 1 3 7⎟<br />
⎜ ⎟<br />
5 0 −10<br />
.<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 3 2 0⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Îòðèìàíó ìàòðèöþ ïåðåòâîðèìî øëÿõîì äîäàâàííÿ äî<br />
òðåòüîãî ñòîâïöÿ ïîäâîºíîãî ïåðøîãî ñòîâïöÿ. Ïîò³ì, ï³ñëÿ<br />
àíàëîã³÷íèõ ïåðåòâîðåíü ³íøèõ ðÿäê³â, îäåðæèìî:<br />
⎛1 0 0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
1 −1 −3<br />
⎟<br />
⎜0 3 9⎟<br />
⎜ ⎟<br />
0 0 0<br />
.<br />
⎜ ⎟<br />
⎜0 2 6⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Íàðåøò³, î÷åâèäíèì åëåìåíòàðíèì ïåðåòâîðåííÿì ïåðåéäåìî<br />
äî ìàòðèö³:<br />
⎛100⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
010<br />
⎟<br />
⎜000⎟<br />
⎜ ⎟<br />
000<br />
, ðàíã ÿêî¿ äîð³âíþº äâîì.<br />
⎜ ⎟<br />
⎜000⎟<br />
⎝ ⎠<br />
³äì³ííèé â³ä íóëÿ ì³íîð íàéâèùîãî ïîðÿäêó íàçèâàºòüñÿ<br />
áàçèñíèì. Éîãî ñòîâïö³ (ðÿäêè), ÿêùî ðîçãëÿäàòè ¿õ ÿê<br />
âåêòîðè, ë³í³éíî íåçàëåæí³.<br />
Äëÿ âèçíà÷åííÿ ðàíãó ìàòðèö³ âèêîðèñòîâóºòüñÿ òàêîæ<br />
ìåòîä îáâ³äíèõ ì³íîð³â (ÿê³ ì³ñòÿòü ó ñîá³), çàñíîâàíèé íà<br />
íàñòóïí³é òåîðåì³. Ïîäàìî ¿¿ áåç äîâåäåííÿ.<br />
Òåîðåìà 2.4.1. ßêùî ó ìàòðèö³ À ³ñíóº ì³íîð r-ãî<br />
ïîðÿäêó, ÿêèé íå äîð³âíþº íóëþ, à âñ³ ì³íîðè (r+1)-ãî ïîðÿäêó,<br />
ÿê³ îáâîäÿòü éîãî, äîð³âíþþòü íóëþ, òîä³ r º ðàíã ö³º¿<br />
ìàòðèö³.<br />
Ïðèêëàä 2.4.3. Âèçíà÷èòè ðàíã ìàòðèö³<br />
⎛1 − 2 1 3⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
A = 1 3 −1 1<br />
.<br />
⎜3 4 −1 5⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çàïèøåìî ìàòðèö³ òðåòüîãî ïîðÿäêó<br />
⎛1 −2 1⎞ ⎛1 −2 3⎞ ⎛−2 1 3⎞ ⎛1 1 3⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
A1 = 1 3 − 1 , A2 = 1 3 1 , A3 = 3 − 1 1 , A4<br />
= 1 −1 1<br />
.<br />
⎜3 4 −1⎟ ⎜3 4 5⎟ ⎜ 4 −1 5⎟ ⎜3 −1 5⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
̳íîð ïåðøîãî ïîðÿäêó, ðîçòàøîâàíèé ó âåðõíüîìó êóò³<br />
ìàòðèö³ À 1 , íå äîð³âíþº íóëþ (Ì 11 = 1). Îáâ³äíèé éîãî ì³íîð<br />
äðóãîãî ïîðÿäêó<br />
1 − 2 = 5 ≠ 0<br />
1 3<br />
.<br />
60 61
Îáâ³äíèé éîãî ì³íîð òðåòüîãî ïîðÿäêó äîð³âíþº íóëþ,<br />
òîáòî |A 1 | = 0. ²íø³ ìàòðèö³: À 2 , À 3 , À 4 äàþòü àíàëîã³÷í³ ðåçóëüòàòè.<br />
Îòæå, rang À =2.<br />
2.5. ÎÁÅÐÍÅÍÀ ÌÀÒÐÈÖß<br />
Äëÿ êîæíîãî ä³éñíîãî ÷èñëà à ≠ 0 ³ñíóº ÷èñëî à -1 òàêå, ùî<br />
äîáóòîê a⋅a -1 = 1. Äëÿ êâàäðàòíèõ ìàòðèöü òåæ ââîäèòüñÿ<br />
àíàëîã³÷íå ïîíÿòòÿ.<br />
2.5.1. Îçíà÷åííÿ. Òåîðåìà ïðî îáåðíåíó ìàòðèöþ<br />
Ìàòðèöÿ À -1 íàçèâàºòüñÿ îáåðíåíîþ äî ìàòðèö³ À ðîçì³ðó<br />
n×n, ÿêùî äëÿ íå¿ ñïðàâåäëèâà ð³âí³ñòü<br />
À ⋅ À -1 = À -1 ⋅ À = Å. (2.5.1)<br />
Ç îçíà÷åííÿ âèïëèâàº, ùî ò³ëüêè êâàäðàòíà ìàòðèöÿ ìàº<br />
îáåðíåíó; â öüîìó âèïàäêó ³ îáåðíåíà ìàòðèöÿ (ÿêùî âîíà<br />
³ñíóº) ÿâëÿº ñîáîþ êâàäðàòíó ìàòðèöþ òîãî ñàìîãî ïîðÿäêó.<br />
Çàëèøàºòüñÿ òåïåð ëèøå âèÿâèòè óìîâó, ÿêà áè îäíîçíà÷íî<br />
ãàðàíòóâàëà ³ñíóâàííÿ îáåðíåíî¿ ìàòðèö³.<br />
Ò å î ð å ì à 2.5.1 (êðèòåð³é ³ñíóâàííÿ îáåðíåíî¿ ìàòðèö³).<br />
Äëÿ òîãî ùîá äàíà ìàòðèöÿ À ìàëà îáåðíåíó A -1 , íåîáõ³äíî<br />
³ äîñòàòíüî, ùîá âîíà áóëà íåâèðîäæåíîþ ( A ≠ 0 ).<br />
Íåîáõ³äí³ñòü. Íåõàé ìàòðèöÿ À ìຠîáåðíåíó, òîáòî<br />
À ⋅ À -1 = À -1 ⋅À = Å. Çã³äíî ç âëàñòèâ³ñòþ 9 ìàºìî:<br />
Òàêèì ÷èíîì,<br />
⋅ = ⋅ = = 1.<br />
−1 −1<br />
A A A A E<br />
−1<br />
A ≠ 0i A ≠ 0.<br />
Äîñòàòí³ñòü. Íåõàé A ≠ 0 . Ðîçãëÿíåìî êâàäðàòíó<br />
ìàòðèöþ n-ãî ïîðÿäêó, åëåìåíòè ÿêî¿ º àëãåáðà¿÷íèìè äîïîâíåííÿìè<br />
åëåìåíò³â ìàòðèö³ A T , ÿêà òðàíñïîíîâàíà äî À.<br />
Öþ ìàòðèöþ íàçèâàþòü ñîþçíîþ (âçàºìíîþ, ïðèºäíàíîþ) ³<br />
ÿê ïðàâèëî, ïîçíà÷àþòü ÷åðåç ° A .<br />
Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ñòðóêòóðè ìàòðèö³ ° A ìàºìî:<br />
T<br />
a% = A%<br />
= A ( i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., n)<br />
.<br />
ij ij ji<br />
Òîä³ åëåìåíòè äîáóòêó ìàòðèöü ° A× A= B âèçíà÷àþòüñÿ<br />
çà ïðàâèëîì ìíîæåííÿ ìàòðèöü (äèâ. ï. 2.3.2):<br />
n<br />
n ìï A , ÿêùî i = j<br />
bij = å a%<br />
isa = å A .<br />
sj<br />
si<br />
× asj<br />
= ï í<br />
s= 1 s=<br />
1 ï<br />
ïî 0, ÿêùî i ¹ j<br />
Òóò â îñòàííüîìó ëàíöþæêó ð³âíîñòåé ìè çàñòîñóâàëè<br />
ôîðìóëó (2.3.4) ³ ïîíÿòòÿ àëãåáðà¿÷íîãî äîïîâíåííÿ.<br />
Îñê³ëüêè ìàòðèöÿ B º ä³àãîíàëüíîþ, òî åëåìåíòè ¿¿ ãîëîâíî¿<br />
ä³àãîíàë³ äîð³âíþþòü âèçíà÷íèêó âèõ³äíî¿ ìàòðèö³.<br />
Îòæå, ìàòðèöþ B ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:<br />
æ ö A 0 ... 0<br />
0 A ... 0<br />
B = ... ... ... ...<br />
.<br />
è<br />
ç 0 0 ... A<br />
ø÷<br />
Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ, ùî äîáóòîê A íà ° A äîð³âíþº ò³é<br />
ñàì³é ìàòðèö³ B. Îòæå, ìàòðèö³ A ³ ° A êîìóòàòèâí³, ³ ¿õ<br />
äîáóòîê äîð³âíþº ìàòðèö³ B, òîáòî A× ° A= ° A× A=<br />
B , çâ³äêè<br />
âèïëèâàº, ùî ìàòðèöÿ<br />
A<br />
- = × ° A<br />
A<br />
1 1<br />
º øóêàíîþ îáåðíåíîþ ìàòðèöåþ.<br />
Ìîæíà òàêîæ ïîêàçàòè, ùî âîíà ºäèíà.<br />
Áåçïîñåðåäíüîþ ïåðåâ³ðêîþ âñòàíîâëþºìî ñïðàâåäëèâ³ñòü<br />
ôîðìóëè 2.5.1. Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
2.5.2. Àëãîðèòì îá÷èñëåííÿ îáåðíåíî¿ ìàòðèö³<br />
Äîâåäåííÿ òåîðåìè 2.5.1 êîíñòðóêòèâíå, ùî äîçâîëÿº<br />
âñòàíîâèòè àëãîðèòì îá÷èñëåííÿ îáåðíåíî¿ ìàòðèö³. Ùîá<br />
çíàéòè îáåðíåíó ìàòðèöþ A -1 ( A ¹ 0) , ïîòð³áíî:<br />
1 0 . Çíàéòè âèçíà÷íèê äàíî¿ ìàòðèö³ A.<br />
2 0 . Çíàéòè ìàòðèöþ A T , ÿêà òðàíñïîíîâàíà äî ìàòðèö³ A.<br />
62 63
3 0 . Îá÷èñëèòè àëãåáðà¿÷í³ äîïîâíåííÿ åëåìåíò³â òðàíñïî-<br />
T<br />
A = A i = 1, n; j = 1, n ³ ñêëàñòè ³ç íèõ<br />
íîâàíî¿ ìàòðèö³ ij ji ( )<br />
ñîþçíó ìàòðèöþ A : a ( 1, ; 1, )<br />
T<br />
ij<br />
= Aij = Aji<br />
i = n j = n<br />
% % .<br />
4 0 . Êîæíèé åëåìåíò îòðèìàíî¿ ìàòðèö³ ðîçä³ëèòè íà<br />
âèçíà÷íèê äàíî¿ ìàòðèö³, òîáòî çàñòîñóâàòè ôîðìóëó äëÿ<br />
çíàõîäæåííÿ îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿<br />
æA11 A12 ... A ö 1n<br />
1 1<br />
° °<br />
A21 A22 ... A<br />
-<br />
2n<br />
A = A,<br />
A<br />
=ç ç det A<br />
... ... ... ...<br />
. (2.5.2)<br />
èç<br />
An 1<br />
An2<br />
... A<br />
nnø÷<br />
5 0 . Ïåðåâ³ðèòè ïðàâèëüí³ñòü îá÷èñëåííÿ ó â³äïîâ³äíîñò³<br />
äî àëãîðèòìó 1 0 –4 0 . (Ïåâíà ð³÷, ï. 5 0 âèêîíóâàòè íåîáîâ’ÿçêîâî.<br />
Àëå äëÿ ãàðàíò³¿ â³í íå çàâàäèòü).<br />
2.5.3. Âëàñòèâîñò³ íåâèðîäæåíèõ ìàòðèöü<br />
¯õ ïîäàìî áåç äîâåäåííÿ.<br />
1. det À -1 ⋅ det À =1.<br />
2. (À -1 ) -1 = À.<br />
3. (ÀÂ) -1 = Â -1 À -1 .<br />
Ïðèêëàä 2.5.1. Çíàéòè ìàòðèöþ, ÿêà îáåðíåíà äî ìàòðèö³<br />
æ1 2 1ö<br />
- - A = 3 1 2<br />
.<br />
çè1 2 2ø<br />
÷<br />
1 -2 -1<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1 0 . D= 3 1 2 = 1¹<br />
0.<br />
1 2 2<br />
2 0 . Òðàíñïîíóºìî ìàòðèöþ A ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ïðàâèëà<br />
¿¿ óòâîðåííÿ.<br />
3 0 –4 0 . Îá÷èñëþºìî àëãåáðà¿÷í³ äîïîâíåííÿ òðàíñïîíîâàíî¿<br />
ìàòðèö³<br />
À 11 = –2, À 12 = –4, À 13 = 5, À 21 = 2, À 22 = 3, À 23 = –4, À 31 = –3,<br />
À 32 = –5, À 33 =7.<br />
Ïîñë³äîâíî çíàõîäèìî îáåðíåíó ìàòðèöþ<br />
æ 2 2 3ö æ 2 2 3ö<br />
- - - -<br />
° 1<br />
A=- 4 3 5 , A - 4 3 5<br />
- =- -<br />
.<br />
çè 5 -4 7 ÷ ø çè 5 -4 7ø<br />
÷<br />
Ïåðåâ³ðÿºìî: À ⋅ À -1 = Å.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
2.13. Íàéòè ìàòðèöþ AB, äå<br />
æ5 3 - 2ö<br />
æ1 2 3 5ö<br />
1 1 0 - A= ; 2 1 3 2<br />
B= -<br />
2 1 0<br />
ç<br />
4 2 3 - 4<br />
÷ .<br />
è ø<br />
çè4 - 2 2 ø÷ ÷<br />
2.14. ϳäïðèºìñòâî âèðîáëÿº ïðîäóêö³þ òðüîõ âèä³â ³<br />
âèêîðèñòîâóº ñèðîâèíó äâîõ òèï³â. Íîðìà âèòðàò ñèðîâèíè<br />
íà îäèíèöþ ïðîäóêö³¿ çàäàíî ìàòðèöåþ<br />
A<br />
æ1 2 3ö = ç çè3 4 5ø<br />
÷ .<br />
Âàðò³ñòü îäèíèö³ ñèðîâèíè êîæíîãî âèäó çàäàíî âåêòîðîì<br />
ö³í P = (20 30). ßê³ çàãàëüí³ âèòðàòè ï³äïðèºìñòâà íà<br />
âèðîáíèöòâî 1000 îäèíèöü ïðîäóêö³¿ ïåðøîãî âèäó, 2000<br />
îäèíèöü ïðîäóêö³¿ äðóãîãî âèäó ³ 1500 îäèíèöü òðåòüîãî<br />
âèäó?<br />
2.15. Íàéòè äîáóòîê ABC ìàòðèöü<br />
A<br />
æ1 2ö æ-7 4ö æ 9 10ö<br />
= , = , =<br />
çè3 4 ÷ ø B è ç 5 6 ÷ ø C èç-<br />
11 12ø<br />
÷ .<br />
2.16. Ïðèäóìàòè ³ ðîçâ’ÿçàòè âïðàâó, ÿêà àíàëîã³÷íà<br />
ïðèêëàäó 2.2.3.<br />
64 65
2.17. Äîâåñòè, ùî äîáóòîê AB ìàòðèöü<br />
æa<br />
0 ö æ0 0 ö<br />
= ç<br />
÷ , = ç<br />
÷ , äå ¹ 0, ¹ 0, ¹ 0<br />
11<br />
A B a11 a21 a22<br />
ç a21<br />
0<br />
a21 a<br />
è<br />
÷ ø çè ÷<br />
22ø<br />
º íóëüîâà ìàòðèöÿ.<br />
Çàóâàæåííÿ. Ðîçâ’ÿçîê ö³º¿ âïðàâè ïîêàçóº, ùî äîáóòîê<br />
äâîõ ìàòðèöü ìîæå áóòè íóëüîâîþ ìàòðèöåþ ³ òîä³,<br />
êîëè æîäíà ç ìàòðèöü ìíîæíèê³â íå º íóëüîâîþ.<br />
2.18. Âïåâíèòèñÿ, ùî â ïîïåðåäí³é âïðàâ³ ìàòðèö³ A ³ B<br />
íåêîìóòàòèâí³.<br />
2.19. Ïåðåâ³ðèòè àñîö³àòèâíèé çàêîí ìíîæåííÿ ìàòðèöü<br />
A, B ³ C, äå<br />
æ-1 7 2ö æ-1 2 ö<br />
æ-2 3 5 ö A= , 3 1 4 , 3 0<br />
4 2 3<br />
B= C=<br />
ç è-<br />
ø÷<br />
.<br />
çè 0 5 7 ÷ ø çè 0 6<br />
÷ ø<br />
2.20. Íåõàé A — êâàäðàòíà ìàòðèöÿ. Òîä³ ìîæíà ââåñòè<br />
ñòåï³íü ìàòðèö³<br />
2 3<br />
n<br />
A = A× A, A = A× A× A,..., A = 1444244 A× A× ... × 43 A .<br />
n<br />
Êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì ñòåïåíÿ ìàòðèö³, çíàéòè A 2 ,<br />
A 3 , A 4 ³ A 6 , äå<br />
A æ21ö = ç çè34ø<br />
÷ .<br />
2.21. Çíàéòè ñîþçíó ìàòðèöþ äëÿ ìàòðèö³<br />
æ3 1 2ö<br />
- A = 4 2 1<br />
.<br />
çè3 -1 5<br />
÷ ø<br />
2.22. Îá÷èñëèòè âèçíà÷íèê ìàòðèö³ A ïîïåðåäíüî¿ âïðàâè.<br />
2.23. Îá÷èñëèòè âèçíà÷íèê<br />
sin α cos α<br />
∆= − cos α sin α .<br />
2.24. Îá÷èñëèòè âèçíà÷íèêè<br />
N − N N N 1 N<br />
∆= N N −N , ∆= −1 N 1 ,<br />
N −N −N N −1<br />
N<br />
−N 1 N 1 N 1<br />
∆= 0 −N<br />
−1, ∆= 0 N 0 ,<br />
N 1 −N N 0 −N<br />
äå ïàðàìåòð N âèçíà÷àºòüñÿ, øàíîâíèé ÷èòà÷ó, ç ÷èñëà äàòè<br />
âàøîãî íàðîäæåííÿ.<br />
2.25. Çíàéòè ìàòðèöþ A -1 , ÿêà º îáåðíåíîþ äî ìàòðèö³ A<br />
³ç âïðàâè 2.9.<br />
2.26. Äîâåñòè, ùî ìàòðèöÿ<br />
1<br />
A −<br />
º îáåðíåíîþ äî ìàòðèö³<br />
⎛4 0 − 5⎞<br />
⎜ ⎟<br />
= −18 1 24<br />
⎜ − 3 0 4⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛4 0 5 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
A = 0 1 −6<br />
.<br />
⎜ 3 0 4⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2.27. Çíàéòè çàãàëüíèé âèä ìàòðèö³, ÿêà º êîìóòàòèâíîþ<br />
ç ìàòðèöåþ<br />
æ1 2ö ç çè3 4<br />
÷ ø .<br />
66 67
ÒÅÌÀ 3<br />
ÑÈÑÒÅÌÈ Ë²Í²ÉÍÈÕ ÀËÃÅÁÐÀ¯×ÍÈÕ<br />
вÂÍßÍÜ<br />
3.1. ÏÎ×ÀÒÊÎ<strong>²</strong> ÇÍÀÍÍß ÏÐÎ ÑÈÑÒÅÌÈ<br />
ÀËÃÅÁÐÀ¯×ÍÈÕ Ð²ÂÍßÍÜ<br />
Ñèñòåìè ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü (ÑËÀÐ) çàéìàþòü<br />
äîñòîéíå ì³ñöå ÿê ó ñàì³é ìàòåìàòèö³, òàê ³ â ¿¿ ïðèêëàäíèõ<br />
ïèòàííÿõ, çîêðåìà ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ çàäà÷ ç åêîíîì³êè.<br />
3.1.1. Çîáðàæåííÿ ÑËÀÐ<br />
Íåõàé çàäàíà ñèñòåìà m ë³í³éíèõ ð³âíÿíü â³äíîñíî n<br />
íåâ³äîìèõ õ 1 , õ 2 ,…, õ n . ¯¿ ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³:<br />
⎧a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn<br />
= b1<br />
⎪a21x1 + a22 x2 + ... + a2nxn<br />
= b2<br />
⎨<br />
⎪.........................................<br />
⎪<br />
⎩a x + a x + ... + a x = b<br />
m1 1 m2 2<br />
mn n m<br />
. (3.1.1)<br />
Òóò a ij (i = 1,2,…,m; j=1,2,…,n) ³ b i (i = 1,2,…,m) — â³äîì³<br />
÷èñëà, à õ 1 , õ 2 ,…, õ n — íåâ³äîì³.<br />
Ñèñòåìó ð³âíÿíü (3.1.1) ìîæíà çàïèñàòè ó âåêòîðí³é<br />
ôîðì³. Äëÿ öüîãî ââåäåìî â ðîçãëÿä m-âèì³ðí³ âåêòîðè (â<br />
öüîìó ðîçä³ë³ äëÿ çðó÷íîñò³ âåêòîðè áóäåìî ïîçíà÷àòè áåç<br />
ðèñî÷êè çâåðõó)<br />
⎛a11 ⎞ ⎛a12 ⎞ ⎛a1n<br />
⎞ ⎛b1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
a21 a22 a2n<br />
b2<br />
a1 = ⎜ ⎟, a2<br />
= ⎜ ⎟,..., an<br />
= ⎜ ⎟,<br />
b = ⎜ ⎟<br />
⎜... ⎟ ⎜... ⎟ ⎜...<br />
⎟ ⎜...<br />
⎟.<br />
⎜ a ⎟ ⎜ a ⎟ ⎜a<br />
⎟ ⎜b<br />
⎟<br />
⎝ m1⎠ ⎝ m2⎠ ⎝ mn ⎠ ⎝ m⎠<br />
Òîä³ ñèñòåìà (3.1.1) ïðèéìຠâèãëÿä:<br />
à 1 õ 1 + à 2 õ 2 +…+a n x n = b. (3.1.2)<br />
Âèõîäÿ÷è ç ð³âíÿííÿ (3.1.2), ïèòàííÿ ïðî ðîçâ’ÿçí³ñòü<br />
ñèñòåìè (3.1.1) ìîæíà çâåñòè äî ïèòàííÿ ïðî âñòàíîâëåííÿ<br />
ë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³ âåêòîð³â à 1 , à 2 ,…,à n ³ b.<br />
Çâåäåìî êîåô³ö³ºíòè ïðè íåâ³äîìèõ â ñèñòåì³ (3.1.1) äî<br />
ìàòðèö³<br />
A<br />
⎛a a ... a<br />
⎜<br />
⎜<br />
a a ... a<br />
... ... ... ...<br />
⎜<br />
⎝a a ... a<br />
11 12 1n<br />
21 22 2n<br />
= ⎜ ⎟<br />
m1 m2<br />
mn<br />
Íåâ³äîì³ õ 1 , õ 2 ,…, õ n çîáðàçèìî ó âèãëÿä³ ìàòðèö³-ñòîâïöÿ<br />
x<br />
⎛x1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
x<br />
⎟<br />
... .<br />
⎜<br />
x ⎟<br />
⎝ n ⎠<br />
2<br />
= ⎜ ⎟<br />
Âèêîðèñòîâóþ÷è îçíà÷åííÿ äîáóòêó ìàòðèöü, ñèñòåìó<br />
(3.1.1) ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³<br />
Àõ = b. (3.1.3)<br />
Öÿ ôîðìà çàïèñó ñèñòåìè (3.1.1) íàçèâàºòüñÿ ìàòðè÷íîþ.<br />
3.1.2. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ ³ îçíà÷åííÿ<br />
×èñëà a ij , b i íàçèâàþòüñÿ â³äïîâ³äíî êîåô³ö³ºíòàìè ïðè<br />
íåâ³äîìèõ ³ â³ëüíèìè ÷ëåíàìè.<br />
Ðîçâ’ÿçêîì ÑËÀÐ (3.1.1) íàçèâàºòüñÿ òàêà óïîðÿäêîâàíà<br />
ñóêóïí³ñòü ÷èñåë α 1 , α 2 ,…, α n , ùî ïðè â³äïîâ³äí³é çàì³í³ íåâ³äîìèõ<br />
íà ö³ ÷èñëà êîæíå ð³âíÿííÿ ñèñòåìè ñòຠòîòîæí³ñòþ.<br />
Ðîçâ’ÿçàòè ÑËÀÐ (3.1.1) îçíà÷ຠâèçíà÷èòè âñ³ ¿¿ ðîçâ’ÿçêè<br />
àáî äîâåñòè ¿¿ íåðîçâ’ÿçí³ñòü (íå ³ñíóþòü ðîçâ’ÿçêè<br />
ÑËÀÐ (3.1.1)).<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
.<br />
⎟<br />
⎠<br />
68 69
Çàóâàæåííÿ. Ïåðåä òèì ÿê çíàõîäèòè ðîçâ’ÿçêè<br />
ÑËÀÐ (3.1.1), áàæàíî äîñë³äèòè ¿¿ íà ðîçâ’ÿçí³ñòü. Ó çâ’ÿçêó<br />
ç öèì ðîçãëÿíåìî äåê³ëüêà íàéïðîñò³øèõ ïðèêëàä³â.<br />
Ïðèêëàä 3.1.1. Äîñë³äèòè ÑËÀÐ âèãëÿäó<br />
⎧x1 + x2<br />
= 5<br />
⎨<br />
⎩x1 + x2<br />
= 0.<br />
Ïåâíà ð³÷, ùî öÿ ñèñòåìà íå ìຠðîçâ’ÿçêó.<br />
Ïðèêëàä 3.1.2. Äîñë³äèòè ÑËÀÐ âèãëÿäó<br />
⎧ x1 + x2<br />
= 1<br />
⎨<br />
2x<br />
+ 2x<br />
= 2<br />
⎩ 1 2 .<br />
Î÷åâèäíî, ùî òàêà ñèñòåìà ìຠíåñê³í÷åííó ìíîæèíó<br />
ðîçâ’ÿçê³â (x 1 = c, x 2 =1–c, äå ñ — áóäü-ÿêå ÷èñëî).<br />
Ïðèêëàä 3.1.3.<br />
⎧x1 + x2<br />
= 2<br />
⎨<br />
⎩x1 − x2<br />
= 0.<br />
Ö³ëêîì î÷åâèäíî, ùî ðîçãëÿäóâàíà ñèñòåìà ìຠºäèíèé<br />
ðîçâ’ÿçîê (x 1 =1, x 2 = 1).<br />
Ðîçãëÿíåìî á³ëüø äåòàëüíî ïðîáëåìè ðîçâ’ÿçíîñò³ ÑËÀÐ.<br />
ÑËÀÐ íàçèâàºòüñÿ ñóì³ñíîþ, ÿêùî âîíà ìຠðîçâ’ÿçîê, ³<br />
íåñóì³ñíîþ, ÿêùî âîíà íå ìຠðîçâ’ÿçêó.  ñâîþ ÷åðãó ñóì³ñíà<br />
ñèñòåìà ìîæå áóòè âèçíà÷åíîþ (ìຠºäèíèé ðîçâ’ÿçîê)<br />
³ íåâèçíà÷åíîþ (ìຠíå ºäèíèé ðîçâ’ÿçîê). Ìàòðèöÿ À êîåô³ö³ºíò³â<br />
ïðè íåâ³äîìèõ ó ñèñòåì³ (3.1.1) íàçèâàºòüñÿ îñíîâíîþ.<br />
Ïðèºäíóþ÷è äî ìàòðèö³ À ñòîâïåöü â³ëüíèõ ÷ëåí³â<br />
ñèñòåìè (3.1.1), îòðèìàºìî òàê çâàíó ðîçøèðåíó ìàòðèöþ<br />
À* äàíî¿ ìàòðèö³<br />
A*<br />
⎛a11 a12 ... a1n<br />
b1<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
a a ... a b<br />
⎟<br />
... ... ... ... ... .<br />
⎜<br />
am 1<br />
am2<br />
... amn b ⎟<br />
⎝<br />
m ⎠<br />
21 22 2n<br />
2<br />
= ⎜ ⎟<br />
3.2. ÑÈÑÒÅÌÀ n ˲ͲÉÍÈÕ ÀËÃÅÁÐÀ¯×ÍÈÕ<br />
вÂÍßÍÜ Ç n ÍÅ<strong>²</strong>ÄÎÌÈÌÈ<br />
Íåõàé ÷èñëî ð³âíÿíü ñèñòåìè (3.1.1) äîð³âíþº ÷èñëó íåâ³äîìèõ,<br />
òîáòî m = n. Òîä³ ìàòðèöÿ ñèñòåìè (3.1.3) º êâàäðàòíîþ,<br />
à ¿¿ âèçíà÷íèê ⏐A⏐ íàçèâàºòüñÿ âèçíà÷íèêîì ö³º¿<br />
ñèñòåìè.<br />
3.2.1. Ñèñòåìà äâîõ ð³âíÿíü ç äâîìà íåâ³äîìèìè<br />
Ðîçãëÿíåìî ñèñòåìó äâîõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü ç äâîìà<br />
íåâ³äîìèìè<br />
⎧a11x1 + a12x2 = b1<br />
;<br />
⎨<br />
⎩a21x1 + a22x2 = b2<br />
,<br />
(3.2.1)<br />
â ÿê³é õî÷à á îäèí êîåô³ö³ºíò ïðè íåâ³äîìèõ â³äì³ííèé â³ä<br />
íóëÿ. Äëÿ ðîçâ’ÿçêó ö³º¿ ñèñòåìè âèêëþ÷èìî íåâ³äîìó x 2 ,<br />
ïîìíîæèâøè ïåðøå ð³âíÿííÿ íà à 22 , äðóãå — íà (–à 12 ), ³ äîäàìî<br />
çì³íåí³ ð³âíÿííÿ. Ïîò³ì âèêëþ÷èìî íåâ³äîìó x 1 , ïîìíîæèâøè<br />
ïåðøå ð³âíÿííÿ íà (–à 21 ), äðóãå — íà (à 11 ), ³ òàêîæ<br />
äîäàìî çì³íåí³ ð³âíÿííÿ.  ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî ñèñòåìó<br />
⎧( a11a22 − a21a12 ) x1 = ba<br />
1 22<br />
−b2 a12,<br />
⎨<br />
⎩( a11a22 − a21a12 ) x2 = b2a11 −ba<br />
1 21<br />
.<br />
(3.2.2)<br />
Âèðàç â äóæêàõ ñèñòåìè (3.2.2) º íå ùî ³íøå, ÿê âèçíà÷íèê<br />
ñèñòåìè (3.2.1)<br />
∆= 11 12<br />
a11a<br />
− 22<br />
a21a<br />
= 12<br />
a21 a<br />
.<br />
22<br />
Ââåäåìî òàêîæ òàê³ ïîçíà÷åííÿ<br />
b a a b<br />
∆ = − = ∆ = − = .<br />
1 12 11 1<br />
1<br />
ba<br />
1 22<br />
ba<br />
2 12<br />
,<br />
2<br />
ba<br />
2 11<br />
ba<br />
1 21<br />
b2 a22 a21 b2<br />
Òîä³ ñèñòåìó (3.2.2) ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³:<br />
⎧∆⋅ x1 =∆1;<br />
⎨<br />
⎩ ∆⋅ x2 =∆<br />
2.<br />
a<br />
a<br />
(3.2.3)<br />
70 71
Ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ ñèñòåìè (3.2.2) ìîæëèâ³ òàê³ âèïàäêè.<br />
1) ∆≠0. Òîä³ ñèñòåìà (3.2.3) ìຠºäèíèé ðîçâ’ÿçîê ³ íåâ³äîì³<br />
õ 1 òà x 2 çíàõîäÿòüñÿ çà äîïîìîãîþ òàêèõ ôîðìóë<br />
∆1 ∆2<br />
x1 = , x2<br />
=<br />
∆ ∆ ; (3.2.4)<br />
2) ∆ = 0 ³ ïðèíàéìí³ îäèí ³ç âèçíà÷íèê³â ∆ 1 (àáî ∆ 2 ) â³äì³ííèé<br />
â³ä íóëÿ. Òîä³ õî÷à á îäíå ç ð³âíÿíü ñèñòåìè áóäå<br />
ñóïåðå÷ëèâèì. Öå îçíà÷àº, ùî ñèñòåìà (3.2.3) íå ìຠðîçâ’ÿçêó,<br />
òîáòî íåñóì³ñíà.<br />
3) ∆=0 ³ ∆ 1 = 0, ∆ 2 = 0. Òîä³ ñèñòåìà (3.2.3) íåâèçíà÷åíà ³<br />
ìຠíåñê³í÷åííó ìíîæèíó ðîçâ’ÿçê³â, îñê³ëüêè â öüîìó âèïàäêó<br />
âîíà ìຠâèãëÿä:<br />
⎧0⋅ x1<br />
= 0;<br />
⎨<br />
⎩0 ⋅ x2<br />
= 0.<br />
Çàóâàæåííÿ. Ó âèïàäêó 3) êîåô³ö³ºíòè a ij (i =1,2;<br />
j = 1,2) ñèñòåìè ïðîïîðö³éí³ (ïåðåâ³ðòå!), òîáòî ìຠì³ñöå<br />
ïîäâ³éíà ð³âí³ñòü<br />
a21 a22 b2<br />
= = =λ.<br />
a a b<br />
11 12 1<br />
Ïåðåéäåìî òåïåð äî äîñë³äæåííÿ á³ëüø çàãàëüíîãî âèïàäêó.<br />
3.3. ÌÅÒÎÄÈ ÐÎÇÂ’ßÇÓÂÀÍÍß ÑÈÑÒÅÌÈ n ÀËÃÅ-<br />
ÁÐÀ¯×ÍÈÕ Ð²ÂÍßÍÜ Ç n ÍÅ<strong>²</strong>ÄÎÌÈÌÈ<br />
3.3.1. Ìàòðè÷íèé ìåòîä<br />
Äëÿ òîãî ùîá îòðèìàòè ðîçâ’ÿçîê ÑËÀÐ (3.1.1) ïðè<br />
m = n ó çàãàëüíîìó âèãëÿä³, ïðèïóñòèìî, ùî êâàäðàòíà ìàòðèöÿ<br />
À ñèñòåìè (3.1.1) íåâèðîäæåíà, òîáòî A ≠ 0 . Ó öüîìó<br />
âèïàäêó ³ñíóº îáåðíåíà ìàòðèöÿ (äèâ. òåîðåìó 2.5.1).<br />
 ìàòðè÷í³é ôîðì³ âèõ³äíà ñèñòåìà ìຠâèãëÿä (3.1.3).<br />
Ïîìíîæèìî îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíÿííÿ (3.1.3) íà À -1 çë³âà:<br />
À -1 Àõ = À -1 b, îñê³ëüêè À -1 À = Å ³ Åõ = õ, îòðèìàºìî<br />
õ = À -1 b. (3.3.1)<br />
Ïðèêëàä 3.3.1. Ðîçâ’ÿçàòè ìàòðè÷íèì ñïîñîáîì ñèñòåìó<br />
ð³âíÿíü<br />
⎧x −2x − x =−2 ⎛1 −2 −1 ⎞ ⎛−2⎞<br />
1 2 3<br />
⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎨3x1 + x2 + 2x3<br />
= 3 A= ⎜<br />
3 1 2<br />
⎟<br />
b=<br />
⎜<br />
3<br />
⎟<br />
.<br />
⎪<br />
x1 + 2x2 + 2x3<br />
= 3 ⎜1 2 2⎟ ⎜ 3⎟<br />
⎩<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Ó ïðèêëàä³ 2.5.1 äëÿ äàíî¿ ìàòðèö³ À çíàéäåíî ¿¿ îáåðíåíó.<br />
Îòæå,<br />
⎛x1<br />
⎞ ⎛−2 2 −3⎞⎛− 2⎞ ⎛4+ 6−9 ⎞ ⎛ 1⎞<br />
⎜ ⎟ 1⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
x2 = 4 3 5 3 8 9 15 2 x1 1, x2 2, x3<br />
1<br />
1<br />
− −<br />
⎟⎜ = + − = ⇒ = = =− .<br />
⎜x<br />
⎟ ⎜<br />
3<br />
5 −4 7⎟⎜ 3⎟ ⎜−10 − 12 + 21⎟ ⎜−1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
3.3.2. Ìåòîä âèçíà÷íèê³â (ïðàâèëî Êðàìåðà 1 )<br />
ßê ³ ðàí³øå, ðîçãëÿäàºìî ñèñòåìó n ð³âíÿíü ç n íåâ³äîìèìè<br />
â ïðèïóùåíí³, ùî ìàòðèöÿ À íåâèðîäæåíà. Çíàõîäæåííÿ<br />
ðîçâ’ÿçê³â ó ðîçãëÿäóâàí³é ñèñòåì³ ì³ñòèòüñÿ â òàê³é<br />
òåîðåì³.<br />
Òåîðåìà 3.3.1. ßêùî âèçíà÷íèê ∆ ñèñòåìè n ð³âíÿíü ç<br />
n íåâ³äîìèìè â³äì³ííèé â³ä íóëÿ, òî ñèñòåìà ñóì³ñíà ³ ìàº<br />
ºäèíèé ðîçâ’ÿçîê. Öåé ðîçâ’ÿçîê äàºòüñÿ òàêèìè çíà÷åííÿìè<br />
øóêàíèõ íåâ³äîìèõ:<br />
∆i<br />
xi<br />
= , i = 1, n , (3.3.2)<br />
∆<br />
äå ∆ i — âèçíà÷íèê, îòðèìàíèé ³ç ∆ çàì³íîþ â íüîìó i-ãî<br />
ñòîâïöÿ ñòîâïöåì â³ëüíèõ ÷ëåí³â b 1 , b 2 ,…, b n .<br />
Ôîðìóëè (3.3.2) îòðèìàëè íàçâó ôîðìóë Êðàìåðà.<br />
Äîâåäåííÿ. Îáåðíåíà ìàòðèöÿ áóäóºòüñÿ çà ôîðìóëîþ<br />
(2.5.2) ³ ìຠâèä:<br />
1 1<br />
A - = × °<br />
A A,<br />
äå à º ìàòðèöåþ, ÿêà ñîþçíà äî ìàòðèö³ A. Îñê³ëüêè<br />
åëåìåíòè ìàòðèö³ à ÿâëÿþòü ñîáîþ àëãåáðà¿÷í³ äîïîâíåííÿ<br />
1<br />
Êðàìåð Ãàáð³åëü (1704 – 1752) — øâåéöàðñüêèé ìàòåìàòèê.<br />
72 73
åëåìåíò³â ìàòðèö³ A T , òðàíñïîíîâàíî¿ äî A, òî ð³âí³ñòü<br />
(3.3.1) ìîæíà çàïèñàòè ó ðîçãîðíóò³é ôîðì³<br />
æx<br />
ö æ<br />
1<br />
A11 A21 ... A öæ n1<br />
b ö<br />
+ + +<br />
1<br />
x 2 1 A12 A22 ... A n2 b<br />
+ + +<br />
2<br />
= ... D ..............................<br />
...<br />
.<br />
x<br />
n<br />
A1n A2n ... A<br />
è + + +<br />
nn<br />
b<br />
ç ÷ ø èç<br />
÷ øèç<br />
nø÷<br />
Âðàõîâóþ÷è, ùî A =D, ï³ñëÿ ìíîæåííÿ ìàòðèöü ìàòèìåìî<br />
çâ³äêè<br />
æ<br />
æx<br />
ö 1<br />
Ab<br />
11 1<br />
+ Ab<br />
21 2<br />
+ ... + Ab<br />
n1<br />
n<br />
ç x ÷<br />
2 1<br />
A12b1 A22b2 ... An2b<br />
ç + + + ÷<br />
n<br />
= ... D ......................................<br />
,<br />
x è nø A1nb1+ A2nb2<br />
+ ... + Annb<br />
ç ÷ èç<br />
nø÷<br />
ö<br />
8 1 -5 1 2 8 -5 1<br />
9 -3 0 -6 1 9 0 -6<br />
D<br />
1<br />
= = 81; D<br />
2<br />
= =-108;<br />
-5 2 -1 2 0 -5 -1 2<br />
0 4 -7 6 1 0 -7 6<br />
2 1 8 1 2 1 -5 8<br />
1 -3 9 -6 1 -3 0 9<br />
D<br />
3<br />
= =-27; D<br />
4<br />
= = 27;<br />
0 2 -5 2 0 2 -1 -5<br />
1 4 0 6 1 4 -7 0<br />
D1 81 D2<br />
-108<br />
x1 = = = 3, x2<br />
= = =-4,<br />
D 27 D 27<br />
D3 -27 D4<br />
27<br />
x3 = = =- 1, x4<br />
= = = 1.<br />
D 27 D 27<br />
1<br />
xi = ( A1 ib1+ A2ib2<br />
+ ... + Anibn<br />
), i=<br />
1, n .<br />
D<br />
Di<br />
Îñê³ëüêè A 1i b 1 +A 2i b 2 +…+A ni b n = ∆ i , òî xi<br />
= , i=<br />
1, n.<br />
D<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Ïðèêëàä 3.3.2. Ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó ë³í³éíèõ ð³âíÿíü çà<br />
ïðàâèëîì Êðàìåðà.<br />
ì2x + x - 5x + x = 8 æ2 1 -5 1ö<br />
2 1 -5 1<br />
-3 - 6 = 9 1 -3 0 -6 1 -3 0 -6<br />
= ; D= = 27;<br />
ï 2 - + 2 =-5 0 2 -1 2 0 2 -1 2<br />
1<br />
4<br />
2<br />
7<br />
3<br />
6<br />
4<br />
0<br />
ï + - + = çè1 4 -7 6ø<br />
ïî x x x x<br />
÷ 1 4 -7 6<br />
1 2 3 4<br />
ï x1 x 2<br />
x4<br />
í A<br />
ï x 2<br />
x3 x4<br />
ç<br />
÷<br />
3.4. ÑÈÑÒÅÌA m ˲ͲÉÍÈÕ ÀËÃÅÁÐÀ¯×ÍÈÕ<br />
вÂÍßÍÜ Ç n ÍÅ<strong>²</strong>ÄÎÌÈÌÈ<br />
Ðîçãëÿäóâàíà ñèñòåìà íàéá³ëüø çàãàëüíà, òîìó ³ ïðîáëåìè<br />
âèíèêàþòü á³ëüø ñêëàäí³. Îäíà ç òàêèõ ïðîáëåì ïîâ’ÿçàíà<br />
ç ðîçâ’ÿçí³ñòþ ÑËÀÐ. Îäíàê â ìàòåìàòèö³ º äóæå âàæëèâà<br />
³ âèòîí÷åíà òåîðåìà, ÿêà â³äïîâ³äຠíà çàïèòàííÿ ïðî<br />
ðîçâ’ÿçí³ñòü ÑËÀÐ ó çàãàëüíîìó âèïàäêó.<br />
Òåîðåìà 3.4.1. (Êðîíåêåðà 1 – Êàïåëë³ 2 ).<br />
Äëÿ ñóì³ñíîñò³ ñèñòåìè (3.1.1) íåîáõ³äíî ³ äîñòàòíüî, ùîá<br />
ðàíã îñíîâíî¿ ìàòðèö³ äîð³âíþâàâ ðàíãó ðîçøèðåíî¿ ìàòðèö³,<br />
òîáòî<br />
rang A = rang A*,<br />
1<br />
Êðîíåêåð Ëåîïîëüä (1823 – 1891) — í³ìåöüêèé ìàòåìàòèê.<br />
2<br />
Êàïåëë³ Àëüôðåä (1855 – 1910) — ³òàë³éñüêèé ìàòåìàòèê.<br />
74 75
äå<br />
æa11 a12 ... a ö 1n<br />
a21 a22 ... a<br />
ç 2n<br />
÷<br />
A = .................<br />
ç a a ... a<br />
è<br />
÷ ø<br />
ç m1 m2<br />
mn÷<br />
A<br />
æa11 a12 ... a1 nb<br />
ö<br />
1 ÷<br />
a a ... a b<br />
= .................<br />
.<br />
ç a a ... a b<br />
è<br />
÷ ø<br />
* 21 22 2n<br />
2<br />
ç m1 m2<br />
mn n÷<br />
Íåîáõ³äí³ñòü. ßêùî ñèñòåìà ñóì³ñíà, òî ³ñíóº äåÿêèé<br />
ðîçâ’ÿçîê α = (α 1 , α 2 , ..., α n ) ñèñòåìè (3.1.1) ³, îòæå, ñòîâïåöü<br />
³ç â³ëüíèõ ÷ëåí³â ìàòðèö³ º ë³í³éíà êîìá³íàö³ÿ ñòîâïö³â<br />
ìàòðèö³ À (äèâ. ô. (3.1.2)). Äîäàâàííÿ äî ìàòðèö³ À ñòîâïöÿ<br />
³ç â³ëüíèõ ÷ëåí³â, ùî ÿâëÿº ñîáîþ ë³í³éíó êîìá³íàö³þ<br />
³íøèõ ñòîâïö³â, íå ìîæå çá³ëüøèòè ðàíã À. Çâ³äñè<br />
rang A = rang A*.<br />
Äîñòàòí³ñòü. ßêùî rang A = rang A* =r, òî áàçèñí³ ì³íîðè<br />
îáîõ ìàòðèöü çá³ãàþòüñÿ. Îòæå, â³ëüíèé ñòîâïåöü ðîçøèðåíî¿<br />
ìàòðèö³ À* ìîæå áóòè çîáðàæåíèé r ë³í³éíî íåçàëåæíèìè<br />
ñòîâïöÿìè áàçèñíîãî ì³íîðó ìàòðèö³ À, òîáòî ìàº<br />
ì³ñöå ñï³ââ³äíîøåííÿ (3.1.2) ³ ñèñòåìà (3.1.1) ìຠðîçâ’ÿçîê.<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
3.5. ÌÅÒÎÄ ÃÀÓÑÑÀ 1<br />
3.5.1. Ïðîáëåìè<br />
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó íàâåäåí³ â ï. 3.3 ìåòîäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ<br />
ÑËÀÐ íå ïðàöþþòü ç ò³º¿ ïðè÷èíè, ùî âîíè ïðèçíà-<br />
÷åí³ ò³ëüêè äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñòåì n ð³âíÿíü ç n íåâ³äîìèìè.<br />
Ïðîòå ÿêùî íàâ³òü m = n, òî îá÷èñëåííÿ, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³<br />
ç ôîðìóëàìè Êðàìåðà àáî ³ç çíàõîäæåííÿì îáåðíåíî¿<br />
ìàòðèö³, äóæå òðóäîì³ñòê³. Òîìó äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ïðàêòè÷íèõ<br />
çàäà÷, íàïðèêëàä çàäà÷ ç åêîíîì³êè, â ÿêèõ ê³ëüê³ñòü<br />
íåâ³äîìèõ, ÿê ïðàâèëî, äóæå âåëèêà, âêàçàí³ ìåòîäè ìàëî<br />
ïðèäàòí³. Äëÿ òàêèõ ö³ëåé áàæàíî ìàòè ³íøèé ìåòîä, ÿêèé<br />
áè ë³êâ³äóâàâ íåäîë³êè ìåòîäó âèçíà÷íèê³â ³ ìåòîäó îáåðíåíî¿<br />
ìàòðèö³. Òàêèé ìåòîä ³ñíóº, öå ìåòîä Ãàóññà, àáî ìåòîä<br />
ïîñë³äîâíîãî âèêëþ÷åííÿ çì³ííèõ. Âêàçàíèé ìåòîä äî-<br />
çâîëÿº çà äîïîìîãîþ åëåìåíòàðíèõ ïåðåòâîðåíü çà ñê³í÷åííå<br />
÷èñëî êðîê³â çíàéòè ðîçâ’ÿçîê (ÿêùî â³í ³ñíóº) ³ çà íåîáõ³äíîñò³<br />
îòðèìàòè îáåðíåíó ìàòðèöþ.<br />
3.5.2. Àëãîðèòì ìåòîäó Ãàóññà<br />
Ñóòü ìåòîäó ïîëÿãຠó òàêîìó: 1) ðîçãëÿíóâøè ïåðøå ð³âíÿííÿ<br />
ñèñòåìè (3.1.1) ³ ïðèïóñòèâøè, ùî êîåô³ö³ºíò à 11 ≠ 0<br />
ïðè ïåðøîìó äîäàíêó (ÿêùî öå íå òàê, òî ïåðåñòàíîâêîþ<br />
ð³âíÿíü ì³ñöÿìè äîá’ºìîñÿ òîãî, ùî à 11 ≠ 0), ìè ìíîæèìî íà<br />
÷èñëà 21<br />
a31 a<br />
-<br />
a<br />
,- ,...,- m1<br />
³ äîáàâëÿºìî îòðèìàí³ ð³âíÿííÿ<br />
äî äðóãîãî, òðåòüîãî, …, m-ãî ð³âíÿííÿ.  ðåçóëüòàò³<br />
a11 a11 a11<br />
âèêëþ÷èìî íåâ³äîìó x 1 ç óñ³õ íàñòóïíèõ ð³âíÿíü, êð³ì ïåðøîãî.<br />
Ïðè öüîìó çàâäÿêè åêâ³âàëåíòíèì ïåðåòâîðåííÿì<br />
îòðèìàíà ñèñòåìà, ÿêà åêâ³âàëåíòíà âèõ³äí³é; 2) ïîò³ì òàêà<br />
æ ïðîöåäóðà çä³éñíþºòüñÿ çà äîïîìîãîþ äðóãîãî ð³âíÿííÿ ³<br />
ò. ä. Ïðîöåñ ïðîäîâæóºòüñÿ äîòè, äîêè íå áóäóòü âèêîðèñòàí³<br />
âñ³ ð³âíÿííÿ. Ïðè öüîìó ìîæëèâ³ òàê³ âèïàäêè:<br />
1. Ó ïðîöåñ³ âèêëþ÷åíü ë³âà ÷àñòèíà i-ãî ð³âíÿííÿ ïåðåòâîðþºòüñÿ<br />
íà íóëü, à ïðàâà — í³, òîáòî 0 = b i ≠ 0. Öå îçíà-<br />
÷àº, ùî ñèñòåìà íå ìຠðîçâ’ÿçê³â.<br />
2. ˳âà ³ ïðàâà ÷àñòèíè i-ãî ð³âíÿííÿ ïåðåòâîðþþòüñÿ íà<br />
íóëü. Öå îçíà÷àº, ùî âîíî º ë³í³éíîþ êîìá³íàö³ºþ ³íøèõ<br />
ð³âíÿíü ³ éîãî ìîæíà â³äêèíóòè.<br />
3. ϳñëÿ âèêîðèñòàííÿ óñ³õ ð³âíÿíü áóäå îòðèìàíî ðîçâ’ÿçîê<br />
àáî äîâåäåíî, ùî ñèñòåìà íåñóì³ñíà.<br />
Ïðèêëàä 3.5.1. Ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó ë³í³éíèõ ð³âíÿíü<br />
ì 2x1+ 3x2- 4x3<br />
= 1<br />
ï<br />
í2x1+ 2x2- 5x3<br />
= 3<br />
ï ïî 4x1+ 2x2 + 2x3<br />
= 1<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ.<br />
Êðîê 1.  ñèñòåì³ à 11 =2≠ 0. ijëèìî ïåðøå ð³âíÿííÿ<br />
íà 2. Âèêëþ÷àºìî õ 1 ³ç óñ³õ ð³âíÿíü, êð³ì ïåðøîãî. Ó ðåçóëüòàò³<br />
îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ<br />
.<br />
1<br />
Ãàóññ Êàðë (1777 – 1855) — âèäàòíèé í³ìåöüêèé ìàòåìàòèê, àñòðîíîì,<br />
ô³çèê ³ ãåîäåçèñò.<br />
76 77
ìï<br />
3 1<br />
x1+ x2 - 2x3<br />
=<br />
2 2<br />
ï<br />
í -x2 - x3<br />
= 2<br />
4x2+ 10x3<br />
=-1<br />
ï<br />
ïî<br />
Êðîê 2.  äðóãîìó ð³âíÿíí³ à 22 = –1≠ 0. ijëèìî éîãî íà<br />
–1. Âèêëþ÷àºìî õ 2 ç óñ³õ ð³âíÿíü, êð³ì äðóãîãî.  ðåçóëüòàò³<br />
ìàºìî<br />
ìï<br />
7 7<br />
x1 - x3<br />
=<br />
2 2<br />
ï<br />
í x2 + x3<br />
=-2<br />
14x3<br />
=-9.<br />
ï<br />
ïî<br />
Êðîê 3. Çâîðîòíèé õ³ä. ²ç òðåòüîãî ð³âíÿííÿ çíàõîäèìî<br />
õ 3 = –9/14, ³ç äðóãîãî — õ 2 = –19/14, ³ç ïåðøîãî — õ 1 = 5/4.<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Ïåðåòâîðåííÿ Ãàóññà çðó÷íî ïðîâîäèòè<br />
íå ç ñàìèìè ð³âíÿííÿìè, à ç ðîçøèðåíîþ ìàòðèöåþ, ÿêà<br />
ñêëàäåíà ³ç êîåô³ö³ºíò³â ïðè íåâ³äîìèõ ³ â³ëüíèõ ÷ëåíàõ<br />
äëÿ ð³âíÿííÿ (3.1.1). Ðîçøèðåíà ìàòðèöÿ À * ìຠâèä:<br />
æ2 3 4 1ö<br />
- A* = 2 2 5 3<br />
-<br />
.<br />
çè4 2 2 1<br />
÷ ø<br />
Çðó÷í³ñòü çàñòîñóâàííÿ ðîçøèðåíî¿ ìàòðèö³ ïðîäåìîíñòðóºìî<br />
íà ðîçãëÿíóòîìó ïðèêëàä³<br />
æ 3 1ö æ 7 7ö<br />
1 -2 1 0 -<br />
2 2 2 2<br />
A* ~ 0 -1 - 1 2 ~ 0 1 1 -2 .<br />
0 -4 10 -1 0 0 14 -9<br />
è ç<br />
÷ ø èç<br />
ø<br />
÷<br />
Çâ³äêè íåâàæêî çíàéòè ðîçâ’ÿçîê äàíî¿ ñèñòåìè.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Ïåðåä òèì ÿê ðîçâ’ÿçóâàòè ÑËÀÐ<br />
ÿêèì-íåáóäü ìåòîäîì, äîö³ëüíî çà òåîðåìîþ Êðîíåêåðà–Êàïåëë³<br />
âèçíà÷èòè, ñóì³ñíà âîíà àáî í³. Ïðè ñóì³ñíîñò³ ñèñòåìè<br />
ìîæëèâ³ äâà âèïàäêè: rang À = n àáî rang A < n. Â ïåðøîìó<br />
âèïàäêó ñèñòåìà ìຠºäèíèé ðîçâ’ÿçîê, â äðóãîìó —<br />
áåçë³÷.<br />
Çàóâàæåííÿ 3. Ñë³ä ñêàçàòè, ùî ðîçâ’ÿçóþ÷è ÑËÀÐ<br />
øëÿõîì ïåðåòâîðåííÿ ðîçøèðåíî¿ ìàòðèö³, âèêîíàííÿ óìîâ<br />
òåîðåìè Êðîíåêåðà–Êàïåëë³ ëåãêî âñòàíîâëþºòüñÿ. Öå ùå<br />
ðàç ï³äêðåñëþº åôåêòèâí³ñòü ìåòîäó Ãàóññà. Äî ðå÷³, ó ïðèêëàä³<br />
3.5.1, ÿê öå âèäíî ç ïåðåòâîðåíî¿ ìàòðèö³ A*,<br />
rang A = rang A*.<br />
Ïðèêëàä 3.5.2. Äîâåñòè çà äîïîìîãîþ ïåðåòâîðåíü Ãàóññà,<br />
ùî ñèñòåìà ð³âíÿíü<br />
ì x1+ 2x2- x3<br />
=<br />
7<br />
ï<br />
í2x1- 3x2 + x3<br />
= 3<br />
ï ïî 4x1+ x2- x3<br />
= 5<br />
º íåñóì³ñíîþ.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ïåðåòâîðèìî ðîçøèðåíó ìàòðèöþ ñèñòåìè<br />
æ1 2 1 7ö æ1 2 1 7ö æ1 2 1 7ö<br />
- - -<br />
2 3 1 3 0 7 3 11 0 7 3 11<br />
- : - - - : - - -<br />
.<br />
çè4 1 -1 5 ÷ ø çè0 0 0 -12 ÷ ø çè0 0 0 -12<br />
÷ ø<br />
Îòæå, ð³âíÿííÿ, ÿêå â³äïîâ³äຠòðåòüîìó ðÿäêó ìàòðèö³, —<br />
ñóïåðå÷ëèâå: âîíî çâåëîñü äî íåâ³ðíî¿ ð³âíîñò³: 0 = –12.<br />
Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî äàíà ñèñòåìà íåñóì³ñíà.<br />
Òóò òåîðåìà Êðîíåêåðà–Êàïåëë³ ãàðíî ïðàöþº: rang A =2,<br />
rang A* = 3 (ïåðåâ³ðòå!), ³ îñê³ëüêè 2 < 3, òî äàíà ñèñòåìà<br />
íåñóì³ñíà.<br />
Ïðèêëàä 3.5.3. Ìåòîäîì Ãàóññà ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó ð³âíÿíü:<br />
ì x1+ x2 + x3<br />
=<br />
5<br />
ï<br />
í2x1-x2- x3<br />
= 4<br />
ï ïî 2x1+ 2x2 + 2x3<br />
= 10<br />
78 79
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Øëÿõîì ïåðåòâîðåíü Ãàóññà îòðèìàºìî<br />
æ1 1 1 5ö æ1 1 1 5ö<br />
æ1 1 1 5ö<br />
2 1 1 4 0 3 3 6<br />
- - : - - - :<br />
3 0 0 9<br />
çè ÷ ø.<br />
çè2 2 2 10ø ÷ è ç0 0 0 0ø<br />
÷<br />
Íåõàé òåïåð õ 3 = ñ, äå ñ — äîâ³ëüíà ñòàëà. Òîä³ ðîçâ’ÿçîê<br />
äàíî¿ ñèñòåìè ìຠòàêèé âèãëÿä:<br />
(x 1 = 3; x 2 =2− c; x 3 = c).<br />
ßñíî, ùî çà ðàõóíîê äîâ³ëüíîñò³ ñòàëî¿ ñ ðîçãëÿíóòå ð³âíÿííÿ<br />
ìຠíåñê³í÷åííó ìíîæèíó ðîçâ’ÿçê³â.<br />
Òóò òåîðåìà Êðîíåêåðà–Êàïåëë³ òåæ ãàðíî ïðàöþº:<br />
rang A = rang A*=2.<br />
Ïðèêëàä 3.5.4. Íåõàé ôàáðèêà âèðîáëÿº äèòÿ÷å, æ³íî÷å<br />
³ ÷îëîâ³÷å âçóòòÿ. Ïðè öüîìó âèêîðèñòîâóºòüñÿ ñèðîâèíà<br />
òðüîõ âèä³â: Q 1 , Q 2 , Q 3 . Íàïðèêëàä, Q 1 ìîæå áóòè ñèðîâèíîþ<br />
ç íàòóðàëüíî¿ øê³ðè; Q 2 — ñèðîâèíîþ äëÿ âèãîòîâëåííÿ<br />
ï³äîøâ; Q 3 — ñèðîâèíîþ äëÿ âèãîòîâëåííÿ øíóðê³â. Íîðìè<br />
çàòðàò (â óìîâíèõ îäèíèöÿõ) êîæíî¿ ç íèõ íà îäíó ïàðó<br />
âçóòòÿ òà îáñÿã çàòðàò ñèðîâèíè íà 1 äåíü çàäàí³ ó âèãëÿä³<br />
ìàòðèö³ A òà âåêòîðà-ñòîâïöÿ b:<br />
æ1 2 3ö æ1300ö<br />
A= 1 3 4 , 1700<br />
b=<br />
.<br />
çè1 2 5 ÷ ø è ç1700ø<br />
÷<br />
Òóò ïåðøèé ðÿäîê ìàòðèö³ îçíà÷àº, ùî íà äèòÿ÷å, æ³íî÷å<br />
³ ÷îëîâ³÷å âçóòòÿ çà 1 äåíü âèòðà÷àºòüñÿ â³äïîâ³äíî îäíà<br />
îäèíèöÿ, äâ³ îäèíèö³ ³ òðè îäèíèö³ ñèðîâèíè Q 1 . Àíàëîã³÷íèé<br />
ñìèñë ìຠäðóãèé òà òðåò³é ðÿäîê. Ïðè öüîìó âåêòîðñòîâïåöü<br />
âèçíà÷ຠîáñÿã çàòðàò ñèðîâèíè çà 1 äåíü.<br />
Òðåáà çíàéòè ùîäåííèé îáñÿã âèïóñêó êîæíîãî âèäó<br />
âçóòòÿ.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Íåõàé ùîäåííî ôàáðèêà âèïóñêຠõ 1<br />
ïàð äèòÿ÷îãî, õ 2 ïàð æ³íî÷îãî ³ õ 3 ïàð ÷îëîâ³÷îãî âçóòòÿ.<br />
Öåé ôàêò çàïèøåìî ó âèãëÿä³ âåêòîðà-ñòîâïöÿ:<br />
x<br />
æ ö x1<br />
= x<br />
2<br />
.<br />
ç çèx<br />
÷<br />
3 ø÷<br />
Òîä³, ó â³äïîâ³äíîñò³ äî çàòðàò ñèðîâèíè êîæíîãî âèäó<br />
áóäåìî ìàòè ìàòðè÷íå ð³âíÿííÿ Ax = b àáî ñèñòåìó<br />
ì x1+ 2x2 + 3x3<br />
=<br />
1300,<br />
ï<br />
íx1 + 3x2 + 4x3<br />
= 1700,<br />
ï ïî x1+ 2x2 + 5x3<br />
= 1700.<br />
Ðîçâ’ÿçîê ö³º¿ ñèñòåìè áóäåìî øóêàòè çà ïðàâèëîì<br />
Êðàìåðà.<br />
1 2 3 1 2 3 1300 2 3 13 2 3<br />
D= 1 3 4 = 0 1 1 = 2, D<br />
1<br />
= 1700 3 4 = 100× 17 3 4 =<br />
1 2 5 0 0 2 1700 2 5 17 2 5<br />
13 2 3 13 1 3<br />
5 1<br />
æ 1ö 5 1<br />
= ×- - = × 2 2 ç - × × × =- × - =<br />
çè 2÷<br />
ø<br />
2 1<br />
4 0 2<br />
201<br />
1+<br />
2<br />
100 0 100 2 2 5 0 1 200 ( 1) 600<br />
1 1300 3 1 1300 3 1 2 1300<br />
D = 1 1700 4 = 0 400 1 = 400, D = 1 3 1700 = 400.<br />
2 3<br />
1 1700 5 0 400 2 1 2 1700<br />
Çàñòîñóºìî òåïåð ôîðìóëè (3.3.2):<br />
D<br />
D<br />
D<br />
x = = x = = x = =<br />
D D D<br />
1 2<br />
3<br />
1<br />
300,<br />
2<br />
200,<br />
3<br />
200.<br />
Îòæå, çàäà÷ó ðîçâ’ÿçàíî ³ ìè ìîæåìî ñêàçàòè, ùî ôàáðèêà<br />
ùîäåííî âèïóñêຠ300 ïàð äèòÿ÷îãî ³ ïî 200 ïàð æ³íî-<br />
÷îãî òà ÷îëîâ³÷îãî âçóòòÿ.<br />
×èòà÷åâ³ ïðîïîíóºìî ðîç³áðàòèñÿ ç ïðèéîìàìè îá÷èñëåííÿ<br />
âèçíà÷íèê³â, à òàêîæ ðîçâ’ÿçàòè öþ çàäà÷ó ³íøèìè ìåòîäàìè.<br />
80 81
3.6. ÑÈÑÒÅÌÀ ˲ͲÉÍÈÕ ÎÄÍÎвÄÍÈÕ<br />
ÀËÃÅÁÐÀ¯×ÍÈÕ Ð²ÂÍßÍÜ<br />
3.6.1. Îçíà÷åííÿ<br />
Ñèñòåìà ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü íàçèâàºòüñÿ îäíîð³äíîþ,<br />
ÿêùî ïðàâ³ ÷àñòèíè öèõ ð³âíÿíü äîð³âíþþòü íóëþ:<br />
ì a11x1 + a12x2 + ... + a1<br />
nxn<br />
= 0<br />
ï a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn<br />
= 0<br />
í<br />
; Ax = 0.<br />
...........................................<br />
ï<br />
ïî am 1x1+ am2x2+ ... + amnxn<br />
= 0<br />
(3.6.1)<br />
ßê âèäíî, â îäíîð³äí³é ñèñòåì³ â³ëüí³ ÷ëåíè äîð³âíþþòü<br />
íóëþ. Òàêà ñèñòåìà ð³âíÿíü çàâæäè ñóì³ñíà. Ïî-ïåðøå, î÷åâèäíî,<br />
ùî ðàíã îñíîâíî¿ ³ ðîçøèðåíî¿ ìàòðèöü çá³ãàºòüñÿ (äîäàâàííÿ<br />
íóëüîâîãî ñòîâïöÿ íå çì³íþº ðàíã îñíîâíî¿ ìàòðèö³), ³,<br />
ïî-äðóãå, ñèñòåìà (3.6.1) ìຠðîçâ’ÿçîê: õ 1 =0, õ 2 =0,…,õ n =0.<br />
Öåé ðîçâ’ÿçîê íàçèâàºòüñÿ íóëüîâèì, àáî òðèâ³àëüíèì.<br />
3.6.2. Íåòðèâ³àëüí³ ðîçâ’ÿçêè îäíîð³äíî¿ ñèñòåìè<br />
ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü<br />
Âèíèêຠïèòàííÿ ïðî ³ñíóâàííÿ õî÷à á îäíîãî íå íóëüîâîãî<br />
ðîçâ’ÿçêó, òîáòî ðîçâ’ÿçêó, ó ÿêîìó õî÷à á äåÿê³ ç íåâ³äîìèõ<br />
áóëè â³äì³íí³ â³ä íóëÿ.<br />
ßêùî ìàòðèöÿ ñèñòåìè (3.6.1) ìຠðàíã, ÿêèé äîð³âíþº<br />
n (r = n), òîä³ ñèñòåìà ìຠºäèíèé ðîçâ’ÿçîê — íóëüîâèé. Öå<br />
âèïëèâຠç òîãî, ùî â öüîìó âèïàäêó ìàòðèöÿ À ìຠr ë³í³éíî<br />
íåçàëåæíèõ âåêòîð-ñòîâïö³â ðîçì³ðíîñò³ r ³ ¿õ ë³í³éíà<br />
êîìá³íàö³ÿ áóäå äîð³âíþâàòè íóëþ (òîáòî íóëüîâ³é ïðàâ³é<br />
÷àñòèí³ ð³âíÿííÿ) òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè õ 1 , õ 2 ,…, õ n âñ³<br />
äîð³âíþþòü íóëþ.<br />
ßêùî ðàíã ìàòðèö³ À ìåíøèé çà n (r < n), òî ñèñòåìà ìàº<br />
áåçë³÷ ðîçâ’ÿçê³â, ÿê³ îòðèìóþòüñÿ çà ðàõóíîê íàäàííÿ äîâ³ëüíèõ<br />
çíà÷åíü äëÿ x r+1 ,…,x n ³ ïîäàëüøîãî âèêîðèñòàííÿ<br />
áóäü-ÿêîãî ìåòîäó ðîçâ’ÿçóâàííÿ ÑËÀÐ.<br />
 îêðåìîìó âèïàäêó, êîëè m = n, ñèñòåìà (3.6.1) ìຠºäèíèé<br />
íóëüîâèé ðîçâ’ÿçîê, ÿêùî ∆ À ≠ 0 (ñèñòåìà çàäîâîëüíÿº<br />
òåîðåì³ Êðàìåðà), ³ áåçë³÷ ðîçâ’ÿçê³â, ÿêùî ∆ À =0.<br />
Áóäü-ÿêèé ðîçâ’ÿçîê ñèñòåìè ð³âíÿíü ç n íåâ³äîìèìè ìîæíà<br />
ðîçãëÿäàòè ÿê âåêòîð â n-âèì³ðíîìó ïðîñòîð³. Ðîçâ’ÿçîê<br />
ñèñòåìè ë³í³éíèõ îäíîð³äíèõ ð³âíÿíü ìຠòàê³ âëàñòèâîñò³:<br />
1. ßêùî âåêòîð (õ 1 , õ 2 ,…, õ n ) º ðîçâ’ÿçêîì ñèñòåìè (3.6.1),<br />
òî ïðè áóäü-ÿêîìó l âåêòîð (lõ 1 , lõ 2 ,…, lõ n ) òàêîæ áóäå ðîçâ’ÿçêîì.<br />
Öå ïåðåâ³ðÿºòüñÿ áåçïîñåðåäíüîþ ï³äñòàíîâêîþ.<br />
2. ßêùî âåêòîð ( x′ 1, x′ 2,..., x n<br />
′ ) º ùå îäíèì ðîçâ’ÿçêîì<br />
ñèñòåìè (3.6.1), òî âåêòîð ( x1 + x′ 1, x2 + x′ 2,..., x n<br />
+ x n<br />
′ ) òàêîæ<br />
áóäå ðîçâ’ÿçêîì. Ïåðåâ³ðÿºòüñÿ àíàëîã³÷íî.<br />
²ç âëàñòèâîñòåé 1 ³ 2 âèïëèâàº, ùî âñÿêà ë³í³éíà êîìá³íàö³ÿ<br />
ðîçâ’ÿçê³â ñèñòåìè (3.6.1) òàêîæ º ðîçâ’ÿçêîì ö³º¿<br />
ñèñòåìè.<br />
Ìîæíà ïîêàçàòè, ùî âñÿêèé ðîçâ’ÿçîê íåîäíîð³äíî¿ ñèñòåìè<br />
ìîæå áóòè çîáðàæåíèé ó âèãëÿä³ ñóìè äåÿêîãî (îêðåìîãî)<br />
ðîçâ’ÿçêó ö³º¿ ñèñòåìè ³ äåÿêîãî ðîçâ’ÿçêó â³äïîâ³äíî¿<br />
¿é (ïðè b = 0) îäíîð³äíî¿ ñèñòåìè.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
3.1. Âèçíà÷èòè ìàêñèìàëüíå ÷èñëî ë³í³éíî íåçàëåæíèõ<br />
ð³âíÿíü ñèñòåìè<br />
ì 2x1+ x2-x3- x4<br />
=<br />
1,<br />
ï<br />
í - x1 - 2x2 + x3 - 2x4<br />
= 0,<br />
ï ïî 5x1+ x2-2x3- 5x4<br />
= 3.<br />
³äïîâ³äü: 2.<br />
3.2.  ñèñòåì³ ð³âíÿíü çíàéòè ë³í³éíî íåçàëåæí³ ð³âíÿííÿ<br />
ó âèãëÿä³ ë³í³éíèõ êîìá³íàö³é, ÷åðåç ÿê³ âèçíà÷àþòüñÿ<br />
âñ³ ³íø³ ð³âíÿííÿ ñèñòåìè<br />
ì 2x1+ x2- x3<br />
= 3,<br />
ï<br />
í - x1 + x2 - 2x3<br />
= 1,<br />
ï ïî 5x1+ x2<br />
= 5.<br />
³äïîâ³äü: ïåðø³ äâà ð³âíÿííÿ ë³í³éíî íåçàëåæí³, òðåòº<br />
îäåðæóºòüñÿ ÿê ïîäâîºíå ïåðøå ì³íóñ äðóãå.<br />
82 83
3.3. Êîðèñòóþ÷èñü ïðàâèëîì Êðàìåðà, ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó<br />
ð³âíÿíü<br />
ì 3x- 3y+ 2z<br />
= 2,<br />
ï<br />
í4x- 5y+ 2z<br />
= 1,<br />
ïî<br />
5x- 6y+ 4z<br />
= 3.<br />
³äïîâ³äü: (1, 1, 1).<br />
3.4. Ðîçâ’ÿçàòè ìåòîäîì Ãàóññà ñèñòåìó ð³âíÿíü<br />
ì x1+ 2x2 + 3x3<br />
=<br />
7,<br />
ï<br />
í2x1+ 3x2- x3<br />
= 6,<br />
ï ïî 3x1+ x2- 4x3<br />
= 3.<br />
³äïîâ³äü: (2, 1, 1).<br />
3.5. Ðîçâ’ÿçàòè ìàòðè÷íèì ñïîñîáîì ñèñòåìè:<br />
³äïîâ³äü: (2, 1, 1).<br />
ì x- 2y+ z = 1,<br />
ï<br />
í2x+ y- z = 4,<br />
ïî<br />
x- y+ 2z<br />
= 3.<br />
ì 2x1+ x2 + 3x3 + 4x4<br />
=<br />
11,<br />
ï7x1+ 3x2 + 6x3 + 8x4<br />
= 24,<br />
í<br />
3x1+ 2x2 + 4x3 + 5x4<br />
= 14,<br />
ï<br />
ïî x1 + x2 + 3x3 + 4x4<br />
= 11.<br />
³äïîâ³äü: (1, –1, 2, 1).<br />
3.6. ×è ñóì³ñíà ñèñòåìà ð³âíÿíü? ßêùî ñóì³ñíà, òî ðîçâ’ÿçàòè<br />
¿¿:<br />
ì<br />
ï3x1+ 2x2 + x3+ x4<br />
= 1,<br />
í<br />
ï<br />
ïî 3x1+ 2x2-x3- 2x4<br />
= 2.<br />
³äïîâ³äü: (ñ 1 , ñ 2 ,4−9ñ 1 −6ñ 2 ,6ñ 1 +4ñ 2 −3).<br />
ì x1- x2 + x3- 2x4<br />
= 1,<br />
ï<br />
íx1 - x2 + 2x3 - x4<br />
= 2,<br />
ïî<br />
5x1- 5x2 + 8x3- 7x4<br />
= 3.<br />
³äïîâ³äü: íåñóì³ñíà.<br />
3.7. Âèçíà÷èòè ë³í³éíî íåçàëåæí³ ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñòåìè<br />
ð³âíÿíü<br />
ì 2x1+ 3x2 + x3+ 2x4- x5<br />
=<br />
0,<br />
ï<br />
í3x1+ x2- 8x3+ 3x4 + 2x5<br />
= 0,<br />
ï ïî x1+ 2x2 + 2x3+ x4 + 6x5<br />
= 0.<br />
Âêàç³âêè:<br />
1. Çíàéòè ðàíã ñèñòåìè (â³í äîð³âíþº 3).<br />
2. Âèðàçèòè õ 1 , õ 2 , õ 3 ÷åðåç õ 4 ³ õ 5 .<br />
3. Ïîêëàñòè õ 4 = 1, õ 5 =0 ³ õ 4 = 0, õ 5 =1.<br />
4. Çíàéòè â³äïîâ³äí³ ÷èñëîâ³ çíà÷åííÿ õ 1 , õ 2 , õ 3 ³ õ' 1 , õ' 2 ,<br />
õ' 3 . Ñêëàñòè ë³í³éíó êîìá³íàö³þ õ = l 1 ó 1 + l 2 ó 2 , äå<br />
ó 1 =(õ 1 , õ 2 , õ 3 , 1, 0), ó 2 =(x 1 , x 2, x 3 , 0, 1).<br />
3.8. Ðîçâ’ÿçàòè òàê³ ñèñòåìè ð³âíÿíü ìàòðè÷íèì ìåòîäîì,<br />
çà ïðàâèëîì Êðàìåðà ³ çà ìåòîäîì Ãàóññà:<br />
³äïîâ³äü: (1, 2, 3).<br />
³äïîâ³äü: (1, 1, 1).<br />
ì Nx1- Nx2 + Nx3<br />
= 2 N,<br />
ï<br />
íNx1+ Nx2- Nx3<br />
= 0,<br />
ïî<br />
Nx1-Nx2- Nx3<br />
=-4 N.<br />
ì Nx1+ x2 + Nx3<br />
= 2N<br />
+ 1,<br />
ï<br />
í - x1 + Nx2 + x3<br />
= N,<br />
ïî<br />
Nx1- x2 + Nx3<br />
= 2N<br />
-1.<br />
84 85
³äïîâ³äü: (1, 2, 3).<br />
³äïîâ³äü: (1, 1, 5).<br />
3.9. Ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó<br />
ì- Nx1+ x2 + Nx3<br />
= 2N<br />
+ 2,<br />
ï<br />
í - Nx2 - x3<br />
=- 2N<br />
- 3,<br />
ï ïî Nx1+ x2- Nx3<br />
=- 2N<br />
+ 2.<br />
ì 1+ 2<br />
+<br />
3<br />
= 2 +<br />
Nx Nx x N 5,<br />
ï<br />
íx1 - Nx2 + 2x3<br />
= 11 - N,<br />
ï ïî 3x1+ x2 + 4Nx3<br />
= 20N+<br />
4.<br />
ì x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5<br />
= 2<br />
2x1 + 3x2 + 7x3 + 10x4 + 13x5<br />
= 12<br />
ï<br />
í3x1 + 5x2 + 11x3 + 16x4 + 21x5<br />
= 17<br />
2x1 - 7x2 + 7x3 + 7x4 + 2x5<br />
= 57<br />
ï<br />
ïîï<br />
x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 10x5<br />
= 7<br />
ìåòîäîì Ãàóññà.<br />
³äïîâ³äü: (3, –5, 4, –2, 1).<br />
3.10. Ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó<br />
ÒÅÌÀ 4<br />
˲Ͳ¯ ÍÀ ÏËÎÙÈͲ ² Ó ÏÐÎÑÒÎв<br />
4.1. ÏÐßÌÎÊÓÒͲ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÈ<br />
ÍÀ ÏËÎÙÈͲ ² ¯Õ ÍÀÉÏÐÎÑҲز<br />
ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß<br />
4.1.1. Îçíà÷åííÿ<br />
Êîîðäèíàòàìè òî÷êè íà ïëîùèí³ íàçèâàþòüñÿ ÷èñëà, ùî<br />
âèçíà÷àþòü ïîëîæåííÿ ö³º¿ òî÷êè íà ïëîùèí³.<br />
Ïðÿìîêóòí³, àáî äåêàðòîâ³ êîîðäèíàòè 1 íà ïëîùèí³<br />
ââîäÿòüñÿ â òàêèé ñïîñ³á: íà ö³é ïëîùèí³ ô³êñóºòüñÿ òî÷êà<br />
Î (ïî÷àòîê êîîðäèíàò), ÿêà º òî÷êîþ ïåðåòèíó äâîõ âçà-<br />
ºìíî ïåðïåíäèêóëÿðíèõ ñïðÿìîâàíèõ ïðÿìèõ Îõ ³ Îó (îñ³<br />
êîîðäèíàò) (ðèñ. 4.1). Ñïðÿìîâàí³ñòü ïðÿìèõ ìîæå áóòè<br />
äîâ³ëüíîþ. Òîìó äëÿ çðó÷íîñò³ ðîçãëÿäó ïðèïóñòèìî, ùî<br />
â³ñü Îõ (â³ñü àáñöèñ) ãîðèçîíòàëüíà ³ ñïðÿìîâàíà çë³âà ïðàâîðó÷,<br />
à â³ñü Îó (â³ñü îðäèíàò) âåðòèêàëüíà ³ ñïðÿìîâàíà<br />
çíèçó íàãîðó (ìàòåìàòèêè, ÿê ïðàâèëî, ñàìå òàê ³íòåðïðåòóþòü<br />
ïîëîæåííÿ â³ñåé êîîðäèíàò). Êð³ì öüîãî, âèáèðàºòüñÿ<br />
îäèíèöÿ ìàñøòàáó äëÿ âèì³ðó â³äñòàíåé.<br />
⎧Nx1 + x2 + x3 + x4<br />
= N + 3<br />
⎪ x1 + Nx2 − x3 + x4<br />
= N + 1<br />
⎨<br />
⎪ − x1 + x2 + Nx3 − x4<br />
= N − 1<br />
⎪<br />
⎩2x1 −x2 − x3 + Nx4<br />
= N<br />
³äïîâ³äü: (1, 1, 1, 1).<br />
Ó âïðàâ³ 3.8, 3.10 ïàðàìåòð N îçíà÷ຠ÷èñëî äàòè íàðîäæåííÿ<br />
÷èòà÷à, ÿêèé áóäå ðîçâ’ÿçóâàòè ¿¿.<br />
Ðèñ. 4.1 Ðèñ. 4.2<br />
1<br />
Âîíè íàçâàí³ çà ³ìåíåì âèäàòíîãî ôðàíöóçüêîãî ô³ëîñîôà, ìàòåìàòèêà,<br />
ô³çèêà ³ ô³ç³îëîãà Ðåíå Äåêàðòà (1596 – 1650).<br />
86 87
Äëÿ äàíî¿ òî÷êè Ì ââåäåìî â ðîçãëÿä äâà ÷èñëà: àáñöèñó<br />
õ ³ îðäèíàòó ó ö³º¿ òî÷êè.<br />
Àáñöèñîþ õ íàçèâàºòüñÿ ÷èñëî, ùî âèðàæຠâ äåÿêîìó<br />
ìàñøòàá³ â³äñòàíü òî÷êè â³ä îñ³ îðäèíàò, óçÿòå ç³ çíàêîì<br />
ïëþñ, ÿêùî òî÷êà ëåæèòü óïðàâî â³ä îñ³ îðäèíàò, ³ ç³ çíàêîì<br />
ì³íóñ, ÿêùî òî÷êà ëåæèòü óë³âî â³ä îñ³ îðäèíàò.<br />
Îðäèíàòîþ ó íàçèâàºòüñÿ ÷èñëî, ùî âèðàæຠâ äåÿêîìó<br />
ìàñøòàá³ (çâè÷àéíî â òîìó æ, ÿê ³ äëÿ àáñöèñè) â³äñòàíü<br />
òî÷êè â³ä îñ³ àáñöèñ, ïðè÷îìó âîíî áåðåòüñÿ ç³ çíàêîì<br />
ïëþñ, ÿêùî òî÷êà ëåæèòü âèùå îñ³ àáñöèñ, ³ ç³ çíàêîì ì³íóñ,<br />
ÿêùî òî÷êà ëåæèòü íèæ÷å îñ³ àáñöèñ.<br />
Ö³ äâà ÷èñëà õ ³ ó ïðèéìàþòüñÿ çà êîîðäèíàòè òî÷êè Ì,<br />
òîìó ùî âîíè ö³ëêîì âèçíà÷àþòü ïîëîæåííÿ òî÷êè íà<br />
ïëîùèí³, ÿê-îò: êîæí³é ïàð³ ÷èñåë õ ³ ó â³äïîâ³äຠºäèíà<br />
òî÷êà, êîîðäèíàòàìè ÿêî¿ º ö³ ÷èñëà; ³ îáåðíåíî, êîæíà<br />
òî÷êà ïëîùèíè ìຠâèçíà÷åí³ êîîðäèíàòè õ ³ ó. ßêùî òî-<br />
÷êà Ì ìຠêîîðäèíàòè õ ³ ó, òî ïîçíà÷àþòü òàê: Ì(õ,ó) (íà<br />
ïåðøîìó ì³ñö³ ñòàâèòüñÿ àáñöèñà õ, à íà äðóãîìó — îðäèíàòà<br />
ó). Ïðè çàïèñ³ êîîðäèíàò çíàê ïëþñ, ÿê çâè÷àéíî, ìîæíà<br />
îïóñêàòè.<br />
Îñ³ Îõ ³ Îó ðîçáèâàþòü ïëîùèíó íà ÷îòèðè ÷àñòèíè, ÿê³<br />
íàçèâàþòüñÿ êâàäðàíòàìè (÷âåðòÿìè). Ó ïåðøîìó êâàäðàíò³<br />
(I) îáèäâ³ êîîðäèíàòè äîäàòí³; ó äðóãîìó êâàäðàíò³ (II)<br />
àáñöèñà â³ä’ºìíà, à îðäèíàòà äîäàòíà; ó òðåòüîìó êâàäðàíò³<br />
(III) îáèäâ³ êîîðäèíàòè â³ä’ºìí³; ó ÷åòâåðòîìó êâàäðàíò³<br />
(IV) àáñöèñà äîäàòíà, à îðäèíàòà â³ä’ºìíà.<br />
Íàïðÿìëåíèé â³äð³çîê ÎÌ, ùî ç’ºäíóº ïî÷àòîê êîîðäèíàò<br />
Î ç òî÷êîþ Ì (ðèñ 4.2), íàçèâàºòüñÿ ¿¿ ðàä³óñîì-âåêòîðîì.<br />
Ïîçíà÷àþ÷è ÷åðåç ϕ êóò, óòâîðåíèé â³äð³çêîì ÎÌ ç<br />
äîäàòíèì íàïðÿìîì îñ³ Îõ, ³ ÷åðåç r éîãî äîâæèíó, äëÿ<br />
òî÷êè Ì, ùî ëåæèòü ó ïåðøîìó êâàäðàíò³, ³ç òðèêóòíèê³â<br />
ÎÌÌ′ ³ ÎÌÌ′′ îòðèìàºìî:<br />
x= rcos<br />
j üï ïï<br />
æp<br />
ö ý<br />
y= rcos<br />
ç -j = rsin<br />
j<br />
çè2<br />
÷ ø<br />
ï<br />
ïþ<br />
(4.1.1)<br />
Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñÿ, ùî ôîðìóëè (4.1.1) áóäóòü ñïðàâåäëèâ³<br />
äëÿ êîîðäèíàò òî÷îê óñ³õ êâàäðàíò³â. Òàêèì ÷èíîì,<br />
çíàê àáñöèñè õ òî÷êè Ì çá³ãàºòüñÿ ç³ çíàêîì êîñèíóñà, à<br />
çíàê ¿¿ îðäèíàòè ó — ç³ çíàêîì ñèíóñà ó â³äïîâ³äíîìó<br />
êâàäðàíò³.<br />
Ëåãêî ïîáà÷èòè, ùî ÿêùî òî÷êà ëåæèòü íà îñ³ àáñöèñ, òî<br />
¿¿ îðäèíàòà ó äîð³âíþº íóëþ; ÿêùî æ âîíà ëåæèòü íà îñ³<br />
îðäèíàò, òî ¿¿ àáñöèñà õ äîð³âíþº íóëþ.<br />
 íàñòóïíèõ ïóíêòàõ öüîãî ðîçä³ëó ðîçãëÿíåìî íàéïðîñò³ø³<br />
çàäà÷³, ÿê³ ðîçâ’ÿçóþòüñÿ çà äîïîìîãîþ ïðÿìîêóòíî¿<br />
ñèñòåìè êîîðäèíàò.<br />
4.1.2. ³äñòàíü ì³æ äâîìà òî÷êàìè íà ïëîùèí³<br />
1. Çíàéäåìî ñïî÷àòêó â³äñòàíü r â³ä ïî÷àòêó êîîðäèíàò<br />
0(0, 0) äî òî÷êè M(x,y) (ðèñ. 4.3).<br />
Ðèñ. 4.3<br />
³äñòàíü r=OM, î÷åâèäíî, º ã³ïîòåíóçîþ ïðÿìîêóòíèêà<br />
ÎÌÌ′ ç êàòåòàìè ÎÌ′= x , M′M= y . Çà òåîðåìîþ ϳôàãîðà<br />
1 ìàòèìåìî, ùî<br />
2 2<br />
r = x + y . (4.1.2)<br />
Òàêèì ÷èíîì, â³äñòàíü â³ä ïî÷àòêó êîîðäèíàò äî òî÷êè<br />
M äîð³âíþº êîðåíþ êâàäðàòíîìó ³ç ñóìè êâàäðàò³â êîîðäèíàò<br />
ö³º¿ òî÷êè.<br />
1<br />
ϳôàãîð Ñàìîñüêèé (áëèçüêî 580 – 500 äî í.å.) — äàâíüîãðåöüêèé<br />
ìàòåìàòèê ³ ô³ëîñîô-³äåàë³ñò.<br />
88 89
2. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó äëÿ òî÷îê A(x 1 , ó 1 ) ³  (õ 2 , ó 2 )<br />
(ðèñ. 4.4) ïîòð³áíî çíàéòè â³äñòàíü d=AB ì³æ öèìè òî÷êàìè.<br />
àáî çà òåîðåìîþ Ôàëåñà<br />
AC<br />
1 1<br />
=λ<br />
CB<br />
. (4.1.4)<br />
1 1<br />
Òðåáà âèçíà÷èòè êîîðäèíàòè õ ³ ó òî÷êè Ñ (õ, ó) ÷åðåç<br />
êîîðäèíàòè ê³íö³â â³äð³çêà ÀÂ.<br />
Ç ðèñ. 4.5 âèäíî, ùî<br />
AC<br />
1 1<br />
= OC1- OA1 = x- x1, C1B1 = OB1- OC1 = x2- x .<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è ö³ âèðàçè ó ôîðìóëó (4.1.4), îòðèìàºìî<br />
x−<br />
x1<br />
x − x<br />
2<br />
=λ. (4.1.5)<br />
Ðèñ. 4.4<br />
Âèáåðåìî íîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò Ax′ y′ , ïî÷àòîê ÿêî¿<br />
çá³ãàºòüñÿ ç òî÷êîþ À ³ îñ³ ÿêî¿ ïàðàëåëüí³ ñòàðèì îñÿì ³<br />
ìàþòü, â³äïîâ³äíî, îäíàêîâ³ íàïðÿìêè ç íèìè. Òîä³ â íîâ³é<br />
ñèñòåì³ êîîðäèíàò òî÷êè À ³  áóäóòü ìàòè òàê³ êîîðäèíàòè:<br />
À(0,0) ³ Â(õ′, ó′), äå õ′ = õ 2 – õ 1 , à ó′ = ó 2 – ó 1 . Çâ³äñè íà<br />
ï³äñòàâ³ ôîðìóëè (4.1.2) îòðèìàºìî, ùî<br />
2 2<br />
= ( - ) + ( - ) , (4.1.3)<br />
d x x y y<br />
2 1 2 1<br />
òîáòî â³äñòàíü ì³æ äâîìà òî÷êàìè ïëîùèíè (ïðè áóäü-ÿêîìó<br />
¿õíüîìó ðîçòàøóâàíí³) äîð³âíþº êîðåíþ êâàäðàòíîìó ³ç<br />
ñóìè êâàäðàò³â ð³çíèöü îäíîéìåííèõ êîîðäèíàò öèõ òî÷îê.<br />
4.1.3. ijëåííÿ â³äð³çêà â äàíîìó â³äíîøåíí³<br />
Ïðèïóñòèìî, ùî â³äð³çîê À (ðèñ. 4.5), ùî ç’ºäíóº òî÷êè<br />
À (õ 1 , ó 1 ) ³  (õ 2 , ó 2 ), ðîçä³ëåíî òî÷êîþ Ñ íà äâà â³äð³çêè ÀÑ<br />
³ ÑÂ, ïðè÷îìó â³äíîøåííÿ ÀÑ äî Ñ äîð³âíþº λ(λ≥0):<br />
AC<br />
CB<br />
=λ<br />
Ðîçâ’ÿçóþ÷è ð³âíÿííÿ (4.1.5) â³äíîñíî íåâ³äîìî¿ àáñöèñè<br />
õ, áóäåìî ìàòè<br />
àíàëîã³÷íî<br />
Ðèñ. 4.5<br />
x1 +λx2<br />
x =<br />
1 +λ ,<br />
y1 +λy2<br />
y =<br />
1 +λ .<br />
90 91
Îòæå, êîîðäèíàòè òî÷êè Ñ (õ,ó), ÿêà ä³ëèòü â³äð³çîê À ó<br />
â³äíîøåíí³ λ (â³äë³ê â³ä À), âèçíà÷àþòüñÿ ôîðìóëàìè:<br />
x1 +λx2<br />
x = ,<br />
1 +λ<br />
y1 +λy<br />
(4.1.6)<br />
2<br />
y = .<br />
1 +λ<br />
Ðîçãëÿíåìî îêðåìèé âèïàäîê. Íåõàé òî÷êà Ñ ä³ëèòü â³äð³çîê<br />
À ïîïîëàì. Òîä³ ÀÑ = Ñ ³ λ=1. Ïîçíà÷èâøè êîîðäèíàòè<br />
ñåðåäèíè â³äð³çêà ÷åðåç õ ñ ³ ó ñ , îäåðæèìî íà ï³äñòàâ³<br />
ôîðìóë (4.1.6) òàê³<br />
x1 + x2<br />
xc<br />
= ,<br />
2<br />
y1 + y<br />
(4.1.7)<br />
2<br />
yc<br />
= ,<br />
2<br />
ç ÿêèõ âèäíî êîîðäèíàòè ñåðåäèíè â³äð³çêà äîð³âíþþòü<br />
ï³âñóìàì â³äïîâ³äíèõ êîîðäèíàò éîãî ê³íö³â.<br />
Ïðèì³òêà. Ïðè âèâåäåíí³ ôîðìóë (4.1.6) — (4.1.7) ìè<br />
ïðèïóñêàëè, ùî ê³íö³ À ³  â³äð³çêà À ëåæàòü ó ïåðøîìó<br />
êâàäðàíò³. Ëåãêî äîâåñòè, ùî ôîðìóëè (4.1.6) — (4.1.7)<br />
áóäóòü ñïðàâåäëèâ³ é ó òèõ âèïàäêàõ, êîëè ê³íö³ â³äð³çêà<br />
À ëåæàòü â ³íøèõ êâàäðàíòàõ.<br />
Ïðèêëàä 4.1.1. Îá÷èñëèòè êîîðäèíàòè òî÷êè Ñ(õ, ó), ùî<br />
ä³ëèòü â³äð³çîê AB ì³æ òî÷êàìè À (5, 7) ³  (3, –5) ó â³äíîøåíí³<br />
2<br />
AC<br />
CB = .<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ó öüîìó âèïàäêó λ = 2. Îòæå,<br />
x<br />
c<br />
5+ 2⋅ 3 11 7+ 2( −5)<br />
= = , yc<br />
= = − 1.<br />
3 3 3<br />
4.1.4. Ïëîùà òðèêóòíèêà<br />
Íåõàé ïîòð³áíî çíàéòè ïëîùó S òðèêóòíèêà ÀÂÑ<br />
(ðèñ. 4.6) ç âåðøèíàìè A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ), C(x 3 , y 3 ). Íå îáìåæóþ÷è<br />
çàãàëüíîñò³, ïðèïóñòèìî, ùî âåðøèíè òðèêóòíèêà<br />
çíàõîäÿòüñÿ ó 1-ìó êâàäðàíò³. ×åðåç A′(x 1 ,0), B′(x 2 ,0),<br />
C′(x 3 ,0), A′′(0,y 1 ), B′′(0,y 2 ), C′′(0,y 3 ) â³äïîâ³äíî ïîçíà÷èìî ïðîåêö³¿<br />
òî÷îê A, B, C íà â³ñ³ êîîðäèíàò Ox ³ Oy.<br />
Íåõàé ÀÂ = c, ÀÑ = b, à êóòè, ÿê³ óòâîðåí³ öèìè ñòîðîíàìè<br />
ç â³ññþ Îõ, â³äïîâ³äíî ð³âí³ α i β (ðèñ. 4.6). Ç öüîãî ðèñóíêà<br />
áóäåìî ìàòè òàê³ ñï³ââ³äíîøåííÿ:<br />
AB ′ ′ = ccos α = x2 − x1, AC ′ ′ = bcos β = x3 −x1,<br />
AB ′′ ′′ = csin α = y − y, AC ′′ ′′ = bsin β = y − y.<br />
2 1 3 1<br />
(4.1.8)<br />
Ðèñ. 4.6<br />
Íåõàé j=Ð CAB . Òîä³ î÷åâèäíî (ðèñ. 4.6), ùî ϕ=β−α ³<br />
çà â³äîìîþ ôîðìóëîþ ç òðèãîíîìåò𳿠(äèâ. äîä. 2) áóäåìî<br />
ìàòè<br />
1 1 1<br />
S = bcsin ϕ = bcsin( β−α ) = bc(sin βcos α −cosβsin α ) .<br />
2 2 2<br />
Âðàõîâóþ÷è ôîðìóëè (4.1.8), îòðèìàºìî, ùî<br />
1<br />
S = [( y3 −y1 )( x2 −x1 ) − ( x3 −x1 )( y2 − y1<br />
)] . (4.1.9)<br />
2<br />
92 93
Çàóâàæèìî, ùî ôîðìóëà (4.1.9) ïðè ³íøîìó ðîçòàøóâàíí³<br />
âåðøèí ìîæå äàòè â³ä’ºìíå çíà÷åííÿ S. Òîìó ôîðìóëó äëÿ<br />
ïëîù³ òðèêóòíèêà çâè÷àéíî çàïèñóþòü ó âèãëÿä³:<br />
1<br />
S =± [( y3 -y1 )( x2 -x1 ) - ( x3 -x1 )( y2 - y1<br />
)] ,<br />
2<br />
äå çíàê âèáèðàºòüñÿ òàê, ùîá äëÿ çíà÷åííÿ S óòâîðþâàëîñÿ<br />
äîäàòíå ÷èñëî.<br />
Âèêîðèñòîâóþ÷è ïîíÿòòÿ âèçíà÷íèêà äðóãîãî ïîðÿäêó ³<br />
éîãî îá÷èñëåííÿ<br />
a b<br />
ad bc<br />
c d = - ,<br />
ôîðìóëó (4.1.9) ìîæíà çàïèñàòè â çðó÷í³é äëÿ çàïàì’ÿòîâóâàííÿ<br />
ôîðì³:<br />
1 x -x x -x<br />
S =±<br />
2 y -y y -y<br />
2 1 3 1<br />
2 1 3 1<br />
³äçíà÷èìî, ùî ÿêùî òî÷êè À, Â, Ñ çíàõîäÿòüñÿ íà îäí³é<br />
ïðÿìié, òî ïëîùà S = 0; ³ îáåðíåíî, ÿêùî S = 0, òî âåðøèíè<br />
A,  ³ Ñ ðîçòàøîâàí³ íà îäí³é ïðÿì³é.<br />
Ïðèêëàä 4.1.2. Äîâåñòè, ùî òî÷êè À(5, 0), Â(10, 7),<br />
Ñ(15, 14) çíàõîäÿòüñÿ íà îäí³é ïðÿì³é.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. ijéñíî, îñê³ëüêè<br />
S<br />
1 x -x x -x<br />
1 5 10<br />
2 1 3 1<br />
=± =± =<br />
2 y2 -y1 y3 -y1<br />
2 7 14<br />
òî òî÷êè À(5, 0), Â(10, 7), Ñ(15, 14) ðîçòàøîâàí³ íà îäí³é<br />
ïðÿì³é.<br />
Çàóâàæåííÿ. Âèçíà÷åííÿ ïëîù³ ìíîãîêóòíèêà çâîäèòüñÿ<br />
äî âèçíà÷åííÿ ïëîù òðèêóòíèê³â. Äëÿ öüîãî äîñòàòíüî<br />
ðîçáèòè ìíîãîêóòíèê íà òðèêóòíèêè, ïëîù³ ÿêèõ îá÷èñëþþòü<br />
çà ôîðìóëîþ (4.1.9).<br />
.<br />
0 ,<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
4.1. Ïîêàçàòè, ùî òðèêóòíèê ç âåðøèíàìè À(–3, –3),<br />
Â(–1, 3), Ñ(11, –1) — ïðÿìîêóòíèé.<br />
4.2. Òî÷êà Ñ(2, 3) º ñåðåäèíîþ â³äð³çêà ÀÂ. Âèçíà÷èòè<br />
êîîðäèíàòè òî÷êè À, ÿêùî  (7, 5). ³äïîâ³äü: À(–3, 1).<br />
4.3. Çíàéòè ïëîùó òðèêóòíèêà ç âåðøèíàìè À(–2, –4),<br />
Â(2, 8), Ñ(10, 2). ³äïîâ³äü: 60(êâ. îä.).<br />
4.4. Çàäàí³ òðè ïîñë³äîâí³ âåðøèíè ïàðàëåëîãðàìà<br />
À(11, 4), Â(–1, –1), Ñ(5, 7). Âèçíà÷èòè êîîðäèíàòè ÷åòâåðòî¿<br />
âåðøèíè. ³äïîâ³äü: D(17, 12).<br />
4.5. ˳ñ ìຠôîðìó ÷îòèðèêóòíèêà ç âåðøèíàìè À(0, 400),<br />
Â(400, 200), Ñ(1000, 600), D(200, 1400). Ìàñøòàá äîð³âíþº<br />
1ì. ×îìó äîð³âíþº ïëîùà ë³ñó? ³äïîâ³äü: 620 ãà.<br />
4.2. ÌÅÒÎÄ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ÍÀ ÏËÎÙÈͲ<br />
Ó ðîçä³ë³ 4.1 áóëî ïîêàçàíî, ÿê, êîðèñòóþ÷èñü ïðÿìîêóòíèìè<br />
êîîðäèíàòàìè, ìîæíà ÷èñòî àëãåáðà¿÷íî ðîçâ’ÿçóâàòè<br />
ãåîìåòðè÷í³ çàäà÷³.<br />
Ðîçä³ë ìàòåìàòèêè, ùî çàéìàºòüñÿ âèâ÷åííÿì âëàñòèâîñòåé<br />
ãåîìåòðè÷íèõ ô³ãóð çà äîïîìîãîþ àëãåáðè, íàçèâàºòüñÿ<br />
àíàë³òè÷íîþ ãåîìåòð³ºþ, à âèêîðèñòàííÿ äëÿ ö³º¿ ìåòè êîîðäèíàò<br />
íàçèâàºòüñÿ ìåòîäîì êîîðäèíàò.<br />
Âèùå ìè çàñòîñîâóâàëè<br />
ìåòîä êîîðäèíàò äëÿ<br />
ðîçâ’ÿçóâàííÿ íèçêè âàæëèâèõ,<br />
àëå ÷àñòêîâèõ<br />
çàäà÷. Òåïåð ìè ïðèñòóïèìî<br />
äî ñèñòåìàòè÷íîãî<br />
âèêëàäàííÿ òîãî, ÿê â<br />
àíàë³òè÷í³é ãåîìåòð³¿<br />
Ðèñ. 4.7<br />
ðîçâ’ÿçóºòüñÿ çàãàëüíà<br />
çàäà÷à, ùî ïîëÿãຠâ äîñë³äæåíí³<br />
ìåòîäàìè ìàòåìàòè÷íîãî<br />
àíàë³çó ôîðìè,<br />
ðîçòàøóâàííÿ ³ âëàñòèâîñòåé<br />
äàíî¿ ë³í³¿.<br />
Íåõàé ìè ìàºìî äåÿêó ë³í³þ íà ïëîùèí³ (ðèñ. 4.7). Êîîðäèíàòè<br />
õ ³ ó òî÷êè, ùî ëåæèòü íà ö³é ë³í³¿, íå ìîæóòü áóòè<br />
ö³ëêîì äîâ³ëüíèìè; âîíè ïîâèíí³ áóòè ï³äïîðÿäêîâàí³ â³äî-<br />
94 95
ìèì îáìåæåííÿì, îáóìîâëåíèì ãåîìåòðè÷íèìè âëàñòèâîñòÿìè<br />
äàíî¿ ë³í³¿. Òîé ôàêò, ùî ÷èñëà õ ³ ó (ðèñ. 4.7) º êîîðäèíàòàìè<br />
òî÷êè, ÿêà ëåæèòü íà äàí³é ë³í³¿, àíàë³òè÷íî çàïèñó-<br />
ºòüñÿ ó âèä³ äåÿêîãî ð³âíÿííÿ. Öå ð³âíÿííÿ íàçèâàºòüñÿ ð³âíÿííÿì<br />
ë³í³¿ íà ïëîùèí³.<br />
Ñóòü ìåòîäó êîîðäèíàò íà ïëîùèí³ ïîëÿãຠâ òîìó, ùî<br />
âñÿê³é ïëîñê³é ë³í³¿ ç³ñòàâëÿºòüñÿ ¿¿ ð³âíÿííÿ, à ïîò³ì âëàñòèâîñò³<br />
ö³º¿ ë³í³¿ âèâ÷àþòüñÿ øëÿõîì àíàë³òè÷íîãî<br />
äîñë³äæåííÿ â³äïîâ³äíîãî ð³âíÿííÿ.<br />
4.2.1. ˳í³ÿ ÿê ìíîæèíà òî÷îê<br />
˳í³ÿ íà ïëîùèí³ çâè÷àéíî çàäàºòüñÿ ÿê ìíîæèíà òî÷îê,<br />
ùî ìàþòü äåÿê³ ãåîìåòðè÷í³ âëàñòèâîñò³, ïðèòàìàíí³ äëÿ<br />
íå¿.<br />
Ïðèêëàä 4.2.1. Êîëî ðàä³óñà R (ðèñ. 4.8) º ìíîæèíà âñ³õ<br />
òî÷îê ïëîùèíè, â³ääàëåíèõ íà â³äñòàíü R â³ä äåÿêî¿ òî÷êè<br />
Î (öåíòð êîëà). ²íøèìè ñëîâàìè, íà êîë³ ðîçòàøîâàí³ ò³<br />
³ ò³ëüêè ò³ òî÷êè, â³äñòàíü ÿêèõ â³ä öåíòðà êîëà äîð³âíþº<br />
éîãî ðàä³óñó.<br />
Ïðèêëàä 4.2.2. Á³ñåêòðèñà êóòà ÀÂÑ (ðèñ. 4.9) º ìíîæèíà<br />
âñ³õ òî÷îê, ùî ëåæàòü óñåðåäèí³ êóòà ³ ð³âíîâ³ääàëåí³<br />
â³ä éîãî ñòîð³í.<br />
ì³æ ñîáîþ: MP = MQ, ³ 2) áóäü-ÿêà òî÷êà, ùî çíàõîäèòüñÿ<br />
óñåðåäèí³ êóòà ÀÂÑ ³ íå ëåæèòü íà éîãî á³ñåêòðèñ³, áóäå<br />
áëèæ÷îþ äî ÿêî¿ñü îäí³º¿ ñòîðîíè êóòà.<br />
4.2.2. гâíÿííÿ ë³í³¿ íà ïëîùèí³<br />
Ñôîðìóëþºìî òåïåð òî÷í³øå îçíà÷åííÿ ð³âíÿííÿ ë³í³¿ íà<br />
ïëîùèí³.<br />
Îçíà÷åííÿ 4.2.1. гâíÿííÿì ë³í³¿ (ð³âíÿííÿì êðèâî¿) íà<br />
ïëîùèí³ Îõó íàçèâàºòüñÿ ð³âíÿííÿ, ÿêîìó çàäîâîëüíÿþòü<br />
êîîðäèíàòè õ ³ ó êîæíî¿ òî÷êè äàíî¿ ë³í³¿ ³ íå çàäîâîëüíÿþòü<br />
êîîðäèíàòè áóäü-ÿêî¿ òî÷êè, ùî íå ëåæèòü íà ö³é<br />
ë³í³¿.<br />
Òàêèì ÷èíîì, äëÿ òîãî ùîá óñòàíîâèòè, ùî äàíå ð³âíÿííÿ<br />
º ð³âíÿííÿì äåÿêî¿ ë³í³¿ L, íåîáõ³äíî ³ äîñòàòíüî:<br />
1) äîâåñòè, ùî êîîðäèíàòè áóäü-ÿêî¿ òî÷êè, ùî ëåæèòü<br />
íà ë³í³¿ L, çàäîâîëüíÿþòü öüîìó ð³âíÿííþ, ³ 2) äîâåñòè,<br />
îáåðíåíî, ùî ÿêùî êîîðäèíàòè äåÿêî¿ òî÷êè çàäîâîëüíÿþòü<br />
öüîìó ð³âíÿííþ, òî òî÷êà îáîâ’ÿçêîâî ëåæèòü íà ë³í³¿ L.<br />
ßêùî òî÷êà Ì(õ, ó) ïåðåñóâàºòüñÿ ïî ë³í³¿ L, òî ¿¿ êîîðäèíàòè<br />
õ ³ ó, çì³íþþ÷èñü, âåñü ÷àñ çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííþ<br />
ö³º¿ êðèâî¿. Òîìó êîîðäèíàòè òî÷êè Ì(õ, ó) íàçèâàþòüñÿ<br />
ïîòî÷íèìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè ë³í³¿ L.<br />
Îñíîâíå ïîíÿòòÿ àíàë³òè÷íî¿ ãåîìåò𳿠— ð³âíÿííÿ<br />
ë ³ í ³ ¿ ç’ÿñóºìî íà ïðèêëàäàõ.<br />
Ïðèêëàä 4.2.3. Ñêëàñòè ð³âíÿííÿ êîëà äàíîãî ðàä³óñà R<br />
ç öåíòðîì íà ïî÷àòêó êîîðäèíàò.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. ³çüìåìî íà êîë³ äîâ³ëüíó òî÷êó<br />
Ì(õ, ó) (ðèñ. 4.10) ³ ç’ºäíàºìî ¿¿ ç<br />
öåíòðîì. Çà îçíà÷åííÿì êîëà<br />
(äèâ. ïðèêë. 4.2.1) ìàºìî OM=R,<br />
òîáòî<br />
2 2<br />
x + y = R ,<br />
Ðèñ. 4.8 Ðèñ. 4.9<br />
çâ³äêè<br />
Öèì çàòâåðäæóºòüñÿ, ùî: 1) äëÿ êîæíî¿ òî÷êè Ì, ùî<br />
ëåæèòü íà á³ñåêòðèñ³ BD, äîâæèíè ïåðïåíäèêóëÿð³â PM ³<br />
MQ, îïóùåíèõ â³äïîâ³äíî íà ñòîðîíè ÂÀ ³ ÂC êóòà, ð³âí³<br />
Ðèñ. 4.10<br />
2 2 2<br />
x + y = R . (4.2.1)<br />
96 97
гâíÿííÿ (4.2.1) ïîâ’ÿçóº ì³æ ñîáîþ êîîðäèíàòè õ ³ ó<br />
êîæíî¿ òî÷êè äàíîãî êîëà.<br />
², íàâïàêè, ÿêùî êîîðäèíàòè òî÷êè Ì(õ, ó) çàäîâîëüíÿþòü<br />
ð³âíÿííþ (4.2.1), òî, î÷åâèäíî, ÎÌ = R ³, îòæå, öÿ òî÷êà<br />
ëåæèòü íà íàøîìó êîë³. Òàêèì ÷èíîì, ð³âíÿííÿ (4.2.1)<br />
ÿâëÿº ñîáîþ ð³âíÿííÿ êîëà ðàä³óñà R ç öåíòðîì íà ïî÷àòêó<br />
êîîðäèíàò.<br />
Ïðèêëàä 4.2.4. Ñêëàñòè ð³âíÿííÿ á³ñåêòðèñè ïåðøîãî i<br />
òðåòüîãî êîîðäèíàòíèõ êóò³â.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Íà á³ñåêòðèñ³ ïåðøîãî ³ òðåòüîãî êîîðäèíàòíèõ<br />
êóò³â (ðèñ. 4.11, à) â³çüìåìî äîâ³ëüíó òî÷êó<br />
Ì(õ, ó). ßêùî òî÷êà Ì ëåæèòü ó ïåðøîìó êâàäðàíò³, òî<br />
àáñöèñà é îðäèíàòà — ¿¿ îáèäâ³ äîäàòí³ ³ ð³âí³ ì³æ ñîáîþ<br />
(çà âëàñòèâ³ñòþ á³ñåêòðèñè). ßêùî æ òî÷êà Ì(õ, ó) ëåæèòü<br />
ó òðåòüîìó êâàäðàíò³, òî àáñöèñà é îðäèíàòà áóäóòü îáèäâ³<br />
â³ä’ºìí³, à àáñîëþòí³ âåëè÷èíè ¿õ ð³âí³; òîìó áóäóòü ð³âí³ é<br />
êîîðäèíàòè õ ³ ó ö³º¿ òî÷êè. Îòæå, â îáîõ âèïàäêàõ ìàºìî<br />
ó = õ . (4.2.2)<br />
Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ, ùî ð³âíÿííÿ á³ñåêòðèñè äðóãîãî<br />
³ ÷åòâåðòîãî êîîðäèíàòíèõ êóò³â (ðèñ. 4.11, á) º òàêå ð³âíÿííÿ<br />
y =–x . (4.2.3)<br />
Ïðèêëàä 4.2.5. Ñêëàñòè ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ÿêà ïàðàëåëüíà<br />
â³ñ³ îðäèíàò.<br />
Íåõàé ïðÿìà AB ïàðàëåëüíà Oy, ³ íåõàé â³äð³çîê OA = a<br />
(ðèñ. 4.12, à). Òîä³ äëÿ áóäü-ÿêî¿ òî÷êè M(x, y) ïðÿìî¿ AB<br />
àáñöèñà x äîð³âíþº a, òîáòî<br />
x = a . (4.2.4)<br />
Îáåðíåíî, ÿêùî àáñöèñà äåÿêî¿ òî÷êè M(x,y) äîð³âíþº a,<br />
òî öÿ òî÷êà ëåæèòü íà ïðÿì³é AB.<br />
Ðèñ. 4.11<br />
² íàâïàêè, ÿêùî êîîðäèíàòè õ ³ ó áóäü-ÿêî¿ òî÷êè<br />
Ì(õ, ó) çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííþ (4.2.2), òî öÿ òî÷êà, î÷åâèäíî,<br />
ëåæèòü íà á³ñåêòðèñ³ ïåðøîãî ³ òðåòüîãî êîîðäèíàòíèõ<br />
êóò³â. Òîìó ð³âíÿííÿ (4.2.2) ÿâëÿº ñîáîþ ð³âíÿííÿ á³ñåêòðèñè<br />
ïåðøîãî ³ òðåòüîãî êîîðäèíàòíèõ êóò³â.<br />
Ðèñ. 4.12<br />
Òàêèì ÷èíîì, ð³âíÿííÿ (4.2.4) ÿâëÿº ñîáîþ ð³âíÿííÿ<br />
ïðÿìî¿, ÿêà ïàðàëåëüíà â³ñ³ îðäèíàò ³ çíàõîäèòüñÿ â³ä íå¿<br />
íà â³äñòàí³, ÷èñåëüíî ð³âí³é à; ïðè öüîìó, ÿêùî ïðÿìà ðîçì³ùåíà<br />
ñïðàâà â³ä â³ñ³ Îó, òî à äîäàòíå; ÿêùî æ ïðÿìà<br />
ðîçì³ùåíà çë³âà â³ä â³ñ³ Îó, òî à â³ä’ºìíå.<br />
Çîêðåìà, ïðè à = 0 îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ â³ñ³ îðäèíàò:<br />
õ =0.<br />
98 99
Ïðèêëàä 4.2.6. Ñêëàñòè ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ÿêà ïàðàëåëüíà<br />
â³ñ³ àáñöèñ. Ö³ëêîì àíàëîã³÷íî: ÿêùî ïðÿìà ÑD ïàðàëåëüíà<br />
Îõ ³ ÎÑ = b (ðèñ. 4.12, á), òî ¿¿ ð³âíÿííÿ áóäå<br />
ó=b,<br />
ïðè öüîìó, ÿêùî ïðÿìà CD ðîçì³ùåíà âèùå â³ñ³ Îõ, òî b<br />
äîäàòíå, ÿêùî æ ïðÿìà CD ðîçì³ùåíà íèæ÷å â³ñ³ Îõ, òî b<br />
â³ä’ºìíå.<br />
Çîêðåìà, ïðè b = 0 îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ â³ñ³ àáñöèñ:<br />
ó =0.<br />
Ïðèêëàä 4.2.7. Çíàéòè ë³í³þ, â³äñòàíü â³ä òî÷îê ÿêî¿ äî<br />
òî÷êè Â(12, 16) ó äâà ðàçè á³ëüøà, í³æ äî òî÷êè À (3, 4).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. ßêùî Ì(õ, ó) — äîâ³ëüíà òî÷êà øóêàíî¿<br />
ë³í³¿, òî â³äïîâ³äíî äî óìîâè çàäà÷³ ìàºìî<br />
2 ÀÌ = ÂÌ. (4.2.5)<br />
Äëÿ òîãî ùîá ñêëàñòè ð³âíÿííÿ ö³º¿ ë³í³¿, òðåáà âèðàçèòè<br />
AM ³ ÂÌ ÷åðåç êîîðäèíàòè õ ³ ó ÒÎ×ÊÈ Ì. Íà ï³äñòàâ³<br />
ôîðìóëè (4.1.3) ìàºìî<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
2 2 2 2<br />
AM = x - 3 + y - 4 , BM = x - 12 + y -16 ,<br />
çâ³äêè â³äïîâ³äíî äî ñï³ââ³äíîøåííÿ (4.2.5)<br />
( x ) ( y ) ( x ) ( y )<br />
- 2 + - 2 = - 2 + - 2<br />
.<br />
2 3 4 12 16<br />
Öå ³ º ð³âíÿííÿ øóêàíî¿ ë³í³¿.<br />
Àëå â òàêîìó âèãëÿä³ âàæêî ñóäèòè, ÿêó ë³í³þ çîáðàæóº<br />
öå ð³âíÿííÿ, òîìó ñïðîñòèìî éîãî. Äëÿ öüîãî ï³äíåñåìî<br />
îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíÿííÿ äî êâàäðàòà ³ ðîçêðèºìî äóæêè.<br />
Òîä³ ï³ñëÿ íåñêëàäíèõ ïåðåòâîðåíü îäåðæèìî<br />
2 2<br />
x + y = 100 .<br />
Ïîð³âíþþ÷è îòðèìàíå ð³âíÿííÿ ç ð³âíÿííÿì (4.2.1), ìè<br />
áà÷èìî, ùî øóêàíà ë³í³ÿ º êîëî ðàä³óñà 10 ç öåíòðîì íà<br />
ïî÷àòêó êîîðäèíàò.<br />
Íàâåäåí³ ïðèêëàäè ïîêàçóþòü, ùî ïîòî÷í³ êîîðäèíàòè<br />
äåÿêî¿ ë³í³¿ ïîâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ çàëåæí³ñòþ (ð³âíÿííÿì).<br />
 çàãàëüíîìó âèïàäêó ð³âíÿííÿ ë³í³¿ ìຠâèãëÿä:<br />
(x,y) = 0, (4.2.6)<br />
äå áóêâà õàðàêòåðèçóº çâ’ÿçîê ïîòî÷íèõ êîîðäèíàò áóäüÿêî¿<br />
ë³í³¿.<br />
4.2.3. Ïîáóäîâà ë³í³¿ çà ¿¿ ð³âíÿííÿì<br />
ßêùî çì³íí³ õ ³ ó ïîâ’ÿçàí³ ð³âíÿííÿì (4.2.6), òî ìíîæèíà<br />
òî÷îê Ì(õ, ó), êîîðäèíàòè ÿêèõ çàäîâîëüíÿþòü öüîìó<br />
ð³âíÿííþ, ÿâëÿº ñîáîþ, âçàãàë³ êàæó÷è, äåÿêó ë³í³þ íà ïëîùèí³<br />
(“ãåîìåòðè÷íèé îáðàç ð³âíÿííÿ”).  îêðåìèõ âèïàäêàõ<br />
öÿ ë³í³ÿ ìîæå âèðîäæóâàòèñÿ â îäíó àáî äåê³ëüêà òî-<br />
÷îê. Ìîæëèâ³ òàêîæ âèïàäêè, êîëè ð³âíÿííþ â³äïîâ³äàº<br />
ïîðîæíÿ ìíîæèíà òî÷îê.<br />
Íàïðèêëàä, ð³âíÿííþ<br />
( x ) ( y )<br />
2 2<br />
- 5 + - 7 = 0<br />
â³äïîâ³äຠºäèíà òî÷êà (5, 7), òîìó ùî öüîìó ð³âíÿííþ çàäîâîëüíÿº<br />
ºäèíà ïàðà çíà÷åíü: õ=5 ³ ó =7.<br />
гâíÿííþ<br />
2 2<br />
x + y =-100<br />
â³äïîâ³äຠïîðîæíÿ ìíîæèíà òî÷îê, òîìó ùî öå ð³âíÿííÿ íå<br />
ìîæíà çàäîâîëüíèòè í³ÿêèìè ä³éñíèìè çíà÷åííÿìè õ ³ ó.<br />
Àëå ³ñíóº áàãàòî âèïàäê³â, êîëè êîîðäèíàòè íåñê³í÷åííî¿<br />
ìíîæèíè òî÷îê çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ (4.2.6). Öÿ ìíîæèíà<br />
òî÷îê ³ âèçíà÷ຠäåÿêó ë³í³þ íà ïëîùèí³. Çíàþ÷è ð³âíÿííÿ<br />
ë³í³¿, ìîæíà ïî òî÷êàõ ïîáóäóâàòè öþ ë³í³þ, òî÷í³øå,<br />
¿¿ åñê³ç.<br />
Ïðèêëàä 4.2.8. Ïîáóäóâàòè ë³í³þ, ùî âèðàæàºòüñÿ ð³âíÿííÿì<br />
ó − õ 2 = 0 àáî ó = õ 2 . (4.2.7)<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íàäàþ÷è àáñöèñ³ õ â ð³âíÿíí³ (4.2.7)<br />
÷èñëîâ³ çíà÷åííÿ ³ âðàõîâóþ÷è â³äïîâ³äí³ çíà÷åííÿ îðäèíàòè<br />
ó, îäåðæèìî òàêó òàáëèöþ:<br />
100 101
õ ... –3 –2 –1 0 1 2 3 ...<br />
ó ... 9 4 1 0 1 4 9 ...<br />
Çà ö³ºþ òàáëèöåþ çîáðàçèìî òî÷êè íà ïëîùèí³ ç â³äïîâ³äíèìè<br />
êîîðäèíàòàìè.<br />
Ç’ºäíóþ÷è çîáðàæåí³ òî÷êè ë³í³ºþ, õàðàêòåð ÿêî¿ âðàõîâóº<br />
ïîëîæåííÿ ïðîì³æíèõ òî÷îê, ìè ³ îäåðæèìî ë³í³þ, îáóìîâëåíó<br />
äàíèì ð³âíÿííÿì (ðèñ. 4.13). Öÿ ë³í³ÿ íàçèâàºòüñÿ<br />
ïàðàáîëîþ.<br />
Ðèñ. 4.13.<br />
Ïðèì³òêà. Íà îñíîâ³ øê³ëüíèõ çíàíü ìîæíà áóëî çðàçó<br />
ðîçâ’ÿçàòè öåé ïðèêëàä. Àëå äëÿ òîãî, ùîá çíàòè çàãàëüíèé<br />
ïðèéîì çîáðàæåííÿ ë³í³é, â³í ³ áóâ íàâåäåíèé.<br />
4.2.4. Äåÿê³ åëåìåíòàðí³ çàäà÷³<br />
ßêùî â³äîìî ð³âíÿííÿ ë³í³¿, òî ëåãêî ìîæóòü áóòè ðîçâ’ÿçàí³<br />
íàéïðîñò³ø³ çàäà÷³, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³ ç ðîçòàøóâàííÿì<br />
ö³º¿ ë³í³¿ íà ïëîùèí³.<br />
Ïðèêëàä 4.2.9. Çàäàíî ð³âíÿííÿ ë³í³¿ L ³ êîîðäèíàòè<br />
òî÷êè Ì(à, b). Âèçíà÷èòè, ëåæèòü òî÷êà Ì íà ë³í³¿ L ÷è<br />
í³?<br />
²íøèìè ñëîâàìè, ïîòð³áíî ä³çíàòèñÿ, ïðîõîäèòü ë³í³ÿ L<br />
÷åðåç òî÷êó Ì ÷è íå ïðîõîäèòü.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Íà îñíîâ³ ïîíÿòòÿ ð³âíÿííÿ ë³í³¿ öÿ<br />
çàäà÷à ðîçâ’ÿçóºòüñÿ äóæå ïðîñòî: ùîá âèçíà÷èòè, ÷è ëåæèòü<br />
òî÷êà Ì íà äàí³é ë³í³¿ L, ïîòð³áíî â ð³âíÿííÿ ö³º¿<br />
ë³í³¿ ï³äñòàâèòè êîîðäèíàòè íàøî¿ òî÷êè. ßêùî ïðè öüîìó<br />
êîîðäèíàòè òî÷êè Ì çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ (ïåðåòâîðþþòü<br />
éîãî â òîòîæí³ñòü), òî òî÷êà ëåæèòü íà ë³í³¿; ó ïðîòèâíîìó<br />
ðàç³ äàíà òî÷êà íå ëåæèòü íà ë³í³¿.<br />
Ïðèêëàä 4.2.10. Äàíî êîëî<br />
2 2<br />
x + y = 100 . (4.2.8)<br />
Òðåáà âèçíà÷èòè, ÷è ëåæàòü íà í³é òî÷êè Ì(–6, 8),<br />
N(5, 7).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. ϳäñòàâëÿþ÷è êîîðäèíàòè òî÷êè Ì â<br />
ð³âíÿííÿ (4.2.8), îäåðæóºìî òîòîæí³ñòü (–6) 2 +8 2 = 100.<br />
Îòæå, òî÷êà Ì ëåæèòü íà äàíîìó êîë³.<br />
Àíàëîã³÷íî, ï³äñòàâëÿþ÷è êîîðäèíàòè òî÷êè N ó ð³âíÿííÿ<br />
(4.2.8), áóäåìî ìàòè<br />
5 2 +7 2 ≠ 100 .<br />
Îòæå, òî÷êà N íå ëåæèòü íà äàíîìó êîë³.<br />
Ïðèêëàä 4.2.11. Çíàéòè òî÷êó ïåðåòèíó äâîõ ë³í³é, ÿê³<br />
çàäàí³ ñâî¿ìè ð³âíÿííÿìè.<br />
Òî÷êà ïåðåòèíó îäíî÷àñíî çíàõîäèòüñÿ ÿê íà ïåðø³é ë³í³¿,<br />
òàê ³ íà äðóã³é. Îòæå, êîîðäèíàòè ö³º¿ òî÷êè çàäîâîëüíÿþòü<br />
ð³âíÿííÿì îáîõ ë³í³é. Çâ³äñè îäåðæóºìî ïðàâèëî:<br />
ùîá çíàéòè êîîðäèíàòè òî÷êè ïåðåòèíó äâîõ ë³í³é, äîñòàòíüî<br />
ñï³ëüíî ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó ¿õí³õ ð³âíÿíü. ßêùî öÿ ñèñòåìà<br />
íå ìຠä³éñíèõ ðîçâ’ÿçê³â, òî ë³í³¿ íå ïåðåòèíàþòüñÿ.<br />
Ïðèêëàä 4.2.12. Çíàéòè òî÷êè ïåðåòèíó ïàðàáîëè ó=õ 2 ³<br />
ïðÿìî¿ ó =9.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ðîçâ’ÿçóþ÷è ñèñòåìó<br />
ìï ïy<br />
= x<br />
í<br />
ï<br />
ïî y = 9<br />
îäåðæóºìî äâ³ òî÷êè ïåðåòèíó À(−3, 9) ³  (3, 9).<br />
Ïðèêëàä 4.2.13. Çíàéòè òî÷êè ïåðåòèíó äàíî¿ ë³í³¿ ç<br />
îñÿìè êîîðäèíàò.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Öÿ çàäà÷à º îêðåìèì âèïàäêîì ïðèêëàäó<br />
4.2.11. Òðåáà ïðè öüîìó ò³ëüêè ïàì’ÿòàòè, ùî ð³âíÿííÿ<br />
îñ³ Îõ º ó = 0, à îñ³ Îó — õ =0.<br />
2<br />
102 103
Ïðèêëàä 4.2.14. Çíàéòè òî÷êè ïåðåòèíó êîëà<br />
2 2<br />
x + y = 1<br />
(4.2.9)<br />
ç îñÿìè êîîðäèíàò<br />
4.8. Ñêëàñòè ð³âíÿííÿ ìíîæèíè òî÷îê ïëîùèíè, äîáóòîê<br />
â³äñòàíåé ÿêèõ â³ä òî÷îê 1 (1, 0) i 2 (–1, 0) äîð³âíþº 1.<br />
2<br />
³äïîâ³äü: ( x 2 y 2 ) 2( x 2 y<br />
2<br />
)<br />
+ = - .<br />
4.9. Ñêëàñòè ð³âíÿííÿ ìíîæèíè òî÷îê ïëîùèíè, ð³âíîâ³ääàëåíèõ<br />
â³ä òî÷îê À(1, 1) ³ Â(3, 3).<br />
³äïîâ³äü: õ + ó − 4=0.<br />
2 2<br />
4.10. Çíàéòè òî÷êè ïåðåòèíó êîëà x + y = 50 ³ ïðÿìî¿<br />
ó – õ =0. ³äïîâ³äü: Ì 0 (5, 5), Ì 1 (–5, –5).<br />
4.3. вÂÍßÍÍß Ë²Í²¯ ÏÅÐØÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÓ<br />
Ðèñ. 4.14<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïîêëàâøè ó = 0 â ð³âíÿííÿ (4.2.9), îäåðæèìî<br />
õ 2 = 1. Çâ³äê³ëÿ õ 1,2 = ±1.<br />
Òàêèì ÷èíîì, òî÷êè ïåðåòèíó À ³  êîëà ç â³ññþ Ox<br />
çíàéäåíî. Âîíè ìàþòü òàê³ êîîðäèíàòè: À(–1, 0), Â(1, 0).<br />
Àíàëîã³÷íî çíàõîäèìî êîîðäèíàòè òî÷îê ïåðåòèíó C i D<br />
êîëà ç â³ññþ Oy: C(0, –1), D(0, 1).<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
4.6. Îäèí ê³íåöü â³äð³çêà çì³ùóºòüñÿ ïî îñ³ Îx, à äðóãèé<br />
— ïî îñ³ Îy. Çàïèñàòè ð³âíÿííÿ, ÿêå îïèñóº ïåðåì³ùåííÿ<br />
ñåðåäèíè öüîãî â³äð³çêà, ÿêùî äîâæèíà éîãî äîð³âíþº 2.<br />
2 2<br />
³äïîâ³äü: x + y = 1 .<br />
4.7. Ñêëàñòè ð³âíÿííÿ ë³í³¿, êîæíà òî÷êà ÿêî¿ çíàõîäèòüñÿ<br />
íà îäíàêîâ³é â³äñòàí³ â³ä òî÷êè<br />
³äïîâ³äü: y = x 2 .<br />
F æ 1ö ç 0, çè 4 ø÷<br />
³ ïðÿìî¿<br />
1<br />
y =- .<br />
4<br />
4.3.1. гâíÿííÿ ïðÿìî¿ ç êóòîâèì êîåô³ö³ºíòîì<br />
Ñïî÷àòêó ðîçãëÿíåìî ïðÿìó Ï 1 , ÿêà ïåðåòèíຠï³ä êóòîì<br />
α (0≤α
Òàêèì ÷èíîì, êîîðäèíàòè áóäü-ÿêî¿ òî÷êè Ì(õ, ó) ïðÿìî¿<br />
Ï 1 çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ (4.3.1).<br />
Òåïåð, íàâïàêè, ïîêàæåìî, ùî ð³âíÿííþ (4.3.1) â³äïîâ³äàº<br />
ïðÿìà Ï 1 .<br />
 ð³âíÿíí³ (4.3.1) ïîñë³äîâíî ïîêëàäåìî õ=0 òà õ=1 ³<br />
çíàéäåìî â³äïîâ³äí³ çíà÷åííÿ ó. ßñíî, ùî òî÷êè Î(0,0),<br />
À(1, k) ëåæàòü íà ë³í³¿, ÿêà â³äïîâ³äຠð³âíÿííþ (4.3.1).<br />
³äîìî, ùî ÷åðåç äâ³ òî÷êè ìîæíà ïðîâåñòè ïðÿìó Ï 1<br />
(çà àêñ³îìîþ âîíà ºäèíà). Äàë³, íà ö³é ïðÿì³é â³çüìåìî ùå<br />
îäíó òî÷êó Ì(õ, ó) (ðèñ. 4.16). Òî÷êè À ³ Ì ñïðîåêòóºìî<br />
íà â³ñü Îõ. ³äïîâ³äí³ ïðîåêö³¿ ïîçíà÷èìî ÷åðåç À 1 ³ Ì 1 .<br />
Ó ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî äâà òðèêóòíèêè ÎÀÀ 1 òà ÎÌÌ 1 .<br />
ç’ºäíóº òî÷êó Ì*(õ*, ó*) ç ¿¿ ïðîåêö³ºþ, îáîâ’ÿçêîâî ïåðåòíå<br />
ïðÿìó Ï 1 â ÿê³éñü òî÷ö³ Ì** (õ**, ó**). Òîä³ ó** = kõ**.<br />
Àëå îñê³ëüêè ó**>ó*, òî ó* ≠ kõ*. Öå îçíà÷àº, ùî êîîðäèíàòè<br />
òî÷êè Ì*(õ*, ó*) íå çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ (4.3.1).<br />
Íàâåäåí³ âèùå ì³ðêóâàííÿ äîâîäÿòü, ùî ä³éñíî ð³âíÿííÿ<br />
ïðÿìî¿ Ï 1 º ð³âíÿííÿ (4.3.1).<br />
ßêùî ìè òåïåð ðîçãëÿíåìî ð³âíÿííÿ<br />
ó = kõ + b, (4.3.2)<br />
òî âîíî áóäå â³äïîâ³äàòè ïðÿì³é Ï, ÿêà ïåðåòèíຠï³ä êóòîì<br />
α â³ñü Îõ ³ ïåðåòèíຠâ³ñü Îó â òî÷ö³ Â(0, b)<br />
(ðèñ. 4.17 – 4.18). Öåé ôàêò âèïëèâຠç ïîáóäîâè ãðàô³êà<br />
ôóíêö³¿ ó = f(x) +b ³ç ãðàô³êà ôóíêö³¿ ó = f(x). Íàâåäåíèé<br />
ôàêò â³äîìèé ç êóðñó åëåìåíòàðíî¿ ìàòåìàòèêè. Ïðè öüîìó<br />
çàóâàæèìî, ùî áóäü-ÿêà òî÷êà M 0 , çîêðåìà B, ÿêà ëåæèòü<br />
íà ïðÿì³é Ï, îäíîçíà÷íî âèçíà÷ຠïîëîæåííÿ ö³º¿ ïðÿìî¿<br />
íà ïëîùèí³.<br />
Ðèñ. 4.16<br />
Âîíè ïîä³áí³ çà äâîìà ð³âíèìè êóòàìè. Òîä³ ìຠì³ñöå<br />
ïðîïîðö³ÿ<br />
y k<br />
x = ,<br />
1<br />
çâ³äê³ëÿ âèïëèâàº, ùî ó = kõ.<br />
Òàêèì ÷èíîì, ïîêàçàíî, ùî áóäü-ÿê³ òî÷êè, ÿê³ ëåæàòü<br />
íà ïðÿì³é Ï 1 , çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ (4.3.1).<br />
Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî îçíà÷åííÿ 4.2.1 òðåáà ùå ïîêàçàòè,<br />
ùî êîîðäèíàòè áóäü-ÿêî¿ òî÷êè, ÿêà íå ëåæèòü íà ïðÿì³é<br />
Ï 1 , íå çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ (4.3.1). ³çüìåìî òî÷êó<br />
Ì*(õ*, ó*), ÿêà íå ëåæèòü íà Ï 1 . Íå îáìåæóþ÷è çàãàëüí³ñòü,<br />
áóäåìî ââàæàòè, ùî âîíà çíàõîäèòüñÿ âèùå ïðÿìî¿ Ï 1 .<br />
Ñïðîåêòóºìî òî÷êó Ì*(õ*, ó*) íà â³ñü Îõ. ³äð³çîê, ÿêèé<br />
Ðèñ. 4.17 Ðèñ. 4.18<br />
Àíàëîã³÷íî ðîçãëÿäàºòüñÿ âèïàäîê, êîëè π/2 < α < π.<br />
Ó âèïàäêó α = π/2 ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ ìຠâèãëÿä: x = a.<br />
Ïðèì³òêà 1. Ðîçãëÿäàòè âèïàäîê, êîëè α á³ëüøå çà π,<br />
íåìຠïîòðåáè, îñê³ëüêè êóò ì³æ äâîìà ïðÿìèìè ìîæíà âèçíà÷èòè<br />
îäíîçíà÷íî â ìåæàõ â³ä 0 äî π.<br />
Òàêèì ÷èíîì, â çàãàëüíîìó âèïàäêó ïðÿì³é, ÿêà íå ïåðïåíäèêóëÿðíà<br />
â³ñ³ Îõ, â³äïîâ³äຠð³âíÿííÿ (4.3.2).<br />
Ïðèì³òêà 2. Ó ð³âíÿíí³ (4.3.2) ïîòî÷í³ êîîðäèíàòè õ<br />
³ ó âõîäÿòü â ïåðøèé ñòåï³íü. Òàê³ ð³âíÿííÿ íàçèâàþòüñÿ<br />
106 107
ð³âíÿííÿìè ïåðøîãî ñòåïåíÿ. Öå îçíà÷àº, ùî ïðÿì³é â³äïîâ³äàº<br />
ð³âíÿííÿ ïåðøîãî ñòåïåíÿ.<br />
Ñïðàâåäëèâî ³ îáåðíåíå òâåðäæåííÿ.<br />
Òåîðåìà 4.3.1. Áóäü-ÿêå íåâèðîäæåíå ð³âíÿííÿ ïåðøîãî<br />
ñòåïåíÿ<br />
Àõ +Âó +Ñ = 0 (A 2 + Â 2 ≠ 0) (4.3.3)<br />
ÿâëÿº ñîáîþ ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ ë³í³¿ íà ïëîùèí³ Îõó (çàãàëüíå<br />
ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ ë³í³¿).<br />
Äîâåäåííÿ.<br />
1. Íåõàé ñïî÷àòêó Â≠0. Òîä³ ð³âíÿííÿ (4.3.3) ìîæíà<br />
çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:<br />
A C<br />
y =- x<br />
B<br />
- B<br />
. (4.3.4)<br />
Ïîð³âíþþ÷è ç (4.3.2), ìè îäåðæèìî, ùî öå º ð³âíÿííÿ<br />
A<br />
ïðÿìî¿ ç êóòîâèì êîåô³ö³ºíòîì k =- ³ ïî÷àòêîâîþ îðäèíàòîþ<br />
b =- .<br />
B<br />
C<br />
B<br />
2. Íåõàé òåïåð Â=0. Òîä³ À ≠ 0 ³ ð³âíÿííÿ (4.3.3) áóäå<br />
ìàòè âèãëÿä:<br />
Àõ + Ñ =0,<br />
çâ³äêè<br />
C<br />
x =- . (4.3.5)<br />
A<br />
гâíÿííÿ (4.3.5) ÿâëÿº ñîáîþ ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ÿêà ïàðàëåëüíà<br />
â³ñ³ Îó ³ â³äñ³êຠíà â³ñ³ Îõ â³äð³çîê a =- .<br />
C<br />
A<br />
Îñê³ëüêè óñ³ ìîæëèâ³ âèïàäêè âè÷åðïàí³, òî òåîðåìó<br />
äîâåäåíî.<br />
4.3.2. Êóò ì³æ äâîìà ïðÿìèìè<br />
Ðîçãëÿíåìî äâ³ ïðÿì³ (íå ïàðàëåëüí³ îñ³ Îó), ÿê³ çàäàí³<br />
¿õí³ìè ð³âíÿííÿìè ç êóòîâèìè êîåô³ö³ºíòàìè (ðèñ. 4.19):<br />
Ðèñ. 4.19<br />
(I) y= k 1 x+b 1 , (4.3.6)<br />
äå k 1 =tgϕ 1 ³<br />
(II) y = k 2 x+b 2 , (4.3.7)<br />
äå k 2 =tgϕ 2 .<br />
Ïîòð³áíî âèçíà÷èòè êóò θ ì³æ íèìè. Éîãî ìè áóäåìî<br />
ðîçóì³òè ÿê íàéìåíøèé êóò, ùî â³äðàõîâóºòüñÿ ïðîòè õîäó<br />
ãîäèííèêîâî¿ ñòð³ëêè, íà ÿêèé äðóãà ïðÿìà ïîâåðíåíà â³äíîñíî<br />
ïåðøî¿ (0 ≤θ< π).<br />
Öåé êóò θ (ðèñ. 4.19) äîð³âíþº êóòó ÀÑ òðèêóòíèêà<br />
ÀÂÑ. Äàë³, ç åëåìåíòàðíî¿ ãåîìåò𳿠â³äîìî, ùî çîâí³øí³é<br />
êóò òðèêóòíèêà äîð³âíþº ñóì³ âíóòð³øí³õ êóò³â, ÿê³ ç íèì<br />
íå ñóì³æí³. Òîìó<br />
ϕ 2 =ϕ 1 +θ<br />
àáî<br />
θ= ϕ 2 −ϕ 1,<br />
108 109
çâ³äêè íà ï³äñòàâ³ â³äîìî¿ ôîðìóëè ç òðèãîíîìåò𳿠(äèâ.<br />
äîä. 2) îäåðæóºìî<br />
tg<br />
tg<br />
tgj -tgj<br />
( )<br />
2 1<br />
q= j2-j 1<br />
=<br />
1 + tg j<br />
2tg<br />
j<br />
.<br />
1<br />
Çàì³íþþ÷è tgϕ 2 ³ tgϕ 1 â³äïîâ³äíî íà k 2 ³ k 1 , îñòàòî÷íî<br />
áóäåìî ìàòè<br />
tg<br />
k -k<br />
2 1<br />
q=<br />
1 + kk<br />
. (4.3.8)<br />
2 1<br />
Ôîðìóëà (4.3.8) âèçíà÷ຠòàíãåíñ êóòà ì³æ äâîìà ïðÿìèìè<br />
÷åðåç êóòîâ³ êîåô³ö³ºíòè öèõ ïðÿìèõ.<br />
Âèâåäåìî òåïåð óìîâè ïàðàëåëüíîñò³ òà ïåðïåíäèêóëÿðíîñò³<br />
äâîõ ïðÿìèõ.<br />
Ñïðàâåäëèâ³ òàê³ òåîðåìè.<br />
Òåîðåìà 4.3.2. Äëÿ òîãî ùîá ïðÿì³ íà ïëîùèí³ áóëè<br />
ïàðàëåëüíèìè, íåîáõ³äíî ³ äîñòàòíüî, ùîá ¿õí³ êóòîâ³ êîåô³ö³ºíòè<br />
áóëè ð³âí³ ì³æ ñîáîþ.<br />
Íåîáõ³äí³ñòü. Äàíî, ùî ïðÿì³, ÿê³ çàäàí³ ð³âíÿííÿìè<br />
(4.3.6) — (4.3.7) — ïàðàëåëüí³. Òîä³ ϕ 2 =ϕ 1 , îòæå,<br />
k 2 =k 1 . (4.3.9)<br />
Íåîáõ³äí³ñòü äîâåäåíî.<br />
Äîñòàòí³ñòü. Äàíî, ùî êóòîâ³ êîåô³ö³ºíòè ïðÿìèõ<br />
ñï³âïàäàþòü, òîáòî âèêîíóºòüñÿ óìîâà (4.3.9). Òîä³ ç ôîðìóëè<br />
(4.3.8) âèïëèâàº, ùî tgθ = 0. Çâ³äêè, θ = 0. À öå îçíà÷àº,<br />
ùî ïðÿì³, ÿê³ çàäàí³ ð³âíÿííÿìè (4.3.6)–(4.3.7) — ïàðàëåëüí³.<br />
Äîñòàòí³ñòü äîâåäåíî.<br />
Òåîðåìà 4.3.3. Äëÿ òîãî ùîá ïðÿì³, ÿê³ çàäàí³ ð³âíÿííÿìè<br />
(4.3.6) — (4.3.7), áóëè ïåðïåíäèêóëÿðíèìè, íåîáõ³äíî<br />
³ äîñòàòíüî, ùîá ¿õí³ êóòîâ³ êîåô³ö³ºíòè áóëè ïîâ’ÿçàí³ ì³æ<br />
ñîáîþ ð³âí³ñòþ<br />
k 2 k 1 = −1. (4.3.10)<br />
Íåîáõ³äí³ñòü. Äàíî, ùî ïðÿì³, ÿê³ çàäàí³ ð³âíÿííÿìè,<br />
Çâ³äêè âèïëèâàº, ùî ctgθ = 0 àáî çà ôîðìóëîþ (4.3.8)<br />
ìàòèìåìî ñï³ââ³äíîøåííÿ 1+k 1 k 2 = 0. Îñòàííÿ ð³âí³ñòü åêâ³âàëåíòíà<br />
óìîâ³ (4.3.10).<br />
Íåîáõ³äí³ñòü äîâåäåíî.<br />
Äîñòàòí³ñòü. Äàíî, ùî êóòîâ³ êîåô³ö³ºíòè k 2 ³ k 1 ïîâ’ÿçàí³<br />
ì³æ ñîáîþ ð³âí³ñòþ (4.3.10). Òîä³ ç ôîðìóëè (4.3.8)<br />
p<br />
âèïëèâàº, ùî ctgθ = 0. Îòæå, q= . Öå îçíà÷àº, ùî ïðÿì³,<br />
2<br />
ÿê³ çàäàí³ ð³âíÿííÿìè (4.3.6)–(4.3.7), ïåðïåíäèêóëÿðí³.<br />
Äîñòàòí³ñòü äîâåäåíî.<br />
Çàóâàæåííÿ. Òåîðåìè 4.3.2.–4.3.3. íàçèâàþòüñÿ êðèòåð³ÿìè.<br />
Âîíè ì³ñòÿòü â ñîá³ ïðÿì³ é îáåðíåí³ òåîðåìè.<br />
4.3.3. гâíÿííÿ ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç äàíó<br />
òî÷êó â çàäàíîìó íàïðÿì³<br />
Íåõàé ïðÿìà ÐÌ óòâîðþº êóò ϕ ç äîäàòíèì íàïðÿìîì<br />
îñ³ Îõ (ðèñ. 4.20) ³ ïðîõîäèòü ÷åðåç çàäàíó òî÷êó Ð(õ 1 , ó 1 ).<br />
Âèâåäåìî ð³âíÿííÿ ö³º¿ ïðÿìî¿, ïðèïóñêàþ÷è ñïî÷àòêó, ùî<br />
ïðÿìà íå ïàðàëåëüíà îñ³ Îó.<br />
Ó öüîìó âèïàäêó, ÿê ìè áà÷èëè, ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ ìàº<br />
âèãëÿä:<br />
y=kx+b, (4.3.11)<br />
äå k = tgϕ — êóòîâèé êîåô³ö³ºíò ïðÿìî¿, à ⏐b⏐ — äîâæèíà<br />
â³äð³çêà, ùî âèçíà÷ຠòî÷êó ïåðåòèíó ç íàøîþ ïðÿìîþ íà<br />
îñ³ Îó. Îñê³ëüêè òî÷êà P(x 1 , y 1 ) ëåæèòü íà ïðÿì³é ÐÌ, òî ¿¿<br />
êîîðäèíàòè õ 1 ³ ó 1 ïîâèíí³ çàäîâîëüíÿòè ð³âíÿííÿ (4.3.11),<br />
òîáòî<br />
y 1 = kx 1 + b. (4.3.12)<br />
³äí³ìàþ÷è â³ä ð³âíîñò³ (4.3.11) ð³âí³ñòü (4.3.12), îòðèìà-<br />
ºìî<br />
ó − ó 1 = k(x−x 1 ). (4.3.13)<br />
Öå ³ º ð³âíÿííÿ øóêàíî¿ ïðÿìî¿.<br />
ßêùî ïðÿìà, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó P(x 1 , ó 1 ), ïàðàëåëüíà<br />
îñ³ Îó, òî ¿¿ ð³âíÿííÿ, î÷åâèäíî, áóäå òàêå:<br />
x = x 1 . (4.3.14)<br />
p<br />
ïåðïåíäèêóëÿðí³. Òîä³ q= .<br />
2<br />
110 111
ßêùî k çàäàíå ÷èñëî, òî ð³âíÿííÿ (4.3.13) ÿâëÿº ñîáîþ<br />
ö³ëêîì âèçíà÷åíó ïðÿìó. ßêùî æ k — çì³ííèé ïàðàìåòð,<br />
òî öå ð³âíÿííÿ âèçíà÷ຠâ’ÿçêó ïðÿìèõ, ùî ïðîõîäÿòü ÷åðåç<br />
òî÷êó P (õ 1 , ó 1 ) (ðèñ. 4.21); ïðè öüîìó k íàçèâàºòüñÿ ïàðàìåòðîì<br />
â’ÿçêè.<br />
Ðèñ. 4.20 Ðèñ. 4.21<br />
Ïðèêëàä 4.3.1. Íàïèñàòè ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü<br />
÷åðåç òî÷êó P (5, 7) ³ ïàðàëåëüíà ïðÿì³é<br />
ó=õ−7.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñê³ëüêè øóêàíà ïðÿìà ïàðàëåëüíà äàí³é<br />
ïðÿì³é, òî ¿¿ êóòîâèé êîåô³ö³ºíò k = 1. Îòæå, íà ï³äñòàâ³<br />
ôîðìóëè (4.3.13) ð³âíÿííÿ ö³º¿ ïðÿìî¿ ìຠâèãëÿä:<br />
ó−7 =õ−5<br />
àáî<br />
ó = õ+2.<br />
Ïðèêëàä 4.3.2. Íàïèñàòè ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü<br />
÷åðåç òî÷êó Ð (2,3) ³ ïåðïåíäèêóëÿðíà äî ïðÿìî¿:<br />
1<br />
y=- x+ 7 .<br />
5<br />
Îñê³ëüêè øóêàíà ïðÿìà ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿì³é ç êóòîâèì<br />
êîåô³ö³ºíòîì k =- , òî ¿¿ êóòîâèé êîåô³ö³ºíò<br />
1<br />
5<br />
1<br />
k1<br />
=- = 5 . (4.3.15)<br />
k<br />
Îòæå, íà ï³äñòàâ³ ôîðìóëè (4.3.13) ð³âíÿííÿ ö³º¿ ïðÿìî¿<br />
òàêå:<br />
ó − 3=5(õ − 2)<br />
àáî îñòàòî÷íî<br />
ó =5õ − 7.<br />
4.3.4. гâíÿííÿ ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç äâ³<br />
äàí³ òî÷êè<br />
³äîìî, ùî ÷åðåç äâ³ íå çá³æí³ ì³æ ñîáîþ òî÷êè ìîæíà<br />
ïðîâåñòè ïðÿìó, ³ ïðè÷îìó ò³ëüêè îäíó. ³äøóêàºìî ð³âíÿííÿ<br />
ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êè P(x 1 , ó 1 ) ³ Q(x 2 ,ó 2 ).<br />
Ïðèïóñòèìî ñïî÷àòêó, ùî õ 1 ≠ õ 2 , òîáòî ïðÿìà PQ íå ïàðàëåëüíà<br />
îñ³ Îó. Îñê³ëüêè ïðÿìà PQ ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó<br />
P(õ 1 ,y 1 ), òî ¿¿ ð³âíÿííÿ ìຠâèãëÿä (äèâ. ï. 4.3.3):<br />
y–y 1 =k(x –õ 1 ), (4.3.16)<br />
äå k — íåâ³äîìèé íàì êóòîâèé êîåô³ö³ºíò ö³º¿ ïðÿìî¿.<br />
Ïðîòå, îñê³ëüêè íàøà ïðÿìà ïðîõîäèòü òàêîæ ÷åðåç òî÷êó<br />
Q(x 2 , ó 2 ), òî êîîðäèíàòè õ 2 ³ ó 2 ö³º¿ òî÷êè ïîâèíí³ çàäîâîëüíÿòè<br />
ð³âíÿííÿ (4.3.16). Çâ³äêè<br />
y 2 − y 1 = k(x 2 –õ 1 ).<br />
Îòæå, ïðè õ 1 ≠ õ 2 ìàºìî<br />
k<br />
y<br />
- y<br />
2 1<br />
= . (4.3.17)<br />
x2 - x1<br />
112 113
ϳäñòàâëÿþ÷è âèðàç (4.3.17) äëÿ êóòîâîãî êîåô³ö³ºíòà k<br />
ó ð³âíÿííÿ (4.3.16), îäåðæèìî ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ PQ:<br />
y -y<br />
y- y = x-x<br />
( )<br />
2 1<br />
1 1<br />
x2-<br />
x1<br />
. (4.3.18)<br />
Öå ð³âíÿííÿ ïðè y 2 ≠ y 1 ìîæíà çàïèñàòè òàêîæ ó âèãëÿä³<br />
ïðîïîðö³¿<br />
x-x1 y-y1<br />
=<br />
x -x y - y<br />
. (4.3.19)<br />
2 1 2 1<br />
ßêùî õ 1 =õ 2 , òî ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ PQ (ðèñ. 4.12, à) áóäå<br />
òàêå:<br />
õ = õ 1 .<br />
ßêùî æ êîîðäèíàòè òî÷îê Ð ³ Q ïîâ’ÿçàí³ ð³âí³ñòþ<br />
ó 1 =ó 2 , òî ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ PQ (ðèñ. 4.12, á) áóäå ìàòè òàêèé<br />
âèãëÿä:<br />
ó = ó 1 .<br />
Ïðèêëàä 4.3.3. Íàïèñàòè ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü<br />
÷åðåç òî÷êè Ð(5, −10) ³ Q (5, 2000).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñê³ëüêè àáñöèñè òî÷îê Ð ³ Q îäíàêîâ³<br />
(õ 1 = õ 2 = 5), òî ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ PQ òàêå: õ =5.<br />
Ïðèêëàä 4.3.4. Íàïèñàòè ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü<br />
÷åðåç òî÷êè Ð (5, 7) ³ Q (50, 7).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñê³ëüêè îðäèíàòè òî÷îê Ð ³ Q îäíàêîâ³<br />
(ó 1 =ó 2 = 7), òî ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ PQ òàêå: ó =7.<br />
Ïðèêëàä 4.3.5. Íàïèñàòè ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü<br />
÷åðåç òî÷êè Ð (5, 5) ³ Q (7, 7).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñê³ëüêè êîîðäèíàòè òî÷îê íåîäíàêîâ³,<br />
òî äëÿ çàïèñó øóêàíîãî ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ PQ ìîæíà ñêîðèñòóâàòèñÿ<br />
ôîðìóëîþ (4.3.19)<br />
x-5 y-5<br />
=<br />
7-5 7- 5<br />
,<br />
çâ³äêè âèïëèâàº, ùî ð³âíÿííÿ øóêàíî¿ ïðÿìî¿ º ó = õ.<br />
4.3.5. Âçàºìíå ðîçòàøóâàííÿ äâîõ ïðÿìèõ<br />
Íåõàé ïðÿì³ Ï 1 ³ Ï 2 çàäàí³ ð³âíÿííÿìè<br />
(Ï 1 ) à 1 õ + b 1 ó + ñ 1 = 0, (4.3.20)<br />
(Ï 2 ) à 2 õ + b 2 ó + ñ 2 = 0. (4.3.21)<br />
Ðîçâ’ÿçóþ÷è ïèòàííÿ ïðî âçàºìíå ðîçòàøóâàííÿ äâîõ<br />
ïðÿìèõ, òðåáà ðîçãëÿíóòè ð³âíÿííÿ (4.3.20) — (4.3.21) ÿê<br />
ñèñòåìó äâîõ ë³í³éíèõ ð³âíÿíü ç äâîìà íåâ³äîìèìè.<br />
Ïîñë³äîâíî âèêëþ÷àþ÷è ç ð³âíÿíü (4.3.20) — (4.3.21) ó<br />
³ õ, áóäåìî ìàòè<br />
(à 1 b 2 − à 2 b 1 )õ +(ñ 1 b 2 − b 1 ñ 2 ) = 0, (4.3.22)<br />
(à 1 b 2 − à 2 b 1 )y +(à 1 ñ 2 − à 2 ñ 1 ) = 0. (4.3.23)<br />
Ââåäåìî âèçíà÷íèêè äðóãîãî ïîðÿäêó (äèâ. ï. 3.2.1):<br />
a b -c b a -c<br />
D= , D = , D =<br />
a b -c b a - c<br />
.<br />
1 1 1 1 1 1<br />
x<br />
y<br />
2 2 2 2 2 2<br />
Òîä³ ð³âíîñò³ (4.3.22) — (4.3.23) ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³:<br />
D× x = D , (4.3.24)<br />
x<br />
D× y = D . (4.3.25)<br />
Ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ ð³âíÿíü (4.3.24) — (4.3.25) ìîæëèâ³<br />
òàê³ âèïàäêè:<br />
1) ∆≠0. Òîä³ íåâ³äîì³ õ òà ó çíàõîäÿòüñÿ îäíîçíà÷íî çà<br />
äîïîìîãîþ òàêèõ ôîðìóë:<br />
D D<br />
x<br />
y<br />
x= , y =<br />
D D . (4.3.26)<br />
2) ∆ = 0 ³ ïðèíàéìí³ îäèí ³ç âèçíà÷íèê³â ∆ x òà ∆ y<br />
â³äì³ííèé â³ä íóëÿ. Òîä³ õî÷à á îäíå ç ð³âíÿíü<br />
(4.3.24) — (4.3.25) áóäå ñóïåðå÷ëèâèì. Öå îçíà÷àº, ùî ñèñòåìà<br />
(4.3.20) — (4.3.21) íå ìຠðîçâ’ÿçêó.<br />
y<br />
114 115
3) ∆ =0 ³ ∆ x = 0, ∆ y = 0. Ç öèõ óìîâ âèïëèâຠ(ïåðåâ³ðòå!),<br />
ùî êîåô³ö³ºíòè ð³âíÿíü (4.3.20) — (4.3.21) ïðîïîðö³éí³,<br />
òîáòî ìຠì³ñöå ïðîïîðö³ÿ<br />
a2 b2 c2<br />
= = =λ<br />
a b c<br />
,<br />
1 1 1<br />
äå λ≠0 — äåÿêå ÷èñëî, à öå áóäå îçíà÷àòè, ùî äðóãå ð³âíÿííÿ<br />
îòðèìóºòüñÿ ç ïåðøîãî ìíîæåííÿì íà ÷èñëî λ.<br />
 öüîìó âèïàäêó ïðÿì³ Ï 1 ³ Ï 2 çá³ãàþòüñÿ, òîáòî ð³âíÿííÿ<br />
(4.3.20) — (4.3.21) âèçíà÷àþòü îäíó é òó ñàìó ïðÿìó. Î÷åâèäíî,<br />
ùî â öüîìó âèïàäêó ñèñòåìà (4.3.20) — (4.3.21) ìàº<br />
íåñê³í÷åííó ìíîæèíó ðîçâ’ÿçê³â.<br />
Ç ãåîìåòðè÷íî¿ òî÷êè çîðó, ïåðøèé âèïàäîê îçíà÷àº, ùî<br />
ïðÿì³ Ï 1 ³ Ï 2 ïåðåòèíàþòüñÿ. Â äðóãîìó âèïàäêó ïðÿì³<br />
ïàðàëåëüí³, à â òðåòüîìó — îäíà ïðÿìà íàêëàäàºòüñÿ íà<br />
äðóãó.<br />
Çàóâàæåííÿ.  öüîìó ïóíêò³ ïèòàííÿ ïðî âçàºìíå<br />
ðîçòàøóâàííÿ äâîõ ïðÿìèõ áóëî äîñèòü åôåêòèâíî âèð³øåíî<br />
çà äîïîìîãîþ âèçíà÷íèê³â.<br />
Ïðèêëàä 4.3.6. Äîâåñòè, ùî ïðÿì³ Ï 1 ³ Ï 2 ïåðåòèíàþòüñÿ,<br />
³ çíàéòè êîîðäèíàòè òî÷êè ïåðåòèíó öèõ ïðÿìèõ<br />
(Ï 1 ) 3õ − 4ó − 5=0,<br />
(Ï 2 ) 4õ +3ó +5=0.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ñïî÷àòêó ñêëàäåìî âèçíà÷íèê ∆:<br />
∆ =3 2 +4 2 =25≠ 0. Ìàºìî ïåðøèé âèïàäîê. Òàêèì ÷èíîì,<br />
ïðÿì³ Ï 1 ³ Ï 2 ïåðåòèíàþòüñÿ. Äëÿ òîãî ùîá çíàéòè êîîðäèíàòè<br />
òî÷êè ïåðåòèíó, ñïî÷àòêó îá÷èñëèìî âèçíà÷íèêè ∆ õ ³<br />
∆ ó :<br />
∆ õ =15− 20 = −5, ∆ ó = −15 − 20 = −35.<br />
À òåïåð çà äîïîìîãîþ ôîðìóë (4.3.26) çíàõîäèìî øóêàí³<br />
êîîðäèíàòè:<br />
1 7<br />
x=- , y=-<br />
.<br />
5 5<br />
4.3.6. ³äñòàíü â³ä òî÷êè äî ïðÿìî¿<br />
Íåõàé ïðÿìà çàäàíà çàãàëüíèì ð³âíÿííÿì<br />
Àõ + Âó + Ñ =0 (A 2 +Â 2 ≠ 0). (4.3.27)<br />
Çàäàíà òàêîæ ô³êñîâàíà òî÷êà Ì 0 (õ 0 ,ó 0 ). ϳä â³äñòàííþ<br />
â³ä òî÷êè äî ïðÿìî¿ ìè áóäåìî ðîçóì³òè íàéêîðîòøèé<br />
øëÿõ â³ä çàäàíî¿ òî÷êè äî äàíî¿ ïðÿìî¿. ßê â³äîìî ç<br />
êóðñó åëåìåíòàðíî¿ ìàòåìàòèêè, íàéêîðîòøèé øëÿõ â³ä çàäàíî¿<br />
òî÷êè äî äàíî¿ ïðÿìî¿ âèçíà÷àºòüñÿ ïî ïåðïåíäèêóëÿðó.<br />
1. Íåõàé  ≠ 0. Òîä³ äàíà ïðÿìà íå ïàðàëåëüíà â³ñÿì<br />
êîîðäèíàò (ðèñ. 4.22), à ¿¿ ð³âíÿííÿ (4.3.27) ìîæíà çîáðàçèòè<br />
ó âèãëÿä³:<br />
A C<br />
y =- x .<br />
B<br />
- B<br />
(4.3.28)<br />
Ðèñ. 4.22<br />
Ñïî÷àòêó ðîçãëÿíåìî âèïàäîê, êîëè òî÷êà Ì 0 (õ 0 , ó 0 ) ñï³âïàäàº<br />
ç ïî÷àòêîì êîîðäèíàò Î(0,0).<br />
Òîä³ øóêàíà â³äñòàíü áóäå âèçíà÷àòèñÿ äîâæèíîþ â³äð³çêà<br />
ÎÌ 1 (ðèñ. 4.22). Äëÿ òîãî ùîá âèçíà÷èòè äîâæèíó â³äð³çêà<br />
ÎÌ 1 , òðåáà çíàéòè êîîðäèíàòè õ 1 ³ ó 1 òî÷êè Ì 1 . Òî÷êà<br />
Ì 1 º òî÷êîþ ïåðåòèíó äàíî¿ ïðÿìî¿ ³ ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåíîãî<br />
ç ïî÷àòêó êîîðäèíàò íà íå¿.<br />
Âðàõîâóþ÷è òåîðåìó 4.3.3 ç ï. 4.3.2 ³ òîé ôàêò, ùî ïåðïåíäèêóëÿð<br />
ïðîõîäèòü ÷åðåç ïî÷àòîê êîîðäèíàò, ð³âíÿííÿ<br />
ïåðïåíäèêóëÿðà òàêå:<br />
116 117
B<br />
y= x. (4.3.29)<br />
A<br />
Ðîçãëÿäàþ÷è ð³âíÿííÿ (4.3.28) — (4.3.29) ÿê ñèñòåìó,<br />
çíàéäåìî êîîðäèíàòè õ 1 ³ ó 1 òî÷êè Ì 1 :<br />
x<br />
CA<br />
CB<br />
=- , y =- .<br />
A + B A + B<br />
1 2 2 1<br />
2 2<br />
Òîä³ øóêàíó â³äñòàíü âèçíà÷èìî ÿê â³äñòàíü ì³æ äâîìà<br />
òî÷êàìè Î ³ Ì 1 . Çà ôîðìóëîþ (4.1.3) ìàºìî<br />
CA<br />
CB<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
1<br />
=<br />
1<br />
+<br />
1<br />
= + =<br />
2 2 2 2<br />
OM x y<br />
2 2 2 2<br />
( A + B) ( A + B )<br />
A<br />
C<br />
+ B<br />
. (4.3.30)<br />
Òåïåð ðîçãëÿíåìî äîâ³ëüíó òî÷êó Ì 0 ç êîîðäèíàòàìè õ 0 ,<br />
ó 0 ³ ââåäåìî íîâó ïðÿìîêóòíó ñèñòåìó ÎXY, êîîðäèíàòè<br />
ÿêî¿ ïîâ’ÿçàí³ ç³ ñòàðèìè êîîðäèíàòàìè çà äîïîìîãîþ òàêèõ<br />
ôîðìóë<br />
x=x 0 +X, y=y 0 +Y. (4.3.31)<br />
ϳäñòàâèìî (4.3.31) â (4.3.27). Òîä³ ð³âíÿííÿ äàíî¿ ïðÿìî¿<br />
â íîâèõ êîîðäèíàòàõ áóäå ìàòè âèãëÿä:<br />
ÀÕ + ÂY + Ñ 0 = 0, (4.3.32)<br />
äå Ñ 0 = Àõ 0 + Âó 0 + Ñ.<br />
Ó íîâ³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò òî÷êà Ì 0 ñï³âïàäຠç ïî÷àòêîì<br />
êîîðäèíàò. Òîìó ìîæíà çàñòîñóâàòè äëÿ âèçíà÷åííÿ<br />
øóêàíî¿ â³äñòàí³ ôîðìóëó (4.3.30)<br />
C0 Ax0 + By0<br />
+ C<br />
d= M0M1<br />
×<br />
= =<br />
2 2 2 2<br />
. (4.3.33)<br />
A + B A + B<br />
Ç ôîðìóëè (4.3.33) îäåðæóºìî ïðàâèëî: ùîá âèçíà÷èòè<br />
â³äñòàíü â³ä òî÷êè äî ïðÿìî¿, ïîòð³áíî ë³âó ÷àñòèíó ð³âíÿííÿ<br />
ö³º¿ ïðÿìî¿ ðîçä³ëèòè íà A + B ¹ 0 ³ ï³äñòàâèòè êîîð-<br />
2 2<br />
äèíàòè äàíî¿ òî÷êè, à ïîò³ì óçÿòè àáñîëþòíå çíà÷åííÿ<br />
îòðèìàíî¿ âåëè÷èíè.<br />
Ïðèêëàä 4.3.7. Âèçíà÷èòè â³äñòàíü â³ä òî÷êè Ì 0 (3, 4) äî<br />
ïðÿìî¿, ÿêà çàäàíà ð³âíÿííÿì<br />
3õ +4ó − 5=0.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çàñòîñóºìî ôîðìóëó (4.3.33)<br />
33 × + 44 × -5<br />
d = = 4.<br />
2 2<br />
3 + 4<br />
Çâ³äñè øóêàíà â³äñòàíü äîð³âíþº 4 îäèíèöÿì âèáðàíîãî<br />
ìàñøòàáó.<br />
2. Íåõàé òåïåð Â=0. Òîä³ À ≠ 0 ³ ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ áóäå<br />
ìàòè òàêèé âèãëÿä: õ = −Ñ/A. Î÷åâèäíî, ùî ïðè öüîìó â³äñòàíü<br />
ì³æ òî÷êîþ Ì 0 (õ 0 , ó 0 ) ³ ïðÿìîþ âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ<br />
d = x0 + C/<br />
A . (4.3.34)<br />
Ïðèêëàä 4.3.8. Çíàéòè â³äñòàíü â³ä òî÷êè Ì 0 (5, 7) äî<br />
ïðÿìî¿ õ=−5.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çà äîïîìîãîþ ôîðìóëè (4.3.34) çðàçó æ<br />
çíàéäåìî øóêàíó â³äñòàíü: d= 10.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
4.11. Çàäàí³ âåðøèíè òðèêóòíèêà ÀÂÑ: À (−ì, 2ì),<br />
 (3ì; –ì), Ñ (4ì, 4ì−1). Òðåáà çíàéòè:<br />
1) äîâæèíó ñòîð³í À ³ ÀÑ;<br />
2) ð³âíÿííÿ ñòîð³í ÀÑ, À ³ ÂÑ òà ¿õí³ êóòîâ³ êîåô³ö³ºíòè;<br />
3) âíóòð³øí³é êóò ïðè âåðøèí³ À;<br />
4) ð³âíÿííÿ ìåä³àíè, ïðîâåäåíî¿ ç âåðøèíè À íà ñòîðîíó<br />
ÂÑ;<br />
5) ð³âíÿííÿ âèñîòè, îïóùåíî¿ ç âåðøèíè C íà ñòîðîíó<br />
AB;<br />
6) ð³âíÿííÿ á³ñåêòðèñè ïðè âåðøèí³ À;<br />
7) äîâæèíó ìåä³àíè ÀL;<br />
8) äîâæèíó âèñîòè AK;<br />
9) ð³âíÿííÿ êîëà, äëÿ ÿêîãî À º ä³àìåòðîì.<br />
Òóò ïàðàìåòð ì îçíà÷ຠì³ñÿöü äàòè íàðîäæåííÿ ÷èòà÷à,<br />
ÿêèé âèêîíóº öþ âïðàâó. Ðîçâ’ÿæåìî âïðàâó äëÿ ÷èòà÷à,<br />
118 119
ÿêèé íàðîäèâñÿ â ëþòîìó. Ïàðàìåòð ì äîð³âíþº 2. Êîîðäèíàòè<br />
âåðøèí òðèêóòíèêà áóäóòü òàê³: À (–2, 4), Â (6, –2),<br />
Ñ (8, 7).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) ³äñòàíü ì³æ äâîìà òî÷êàìè âèçíà-<br />
÷èìî çà äîïîìîãîþ ôîðìóëè (4.1.3 ). Çàñòîñîâóþ÷è ¿¿, çíàéäåìî<br />
äîâæèíó ñòîð³í À ³ ÀÑ:<br />
2 2 2<br />
2<br />
AB = ( 6-( - 2)<br />
) + (-2- 4) = 8 + (- 6)<br />
= 100 = 10 .<br />
2 2<br />
AC = ( 8+ 2) + ( 7- 4)<br />
= 109 .<br />
2) Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ï. 4.3.4 ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ÿêà ïðîõîäèòü<br />
÷åðåç òî÷êè À ³ Â, òàêå:<br />
y- 4 x+<br />
2<br />
=<br />
-2- 4 6+ 2<br />
.<br />
Çâ³äêè 3õ +4ó − 10 = 0 (ÀÂ). Ùîá çíàéòè êóòîâèé êîåô³ö³ºíò<br />
k AB ïðÿìî¿ ÀÂ, ðîçâ’ÿæåìî îòðèìàíå ð³âíÿííÿ â³äíîñíî<br />
ó:<br />
ó = −3/4õ + 5/2, òàêèì ÷èíîì k AB = −3/4.<br />
Àíàëîã³÷íî çíàéäåìî ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ ÀÑ:<br />
3õ − 10ó + 46 = 0 ³ ïðÿìî¿ ÂÑ: 9x − 2y − 58 = 0. Êóòîâ³ êîåô³ö³ºíòè<br />
ïðÿìèõ ÀÑ ³ ÂÑ òàê³: k AÑ = 3/10, k ÂÑ =9/2.<br />
3) Âíóòð³øí³é êóò ïðè âåðøèí³ À ïîçíà÷èìî ÷åðåç α.<br />
42<br />
Òîä³, çàñòîñîâóþ÷è ôîðìóëó (4.3.8), çíàéäåìî, ùî tga= .<br />
31<br />
42<br />
Îòæå, øóêàíèé êóò a= arctg . 31<br />
4) Íåõàé D — ñåðåäèíà â³äð³çêó ÂÑ. Äëÿ âèçíà÷åííÿ<br />
êîîðäèíàò òî÷êè D çàñòîñóºìî ôîðìóëè (4.1.7) ä³ëåííÿ â³äð³çêà<br />
ïîïîëàì:<br />
6+ 8 - 2+<br />
7 5<br />
xD<br />
= = 7, yD<br />
= = .<br />
2 2 2<br />
Äàë³, çàñòîñîâóþ÷è ôîðìóëó (4.3.19) (ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿,<br />
ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç äâ³ òî÷êè), îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ ìåä³àíè<br />
ÀD:<br />
y- 4 x+<br />
2<br />
= Þ x+ 6× y- 22 = 0 ( AD)<br />
.<br />
5 7+<br />
2<br />
- 4<br />
2<br />
5) Âèñîòà CP ïåðïåíäèêóëÿðíà ñòîðîí³ A (P — òî÷êà<br />
ïåðåòèíó ïåðïåíäèêóëÿðà ³ ñòîðîíè ÀÂ). Òîìó çà êðèòåð³-<br />
ºì ïåðïåíäèêóëÿðíîñò³ äâîõ ïðÿìèõ (äèâ. ï. 4.3.2) ¿õí³<br />
êóòîâ³ êîåô³ö³ºíòè ïîâ’ÿçàí³ ð³âí³ñòþ k CP = −1/k AB . Îñê³ëüêè<br />
ìè çíàéøëè ðàí³øå, ùî k AB = −3/4, òî k CP = 4/3. Çíàþ÷è<br />
êîîðäèíàòè òî÷êè Ñ (8, 7) ³ êóòîâèé êîåô³ö³ºíò k AB , çà ôîðìóëîþ<br />
(4.3.13) ñêëàäåìî ð³âíÿííÿ âèñîòè ÑÐ:<br />
ó − 7 = 4/3 (õ − 8) ⇒ 4õ − 3ó − 11 = 0 (ÑÐ).<br />
6) Ç êóðñó ìàòåìàòèêè ñåðåäíüî¿ øêîëè â³äîìî, ùî á³ñåêòðèñà<br />
êóòà òðèêóòíèêà ÀÂÑ ïðè âåðøèí³ À ìຠâëàñòèâ³ñòü<br />
AB BK<br />
= .<br />
AC KC<br />
Çã³äíî ç ðåçóëüòàòàìè ðîçâ’ÿçêó 1) ìàòèìåìî<br />
BK<br />
λ= =<br />
KC<br />
10 .<br />
109<br />
Òåïåð, çíàþ÷è êîîðäèíàòè òî÷îê  ³ Ñ, çà ôîðìóëàìè<br />
(4.1.6) çíàéäåìî êîîðäèíàòè òî÷êè L (îñíîâè á³ñåêòðèñè,<br />
ïðîâåäåíî¿ ç âåðøèíè À):<br />
80 + 6 109 70 -2 109<br />
xL<br />
= , yL<br />
=<br />
.<br />
10 + 109 10 + 109<br />
Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ôîðìóëè (4.3.18) îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ<br />
á³ñåêòðèñè AL:<br />
30 - 6 109<br />
y- 4 = ( x+<br />
2 )( AL)<br />
.<br />
100 + 8 109<br />
120 121
7) Îñê³ëüêè ç óìîâè çàäà÷³ ³ ðåçóëüòàò³â ðîçâ’ÿçêó 4) ìè<br />
çíàºìî êîîðäèíàòè òî÷îê À ³ D, òî çà ôîðìóëîþ (4.1.3)<br />
îá÷èñëèìî äîâæèíó ìåä³àíè ÀD:<br />
AD =<br />
333 .<br />
2<br />
8) Îñê³ëüêè äîâæèíà âèñîòè ÀK ÿâëÿº ñîáîþ â³äñòàíü â³ä<br />
òî÷êè A äî ïðÿìî¿ ÂÑ, òî âèçíà÷èìî øóêàíó äîâæèíó çà<br />
ôîðìóëîþ (4.3.33):<br />
íàçèâàòè ë³í³ÿìè äðóãîãî ïîðÿäêó. Äî ðå÷³, êîëî, ÿêå âèâ÷à-<br />
ºòüñÿ â ñåðåäí³é øêîë³, º ë³í³ºþ äðóãîãî ïîðÿäêó.<br />
4.4.1. Åë³ïñ<br />
Åë³ïñîì íàçèâàºòüñÿ ãåîìåòðè÷íå ì³ñöå òî÷îê ïëîùèíè,<br />
ñóìà â³äñòàíåé êîæíî¿ ç ÿêèõ äî äâîõ çàäàíèõ òî÷îê ö³º¿<br />
æ ïëîùèíè, íàçâàíèõ ôîêóñàìè, º âåëè÷èíîþ ñòàëîþ.<br />
9×- ( 2)<br />
- 2× 4-58 84<br />
AK = = .<br />
2<br />
9 +- ( 2) 2 85<br />
9) гâíÿííÿ êîëà ç öåíòðîì ó òî÷ö³ Î 1 (à, b) ³ ðàä³óñîì<br />
R ìຠâèãëÿä:<br />
2 2 2<br />
( x- a) + ( y- b)<br />
= R .<br />
Îñê³ëüêè çà óìîâîþ çàäà÷³ AB º ä³àìåòð êîëà, òî ñåðåäèíà<br />
â³äð³çêà º öåíòð êîëà. Ïîçíà÷èìî öåíòð ÷åðåç Î 1 (à, b).<br />
Éîãî êîîðäèíàòè ëåãêî âèçíà÷àþòüñÿ:<br />
- 2+ 6 4-2<br />
a= = 2, b= = 1.<br />
2 2<br />
Çà óìîâîþ çàäà÷³ ÀÂ =2R. Ó íàøîìó âèïàäêó ÀÂ = 10,<br />
çâ³äêè R = 5. ϳäñòàâèìî â ð³âíÿííÿ êîëà R = 5, à =2 ³ b =1<br />
òà îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ øóêàíîãî êîëà:<br />
( x ) ( y )<br />
2 2 2<br />
- 2 + - 1 = 5 .<br />
4.4. ˲Ͳ¯ ÄÐÓÃÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÓ<br />
Ó öüîìó ïóíêò³ ðîçãëÿíåìî òðè âèäè ë³í³é: åë³ïñ, ã³ïåðáîëó<br />
³ ïàðàáîëó. Âêàçàí³ ë³í³¿ áóäåìî çàäàâàòè ÿê ìíîæèíó<br />
òî÷îê ïëîùèíè Îõó, ÿê³ ìàþòü ïåâí³ ãåîìåòðè÷í³ âëàñòèâîñò³.<br />
Íèæ÷å áóäå ïîêàçàíî, ùî â³äïîâ³äí³ ð³âíÿííÿ ì³ñòÿòü â<br />
ñîá³ êâàäðàòè ïîòî÷íèõ êîîðäèíàò. Òàê³ ë³í³¿ ìè áóäåìî<br />
Ðèñ. 4.23<br />
Íåõàé íà ïëîùèí³ äàíî äâ³ òî÷êè 1 ³ 2 — ôîêóñè.<br />
Ñèñòåìó êîîðäèíàò ðîçòàøóºìî òàê, ùîá â³ñü àáñöèñ ïðîõîäèëà<br />
÷åðåç ö³ òî÷êè, à â³ñü îðäèíàò ä³ëèëà â³äñòàíü ì³æ<br />
íèìè ïîïîëàì (ðèñ. 4.23). Ïîçíà÷èìî | 1 2 | = 2ñ — â³äñòàíü<br />
ì³æ ôîêóñàìè (ñ — êîíñòàíòà). Òî÷êà Ì(õ, ó) áóäå<br />
òî÷êîþ åë³ïñà, ÿêùî<br />
r 1 + r 2 = 2a = const, a > c,<br />
Òîä³<br />
( ) , ( )<br />
2 2 2 2<br />
1 2<br />
r = x+ c + y r = x- c + y .<br />
2 2 2 2<br />
( x+ c) + y + ( x- c)<br />
+ y = 2a<br />
(4.4.1)<br />
122 123
º àíàë³òè÷íå ð³âíÿííÿ åë³ïñà. Ïîçáóäåìîñÿ â (4.4.1) â³ä ³ððàö³îíàëüíîñò³<br />
(ï³äíåñåííÿì äî êâàäðàòà îáîõ ÷àñòèí<br />
(4.4.1) ³ øëÿõîì ïåðåòâîðåíü, ùî ñïðîùóþòü ñï³ââ³äíîøåííÿ<br />
(4.4.1), à òàêîæ ââåäåííÿì ïîçíà÷åííÿ à 2 – ñ 2 = b 2 ). Ó<br />
ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî<br />
b 2 õ 2 + à 2 ó 2 = à 2 b 2 .<br />
Ðîçä³ëèâøè îáèäâ³ ÷àñòèíè öüîãî ð³âíÿííÿ íà à 2 b 2 > 0,<br />
ïðèéäåìî äî òàê çâàíîãî êàíîí³÷íîãî ð³âíÿííÿ åë³ïñà<br />
x<br />
a<br />
y<br />
+ = . (4.4.2)<br />
b<br />
2 2<br />
1<br />
2 2<br />
³äì³òèìî âëàñòèâîñò³ åë³ïñà.<br />
1. Ç ð³âíÿííÿ (4.4.2) âèïëèâàº, ùî åë³ïñ â³äíîñèòüñÿ äî<br />
êðèâèõ äðóãîãî ïîðÿäêó.<br />
2. Ç (4.4.2) òàêîæ âèïëèâàº, ùî |x| ≤ a, |y| ≤ b, òîáòî åë³ïñ<br />
º îáìåæåíà êðèâà.<br />
3. ßêùî òî÷êà Ì(õ, ó) íàëåæèòü åë³ïñó, òîä³ ³ òî÷êè<br />
Ì 1 (−õ, ó), Ì 2 (õ, −ó), Ì 3 (−õ, −ó) òàêîæ íàëåæàòü åë³ïñó, òîáòî<br />
åë³ïñ ñèìåòðè÷íèé â³äíîñíî â³ñåé êîîðäèíàò òà ïî÷àòêó<br />
êîîðäèíàò.<br />
4. Åë³ïñ ïåðåòèíຠâ³ñü àáñöèñ â òî÷êàõ À 1 (−à, 0), À 2 (à, 0)<br />
³ â³ñü îðäèíàò â òî÷êàõ  1 (0, b),  2 (0, −b). Ö³ òî÷êè íàçèâàþòüñÿ<br />
âåðøèíàìè åë³ïñà, âåëè÷èíè 2à ³ 2b — â³äïîâ³äíî<br />
âåëèêîþ ³ ìàëîþ â³ññþ, à ³ b — ï³âîñÿìè.<br />
5. ßêùî à = b, òî îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ êîëà õ 2 + ó 2 = à 2<br />
ç öåíòðîì íà ïî÷àòêó êîîðäèíàò ³ ðàä³óñîì à. ³äíîøåííÿ<br />
2 2 2<br />
c a -b b<br />
0£e= = = 1- < 1<br />
2<br />
a a a<br />
íàçèâàºòüñÿ åêñöåíòðèñèòåòîì åë³ïñà ³ õàðàêòåðèçóº â³äõèëåííÿ<br />
åë³ïñà â³ä êîëà (ε = 0).<br />
6. Ïðÿì³ x = ± à/ε íàçèâàþòüñÿ äèðåêòðèñàìè (íàïðÿìíèìè)<br />
åë³ïñà. Äëÿ íèõ ìຠì³ñöå: r 1 /d 1 = r 2 /d 2 = ε, äå d 1 i<br />
d 2 â³äïîâ³äíî â³äñòàí³ â³ä òî÷êè, ÿêà ëåæèòü íà åë³ïñ³, äî<br />
äèðåêòðèñ.<br />
4.4.2. óïåðáîëà<br />
óïåðáîëîþ íàçèâàºòüñÿ ãåîìåòðè÷íå ì³ñöå òî÷îê ïëîùèíè,<br />
ìîäóëü ð³çíèö³ â³äñòàíåé êîæíî¿ ç ÿêèõ äî äâîõ äàíèõ<br />
òî÷îê, íàçâàíèõ ôîêóñàìè, º âåëè÷èíîþ ñòàëîþ (ðèñ. 4.24).<br />
Ç îçíà÷åííÿ ã³ïåðáîëè âèïëèâàº<br />
|r 1 – r 2 | = 2a = const,<br />
ïðè÷îìó 2a < 2c, äå ñ âèçíà÷ຠàáñöèñè ôîêóñ³â 1 (−c, 0),<br />
2 (c, 0). ϳäñòàâëÿþ÷è çíà÷åííÿ â³äñòàíåé r 1 ³ r 2 , îòðèìàºìî<br />
( ) ( )<br />
2 2 2 2<br />
+ + - - + = ± 2 .<br />
x c y x c y a<br />
ϳñëÿ ïåðåòâîðåíü, àíàëîã³÷íèõ ïåðåòâîðåííÿì ïðè ðîçãëÿä³<br />
åë³ïñà, îòðèìàºìî<br />
2 2<br />
x y<br />
- = 1<br />
2 2 , (4.4.3)<br />
a b<br />
äå b 2 = ñ 2 – à 2 .<br />
гâíÿííÿ (4.4.3) íàçèâàºòüñÿ êàíîí³÷íèì ð³âíÿííÿì ã³ïåðáîëè.<br />
Ç öüîãî ð³âíÿííÿ çíàõîäèìî<br />
ó 2 = b 2 /à 2 (õ 2 – à 2 ) ⇒ |x| ≥ a.<br />
óïåðáîëà ñêëàäàºòüñÿ ç äâîõ ã³ëîê. ˳âà ã³ëêà ëåæèòü ó<br />
ï³âïëîùèí³ õ ≤ −a, ïðàâà — ó ï³âïëîùèí³ x ≥ a.<br />
Âëàñòèâîñò³ ã³ïåðáîëè:<br />
1. óïåðáîëà º êðèâà äðóãîãî ïîðÿäêó.<br />
2. ²ç ð³âíÿííÿ (4.4.3) âèïëèâàº, ùî ïðè |x| ≥ a, |y| ≥ 0,<br />
îòæå, ã³ïåðáîëà º íåîáìåæåíîþ êðèâîþ.<br />
3. óïåðáîëà ñèìåòðè÷íà â³äíîñíî îáîõ êîîðäèíàòíèõ â³ñåé<br />
(ì³ñòèòü â ð³âíÿíí³ õ 2 ³ ó 2 ) ³ ïî÷àòêó êîîðäèíàò.<br />
4. Òî÷êè ïåðåòèíó ã³ïåðáîëè ç â³ññþ àáñöèñ º À 1 (−à, 0) ³<br />
À 2 (à, 0). Âîíè íàçèâàþòüñÿ âåðøèíàìè ã³ïåðáîëè.<br />
b<br />
5. Ïðÿì³ y=± x íàçèâàþòüñÿ àñèìïòîòàìè ã³ïåðáîëè.<br />
a<br />
6. Åêñöåíòðèñèòåòîì ã³ïåðáîëè íàçèâàºòüñÿ â³äíîøåííÿ<br />
2 2 2<br />
c a + b b<br />
e= = = 1+ > 1<br />
2<br />
.<br />
a a a<br />
124 125
7. Ïðÿì³ õ = ± à/ε íàçèâàþòüñÿ äèðåêòðèñàìè ã³ïåðáîëè.<br />
Âîíè ìàþòü ò³ ñàì³ âëàñòèâîñò³, ùî ³ äèðåêòðèñè åë³ïñà.<br />
гâíÿííÿ ïàðàáîëè ó = àõ 2 , ÿêå ðîçãëÿíóòå â øê³ëüíîìó<br />
êóðñ³ ìàòåìàòèêè, ìîæíà îäåðæàòè ÿê ãåîìåòðè÷íå ì³ñöå<br />
æ 1 ö<br />
òî÷îê, ð³âíîâ³ääàëåíèõ â³ä ô³êñîâàíî¿ òî÷êè F<br />
ç 0, çè 4 a ÷ ø<br />
(ôîêóñà)<br />
1<br />
³ ïðÿìî¿ y =- .<br />
4a<br />
Ðèñ. 4.24<br />
4.4.3. Ïàðàáîëà<br />
Ïàðàáîëîþ íàçèâàºòüñÿ ãåîìåòðè÷íå ì³ñöå òî÷îê ïëîùèíè,<br />
ð³âíîâ³ääàëåíèõ â³ä ô³êñîâàíî¿ òî÷êè F æ ç ,0<br />
ö çè2<br />
ø ÷<br />
(ôîêóñà) ³<br />
p<br />
p<br />
ïðÿìî¿ d (äèðåêòðèñè) x =- (ðèñ. 4.25).<br />
2<br />
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç ð â³äñòàíü ì³æ ïðÿìîþ d ³ òî÷êîþ<br />
(p/2, 0), òîáòî ïî÷àòîê â³äë³êó ðîçòàøîâàíî â ñåðåäèí³ â³äð³çêà<br />
A⊥d. Öå îçíà÷åííÿ ïîêàçóº, ùî<br />
( ) 2 2<br />
MB = M , MB = x + p /2, M = x - p /2 + y .<br />
Òîä³ (õ + ð/2) 2 = (õ – ð/2) 2 + ó 2 àáî<br />
ó 2 = 2ðõ. (4.4.4)<br />
гâíÿííÿ (4.4.4) íàçèâàºòüñÿ êàíîí³÷íèì ð³âíÿííÿì ïàðàáîëè.<br />
Ðèñ. 4.25<br />
Âëàñòèâîñò³ ïàðàáîëè:<br />
1. Ïàðàáîëà º êðèâà äðóãîãî ïîðÿäêó.<br />
2. Îñê³ëüêè p > 0, òî ç (4.4.4) âèïëèâàº: õ ≥ 0, |y| ≥ 0.<br />
Îòæå, ïàðàáîëà º íåîáìåæåíîþ êðèâîþ, ÿêà ðîçòàøîâàíà â<br />
ïðàâ³é ï³âïëîùèí³.<br />
3. Ïàðàáîëà ìຠîäíó â³ñü ñèìåò𳿠(â³ñü Îõ).<br />
4. Ïàðàáîëà ìຠîäíó âåðøèíó, ÿêà ñï³âïàäຠç ïî÷àòêîì<br />
êîîðäèíàò.<br />
5. Åêñöåíòðèñèòåò ïàðàáîëè: ε = |M|/|MB| = 1.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
2 2 2<br />
4.20. Ïîáóäóâàòè åë³ïñ x + Ny = N . Çíàéòè éîãî ôîêóñè<br />
³ åêcöåíòðèñèòåò.<br />
2 2 2<br />
4.21. Ïîáóäóâàòè ã³ïåðáîëó x - Ny = N . Çíàéòè ¿¿ ôîêóñè,<br />
åêcöåíòðèñèòåò ³ àñèìïòîòè.<br />
2<br />
4.22. Ïîáóäóâàòè ïàðàáîëó y = 2Nx. Çíàéòè ¿¿ ôîêóñ, äèðåêòðèñó<br />
³ íàïèñàòè ð³âíÿííÿ äèðåêòðèñè.<br />
Òóò ïàðàìåòð N îçíà÷ຠ÷èñëî äàòè íàðîäæåííÿ ÷èòà÷à.<br />
126 127
4.5. ÏÎÍßÒÒß ÏÐΠвÂÍßÍÍß ÏËÎÙÈÍÈ<br />
² ÏÐßÌί Ó ÏÐÎÑÒÎв<br />
4.5.1. Çàãàëüíå ð³âíÿííÿ ïëîùèíè<br />
Íåõàé ïëîùèíà Ð ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )<br />
r<br />
³ ïåðïåíäèêóëÿðíà âåêòîðó n=<br />
( A, B,<br />
C)<br />
(ðèñ. 4.26).<br />
Îòðèìàíå ð³âíÿííÿ ïëîùèíè çîáðàçèìî ó âèãëÿä³:<br />
( ) ( ) ( )<br />
Ax- x + By- y + Cz- z =<br />
0 0 0<br />
0<br />
àáî<br />
Ax + By + Cz + D = 0 , (4.5.2)<br />
äå D Ax0 By0 Cz0<br />
=- - - .<br />
Îçíà÷åííÿ 4.5.1. гâíÿííÿ (4.5.2) íàçèâàºòüñÿ çàãàëüíèì<br />
ð³âíÿííÿì ïëîùèíè.<br />
Ìîæíà ïîêàçàòè, ùî áóäü-ÿêå ð³âíÿííÿ ïåðøîãî ñòåïåíÿ<br />
2 2 2<br />
ç òðüîìà çì³ííèìè çà óìîâè, ùî A + B + C ¹ 0 , º ð³âíÿííÿ<br />
ïëîùèíè.<br />
Äåÿê³ ñòàë³ À,  ³ Ñ ìîæóòü áóòè ð³âíèìè íóëþ, àëå íå<br />
âñ³ çðàçó. Ïðè öüîìó ñòàëà D ìîæå áóòè ÿêîþ çàâãîäíî.<br />
Çîêðåìà, ÿêùî D = 0, òî ïëîùèíà, ÿêà â³äïîâ³äຠð³âíÿííþ<br />
(4.5.2), ïðîõîäèòü ÷åðåç ïî÷àòîê êîîðäèíàò.<br />
Òåïåð íåõàé À =  = D = 0, à C ≠ 0, òîä³ ð³âíÿííÿ (4.5.2)<br />
áóäå ìàòè äóæå ïðîñòèé âèä z = 0. Öå ð³âíÿííÿ âèçíà÷àº<br />
êîîðäèíàòíó ïëîùèíó Îxy.  ³íøèõ îêðåìèõ âèïàäêàõ<br />
ïðîïîíóºìî ÷èòà÷åâ³ ðîç³áðàòèñÿ ñàìîñò³éíî.<br />
Äâ³ ïëîùèíè â ïðîñòîð³ ìîæóòü áóòè ïàðàëåëüíèìè òà<br />
ïåðïåíäèêóëÿðíèìè. Íåõàé â³äïîâ³äíî çàäàíî äâ³ ïëîùèíè<br />
ñâî¿ìè ð³âíÿííÿìè<br />
Ðèñ. 4.26<br />
Ö³ºþ óìîâîþ âèçíà÷àºòüñÿ ºäèíà ïëîùèíà â ïðîñòîð³<br />
Oxyz. Ïðè öüîìó âåêòîð n r<br />
íàçèâàºòüñÿ íîðìàëüíèì âåêòîðîì<br />
ïëîùèíè Ð. ³çüìåìî íà ïëîùèí³ Ð äîâ³ëüíó òî÷êó<br />
M(x, y, z).<br />
uuuuur<br />
Òîä³ âåêòîð MM<br />
0<br />
= ( x-x0, y- y0,<br />
z-z0)<br />
áóäå ïåðïåíäèêóëÿðíèé<br />
âåêòîðó n=<br />
( A, B,<br />
C)<br />
. Îòæå, ñêàëÿðíèé äîáóòîê öèõ<br />
r<br />
âåêòîð³â äîð³âíþº íóëþ, òîáòî<br />
v uuuuur<br />
nMM × 0<br />
= 0 . (4.5.1)<br />
Ax<br />
1<br />
+ By<br />
1<br />
+ Cz<br />
1<br />
+ D1 = 0 , (4.5.3)<br />
Ax<br />
2<br />
+ By<br />
2<br />
+ Cz<br />
2<br />
+ D2 = 0. (4.5.4)<br />
Ìîæíà ïîêàçàòè, ùî óìîâîþ ïàðàëåëüíîñò³ äâîõ ïëîùèí<br />
º ïðîïîðö³îíàëüí³ñòü êîåô³ö³ºíò³â ïðè îäíîéìåííèõ çì³ííèõ<br />
A1 B1 C1<br />
= = ,<br />
A B C<br />
(4.5.5)<br />
2 2 2<br />
à óìîâîþ ¿õ ïåðïåíäèêóëÿðíîñò³:<br />
AA<br />
1 2<br />
+ BB<br />
1 2<br />
+ CC<br />
1 2<br />
= 0<br />
(4.5.6)<br />
128 129
4.5.2. Ïðÿìà ë³í³ÿ ó ïðîñòîð³<br />
Âîíà ìîæå áóòè çàäàíà ÿê ë³í³ÿ ïåðåòèíó äâîõ ïëîùèí,<br />
òîáòî ÿê ìíîæèíà òî÷îê, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ ïëîùèí.<br />
À öå îçíà÷àº, ùî äëÿ âèçíà÷åííÿ òàêî¿ ïðÿìî¿ òðåáà<br />
ðîçãëÿäàòè ñèñòåìó<br />
ì<br />
ïAx 1<br />
+ By<br />
1<br />
+ Cz<br />
1<br />
+ D1<br />
= 0,<br />
í<br />
ï<br />
ïî Ax<br />
2<br />
+ By<br />
2<br />
+ Cz<br />
2<br />
+ D2<br />
= 0.<br />
Ïðÿìó â ïðîñòîð³ ìîæíà çàäàòè ³ ïî-³íøîìó, à ñàìå òàê:<br />
x-x0 y-y0 z-z0<br />
= = .<br />
m l n<br />
Òóò x 0 ,y 0 ,z 0 — êîîðäèíàòè òî÷êè Ì 0 , ÷åðåç ÿêó ïðîõîäèòü<br />
ïðÿìà, à m, l, n — êîîðäèíàòè âåêòîðà r r , ÿêèé ïàðàëåëüíèé<br />
çàäàí³é ïðÿì³é. Ïðè öüîìó ð³âíÿííÿ íàçèâàºòüñÿ êàíîí³÷íèì<br />
ð³âíÿííÿì ïðÿìî¿.<br />
4.6. ÁÞÄÆÅÒÍÀ ÌÍÎÆÈÍÀ<br />
Ââåäåííÿ ïîíÿòòÿ áþäæåòíî¿ ìíîæèíè ïî÷íåìî ç ïðèêëàäó.<br />
4.6.1. Ïðîáëåìíèé ïðèêëàä<br />
Ìåøêàíåöü ì. Îäåñè äëÿ êîíñåðâàö³¿ ôðóêò³â âèð³øèâ<br />
êóïèòè öóêîð äâîõ âèä³â: â³ò÷èçíÿíèé ³ ³ìïîðòíèé (íàïðèêëàä,<br />
êóáèíñüêèé). Âàðò³ñòü 1 êã â³ò÷èçíÿíîãî öóêðó êîøòóº<br />
3 ãðí., à ³ìïîðòíîãî — 2.7 ãðí. Äëÿ ö³º¿ êóï³âë³ ³ç ñ³ìåéíîãî<br />
áþäæåòó éîìó áóëî âèä³ëåíî 30 ãðí. Ñê³ëüêè ðîçâ’ÿçê³â<br />
ìຠöÿ çàäà÷à?<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïîçíà÷èìî âåêòîð íàáîðó öóêðó ÷åðåç<br />
Õ =(õ 1 , õ 2 ), äå õ 1 ê³ëüê³ñòü ê³ëîãðàì³â â³ò÷èçíÿíîãî öóêðó, à<br />
õ 2 ê³ëüê³ñòü ê³ëîãðàì³â ³ìïîðòíîãî öóêðó. ×åðåç<br />
Ð 0 = (3, 2.7) ïîçíà÷èìî âåêòîð ö³í íà öóêîð. Òîä³ âàðò³ñòü<br />
òîâàðó (öóêðó) ìîæíà âèçíà÷èòè (äèâ. ï. 2.1.7) òàê:<br />
3õ 1 +2,7õ 2 = ñ. Îñê³ëüêè íà êóï³âëþ âèä³ëåíî 30 ãðí., òî<br />
î÷åâèäíî, ùî ðîçâ’ÿçîê ïîñòàâëåíî¿ ïðîáëåìè ³ñíóº, ÿêùî<br />
âåëè÷èíè õ 1 ³ õ 2 çàäîâîëüíÿþòü óìîâó<br />
3õ 1 + 2.7õ 2 ≤ 30. (4.6.1)<br />
Ñïî÷àòêó ðîçãëÿíåìî òàêèé âèïàäîê:<br />
3õ 1 + 2.7õ 2 = 30. (4.6.2)<br />
Ñï³ââ³äíîøåííÿ (4.6.2) ì³æ âåëè÷èíàìè õ 1 ³ õ 2 ÿâëÿº ñîáîþ<br />
â³äíîñíî íèõ ë³í³éíå ð³âíÿííÿ. Âîíî îçíà÷àº, ùî íà êóï³âëþ<br />
öóêðó ìåøêàíåöü ì. Îäåñè âèòðà÷ຠïîâí³ñòþ 30 ãðí.<br />
ßê â³äîìî (äèâ. ï. 3.2.1), ð³âíÿííÿ (4.6.2) ìຠáåçë³÷<br />
ðîçâ’ÿçê³â ³ âñ³ âîíè çíàõîäÿòüñÿ íà ïðÿì³é 3õ 1 + 2,7õ 2 =30<br />
íà ïëîùèí³ 0õ 1 õ 2 (ðèñ. 4.27). Òóò ðîçâ’ÿçêè ðîçóì³þòüñÿ ÿê<br />
ìíîæèíà òî÷îê Ì(õ 1 , õ 2 ), êîîðäèíàòè ÿêèõ çàäîâîëüíÿþòü<br />
ð³âíÿííÿ (4.6.2). ßêùî æ óðàõóâàòè, ùî âåëè÷èíè õ 1 ³ õ 2 íå<br />
ìîæóòü áóòè â³ä’ºìíèìè, òî ðîçâ’ÿçêè ð³âíÿííÿ (4.6.2) çíàõîäÿòüñÿ<br />
íà â³äð³çêó (ðèñ. 4.27), ÿêèé ç’ºäíóº òî÷êè<br />
Ì 1 (10; 0) ³ Ì 2 (0; 100/9). Òàêèõ òî÷îê áåçë³÷. Îòæå, ³ ðîçâ’ÿçê³â<br />
âèõ³äíî¿ çàäà÷³ çà óìîâè, ùî íà êóï³âëþ ïîâí³ñòþ<br />
âèòðà÷åíî 30 ãðí. òåæ áåçë³÷.<br />
Ðèñ. 4.27<br />
ßñíî, ùî ðîçâ’ÿçîê âèõ³äíî¿ çàäà÷³ áåç äîäàòêîâî¿ óìîâè<br />
òèì ïà÷å ìຠíåñê³í÷åííó ìíîæèíó ðîçâ’ÿçê³â. Âîíè âñ³<br />
çíàõîäÿòüñÿ â çàìêíåíîìó òðèêóòíèêó Ì 1 ÎÌ 2 .<br />
Çàäà÷ó ðîçâ’ÿçàíî.<br />
Óçàãàëüíèìî òåïåð íàâåäåíèé ïðèêëàä. Ðîçãëÿíåìî ïðîñò³ð<br />
Ñ äâîõ òîâàð³â ³ ¿õ âåêòîð ö³í:<br />
Õ =(õ 1 , õ 2 ), Ð =(ð 1 , ð 2 ). (4.6.3)<br />
130 131
Ç ðîçãëÿíóòîãî ïðèêëàäó ëåãêî ïîáà÷èòè, ùî íàáîðè òîâàð³â<br />
îäíî¿ òîé ñàìî¿ âàðòîñò³ óòâîðþþòü ÷àñòèíó ïðÿìî¿<br />
Lc<br />
: p1x1+ p2x2= c , ÿêà ðîçòàøîâàíà â 1-ìó êâàäðàíò³ ïëîùèíè<br />
0õ 1 õ 2. (ðèñ. 4.27). Òåïåð íàñòàâ ÷àñ ïåðåéòè äî äóæå âàæëèâîãî<br />
ïîíÿòòÿ â åêîíîì³ö³ — ïîíÿòòÿ áþäæåòíî¿ ìíîæèíè.<br />
4.6.2. Ïîíÿòòÿ ³ îçíà÷åííÿ<br />
Íåõàé Q ô³êñîâàíà äåÿêà ãðîøîâà ñóìà, ÿêó ïðèéíÿòî â<br />
åêîíîì³ö³ íàçèâàòè äîõîäîì. Ïðèïóñêàºòüñÿ òàêîæ, ùî çàäàíèé<br />
ïðîñò³ð Ñ n òîâàð³â ³ âåêòîð ¿õ ö³í òàê³: Õ =(õ 1 , õ 2 ,<br />
…, x n ), Ð =(ð 1 , ð 2 , …, p n ).<br />
Îçíà÷åííÿ 4.6.1. Ìíîæèíà âñ³õ íàáîð³â òîâàð³â, âàðò³ñòþ<br />
íå á³ëüøå Q, íàçèâàºòüñÿ áþäæåòíîþ ìíîæèíîþ.<br />
Áþäæåòíó ìíîæèíó ìîæíà âèçíà÷èòè òàê:<br />
{ 1 1 2 2<br />
( ) }<br />
BPQ , = px+ px+ ... + px<br />
n n<br />
£ Q.<br />
Îçíà÷åííÿ 4.6.2. Ãðàíèöåþ G áþäæåòíî¿ ìíîæèíè Â<br />
íàçèâàºòüñÿ ìíîæèíà íàáîð³â òîâàð³â, ÿê³ êîøòóþòü ð³âíî<br />
Q.<br />
Ãðàíèöþ áþäæåòíî¿ ìíîæèíè ìîæíà âèçíà÷èòè òàêèì<br />
÷èíîì:<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
4.12. Ñêëàñòè ð³âíÿííÿ ïëîùèíè, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç<br />
òî÷êó M 0 (2, 3, 5) ³ ïåðïåíäèêóëÿðíà âåêòîðó n r (4, 3, 2).<br />
4.13. Ñêëàñòè ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî-<br />
÷êó M 0 (5, 3, 4) ³ ïàðàëåëüíà âåêòîðó z r (2, 5, –8).<br />
4.14. Ó ïðîñòîð³ äâîõ òîâàð³â Ñ = Ñ (x 1 , x 2 ) ç âåêòîðîì<br />
ö³í P = (1, 5) òðåáà âèçíà÷èòè ãðàô³÷íî ìíîæèíó íàáîð³â,<br />
ÿê³ êîøòóþòü:<br />
1) ð³âíî 40 ãðí.;<br />
2) íå á³ëüøå 100 ãðí.;<br />
3) íå ìåíøå 20 ãðí.;<br />
4) íå ìåíøå 20 ãðí. ³ íå á³ëüøå 40;<br />
5) íå ìåíøå 50 ãðí. ³ çà óìîâîþ, ùî õ 1 ≤ 5.<br />
4.15. Ðîçâ’ÿçàòè âïðàâó 4.4 çà óìîâè, ùî õ 2 =2õ 1.<br />
4.16. Ó ïðîñòîð³ äâîõ òîâàð³â Ñ = Ñ (x 1 , x 2 ) òðåáà ïðîñë³äêóâàòè<br />
ÿê çì³íþºòüñÿ áþäæåòíà ìíîæèíà, ÿêùî:<br />
1) çì³íþºòüñÿ ò³ëüêè äîõîä;<br />
2) çì³íþºòüñÿ ò³ëüêè ö³íà îäíîãî òîâàðó;<br />
3) çì³íþºòüñÿ äâ³ ö³íè, àëå ¿õ â³äíîøåííÿ çàëèøàºòüñÿ<br />
ñòàëèì.<br />
4.17. Çà ÿêî¿ óìîâè ê³ëüê³ñòü îäíîãî òîâàðó áóäå ìàêñèìàëüíîþ?<br />
{ 1 1 2 2<br />
( ) }<br />
GPQ , = px+ px+ ... + px<br />
n n<br />
= Q.<br />
Çàóâàæèìî, ùî ÿêùî ïðîñò³ð òîâàð³â äâîâèì³ðíèé àáî<br />
òðèâèì³ðíèé, òî áþäæåòíó ìíîæèíó ìîæíà çîáðàçèòè íàî÷íî.<br />
Ó äâîâèì³ðíîìó âèïàäêó áþäæåòíà ìíîæèíà ÿâëÿº ñîáîþ<br />
çàìêíóòèé òðèêóòíèê òèïó Ì 1 ÎÌ 2 , à ó òðèâèì³ðíîìó<br />
âèïàäêó áþäæåòíà ìíîæèíà ÿâëÿº ñîáîþ çàìêíåíó òðèãðàííó<br />
ï³ðàì³äó.<br />
Íà çàê³í÷åííÿ öüîãî ïóíêòó â³äçíà÷èìî, ùî ïîíÿòòÿ, ÿê³<br />
áóëî ââåäåíî â íüîìó, óïðèòóë ï³äâîäÿòü äî äóæå âàæëèâèõ<br />
ïðîáëåì îïòèìàëüíîãî ïëàíóâàííÿ çà ë³í³éíîþ ìîäåëëþ â<br />
åêîíîì³ö³.<br />
132 133
ÒÅÌÀ 5<br />
ÃÐÀÍÈÖß ×ÈÑËÎÂÈÕ ÏÎÑ˲ÄÎÂÍÎÑÒÅÉ<br />
5.1. ×ÈÑËÎ<strong>²</strong> ÏÎÑ˲ÄÎÂÍÎÑÒ² ÒÀ<br />
ÀÐÈÔÌÅÒÈ×Ͳ IJ¯ ÍÀÄ ÍÈÌÈ<br />
5.1.1. Îçíà÷åííÿ ³ ïðèêëàäè<br />
ßêùî êîæíîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó n ³ç ìíîæèíè íàòóðàëüíèõ<br />
÷èñåë 1,2,3,…, n, …ïîñòàâëåíî ó â³äïîâ³äí³ñòü ïåâíå<br />
ä³éñíå ÷èñëî x n , òî ìíîæèíà ä³éñíèõ ÷èñåë<br />
x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , ... (5.1.1)<br />
íàçèâàºòüñÿ ÷èñëîâîþ ïîñë³äîâí³ñòþ, àáî ïðîñòî ïîñë³äîâí³ñòþ.<br />
×èñëà x 1 , x 2 , x 3 , ... x n ,... áóäåìî íàçèâàòè åëåìåíòàìè<br />
(àáî ÷ëåíàìè) ïîñë³äîâíîñò³ (5.1.1), ñèìâîë x n º çàãàëüíèé<br />
åëåìåíò (àáî ÷ëåí) ö³º¿ ïîñë³äîâíîñò³, à ÷èñëî n º éîãî<br />
íîìåð. Ö³ëêîì î÷åâèäíî, ùî ïîñë³äîâí³ñòü º ìíîæèíîþ íåñê³í÷åííîþ<br />
³ âñ³ åëåìåíòè ïîñë³äîâíîñò³ (5.1.1) ð³çí³, ïðèíàéìí³<br />
âîíè â³äð³çíÿþòüñÿ ì³æ ñîáîþ ñâî¿ìè íîìåðàìè.<br />
Ñêîðî÷åíî ïîñë³äîâí³ñòü (5.1.1) çàïèñóþòü òàê: {x n }.<br />
Çàóâàæåííÿ. Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî îçíà÷åííÿ ôóíêö³¿,<br />
ïîñë³äîâí³ñòü º ôóíêö³ÿ íàòóðàëüíîãî àðãóìåíòó:<br />
x n =f(n), n∈N.<br />
Ïîñë³äîâíîñò³ ìîæóòü áóòè çàäàí³ ïî-ð³çíîìó. Ïîêàæåìî<br />
öå íà ïðèêëàäàõ.<br />
1<br />
Ïðèêëàä 5.1.1. x n<br />
= (ïîñë³äîâí³ñòü çàäàíà àíàë³òè÷íèì<br />
n<br />
ñïîñîáîì).<br />
Ïðèêëàä 5.1.2. p n =2Rn ⋅ sin(π/n), R — äîäàòíå ÷èñëî (ïîñë³äîâí³ñòü<br />
p n çàäàíà àíàë³òè÷íèì ñïîñîáîì).<br />
Ïðèêëàä 5.1.3. s n =1/2R 2 n ⋅ sin(2π/n), R — äîäàòíå ÷èñëî<br />
(ïîñë³äîâí³ñòü s n çàäàíà àíàë³òè÷íèì ñïîñîáîì).<br />
Ïðèêëàä 5.1.4. x n+1 =x n +d, d — ñòàëå ÷èñëî (ðåêóðåíòíèé<br />
Ïðèêëàä 5.1.5. x n+1 = x n q, q — ñòàëå ÷èñëî (ðåêóðåíòíèé<br />
ñïîñ³á çàäàííÿ ïîñë³äîâíîñò³).<br />
Ïðèêëàä 5.1.6 x 1 =0,3; x 2 =0,33; x 3 =0,333; ... º îïèñóþ÷èé<br />
ñïîñ³á óòâîðåííÿ ïîñë³äîâíîñò³.<br />
Ïðèêëàä 5.1.7. Ïîñë³äîâí³ñòü Ô³áîíà÷÷³ 1 :<br />
x 1 = 1, x 2 = 1, x n = x n-1 + x n-2 (n∈N, n ≥ 3).<br />
Öÿ ïîñë³äîâí³ñòü çàäàíà òåæ ðåêóðåíòíèì ñïîñîáîì, àëå<br />
á³ëüø ñêëàäí³øå, í³æ ó ïðèêëàä³ 5.1.4.<br />
5.1.2. Àðèôìåòè÷í³ îïåðàö³¿ íàä ïîñë³äîâíîñòÿìè<br />
Íàä ïîñë³äîâíîñòÿìè ìîæíà ââåñòè àðèôìåòè÷í³ îïåðàö³¿.<br />
Íåõàé çàäàí³ äâ³ ïîñë³äîâíîñò³ {x n } ³ {y n }. Òîä³ ñóìîþ, ð³çíèöåþ,<br />
äîáóòêîì ³ ÷àñòêîþ íàçèâàþòü â³äïîâ³äíî ïîñë³äîâíîñò³<br />
{s n }, {q n }, {m n } ³ {r n }, ÷ëåíè ÿêèõ îá÷èñëþþòü çà ïðàâèëàìè:<br />
xn<br />
sn = xn + yn, qn = xn − yn, mn = xn ⋅ yn, rn<br />
= , n∈N,<br />
y<br />
ïðè÷îìó ÷àñòêà âèçíà÷åíà ò³ëüêè äëÿ òèõ ïîñë³äîâíîñòåé<br />
{y n }, â ÿêèõ æîäåí ÷ëåí íå äîð³âíþº íóëþ.<br />
5.1.3. Îáìåæåí³ òà íåîáìåæåí³ ïîñë³äîâíîñò³<br />
Îçíà÷åííÿ 5.1.1. Ïîñë³äîâí³ñòü {x n } íàçèâàþòü îáìåæåíîþ<br />
çâåðõó (çíèçó), ÿêùî ³ñíóº òàêå ÷èñëî Ì (m), ùî äëÿ<br />
âñ³õ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë n âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü<br />
x n ≤ M (x n ≥ m).<br />
Ïðèêëàä 5.1.8. Ïîñë³äîâí³ñòü {n} îáìåæåíà çíèçó ÷èñëîì<br />
1.<br />
Ïðèêëàä 5.1.9. Ïîñë³äîâí³ñòü {-n} îáìåæåíà çâåðõó ÷èñëîì<br />
−1.<br />
Îçíà÷åííÿ 5.1.2. Ïîñë³äîâí³ñòü {x n } íàçèâàþòü îáìåæåíîþ,<br />
ÿêùî ³ñíóþòü òàê³ ÷èñëà Ì ³ m, ùî äëÿ âñ³õ íàòóðàëüíèõ<br />
÷èñåë n âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü<br />
m ≤ x n ≤ M.<br />
n<br />
ñïîñ³á çàäàííÿ ïîñë³äîâíîñò³). 1<br />
Ëåîíàðäî ϳçàíñüêèé (Ô³áîíà÷÷³) (áëèçüêî 1170 – ï³ñëÿ 1228) —<br />
³òàë³éñüêèé ìàòåìàòèê<br />
134 135
⎧1<br />
⎫<br />
Ïðèêëàä 5.1.10. Ïîñë³äîâí³ñòü ⎨ ⎬ oáìåæåíà çâåðõó 1, à<br />
⎩ n ⎭<br />
çíèçó 0 (m=0, M=1).<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Çàì³ñòü îçíà÷åííÿ 5.1.2 ìîæíà äàòè<br />
òàêå îçíà÷åííÿ.<br />
Îçíà÷åííÿ 5.1.3. Ïîñë³äîâí³ñòü {x n } íàçèâàºòüñÿ îáìåæåíîþ,<br />
ÿêùî ³ñíóº òàêå äîäàòíå ÷èñëî À, ùî äëÿ áóäü-ÿêîãî<br />
n∈N âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü xn<br />
≤ A.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. ßêùî ìè ââåäåìî ÷èñëî À=max(|m|, |M|),<br />
òî íåâàæêî ïîêàçàòè, ùî îçíà÷åííÿ 5.1.2 òà 5.1.3 ð³âíîñèëüí³.<br />
Ðåêîìåíäóºìî ÷èòà÷åâ³ öå çðîáèòè.<br />
Çàóâàæåííÿ 3. Îçíà÷åííÿ 5.1.1 − 5.1.3 ìîæíà ñôîðìóëþâàòè<br />
çà äîïîìîãîþ ëîã³÷íèõ ñèìâîë³â (äèâ. ï. 1.1.2).<br />
Íàïðèêëàä, îçíà÷åííÿ 5.1.3 ìîæå áóòè ñôîðìóëüîâàíî òàê:<br />
∃ A> 0∀n∈N: x ≤ A.<br />
Îçíà÷åííÿ 5.1.4 Ïîñë³äîâí³ñòü {x n } íàçèâàºòüñÿ íåîáìåæåíîþ,<br />
ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêîãî äîäàòíîãî ÷èñëà À ³ñíóº åëåìåíò<br />
x n ö³º¿ ïîñë³äîâíîñò³, ÿêèé çàäîâîëüíÿº íåð³âí³ñòü<br />
xn<br />
> A.<br />
5.1.4. Íåñê³í÷åííî âåëèê³ òà ìàë³ ïîñë³äîâíîñò³<br />
Îçíà÷åííÿ 5.1.5. Ïîñë³äîâí³ñòü {õ n } íàçèâàºòüñÿ íåñê³í-<br />
÷åííî âåëèêîþ, ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêîãî äîñòàòíüî âåëèêîãî<br />
äîäàòíîãî ÷èñëà À ³ñíóº íàòóðàëüíå ÷èñëî N òàêå, ùî äëÿ<br />
âñ³õ n>N âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü<br />
xn<br />
> A.<br />
Ñèìâîë³÷íèé çàïèñ íåñê³í÷åííî âåëèêî¿ ïîñë³äîâíîñò³<br />
òàêèé:<br />
∀ A> 0 ∃N ∀ n> N : x > A.<br />
Ç à ó â à æ å í í ÿ. Î÷åâèäíî, ùî áóäü-ÿêà íåñê³í÷åííî âåëèêà<br />
ïîñë³äîâí³ñòü º íåîáìåæåíîþ. Àëå íåîáìåæåíà ïîñë³äîâí³ñòü<br />
ìîæå ³ íå áóòè íåñê³í÷åííî âåëèêîþ. Íàïðèêëàä,<br />
n<br />
n<br />
⎧ 1 1 ⎫<br />
ïîñë³äîâí³ñòü ⎨1;1;2; ;3;...; ; n;...<br />
⎬ íåîáìåæåíà, àëå íå º íåñê³í÷åííî<br />
âåëèêîþ.<br />
⎩ 3 n ⎭<br />
Òîìó íå ñë³ä ïëóòàòè íåñê³í÷åííî âåëèêó ïîñë³äîâí³ñòü ç<br />
íåîáìåæåíîþ.<br />
Îçíà÷åííÿ 5.1.6. Ïîñë³äîâí³ñòü {α n } íàçèâàºòüñÿ íåñê³í-<br />
÷åííî ìàëîþ, ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêîãî äîñòàòíüî ìàëîãî äîäàòíîãî<br />
÷èñëà ε ³ñíóº íàòóðàëüíå ÷èñëî N òàêå, ùî äëÿ âñ³õ n>N<br />
âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü |α n | 0 ∃N( ε) ∀ n> N : α < ε.<br />
Ïðèêëàä 5.1.11. Êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì 5.1.6 äîâåñòè,<br />
⎧1<br />
⎫<br />
ùî ïîñë³äîâí³ñòü ⎨ ⎬ º íåñê³í÷åííî ìàëîþ.<br />
⎩ n ⎭<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. ³çüìåìî áóäü-ÿêå äîäàòíå ÷èñëî ε.<br />
Äàë³, êîðèñòóþ÷èñü çíàêîì ⇔ áóäåìî ìàòè ëàíöþæîê íåð³âíîñòåé<br />
1 1 1 α<br />
n = N áóäå âèêîíóâàòèñÿ<br />
íåð³âí³ñòü α<br />
⎣ ⎦<br />
n<br />
Ïðèêëàä 5.1.12. Êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì 5.1.6, äîâåñòè,<br />
ùî ïîñë³äîâí³ñòü {q n } çà óìîâè, ùî q < 1, º íåñê³í÷åííî<br />
ìàëîþ.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çíîâó æ òàêè â³çüìåìî áóäü-ÿêå äîäàòíå<br />
÷èñëî ε. Êîðèñòóþ÷èñü çíàêîì ⇔, îòðèìàºìî òàê³ íåð³âíîñò³<br />
n<br />
n<br />
lg ε<br />
q N áóäå âèêîíóâàòèñÿ íåð³âí³ñòü n > , ùî ïðèâîäèòü<br />
çàâäÿêè âëàñòèâîñòÿì çíàêó ⇔ äî âèõ³äíî¿ íåð³âíî-<br />
lg q<br />
n<br />
ñò³ q N âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü<br />
n<br />
q 0 ³ ïîêëàäåìî A = . Çã³äíî ε<br />
1<br />
ç îçíà÷åííÿì 5.1.5, äëÿ öüîãî À ³ñíóº íîìåð N òàêèé, ùî<br />
ïðè n>N âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü x > A . Òîä³<br />
1 1 1<br />
α<br />
n<br />
= = < =ε,<br />
x x A<br />
n<br />
n<br />
òîáòî α<br />
n<br />
N.<br />
À öå îçíà÷àº, ùî<br />
⎧⎪<br />
1 ⎫<br />
ïîñë³äîâí³ñòü ⎨ ⎬<br />
⎪⎩ x<br />
— íåñê³í÷åííî ìàëà.<br />
n ⎭<br />
Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ äðóãà ÷àñòèíà òåîðåìè.<br />
Ïðèêëàä 5.1.13. Äîâåñòè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü {q n } º íåñê³í-<br />
÷åííî âåëèêîþ, ÿêùî |q|>1.<br />
1<br />
Äîâåäåííÿ. Ïîçíà÷èìî q<br />
1 = , òîä³ ÿêùî |q| >1,<br />
q<br />
1<br />
òî q1<br />
1.<br />
q = < Çã³äíî ç ïðèêëàäîì 5.1.12 ïîñë³äîâí³ñòü q }<br />
⎧⎪<br />
1 ⎫<br />
º íåñê³í÷åííî ìàëîþ, ³ ÿê íàñë³äîê ïîñë³äîâí³ñòü ⎨ ⎬<br />
⎪⎩ q<br />
n òåæ<br />
⎭<br />
áóäå íåñê³í÷åííî ìàëîþ. Çà äîâåäåíîþ òåîðåìîþ 5.1.1 ïîñë³äîâí³ñòü<br />
{q n } º íåñê³í÷åííî âåëèêîþ.<br />
n<br />
n<br />
{ 1<br />
138 139
5.1.5. Îñíîâí³ òåîðåìè ïðî íåñê³í÷åííî ìàë³ ïîñë³äîâíîñò³<br />
Òåîðåìà 5.1.2. ßêùî ïîñë³äîâí³ñòü º íåñê³í÷åííî ìàëîþ,<br />
òî âîíà º îáìåæåíîþ.<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Îñê³ëüêè ïîñë³äîâí³ñòü {α n } — íåñê³í÷åííî<br />
ìàëà, òî ∀ε > 0 ∃N∀ n> N : α < ε.<br />
n<br />
Ââåäåìî ÷èñëî A = max( α1 , α2 , ..., αn−<br />
1<br />
, ε)<br />
. Òîä³ î÷åâèäíî,<br />
ùî ìຠì³ñöå òâåðäæåííÿ :<br />
∀n∈N<br />
: α ≤ A.<br />
Çà îçíà÷åííÿì 5.1.3 ïîñë³äîâí³ñòü {α n } º îáìåæåíîþ. Òåîðåìó<br />
äîâåäåíî.<br />
Òåîðåìà 5.1.3. Äîáóòîê íåñê³í÷åííî ìàëî¿ ïîñë³äîâíîñò³<br />
íà îáìåæåíó ïîñë³äîâí³ñòü º íåñê³í÷åííî ìàëîþ ïîñë³äîâí³ñòþ.<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé çàäàí³ äâ³ ïîñë³äîâíîñò³ {α n } ³ {β n } .<br />
Äëÿ êîíêðåòíîñò³ áóäåìî ââàæàòè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü {α n } º<br />
îáìåæåíîþ, à ïîñë³äîâí³ñòü {β n } — íåñê³í÷åííî ìàëà. Òîä³ çà<br />
îçíà÷åííÿì 5.1.3 ∃ A> 0 ∀n∈N : αn<br />
≤ A.<br />
Äàë³, îñê³ëüêè ïîñë³äîâí³ñòü<br />
{β n } º íåñê³í÷åííî ìàëîþ, òî ∀ > 0 ∃ Nn> N: β<br />
ε<br />
ε<br />
n<br />
< .<br />
A<br />
A<br />
Òåïåð ðîçãëÿíåìî ïîñë³äîâí³ñòü {α n β n }. Äëÿ íå¿ ïðè n>N ìàº<br />
ì³ñöå îö³íêà<br />
ε<br />
αβ<br />
n n<br />
=αn β<br />
n<br />
< A =ε . A<br />
À öå îçíà÷àº, ùî ïîñë³äîâí³ñòü {α n β n } — íåñê³í÷åííî ìàëà.<br />
Òåîðåìà 5.1.4. Äîáóòîê äâîõ íåñê³í÷åííî ìàëèõ ïîñë³äîâíîñòåé<br />
º íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü.<br />
Äîâåäåííÿ òåîðåìè äóæå ïðîñòå, âîíî âèïëèâຠç òåîðåì<br />
5.1.2 ³ 5.1.3. Ìè ðåêîìåíäóºìî ÷èòà÷åâ³ íàâåñòè éîãî<br />
ñàìîñò³éíî.<br />
Íàñë³äîê. Äîáóòîê áóäü-ÿêîãî ñê³í÷åííîãî ÷èñëà íåñê³í÷åííî<br />
ìàëèõ ïîñë³äîâíîñòåé º íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü.<br />
n<br />
Òåîðåìà 5.1.5. Ñóìà ³ ð³çíèöÿ äâîõ íåñê³í÷åííî ìàëèõ<br />
ïîñë³äîâíîñòåé º íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü.<br />
Äîâåäåííÿ. Íåõàé {α n } ³ {β n } — íåñê³í÷åííî ìàë³ ïîñë³äîâíîñò³.<br />
Òðåáà äîâåñòè, ùî ïîñë³äîâíîñò³ {α n ±β n } — íåñê³í÷åííî<br />
ìàë³. Çà îçíà÷åííÿì 5.1.6, äëÿ áóäü-ÿêîãî äîâ³ëüíîãî<br />
äîäàòíîãî ÷èñëà ε ³ñíóþòü â³äïîâ³äíî òàê³ íàòóðàëüí³<br />
ε<br />
ε<br />
÷èñëà N 1 òà N 2, ùî ïðè n > N<br />
1<br />
: α<br />
n<br />
< , à ïðè n > N2 : β<br />
n<br />
< .<br />
2<br />
2<br />
³çüìåìî N = max(N 1 , N 2 ). Òîä³ ïðè n>N áóäóòü îäíî÷àñíî<br />
ε ε<br />
âèêîíóâàòèñÿ äâ³ íåð³âíîñò³: α<br />
n<br />
< , β<br />
n<br />
< . Òàêèì ÷èíîì,<br />
2 2<br />
ïðè n>N<br />
ε ε<br />
α<br />
n<br />
±βn ≤ α<br />
n<br />
+ β<br />
n<br />
< + =ε.<br />
2 2<br />
Öå îçíà÷àº, ùî ïîñë³äîâíîñò³ {α n ±β n } — íåñê³í÷åííî<br />
ìàë³. Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Íàñë³äîê. Àëãåáðà¿÷íà ñóìà áóäü-ÿêîãî ñê³í÷åííîãî<br />
÷èñëà íåñê³í÷åííî ìàëèõ ïîñë³äîâíîñòåé º íåñê³í÷åííî ìàëà<br />
ïîñë³äîâí³ñòü.<br />
Òåîðåìà 5.1.6. Íåõàé {α n } — íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü<br />
³ âñ³ åëåìåíòè ö³º¿ ïîñë³äîâíîñò³ º îäí³ºþ é òîþ<br />
ñàìîþ ñòàëîþ ñ, òîä³ öÿ ñòàëà ñ äîð³âíþº íóëþ.<br />
Äîâåäåííÿ áóäåìî ïðîâîäèòè ìåòîäîì â³ä ñóïðîòèâíîãî.<br />
Ïðèïóñòèìî, ùî ñ ≠ 0. Òîä³ ÷èñëî ε= c äîäàòíå, ³ çà<br />
2<br />
îçíà÷åííÿì íåñê³í÷åííî ìàëî¿ ïîñë³äîâíîñò³ ³ñíóº íîìåð N,<br />
c<br />
òàêèé, ùî ∀ n > N : α<br />
n<br />
= c < , çâ³äê³ëÿ âèïëèâຠíåð³âí³ñòü<br />
2<br />
1<br />
1 < . Îòðèìàëè ñóïåðå÷í³ñòü, ÿêà ïîêàçóº, ùî ïðèïóùåííÿ<br />
2<br />
ñ ≠ 0 íåìîæëèâå. Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Çàóâàæåííÿ. ßêùî ìè ðîçãëÿíåìî ÷àñòêó äâîõ íåñê³í÷åííî<br />
ìàëèõ ïîñë³äîâíîñòåé, òî ÷àñòêà ìîæå áóòè ÿêîþ<br />
çàâãîäíî ïîñë³äîâí³ñòþ.<br />
140 141
5.2. ÃÐÀÍÈÖß ×ÈÑËÎÂί ÏÎÑ˲ÄÎÂÍÎÑÒ²<br />
n lim →∞<br />
n<br />
n<br />
5.2.1. Ïîíÿòòÿ çá³æíî¿ ïîñë³äîâíîñò³<br />
Ïî÷íåìî ç îçíà÷åííÿ ãðàíèö³ ÷èñëîâî¿ ïîñë³äîâíîñò³.<br />
Îçíà÷åííÿ 5.2.1. Ñòàëå ÷èñëî à íàçèâàºòüñÿ ãðàíèöåþ<br />
÷èñëîâî¿ ïîñë³äîâíîñò³ {x n }, ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêîãî ñê³ëüêè<br />
çàâãîäíî ìàëîãî äîäàòíîãî ÷èñëà ε ³ñíóº òàêèé íîìåð N, ùî<br />
âñ³ ÷ëåíè ïîñë³äîâíîñò³ ç íîìåðàìè, á³ëüøèìè â³ä N, çàäîâîëüíÿþòü<br />
íåð³âí³ñòü xn<br />
− a 0 ∃N∀ n> N : x − a 0 ∃N( ε) ∀ n> N: x − a < ε.<br />
n<br />
n<br />
Çâ³äêè âèïëèâàº, ùî ∀ε > 0 ∃N( ε) ∀ n> N : α<br />
n<br />
< ε.<br />
Îòæå,<br />
{α n } — íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü. Òàêèì ÷èíîì, íåîáõ³äí³ñòü<br />
äîâåäåíà.<br />
Äîñòàòí³ñòü. Äàíî, ùî n-é åëåìåíò ìîæíà çîáðàçèòè<br />
ó âèãëÿä³ x n =à+α n , äå {x n } — íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü.<br />
Òðåáà äîâåñòè, ùî {x n } ìຠãðàíèöþ à.<br />
Äîâåäåííÿ. Òå, ùî α n =x n −a º íåñê³í÷åííî ìàëîþ ïîñë³äîâí³ñòþ<br />
îçíà÷àº, ùî ∀ε > 0 ∃N( ε) ∀ n > N : α<br />
n<br />
< ε.<br />
À öå, â ñâîþ<br />
÷åðãó, îçíà÷ຠ∀ε > 0 ∃N( ε) ∀ n > N : xn<br />
− a < ε,<br />
òîáòî çà îçíà÷åííÿì<br />
5.2.1 à º ãðàíèöåþ ïîñë³äîâíîñò³ {x n }. Äîñòàòí³ñòü äîâåäåíî.<br />
Íàñë³äêè òåîðåìè:<br />
1. Ãðàíèöÿ íåñê³í÷åííî ìàëî¿ ïîñë³äîâíîñò³ äîð³âíþº<br />
íóëþ. Íåõàé {α n } — íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü. Òîä³<br />
α n =0+α n ³ lim α<br />
n<br />
= 0.<br />
n→∞<br />
2. Ãðàíèöÿ ñòàëî¿ º òà ñàìà ñòàëà:<br />
ñ=ñ+0 ³ lim c = c.<br />
n→∞<br />
Çàóâàæåííÿ. Íåñê³í÷åííî âåëèêà ïîñë³äîâí³ñòü {x n }<br />
íå ìຠãðàíèö³, àëå óìîâíî çàïèøåìî: lim x =∞.<br />
n<br />
n→∞<br />
5.2.2. Îñíîâí³ òåîðåìè ïðî ãðàíèö³<br />
Òåîðåìà 5.2.2. ßêùî ïîñë³äîâí³ñòü ìຠãðàíèöþ, òî öÿ<br />
ãðàíèöÿ ºäèíà.<br />
Äîâåäåííÿ. Äîâîäèòè áóäåìî ìåòîäîì â³ä ñóïðîòèâíîãî.<br />
Ïðèïóñòèìî, ùî lim x = a ³ lim x = b , ïðè÷îìó a ≠ b.<br />
n<br />
n→∞<br />
n<br />
n→∞<br />
Òâåðäæåííÿ lim xn<br />
= a çà òåîðåìîþ 5.2.1 îçíà÷àº, ùî<br />
n→∞<br />
x n = à + α n , äå {α n } — íåñê³í÷åííî ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü. Òâåðäæåííÿ<br />
lim x n<br />
= b òàêîæ îçíà÷àº, ùî x n =b+β n , äå {β n } — íåñê³í÷åííî<br />
ìàëà ïîñë³äîâí³ñòü. Îòæå, ìàºìî:<br />
n→∞<br />
à+α n =b+β n ⇒ 0 ≠ a−b = β n −α n .<br />
142 143
Îòðèìàëè, ùî ð³çíèöÿ äâîõ íåñê³í÷åííî ìàëèõ ïîñë³äîâíîñòåé<br />
º ñòàëà, ÿêà íå äîð³âíþº íóëþ, à öå çà òåîðåìîþ 5.1.6<br />
íåìîæëèâî. Òîìó òâåðäæåííÿ áóäå â³ðíèì, êîëè a = b. Òåîðåìó<br />
äîâåäåíî.<br />
Òåîðåìà 5.2.3. (àðèôìåòè÷í³ ä³¿ íàä ãðàíèöÿìè). Íåõàé<br />
ïîñë³äîâíîñò³ {x n } ³ {y n } ìàþòü â³äïîâ³äíî ãðàíèö³ a ³ b.<br />
Òîä³:<br />
1)–2) ïîñë³äîâíîñò³ {x n ± y n } ìàþòü â³äïîâ³äíî ãðàíèö³<br />
a±b;<br />
3) ïîñë³äîâí³ñòü {x n y n } ìຠãðàíèöþ a·b;<br />
⎧⎪<br />
x ⎫<br />
a<br />
n<br />
4) ïîñë³äîâí³ñòü ⎨ ⎬ ìຠãðàíèöþ , b≠0.<br />
⎪⎩<br />
y<br />
b<br />
n ⎭<br />
Äîâåäåííÿ òâåðäæåíü 1)–3) çà äîïîìîãîþ òåîðåìè<br />
5.2.2 äóæå ïðîñò³. Äîâåäåìî òâåðäæåííÿ 3). Îñê³ëüêè ïîñë³äîâíîñò³<br />
{x n } i {y n } ìàþòü â³äïîâ³äíî ãðàíèö³ à ³ b, òî çà<br />
òåîðåìîþ 5.2.1 ¿õí³ åëåìåíòè ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:<br />
x n =à+α n , ó n =b+β n ,<br />
äå α n ³ β n — íåñê³í÷åííî ìàë³ ïîñë³äîâíîñò³.<br />
Òîä³ äîáóòîê ÷èñåë x n i y n ìîæíà çîáðàçèòè òàê:<br />
x n y n =ab+γ n ,<br />
äå γ n =aβ n +bα n + α n β n . Çã³äíî ç íàñë³äêàìè òåîðåì 5.1.2 –<br />
5.1.5 γ n º åëåìåíò íåñê³í÷åííî ìàëî¿ ïîñë³äîâíîñò³. Äàë³,<br />
çíîâó âèêîðèñòàºìî òåîðåìó 5.2.1.  ðåçóëüòàò³ ìàºìî, ùî<br />
ñòàëà àb º ãðàíèöåþ ïîñë³äîâíîñò³ {x n y n }. Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Ðåêîìåíäóºìî ÷èòà÷åâ³ äîâåñòè òâåðäæåííÿ 1)–2) ñàìîñò³éíî.<br />
Ùîäî òâåðäæåííÿ 4), òî éîãî ìè äîâåäåìî òåæ. Âðàõîâóþ÷è<br />
çîáðàæåííÿ x n i y n , áóäåìî ìàòè:<br />
xn a b( a+αn) − a( b+βn) 1 a 1<br />
− = = ( αn − β<br />
n) = γn,<br />
y b by y b y<br />
n n n n<br />
a<br />
äå γ<br />
n<br />
=αn − βn.<br />
b<br />
Çàâäÿêè âëàñòèâîñòÿì íåñê³í÷åííî ìàëèõ ïîñë³äîâíîñòåé<br />
ïîñë³äîâí³ñòü {γ n } — íåñê³í÷åííî ìàëà. Ïîêàæåìî òåïåð, ùî<br />
⎧⎪<br />
1 ⎫<br />
⎨ ⎬<br />
⎪⎩<br />
y n ⎭<br />
— îáìåæåíà ïîñë³äîâí³ñòü. Îñê³ëüêè y n →b, êîëè n→∞ ,<br />
òî äëÿ ε= b çíàéäåòüñÿ íîìåð N òàêèé, ùî äëÿ âñ³õ n>N<br />
2<br />
b<br />
âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü yn<br />
− b < . Òîìó çã³äíî ç òåîðåìîþ<br />
2<br />
1.2.3 ìàòèìåìî<br />
b b<br />
yn = b−( b−yn) ≥ b − yn<br />
− b > b − = ,<br />
2 2<br />
b<br />
1 2<br />
òîáòî y<br />
n<br />
> , ³, òàêèì ÷èíîì, <<br />
2<br />
yn<br />
b<br />
. Çà òåîðåìîþ 5.1.3<br />
⎧⎪<br />
1 ⎫<br />
ïîñë³äîâí³ñòü ⎨ γn<br />
⎬<br />
y<br />
º íåñê³í÷åííî ìàëîþ, òîìó çà òåîðåìîþ<br />
5.2.1 ïîñë³äîâí³ñòü ⎨ − ⎬<br />
⎪⎩<br />
n ⎭<br />
⎧⎪<br />
xn<br />
a⎫<br />
⎪yn<br />
b<br />
ìຠãðàíèöþ ÷èñëî a .<br />
⎩ ⎭<br />
b<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
5.2.3. Ãðàíè÷íèé ïåðåõ³ä â íåð³âíîñòÿõ<br />
Òåîðåìà 5.2.4. ßêùî åëåìåíòè çá³æíî¿ ïîñë³äîâíîñò³<br />
{x n }, ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî íîìåðà, çàäîâîëüíÿþòü íåð³âí³ñòü<br />
x n ≥ b(x n ≤ b), òî ³ ãðàíèöÿ à ö³º¿ ïîñë³äîâíîñò³ çàäîâîëüíÿº<br />
íåð³âí³ñòü a ≥ b(a ≤ b).<br />
Äîâåäåííÿ. Íåõàé âñ³ åëåìåíòè {x n }, ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî<br />
íîìåðà, çàäîâîëüíÿþòü íåð³âí³ñòü x n ≥ b. Òðåáà äîâåñòè<br />
íåð³âí³ñòü a ≥ b. Ïðèïóñòèìî ñóïðîòèâíå: aN âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü<br />
xn<br />
− a < b−a , ÿêà ð³âíîñèëüíà òàêèì íåð³âíîñòÿì:<br />
–(b−a)
Íàñë³äîê 1. ßêùî åëåìåíòè çá³æíèõ ïîñë³äîâíîñòåé<br />
{x n } i {y n }, ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî íîìåðà, çàäîâîëüíÿþòü íåð³âí³ñòü<br />
x n ≥ y n , òî ¿õí³ ãðàíèö³ çàäîâîëüíÿþòü íåð³âí³ñòü<br />
lim x<br />
n→∞<br />
n<br />
≥ lim y<br />
n→∞<br />
ijéñíî, ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî íîìåðà, åëåìåíòè ïîñë³äîâíîñò³<br />
{x n − y n } íåâ³ä’ºìí³, à òîìó ³ íåâ³ä’ºìíà ¿¿ ãðàíèöÿ:<br />
lim( y −x ) ≥limy −lim x ≥0.<br />
n n n n<br />
n→∞ n→∞ n→∞<br />
Çâ³äêè âèïëèâàº, ùî lim xn<br />
≥ lim yn.<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
Íàñë³äîê 2. ßêùî âñ³ åëåìåíòè çá³æíî¿ ïîñë³äîâíîñò³<br />
{x n } çíàõîäÿòüñÿ íà ñåãìåíò³ [a, b], òî ¿¿ ãðàíèöÿ ñ òåæ çíàõîäèòüñÿ<br />
íà öüîìó ñåãìåíò³.<br />
ijéñíî, îñê³ëüêè a ≤ x n ≤ b, òî a ≤ c ≤ b.<br />
Òåîðåìà 5.2.5 (ïðî òðè ïîñë³äîâíîñò³). Íåõàé çàäàío<br />
òðè ïîñë³äîâíîñò³ {x n }, {y n } ³ {z n }, ïðè÷îìó x n ≤ y n ≤ z n äëÿ âñ³õ<br />
n, ³ íåõàé ïîñë³äîâíîñò³ {x n } ³ {z n } ìàþòü îäíó é òó ñàìó<br />
ãðàíèöþ à. Òîä³ ïîñë³äîâí³ñòü òàêîæ ìຠãðàíèöþ à.<br />
Ñôîðìóëüîâàíó òåîðåìó âèêëàäà÷³ ³ ñòóäåíòè æàðò³âëèâî<br />
íàçèâàþòü òåîðåìîþ ïðî “ðåöèäèâ³ñòà òà äâîõ ì³ë³ö³îíåð³â”.<br />
Æàðò³âëèâå äîâåäåííÿ òåîðåìè ïîëÿãຠâ òîìó, ùî<br />
ì³ë³ö³îíåðè (ïîñë³äîâíîñò³ {x n } ³ {z n }) íàïðàâëÿþòüñÿ ó â³ää³ëåííÿ<br />
ì³ë³ö³¿ (÷èñëî à) ³ ì³öíî òðèìàþòü ñï³éìàíîãî ðåöèäèâ³ñòà<br />
(ïîñë³äîâí³ñòü {y n }). Òîä³ ðåöèäèâ³ñòó í³êóäè ä³âàòèñÿ<br />
³ â³í òàêîæ íàïðàâëÿºòüñÿ ó â³ää³ëåííÿ ì³ë³ö³¿.<br />
Ä î â å ä å í í ÿ (ñòðîãå). ³çüìåìî áóäü-ÿêå ε > 0. Îñê³ëüêè<br />
çà óìîâîþ òåîðåìè ïîñë³äîâíîñò³ {x n } ³ {z n } ìàþòü îäíó é òó<br />
ñàìó ãðàíèöþ à, òî çà îçíà÷åííÿì 5.2.1 ãðàíèö³ ïîñë³äîâíîñò³<br />
5.1.1 ³ñíóþòü â³äïîâ³äíî òàê³ íàòóðàëüí³ ÷èñëà N 1 òà<br />
N 2, ùî áóäóòü âèêîíóâàòèñÿ íåð³âíîñò³<br />
⏐x n −a⏐< ε ïðè n>N 1 àáî a−ε < x n < a+ε ïðè n>N 1 , (5.2.1)<br />
⏐z n −a⏐ N 2 àáî a−ε < z n < a+ε ïðè n>N 2 . (5.2.2)<br />
³çüìåìî N=max(N 1 ,N 2 ). Òîä³ ïðè n>N íåð³âíîñò³ (5.2.1)–<br />
(5.2.2) áóäóòü âèêîíóâàòèñÿ îäíî÷àñíî. Êîðèñòóþ÷èñü òåïåð<br />
n<br />
íåð³âíîñòÿìè â (5.2.1) − (5.2.2), à òàêîæ íåð³âíîñòÿìè, ÿê³<br />
çàäàíî â óìîâ³ òåîðåìè, îòðèìàºìî ëàíöþæîê íåð³âíîñòåé<br />
a−ε < x n ≤ y n ≤ z n < a+ε ïðè n>N.<br />
Çâ³äêè áóäåìî ìàòè<br />
a−ε < y n < a+ε àáî ⏐y n −a⏐ < ε ïðè n>N.<br />
Öå ³ îçíà÷àº, ùî ãðàíèöÿ ïîñë³äîâíîñò³ {y n }) äîð³âíþº à.<br />
5.2.4. Ãðàíèö³ ìîíîòîííèõ ïîñë³äîâíîñòåé<br />
Îçíà÷åííÿ 5.2.2. Ïîñë³äîâí³ñòü {x n } íàçèâàºòüñÿ çðîñòàþ-<br />
÷îþ, ÿêùî x n x n+1 äëÿ âñ³õ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë n; íåçðîñòàþ÷îþ,<br />
ÿêùî x n ≥ x n+1 äëÿ âñ³õ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë n.<br />
Óñ³ òàê³ ïîñë³äîâíîñò³ îá’ºäíóþòüñÿ çàãàëüíîþ íàçâîþ:<br />
ìîíîòîíí³ ïîñë³äîâíîñò³.<br />
Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè ìîíîòîííèõ ïîñë³äîâíîñòåé.<br />
Ïðèêëàä 5.2.1. Ïîñë³äîâí³ñòü 1, 1/2, 1/3, …, 1/n,… —<br />
ñïàäíà ³ îáìåæåíà.<br />
Ïðèêëàä 5.2.2. Ïîñë³äîâí³ñòü 1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, …,<br />
1/n, 1/n, … — íåçðîñòàþ÷à ³ îáìåæåíà.<br />
Ïðèêëàä 5.2.3. Ïîñë³äîâí³ñòü 1, 2, 3, …, n,… — çðîñòàþ-<br />
÷à ³ íåîáìåæåíà.<br />
Ïðèêëàä 5.2.4. Ïîñë³äîâí³ñòü 1, 1, 2, 2, 3, 3, …, n, n,… —<br />
íåçðîñòàþ÷à ³ íåîáìåæåíà.<br />
Ïðèêëàä 5.2.5. Ïîñë³äîâí³ñòü 1/2, 2/3, 3/4, … n/n+1, … —<br />
çðîñòàþ÷à ³ îáìåæåíà.<br />
³äçíà÷èìî, ùî ìîíîòîíí³ ïîñë³äîâíîñò³ îáìåæåí³, ïðèíàéìí³<br />
ç îäíîãî áîêó.<br />
Íàâåäåìî áåç äîâåäåííÿ òåîðåìó ïðî çá³æí³ñòü ìîíîòîííèõ<br />
³ îáìåæåíèõ ïîñë³äîâíîñòåé.<br />
Òåîðåìà 5.2.6. Ìîíîòîííà ³ îáìåæåíà ïîñë³äîâí³ñòü<br />
çá³ãàºòüñÿ.<br />
Ïðèêëàä 5.2.6 (çàäà÷à ïðî íàêîïè÷åííÿ ãðîøîâèõ âêëàä³â).<br />
Ñóìó â Q 0 ãðèâåíü ïîêëàäåíî â áàíê. Òðåáà çíàéòè<br />
çàêîí çì³íè ñóìè â áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó t çà óìîâè, ùî<br />
ïðîöåíòè âåëè÷èíè r íàðàõîâóþòüñÿ íåïåðåðâíî.<br />
146 147
 òàê³é çàãàëüí³é ïîñòàíîâö³ çàäà÷ó âàæêî ðîçâ’ÿçóâàòè.<br />
Òîìó côîðìóëüîâàíó çàäà÷ó ñïî÷àòêó áóäåìî ðîçâ’ÿçóâàòè<br />
íàáëèæåíî. ³çüìåìî ÷èñëî t ³ ðîç³á’ºìî éîãî íà n ÷àñòèí.<br />
Áóäåìî òåïåð ââàæàòè, ùî çà ïðîì³æîê t çä³éñíþºòüñÿ íàðàõóâàííÿ<br />
â³äïîâ³äíèõ r %. Òîä³ çà öèì ïðèïóùåííÿì áóäåìî ìàòè<br />
n<br />
íàáëèæåí³ çíà÷åííÿ íàêîïè÷åíî¿ ñóìè çà ïðîì³æêè ÷àñó<br />
t 2t 3t nt<br />
, , , ... = t .<br />
n n n n<br />
Ñïî÷àòêó çíàéäåìî Q 1 :<br />
t<br />
(1 kt<br />
Q = )<br />
1<br />
Q + 0<br />
kQ0 Q0 n<br />
= + n<br />
. Òóò<br />
r<br />
k = .<br />
100<br />
Äàë³ ïîñë³äîâíî çíàõîäèìî:<br />
2<br />
kt ⎛ kt ⎞ ⎛ kt ⎞<br />
Q2 = Q1 + Q1 = Q1 1 Q0<br />
1<br />
n<br />
⎜ + = +<br />
n<br />
⎟ ⎜<br />
n<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ,<br />
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...<br />
kt<br />
n<br />
⎛<br />
n n 1 n 1 n 1<br />
1 kt ⎞ ⎛<br />
Q Q Q Q Q0<br />
1<br />
kt ⎞<br />
=<br />
−<br />
+<br />
−<br />
=<br />
−<br />
n<br />
⎜ + = +<br />
n<br />
⎟ ⎜<br />
n<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .<br />
Äëÿ òîãî ùîá çíàéòè òî÷íî ñóìó çà ïåðâèííîþ óìîâîþ<br />
çàäà÷³ òðåáà çä³éñíèòè ãðàíè÷íèé ïåðåõ³ä. Ïîçíà÷àþ÷è ÷åðåç<br />
Q(t) íàêîïè÷åíó ñóìó â ìîìåíò ÷àñó t áóäåìî ìàòè<br />
kt<br />
Qt () = lim Q<br />
0(1 ) n<br />
n<br />
= Q + . (5.2.3)<br />
n→∞<br />
n<br />
Öþ ãðàíèöþ ìîæíà áóäå ëåãêî çíàéòè, ÿêùî ìè áóäåìî<br />
n<br />
⎛ 1 ⎞<br />
çíàòè ãðàíèöþ ïîñë³äîâíîñò³ x n<br />
= ⎜1+<br />
⎟ . Òàê ìè ïðèõîäèìî<br />
⎝ n ⎠<br />
äî ïîíÿòòÿ ÷èñëà e, ââåäåíîãî Åéëåðîì 1 .<br />
1<br />
Åéëåð Ëåîíàðä (1707 – 1783) — âèäàòíèé øâåéöàðñüêèé ìàòåìàòèê,<br />
ìåõàí³ê, àñòðîíîì, ÷ëåí Ïåòåðáóðçüêî¿ àêàäå쳿 íàóê, á³ëüøó ÷àñòèíó<br />
æèòòÿ ïðîâ³â ó Ðîñ³¿.<br />
5.2.5. ×èñëî å<br />
⎛ 1 ⎞<br />
Ðîçãëÿíåìî ïîñë³äîâí³ñòü x n<br />
= ⎜1+<br />
⎟ . Ïîêàæåìî, ùî âîíà<br />
⎝ n ⎠<br />
çá³ãàºòüñÿ. Äëÿ öüîãî äîñòàòíüî äîâåñòè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü<br />
{x n } — çðîñòàþ÷à ³ îáìåæåíà. Çàñòîñîâóþ÷è ôîðìóëó á³íîìà<br />
Íüþòîíà 1 (âîíà áóäå íàâåäåíà â íàñòóïíèõ ëåêö³ÿõ), îòðèìà-<br />
ºìî<br />
1 nn ( −1) 1 nn ( −1)( n−2) 1<br />
xn<br />
= 1 + n + + + ...<br />
n<br />
2 3<br />
2! n 3! n<br />
nn ( −1)( n−2)...[ n−( n−1)]. 1<br />
... +<br />
n<br />
n!<br />
n . (5.2.4)<br />
Òóò ìè âèêîðèñòàëè ñèìâîë n! (÷èòàþòü: “åí ôàêòîð³àë”),<br />
ÿêèé îçíà÷àº:<br />
n! =1⋅2⋅3 ... (n−1) n.<br />
Âèðàç (5.2.4) çîáðàçèìî â òàê³é ôîðì³:<br />
x n<br />
1 1 1 1 2<br />
= 2 + (1 − ) + (1 − )(1 − ) + ...<br />
2! n 3! n n<br />
1 1 2 1<br />
... + (1 − )(1 − )...(1 − n − ) . (5.2.5)<br />
n!<br />
n n n<br />
Çàóâàæèìî, ùî ³ç ð³âíîñò³ (5.2.4) áåçïîñåðåäíüî âèïëèâàº<br />
íåð³âí³ñòü x n ≥ 2.<br />
Çíàéäåìî òåïåð x n+1 :<br />
= 1 1 1 1 2<br />
2 + (1 ) (1 )(1 ) ...<br />
2! − +<br />
n+ 1 + 3! − n+ 1 − n+<br />
1<br />
+<br />
x n 1<br />
1 1 2 n<br />
... + (1 − )(1 − )...(1 − ).<br />
( n+ 1)! n+ 1 n+ 1 n+<br />
1<br />
n<br />
(5.2.6)<br />
1<br />
²ñààê Íüþòîí (1643 – 1727) — âåëèêèé àíãë³éñüêèé ô³çèê, ìåõàí³ê,<br />
àñòðîíîì ³ ìàòåìàòèê.<br />
148 149
Àíàë³çóþ÷è âèðàçè (5.2.5) − (5.2.6), âèÿâèìî, ùî x n < x n+1 .<br />
Öå âèïëèâຠç òîãî, ùî: 1) ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ ð³âíîñò³ (5.2.6)<br />
ìàºìî n+1 äîäàòíèõ äîäàíê³â, òîä³ ÿê ó ð³âíîñò³ (5.2.5)<br />
⎛ k⎞ ⎛ k ⎞<br />
äîäàíê³â n; 2) îñê³ëüêè ⎜1− 1<br />
n<br />
⎟ < ⎜ −<br />
n+<br />
1<br />
⎟ ïðè 0 < k< n, òî<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
êîæíèé äîäàíîê ó âèðàç³ äëÿ x n+1 á³ëüøèé â³äïîâ³äíîãî<br />
äîäàíêó ó âèðàç³ äëÿ x n .<br />
Îòæå, ìè äîâåëè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü {x n } çðîñòàþ÷à. Êð³ì<br />
öüîãî, ïîñë³äîâí³ñòü {x n } îáìåæåíà çâåðõó. Ñïðàâä³, ÿêùî â<br />
ïðàâ³é ÷àñòèí³ ð³âíîñò³ (5.2.6) êîæíèé âèðàç ó êðóãëèõ<br />
äóæêàõ çàì³íèìî íà îäèíèöþ, òî ìàòèìåìî<br />
x n<br />
1 1 1<br />
< 2 + + + ... +<br />
2! 3! n !<br />
.<br />
Âðàõîâóþ÷è, ùî 1 < 1<br />
1<br />
! 2 n ïðè n > 2, òà çàñòîñîâóþ÷è ôîðìóëó<br />
ñóìè ãåîìåòðè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿ ³ç îñòàííüî¿ íåð³âíîñò³,<br />
n<br />
−<br />
ä³ñòàíåìî<br />
(<br />
1<br />
)<br />
1 1 1 1−<br />
2 1<br />
< + + + + < + = − <<br />
2 2 2 1−<br />
1 2<br />
2<br />
x<br />
n<br />
2 ... 1 3 3<br />
2 n−1 n−1<br />
.<br />
⎛ 1 ⎞<br />
Òàêèì ÷èíîì, äîâåäåíî, ùî ïîñë³äîâí³ñòü x n<br />
= ⎜1+<br />
⎟ º<br />
⎝ n ⎠<br />
çðîñòàþ÷îþ ³ îáìåæåíîþ. Òîìó çà òåîðåìîþ 5.2.6 ³ñíóº ãðàíèöÿ<br />
ïîñë³äîâíîñò³ {x n }. Ïîçíà÷àþòü ¿¿ áóêâîþ å. Îòæå,<br />
⎛ 1 ⎞<br />
lim ⎜1+ ⎟ = e .<br />
n→∞⎝<br />
n ⎠<br />
Çã³äíî ç òåîðåìîþ 5.2.4 ìîæíà çðàçó ñêàçàòè, ùî ÷èñëî<br />
å çíàõîäèòüñÿ íà ñåãìåíò³ [2,3]. Ðåêîìåíäóºìî ÷èòà÷åâ³<br />
äîâåñòè öå ñàìîñò³éíî.<br />
Çàóâàæèìî, ùî â ïîãëèáëåí³é òåî𳿠ìàòåìàòè÷íîãî àíàë³çó<br />
äîâîäèòüñÿ, ùî ÷èñëî å — ³ððàö³îíàëüíå. ²ñíóþòü òàêîæ<br />
ñïîñîáè, çà äîïîìîãîþ ÿêèõ ìîæíà íàáëèæåíî îá÷èñ-<br />
n<br />
n<br />
n<br />
ëèòè ÷èñëî å ç áóäü-ÿêîþ òî÷í³ñòþ. Äî ðå÷³, ìîæíà ëåãêî<br />
çàïàì’ÿòàòè, ùî å = 2,71828182845904590... Ùîá çàïàì’ÿòàòè<br />
íàâåäåíó ôîðìóëó (öå íå îáîâ’ÿçêîâî!), òðåáà çíàòè: íàáëèæåíå<br />
çíà÷åííÿ ÷èñëà å ç òî÷í³ñòþ äî 0,1 (îáîâ’ÿçêîâî!),<br />
ð³ê íàðîäæåííÿ Ëåâà Ìèêîëàéîâè÷à Òîëñòîãî, ð³ê ïåðåìîãè<br />
ðàäÿíñüêîãî íàðîäó íàä ôàøèñòñüêîþ Ãåðìàí³ºþ, çíà÷åííÿ<br />
êóò³â ó ïðÿìîêóòíèêà.<br />
5.2.6. Ïîíÿòòÿ ïðî åêñïîíåíö³àëüíó ôóíêö³þ<br />
òà íàòóðàëüíèé ëîãàðèôì<br />
×èñëî å ó ïðèêëàäíèõ ïèòàííÿõ ìàòåìàòèêè â³ä³ãðàº<br />
ñóòòºâó ðîëü. Ïðîöåíò çàñòîñóâàííÿ ôóíêö³é y = e x<br />
(ó = expx) òà y =lnx ó íàóêîâèõ ðîáîòàõ ç ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè<br />
íàäçâè÷àéíî âåëèêèé. Ìåí³ íåâ³äîìî, ÷è çàéìàâñÿ<br />
õòîñü ï³äðàõóíêîì çàñòîñóâàííÿ ó íàóêîâèõ ðîáîòàõ âêàçàíèõ<br />
ôóíêö³é. Àëå ãàäàþ, ùî ïðîöåíò òàêîãî çàñòîñóâàííÿì<br />
ñÿãຠçà 50.<br />
Ñë³ä ñêàçàòè, ùî ïåðøà ôóíêö³ÿ íàçèâàºòüñÿ åêñïîíåíö³àëüíîþ<br />
(ïîêàçíèêîâà ôóíêö³ÿ y = a x çà óìîâè, ùî îñíîâà<br />
à = å), à äðóãà ôóíêö³ÿ íàçèâàºòüñÿ íàòóðàëüíèì ëîãàðèôìîì<br />
(çâè÷àéíà ëîãàðèôì³÷íà ôóíêö³ÿ y = log a x ç îñíîâîþ<br />
à = å).<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
5.1. Ïîêàçàòè, ùî â íàâåäåíèõ â ï. 5.1.1 ïðèêëàäàõ ïîñë³äîâí³ñòü<br />
p n (n ≥ 3) º ïîñë³äîâí³ñòþ ïåðèìåòð³â ïðàâèëüíèõ<br />
ìíîãîêóòíèê³â, âïèñàíèõ â êîëî ðàä³óñà R.<br />
5.2. Ïîêàçàòè, ùî â íàâåäåíèõ â ï. 5.1.1 ïðèêëàäàõ ïîñë³äîâí³ñòü<br />
s n (n ≥ 3) º ïîñë³äîâí³ñòþ ïëîù ïðàâèëüíèõ ìíîãîêóòíèê³â,<br />
âïèñàíèõ â êîëî ðàä³óñà R.<br />
5.3. Âèâåñòè ôîðìóëó çàãàëüíîãî ÷ëåíà ïîñë³äîâíîñò³,<br />
ÿêà ðîçãëÿíóòà â ïðèêëàä³ 5.1.4.<br />
³äïîâ³äü: x n = x 1 + d (n − 1).<br />
5.4. Âèâåñòè ôîðìóëó çàãàëüíîãî ÷ëåíà ïîñë³äîâíîñò³,<br />
ÿêà ðîçãëÿíóòà â ïðèêëàä³ 5.1.5.  ³ ä ï îâ³äü: x n = x 1 q n-1 .<br />
5.5. Ïîêàçàòè, ùî ÷èñëà Ô³áîíà÷÷³ óòâîðþþòüñÿ çà äîïîìîãîþ<br />
ôîðìóëè<br />
150 151
n<br />
n<br />
1<br />
⎛⎛1+ 5⎞ ⎛1−<br />
5⎞<br />
⎞<br />
x ⎜<br />
⎟<br />
n<br />
= − , ∈<br />
5 ⎜⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟<br />
n N .<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
(Âêàç³âêà: åëåìåíòè ïîñë³äîâíîñò³ Ô³áîíà÷÷³ òðåáà øóêàòè<br />
ó âèãëÿä³ x n =λ n ).<br />
5.6. Îáìåæåí³ ÷è í³ òàê³ ïîñë³äîâíîñò³:<br />
n<br />
⎧( −1)<br />
⎫<br />
1. ⎨ ⎬<br />
⎩ n<br />
. ³äïîâ³äü: òàê.<br />
⎭<br />
2. {5n}. ³äïîâ³äü: í³.<br />
3. {cos n}. ³äïîâ³äü: òàê.<br />
4. {ln n}. ³äïîâ³äü: í³.<br />
1 1 1<br />
5. 1, 1, 2, , 3, , ..., n, ,... ³äïîâ³äü: í³.<br />
2 3 n<br />
³äïîâ³ä³ îá´ðóíòóéòå.<br />
5.7. Äîâåñòè, ùî ïîñë³äîâíîñò³ {p n } i {s n }, ÿê³ ðîçãëÿíóò³<br />
ó âïðàâàõ 5.1 − 5.2, îáìåæåí³.<br />
5.8. Âèêîðèñòîâóþ÷è îçíà÷åííÿ 5.1.5, äîâåñòè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü<br />
{n 2 } º íåñê³í÷åííî âåëèêîþ.<br />
5.9. Âèêîðèñòîâóþ÷è îçíà÷åííÿ 5.1.6, ïîêàçàòè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü<br />
⎨ 2 ⎬ º íåñê³í÷åííî ìàëîþ.<br />
⎧ 1 ⎫<br />
⎩n<br />
⎭<br />
5.10. Äîâåñòè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü {2 -n } º íåñê³í÷åííî ìàëîþ.<br />
Çíàéòè òàêîæ íîìåð N, ïî÷èíàþ÷è ç ÿêîãî åëåìåíòè<br />
ïîñë³äîâíîñò³ ìåíø³ í³æ 10 -5 .<br />
5.11. Äîâåñòè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü {2 n } º íåñê³í÷åííî âåëèêîþ.<br />
5.12. Äîâåñòè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü {sin n⋅2 -n } º íåñê³í÷åííî<br />
ìàëîþ.<br />
⎧ 1<br />
5.13. Äîâåñòè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü sin 2 − n ⎫<br />
⎨ n⋅ + ⎬ º íåñê³í÷åííî<br />
ìàëîþ.<br />
⎩ n⎭<br />
⎛α<br />
⎞<br />
n<br />
5.14. Ùî ìîæíà ñêàçàòè ïðî ïîñë³äîâí³ñòü ⎜ ⎟,<br />
⎝β<br />
ÿêùî<br />
n ⎠<br />
1) α n =7n⋅sin n, β n =7n; 2) α n =7n⋅, β n =n;<br />
3) α n =7n⋅, β n =n 2 ; 4) α 1 , 1<br />
n<br />
= ⋅ β = ;<br />
2 n<br />
n n<br />
5) α 1 , 1<br />
n<br />
= ⋅ β<br />
n<br />
= .<br />
2<br />
n n<br />
5.15. Çíàéòè ãðàíèö³:<br />
1)<br />
4)<br />
5)<br />
2<br />
2n<br />
+ 1<br />
lim ;<br />
n→∞<br />
2<br />
5n<br />
+ 7<br />
3n<br />
+ 1<br />
2) lim ;<br />
n→∞<br />
2<br />
5n<br />
+ 4<br />
k k−1<br />
an<br />
0<br />
an<br />
1<br />
ak<br />
n→∞<br />
l l−k<br />
bn<br />
0<br />
+ bn<br />
1<br />
+ ... + bl<br />
3)<br />
2<br />
5n<br />
+ 4<br />
lim ;<br />
n→∞<br />
3n<br />
+ 1<br />
+ + ... +<br />
lim ; k∈N, l∈N, a ≠ 0, b ≠ o;<br />
1+ 2+ 3 + ... + n<br />
lim ;<br />
n→∞<br />
1+ 3 + ... + 2n<br />
−1<br />
1+ 2+ 3 + ... + n<br />
6) lim ;<br />
n→∞<br />
4<br />
n + 7<br />
7)<br />
0 0<br />
( n )<br />
⎡1+ 2+ 3 + ... + 2 −1<br />
−n⎤<br />
lim ⎢<br />
⎥<br />
n→∞<br />
⎢⎣ n + 5 ⎥⎦ .<br />
5.16. Íåõàé â óìîâ³ ïðèêëàäó 5.2.7 îäèíèöÿ ÷àñó º îäèí<br />
ð³ê, k = 0.03, à Q 0 =50000 ãðèâåíü. Êîðèñòóþ÷èñü ìåòîäîì<br />
ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ ïðî íàêîïè÷åííÿ ãðîøîâèõ âêëàä³â,<br />
çíàéòè:<br />
². Íàêîïè÷åíó ñóìó çà òàêèìè óìîâàìè:<br />
1) ïðîöåíòè íàðàõîâóþòüñÿ ÷åðåç ð³ê;<br />
2) ïðîöåíòè íàðàõîâóþòüñÿ ÷åðåç ï³âðîêó;<br />
3) ïðîöåíòè íàðàõîâóþòüñÿ ïîêâàðòàëüíî;<br />
4) ïðîöåíòè íàðàõîâóþòüñÿ êîæíîãî ì³ñÿöÿ;<br />
5) ïðîöåíòè íàðàõîâóþòüñÿ ùîäåííî.<br />
II. Ïîð³âíÿòè ì³æ ñîáîþ â³äïîâ³äí³ ñóìè ³ çðîáèòè â³äïîâ³äí³<br />
âèñíîâêè.<br />
III. Ïîêàçàòè, ùî íàêîïè÷åíà ñóìà çà îäèí ð³ê íå ìîæå<br />
ïåðåâåðøóâàòè âåëè÷èíè 50 000 e 0.03 .<br />
IV. ×åðåç ñê³ëüêè ðîê³â ñóìà âêëàäó çá³ëüøèòüñÿ ó ï³âòîðà<br />
ðàçè?<br />
V. ×åðåç ñê³ëüêè ðîê³â ñóìà âêëàäó çá³ëüøèòüñÿ óäâîº?<br />
152 153
ÒÅÌÀ 6<br />
ÃÐÀÍÈÖß ÔÓÍÊÖ²¯<br />
6.1. ÔÓÍÊÖ²ß ÎÄͲª¯ Ç̲ÍÍί<br />
Ïðè äîñë³äæåíí³ ô³çè÷íèõ, á³îëîã³÷íèõ, åêîíîì³÷íèõ òà<br />
³íøèõ ïðîöåñ³â ÷àñòî ç’ÿñîâóºòüñÿ, ùî îäíà âåëè÷èíà çàëåæèòü<br />
â³ä äðóãî¿. Äëÿ êðàùîãî ðîçóì³ííÿ òàêèõ çàëåæíîñòåé<br />
ââîäÿòü ïîíÿòòÿ ôóíêö³¿.<br />
6.1.1. Îçíà÷åííÿ<br />
Íåõàé çàäàíà ìíîæèíà Õ ä³éñíèõ ÷èñåë. Ãîâîðÿòü, ùî íà<br />
ìíîæèí³ Õ âèçíà÷åíî ôóíêö³þ ³ ñèìâîë³÷íî çàïèñóþòü<br />
ó = f(x), ÿêùî êîæíîìó ÷èñëó x Î X çà ïåâíèì ïðàâèëîì<br />
àáî çàêîíîì ïîñòàâëåíî ó â³äïîâ³äí³ñòü ö³ëêîì ïåâíå<br />
(îäíå) ä³éñíå ÷èñëî yÎ Y.<br />
Ïðè öüîìó ìíîæèíà Õ íàçèâàºòüñÿ îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ,<br />
àáî îáëàñòþ ³ñíóâàííÿ, ôóíêö³¿ ³ ïîçíà÷àºòüñÿ ÷àñòî ñèìâîëîì<br />
D(f); x íàçèâàþòü àðãóìåíòîì àáî íåçàëåæíîþ çì³ííîþ;<br />
y íàçèâàþòü çàëåæíîþ çì³ííîþ àáî ôóíêö³ºþ; f (õ)<br />
íàçèâàþòü çíà÷åííÿì ôóíêö³¿ â òî÷ö³ x; Y — ìíîæèíà, äî<br />
ÿêî¿ íàëåæèòü çíà÷åííÿ ôóíêö³¿. Ìíîæèíó âñ³õ çíà÷åíü<br />
ôóíêö³¿, ÿêèõ âîíà íàáóâຠïðè x Î X , íàçèâàþòü îáëàñòþ<br />
çíà÷åíü ôóíêö³¿ ³ ïîçíà÷àþòü çâè÷àéíî ñèìâîëîì E (f).<br />
ßê óæå çàçíà÷àëîñÿ, òå, ùî ó º ôóíêö³ºþ õ, ñèìâîë³÷íî<br />
çàïèñóþòü ó = f (õ) ³ ÷èòàþòü «³ãðåê äîð³âíþº åô â³ä ³êñ»:<br />
f — ïåðøà áóêâà â³ä ëàòèíñüêîãî ñëîâà funñt³în, ùî îçíà÷àº<br />
«ôóíêö³ÿ».<br />
Äëÿ ïîçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ ³íîä³ âæèâàþòü ³íø³ áóêâè: ,<br />
Ô, Ψ, G, H òîùî. ßêùî òðåáà ðîçãëÿíóòè áàãàòî ôóíêö³é<br />
òîãî ñàìîãî àðãóìåíòó, òî ìîæíà çàñòîñóâàòè îäíó áóêâó,<br />
àëå ç ð³çíèìè ³íäåêñàìè. Íàïðèêëàä, f n (x), n = 1, 2, 3, ..., N.<br />
Áóêâà, ÿêà çàñòîñîâóºòüñÿ äëÿ ïîçíà÷åííÿ ôóíêö³¿, õàðàêòåðèçóº<br />
òå ïðàâèëî, çà ÿêèì êîæíîìó åëåìåíòó x Î X ñòàâèòüñÿ ó<br />
â³äïîâ³äí³ñòü åëåìåíò yÎ<br />
Y. Áóêâó f íàçèâàþòü ùå õàðàêòåðèñòèêîþ.<br />
Íàïðèêëàä, ÿêùî ôóíêö³þ çàäàíî ôîðìóëîþ<br />
y<br />
òî õàðàêòåðèñòèêà f ïîêàçóº, ùî çíà÷åííÿ y ìîæíà îòðèìàòè,<br />
ÿêùî ïðè ïåâíîìó çíà÷åíí³ x Î-¥+¥ ( , ) íàä öèì ÷èñëîì<br />
òðåáà âèêîíàòè ä³þ ï³äíåñåííÿ äî äðóãîãî ñòåïåíÿ,<br />
ïîìíîæèòè êâàäðàò ÷èñëà íà 5 ³ äî óòâîðåíîãî ðåçóëüòàòó<br />
äîáàâèòè 7.<br />
Îòæå, ÿêùî ôóíêö³þ ó = f(x) çàäàíî ôîðìóëîþ, òî ñóêóïí³ñòü<br />
óñ³õ òèõ ä³é (îïåðàö³é), ÿê³ òðåáà âèêîíàòè â ïåâíîìó<br />
ïîðÿäêó íàä íåçàëåæíîþ çì³ííîþ x ³ ñòàëèìè, ùîá ä³ñòàòè<br />
ïåâíå çíà÷åííÿ y, º õàðàêòåðèñòèêîþ ôóíêö³¿.<br />
ßê óæå çàçíà÷àëîñÿ, ï³ä ñèìâîëîì f(x) ðîçóì³þòü çíà-<br />
÷åííÿ ôóíêö³¿ ó = f(x) â òî÷ö³ x. Ïðîòå, íàäàë³ äëÿ ñêîðî-<br />
÷åííÿ çàïèñó ñèìâîë f(x) íàçèâàòèìåìî òàêîæ ôóíêö³ºþ.<br />
Ôóíêö³ÿ, âñ³ çíà÷åííÿ ÿêî¿ ð³âí³ ì³æ ñîáîþ, íàçèâàºòüñÿ<br />
ñòàëîþ. Ñòàëó ôóíêö³þ ÷àñòî ïîçíà÷àþòü áóêâîþ Ñ.<br />
Ïðî ôóíêö³þ f(x), ÿêà âèçíà÷åíà íà äåÿê³é ìíîæèí³ Õ,<br />
ãîâîðÿòü, ùî âîíà îáìåæåíà çâåðõó (çíèçó) íà ö³é ìíîæèí³,<br />
ÿêùî ³ñíóº ÷èñëî Ì(m) òàêå, ùî áóäü-ÿêîãî x Î X âèêîíóºòüñÿ<br />
íåð³âí³ñòü f(x) ≤ M(f(x) ≥ m). Ôóíêö³ÿ, ÿêà îáìåæåíà çíèçó<br />
³ çâåðõó, íàçèâàºòüñÿ îáìåæåíîþ íà ö³é ìíîæèí³. Óìîâó<br />
îáìåæåíîñò³ ôóíêö³¿ f(x) ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³:<br />
$ M> 0 " xÎ X: f( x)<br />
£ M. Íàïðèêëàä, ôóíêö³ÿ f(x) = sinx<br />
îáìåæåíà íà âñ³é ÷èñëîâ³é ïðÿì³é, òîìó ùî<br />
sin x £ 1 " xÎ( -¥,<br />
+¥ ). Î÷åâèäíî, ùî ³ñíóþòü íåîáìåæåí³<br />
ôóíêö³¿. Hàïðèêëàä, ôóíêö³ÿ<br />
1<br />
fx () = íå º îáìåæåíîþ íà ÷èñëîâ³é<br />
ïðÿì³é, òîáòî º ôóíêö³ºþ íåîáìåæåíîþ íà í³é, òîìó<br />
x<br />
ùî íå ³ñíóº òàêîãî ÷èñëà Ì, ùîá âèêîíóâàëàñÿ íåð³âí³ñòü<br />
1<br />
M<br />
x £ .<br />
6.1.2. Ñïîñîáè çàäàííÿ ôóíêö³¿<br />
²ñíóþòü òðè îñíîâíèõ ñïîñîáè çàäàííÿ ôóíêö³é: àíàë³òè÷íèé,<br />
òàáëè÷íèé ³ ãðàô³÷íèé.<br />
2<br />
= 5x<br />
+ 7 ,<br />
154 155
1. Àíàë³òè÷íèé ñïîñ³á. Öåé ñïîñ³á ïîëÿãຠâ òîìó, ùî<br />
çàëåæí³ñòü ì³æ çì³ííèìè âåëè÷èíàìè âèçíà÷àºòüñÿ çà äîïîìîãîþ<br />
ôîðìóëè, ÿêà âêàçóº, ÿê³ ä³¿ òðåáà âèêîíóâàòè, ùîá<br />
îäåðæàòè çíà÷åííÿ ôóíêö³¿, ùî â³äïîâ³äຠêîíêðåòíîìó çíà-<br />
÷åííþ àðãóìåíòó.<br />
Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè.<br />
1. Ôîðìóëà y = x 2 çàäຠàíàë³òè÷íî ôóíêö³þ, îáëàñòü âèçíà÷åííÿ<br />
ÿêî¿ — ÷èñëîâà ïðÿìà (−∞, +∞), à ìíîæèíà çíà-<br />
÷åíü — ïðîì³íü [0, +∞).<br />
2<br />
2. Ôîðìóëà y= 25- x çàäຠàíàë³òè÷íî ôóíêö³þ, îáëàñòü<br />
âèçíà÷åííÿ ÿêî¿ º ñåãìåíò [–5,5], à ìíîæèíà çíà÷åíü ñåãìåíò<br />
[0,5].<br />
3. Ôóíêö³ÿ<br />
ì+ 1, ÿêùî x > 0,<br />
y = ï<br />
í0, ÿêùî x = 0,<br />
ï ïî −1, ÿêùî x < 0<br />
íà ð³çíèõ ïðîì³æêàõ çàäàºòüñÿ ð³çíèìè ôîðìóëàìè. Âîíà<br />
âèçíà÷åíà íà âñ³é ÷èñëîâ³é ïðÿì³é (−∞, +∞), à ìíîæèíà ¿¿<br />
çíà÷åíü ñêëàäàºòüñÿ ³ç òðüîõ ÷èñåë: −1, 0, +1. Ïðàâèëî, çà<br />
ÿêèì óòâîðþþòüñÿ ôîðìóëè â ïåðøó ÷åðãó çàëåæèòü â³ä<br />
çíàêà ä³éñíîãî ÷èñëà õ. Öèì ³ ïîÿñíþºòüñÿ, ùî âêàçàíà<br />
ôóíêö³ÿ ïîçíà÷àºòüñÿ òàê: y = sgn x. Õàðàêòåðèñòèêà ö³º¿<br />
ôóíêö³¿ ïîõîäèòü â³ä ëàòèíñüêîãî ñëîâà signum — çíàê.<br />
4. Íåõàé Õ º ìíîæèíà âñ³õ ä³éñíèõ ÷èñåë. Òîä³ êîæíîìó<br />
ä³éñíîìó ÷èñëó x Î X ïîñòàâèìî ó â³äïîâ³äí³ñòü íàéá³ëüøå<br />
ö³ëå ÷èñëî, ÿêå íå ïåðåâèùóº õ. Òàêó ôóíêö³þ ïîçíà÷àþòü<br />
÷åðåç ó = Å (õ) ³ íàçèâàþòü «ôóíêö³ºþ àíòüº», ùî îçíà÷àº<br />
«ö³ëèé». Ëåãêî çíàéòè ÷èñëîâ³ çíà÷åííÿ ö³º¿ ôóíêö³¿. Òàê,<br />
Å (0) = Î, Å (1) = 1, Å (0,7) = 0, Å (e) = 2, Å (π) = 3, E (–4, 7) = −5<br />
òîùî. Ôóíêö³þ àíòüº ïîçíà÷àþòü ùå [x].<br />
âèçíà÷åíà íà âñ³é ÷èñëîâ³é ïðÿì³é (−∞, +∞), à ìíîæèíà ¿¿<br />
çíà÷åíü ñêëàäàºòüñÿ ³ç äâîõ ÷èñåë: 0 ³ 1.<br />
³äçíà÷èìî, ùî ìàòåìàòè÷íèé àíàë³ç â îñíîâíîìó âèâ÷àº<br />
ôóíêö³¿, ÿê³ çàäàíî àíàë³òè÷ío. ² â öüîìó âèïàäêó ï³ä îáëàñòþ<br />
³ñíóâàííÿ ôóíêö³¿ ðîçóì³þòü îáëàñòü ³ñíóâàííÿ â³äïîâ³äíîãî<br />
àíàë³òè÷íîãî âèðàçó, òîáòî ñóêóïí³ñòü äîïóñòèìèõ<br />
ä³éñíèõ çíà÷åíü õ, ïðè ÿêèõ äàíèé àíàë³òè÷íèé âèðàç íàáóâàº<br />
ä³éñíèõ çíà÷åíü. Ïðîòå â òèõ âèïàäêàõ, êîëè âåëè÷èíè,<br />
ÿê³ ì³ñòÿòüñÿ â àíàë³òè÷íîìó âèðàç³, ìàþòü ïåâíèé åêîíîì³÷íèé,<br />
ô³çè÷íèé àáî ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò, îáëàñòü ³ñíóâàííÿ<br />
ôóíêö³¿ ìîæå íå çá³ãàòèñÿ ç îáëàñòþ ³ñíóâàííÿ àíàë³òè÷íîãî<br />
âèðàçó. ²íêîëè â òàêèõ âèïàäêàõ êàæóòü, ùî îáëàñòü<br />
³ñíóâàííÿ — ïðèðîäíà.<br />
2. Ãðàô³÷íèé ñïîñ³á. Ôóíêö³þ ìîæíà çàäàòè òàêîæ ãðàô³÷íî.<br />
³çüìåìî ïðÿìîêóòíó ñèñòåìó êîîðäèíàò (ðèñ. 6.1).<br />
Òîä³ äëÿ êîæíîãî çíà÷åííÿ õ, ÿêå íàëåæèòü îáëàñò³ âèçíà-<br />
÷åííÿ ôóíêö³¿, â ïëîùèí³ Îõó ìîæíà ïîáóäóâàòè òî÷êó Ì<br />
ç êîîðäèíàòàìè õ, f(x). Ñóêóïí³ñòü òî÷îê Ì (õ, f(õ)) íàçèâàþòü<br />
ãåîìåòðè÷íèì çîáðàæåííÿì, àáî ãðàô³êîì, ôóíêö³¿<br />
ó = f(õ). Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó öå áóäå ÿêàñü ë³í³ÿ. Íà<br />
ðèñ. 6.1 ¿¿ ïîçíà÷åíî áóêâîþ L. гâí³ñòü ó = f(õ) ïðè öüîìó<br />
íàçèâàºòüñÿ ð³âíÿííÿì êðèâî¿, ùî º ãðàô³êîì ôóíêö³¿. Òàê,<br />
ãðàô³ê ôóíêö³¿ y = sgnx çîáðàæåíî íà ðèñ. 6.2, à ãðàô³ê<br />
ôóíêö³¿ ó = Å (õ) — íà ðèñ. 6.3.<br />
5. Ôóíêö³ÿ ijð³õëå 1 ì1,<br />
ÿêùî x - ðàö³îíàëüíå,<br />
y = D( x)<br />
=í<br />
ï<br />
ï<br />
ïî 0, ÿêùî x -³ððàö³îíàëüíå<br />
Ðèñ. 6.1 Ðèñ. 6.2<br />
1<br />
ijð³õëå Ïåòåð Ëåæåí (1805 – 1859) — â³äîìèé í³ìåöüêèé ìàòåìàòèê.<br />
156 157
Ðèñ. 6.3<br />
Çàóâàæåííÿ. Îñê³ëüêè ãðàô³ê ôóíêö³¿ ñêëàäàºòüñÿ ç<br />
íåñê³í÷åííî¿ ìíîæèíè, òî ïðàêòè÷íî ïîáóäóâàòè ãðàô³ê<br />
ôóíêö³¿ íåìîæëèâî. Íà ïðàêòèö³ ìè êîðèñòóºìîñÿ åñê³çîì<br />
ãðàô³êà ôóíêö³¿ (íàáëèæåíèì çîáðàæåííÿì ãðàô³êà, àëå ç<br />
äîñòàòíüî ïîâíèì ô³êñóâàííÿì îñîáëèâî âàæëèâèõ òî÷îê<br />
ãðàô³êà). Öå òðåáà çíàòè, àëå íå çëîâæèâàòè. Òîìó ùî âñå<br />
æ òàêè íà ïðàêòèö³ ìè ö³ ïîíÿòòÿ îòîòîæíþºìî.<br />
Ñë³ä â³äçíà÷èòè, ùî çà âèíÿòêîì îêðåìèõ âèïàäê³â (íàïðèêëàä,<br />
çàäàííÿ ôóíêö³¿ ijð³õëå), ôóíêö³ÿ, ÿêà çàäàíà àíàë³òè÷íî,<br />
áóäå çàäàíà ³ ãðàô³÷íî.<br />
Îäíàê çóñòð³÷àþòüñÿ âèïàäêè, êîëè ôóíêö³îíàëüíà çàëåæí³ñòü<br />
çàäàíà ò³ëüêè ãðàô³÷íèì ñïîñîáîì. Íàïðèêëàä, ïðè<br />
åêñïåðèìåíòàëüíèõ äîñë³äæåííÿõ. Êîíêðåòíî, ïîêàçè áàðîãðàôà,<br />
ÿêèì êîðèñòóþòüñÿ äëÿ âèì³ðþâàííÿ àòìîñôåðíîãî<br />
òèñêó íà ð³çíèõ âèñîòàõ. Çà äîïîìîãîþ öüîãî ïðèëàäó íà<br />
ðóõîì³é ñòð³÷ö³ çàïèñóþòü ó âèãëÿä³ êðèâî¿ ë³í³¿ çì³íó<br />
òèñêó çàëåæíî â³ä çì³íè âèñîòè.  ðåçóëüòàò³ öüîãî ä³ñòàþòü<br />
ôóíêö³þ, ÿêà çàäàíà ãðàô³÷íî. Çíàþ÷è ò³ëüêè ãðàô³ê<br />
ôóíêö³¿ ó = f (õ), ìîæíà äëÿ áóäü-ÿêîãî çíà÷åííÿ x0<br />
Î X , äå<br />
Õ — îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿, çíàéòè ÷èñëî f(x 0 ). Äëÿ<br />
öüîãî äîñèòü íà ÷èñëîâ³é îñ³ ÷åðåç òî÷êó õ 0 ïðîâåñòè ïðÿìó,<br />
ïàðàëåëüíó îñ³ Îó, äî ïåðåòèíó ç ãðàô³êîì. Îðäèíàòà òî÷êè<br />
ïåðåòèíó é äîð³âíþº f(x 0 ). Òàêèì ÷èíîì, êîæíîìó çíà÷åííþ<br />
x Î X áóäå ïîñòàâëåíî ó â³äïîâ³äí³ñòü ÷èñëî yÎ<br />
Y, à öå<br />
îçíà÷àº, ùî ó º ôóíêö³ÿ â³ä õ.<br />
3. Òàáëè÷íèé ñïîñ³á. Öåé ñïîñ³á âñòàíîâëþº ôóíêö³îíàëüíó<br />
çàëåæí³ñòü çà äîïîìîãîþ òàáëèöü. Çðàçó â³äçíà÷èìî,<br />
ùî ôóíêö³¿, ÿê³ çàäàí³ àíàë³òè÷íî, ìàéæå çàâæäè ìîæóòü<br />
áóòè ïîäàí³ ó âèãëÿä³ òàáëèöü. Ïðèêëàäàìè òàáëè÷íîãî<br />
çàäàííÿ ôóíêö³¿ ìîæóòü áóòè òàáëèö³ äåñÿòêîâèõ ëîãàðèôì³â,<br />
òàáëèö³ çíà÷åíü òðèãîíîìåòðè÷íèõ ôóíêö³é òîùî.<br />
Ïðè åêñïåðèìåíòàëüíèõ äîñë³äæåííÿõ òà ñïîñòåðåæåííÿõ<br />
çàëåæí³ñòü ì³æ âåëè÷èíàìè äóæå ÷àñòî ïîäàºòüñÿ ó<br />
âèãëÿä³ òàáëèöü. ² ÿê ïðàâèëî öå ïîäàííÿ ºäèíå, òîáòî íå<br />
³ñíóº í³ ãðàô³÷íî¿, í³ àíàë³òè÷íî¿ çàëåæíîñò³ äîñë³äæóâàíèõ<br />
ôóíêö³é.  öèõ âèïàäêàõ çàëåæí³ñòü ì³æ âåëè÷èíàìè<br />
çàäàíà ò³ëüêè òàáëè÷íèì ñïîñîáîì. Íàé÷àñò³øå ò³ëüêè òàáëè÷íèì<br />
çàäàííÿì ôóíêö³é êîðèñòóþòüñÿ â òåõí³ö³ òà ïðèðîäîçíàâñòâ³,<br />
à ñàìå òîä³, êîëè çàêîí çàëåæíîñò³ ì³æ<br />
âåëè÷èíàìè ³ñíóº, àëå íåâ³äîìèé. Ó öüîìó ðàç³ ïðîâîäÿòü<br />
åêñïåðèìåíò, çà äîïîìîãîþ ÿêîãî ä³ñòàþòü ðÿä çíà÷åíü àðãóìåíòó<br />
òà â³äïîâ³äíèõ çíà÷åíü ôóíêö³¿. Çäîáóò³ ðåçóëüòàòè<br />
çàïèñóþòü ó âèãëÿä³ òàáëèöü. Íàïðèêëàä, â³äîìî, ùî ð³ñò<br />
áóäü-ÿêî¿ ðîñëèíè çì³íþºòüñÿ çàëåæíî â³ä ÷àñó. Âèáðàâøè<br />
äëÿ åêñïåðèìåíòó ïåâíó ðîñëèíó ³ âèì³ðþþ÷è ¿¿ â ð³çí³<br />
ìîìåíòè ÷àñó, ä³ñòàíåìî äëÿ îêðåìèõ çíà÷åíü ÷àñó t â³äïîâ³äí³<br />
çíà÷åííÿ äîâæèíè l äàíî¿ ðîñëèíè. Ö³ äàí³ ìîæíà<br />
çàïèñàòè ó âèãëÿä³ òàáëèö³. Òàê³ òàáëèö³ íå áóäóòü òî÷íî<br />
â³äîáðàæàòè ôóíêö³îíàëüíó çàëåæí³ñòü, òîìó ùî ïðè âèì³ðþâàíí³,<br />
õî÷åìî ìè òîãî ÷è í³, ìàòèìóòü ì³ñöå ïîõèáêè, ÿê³<br />
çàëåæàòü, çîêðåìà, â³ä òî÷íîñò³ âèì³ðþâàëüíèõ ïðèëàä³â. Ó<br />
öüîìó ïîëÿãຠíåäîë³ê òàáëè÷íîãî çàäàííÿ ôóíêö³¿. Êð³ì<br />
òîãî, íåäîë³ê òàáëè÷íîãî ñïîñîáó ïîëÿãຠùå é ó òîìó, ùî â<br />
òàáëèö³ ìîæíà çíàéòè íå âñ³, à ëèøå îêðåì³ çíà÷åííÿ<br />
ôóíêö³¿. Ïðîòå òàáëè÷íèé ñïîñ³á çðó÷íèé òèì, ùî áåç áóäüÿêèõ<br />
îá÷èñëåíü ìàºìî îêðåì³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿, à öå äóæå<br />
âàæëèâî. ²íîä³ íàâ³òü ôóíêö³¿, çàäàí³ ³íøèìè ñïîñîáàìè,<br />
íàïðèêëàä àíàë³òè÷íèì, ïîäàþòü ó âèãëÿä³ òàáëèöü. Òàê³<br />
òàáëèö³ øèðîêî âèêîðèñòîâóþòü íà ïðàêòèö³, íà âèðîáíèö-<br />
158 159
òâ³, ïðè òåõí³÷íèõ ðîçðàõóíêàõ. Âîíè º â ð³çíèõ òåõí³÷íèõ<br />
äîâ³äíèêàõ. Êð³ì öüîãî, çà äîïîìîãîþ òàáëèöü ìåòîäîì<br />
ë³í³éíî¿ ³íòåðïîëÿö³¿ ìîæíà, õî÷ ³ íàáëèæåíî, çíàéòè ò³<br />
çíà÷åííÿ ôóíêö³¿, ÿêèõ íåìຠâ òàáëèö³; ³, íàðåøò³, ïðè<br />
òàáëè÷íîìó çàäàíí³ ëåãêî áóäóâàòè ãðàô³ê ôóíêö³¿, îñîáëèâî<br />
òîä³, êîëè ãðàô³ê áóäóºòüñÿ çà äîïîìîãîþ òî÷îê.<br />
Íà çàê³í÷åííÿ ñêàæåìî, ùî òðè âêàçàíèõ ñïîñîáè çàäàííÿ<br />
ôóíêö³¿ ç³ ñâî¿ìè íåäîë³êàìè ³ ïåðåâàãàìè äîñèòü åôåêòèâí³<br />
ïðè äîñë³äæåíí³ ïðèðîäíèõ ÿâèù ³ ð³çíîìàí³òíèõ<br />
ïðîöåñ³â. À ÿêùî äåÿêèé ïðîöåñ ÷è ÿâèùå ìîæíà îïèñàòè<br />
òðüîìà ñïîñîáàìè (àíàë³òè÷íî, ãðàô³÷íî ³ òàáëè÷íî), òî<br />
åôåêòèâí³ñòü äîñë³äæåííÿ çíà÷íî çðîñòàº.<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Â îñòàíí³ äåñÿòèð³÷÷ÿ ìîæíà ãîâîðèòè<br />
òàêîæ ³ ïðî êîìï’þòåðíèé ñïîñ³á çàäàííÿ ôóíêö³¿, îñîáëèâî<br />
äëÿ ôóíêö³é ñêëàäåíî¿ ñòðóêòóðè. Äî ðå÷³, çàðàç ó<br />
çáåðáàíêó íàðàõîâóþòüñÿ ïðîöåíòè íà êîìï’þòåð³, ïðè öüîìó<br />
àëãîðèòì íà÷èñëåííÿ ìîæå áóòè äîñòàòíüî ñêëàäíèì ³<br />
éîãî íåëåãêî çâåñòè äî ÿêî¿ñü âèçíà÷åíî¿ ôîðìóëè.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. ²íêîëè º ïîòðåáà çàäàâàòè ôóíêö³þ â<br />
ïàðàìåòðè÷í³é àáî â íåÿâí³é ôîðì³.<br />
4. Ïàðàìåòðè÷íà ôîðìà. Çàëåæí³ñòü ì³æ õ ³ ó âèðàæà-<br />
ºòüñÿ ÷åðåç òðåòþ çì³ííó t, ÿêà íàçâàíà ïàðàìåòðîì, òîáòî<br />
ì<br />
ïx=j(),<br />
t<br />
í<br />
ï t ÎT Í<br />
ïî y =y<br />
R .<br />
(), t<br />
Ïðè öüîìó ìíîæèíà Ò ìóñèòü âèçíà÷àòè ºäèíå çíà÷åííÿ<br />
ó ∀t∈T.<br />
ì<br />
ïx=<br />
acost<br />
Íàïðèêëàä, í<br />
2 2 2<br />
ï , t<br />
ïî y=<br />
asint<br />
Î T = [0; p] Þ x + y = a , y ³ 0.<br />
Íàâåäåíå ïàðàìåòðè÷íå çàäàííÿ ôóíêö³¿ âèçíà÷ຠð³âíÿííÿ<br />
ï³âêîëà ðàä³óñà à (y ≥ 0).<br />
5. Íåÿâíà ôîðìà.  ö³é ôîðì³ çàïèñ ôóíêö³îíàëüíî¿<br />
çàëåæíîñò³ ì³æ õ ³ ó ìຠâèãëÿä (x, y) = 0. Íåÿâíà ôîðìà<br />
çàäàííÿ ôóíêö³¿ º á³ëüø çàãàëüíîþ, í³æ ÿâíà: ó = f(x).<br />
Áóäü-ÿêó ÿâíî çàäàíó ôóíêö³þ ó = f(õ) ìîæíà çàïèñàòè ó<br />
íåÿâíîìó âèãëÿä³: ó – f(õ) =0.<br />
6.1.3. Åëåìåíòàðí³ ôóíêö³¿ òà ¿õ êëàñèô³êàö³ÿ<br />
Äî îñíîâíèõ åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é íàëåæàòü: ñòåïåíåâà<br />
ó = õ α , α∈R; ïîêàçíèêîâà ó = à õ , a > 0, a ≠ 1; ëîãàðèôì³÷íà<br />
y = log a x, a > 0, a ≠ 1; òðèãîíîìåòðè÷í³ y = sin x, y = cos x,<br />
y =tgx, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x; îáåðíåí³ òðèãîíîìåòðè÷í³<br />
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x,<br />
y = arcsec x, y = arccosec x.<br />
Ôóíêö³¿, óòâîðåí³ ç îñíîâíèõ åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é ³ ÷èñåë<br />
çà äîïîìîãîþ ñê³í÷åííîãî ÷èñëà àðèôìåòè÷íèõ ä³é ³<br />
îïåðàö³é âçÿòòÿ ôóíêö³¿ â³ä ôóíêö³¿ (óòâîðåííÿ ñêëàäåíèõ<br />
ôóíêö³é), íàçèâàþòüñÿ åëåìåíòàðíèìè. Íàïðèêëàä,<br />
y =5x 2 sin 2x, y log2<br />
( 1 tg x)<br />
= + .<br />
Âñ³ ³íø³ ôóíêö³¿ íàçèâàþòüñÿ íååëåìåíòàðíèìè. Íàïðèêëàä,<br />
íååëåìåíòàðíîþ º ôóíêö³ÿ, îáóìîâëåíà ê³ëüêîìà ð³çíèìè<br />
ôîðìóëàìè äëÿ ð³çíèõ ³íòåðâàë³â çì³íè àðãóìåíòó:<br />
ìï x 3 , x£<br />
o<br />
y = ï<br />
í ï<br />
ïî x+ 2, x><br />
0.<br />
Ó çàëåæíîñò³ â³ä ÷èñëà ³ õàðàêòåðó ä³é íàä íåçàëåæíîþ<br />
çì³ííîþ óòâîðþþòüñÿ êëàñè åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é.<br />
Ïåðøèé êëàñ ñêëàäàþòü ö³ë³ ðàö³îíàëüí³ ôóíêö³¿, àáî<br />
ìíîãî÷ëåíè (ïîë³íîìè)<br />
y = f(x) =a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n-1 x + a n ,<br />
äå à 0 , à 1 ,…, à n — ä³éñí³ ÷èñëà, n — íàòóðàëüíå ÷èñëî.<br />
D (f) ={x: −∞ < x
Ðàö³îíàëüí³ ³ ³ððàö³îíàëüí³ ôóíêö³¿ âõîäÿòü äî á³ëüø<br />
çàãàëüíîãî êëàñó — àëãåáðà¿÷íèõ ôóíêö³é. Âñ³ ³íø³ åëåìåíòàðí³<br />
ôóíêö³¿ íàçèâàþòüñÿ òðàíñöåíäåíòíèìè.<br />
6.1.4. Äåÿê³ âàæëèâ³ êëàñè ôóíêö³é<br />
Ôóíêö³ÿ f(x) (x∈D(f)), ùî ìຠâëàñòèâ³ñòü f(x) =f(−x), íàçèâàºòüñÿ<br />
ïàðíîþ, íàïðèêëàä õ 2 , cos x, à ùî ìຠâëàñòèâ³ñòü<br />
f(x) =−f(−x) — íåïàðíîþ, íàïðèêëàä õ 3 , sin x. Áàãàòî ôóíêö³é<br />
º í³ ïàðíèìè, í³ íåïàðíèìè, íàïðèêëàä à õ , x .<br />
ßêùî ³ñíóº ä³éñíå ÷èñëî Ò > 0, ùî ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åííÿõ<br />
àðãóìåíòó õ∈D(f) ìຠì³ñöå ð³âí³ñòü<br />
f(x) =f(x + kT), (6.1.1)<br />
äå k — ö³ëå ÷èñëî, òî ó = f(x) íàçèâàºòüñÿ ïåð³îäè÷íîþ<br />
ôóíêö³ºþ, à Ò — ïåð³îäîì.<br />
Ðîçãëÿíåìî ôóíêö³þ y = f(x), îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ³ çíà-<br />
÷åíü ÿêî¿ º â³äïîâ³äíî D(f) i E(f). Òîä³ áóäü-ÿêîìó çíà÷åííþ<br />
x0<br />
Î Df () â³äïîâ³äàòèìå îäíå çíà÷åííÿ y0<br />
Î Ef (), ÿêå äîð³âíþº<br />
f(x 0 ).<br />
Òàêèì ÷èíîì, ð³âíÿííÿ<br />
y = f(x)<br />
ïðè y0<br />
Î Ef () ìຠïðèíàéìí³ îäèí êîð³íü. ²íøèìè ñëîâàìè,<br />
ð³âíÿííÿ (6.1.1) êîæíîìó yÎ Ef () ñòàâèòü ó â³äïîâ³äí³ñòü<br />
îäíå àáî ê³ëüêà çíà÷åíü x0<br />
Î Df (). ßêùî ïðè öüîìó êîæíîìó<br />
yÎ Ef () â³äïîâ³äຠò³ëüêè îäíå çíà÷åííÿ x0<br />
Î Df (), òî êàæóòü,<br />
ùî íà ìíîæèí³ E(f) çàäàíî ôóíêö³þ x=j ( y)<br />
(áóêâà ϕ<br />
îçíà÷àº, ùî õàðàêòåðèñòèêà íîâî¿ ôóíêö³¿ ³íøà). Íîâó ôóíêö³þ<br />
x = ϕ(y) íàçèâàþòü îáåðíåíîþ ôóíêö³ºþ äî ôóíêö³¿<br />
y = f(x), à y = f(x) ïðÿìîþ ôóíêö³ºþ. Ïðè öüîìó ôóíêö³¿<br />
x = ϕ(y) ³ y = f(x) íàçèâàþòü âçàºìíî îáåðíåíèìè. Íàâåäåí³<br />
âèùå ì³ðêóâàííÿ ïîêàçóþòü, ùî îáëàñòü âèçíà÷åííÿ òà îáëàñòü<br />
çíà÷åíü âçàºìíî îáåðíåíèõ ôóíêö³é ì³íÿþòüñÿ ì³æ<br />
ñîáîþ. Íàïðèêëàä, f = à õ , D(f) =R, E(f) =R + ; ϕ = log a y,<br />
D(ϕ )=R + , E(ϕ )=R.<br />
Ãðàô³êè âçàºìíî îáåðíåíèõ ôóíêö³é çá³ãàþòüñÿ. ßêùî<br />
äëÿ çðó÷íîñò³ ìè ðîçãëÿíåìî ôóíêö³þ y = ϕ(x), òî ìîæíà<br />
ïîêàçàòè, ùî ¿¿ ãðàô³ê ñèìåòðè÷íèé äî ãðàô³êà ïðÿìî¿<br />
ôóíêö³¿ â³äíîñíî á³ñåêòðèñè ïåðøîãî ³ òðåòüîãî êîîðäèíàòíèõ<br />
êóò³â. Öå òâåðäæåííÿ íàâîäèòüñÿ â êóðñ³ åëåìåíòàðíî¿<br />
ìàòåìàòèêè.<br />
ßêùî äëÿ äâîõ áóäü-ÿêèõ ð³çíèõ çíà÷åíü àðãóìåíòó õ 1 ³<br />
õ 2 , ÿê³ íàëåæàòü îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ D(f), ³ç íåð³âíîñò³<br />
x 1 < õ 2 âèïëèâàº:<br />
1) f(x 1 )f(x 2 ) — ñïàäíîþ;<br />
4) f(x 1 ) ≥ f(x 2 ) — íåçðîñòàþ÷îþ.<br />
Òàê³ ôóíêö³¿ íàçèâàþòüñÿ ìîíîòîííèìè. Ïðè öüîìó<br />
ôóíêö³¿, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü âèìîãàì 1) àáî 3), íàçèâàþòüñÿ<br />
ñòðîãî ìîíîòîííèìè.<br />
6.1.5. Ïîáóäîâà ãðàô³ê³â ôóíêö³é ìåòîäîì ïåðåòâîðåíü<br />
Âèâ÷åííÿ âèùî¿ ìàòåìàòèêè ïðèïóñêຠäîáð³ çíàííÿ âëàñòèâîñòåé<br />
îñíîâíèõ åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é. ßê áóëî âæå<br />
ñêàçàíî, äî íèõ â³äíîñÿòüñÿ ñòàëà, ñòåïåíåâà, ïîêàçíèêîâà,<br />
ëîãàðèôì³÷íà, òðèãîíîìåòðè÷í³ ³ îáåðíåí³ òðèãîíîìåòðè÷í³<br />
ôóíêö³¿. Ïîâòîðèòè ¿õ âëàñòèâîñò³ ç â³äïîâ³äíîþ ïîáóäîâîþ<br />
ãðàô³ê³â ìîæíà ïî øê³ëüíèì ï³äðó÷íèêàì.<br />
Ïðè ïîäàëüøîìó âèâ÷åíí³ òåìè, ÿêà ïîâ’ÿçàíà ç ïîáóäîâîþ<br />
ãðàô³ê³â ôóíêö³é, âåëüìè êîðèñíèìè áóäóòü áåçïîñåðåäíüî<br />
ïåðåâ³ðÿºì³ òàê³ òâåðäæåííÿ:<br />
1. Ãðàô³ê ôóíêö³¿ y = −f(x) ñèìåòðè÷íèé ãðàô³êó ôóíêö³¿<br />
y = f(x) â³äíîñíî â³ñ³ Îõ.<br />
2. Ãðàô³ê ôóíêö³¿ y = f( x)<br />
ñï³âïàäຠç ãðàô³êîì ôóíêö³¿<br />
y = f(x) â òèõ òî÷êàõ, äå f(x) ≥ 0, ³ ñèìåòðè÷íèé éîìó â³äíîñíî<br />
â³ñ³ Îx â òî÷êàõ, äå f(x) 0, àáî íà b îäèíèöü ìàñøòàáó<br />
âíèç, ÿêùî b
4. Äëÿ ïîáóäîâè ãðàô³êà ôóíêö³¿ y = f(x − a) òðåáà ãðàô³ê<br />
ôóíêö³¿ y = f(x) çñóíóòè ïàðàëåëüíî â³ñ³ Îx íà à îäèíèöü<br />
6.1.6. Äåÿê³ ôóíêö³îíàëüí³ çàëåæíîñò³, ÿê³ âèêîðèñòîâóþòüñÿ<br />
â åêîíîì³ö³<br />
ìàñøòàáó âïðàâî, ÿêùî à > 0, àáî íà a îäèíèöü ìàñøòàáó<br />
âë³âî, ÿêùî à
Íà ðèñ. 6.4, à íàâåäåíî çðàçîê ãðàô³÷íîãî âèçíà÷åííÿ<br />
ôóíêö³¿ ïîïèòó, ÿêà õàðàêòåðèçóº çàëåæí³ñòü ïîïèòó D íà<br />
äåÿêèé òîâàð â³ä éîãî ö³íè ð (D(p) îçíà÷ຠ÷èñëî îäèíèöü<br />
òîâàðó, ÿê³ ïîêóïåöü áàæຠêóïèòè íà ðèíêó çà ö³íîþ ð); íà<br />
ðèñ. 6.4, á íàâåäåíî çðàçîê ãðàô³÷íîãî âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
ïðîïîçèö³¿, ÿêà õàðàêòåðèçóº çàëåæí³ñòü ïðîïîçèö³¿ S äåÿêîãî<br />
òîâàðó â³ä éîãî ö³íè ð (S(p) îçíà÷ຠ÷èñëî îäèíèöü òîâàðó,<br />
ÿê³ ïðîäàâö³ ïðîïîíóþòü äëÿ ïðîäàæó íà ðèíêó); íà<br />
ðèñ. 6.4, â íàâåäåíî çðàçîê ãðàô³÷íîãî âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
êîðèñíîñò³, ÿêà õàðàêòåðèçóº çàëåæí³ñòü ñóá’ºêòèâíî¿ ÷èñëîâî¿<br />
îö³íêè äàíèì ³íäèâ³äîì êîðèñíîñò³ u ê³ëüêîñò³ õ òîâàðó<br />
äëÿ íüîãî); íà ðèñ. 6.4, ã íàâåäåíî çðàçîê ãðàô³÷íîãî<br />
âèçíà÷åííÿ îäíîôàêòîðíî¿ âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿, ÿêà õàðàêòåðèçóº<br />
çàëåæí³ñòü îáñÿãó ó ïðîäóêö³¿, ùî âèïóñêàºòüñÿ â³ä<br />
îá’ºìó õ ïåðåðîáëåíîãî ðåñóðñó; íà ðèñ. 6.4, ä íàâåäåíî çðàçîê<br />
ãðàô³÷íîãî âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ âèòðàò, ÿêà õàðàêòåðèçóº<br />
çàëåæí³ñòü âèòðàò ² íà âèðîáíèöòâî õ îäèíèöü ïðîäóêö³¿; íà<br />
ðèñ. 6.4, å íàâåäåíî çðàçîê ãðàô³÷íîãî âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
ïîäàòêîâî¿ ñòàâêè, ÿêà õàðàêòåðèçóº çàëåæí³ñòü ïîäàòêîâî¿<br />
ñòàâêè N ó â³äñîòêàõ â³ä ðîçì³ðó ð³÷íîãî ïðèáóòêó Q.<br />
Âñ³ ö³ ôóíêö³¿, êð³ì îñòàííüî¿, äóæå âàæêî âèçíà÷èòè<br />
àíàë³òè÷íî. Ïðè íåîáõ³äíîñò³ ¿õ çíàõîäÿòü øëÿõîì êîï³òêîãî<br />
àíàë³çó. Îñòàííÿ æ ôóíêö³ÿ, íàâïðîòè, çâè÷àéíî äîñèòü<br />
äîáðå â³äîìà âñüîìó òîâàðèñòâó ³ çàêîíîäàâ÷î çàòâåðäæåíà.<br />
 äàíèé ÷àñ ïîäàòêîâà ñòàâêà äëÿ ô³çè÷íèõ îñ³á óëàøòîâàíà<br />
â òàêèé ñïîñ³á:<br />
— ÿêùî Q < 17 ãðí. â ì³ñÿöü, òî ïîäàòîê íå ñòÿãóºòüñÿ;<br />
— ÿêùî 17 ãðí. ≤ Q < 85 ãðí., òî ïîäàòîê ñòÿãóºòüñÿ â<br />
ðîçì³ð³ 10%;<br />
— ÿêùî 85 ãðí. ≤ Q < 170 ãðí., òî ïîäàòîê ñòÿãóºòüñÿ â<br />
ðîçì³ð³ 15%,<br />
— ÿêùî 170 ãðí. ≤ Q < 1020 ãðí., òî ïîäàòîê ñòÿãóºòüñÿ<br />
â ðîçì³ð³ 20% ³ òîùî.<br />
Ïðèêëàä 6.1.1. Ðîçãëÿíåìî äåÿêèé òîâàð. Ïðèïóñòèìî,<br />
ùî ôóíêö³¿ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿ â³äïîâ³äíî òàê³:<br />
D(p) =50− p, S(p) =35+2p (òàêå ïðèïóùåííÿ ìîæå áóòè<br />
ñïðàâåäëèâèì â äåÿêèõ ìåæàõ). Òðåáà âèçíà÷èòè ð³âíîâàæíó<br />
ö³íó, òîáòî ö³íó, çà ÿêîþ ïîïèò òà ïðîïîçèö³ÿ ð³âí³ ì³æ<br />
ñîáîþ.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. ²ç óìîâè ïðèêëàäà øóêàíà ö³íà çíàõîäèòüñÿ<br />
ç ðîçâ’ÿçàííÿ ð³âíÿííÿ:<br />
50 − p =35 + 2 p, çâ³äêè ð =5.<br />
Ïðèêëàä 6.1.2. Øëÿõîì òåîðåòè÷íîãî äîñë³äæåííÿ âñòàíîâëåíî,<br />
ùî ôóíêö³ÿ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿ äåÿêîãî òîâàðó<br />
â³äïîâ³äíî âèçíà÷àþòüñÿ òàê:<br />
p + 53<br />
D p = S p = p +<br />
p + 1<br />
2<br />
( ) , ( ) 5<br />
Òðåáà âñòàíîâèòè ð³âíîâàæíó ö³íó.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. ²ç óìîâè øóêàíà ö³íà çíàõîäèòüñÿ ç<br />
ðîçâ’ÿçàííÿ ð³âíÿííÿ:<br />
+ 53 = 2 +<br />
p<br />
p + 1<br />
p<br />
5 , çâ³äêè îòðèìàºìî òàêå ð³âíÿííÿ:<br />
3 2<br />
p + p + p - = .<br />
4 48 0<br />
Ìîæíà ïîêàçàòè (ïåðåâ³ðòå!), ùî îñòàííº ð³âíÿííÿ ìàº<br />
ºäèíèé ä³éñíèé ðîçâ’ÿçîê: p = 3. Öÿ ö³íà ³ º ð³âíîâàæíîþ.<br />
Ïðèêëàä 6.1.3. Íåõàé D = f(p) º ôóíêö³ÿ ïîïèòó íà òîâàð.<br />
Òðåáà çíàéòè îáåðíåíó äî íå¿ ôóíêö³þ (âèçíà÷åííÿ<br />
ö³íè ó çàëåæíîñò³ â³ä ïîïèòó). Îïèø³òü: 1) ÿê çíàõîäèòè<br />
ãðàô³ê ö³º¿ îáåðíåíî¿ ôóíêö³þ çà ãðàô³êîì ôóíêö³¿ ïîïèòó;<br />
2) ÿê çíàéòè çíà÷åííÿ ö³íè òîâàðó ïðè êîíêðåòí³é<br />
âåëè÷èí³ D áåç ïîáóäîâè îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿.<br />
Ðèñ. 6.5<br />
.<br />
166 167
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íåõàé íà ðèñ. 6.5 çîáðàæåíî ãðàô³ê<br />
ôóíêö³¿ ïîïèòó (ÿê â³äîìî, öÿ ôóíêö³ÿ ñïàäíà, ³ òîìó ãðàô³ê<br />
îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿ äëÿ íå¿ ³ñíóº).<br />
1) Ãðàô³ê îáåðíåíî¿ äî íå¿ ôóíêö³¿ ð = ϕ(D) çà ãðàô³êîì<br />
ïðÿìî¿ ôóíêö³¿ D = f(p) òðåáà çíàõîäèòè òàê: à) ÷åðåç<br />
ïî÷àòîê êîîðäèíàò ïðîâåäåìî á³ñåêòðèñó ïåðøîãî ³ òðåòüîãî<br />
êîîðäèíàòíèõ êóò³â; á) â³äíîñíî ïðîâåäåíî¿ á³ñåêòðèñè ïîáóäóºìî<br />
êðèâó, ÿêà ñèìåòðè÷íà ãðàô³êó ôóíêö³¿ D = f(p).<br />
Ïîáóäîâàíà êðèâà ³ áóäå øóêàíèì ãðàô³êîì îáåðíåíî¿<br />
ôóíêö³¿ ïîïèòó.<br />
2) Íåõàé âåëè÷èíà D ô³êñîâàíà (D = w). Ó â³äïîâ³äíîñò³<br />
äî ìàñøòàáó íà â³ñ³ OD çîáðàçèìî òî÷êó, ÿêó ïîçíà÷èìî<br />
áóêâîþ w. ϳñëÿ ÷îãî â³ä òî÷êè w ïðîâîäèìî âïðàâî ïðÿìó<br />
äî ïåðåòèíàííÿ ç ãðàô³êîì ôóíêö³¿ D = f(p). Ïîò³ì ñïðîåêòóºìî<br />
öþ òî÷êó ïåðåòèíó íà â³ñü Op. Îòðèìàíà òî÷êà v ³<br />
º çíà÷åííÿ îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿ ïðè D = w.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
6.10. Íåõàé ôóíêö³ÿ ïîïèòó íà òîâàð ìຠâèãëÿä<br />
7<br />
D( p)<br />
=<br />
p . Ïîêàæ³òü, ùî îáåðíåíà ôóíêö³ÿ ìຠòîé ñàìèé<br />
âèãëÿä.<br />
7<br />
6.11. Íåõàé D( p)<br />
= , S(p) =p. Òðåáà çíàéòè ð³âíîâàæíó<br />
p<br />
ö³íó ç òî÷í³ñòþ äî ï’ÿòîãî çíàêà ï³ñëÿ êîìè.<br />
2 2<br />
6.12. Íåõàé Dp ( ) =- p+ 50, Sp ( ) = p . Òðåáà çíàéòè ïðèðîäí³<br />
îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ ôóíêö³é D(p), S (p) ³ ð³âíîâàæíó ö³íó.<br />
6.13. Íåõàé ôóíêö³¿ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿ ìàþòü â³äïîâ³äíî<br />
âèãëÿä:<br />
ap + b<br />
Dp ( ) = , Sp ( ) = ep+<br />
f.<br />
cp + d<br />
Òðåáà äîâåñòè, ùî ïðè äîäàòíèõ a, b, c, d, e, f ð³âíÿííÿ<br />
D(p) = S(p) ìຠºäèíèé äîäàòíèé êîð³íü. Ùî öå îçíà÷ຠç<br />
åêîíîì³÷íî¿ òî÷êè çîðó?<br />
6.2. ÏÎÍßÒÒß ÏÐÎ ÃÐÀÍÈÖÞ ÔÓÍÊÖ²¯<br />
6.2.1. Ïðîáëåìí³ ïðèêëàäè ³ îçíà÷åííÿ<br />
 ïîïåðåäí³õ ëåêö³ÿõ áóëî ðîçãëÿíóòî ïèòàííÿ ïðî ãðàíèöþ<br />
÷èñëîâî¿ ïîñë³äîâíîñò³, àáî ôóíêö³¿ íàòóðàëüíîãî àðãóìåíòó.<br />
Ó ö³º¿ ôóíêö³¿ àðãóìåíò çì³íþºòüñÿ äèñêðåòíî,<br />
íàáóâàþ÷è çíà÷åíü 1, 2, 3, …, n, … . Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó<br />
àðãóìåíò õ ôóíêö³¿ f(x) íàëåæèòü äåÿê³é ìíîæèí³ Õ. Íàïðèêëàä,<br />
X = ( a, x0) È ( x0,<br />
b)<br />
. Ïðè äîñë³äæåíí³ ôóíêö³¿ f(x) íà<br />
òàê³é ìíîæèí³ çâè÷àéíî âèíèêຠïèòàííÿ ïðî ïîâåä³íêó<br />
ôóíêö³¿ f(x) ïðè íàáëèæåíí³ àðãóìåíòó õ äî õ 0<br />
(õ 0 º ô³êñîâàíå çíà÷åííÿ õ). Ïðè öüîìó ìîæëèâ³ ð³çí³ âèïàäêè.<br />
Äëÿ á³ëüøîãî ðîçóì³ííÿ öüîãî ôàêòó ðîçãëÿíåìî<br />
òàê³ ïðèêëàäè.<br />
Ïðèêëàä 6.2.1. y= x; a=- 1, b= 1, x0<br />
= 0. Ö³ëêîì ïðèðîäíî,<br />
ùî äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ïðîáëåìè ïðî ïîâåä³íêó ôóíêö³¿ ó = õ<br />
ïðè ïðÿìóâàíí³ àðãóìåíòó õ äî íóëÿ òðåáà áðàòè çíà÷åííÿ<br />
õ, ÿê³ áëèçüê³ äî ÷èñëà íóëü (ôðàçà “çíà÷åííÿ õ, ÿê³ áëèçüê³<br />
äî ÷èñëà íóëü” îçíà÷àº, ùî çíà÷åííÿ õ äîñèòü ìàë³ â³äíîñíî<br />
îäèíèö³ ìàñøòàáó ä³éñíî¿ â³ñ³ 0õ), ³ ïðè öüîìó çíàõîäèòè<br />
â³äïîâ³äí³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿. Ïðîöåñ ïðÿìóâàííÿ<br />
àðãóìåíòó õ äî íóëÿ ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³ ïîñë³äîâíîñò³<br />
{x n }, äå lim x n<br />
= 0 .<br />
n→∞<br />
³çüìåìî, íàïðèêëàä,<br />
1<br />
xn<br />
= , n∈ N . ³äïîâ³äí³ çíà÷åííÿ y n<br />
n<br />
ôóíêö³¿ ó = õ â òî÷êàõ x n äîð³âíþþòü 1 . Íåâàæêî ïîáà÷èòè,<br />
ùî êîëè n →∞, òî xn<br />
→ 0 i yn<br />
→ 0 . ² âçàãàë³, ÿêùî ãðà-<br />
n<br />
íèöÿ ïîñë³äîâíîñò³ {x n } äîð³âíþº íóëþ (ïîñë³äîâí³ñòü {x n } º<br />
íåñê³í÷åííî ìàëîþ), òî ³ ãðàíèöÿ ïîñë³äîâíîñò³ {y n } òåæ<br />
äîð³âíþº íóëþ. ijéñíî, îñê³ëüêè x n = y n , òî ãðàíèö³ ïîñë³äîâíîñòåé<br />
{x n }, {y n } ñï³âïàäàþòü ³ äîð³âíþþòü íóëþ. Îòæå, ìè ñ<br />
ïåâí³ñòþ ìîæåìî ñêàçàòè, ùî ïðè ïðÿìóâàíí³ àðãóìåíòó õ<br />
ôóíêö³¿ ó = õ äî íóëÿ â³äïîâ³äí³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òåæ<br />
ïðÿìóþòü äî íóëÿ.<br />
168 169
Ó íàâåäåíîìó ïðèêëàä³ òðåáà â³äçíà÷èòè, ùî ôóíêö³ÿ<br />
ó = õ âèçíà÷åíà ³ â òî÷ö³ õ 0 = 0 ³ â í³é äîð³âíþº íóëþ.<br />
2<br />
x + x<br />
Ïðèêëàä 6.2. 2. y= ; a=− 1, b= 1, x0<br />
= 0.<br />
x<br />
Öåé ïðèêëàä ñóòòºâî â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ïîïåðåäíüîãî.<br />
ßêùî â ïðèêëàä³ 6.2.1 çì³ííà õ ìîãëà ïðèéìàòè çíà÷åííÿ<br />
õ = 0, òî òóò äëÿ çàäàíî¿ ôóíêö³¿ öå çðîáèòè íåìîæëèâî.<br />
Ïðè õ = 0 ìè ìàºìî íåâèçíà÷åí³ñòü âèäó 0 . Ùî öå òàêå,<br />
0<br />
ìè ïîêè ùî íå çíàºìî. Àëå ïðè äîñë³äæåíí³ ïîâåä³íêè<br />
2<br />
x + x<br />
ôóíêö³¿ fx ( ) = ïðè íàáëèæåíí³ õ äî íóëÿ íå îáîâ’ÿçêîâî<br />
äàâàòè çíà÷åííÿ õ = 0. Ìîæíà çàäàâàòè ïîñë³äîâí³ñòü<br />
x<br />
{x n }, åëåìåíòè ÿêî¿ ïðÿìóþòü äî íóëÿ, àëå â³äì³íí³ â³ä íóëÿ<br />
( ≠0,<br />
∀ ∈ )<br />
xn<br />
n N .<br />
³äïîâ³äí³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òàê³:<br />
y<br />
n<br />
( x + 1)<br />
xn<br />
n<br />
= = xn<br />
+ 1 .<br />
x<br />
n<br />
Òóò ñêîðî÷åííÿ ìîæíà çä³éñíèòè, îñê³ëüêè xn<br />
≠ 0, ∀n∈ N .<br />
Òåïåð ö³ëêîì î÷åâèäíî, ùî ÿêùî lim x n<br />
= 0 , òî lim y n<br />
= 1.<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
1<br />
Ïðèêëàä 6.2.3. y = ; a =− 1, b = 1, x<br />
0<br />
= 0 .<br />
x<br />
ßê ³ â ïðèêëàä³ 6.2.2, ó òî÷ö³ õ = 0 ôóíêö³ÿ y = 1<br />
x<br />
íåâèçíà÷åíà,<br />
³ òîìó ïðè äîñë³äæåíí³ ïîâåä³íêè ö³º¿ ôóíêö³¿ ïðè<br />
ïðÿìóâàíí³ x äî íóëÿ òðåáà áðàòè çíà÷åííÿ õ â³äì³íí³ â³ä<br />
x ≠0,<br />
∀n∈N ³ òàê³, ùî lim x n<br />
= 0 . Çíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
íóëÿ ( )<br />
n<br />
n→∞<br />
îá÷èñëþþòüñÿ çà äîïîìîãîþ ôîðìóëè<br />
1<br />
yn<br />
= , à öå îçíà÷àº<br />
x<br />
n<br />
çã³äíî ç òåîðåìîþ 5.1.1, ùî ïîñë³äîâí³ñòü {y n } º íåñê³í÷åííî<br />
âåëèêîþ ³ òîìó lim y n<br />
=∞.<br />
n→∞<br />
Ïðèêëàä 6.2.4. y = sin 1 ; a = − 1, b = 1, x0<br />
= 0 . ßê ³ â ïîïåðåäí³õ<br />
âèïàäêàõ, ó òî÷ö³ õ = 0 ôóíêö³ÿ y = sin íå âè-<br />
x<br />
1<br />
x<br />
çíà÷åíà ³ òîìó çíîâó æ òàêè ïðè äîñë³äæåíí³ ¿¿ ïîâåä³íêè<br />
òðåáà áðàòè çíà÷åííÿ õ, â³äì³íí³ â³ä íóëÿ ( x 0, n )<br />
n<br />
≠ ∀ ∈N ³<br />
òàê³, ùî lim x n<br />
= 0 . Äàë³ â³çüìåìî äâ³ ïîñë³äîâíîñò³, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü<br />
îñòàííþ<br />
n→∞<br />
óìîâó.<br />
1)<br />
2)<br />
1<br />
{ xn}, xn<br />
= , n∈N .<br />
πn<br />
1<br />
{ xn}, xn<br />
= , n∈N .<br />
π + 2 π n<br />
2<br />
1<br />
³äïîâ³äí³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ yn<br />
= sin â ïåðøîìó âèïàä-<br />
xn<br />
, à â äðóãîìó âèïàäêó âîíè<br />
⎛<br />
äîð³âíþþòü<br />
⎛π ⎞ ⎞<br />
1⎜sin⎜<br />
+ 2π n⎟=<br />
1⎟. Îòæå, â íàâåäåíîìó ïðèêëàä³<br />
⎝ ⎝2<br />
⎠ ⎠<br />
êó äîð³âíþþòü íóëþ ( sin π n = 0)<br />
1<br />
ïîâåä³íêà ôóíêö³¿ y = sin ïðè ïðÿìóâàíí³ õ äî íóëÿ íå<br />
x<br />
îäíîçíà÷íà. Öåé ïðèêëàä ïîêàçóº, ùî íå ³ñíóº òàêå ºäèíå<br />
÷èñëî, äî ÿêîãî íàáëèæàþòüñÿ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ (ïîñë³äîâí³ñòü<br />
{y n } íå çá³ãàºòüñÿ).<br />
Ïðèêëàä 6.2.5. y= x⋅ sin 1 ; a=− 1, b= 1, x0<br />
= 0 .<br />
x<br />
170 171
Öÿ ôóíêö³ÿ ÿâëÿº ñîáîþ äîáóòîê äâîõ ôóíêö³é: y = x òà<br />
1<br />
y = sin . Ïåðøà ôóíêö³ÿ â òî÷ö³ õ = 0 âèçíà÷åíà, à äðóãà<br />
x<br />
ôóíêö³ÿ â òî÷ö³ õ = 0 íå âèçíà÷åíà. Òîìó ³ ñàìà ôóíêö³ÿ<br />
1<br />
y= x⋅ sin â òî÷ö³ õ = 0 íå âèçíà÷åíà. Òåïåð â³çüìåìî áóäüÿêó<br />
íåñê³í÷åííî ìàëó ïîñë³äîâí³ñòü {x n }.<br />
x<br />
1<br />
³äïîâ³äí³ çíà÷åííÿ yn<br />
= xn<br />
⋅ sin òåæ óòâîðþþòü íåñê³íxn<br />
÷åííî ìàëó ïîñë³äîâí³ñòü (ïîñë³äîâí³ñòü {y n } — íåñê³í÷åííî<br />
ìàëà ÿê äîáóòîê íåñê³í÷åííî ìàëî¿ ïîñë³äîâíîñò³ {x n } òà<br />
⎛ 1 ⎞<br />
îáìåæåíî¿ ïîñë³äîâíîñò³<br />
⎜<br />
sin ≤ 1<br />
x ⎟). Òàêèì ÷èíîì, ïîâåä³íêà<br />
ôóíêö³¿ ïðè ïðÿìóâàíí³ õ äî íóëÿ ö³ëêîì âèçíà÷åíà. ¯¿<br />
⎝ n ⎠<br />
çíà÷åííÿ òåæ ïðÿìóþòü äî íóëÿ (àáî ïîñë³äîâí³ñòü {y n }<br />
çá³ãàºòüñÿ äî íóëÿ).<br />
Çðîáèìî òåïåð âèñíîâêè. Â ïðèêëàäàõ 6.2.1, 6.2.2, 6.2.5<br />
ïðè äèñêðåòíîìó ïðÿìóâàíí³ õ äî íóëÿ (âçàãàë³<br />
xn<br />
≠ 0, ∀n∈ N ) çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ y n = f(x n ) óòâîðþþòü ïîñë³äîâí³ñòü<br />
{y n }, åëåìåíòè ÿêî¿ ïðÿìóþòü äî ö³ëêîì âèçíà÷åíîãî<br />
÷èñëà (â³äïîâ³äíî 0, 1, 0). Ö³ ÷èñëà õàðàêòåðèçóþòü ïîâåä³íêó<br />
â³äïîâ³äíèõ ôóíêö³é ïðè äèñêðåòíîìó ïðÿìóâàíí³ õ<br />
äî íóëÿ.<br />
Çàóâàæåííÿ. Ïðèêëàäè, àíàëîã³÷í³ ïðèêëàäàì 6.2.1,<br />
6.2.2, 6.2.5, ìîæíà íàâåñòè ïðè äîñë³äæåíí³ äåÿêî¿ ôóíêö³¿<br />
â áóäü-ÿê³é òî÷ö³ ä³éñíî¿ â³ñ³.  çâ’ÿçêó ç öèì ó ìàòåìàòèö³<br />
âèíèêëî âàæëèâå ïîíÿòòÿ: ãðàíèöÿ ôóíêö³¿ â òî÷ö³.<br />
Îçíà÷åííÿ 6.2.1. Íåõàé ôóíêö³ÿ y = f(x) âèçíà÷åíà íà<br />
ìíîæèí³ X = ( a, x0) ∪ ( x0,<br />
b)<br />
. Òîä³ ñòàëå ÷èñëî À íàçèâàºòüñÿ<br />
ãðàíèöåþ ôóíêö³¿ â òî÷ö³ õ = õ 0 (àáî êîëè õ → õ 0 ) ³ ñèìâîë³÷íî<br />
çàïèñóþòü<br />
lim fx ( ) = A,<br />
x→x0<br />
ÿêùî áóäü-ÿêà ïîñë³äîâí³ñòü {x n }, ÿêà íàëåæèòü ìíîæèí³ Õ<br />
xn<br />
x0,<br />
n N , íàðîäæóº ïîñë³äîâí³ñòü<br />
çíà÷åíü ôóíêö³¿ {f(x n )}, ùî çá³ãàºòüñÿ äî ÷èñëà<br />
À.<br />
Çã³äíî ç îçíà÷åííÿì 6.2.1 ãðàíèö³ ôóíêö³é, ðîçãëÿíóòèõ<br />
â ïðèêëàäàõ 6.2.1, 6.2.2, 6.2.5, áóäóòü â³äïîâ³äíî äîð³âíþâàòè<br />
0, 1, 0.<br />
Äîñë³äæåííÿ ïîâåä³íêè ôóíêö³¿ y = f(x) íà ìíîæèí³<br />
³ çá³ãàºòüñÿ äî òî÷êè õ = õ 0 ( ≠ ∀ ∈ )<br />
( , ) ( , )<br />
X = a x0 ∪ x0<br />
b , êîëè õ → õ 0 , ìîæíà çä³éñíèòè ³ ³íøèì<br />
øëÿõîì, äå çíà÷åííÿ àðãóìåíòó õ ðîçãëÿäàþòü íåäèñêðåòíî,<br />
à íåïåðåðâíî. Ïîÿñíèìî öå íà ïðèêëàä³ 6.2.1. Çà îçíà÷åííÿì<br />
6.2.1 limy<br />
= 0 . Öåé ôàêò ìîæíà ³íòåðïðåòóâàòè òàê:<br />
x→0<br />
ÿêèì áè íå áóëî ìàëèì ÷èñëî ε, çíàéäóòüñÿ òàê³ çíà÷åííÿ<br />
àðãóìåíòó õ, ùî çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ áóäóòü ìåíøèìè öüîãî<br />
÷èñëà ε. Ðîçãëÿíåìî ìíîæèíó òî÷îê õ, ÿêà çàäîâîëüíÿº íåð³âí³ñòü<br />
x 0 (ðîçãëÿíóòà ìíîæèíà ïîâèííà áóòè ï³äìíîæèíîþ<br />
ìíîæèíè Õ). Òîä³ î÷åâèäíî, ùî ìíîæèíà çíà-<br />
÷åíü ôóíêö³¿ ó = õ çàäîâîëüíÿº íåð³âí³ñòü y 0 ∃δ( ε ) > 0 òàêå,<br />
ùî ∀ õ, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü âèìîãó<br />
0 < |x – õ 0 | < δ(ε),<br />
ôóíêö³ÿ y = f(x) çàäîâîëüíÿº íåð³âí³ñòü<br />
|f(x) – A| < ε.<br />
Öåé ôàêò çàïèñóþòü ó âèãëÿä³<br />
lim fx ( ) = A. (6.2.1)<br />
x→x0<br />
172 173
Çàóâàæåííÿ 1. Ïåðøå îçíà÷åííÿ ãðàíèö³ ôóíêö³¿<br />
íàçèâàºòüñÿ îçíà÷åííÿì çà Ãåéíå 1 . ²íêîëè êàæóòü, ùî ïåðøå<br />
îçíà÷åííÿ ãðàíèö³ ôóíêö³¿ äàºòüñÿ íà ìîâ³ ïîñë³äîâíîñò³.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Äðóãå îçíà÷åííÿ ãðàíèö³ ôóíêö³¿ íàçèâàºòüñÿ<br />
îçíà÷åííÿì çà Êîø³ 2 . ²íêîëè êàæóòü, ùî äðóãå<br />
îçíà÷åííÿ ãðàíèö³ ôóíêö³¿ äàºòüñÿ íà ìîâ³ ”ε−δ”.<br />
Òåîðåìà 6.2.1. Îçíà÷åííÿ ãðàíèö³ ôóíêö³¿ çà Ãåéíå òà<br />
çà Êîø³ åêâ³âàëåíòí³, òîáòî ç ïåðøîãî îçíà÷åííÿ âèïëèâàº<br />
äðóãå ³ íàâïàêè.<br />
Ïðè äîñë³äæåíí³ ôóíêö³é äóæå âàæëèâèì º ïîíÿòòÿ<br />
îäíîñòîðîíí³õ ãðàíèöü.<br />
Îçíà÷åííÿ 6.2.3. ×èñëî À 1 (À 2 ) íàçèâàºòüñÿ ãðàíèöåþ<br />
ôóíêö³¿ y = f(x) ñïðàâà (çë³âà) ïðè õ → õ 0 , x > õ 0 (x < õ 0 ),<br />
ÿêùî ôóíêö³ÿ âèçíà÷åíà â ïðàâîìó (ë³âîìó) δ-îêîë³ òî÷êè<br />
õ 0 ³ äëÿ ∀ε > 0 ∃ δ(ε) > 0, ùî ∀ õ òàêèõ, ùî<br />
õ 0 < x < õ 0 + δ (õ 0 – δ < x < õ 0 ) âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü<br />
|f(x) – A 1 |0∃δ> 0: òàêå, ùî ∀ õ 0 M. Ïîçíà÷àºòüñÿ lim fx ( ) =∞.<br />
x→x0<br />
Òåîðåìè, ðîçãëÿíóò³ â ï. 5.2.2 ïðî ãðàíèö³ ïîñë³äîâíîñòåé,<br />
ñïðàâåäëèâ³ ³ äëÿ ôóíêö³é. Çîêðåìà, ñïðàâåäëèâ³ òàê³<br />
òåîðåìè.<br />
Òåîðåìà 6.2.2. ßêùî ôóíêö³ÿ ìຠãðàíèöþ, òî âîíà<br />
ºäèíà.<br />
Òåîðåìà 6.2.3. Íåõàé ³ñíóþòü<br />
Òîä³ ñïðàâåäëèâ³ òàê³ òâåðäæåííÿ:<br />
lim fx ( ) = A ³<br />
x→x0<br />
1)–2) lim ( fx ( ) ±ϕ ( x) ) = A± B;<br />
3) lim ( )<br />
x→x0<br />
cf x = c f x = cA c −<br />
x→x0<br />
4) lim ( ( )) lim ( ) , ñòàëà;<br />
5)<br />
x→x0 x→x0<br />
fx ()<br />
= A , B ≠0.<br />
x x B<br />
lim<br />
→ 0 ϕ () x<br />
lim ϕ ( x)<br />
= B .<br />
x→x0<br />
fx ( ) ⋅ϕ ( x) = A⋅B;<br />
Òåîðåìà 6.2.4. Íåõàé ³ñíóþòü ãðàíèö³ lim fx ( ),<br />
lim ψ ( x)<br />
,<br />
x→x0<br />
x→x0<br />
ÿê³ äîð³âíþþòü îäíîìó ³ òîìó ñàìîìó ÷èñëó A. Êð³ì öüîãî,<br />
â îêîë³ òî÷êè õ = x 0 , çà âèíÿòêîì, ìîæëèâî, ñàìî¿ òî÷êè, ìàº<br />
ì³ñöå ïîäâ³éíà íåð³âí³ñòü<br />
Òîä³ ³ñíóº ãðàíèöÿ<br />
x→x0<br />
fx ( ) ≤ϕ( x) ≤ψ ( x)<br />
. (6.2.2)<br />
lim ϕ ( x)<br />
, ³ âîíà òåæ äîð³âíþº ÷èñëó A,<br />
òîáòî lim ϕ ( x)<br />
= A.<br />
x→x0<br />
Äîâåäåìî îäíó ç öèõ òåîðåì, íàïðèêëàä 6.2.4.<br />
Äîâåäåííÿ áóäåìî ïðîâîäèòè êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì<br />
ãðàíèö³ ôóíêö³¿ çà Ãåéíå. Ðîçãëÿíåìî äîâ³ëüíó<br />
ïîñë³äîâí³ñòü {x n }, ÿêà ïðÿìóº äî x 0 (x n ≠ x 0 ). Ïðè öüîìó<br />
çàâäÿêè ïîäâ³éí³é íåð³âíîñò³ (6.2.2) âîíà íàðîäæóº åëåìåíòè<br />
ïîñë³äîâíîñòåé çíà÷åíü ôóíêö³é fx (<br />
n), j( xn), y ( xn)<br />
, ÿê³<br />
çàäîâîëüíÿþòü òàêó ïîäâ³éíó íåð³âí³ñòü<br />
fx ( ) £j ( x) £y( x ).<br />
n n n<br />
174 175
Çã³äíî ç îçíà÷åííÿì ãðàíèö³ ôóíêö³¿ çà Ãåéíå ³ ó â³äïîâ³äíîñò³<br />
äî óìîâ òåîðåìè åëåìåíòè fx (<br />
n), y ( xn)<br />
â³äïîâ³äíèõ<br />
ïîñë³äîâíîñòåé ïðÿìóþòü äî ÷èñëà À. Òåïåð çàñòîñóºìî òåîðåìó<br />
5.2.5 ïðî òðè ïîñë³äîâíîñò³. Íà îñíîâ³ ¿¿ îòðèìàºìî,<br />
ùî ³ñíóº ãðàíèöÿ lim ϕ ( x)<br />
³, á³ëüø òîãî, lim ϕ ( x)<br />
= A. Òåîðåìó<br />
x→x0<br />
x→x0<br />
äîâåäåíî.<br />
Òâåðäæåííÿ òåîðåìè 6.2.3 ïðîïîíóºìî äîâåñòè ÷èòà÷åâ³<br />
ñàìîñò³éíî.<br />
Ìîæíà òàêîæ ðîçãëÿäàòè ãðàíèö³ ôóíêö³é ïðè x → ±∞<br />
(ãðàíèö³ ôóíêö³é íà íåñê³í÷åííîñò³).<br />
Ïðèïóñòèìî, ùî ôóíêö³ÿ y = f(x) âèçíà÷åíà, íàïðèêëàä,<br />
íà ìíîæèí³ âñ³õ äîäàòíèõ ä³éñíèõ ÷èñåë, ³ íåõàé àðãóìåíò<br />
õ íåîáìåæåíî çðîñòຠ(öå çàïèñóþòü òàê: x → +∞). Ïðè öüîìó<br />
ìîæå ñòàòèñÿ òàê, ùî ïðè íåîáìåæåíîìó çðîñòàíí³ õ<br />
çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ ìîæå íàáëèæàòèñÿ äî äåÿêîãî ÷èñëà À.<br />
Ó öüîìó âèïàäêó ÷èñëî À íàçèâàþòü ãðàíèöåþ ôóíêö³¿ ïðè<br />
x → +∞.<br />
Îçíà÷åííÿ 6.2.5. ×èñëî À íàçèâàþòü ãðàíèöåþ ôóíêö³¿<br />
ïðè x → +∞, ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêîãî äîäàòíîãî ÷èñëà ε ³ñíóº<br />
òàêå äîäàòíå ÷èñëî ∆ + , ùî ç íåð³âíîñò³ x > ∆ + âèïëèâຠíåð³âí³ñòü<br />
|f(x) –A| < ε.<br />
Òîé ôàêò, ùî ÷èñëî À º ãðàíèöåþ ôóíêö³¿ f(x) ïðè<br />
x → +∞, çàïèñóþòü òàê:<br />
limfx ( ) = A.<br />
x →∞<br />
Àíàëîã³÷íî îçíà÷àºòüñÿ ãðàíèöÿ ôóíêö³¿ ïðè x →−∞.<br />
Îçíà÷åííÿ 6.2.6. ×èñëî  íàçèâàþòü ãðàíèöåþ ôóíêö³¿<br />
ïðè x →−∞, ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêîãî äîäàòíîãî ÷èñëà ε ³ñíóº<br />
òàêå â³ä’ºìíå ÷èñëî ∆ − , ùî äëÿ âñ³õ õ < ∆ − âèïëèâຠíåð³âí³ñòü<br />
|f(x) –B| < ε.<br />
Òîé ôàêò, ùî ÷èñëî B º ãðàíèöåþ ôóíêö³¿ f(x) ïðè<br />
x →−∞, çàïèñóþòü òàê:<br />
lim fx ( ) = B.<br />
x→−∞<br />
6.2.2. Ïîð³âíÿííÿ íåñê³í÷åííî ìàëèõ âåëè÷èí<br />
Ïðè äîñë³äæåíí³ ïîâåä³íêè íåñê³í÷åííî ìàëî¿ ôóíêö³¿ ó<br />
äàí³é òî÷ö³ â ìàòåìàòè÷íîìó àíàë³ç³ ³ñíóº äîñèòü åôåêòèâíèé<br />
ìåòîä, ÿêèé áàçóºòüñÿ íà ïîð³âíÿíí³ äîñë³äæóâàíî¿<br />
íåñê³í÷åííî ìàëî¿ ôóíêö³¿ ç â³äîìîþ (åòàëîííîþ) íåñê³í-<br />
÷åííî ìàëîþ ôóíêö³ºþ ó âèãëÿä³ ãðàíèö³ â³äíîøåííÿ ¿õ. Ó<br />
çàëåæíîñò³ â³ä òîãî, ÷îìó äîð³âíþº öÿ ãðàíèöÿ, íåñê³í÷åííî<br />
ìàëèì ôóíêö³ÿì äàþòü ïåâíó íàçâó.<br />
Ïîäàìî òàê³ ïîçíà÷åííÿ. Íåõàé α(õ) ³ β(õ) º íåñê³í÷åííî<br />
ìàë³ ôóíêö³¿ â òî÷ö³ õ 0 ∈(à, b); ÿê ³ ðàí³øå, õ 0 ìîæå áóòè é<br />
íåâëàñòèâîþ (x 0 = ∞).<br />
Îçíà÷åííÿ 6.2.7. Ôóíêö³ÿ α(õ) íàçèâàºòüñÿ íåñê³í÷åííî<br />
ìàëîþ ôóíêö³ºþ âèùîãî ïîðÿäêó ìàëèçíè, í³æ ôóíêö³ÿ<br />
α( x)<br />
β(õ), ÿêùî lim = 0 . Ïðè öüîìó β(õ) íàçèâàºòüñÿ íåñê³íx<br />
→ x 0 β ( x )<br />
÷åííî ìàëîþ íèæ÷îãî ïîðÿäêó ìàëèçíè, í³æ α(õ). Öåé ôàêò<br />
ñèìâîë³÷íî ïîçíà÷àºòüñÿ òàê: α(x) =o(β(x)), êîëè x → x 0 (÷èòàºòüñÿ<br />
“î-ìàëå”).<br />
Îçíà÷åííÿ 6.2.8. Ôóíêö³¿ α(õ) ³ β(õ) íàçèâàþòüñÿ íåñê³í-<br />
÷åííî ìàëèìè îäíàêîâîãî ïîðÿäêó ìàëèçíè, ÿêùî<br />
α<br />
lim ( x )<br />
x → x ( )<br />
0 β x<br />
= c , äå ñ º â³äì³ííå â³ä íóëÿ ÷èñëî. Öåé ôàêò ñèìâîë³÷íî<br />
ïîçíà÷àºòüñÿ òàê: α(x) =Î(β(x)), êîëè x → x 0 (÷èòà-<br />
ºòüñÿ “Î-âåëèêå”). ßêùî æ ñ = 1, òî α(õ) ³ β(õ) íàçèâàþòüñÿ<br />
â òî÷ö³ õ 0 åêâ³âàëåíòíèìè, ³ çàïèñóþòü α(õ) ∼ β(õ).<br />
Ïðèêëàä 6.2.6. Íåõàé α(õ) =õ 2 , β(õ) =õ. Òîä³ α(õ) ³ β(õ)<br />
â òî÷ö³ õ = 0 º íåñê³í÷åííî ìàë³ ôóíêö³¿. Çíàéäåìî<br />
2<br />
α( x)<br />
x<br />
lim = lim = lim x = 0 .<br />
x → 0 β( x)<br />
x → 0 x x → 0<br />
Îòæå, α(õ) º íåñê³í÷åííî ìàëà ôóíêö³ÿ âèùîãî ïîðÿäêó<br />
ìàëèçíè, í³æ β(õ) ïðè x → 0.<br />
Ïðèêëàä 6.2.7. Íåõàé α(õ) =õ −2 , β(õ) =õ −1 , òîä³<br />
lim α ( x) = 0, limβ ( x) = 0,<br />
x→∞<br />
x→∞<br />
176 177
òîáòî α(õ) ³ β(õ) íà íåñê³í÷åííîñò³ º íåñê³í÷åííî ìàë³ ôóíêö³¿.<br />
Çíàéäåìî<br />
α( x)<br />
β( x)<br />
x<br />
x<br />
−2<br />
−1<br />
lim = lim =<br />
1 lim x =<br />
−<br />
x→∞ x→∞ x→∞<br />
0 .<br />
Îòæå, α(õ) º íåñê³í÷åííî ìàëîþ ôóíêö³ºþ âèùîãî ïîðÿäêó<br />
ìàëèçíè, í³æ β(õ), êîëè õ ïðÿìóº äî íåñê³í÷åííîñò³.<br />
Çì³ñòîâí³ ïðèêëàäè íåñê³í÷åííî ìàëèõ ôóíêö³é îäíàêîâîãî<br />
ïîðÿäêó ìàëèçíè áóäå ðîçãëÿíóòî òðîõè ï³çí³øå.<br />
6.2.3. Äâ³ âàæëèâ³ ãðàíèö³<br />
6.2.3 à. Ïåðøà âàæëèâà ãðàíèöÿ. Äîâåäåìî, ùî<br />
sin x<br />
lim = 1 . (6.2.3)<br />
x → 0 x<br />
Ä î â å ä å í í ÿ áóäåìî ïðîâîäèòè ïîåòàïíî.<br />
1 0 . Äîâåäåííÿ ïîäâ³éíî¿ íåð³âíîñò³<br />
p<br />
sin x< x< tg x, 0 < x< . (6.2.4)<br />
2<br />
2 0 . Äîâåäåííÿ íåð³âíîñò³<br />
sin x £ x ,<br />
p<br />
x < .<br />
2<br />
(6.2.5)<br />
3 0 . Äîâåäåííÿ ð³âíîñò³<br />
4 0 . Äîâåäåííÿ ð³âíîñò³<br />
limsin x = 0 . (6.2.6)<br />
x →0<br />
lim cos x = 1 . (6.2.7)<br />
x →0<br />
5 0 . Çàâåðøåííÿ äîêàçó ð³âíîñò³ (6.2.3).<br />
1 0 . Ðîçãëÿíåìî äóãó êîëà ðàä³óñà R = 1 ç öåíòðàëüíèì<br />
êóòîì, ðàäiàííà ì³ðà ÿêîãî äîð³âíþº x æ ö<br />
p<br />
ç 0< < çè<br />
x 2÷<br />
ø<br />
(ðèñ. 6.6).<br />
Òîä³ 0À = 1, sin x = MK, tg x = AT.<br />
Ðèñ. 6.6<br />
Î÷åâèäíî, ùî ïëîùà òðèêóòíèêà 0ÀÌ ìåíøà ïëîù³ ñåêòîðà<br />
0ÀÌ, êîòðà â ñâîþ ÷åðãó ìåíøà ïëîù³ òðèêóòíèêà<br />
0ÀÒ. Çàâäÿêè öüîìó ôàêòó îòðèìàºìî òàêó ïîäâ³éíó íåð³âí³ñòü<br />
1 1 1<br />
sin x< x< tg x .<br />
2 2 2<br />
²ç îñòàííüî¿ íåð³âíîñò³ ³ âèïëèâຠíåð³âí³ñòü (6.2.4).<br />
2 0 . Ó òî÷ö³ õ = 0 ìຠì³ñöå ð³âí³ñòü (0 = 0). ßêùî õ çàäîâîëüíÿº<br />
íåð³âí³ñòü 0 < x < , òî çã³äíî ç 1 0 ìàºìî<br />
p<br />
2<br />
sin x < x àáî sin x < x .<br />
Òåïåð ðîçãëÿíåìî âèïàäîê, êîëè x æ p ö<br />
Î- ç ,0<br />
çè 2 ø÷<br />
.<br />
Òîä³ î÷åâèäíî, ùî<br />
sin x =-sin( - x) = sin( - x)
sin x- 0 < x- 0
ïîñë³äîâí³ñòü g(f(x n )). Ïðè öüîìó ìຠì³ñöå ð³âí³ñòü (6.2.11).<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Öÿ òåîðåìà äîçâîëÿº îá÷èñëþâàòè ãðàíèö³, ïåðåõîäÿ÷è<br />
â³ä çì³ííî¿ õ äî íîâî¿ çì³ííî¿ y = f(x).<br />
Çàóâàæåííÿ. ßêùî ìຠì³ñöå ð³âí³ñòü<br />
lim gy ( ) = ga ( ), (6.2.12)<br />
y → a<br />
òî ð³âí³ñòü (6.2.11) ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³ ôîðìóëè:<br />
⎛ ⎞<br />
lim gfx (()) = g⎜lim<br />
fx () ⎟<br />
⎝ ⎠ , (6.2.13)<br />
x→x0 x→x0<br />
ç ÿêî¿ âèäíî, ùî çíàê ãðàíèö³ òà çíàê ôóíêö³¿ ïðè âèêîíàíí³<br />
óìîâè (6.2.12) ìîæíà ïåðåñòàâëÿòè.<br />
Ôóíêö³¿, ÿê³ ìàþòü âëàñòèâîñò³ (6.2.11) — (6.2.13), íàçèâàþòüñÿ<br />
íåïåðåðâíèìè â òî÷ö³ x = x 0 , ¿õ ìè ðîçãëÿíåìî â<br />
íàñòóïíîìó ïóíêò³.<br />
6.3. ÍÅÏÅÐÅÐÂͲÑÒÜ ÔÓÍÊÖ²¯<br />
6.3.1. Íåïåðåðâí³ñòü ôóíêö³¿ â òî÷ö³<br />
Íåõàé ôóíêö³ÿ y = f(x) âèçíà÷åíà íà ìíîæèí³<br />
X = ( a, x0) È ( x0,<br />
b)<br />
. Ðàí³øå, ïðè ðîçãëÿä³ ãðàíèö³ ôóíêö³¿ â<br />
òî÷ö³ õ 0 , íàñ íå ö³êàâèëî, ÷è º ôóíêö³ÿ y = f(x) âèçíà÷åíîþ<br />
â òî÷ö³ õ 0 , ÷è í³. Òåïåð ïðèïóñòèìî, ùî ³ â òî÷ö³ õ 0 ôóíêö³ÿ<br />
y = f(x) âèçíà÷åíà, òîáòî ôóíêö³ÿ y = f(x) âèçíà÷åíà íà ³íòåðâàë³<br />
(a, b). Ïðè öüîìó ö³ëêîì ïðèðîäíî ââàæàòè ãðàíèöåþ<br />
ôóíêö³¿ y = f(x) â òî÷ö³ õ 0 ÷èñëî f(x 0 ). Ó çâ’ÿçêó ç öèì<br />
ââîäèòüñÿ ïîíÿòòÿ íåïåðåðâíîñò³ ôóíêö³¿ â òî÷ö³.<br />
Îçíà÷åííÿ 6.3.1. Ôóíêö³ÿ y = f(x) íàçèâàºòüñÿ íåïåðåðâíîþ<br />
â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b), ÿêùî âèêîíóþòüñÿ òàê³ äâ³ óìîâè:<br />
1) ôóíêö³ÿ y = f(x) âèçíà÷åíà â òî÷ö³ õ 0 ;<br />
2) ³ñíóº ãðàíèöÿ lim fx ( ), ³ âîíà äîð³âíþº çíà÷åííþ ôóíêö³¿<br />
â ñàì³é òî÷ö³ õ 0 ,<br />
x→x0<br />
òîáòî<br />
x→x0<br />
= fx0<br />
.<br />
lim fx ( ) ( )<br />
Ö³ëêîì î÷åâèäíî, ùî ÿêùî ôóíêö³ÿ y = f(x) íåïåðåðâíà<br />
â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b), òî ðîëü ãðàíèö³ â òî÷ö³ õ 0 â³ä³ãðຠ÷èñëî<br />
f(x 0 ). Òîìó, âèêîðèñòàâøè îçíà÷åííÿ ãðàíèö³ ôóíêö³¿ çà<br />
Êîø³ òà Ãåéíå â òî÷ö³ õ 0 , ìîæíà äàòè òàê³ îçíà÷åííÿ.<br />
Îçíà÷åííÿ 6.3.2. Ôóíêö³ÿ y = f(x) íàçèâàºòüñÿ íåïåðåðâíîþ<br />
â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b), ÿêùî áóäü-ÿêà ïîñë³äîâí³ñòü {x n },<br />
ÿêà íàëåæèòü ³íòåðâàëó (a, b) ³ çá³ãàºòüñÿ äî òî÷êè<br />
õ 0 ∈ (a, b), íàðîäæóº ïîñë³äîâí³ñòü çíà÷åíü ôóíêö³¿ {f(x n )},<br />
ÿêà çá³ãàºòüñÿ äî ÷èñëà f(x 0 ).<br />
Îçíà÷åííÿ 6.3.3. Ôóíêö³ÿ y = f(x) íàçèâàºòüñÿ íåïåðåðâíîþ<br />
â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b), ÿêùî ∀ε > 0 ∃ δ(ε) > 0, ùî ∀ õ, ÿê³<br />
çàäîâîëüíÿþòü âèìîãó 0 ≤ |x – õ 0 | < δ(ε) ôóíêö³ÿ y = f(x)<br />
çàäîâîëüíÿº íåð³âí³ñòü |f(x) – f(x 0 )| < ε.<br />
Çàóâàæåííÿ. ϳäêðåñëèìî ùå ðàç, ùî â íàâåäåíèõ<br />
îçíà÷åííÿõ ôóíêö³ÿ y = f(x) âèçíà÷åíà íà ³íòåðâàë³ (a, b).<br />
Êð³ì òîãî, â îçíà÷åíí³ 6.3.3 ââàæàºòüñÿ, ùî δ-îê³ë òî÷êè õ 0<br />
íàëåæèòü ³íòåðâàëó (a, b).<br />
Êîðèñòóþ÷èñü ïîíÿòòÿì îäíîñòîðîíí³õ ãðàíèöü, ìîæíà<br />
ââåñòè<br />
Îçíà÷åííÿ 6.3.4. Ôóíêö³ÿ y = f(x) íàçèâàºòüñÿ íåïåðåðâíîþ<br />
â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b), ÿêùî âèêîíóþòüñÿ òàê³ 5 óìîâ:<br />
1) ôóíêö³ÿ y = f(x) âèçíà÷åíà â òî÷ö³ õ 0 ;<br />
2) ³ñíóº ë³âîñòîðîííÿ ãðàíèöÿ, òîáòî ³ñíóº ÷èñëî f(x 0 −0);<br />
3) ³ñíóº ïðàâîñòîðîííÿ ãðàíèöÿ, òîáòî ³ñíóº ÷èñëî f(x 0 +0);<br />
4) ë³âîñòîðîííÿ é ïðàâîñòîðîííÿ ãðàíèö³ ð³âí³<br />
f(x 0 − 0) = f(x 0 +0);<br />
5) ë³âîñòîðîííÿ é ïðàâîñòîðîííÿ ãðàíèö³ äîð³âíþþòü<br />
çíà÷åííþ ôóíêö³¿ â òî÷ö³ õ 0 , òîáòî<br />
f(x 0 − 0) = f(x 0 +0)=f(x 0 ). (6.3.1)<br />
Íàðåøò³, äàìî ùå îäíå îçíà÷åííÿ íåïåðåðâíîñò³ ôóíêö³¿<br />
â òî÷ö³. ßê ³ ðàí³øå, ïðèïóñòèìî, ùî ôóíêö³ÿ y = f(x) âèçíà÷åíà<br />
íà ³íòåðâàë³ (a, b). Äàë³ â³çüìåìî äâ³ äîâ³ëüí³ òî÷êè<br />
ç öüîãî ³íòåðâàëó õ 0 ³ õ 0 +∆õ, äå ∆õ = õ − õ 0 .<br />
Òîä³ ÷èñëî ∆õ íàçèâàþòü ïðèðîñòîì àðãóìåíòó, à ÷èñëî<br />
∆ó = f(x 0 + ∆x) − f(x 0 ) — ïðèðîñòîì ôóíêö³¿ y = f(x) â òî÷ö³<br />
õ 0 .<br />
182 183
Îçíà÷åííÿ 6.3.5 Ôóíêö³ÿ y = f(x) íàçèâàºòüñÿ íåïåðåðâíîþ<br />
â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b), ÿêùî<br />
lim ∆ y = 0 . (6.3.2)<br />
∆x→0<br />
Íàâåäåí³ òóò ï’ÿòü îçíà÷åíü íåïåðåðâíîñò³ ôóíêö³¿ â<br />
òî÷ö³ º åêâ³âàëåíòíèìè â òîìó ðîçóì³íí³, ùî êîëè ôóíêö³ÿ<br />
y = f(x) íåïåðåðâíà çà ÿêèì-íåáóäü îçíà÷åííÿì, òî âîíà íåïåðåðâíà<br />
é çà ðåøòîþ îçíà÷åíü, òà íàâïàêè.<br />
6.3.2. Àðèôìåòè÷í³ îïåðàö³¿ íàä íåïåðåðâíèìè<br />
ôóíêö³ÿìè<br />
Ïðè óòâîðåíí³ íîâèõ ôóíêö³é ³ç ìíîæèíè íåïåðåðâíèõ<br />
åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é çà äîïîìîãîþ àðèôìåòè÷íèõ ä³é<br />
âèíèêຠïèòàííÿ: ÷è áóäóòü âîíè òåæ íåïåðåðâíèìè. Íà öå<br />
çàïèòàííÿ äຠâ³äïîâ³äü òàêà òåîðåìà.<br />
Òåîðåìà 6.3.1. Íåõàé ôóíêö³¿ f(x) i ϕ(x) íåïåðåðâí³ â<br />
òî÷ö³ õ 0 . Òîä³ â ö³é òî÷ö³ áóäóòü íåïåðåðâíèìè òàê³ ôóíêö³¿:<br />
1)–2) fx ( ) ±j ( x)<br />
; 3) fx ( ) ×j ( x)<br />
; 4)<br />
fx ( )<br />
, äå j ( x0<br />
) ¹ 0.<br />
j( x)<br />
Äîâåäåìî òâåðäæåííÿ 4). Äëÿ öüîãî çàñòîñóºìî ïåðøå<br />
îçíà÷åííÿ íåïåðåðâíîñò³ ôóíêö³¿ â òî÷ö³ ³ òâåðäæåííÿ 4<br />
fx ( )<br />
òåîðåìè 5.2.3. Ââåäåìî ôóíêö³þ y ( x)<br />
= . j ( x)<br />
Îñê³ëüêè j ( x0<br />
) ¹ 0, òî áóäåìî ìàòè<br />
fx ( ) fx (<br />
0)<br />
lim x lim<br />
x → x 0 x → x 0 ϕ ( x ) ϕ ( x0<br />
)<br />
ψ ( ) = = = ψ( x0)<br />
.<br />
Îòæå, ãðàíèöÿ ôóíêö³¿ ψ(x) ïðè x → x 0 äîð³âíþº çíà÷åííþ<br />
ôóíêö³¿ â òî÷ö³ õ 0 , à öå îçíà÷àº, ùî ôóíêö³ÿ ψ(x) íåïåðåðâíà<br />
â òî÷ö³ õ 0 . Òâåðäæåííÿ äîâåäåíî.<br />
6.3.3. Òî÷êè ðîçðèâó ôóíêö³¿ òà ¿õ êëàñèô³êàö³ÿ<br />
ßêùî â îçíà÷åííÿõ 6.3.1 − 6.3.5 íå âèêîíóºòüñÿ õî÷à á<br />
îäíà óìîâà, òî òî÷êà õ 0 ∈ (a, b) íàçèâàºòüñÿ òî÷êîþ ðîçðèâó<br />
ôóíêö³¿.  çàëåæíîñò³ â³ä òîãî, ÿê³ óìîâè íå âèêîíóþòüñÿ,<br />
òî÷êè ðîçðèâó ïîä³ëÿþòüñÿ íà óñóâí³, òî÷êè ðîçðèâó ïåðøîãî<br />
ðîäó òà òî÷êè ðîçðèâó äðóãîãî ðîäó.<br />
Îçíà÷åííÿ 6.3.6. Òî÷êà ðîçðèâó õ 0 ôóíêö³¿ y = f(x) íàçèâàºòüñÿ<br />
óñóâíîþ, ÿêùî â òî÷ö³ õ 0 ôóíêö³ÿ y = f(x) íå âèçíà-<br />
÷åíà, àëå â í³é ³ñíóº ãðàíèöÿ ôóíêö³¿.<br />
Îçíà÷åííÿ ñòàíå çðîçóì³ëèì, ï³ñëÿ òîãî ÿê ìè ââåäåìî<br />
òàê çâàíó “äîâèçíà÷åíó” ôóíêö³þ<br />
ì fx ( ), ÿêùî x¹<br />
x0;<br />
% fx ( ) = í<br />
ï<br />
ïlim fx ( ), ÿêùî x=<br />
x0.<br />
ïî x®<br />
x0<br />
Âîíà çà îçíà÷åííÿì 6.3.1 º íåïåðåðâíîþ â òî÷ö³ õ 0 .<br />
sin x<br />
Ïðèêëàä 6.3.1. Òðåáà äîâèçíà÷èòè ôóíêö³þ fx ( ) = â<br />
x<br />
òî÷ö³ õ = 0 òàê, ùîá äîâèçíà÷åíà ôóíêö³ÿ ñï³âïàäàëà ç<br />
ôóíêö³ºþ f(x) íà âñ³é â³ñ³ 0x, îêð³ì òî÷êè õ =0.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Îñê³ëüêè<br />
sin x<br />
lim = 1 ,<br />
x → 0 x<br />
òî øóêàíîþ ôóíêö³ºþ º ôóíêö³ÿ<br />
ìï<br />
sin x<br />
%<br />
, ÿêùî x ¹ 0;<br />
fx ( ) = ï<br />
í x ïï<br />
ïî 1, ÿêùî x = 0.<br />
sin x<br />
Î÷åâèäíî, ùî òî÷êà õ = 0 äëÿ ôóíêö³¿ fx ( ) = º óñóâíîþ<br />
òî÷êîþ ðîçðèâó.<br />
x<br />
Îçíà÷åííÿ 6.3.7. Òî÷êà ðîçðèâó õ 0 ôóíêö³¿ y = f(x) íàçèâàºòüñÿ<br />
òî÷êîþ ðîçðèâó ïåðøîãî ðîäó, ÿêùî â ö³é òî÷ö³ íå<br />
âèêîíóºòüñÿ ïðèíàéìí³ îäíà ç ð³âíîñòåé (6.3.1).<br />
Ïðèêëàä 6.3.2. Ïîêàçàòè, ùî ôóíêö³ÿ f(x) = sgn x â òî÷ö³<br />
õ = 0 ìຠðîçðèâ ïåðøîãî ðîäó.<br />
184 185
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çã³äíî ç îçíà÷åííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
f(x) = sgn x (äèâ. ï. 6.1.2) ó òî÷ö³ õ = 0 ³ îäíîñòîðîíí³õ<br />
ãðàíèöü â í³é áóäóòü â³äïîâ³äíî òàê³:<br />
f(0) = 0, f(0 + 0) = 1, f(0 − 0) = −1.<br />
Áåçïîñåðåäíüî âèäíî, ùî í³ îäíà ç ð³âíîñòåé âèäó (6.3.1)<br />
íå âèêîíóºòüñÿ. Òàêèì ÷èíîì, òî÷êà õ = 0 º òî÷êîþ ðîçðèâó<br />
ïåðøîãî ðîäó äëÿ ôóíêö³¿ f(x) = sgn x.<br />
Îçíà÷åííÿ 6.3.8. Òî÷êà ðîçðèâó õ 0 ôóíêö³¿ y = f(x) íàçèâàºòüñÿ<br />
òî÷êîþ ðîçðèâó äðóãîãî ðîäó, ÿêùî â ö³é òî÷ö³ õî÷à<br />
á îäíà ç îäíîñòîðîíí³õ ãðàíèöü äîð³âíþº íåñê³í÷åííîñò³ àáî<br />
çîâñ³ì íå ³ñíóº.<br />
Ïðèêëàä 6.3.3. Ïîêàçàòè, ùî äëÿ ôóíêö³é<br />
fx ( )<br />
1<br />
= ,<br />
x<br />
1<br />
fx ( ) = sin òî÷êà õ =0 º òî÷êîþ ðîçðèâó äðóãîãî ðîäó. ijéñíî,<br />
ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ïðèêëàä³â 6.2.3 − 6.2.4 ìàºìî,<br />
x<br />
ùî<br />
1 1<br />
lim =∞, ∃ limsin<br />
.<br />
x<br />
x<br />
x→+ 0 x→0<br />
Îòæå, çà îçíà÷åííÿì 6.3.8 òî÷êà õ =0 º òî÷êîþ ðîçðèâó<br />
äðóãîãî ðîäó äëÿ ðîçãëÿäóâàíèõ ôóíêö³é.<br />
6.3.4. Ïîíÿòòÿ ïðî îäíîñòîðîííþ íåïåðåðâí³ñòü<br />
Ó ôîðìóë³ (6.3.1) âñ³ ð³âíîñò³ ìîæóòü íå âèêîíóâàòèñÿ,<br />
àëå ïðè öüîìó îêðåìî ìîæóòü âèêîíóâàòèñÿ òàê³ ð³âíîñò³:<br />
f(x 0 − 0) = f(x 0 ), (6.3.3)<br />
f(x 0 +0)=f(x 0 ). (6.3.4)<br />
Êîëè âèêîíóºòüñÿ óìîâà (6.3.3), òî êàæóòü, ùî ôóíêö³ÿ<br />
y = f(x) íåïåðåðâíà çë³âà â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b). ßêùî æ âèêîíóºòüñÿ<br />
óìîâà (6.3.4), òî êàæóòü, ùî ôóíêö³ÿ y = f(x) íåïåðåðâíà<br />
ñïðàâà â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b).<br />
Çàóâàæåííÿ. ßêùî ôóíêö³ÿ y = f(x) âèçíà÷åíà íà ñåãìåíò³<br />
[a, b], òî â òî÷êàõ à ³ b ìîæíà ãîâîðèòè ò³ëüêè ïðî<br />
îäíîñòîðîííþ íåïåðåðâí³ñòü, à ñàìå â òî÷ö³ à ïðî íåïåðåðâí³ñòü<br />
ñïðàâà, â òî÷ö³ b — çë³âà.<br />
Ïðèêëàä 6.3.4. Äîñë³äèòè íà íåïåðåðâí³ñòü ôóíêö³þ<br />
y = E(x) â òî÷ö³ õ =0.<br />
Çàñòîñóºìî îçíà÷åííÿ äëÿ ôóíêö³¿ àíòüº (ðèñ. 6.3). Çã³äíî<br />
ç ãðàô³êîì ö³º¿ ôóíêö³¿ áóäåìî ìàòè E(0) = 0,<br />
E(0 − 0) = −1, E(0 + 0) = 0. Ïðîñòèé àíàë³ç ôîðìóë ïîêàçóº,<br />
ùî ôóíêö³ÿ y = E(x) â òî÷ö³ õ = 0 ìຠðîçðèâ ïåðøîãî ðîäó,<br />
àëå öÿ ôóíêö³ÿ º íåïåðåðâíîþ ñïðàâà â í³é.<br />
6.3.5. Ëîêàëüí³ âëàñòèâîñò³ íåïåðåðâíèõ ôóíêö³é<br />
Äëÿ íåïåðåðâíèõ â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b) ôóíêö³é ñïðàâåäëèâ³<br />
òàê³ òåîðåìè.<br />
Òåîðåìà 6.3.2. ßêùî ôóíêö³ÿ y = f(x) íåïåðåðâíà â<br />
òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b), òî â äîñòàòíüî ìàëîìó îêîë³ ö³º¿ òî÷êè<br />
ôóíêö³ÿ îáìåæåíà.<br />
Äîâåäåííÿ. Çàñòîñóºìî îçíà÷åííÿ 6.3.3 íåïåðåðâíîñò³<br />
ôóíêö³¿ y = f(x) â òî÷ö³ õ 0 ∈ (a, b). Çã³äíî ç îçíà÷åííÿì â<br />
δ-îêîë³ òî÷êè õ 0 ñïðàâåäëèâà íåð³âí³ñòü fx ( )- fx (<br />
0)<br />
< e,<br />
çâ³äêè âèïëèâຠïîäâ³éíà íåð³âí³ñòü<br />
fx (<br />
0) -e 0. Äàë³ ñêîðèñòóºìîñÿ ë³âîþ ÷àñòèíîþ íåð³âíîñò³<br />
(6.3.5), äå e= (<br />
1<br />
0 ) 0<br />
2 fx > .  ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî íåð³âí³ñòü<br />
fx ( ) > fx (<br />
1<br />
0) > 0, ÿêà çã³äíî ç òåîðåìîþ 6.3.1 áóäå<br />
2<br />
ñïðàâåäëèâîþ â ÿêîìóñü δ-îêîë³ òî÷êè õ 0 . Îòæå, òåîðåìó<br />
äîâåäåíî.<br />
Çàóâàæåííÿ. Çà äîïîìîãîþ òåîðåìè 6.3.3 îá´ðóíòîâó-<br />
ºòüñÿ ìåòîä ³íòåðâàë³â, ÿêèé óñï³øíî âèêîðèñòîâóºòüñÿ äëÿ<br />
ðîçâ’ÿçóâàííÿ íåð³âíîñòåé.<br />
186 187
6.3.6. Ãëîáàëüí³ âëàñòèâîñò³ íåïåðåðâíèõ ôóíêö³é,<br />
ÿê³ çàäàí³ íà ñåãìåíò³<br />
Ôóíêö³þ íàçèâàþòü íåïåðåðâíîþ íà ñåãìåíò³ [a, b],<br />
ÿêùî âîíà íåïåðåðâíà â êîæí³é òî÷ö³ ³íòåðâàëó (a, b) ³<br />
íåïåðåðâíà â òî÷ö³ à ñïðàâà ³ â òî÷ö³ b çë³âà.<br />
Äëÿ êðàùîãî ðîçóì³ííÿ ïîíÿòòÿ íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿ íà<br />
ñåãìåíò³ [a, b] ïîÿñíèìî éîãî ó âèïàäêó ¿¿ ãðàô³÷íîãî çîáðàæåííÿ:<br />
ÿêùî íà åñê³ç ãðàô³êà ôóíêö³¿ y = f(x) ìîæíà íàêëàñòè<br />
îäíó íèòî÷êó, òî ôóíêö³ÿ y = f(x) íà ñåãìåíò³ [a, b]<br />
íåïåðåðâíà.<br />
Íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ ôóíêö³ÿ ìຠíèçêó âëàñòèâîñòåé.<br />
Ñôîðìóëþºìî ö³ âëàñòèâîñò³ ó âèãëÿä³ òåîðåì.<br />
Òåîðåìà 6.3.4 (Âåéºðøòðàññà ïðî îáìåæåí³ñòü). ßêùî<br />
ôóíêö³ÿ f(x) çàäàíà íà ñåãìåíò³ [a, b] ³ íà öüîìó ñåãìåíò³ º<br />
íåïåðåðâíîþ, òî âîíà íà íüîìó º îáìåæåíîþ.<br />
Ïåðø í³æ ñôîðìóëþâàòè íàñòóïíó òåîðåìó, äàìî òàêå<br />
ïîíÿòòÿ.<br />
Íåõàé íà äåÿê³é ÷èñëîâ³é ìíîæèí³ Õ çàäàíà ôóíêö³ÿ<br />
y = f(x), õ ∈ Õ. Òîä³ êàæóòü, ùî çíà÷åííÿ f(ñ), ñ ∈ Õ º íàéá³ëüøèì<br />
(íàéìåíøèì), ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêîãî õ ∈ Õ âèêîíó-<br />
ºòüñÿ íåð³âí³ñòü<br />
fx ( ) £ fc ( ) ( fx ( ) ³ fc ( )).<br />
Òåîðåìà 6.3.5 (Âåéºðøòðàññà ïðî äîñÿãíåííÿ íàéá³ëüøîãî<br />
òà íàéìåíøîãî çíà÷åíü). ßêùî ôóíêö³ÿ f(x) íåïåðåðâíà<br />
íà ñåãìåíò³ [a, b], òî âîíà íà íüîìó äîñÿãຠñâîãî íàéá³ëüøîãî<br />
é íàéìåíøîãî çíà÷åíü.<br />
Òåîðåìà 6.3.6 (Áîëüöàíî 1 — Êîø³ ïðî êîð³íü íåïåðåðâíî¿<br />
ôóíêö³¿). ßêùî ôóíêö³ÿ f(x) º íåïåðåðâíîþ íà ñåãìåíò³<br />
[a, b] ³ íà ê³íöÿõ ñåãìåíòà ìຠð³çí³ çíà÷åííÿ, ïðîòèëåæí³<br />
çà çíàêîì, òî ³ñíóº, ïðèíàéìí³, îäíà òàêà òî÷êà ñ ∈ (a, b),<br />
ùî f(ñ) =0.<br />
Òåîðåìà 6.3.7 (Áîëüöàíî — Êîø³ ïðî ïðîì³æíå çíà-<br />
÷åííÿ íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿). ßêùî ôóíêö³ÿ f(x) º íåïåðåðâíà<br />
íà ñåãìåíò³ [a, b], òî äëÿ áóäü-ÿêîãî ÷èñëà Ñ, ùî çíàõî-<br />
1<br />
Áîëüöàíî Áåðíàðä (1781 – 1848) — çíàìåíèòèé ÷åñüêèé ìàòåìàòèê,<br />
ô³ëîñîô ³ ëîã³ê.<br />
äèòüñÿ ì³æ f(à) ³ f(b), ³ñíóº, ïðèíàéìí³, îäíà òàêà òî÷êà<br />
ñ ∈ (a, b), ùî f(ñ) =Ñ.<br />
Òåîðåìà 6.3.8 (ïðî ³ñíóâàííÿ îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿).<br />
ßêùî ôóíêö³ÿ ó = f(x) çàäàíà íà ñåãìåíò³ [a, b] ³ íà öüîìó<br />
ñåãìåíò³ º íåïåðåðâíîþ ³ ñòðîãî ìîíîòîííîþ, òî äëÿ ö³º¿<br />
ôóíêö³¿ ³ñíóº îáåðíåíà ôóíêö³ÿ y = ϕ(x), ÿêà íà ñåãìåíò³<br />
[c, d] ([c, d] — îáëàñòü çíà÷åíü ôóíêö³¿ ó = f(x)) º òàêîæ<br />
íåïåðåðâíîþ ³ ñòðîãî ìîíîòîííîþ.<br />
Òåîðåìè 6.3.5 — 6.3.8 ïîäàºìî áåç äîâåäåííÿ. Ñòðîãå<br />
äîâåäåííÿ ¿õ âèõîäèòü çà ðàìêè äàíîãî ïîñ³áíèêà. Ñë³ä<br />
ò³ëüêè â³äçíà÷èòè, ùî íà ³íòó¿òèâíîìó ð³âí³ ñïðàâåäëèâ³ñòü<br />
òåîðåì º äîñèòü çðîçóì³ëîþ. Òàê, íàïðèêëàä, íåñòðîãå äîâåäåííÿ<br />
òåîðåìè ïðî êîð³íü íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿ áàçóºòüñÿ íà<br />
òîìó, ùî ÿê áè ìè íå ç’ºäíàëè íåïåðåðâíîþ êðèâîþ (êðèâà<br />
— îäíà íèòî÷êà) òî÷êè A(a, f(a)), B(b, f(b)) (f(a) >0,<br />
f(b) < 0 àáî f(a) 0), òî îáîâ’ÿçêîâî íåïåðåðâíà êðèâà,<br />
ÿêà çàäàíà ð³âíÿííÿì ó = f(x), ïåðåòíå ³íòåðâàë (a, b)<br />
ä³éñíî¿ â³ñ³ Îx. ×èòà÷åâ³ ðåêîìåíäóºìî çä³éñíèòè òàê³ ñõåìàòè÷í³<br />
ïîáóäîâè ñàìîñò³éíî.<br />
Íà çàê³í÷åííÿ ï. 6.3.6 â³äçíà÷èìî, ùî âñ³ îñíîâí³<br />
åëåìåíòàðí³ ôóíêö³¿ º íåïåðåðâíèìè ó ñâî¿õ îáëàñòÿõ âèçíà÷åííÿ.<br />
6.3.7. Íåïåðåðâí³ ³ ðîçðèâí³ ôóíêö³¿ â ïðèðîä³<br />
òà åêîíîì³ö³<br />
ßê ìè âæå âïåâíèëèñÿ, â ìàòåìàòèö³ ôóíêö³¿ íà äåÿê³é<br />
ìíîæèí³ ðîçä³ëÿþòüñÿ íà äâà êëàñè: 1) êëàñ íåïåðåðâíèõ<br />
ôóíêö³é íà çàäàí³é ìíîæèí³; 2) êëàñ ôóíêö³é, ÿê³ ìàþòü<br />
ðîçðèâè â òî÷êàõ çàäàíî¿ ìíîæèíè. Âèíèêàº, ïðèðîäíî, ïèòàííÿ:<br />
³ñíóþòü ÷è í³ â ðåàëüíîìó æèòò³ ïðîöåñè, ÿê³ õàðàêòåðèçóþòüñÿ<br />
âêàçàíèìè êëàñàìè? ³äïîâ³äü íà öå çàïèòàííÿ<br />
ïîçèòèâíà. Ó á³ëüøîñò³ âèïàäê³â çì³íà äåÿêî¿ âåëè÷èíè â<br />
çàëåæíîñò³ â³ä äðóãî¿ çä³éñíþºòüñÿ ïîñòóïîâî áåç ñòðèáê³â.<br />
Íàïðèêëàä, òåìïåðàòóðà âîäè â ïðèáåðåæíèõ âîäàõ ×îðíîãî<br />
ìîðÿ â ë³òí³é ïåð³îä ÿê ôóíêö³ÿ ÷àñó çì³íþºòüñÿ ïîñòóïîâî.<br />
Àëå òàêèé ïðîöåñ ìîæå ð³çêî çì³íèòèñÿ ï³ä 䳺þ äåÿêèõ<br />
ôàêòîð³â, òàêèõ ÿê óðàãàí, ï³äâîäíà òå÷³ÿ ³ òàêå ³íøå.<br />
Ðîçãëÿíåìî ùå îäèí ïðèêëàä. ³çüìåìî êóáèê ñâèíöþ,<br />
ÿêèé ìຠîá’ºì 1 äì 3 ïðè 0 0 Ñ ³ ð³âíîì³ðíî áóäåìî éîãî<br />
188 189
íàãð³âàòè. Åêñïåðèìåíòàëüí³ ³ òåîðåòè÷í³ äîñë³äæåííÿ äîçâîëÿþòü<br />
çðîáèòè ïðîãíîç ïðî çì³íó îá’ºìó êóáèêà ñâèíöþ.<br />
Ïðîöåñ áóäå â³äáóâàòèñÿ òàê: ïðè íàãð³âàíí³ â³ä 0 0 äî 327 0<br />
îá’ºì ñâèíöþ çá³ëüøóºòüñÿ â³ä 1000 ñì 3 äî 1030 ñì 3 ïîñòóïîâî<br />
áåç ð³çêèõ ñòðèáê³â. Ïîò³ì â³í ïðè òåìïåðàòóð³ 327 0<br />
(òåìïåðàòóðà ïëàâëåííÿ ñâèíöþ) ð³çêî çðîñòຠäî 1067 ñì 3 .<br />
Ïðè ïîäàëüøîìó íàãð³âàíí³ äî 500 0 îá’ºì ñâèíöþ (âæå â<br />
ð³äêîìó ñòàí³) çðîñòຠâ³ä 1067 ñì 3 äî 1088 ñì 3 . Îòæå, íà<br />
ñåãìåíò³ [0, 500] îá’ºì ñâèíöþ ÿê ôóíêö³ÿ òåìïåðàòóðè íàãð³âàííÿ<br />
ÿâëÿº ñîáîþ ðîçðèâíó ôóíêö³þ íà ñåãìåíò³ [0, 500]<br />
³ íåïåðåðâíó ôóíêö³þ, íàïðèêëàä, íà ñåãìåíò³ [0, 250]. Ïðîïîíóºìî<br />
÷èòà÷åâ³ ñõåìàòè÷íî íà ãðàô³êó çîáðàçèòè ðîçãëÿäóâàíèé<br />
ïðîöåñ.<br />
Òåïåð ïåðåéäåìî äî ðîçãëÿäó ôóíêö³é, ÿê³ îïèñóþòü åêîíîì³÷í³<br />
ïðîöåñè. Á³ëüø³ñòü ç íèõ — íåïåðåðâí³ ôóíêö³¿.<br />
Àëå ³ â åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñàõ áóâຠòàê, ùî ïðîöåñ çì³íè<br />
äåÿêî¿ åêîíîì³÷íî¿ õàðàêòåðèñòèêè ñïî÷àòêó çì³íþºòüñÿ<br />
íåïåðåðâíî, à ïîò³ì ñòðèáêîïîä³áíî. Íàïðèêëàä, òàêà ôóíêö³ÿ,<br />
ÿê ïîïèò òîâàðó, çì³íþºòüñÿ â îêîë³ ð³âíîâàæíî¿ ö³íè<br />
íåïåðåðâíî. Òåïåð íåõàé ö³íà çðîñòຠäî ÿêîãîñü êðèòè÷íîãî<br />
çíà÷åííÿ. Ìè íàçâàëè éîãî êðèòè÷íèì, òîìó ùî ï³ñëÿ<br />
ââåäåíîãî çíà÷åííÿ ö³íè ïîïèò íà òîâàð ð³çêî ïàäàº. Òàêèì<br />
÷èíîì, â íàâåäåíîìó ïðèêëàä³ ôóíêö³ÿ ïîïèòó ñòàº<br />
ðîçðèâíîþ. Äîñâ³ä÷åí³ ìåíåäæåðè ³ ô³íàíñèñòè öåé ôàêò<br />
çíàþòü ³ íå äîïóñêàþòü çàïðîâàäæåííÿ éîãî â æèòòÿ. À<br />
äåÿê³ ç íèõ (äóæå àçàðòí³), îïèðàþ÷èñü íà ÷èñòî ïñèõîëîã³÷í³<br />
ïðè÷èíè íàâåäåíîãî ôàêòó, ââîäÿòü ö³íè, ÿê³ áëèçüê³<br />
äî êðèòè÷íî¿ àëå âñå æ òàêè ìåíø³ â³ä íå¿. ×èòà÷ ìàáóòü<br />
çäîãàäàâñÿ, ùî çàì³ñòü êðèòè÷íî¿ ö³íè â 10 ãðîøîâèõ îäèíèöü<br />
òîâàð ïðîäàþòü çà 9,99 ãðîøîâî¿ îäèíèö³.<br />
Ñë³ä ñêàçàòè, ùî â åêîíîì³ö³ º ôóíêö³¿, ÿê³ íàïåðåä çàäàþòüñÿ<br />
ÿê ðîçðèâí³. Íàïðèêëàä, ôóíêö³ÿ ïîäàòêîâî¿ ñòàâêè<br />
(äèâ. ï. 6.1.6.).<br />
6.3.8. Äåÿê³ âàæëèâ³ ãðàíèö³<br />
Îá÷èñëåííÿ ãðàíèöü ó áàãàòüîõ âèïàäêàõ çä³éñíþºòüñÿ<br />
çà äîïîìîãîþ äâîõ âàæëèâèõ ôîðìóë:<br />
sin<br />
lim<br />
x →0<br />
x→0<br />
x<br />
x<br />
= 1 , (6.3.6)<br />
1<br />
x<br />
lim(1 + x)<br />
= e . (6.3.7)<br />
×àñòî âèêîðèñòîâóþòü òàêîæ òàê³ ôîðìóëè:<br />
sin kx<br />
lim = k , k ≠ 0, (6.3.8)<br />
x→0<br />
x<br />
arcsin x<br />
lim = 1, (6.3.9)<br />
x →0<br />
x<br />
arctg x<br />
lim = 1 , (6.3.10)<br />
x →0<br />
x<br />
x<br />
⎛ 1 ⎞<br />
lim ⎜1+ ⎟ = e , (6.3.11)<br />
x→∞⎝<br />
x ⎠<br />
log<br />
a<br />
(1 + x) 1<br />
lim = log<br />
a<br />
e = , a > 0, a ≠ 1 , (6.3.12)<br />
x→0<br />
x<br />
ln a<br />
x<br />
a − 1<br />
lim = ln a, a > 0 , (6.3.13)<br />
x→0<br />
x<br />
µ<br />
(1 + x) − 1<br />
lim =µ ,<br />
x →0<br />
x µ∈ R, µ≠ 0 . (6.3.14)<br />
Çîêðåìà, ïðè à = å<br />
ln(1 + x)<br />
lim = 1,<br />
x →0<br />
x<br />
x<br />
e − 1<br />
lim = 1 .<br />
x→0<br />
x<br />
190 191
Ñïðàâåäëèâ³ñòü ôîðìóë (6.3.8) — (6.3.14) âñòàíîâëþºòüñÿ<br />
çà äîïîìîãîþ âàæëèâèõ ãðàíèöü (6.3.6) — (6.3.7), òåîðåìè<br />
6.2.5 ³ ç âðàõóâàííÿì íåïåðåðâíîñò³ îñíîâíèõ åëåìåíòàðíèõ<br />
ôóíêö³é.<br />
Äîâåäåííÿ ñïðàâåäëèâîñò³ ôîðìóë (6.3.8) — (6.3.10),<br />
(6.3.12) — (6.3.14) ïîäàìî ó âèãëÿä³ ïðèêëàä³â.<br />
Ïðèêëàä 6.3.5. Âèâåñòè ôîðìóëó (6.3.8).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïîêëàäåìî kx = t, òîä³ çã³äíî ç ôîðìóëîþ<br />
(6.3.6) îòðèìàºìî<br />
sinkx sin kx sint<br />
lim = klim = klim<br />
= k.<br />
x→0 x x→0 kx t→0<br />
t<br />
Ïðèêëàä 6.3.6. Âèâåñòè ôîðìóëó (6.3.9).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïåðåéäåìî äî íîâî¿ çì³ííî¿ t = arcsin x,<br />
òîä³ ç âðàõóâàííÿì òîãî, ùî ïðè x® 0Þ t ® 0 , îòðèìàºìî<br />
arcsin x t<br />
lim = lim = 1 .<br />
x →0 x t →0<br />
sin t<br />
Ïðèêëàä 6.3.7. Âèâåñòè ôîðìóëó (6.3.12).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Êîðèñòóþ÷èñü âëàñòèâ³ñòþ ëîãàðèôì³÷íî¿<br />
ôóíêö³¿, çàïèøåìî ôóíêö³þ, ÿêà çíàõîäèòüñÿ ï³ä çíàêîì<br />
ãðàíèö³ ó âèãëÿä³: log<br />
1<br />
a<br />
(1 + x) x . Âðàõîâóþ÷è öå çîáðàæåííÿ,<br />
íåïåðåðâí³ñòü ëîãàðèôì³÷íî¿ ôóíêö³¿ ³ ôîðìóëó<br />
(6.3.7), îòðèìàºìî<br />
+<br />
x<br />
log 1 1<br />
a<br />
(1 x) 1<br />
x x<br />
lim lim log<br />
a(1 x) log<br />
a lim(1 x) loga<br />
e<br />
x→0 x→0 x→0<br />
= + = + = = .<br />
ln a<br />
Ïðèêëàä 6.3.8. Âèâåñòè ôîðìóëó (6.3.13)<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çàïèøåìî éîãî â òàê³é ôîðì³:<br />
x<br />
x<br />
a − 1 ⎡t = a − 1, x = log (1 + ) ⎤<br />
lim =<br />
a<br />
t<br />
t<br />
⎢<br />
⎥ = lim = ln a<br />
x→0 x → 0 ⇒ → 0<br />
t→0<br />
⎣x<br />
t<br />
⎦ log<br />
a (1 + t )<br />
.<br />
Ïðèêëàä 6.3.9. Âèâåñòè ôîðìóëó (6.3.14).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ.<br />
µ<br />
µ<br />
(1 + x) − 1 ⎡t = (1 + x) −1, x→0 ⇒t<br />
→0⎤<br />
t<br />
lim = ⎢<br />
⎥ = lim =<br />
x→0 x ln(1 + ) =µ ln(1 + )<br />
x→0<br />
⎣ t x ⎦ x<br />
t ln(1 + x)<br />
=µ lim lim<br />
0<br />
0 ln(1 t )<br />
=µ<br />
x→<br />
t→<br />
+ x<br />
.<br />
×èòà÷åâ³ ðåêîìåíäóºìî ïðîêîìåíòóâàòè ðîçâ’ÿçàííÿ ïðèêëàä³â<br />
6.3.5 — 6.3.9, à ôîðìóëó (6.3.10) âèâåñòè ñàìîñò³éíî.<br />
Çàóâàæåííÿ 1. ßê áóëî îá³öÿíî, â öüîìó ïóíêò³ ìè<br />
íàâåëè çì³ñòîâí³ ïðèêëàäè, ÿê³ ïîêàçóþòü, ùî ôóíêö³¿ sin x,<br />
tg x, arcsin x, arctg x, ln(1+x) åêâ³âàëåíòí³ ôóíêö³¿ õ, êîëè õ<br />
ïðÿìóº äî íóëÿ, òîáòî sin x ~ x, tg x ~ x, arcsin x ~ x,<br />
arctg x ~ x ïðè x → 0.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. ßê áóëî âæå ñêàçàíî, íàâåäåí³ âàæëèâ³<br />
ãðàíèö³ åôåêòèâíî âèêîðèñòîâóþòüñÿ äëÿ îá÷èñëåííÿ ð³çíèõ<br />
òèï³â ãðàíèöü. Öå ä³éñíî òàê, ³ ÷èòà÷ ó öüîìó âïåâíèòüñÿ.<br />
Âàæëèâ³ñòü ãðàíèöü çíà÷íî çðîñòå, ÿêùî ìè ï³äêðåñëèìî<br />
¿õ åôåêòèâí³ñòü ïðè çíàõîäæåíí³ ïîõ³äíèõ â³ä<br />
áàãàòüîõ åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é. Ó áàãàòüîõ âèïàäêàõ öå<br />
çðîáèòè ïðîñòî áóëî á íåìîæëèâî. Ïîíÿòòÿ ïîõ³äíî¿ ³ íàâåäåí³<br />
ôàêòè ðîçãëÿíåìî ó íàñòóïí³é òåì³.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
6.14. Äîâåñòè çà îçíà÷åííÿì Ãåéíå àáî íà ìîâ³ ïîñë³äîâíîñò³,<br />
ùî limc<br />
= c, äå ñ º ñòàëà.<br />
x→x0<br />
6.15. Äîâåñòè çà îçíà÷åííÿì Ãåéíå àáî íà ìîâ³ ïîñë³äîâíîñò³,<br />
ùî limx<br />
= x .<br />
x→x0<br />
6.16. Äîâåñòè, ùî<br />
0<br />
limx<br />
k = x , k ∈ N.<br />
x→x0<br />
6.17. Íåõàé<br />
1 2<br />
( ) n n -<br />
p x a x a x a x n -<br />
= + + + ... + a x+<br />
a<br />
k<br />
0<br />
n 0 1 2 n-1<br />
n<br />
ìíîãî÷ëåí ñòåïåíÿ n. Äîâåñòè, ùî<br />
lim p n ( x) = p n ( x ) .<br />
x→x0<br />
0<br />
192 193
6.18. Íåõàé<br />
p ( x) = a x + a x + a x + ... + a x+<br />
a<br />
n n -1 n -2<br />
n 0 1 2 n-1<br />
n<br />
ìíîãî÷ëåí ñòåïåíÿ n, à q<br />
1 2<br />
( ) - m -<br />
x = b0x + b1x + b2x + ... + b<br />
-1x+<br />
b<br />
ìíîãî÷ëåí ñòåïåíÿ m.<br />
Äîâåñòè, ùî<br />
m m m<br />
⎧a0<br />
⎪ , m = n<br />
b0<br />
pn<br />
( x)<br />
⎪<br />
lim = ⎨0,<br />
m><br />
n .<br />
x→∞<br />
qm<br />
( x ) ⎪ ∞ , m < n<br />
⎪<br />
⎪⎩<br />
6.19. Äîâåñòè çà îçíà÷åííÿì Êîø³, àáî íà ìîâ³ “ε −δ”,<br />
ùî lim sin x = sin x0<br />
.<br />
x→x0<br />
6.20. Îá÷èñëèòè ãðàíèö³<br />
1)<br />
x<br />
lim<br />
x→1<br />
x<br />
2<br />
2<br />
− 3x+<br />
2<br />
− 5x+ 4<br />
; 2) 1+ x − 1− x<br />
lim<br />
;<br />
x →0<br />
x<br />
2<br />
2 2<br />
3) lim ( x − 2x+ 5−x ); 4) lim ( x 5x x 5x)<br />
x→∞<br />
1−<br />
cos2x<br />
5) lim 2 ; 6)<br />
x →∞ x<br />
7)<br />
9)<br />
1<br />
2<br />
x<br />
lim(1 + 5 x ) ; 8)<br />
→<br />
x<br />
0<br />
x→−∞<br />
lim<br />
x →0<br />
sin<br />
sin 2x<br />
→ + − ; 10) lim<br />
x →0<br />
lim<br />
x 0 1 x 1<br />
³äïîâ³ä³: 1)<br />
5) 2; 6) 3; 7)<br />
5<br />
2<br />
e ;<br />
sin 3x<br />
;<br />
x<br />
x<br />
3 − 2<br />
lim<br />
x→0<br />
x<br />
1<br />
3 ; 2) 1; 3) −1; 4) –5;<br />
x<br />
+ − − ;<br />
;<br />
1+ x − 1 .<br />
x<br />
8)<br />
3<br />
ln 2<br />
; 9) 4; 10) 1 2 .<br />
6.21. Îá÷èñëèòè ãðàíèö³:<br />
1)<br />
− + +<br />
2<br />
x ( n 1) x n<br />
lim 2<br />
x→1<br />
x − ( m+ 1) x+<br />
m<br />
; 2)<br />
+ − −<br />
m⋅<br />
x<br />
x →0<br />
lim<br />
n x n x<br />
2<br />
2 2<br />
3) lim ( + + 7 − ); 4) lim ( )<br />
x<br />
x nx x<br />
→∞<br />
1−<br />
cos2nx<br />
5) lim 2 ; 5)<br />
x →0<br />
x<br />
6) ( 1 nx) 1<br />
−<br />
− ; 7)<br />
lim<br />
( n 1) x<br />
x→0<br />
8) lim( 1 sinmx) ctg<br />
x→0<br />
nx<br />
+ ;<br />
sin x⋅sin 2x⋅sin 3 x⋅... ⋅sin<br />
mx<br />
9) lim<br />
m<br />
.<br />
x→0<br />
x<br />
6.22. Âèâåñòè òàê³ ôîðìóëè<br />
x→x0 x→x0<br />
x + nx − x − nx ;<br />
x<br />
→∞<br />
+<br />
sin mx<br />
sin( m 5) x<br />
lim<br />
x →0<br />
x<br />
x<br />
lim<br />
0 ( 1)<br />
x ( 1)<br />
x<br />
x→<br />
+ − +<br />
;<br />
( m+ n) − ( n+<br />
1)<br />
n m<br />
1<br />
sin α( x)<br />
1, ( 1 ( ))<br />
( )<br />
lim = lim +α x α x = e ,<br />
α()<br />
x<br />
α( x)<br />
a −1 arcsin α( x)<br />
lim = ln a, lim<br />
= 1,<br />
α( x) α( x)<br />
x→x0 x→x0<br />
µ<br />
log a (1 +α ( x)) 1 (1 +α( x)) −1<br />
lim<br />
= , a > 0, a ≠ 1, lim<br />
=µ , µ ≠ 0<br />
α( x) ln a α( x)<br />
x→x0 x→x0<br />
çà óìîâè, ùî α(x) º íåñê³í÷åííî ìàëîþ ôóíêö³ºþ, êîëè õ<br />
ïðÿìóº äî x 0 .<br />
;<br />
;<br />
194 195
6.23. Îá÷èñëèòè ãðàíèö³:<br />
sin( x − n)<br />
1) lim<br />
; 2)<br />
x → n x − n<br />
3)<br />
5)<br />
sin nx<br />
a − 1<br />
lim<br />
x→π<br />
sin nx<br />
n<br />
x<br />
lim<br />
x→1<br />
x<br />
n<br />
m<br />
lim(1 + cos x)<br />
x→ π<br />
2<br />
m<br />
cos x<br />
; 4)<br />
lim loga<br />
( 1 ctg nx)<br />
− 1<br />
; 6)<br />
− 1<br />
x→π<br />
2n<br />
;<br />
+ ⋅tg<br />
nx<br />
;<br />
( + sin x)<br />
ln 1<br />
lim sin<br />
0 2<br />
mx<br />
x→<br />
1<br />
7) limx(ln( x + n) − ln x)<br />
⎛x<br />
+ m⎞<br />
x<br />
. 8) lim ⎜<br />
→∞<br />
x→∞<br />
x − m<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
9)<br />
( + 2)<br />
n x nx<br />
e − e<br />
2<br />
m + x − mx ; 10) ⎛ cos x ⎞x<br />
lim ⎜<br />
x→0<br />
cos mx<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
lim<br />
x→0<br />
sin 2 sin<br />
( )<br />
−nx<br />
e − 1<br />
lim ln 1<br />
11)<br />
x→0<br />
( + mx)<br />
13)<br />
π<br />
4n<br />
( tg nx) tg 2<br />
nx<br />
; 12)<br />
lim<br />
; 14)<br />
x→ x − n<br />
lim<br />
x n sin<br />
3 3<br />
15)<br />
→ ( x−<br />
n)<br />
; 16)<br />
cos πnx<br />
17)<br />
lim<br />
1 ctg7 π nx ; 18)<br />
x→0<br />
−<br />
x<br />
.<br />
;<br />
x<br />
n<br />
e − 1<br />
lim ln 1<br />
1<br />
( + mx)<br />
⎛ sin x ⎞<br />
lim ⎜<br />
x→m<br />
sin m<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
ln ( ln )<br />
x e<br />
x<br />
1<br />
x−m<br />
lim ;<br />
→ mx − me<br />
;<br />
;<br />
;<br />
( + sin x)<br />
ln 1<br />
lim sin<br />
0 2<br />
mx<br />
x→<br />
1<br />
x→<br />
2n<br />
−<br />
Âêàç³âêà. Ïåðåä òèì ÿê âèêîíóâàòè ñàìîñò³éíó ðîáîòó<br />
ç âïðàâ 6.21, 6.23, ñòóäåíòè ñïî÷àòêó ïîâèíí³ çãàäàòè<br />
÷èñëî (n) ³ ì³ñÿöü (m) äàòè ñâîãî íàðîäæåííÿ. Ïîò³ì â³äïîâ³äí³<br />
ïàðàìåòðè n ³ m òðåáà ï³äñòàâèòè â ãðàíèö³ âïðàâè<br />
6.21 (1–9) ³ âïðàâè 6.23 (1 – 7) òà âèêîíàòè ¿õ.<br />
.<br />
ÒÅÌÀ 7<br />
ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÅ ×ÈÑËÅÍÍß ÔÓÍÊÖ²¯<br />
ÎÄͲª¯ Ç̲ÍÍί<br />
7.1. ÇÀÄÀײ, ßʲ ÏÐÈÂÎÄßÒÜ<br />
ÄÎ ÏÎÍßÒÒß ÏÎÕ²ÄÍί<br />
7.1.1. Çàäà÷à ïðî äîòè÷íó äî êðèâî¿<br />
Íåõàé íà ïëîùèí³ 0õó äàíà íåïåðåðâíà êðèâà L, ÿêà çàäàíà<br />
ð³âíÿííÿì y = f(x). Íåîáõ³äíî çíàéòè ð³âíÿííÿ äîòè÷íî¿<br />
äî ö³º¿ êðèâî¿ â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) (ðèñ. 7.1).<br />
ðèñ. 7.1<br />
Ïåðø çà âñå íåîáõ³äíî ç’ÿñóâàòè, ùî ìè áóäåìî ðîçóì³òè<br />
ï³ä äîòè÷íîþ äî êðèâî¿. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó äîòè÷íó íå<br />
ìîæíà âèçíà÷èòè ÿê ïðÿìó, ÿêà ìຠç êðèâîþ îäíó ñï³ëüíó<br />
òî÷êó (çãàäàéòå îçíà÷åííÿ äîòè÷íî¿ äî êîëà). ijéñíî, ïðÿìà<br />
(1) íà ðèñ. 7.2, à ìຠîäíó ñï³ëüíó òî÷êó À 1 , àëå íå º äîòè-<br />
÷íîþ äî êðèâî¿ L 1 . Ïðÿìà æ (2) íà ðèñ. 7.2, á äîòèêàºòüñÿ<br />
â òî÷ö³ À 2 äî êðèâî¿ L 2 , àëå ç íåþ ìຠäâ³ ñï³ëüí³ òî÷êè: À 1<br />
i À 2 . À íà ðèñ. 7.2, â êðèâà L 3 â òî÷ö³ Î ìຠáåçë³÷ ñï³ëüíèõ<br />
òî÷îê ç ïðÿìèìè, ÿê³ ïðîõîäÿòü ÷åðåç ïî÷àòîê êîîðäèíàò.<br />
Íàâåäåí³ ïðèêëàäè ïîêàçóþòü, ùî äëÿ îçíà÷åííÿ äîòè÷íî¿<br />
äî êðèâî¿ òðåáà ðåàë³çóâàòè ³íøèé ï³äõ³ä.<br />
196 197
Òîä³ êóòîâèé êîåô³ö³ºíò äîòè÷íî¿ âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ<br />
à á â<br />
Ðèñ. 7.2<br />
Äàìî àðãóìåíòó õ 0 ïðèð³ñò ∆õ ³ ïåðåéäåìî íà êðèâ³é L<br />
â³ä òî÷êè M 0 (x 0 , y 0 ) äî òî÷êè M 1 (x 0 + ∆õ; y 0 + ∆ó). Ïðîâåäåìî<br />
ñ³÷íó Ì 0 Ì 1 (ãàäàþ, ùî öåé òåðì³í º çðîçóì³ëèì äëÿ ÷èòà-<br />
÷à) (ðèñ 7.1).<br />
Îçíà÷åííÿ 7.1.1. ϳä äîòè÷íîþ äî êðèâî¿ L â òî÷ö³ M 0<br />
ìè áóäåìî ðîçóì³òè ãðàíè÷íå ïîëîæåííÿ M 0 Ò ñ³÷íî¿ Ì 0 Ì 1 ,<br />
ÿêùî òî÷êà Ì 1 ïðÿìóº âçäîâæ êðèâî¿ äî òî÷êè M 0 .<br />
Çàóâàæèìî, ùî, ÿêèì áè ÷èíîì òî÷êà Ì 1 íå ïðÿìóâàëà<br />
âçäîâæ êðèâî¿ äî òî÷êè M 0 , ñ³÷íà Ì 0 Ì 1 , îáåðòàþ÷èñü íàâêîëî<br />
òî÷êè M 0 , ïîâèííà íàáëèæàòèñÿ äî òîãî ñàìîãî ãðàíè÷íîãî<br />
ïîëîæåííÿ (äî ò³º¿ ñàìî¿ ïðÿìî¿). Ò³ëüêè â öüîìó<br />
âèïàäêó êàæóòü, ùî â òî÷ö³ M 0 ³ñíóº äîòè÷íà äî êðèâî¿ L.<br />
Ãðàíè÷íå ïîëîæåííÿ ñ³÷íî¿ ìîæå ³ íå ³ñíóâàòè. Òîìó íå<br />
âñÿêà êðèâà â ðîçãëÿäóâàí³é òî÷ö³ ìຠäîòè÷íó.<br />
Áóäåìî ââàæàòè, ùî ó â³äïîâ³äíîñò³ äî îçíà÷åííÿ 7.1.1<br />
äîòè÷íà â òî÷ö³ M 0 äî êðèâî¿ L ³ñíóº. Òîä³ ð³âíÿííÿ äîòè-<br />
÷íî¿ ÿê ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó M 0 (äèâ.<br />
ï. 4.3.3), ìຠâèãëÿä:<br />
y- f( x ) = k( x- x ). (7.1.1)<br />
0 0<br />
Êóòîâèé êîåô³ö³ºíò (àáî òàíãåíñ êóòà ϕ íàõèëó) ñ³÷íî¿<br />
k<br />
M0M<br />
çíàéäåìî ç òðèêóòíèêà M<br />
1<br />
0 M 1 N (ðèñ. 7.1):<br />
k<br />
M<br />
D y<br />
t g<br />
0 M<br />
= j = .<br />
1<br />
D x<br />
∆y<br />
k = limkMM<br />
= lim<br />
0 1<br />
∆x→0 ∆x→0<br />
∆ x<br />
. (7.1.2)<br />
Òèì÷àñîâî çàëèøèìî çàäà÷ó ïðî äîòè÷íó ³ ïåðåéäåìî äî<br />
äðóãî¿ çàäà÷³.<br />
7.1.2. Çàäà÷à ïðî øâèäê³ñòü ðóõó<br />
Íåõàé âçäîâæ äåÿêî¿ ïðÿìî¿ ðóõàºòüñÿ ìàòåð³àëüíà òî÷êà<br />
çà çàêîíîì S = S(t), äå S — ïðîéäåíèé øëÿõ, t — ÷àñ.<br />
Òðåáà çíàéòè øâèäê³ñòü ö³º¿ òî÷êè â ìîìåíò ÷àñó t 0 .<br />
Äî ìîìåíòó ÷àñó t 0 ïðîéäåíèé øëÿõ äîð³âíþº S 0 = S(t 0 ), à<br />
äî ìîìåíòó (t 0 + ∆t) — øëÿõ S 0 + ∆S = S (t 0 + ∆t) (ðèñ. 7.3).<br />
Ðèñ. 7.3<br />
Òîä³ çà ïðîì³æîê ÷àñó ∆t ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü áóäå<br />
DS<br />
vcp.<br />
= . ßñíî, ùî ÷èì ìåíøå ∆t, òèì êðàùå ñåðåäíÿ<br />
D t<br />
øâèäê³ñòü âèçíà÷àºòüñÿ â ìîìåíò ÷àñó t 0 . Òîìó ï³ä øâèäê³ñòþ<br />
ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè â ìîìåíò ÷àñó t 0 ìè áóäåìî ðîçóì³òè<br />
ãðàíèöþ ñåðåäíüî¿ øâèäêîñò³ çà ïðîì³æîê ÷àñó â³ä t 0<br />
äî t 0 + ∆t, êîëè D t ® 0 , òîáòî<br />
∆S<br />
v = limvcp<br />
= lim<br />
∆→ t 0 ∆→ t 0 ∆ t<br />
. (7.1.3)<br />
7.1.3. Çàäà÷à ïðî ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³<br />
Íåõàé ôóíêö³ÿ Q = Q(t) õàðàêòåðèçóº ê³ëüê³ñòü âèðîáëåíî¿<br />
ïðîäóêö³¿ Q çà ÷àñ t. Òðåáà çíàéòè ïðîäóêòèâí³ñòü q<br />
ïðàö³ â ìîìåíò ÷àñó t 0 .<br />
198 199
Çà ïåð³îä ÷àñó â³ä t 0 äî t 0 + ∆t ê³ëüê³ñòü âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿<br />
çì³íèòüñÿ ùîäî çíà÷åííÿ Q 0 = Q(t 0 ) äî Q 0 + ∆ Q. Òîä³<br />
ñåðåäíÿ ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³ çà öåé ïåð³îä ÷àñó âèçíà÷à-<br />
DQ<br />
ºòüñÿ çà ôîðìóëîþ qcp.<br />
= . Î÷åâèäíî, ùî ïðîäóêòèâí³ñòü<br />
D t<br />
ïðàö³ â ìîìåíò ÷àñó t 0 , ìîæíà çíàéòè ÿê ãðàíè÷íå çíà÷åííÿ<br />
ñåðåäíüî¿ ïðîäóêòèâíîñò³ ïðàö³ çà ïåð³îä ÷àñó â³ä t 0 äî<br />
t 0 + ∆t, êîëè ∆t → 0, òîáòî<br />
∆Q<br />
q = lim Qcp<br />
.<br />
= lim<br />
∆→ t 0 ∆→ t 0 ∆ t<br />
. (7.1.4)<br />
Ìè ðîçãëÿíóëè òðè ð³çí³ ïî õàðàêòåðó çàäà÷³ ³ ïðè öüîìó<br />
ç’ÿñóâàëè, ùî äëÿ ¿õ ðîçâ’ÿçàííÿ (äèâ. 7.1.2 − 7.1.4)<br />
òðåáà îá÷èñëèòè ãðàíèöþ ñïåö³àëüíîãî òèïó, à ñàìå ãðàíèöþ<br />
â³äíîøåííÿ ïðèðîñòó ôóíêö³¿ äî ïðèðîñòó íåçàëåæíî¿<br />
çì³ííî¿, êîëè îñòàíí³é ïðÿìóº äî íóëÿ. Ìàòåìàòèêè öå ïîì³òèëè<br />
³ ââåëè àáñòðàêòíå ïîíÿòòÿ ïîõ³äíî¿ ÿêå º îñíîâíèì<br />
ïîíÿòòÿì äèôåðåíö³àëüíîãî ÷èñëåííÿ.<br />
7.2. ÏÎÕ²ÄÍÀ<br />
7.2.1. Àáñòðàêòíå îçíà÷åííÿ ïîõ³äíî¿<br />
Àáñòðàêòíå ïîíÿòòÿ ïîõ³äíî¿ (áåç ðîçãëÿäó êîíêðåòíî¿<br />
çàäà÷³) ââåäåìî òàêèì ÷èíîì:<br />
1 0 . Íàäàìî àðãóìåíòó õ 0 äîâ³ëüíèé ïðèð³ñò ∆õ ≠ 0 ³, ï³äñòàâëÿþ÷è<br />
äî äàíîãî âèðàçó ôóíêö³¿ çàì³ñòü õ 0 çíà÷åííÿ<br />
õ 0 + ∆õ, çíàõîäèìî íàðîùåíå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
ó + ∆ó = f(õ 0 + ∆õ).<br />
2 0 . Çíàõîäèìî ïðèð³ñò ôóíêö³¿<br />
∆ó = f(õ 0 + ∆õ) – f(õ 0 ).<br />
3 0 . Ñêëàäàºìî â³äíîøåííÿ<br />
D y fx ( +D -<br />
=<br />
0<br />
x) fx (<br />
0)<br />
.<br />
Dx<br />
Dx<br />
4 0 . Øóêàºìî ãðàíèöþ öüîãî â³äíîøåííÿ ïðè ∆õ → 0.<br />
 ðåçóëüòàò³ ìè ïðèõîäèìî äî îçíà÷åííÿ ïîõ³äíî¿.<br />
Îçíà÷åííÿ 7.2.1. Ïîõ³äíîþ ôóíêö³¿ ó = f(õ) â òî÷ö³ õ 0<br />
íàçèâàºòüñÿ ãðàíèöÿ â³äíîøåííÿ ¿¿ ïðèðîñòó ∆ó äî â³äïîâ³äíîãî<br />
ïðèðîñòó ∆õ àðãóìåíòó, êîëè îñòàíí³é ïðÿìóº äî<br />
íóëÿ (çà óìîâè, ùî âîíà ³ñíóº):<br />
∆ y fx (<br />
0<br />
+∆x) −fx<br />
(<br />
0)<br />
lim = lim<br />
. (7.2.1)<br />
∆x<br />
∆x<br />
∆x→0 ∆x→0<br />
Ïîõ³äíà â òî÷ö³ õ 0 ïîçíà÷àºòüñÿ ó′(õ 0 ), f′(õ 0 ) àáî dy<br />
dx ïðè<br />
x = õ 0 . Ïîõ³äíà â òî÷ö³ õ 0 º ÷èñëî. ßêùî æ òî÷êà õ äîâ³ëüíà<br />
³ äëÿ êîæíîãî õ ³ç äåÿêî¿ ìíîæèíè Õ ³ñíóº ïîõ³äíà, òî âîíà<br />
âèçíà÷ຠäåÿêó ôóíêö³þ, ÿêà çàäàíà íà ö³é ìíîæèí³ Õ. Ïðè<br />
öüîìó çíàõîäæåííÿ ïîõ³äíî¿ íàçèâàºòüñÿ äèôåðåíö³þâàííÿì.<br />
Òåïåð ïîâåðíåìîñÿ äî ðîçãëÿäóâàíèõ âèùå çàäà÷.<br />
7.2.2. Ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿<br />
²ç çàäà÷³ ïðî äîòè÷íó âèïëèâຠãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿:<br />
ïîõ³äíà f′(õ 0 ) º êóòîâèé êîåô³ö³ºíò (òàíãåíñ êóòà<br />
íàõèëó) äîòè÷íî¿, ÿêà ïðîâåäåíà äî êðèâî¿ ó = f(õ) â òî÷ö³<br />
M 0 (õ 0 , f(x 0 )), òîáòî<br />
k = f′(õ 0 ). (7.2.2)<br />
Îòæå, ð³âíÿííÿ äîòè÷íî¿, ÿêà ïðîâåäåíà äî êðèâî¿ ó = f(õ)<br />
â òî÷ö³ M 0 (õ 0 , f(x 0 )) íàáóâຠâèãëÿäó:<br />
y − f(õ 0 )=f′(õ 0 )(x − õ 0 ). (7.2.3)<br />
7.2.3. Ìåõàí³÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿<br />
²ç çàäà÷³ ïðî øâèäê³ñòü ðóõó âèïëèâຠìåõàí³÷íèé çì³ñò<br />
ïîõ³äíî¿: ïîõ³äíà øëÿõó çà ÷àñîì S′(t 0 ) º øâèäê³ñòü ìàòåð³àëüíî¿<br />
òî÷êè â ìîìåíò ÷àñó t 0 : v(t 0 )=S′(t 0 ).<br />
7.2.4. Åêîíîì³÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿<br />
²ç çàäà÷³ ïðî ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³ âèïëèâàº, ùî ïîõ³äíà<br />
îáñÿãó âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ çà ÷àñîì Q′(t 0 ) º ïðîäóêòèâí³ñòü<br />
ïðàö³ q â ìîìåíò ÷àñó t 0 : q(t 0 )=Q′(t 0 ).<br />
200 201
7.3. ÇÀËÅÆͲÑÒÜ Ì²Æ ÍÅÏÅÐÅÐÂͲÑÒÞ<br />
² ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÉÎÂͲÑÒÞ ÔÓÍÊÖ²¯<br />
ßêùî ôóíêö³ÿ â òî÷ö³ õ 0 ìຠñê³í÷åííó ïîõ³äíó, òî êàæóòü,<br />
ùî â ö³é òî÷ö³ ôóíêö³ÿ äèôåðåíö³éîâíà. ßêùî æ<br />
ôóíêö³ÿ äèôåðåíö³éîâíà â óñ³õ òî÷êàõ äåÿêî¿ ìíîæèíè Õ,<br />
òî âîíà íàçèâàºòüñÿ äèôåðåíö³éîâíîþ íà ö³é ìíîæèí³ Õ.<br />
Äëÿ äèôåðåíö³éîâíî¿ â òî÷ö³ ôóíêö³¿ ìຠì³ñöå òàêà òåîðåìà.<br />
Òåîðåìà 7.3.1. ßêùî ôóíêö³ÿ f(õ) â òî÷ö³ õ 0 äèôåðåíö³éîâíà,<br />
òî âîíà â ö³é òî÷ö³ íåïåðåðâíà.<br />
Äîâåäåííÿ. Íåõàé ôóíêö³ÿ f(õ) â òî÷ö³ õ 0 äèôåðåíö³éîâíà.<br />
Öå îçíà÷àº, ùî ôóíêö³ÿ â òî÷ö³ õ 0 ìຠñê³í÷åííó<br />
ïîõ³äíó f′(õ 0 ), òîáòî ³ñíóº<br />
∆y<br />
lim = f′<br />
( x0<br />
). (7.3.1)<br />
∆x<br />
∆x→0<br />
³çüìåìî òåïåð ∆õ ≠ 0 ³ çîáðàçèìî ïðèð³ñò ôóíêö³¿ ∆ó<br />
â òî÷ö³ õ 0 ó âèãëÿä³:<br />
Dy<br />
D y= ×Dx. (7.3.2)<br />
Dx<br />
Òîä³ ³ç (7.3.2) ç óðàõóâàííÿì (7.3.1) ìàòèìåìî<br />
⎛∆y<br />
⎞ ∆y<br />
lim∆ y = lim ⎜ ⋅∆ x = lim ⋅lim∆ x = f′<br />
( x0) ⋅ 0 = 0<br />
x<br />
⎟<br />
.<br />
⎝∆<br />
⎠ ∆x<br />
∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0<br />
Îòæå, ãðàíèöÿ ïðèðîñòó ôóíêö³¿ f(õ) â òî÷ö³ õ 0 äîð³âíþº<br />
íóëþ, êîëè ∆x → 0. Òîìó çà îçíà÷åííÿì 6.3.5 ôóíêö³ÿ f(õ)<br />
â òî÷ö³ õ 0 º íåïåðåðâíîþ.<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Îáåðíåíà òåîðåìà, âçàãàë³ êàæó÷è, íåâ³ðíà. Äëÿ á³ëüøîãî<br />
ðîçóì³ííÿ öüîãî ôàêòó ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè.<br />
Ïðèêëàä 7.3.1. Äîñë³äèòè íà äèôåðåíö³éîâí³ñòü â òî÷ö³<br />
õ = 0 íåïåðåðâíó ôóíêö³þ f(x) =x α , α >0.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ñïî÷àòêó â³äçíà÷èìî, ùî îáëàñòü âèçíà-<br />
÷åííÿ ôóíêö³¿ f(x) =x α , α > 0 çàëåæèòü â³ä ïàðàìåòðà α (äèâ.<br />
ï. 6.1.1). ßêùî îáëàñòü âèçíà÷åííÿ äàíî¿ ôóíêö³¿ º [0; ∞), òî<br />
çã³äíî ç îçíà÷åííÿì äèôåðåö³éîâíîñò³ çðàçó ñêàæåìî, ùî<br />
âîíà â òî÷ö³ õ = 0 íå º äèôåðåö³éîâíîþ.  öüîìó âèïàäêó<br />
ìîæíà ãîâîðèòè ò³ëüêè ïðî îäíîñòîðîííþ ïîõ³äíó (â îçíà-<br />
÷åíí³ òðåáà ðîçãëÿäàòè ãðàíèöþ (7.2.1), êîëè ∆x → +0).<br />
Ó çâ’ÿçêó ç öèì ìè éîãî íå áóäåìî ðîçãëÿäàòè, òîáòî áóäåìî<br />
ââàæàòè, ùî ïàðàìåòð α ãàðàíòóº âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
f(x) =x α , α > 0 â îêîë³ òî÷êè õ = 0. Òîä³ ïîõ³äíà ôóíêö³¿ f(õ)<br />
â òî÷ö³ õ = 0 ó â³äïîâ³äíîñò³ äî îçíà÷åííÿ 7.2.1 îá÷èñëþºòüñÿ<br />
òàê:<br />
α<br />
( ∆x)<br />
f′ (0) = lim = lim( ∆x)<br />
∆x→0 ∆x<br />
∆x→0<br />
α−1<br />
. (7.3.3)<br />
Ïðîñòèé àíàë³ç ñï³ââ³äíîøåííÿ (7.3.3) ïîêàçóº, ùî ïðè<br />
α≥1 ç óðàõóâàííÿì îáìåæåíîñò³ çíà÷åíü ïàðàìåòðà α ³ñíóº<br />
â òî÷ö³ õ = 0 ñê³í÷åííà ïîõ³äíà ôóíêö³¿ f(õ), ïðè÷îìó<br />
ì 0, ÿêùî α > 1<br />
f ¢ (0) = ï<br />
í ï .<br />
ïî 1, ÿêùî α = 1<br />
ßêùî æ 0 < α < 1, òî ïîõ³äíà ôóíêö³¿ f(õ) â òî÷ö³ õ =0<br />
íå ³ñíóº. Îòæå, ìîæíà çðîáèòè òàêèé âèñíîâîê: ó çàëåæíîñò³<br />
â³ä ïàðàìåòðà α íåïåðåðâíà ôóíêö³ÿ f(x) =x α , α >0 â<br />
òî÷ö³ õ =0 ìîæå áóòè ÿê äèôåðåíö³éîâíîþ, òàê ³ íåäèôåðåíö³éîâíîþ.<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Ó âèïàäêó 0 < α < 1 ïîõ³äíà ôóíêö³¿<br />
f(x) =x α , α > 0 â òî÷ö³ õ = 0 íå ³ñíóº. Àëå â ö³é òî÷ö³ ìîæíà<br />
ââåñòè íåñê³í÷åííó ïîõ³äíó, àáî îäíîñòîðîííþ íåñê³í÷åííó<br />
2<br />
ïîõ³äíó. Íàïðèêëàä, äëÿ ôóíêö³é fx ( ) = x 3 ìîæíà ââåñòè<br />
îäíîñòîðîíí³ íåñê³í÷åíí³ ïîõ³äí³: f′(+0) = +∞, f′(−0) = −∞, à<br />
1<br />
2<br />
äëÿ ôóíêö³¿ fx ( ) = x ìîæíà ââåñòè ò³ëüêè îäíó îäíîñòîðîííþ<br />
íåñê³í÷åííó ïîõ³äíó: f′(+0) = +∞.<br />
×èòà÷åâ³ ïðîïîíóºìî äàòè ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò íàâåäåíèõ<br />
ó çàóâàæåíí³ 1 ïîíÿòü.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Ó ïðèêëàä³ 7.3.1 ðîçãëÿíóòî ò³ëüêè<br />
äîäàòí³ çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà α. Öå ïîâ’ÿçàíî ç òèì, ùî äëÿ<br />
â³ä’ºìíèõ çíà÷åíü ïàðàìåòðà α f(õ) â òî÷ö³ õ = 0 íå âèçíà-<br />
÷åíà.  öüîìó âèïàäêó ãîâîðèòè ïðî ³ñíóâàííÿ ïîõ³äíî¿<br />
f(õ) â òî÷ö³ õ = 0 íå ìຠñåíñó, òèì ïà÷å ãîâîðèòè ïðî äèôåðåíö³éîâí³ñòü.<br />
202 203
Ïðèêëàä<br />
7.3.2. Ïîêàçàòè, ùî íåïåðåðâíà ôóíêö³ÿ<br />
y= x,<br />
xÎ R â òî÷ö³ õ = 0 íåäèôåðåíö³éîâíà.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïîõ³äíà äàíî¿ ôóíêö³¿ (ÿêùî âîíà ³ñíóº)<br />
äîð³âíþº<br />
∆f<br />
x+∆x − x<br />
f′ ( x) = lim = lim<br />
. (7.3.4)<br />
∆x→0 ∆x<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
Î÷åâèäíî, ùî ïðè õ = 0 ïîõ³äíà íå ³ñíóº, îñê³ëüêè â³äïîâ³äíå<br />
â³äíîøåííÿ<br />
0+Dx<br />
- 0 Dx<br />
=<br />
Dx<br />
Dx<br />
äîð³âíþº 1 ïðè ∆õ > 0 ³ –1 ïðè ∆õ < 0, òîáòî íå ìຠãðàíèö³<br />
ïðè ∆x → 0 (í³ ñê³í÷åííî¿, í³ íåñê³í÷åííî¿). Ç ãåîìåòðè÷íî¿<br />
òî÷êè çîðó, öå îçíà÷ຠâ³äñóòí³ñòü äîòè÷íî¿ äî äàíî¿ êðèâî¿<br />
â òî÷ö³ O (0, 0).<br />
Ç à ó â à æ å í í ÿ.  òî÷ö³ õ = 0 ãðàíèöÿ â ïðàâ³é ÷àñòèí³<br />
ð³âíîñò³ (7.3.4) íå ³ñíóº. Àëå ÿêùî ìè áóäåìî ðîçãëÿäàòè<br />
öþ ãðàíèöþ ïðè ∆õ > 0 òà ïðè ∆õ < 0, òî îäåðæèìî â³äïîâ³äíî<br />
ñê³í÷åíí³ ãðàíèö³ 1 òà −1. Ö³ ãðàíèö³ ìè â³äïîâ³äíî ïîçíà÷èìî<br />
÷åðåç f′(+0) òà f′(−0) ³ íàçâåìî ¿õ îäíîñòîðîíí³ìè<br />
ïîõ³äíèìè â òî÷ö³ õ = 0.<br />
Íàâåäåí³ ïðèêëàäè ïîêàçóþòü, ùî íåïåðåðâí³ñòü ôóíêö³¿<br />
º íåîáõ³äíîþ (àëå íåäîñòàòíüîþ) óìîâîþ äèôåðåíö³éîâíîñò³<br />
ôóíêö³¿. Ôóíêö³ÿ, íåïåðåðâíà â äåÿê³é òî÷ö³ õ, ìîæå áóòè ³<br />
íåäèôåðåíö³éîâíà â í³é.<br />
Íàéïðîñò³ø³ âèïàäêè íåäèôåðåíö³éîâíîñò³ íåïåðåðâíî¿<br />
ôóíêö³¿ ó = f(õ) çîáðàæåí³ íà ðèñ. 7.4.  òî÷êàõ à, b, ñ, d<br />
ôóíêö³ÿ ó = f(õ) íåïåðåðâíà, àëå íåäèôåðåíö³éîâíà.<br />
7.4. ÏÎÕ²ÄͲ ÅËÅÌÅÍÒÀÐÍÈÕ ÔÓÍÊÖ²É<br />
7.4.1. Ïîõ³äíà ñòàëî¿ ôóíêö³¿ y = f(x) =C = const,<br />
x =(a, b)<br />
Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ñõåìè îá÷èñëåííÿ ïîõ³äíî¿ (äèâ.<br />
ï. 7.2) ìàºìî<br />
1 0 . y + ∆y = C, ∆x ≠ 0.<br />
2 0 . ∆y =C− C =0.<br />
D y<br />
3 0. = 0 .<br />
Dx<br />
∆ y<br />
4 0 . lim = lim0 = 0.<br />
∆x→0∆x<br />
∆x→0<br />
Îòæå,<br />
(C)′ = 0. (7.4.1)<br />
Ç ìåõàí³÷íî¿ òî÷êè çîðó, ôîðìóëó (7.4.1) ìîæíà ³íòåðïðåòóâàòè<br />
ÿê øâèäê³ñòü ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ó ñòàí³ ïîêîþ.<br />
³äîìî, ùî øâèäê³ñòü òàêî¿ òî÷êè äîð³âíþº íóëþ.<br />
Ïðîïîíóºìî ÷èòà÷åâ³ äàòè ãåîìåòðè÷íó òà åêîíîì³÷íó<br />
³íòåðïðåòàö³¿ ôîðìóëè (7.4.1).<br />
7.4.2. Ïîõ³äíà ëîãàðèôì³÷íî¿ ôóíêö³¿ y = log a x,<br />
a>0, a ≠ 1, x∈ (0; ∞)<br />
1 0 . y + ∆y = log a (x + ∆x), ∆x ≠ 0 i x + ∆x >0.<br />
æx+Dxö æ Dxö<br />
D y = loga x+Dx - loga x = log a = log a<br />
1 +<br />
ç<br />
è x ø ÷ è ç x ø ÷ .<br />
2 0 . ( )<br />
1<br />
Dy 1 æ Dxö æ Dx<br />
3 0 öDx<br />
. = log a<br />
1 + = log a 1 +<br />
x x ç<br />
è x ÷ ø çè x<br />
÷<br />
.<br />
D D<br />
ø<br />
Ðèñ. 7.4<br />
204 205
,<br />
4 0 . lim lim 1 x<br />
⎡∆x<br />
⎤<br />
∆ y ⎛ ∆ x ⎞∆x<br />
= t<br />
= log<br />
a 1 + = ⎢<br />
x<br />
⎥ =<br />
∆x→0∆x ∆x→0x ⎜<br />
x<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎢ ⎥<br />
⎢⎣∆x→0⇒t<br />
→0⎥⎦<br />
Çîêðåìà,<br />
( e<br />
x<br />
)<br />
¢ = x . (7.4.3)<br />
e<br />
1<br />
1 1<br />
t<br />
limlog a (1 t)<br />
x t→0<br />
x a<br />
= + = .<br />
ln<br />
Ó öüîìó ëàíöþæêó ð³âíîñòåé ìè çàñòîñóâàëè ôîðìóëó<br />
(6.3.12).<br />
Îòæå,<br />
Çîêðåìà,<br />
1<br />
( loga x)<br />
¢ = .<br />
x ln a<br />
1<br />
( ln x)<br />
¢ = .<br />
x<br />
7.4.4. Ïîõ³äíà ñòåïåíåâî¿ ôóíêö³¿ y = x α<br />
Íåõàé α º äîâ³ëüíå ä³éñíå ÷èñëî. Òîä³ îáëàñòü ³ñíóâàííÿ<br />
ôóíêö³¿ çàëåæèòü â³ä α.<br />
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç Õ îáëàñòü ³ñíóâàííÿ ôóíêö³¿ ïðè ô³êñîâàíîìó<br />
α. ³çüìåìî äîâ³ëüíå x ∈ X, àëå õ ≠ 0 (x = 0 áóëî<br />
ðîçãëÿíóòî ðàí³øå). Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ñõåìè îá÷èñëåííÿ<br />
ïîõ³äíî¿ (äèâ. ï. 7.2) áóäåìî ìàòè:<br />
1 0 . y + ∆y =(x + ∆x) α , ∆x ≠ 0.<br />
α α α<br />
æ<br />
α<br />
x<br />
ö<br />
ç æ D ö<br />
ç<br />
çç<br />
ç x<br />
÷ ø çè ÷ ø .<br />
2 0 . D y = ( x+Dx) - x = x ç1+ -1<br />
7.4.3. Ïîõ³äíà ïîêàçíèêîâî¿ ôóíêö³¿ y = a x , x ∈ R,<br />
a>0, a ≠ 1<br />
1 0 . y + ∆y = a x + ∆x , ∆x ≠ 0.<br />
2 0 . ∆y = a x + ∆x − a x = a x (a ∆x − 1).<br />
3 0 .<br />
D y a<br />
=<br />
Dx<br />
x<br />
x<br />
( a<br />
D -1)<br />
Dx<br />
.<br />
3 0 .<br />
4 0 .<br />
æ<br />
α<br />
x<br />
ö<br />
α<br />
æ ö<br />
x<br />
D<br />
1 1<br />
+ -<br />
ç<br />
y x<br />
÷<br />
D çèç è ø ÷ ø.<br />
=<br />
Dx<br />
Dx<br />
α<br />
⎛<br />
α ⎛ ∆x<br />
⎞ ⎞<br />
x<br />
⎜1+ 1<br />
x<br />
⎟ −<br />
⎡ ∆x<br />
⎤<br />
∆y<br />
⎜⎝ ⎠ ⎟<br />
t = ,<br />
lim =<br />
⎝ ⎠<br />
lim<br />
= ⎢<br />
x<br />
⎥ =<br />
∆x<br />
∆x<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢⎣∆x→0⇒t<br />
→0⎥⎦<br />
∆x→0 ∆x→0<br />
∆x<br />
t<br />
∆y 1 ,<br />
1<br />
4 0 x a − ⎡∆ x = t ⎤ x a − x<br />
. lim = a lim = = a lim = a ln a<br />
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆<br />
⎢<br />
x ∆x<br />
→ 0 ⇒<br />
⎥<br />
t →<br />
.<br />
⎣<br />
0⎦<br />
t→0<br />
t<br />
Ó öüîìó ëàíöþæêó ð³âíîñòåé ìè çàñòîñóâàëè ôîðìóëó<br />
(6.3.13).<br />
Îòæå,<br />
a<br />
¢ = a a . (7.4.2)<br />
x x<br />
( ) ln<br />
α<br />
α−1 (1 + t) −1<br />
α−1<br />
= limx<br />
=α⋅ x . (7.4.4)<br />
t→0<br />
t<br />
 îñòàííüîìó ëàíöþæêó ð³âíîñòåé (7.4.4) ìè ñêîðèñòóâàëèñÿ<br />
ôîðìóëîþ (6.3.14).<br />
Îòæå, âñòàíîâëåíî ôîðìóëó<br />
¢ = α × ¹ . (7.4.5)<br />
α<br />
α-<br />
( x ) x 1 , x 0<br />
206 207
 ÿêîñò³ ïðèêëàäà ðîçãëÿíåìî âèïàäîê, êîëè<br />
¢ ¢<br />
( ) ( )<br />
1<br />
α = . Òîä³<br />
2<br />
1 1 -1<br />
1<br />
2 2<br />
x = x = x = . (7.4.6)<br />
2 2 x<br />
Ôîðìóëó (7.4.6) ñë³ä çàïàì’ÿòàòè îêðåìî, îñê³ëüêè ¿¿<br />
÷àñòî âèêîðèñòîâóþòü.<br />
7.4.5. Ïîõ³äíà ôóíêö³¿ y=sinx, x∈ R<br />
y+D y= sin x+Dx , D x¹ 0 .<br />
1 0 . ( )<br />
Dx<br />
x<br />
y sin x x sin x 2sin cos<br />
æ D<br />
D = +D - = ç x<br />
ö<br />
+ 2 çè 2 ø ÷ .<br />
2 0 . ( )<br />
3 0 .<br />
4 0 .<br />
Dx<br />
æ D xö<br />
2sin × cos<br />
ç x+ D y 2 çè 2 ø÷<br />
=<br />
.<br />
Dx<br />
Dx<br />
∆ y 1<br />
lim = 2 ⋅ ⋅ cosx<br />
= cosx.<br />
∆x<br />
2<br />
∆x→0<br />
Çàóâàæèìî, ùî ïðè îá÷èñëåíí³ ãðàíèö³ ìè âèêîðèñòàëè<br />
òåîðåìó ïðî äîáóòîê ãðàíèöü, íåïåðåðâí³ñòü ôóíêö³¿<br />
y = cosx ³ ôîðìóëó (6.3.8). Îòæå,<br />
(sin x)′ = cos x. (7.4.7)<br />
7.4.6. Ïîõ³äíà ôóíêö³¿ y = cos x, x∈R<br />
Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ, ùî äëÿ ôóíêö³¿ y = cos x ó äîâ³ëüí³é<br />
òî÷ö³ x∈R ³ñíóº ïîõ³äíà ³ äîð³âíþº –sin x, òîáòî<br />
(cos x)′ = −sin x. (7.4.8)<br />
Ïðîïîíóºìî ÷èòà÷åâ³ ôîðìóëó (7.4.8) âèâåñòè ñàìîñò³éíî.<br />
7.5. ÏÎÕ²ÄÍÀ ÎÁÅÐÍÅÍί ÔÓÍÊÖ²¯<br />
Ïåðø í³æ âèâåñòè ôîðìóëè ïîõ³äíèõ îáåðíåíèõ ôóíêö³é,<br />
äîâåäåìî òåîðåìó ïðî ïîõ³äíó îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿.<br />
Òåîðåìà 7.5.1 (ïðî ïîõ³äíó îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿). Íåõàé<br />
ôóíêö³ÿ y = f(x) çàäîâîëüíÿº âñ³ óìîâè òåîðåìè ïðî ³ñíóâàííÿ<br />
îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿ (äèâ. òåîð. 6.3.8) ³ â òî÷ö³ õ 0 ìàº<br />
ïîõ³äíó f′(x 0 ) ≠ 0. Òîä³ îáåðíåíà äëÿ íå¿ ôóíêö³ÿ x = ϕ(y) ó<br />
òî÷ö³ ìຠy 0 = f(x 0 ) òàêîæ ïîõ³äíó ³ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà<br />
1<br />
ϕ ¢ ( y0)<br />
=<br />
f ¢ ( x )<br />
. (7.5.1)<br />
Äîâåäåííÿ. Íàäàìî òî÷ö³ y 0 ïðèðîñòó ∆y ≠ 0. Òîä³ îáåðíåíà<br />
ôóíêö³ÿ x = ϕ(y) ó òî÷ö³ õ 0 ä³ñòàíå ïðèð³ñò ∆õ, ïðè÷îìó<br />
âíàñë³äîê ¿¿ ñòðîãî¿ ìîíîòîííîñò³ ìàòèìåìî ∆x ≠ 0. Ó<br />
öüîìó âèïàäêó ñïðàâäæóºòüñÿ òîòîæí³ñòü<br />
0<br />
D x 1 = D y D y .<br />
Dx<br />
Ïåðåéäåìî â ö³é ð³âíîñò³ äî ãðàíèö³ ïðè D y ® 0 . Âíàñë³äîê<br />
íåïåðåðâíîñò³ îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿ ∆õ òàêîæ áóäå ïðÿìóâàòè<br />
äî íóëÿ.<br />
Òàêèì ÷èíîì,<br />
∆ x 1 1<br />
lim = lim =<br />
∆y<br />
∆ y f′<br />
( x0)<br />
. (7.5.2)<br />
∆x<br />
∆y→0 ∆x→0<br />
Ïðè âèâåäåíí³ ôîðìóëè (7.5.2) ìè ñêîðèñòàëèñÿ òåîðåìîþ<br />
ïðî ãðàíèöþ ÷àñòêè, à òàêîæ óìîâîþ òåîðåìè<br />
(f′(x 0 ) ≠ 0).<br />
Òàêèì ÷èíîì, ³ñíóº ïîõ³äíà îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿ x = ϕ(y) ó<br />
òî÷ö³ y 0 = f(x 0 ) ³ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (7.5.1).<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Çàóâàæåííÿ. Ôîðìóëà (7.5.1) ïîâ’ÿçóº ïðè ïåâíèõ<br />
óìîâàõ çíà÷åííÿ ïîõ³äíèõ ïðÿìî¿ ³ îáåðíåíî¿ ôóíêö³é ó<br />
â³äïîâ³äíèõ òî÷êàõ. ßêùî æ òåïåð ôóíêö³ÿ y = f(x) ìàº<br />
208 209
ïîõ³äíó â äîâ³ëüí³é òî÷ö³ õ ³ f′(x) ≠ 0, òî ôîðìóëà âèêîíó-<br />
ºòüñÿ äëÿ òî÷îê õ:<br />
àáî<br />
1<br />
ϕ ¢ ( y)<br />
= ,<br />
f ¢<br />
(7.5.3)<br />
( x)<br />
1<br />
x′ y<br />
=<br />
y ′<br />
. (7.5.4)<br />
Ôîðìóëà (7.5.4) çðó÷íà äëÿ êîðèñòóâàííÿ ó äàí³é ñèòóàö³¿.<br />
Âîíà êîíêðåòíî (ïî íèæíüîìó ³íäåêñó) ïîêàçóº ïî<br />
ÿê³é çì³íí³é çíàõîäèòüñÿ ïîõ³äíà.<br />
²ç ôîðìóëè (7.5.4) ëåãêî îòðèìàòè ³ òàêó:<br />
x<br />
1<br />
y ′ x<br />
= , xy<br />
0<br />
x<br />
′ ≠ . (7.5.5)<br />
′<br />
y<br />
7.5.1. Ïîõ³äí³ îáåðíåíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ ôóíêö³é<br />
Ïî÷íåìî ç ôóíêö³¿ y = arcsin x, x∈(−1, 1). Çà îçíà÷åííÿì<br />
îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿ y = arcsin x (äèâ. äîä. 2) ìàºìî<br />
⎛ π π⎞<br />
x = sin y, y∈ ⎜ − ;<br />
2 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ . (7.5.6)<br />
Òåïåð äëÿ çíàõîäæåííÿ ïîõ³äíî¿ îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿<br />
y = arcsin x çàñòîñóºìî ôîðìóëó (7.5.5).  ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî<br />
1 1<br />
y′ x<br />
= =<br />
x′ cos y<br />
. (7.5.7)<br />
y<br />
Ôîðìóëà (7.5.7) âèçíà÷ຠïîõ³äíó îáåðíåíî¿ ôóíêö³¿<br />
y = arcsin x ó íåÿâí³é ôîðì³. Äëÿ çîáðàæåííÿ ¿¿ â ÿâí³é<br />
⎛ π π⎞<br />
ôîðì³ âèðàçèìî cos y ÷åðåç õ. Îñê³ëüêè y ∈ ⎜ − ;<br />
2 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ , òî<br />
ôóíêö³ÿ cos y íàáóâຠò³ëüêè äîäàòíèõ çíà÷åíü ³ ¿¿ ìîæíà<br />
çàïèñàòè ó âèãëÿä³:<br />
cos y 1 sin y 1 x<br />
2 2<br />
= − = − .<br />
ßêùî òåïåð îñòàííþ ôîðìóëó ï³äñòàâèìî â (7.5.7) ³ âðàõóºìî,<br />
ùî y = arcsin x, òî îñòàòî÷íî îòðèìàºìî ôîðìóëó<br />
′ 1 =<br />
1− x<br />
( arcsin x) 2<br />
. (7.5.8)<br />
Àíàëîã³÷íî ìîæíà âèâåñòè ôîðìóëó ïîõ³äíèõ äëÿ îáåðíåíèõ<br />
òðèãîíîìåòðè÷íèõ ôóíêö³é arccos x, arctg x, arcctg x.<br />
Äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâ³ òàê³ ôîðìóëè:<br />
′ 1 =−<br />
1− x<br />
( arccos x) 2<br />
( arctg x) 2<br />
, (7.5.9)<br />
′ 1 =<br />
1 + x , (7.5.10)<br />
′ 1 =−<br />
1 + x . (7.5.11)<br />
( arcctg x) 2<br />
Ôîðìóëè (7.5.9) – (7.5.11) ïðîïîíóºìî ÷èòà÷åâ³ âèâåñòè<br />
ñàìîñò³éíî.<br />
7.6. ÎÑÍÎÂͲ ÏÐÀÂÈËÀ<br />
ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÞÂÀÍÍß ÔÓÍÊÖ²É<br />
Ðîçãëÿíåìî ôóíêö³¿ u = sin x, v = x ³ ïîñòàâèìî çàäà÷ó<br />
ïðî çíàõîäæåííÿ ïîõ³äíèõ òàêèõ ôóíêö³é: y = sin x ± x,<br />
sinx<br />
y = x sin x, y = . Êîðèñòóþ÷èñü çàãàëüíèì ïðàâèëîì çíàõîäæåííÿ<br />
ïîõ³äíèõ, öþ ïðîáëåìó ìîæíà ðîçâ’ÿçàòè àëå äî-<br />
x<br />
ñèòü ãðîì³çäêî. Êðàùå ïîñòàâëåíó çàäà÷ó ðîçâ’ÿçàòè çà<br />
äîïîìîãîþ ïðàâèë äèôåðåíö³þâàííÿ ôóíêö³é, ÿê³ ó öüîìó<br />
ïóíêò³ áóäå ïîäàíî ó âèãëÿä³ òåîðåì.<br />
Òåîðåìà 7.6.1 (ïðî äèôåðåíö³þâàííÿ ñóìè ³ ð³çíèö³).<br />
Íåõàé ôóíêö³¿ u(x) i v(x) äèôåðåíö³éîâí³ íà ³íòåðâàë³<br />
(a, b). Òîä³ ôóíêö³¿ y = u(x) ±v(x) òàêîæ äèôåðåíö³éîâí³ íà<br />
³íòåðâàë³ (a, b) ³ ñïðàâåäëèâ³ ôîðìóëè<br />
( )′<br />
y′ = u ± v = u′ ± v′<br />
. (7.6.1)<br />
210 211
Òåîðåìà 7.6.2 (ïðî äèôåðåíö³þâàííÿ äîáóòêó). Íåõàé<br />
ôóíêö³¿ u(x) i v(x) äèôåðåíö³éîâí³ íà ³íòåðâàë³ (a, b). Òîä³<br />
ôóíêö³ÿ y = u(x)v(x) òàêîæ äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³<br />
(a, b) ³ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà<br />
( )′<br />
y′ = uv = uv ′ + v′<br />
u . (7.6.2)<br />
Íàñë³äîê. Ïðè äèôåðåíö³þâàíí³ (ÿêùî öå ìîæëèâî)<br />
ñòàëó ìîæíà âèíîñèòè çà çíàê ïîõ³äíî¿, òîáòî ñïðàâäæóºòüñÿ<br />
ôîðìóëà<br />
( )′<br />
y′ = cu = cu′<br />
. (7.6.3)<br />
Äîâåäåííÿ. Ó ôîðìóë³ (7.6.3) ïðèïóñòèìî, ùî u(x)<br />
äîâ³ëüíà äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³ (a, b) ôóíêö³ÿ, à<br />
v(x) =ñ = const. Îñê³ëüêè v′ = (c)′ = 0, òî ³ç ôîðìóëè (7.6.2)<br />
ä³éñíî âèïëèâຠôîðìóëà (7.6.3).<br />
Çàóâàæèìî, ùî ³ç òåîðåìè 7.6.1 ³ íàñë³äêó òåîðåìè 7.6.2<br />
âèïëèâຠòàêå òâåðäæåííÿ:<br />
ë³í³éíà êîìá³íàö³ÿ äèôåðåíö³éîâíèõ íà ³íòåðâàë³ (a, b).<br />
ôóíêö³é (f i (x), i =1,2,…,n)<br />
ìຠïîõ³äíó<br />
n<br />
x ( ) = cf( x) + cf( x) + ... + cf( x) = ∑ cf( x)<br />
11 22<br />
n n<br />
i=<br />
1<br />
i i<br />
i=<br />
1<br />
′ ( x) = c11 f′<br />
( x) + c22<br />
f′ ( x) + ... + cnf′ n( x) = ∑ cf′<br />
i i( x), x∈( a, b)<br />
. (7.6.4)<br />
Òåîðåìà 7.6.3 (ïðî äèôåðåíö³þâàííÿ ÷àñòêè). Íåõàé<br />
ôóíêö³¿ u(x) i v(x) äèôåðåíö³éîâí³ íà ³íòåðâàë³ (a, b) ³<br />
ux ( )<br />
êð³ì òîãî v(x) ≠ 0∀x∈(a, b). Òîä³ ôóíêö³ÿ y = òàêîæ<br />
vx ( )<br />
äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³ (a, b) ³ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà<br />
n<br />
⎛u⎞<br />
′ uv ′ − vu ′<br />
y′ = ⎜ =<br />
2<br />
v<br />
⎟<br />
. (7.6.5)<br />
⎝ ⎠ v<br />
Äîâåäåìî îäíó ³ç òåîðåì 7.6.1 — 7.6.3, íàïðèêëàä 7.6.2<br />
(äîâåäåííÿ ³íøèõ òåîðåì ïðîïîíóºìî çä³éñíèòè ÷èòà÷åâ³<br />
ñàìîñò³éíî).<br />
Äîâåäåííÿ. Éîãî áóäåìî ïðîâîäèòè çà â³äîìîþ óæå<br />
ñõåìîþ.<br />
1 0 . y +∆ y = ( u +∆ u)( v +∆ v)<br />
.<br />
2 0 . ∆ y= ( u+∆ u)( v+∆v)<br />
− uv=∆u⋅ v+ u⋅∆ v+∆u⋅∆ v.<br />
3 0 .<br />
4 0 .<br />
∆y ∆u ∆v ∆u<br />
= ⋅ v+ ⋅ u+ ⋅∆v.<br />
∆x ∆x ∆x ∆x<br />
∆y lim = u ′ ⋅ v + v ′ ⋅ u .<br />
∆x<br />
∆→ x 0<br />
Ïðè äîâåäåíí³ ö³º¿ ð³âíîñò³ ìè ñêîðèñòàëèñÿ îçíà÷åííÿì<br />
ïîõ³äíî¿, òåîðåìîþ ïðî ãðàíèöþ ñóìè, à òàêîæ òåîðåìîþ<br />
ïðî íåïåðåðâí³ñòü äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿ v( lim v 0)<br />
∆x→0<br />
∆ = .<br />
Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî îçíà÷åííÿ ïîõ³äíî¿ îòðèìàëè ôîðìóëó<br />
(7.6.2).<br />
Îòæå, òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Çàóâàæåííÿ. Äîâåäåííÿ òåîðåì 7.6.1 — 7.6.3 áóëî<br />
çä³éñíåíî çà óìîâè, ùî çì³ííà x∈(a, b). Ó çâ’ÿçêó ç öèì<br />
ñë³ä ñêàçàòè, ùî àíàëîã³÷í³ òåîðåìè ìîæóòü áóòè äîâåäåí³<br />
íà áóäü-ÿê³é ÷èñëîâ³é ìíîæèí³ Õ (ìîæëèâî, ç äåÿêèìè îáìåæåííÿìè).<br />
Çîêðåìà, ÿêùî äèôåðåíö³éîâí³ ôóíêö³¿ çàäàí³<br />
íà ñåãìåíò³ [a, b], òî òðåáà ðîçãëÿäàòè îäíîñòîðîíí³ ïîõ³äí³<br />
â òî÷êàõ à ³ b.<br />
7.7. ÏÐÈÊËÀÄÈ ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß ÎÑÍÎÂ-<br />
ÍÈÕ ÏÐÀÂÈË ÄÈÔÅÐÅÍÖÞÂÀÍÍß<br />
ÔÓÍÊÖ²É<br />
Ïðèêëàä 7.7.1. y = sin x + x, x∈R.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ.<br />
( )′ ( )′<br />
y′ = sin x + x = cos x + 1 .<br />
212 213
Ïðèêëàä 7.7.2. y = x sin x, x∈R.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ.<br />
( )′ ( )′<br />
y′ = x ⋅ sin x+ x sin x = sin x+ x⋅ cosx.<br />
sinx<br />
Ïðèêëàä 7.7.3. y = .<br />
x<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ.<br />
( sin x) ′ ⋅x−sin x⋅( x)<br />
′<br />
cos x⋅x−sin<br />
x<br />
y′ = = .<br />
2 2<br />
x<br />
x<br />
π<br />
Ïðèêëàä 7.7.4. y = tg x, x≠ +πn,<br />
n∈Z . Òðåáà çíàéòè y′.<br />
2<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ.<br />
( )<br />
⎛sin x ⎞ cos cos sin sin 1<br />
( tg )<br />
′ x⋅ x− x⋅ − x<br />
y′ = x ′ = ⎜<br />
2 2<br />
cos x<br />
⎟ = = . (7.7.1)<br />
⎝ ⎠<br />
cos x cos x<br />
Ïðèêëàä 7.7.5. y = ctg x, x ≠πn,<br />
n∈Z . Òðåáà çíàéòè y′.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ.<br />
( )<br />
⎛cos x ⎞ sin sin cos cos 1<br />
( ctg )<br />
′ − x⋅ x − x⋅<br />
x<br />
y′ = x ′ = ⎜<br />
2 2<br />
sin x<br />
⎟ = = − . (7.7.2)<br />
⎝ ⎠<br />
sin x sin x<br />
Çàóâàæèìî, ùî îñòàíí³ äâà ïðèêëàäè º òåîðåòè÷íèìè.<br />
7.8. ÏÎÕ²ÄÍÀ ÑÊËÀÄÅÍί ÔÓÍÊÖ²¯<br />
7.8.1. Òåîðåìà (ïðî ïîõ³äíó ñêëàäåíî¿ ôóíêö³¿)<br />
ßêùî ôóíêö³ÿ ó = f(u) ìຠïîõ³äíó â òî÷ö³ u, à u º ôóíêö³ÿ<br />
â³ä x ³ u(õ) ìຠïîõ³äíó â òî÷ö³ õ, òî ñêëàäåíà ôóíêö³ÿ<br />
ó = f(u(x)) ìຠïîõ³äíó â òî÷ö³ õ, ïðè÷îìó<br />
dy dy du<br />
= ⋅ àáî y x<br />
′ = y u<br />
′ ⋅ u x<br />
′. (7.8.1)<br />
dx du dx<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Îñê³ëüêè ôóíêö³ÿ ó = f(u) ìຠïîõ³äíó â<br />
òî÷ö³ u, òî<br />
∆y<br />
lim = y′<br />
u .<br />
∆u<br />
∆u→0<br />
Çà âèçíà÷åííÿì ãðàíèö³ ôóíêö³¿ ð³çíèöÿ ì³æ ¿¿ çíà÷åííÿì<br />
³ ãðàíèöåþ ìîæå áóòè îòðèìàíà ÿê çàâãîäíî ìàëîþ,<br />
òîáòî<br />
∆y<br />
= y′<br />
u<br />
+α( u,<br />
∆u)<br />
,<br />
∆u<br />
∆ y = y ∆ u+α u ∆u ∆ u. Àíà-<br />
äå α( u, ∆u)<br />
→ 0 ïðè ∆u<br />
→ 0 . Îòæå, ′<br />
u ( , )<br />
ëîã³÷íî ∆ u = u′<br />
∆ x+β( x,<br />
∆x)<br />
∆ x , äå β( x,<br />
∆ )<br />
x<br />
x ïðÿìóº äî íóëÿ ïðè<br />
∆x → 0. ϳäñòàâëÿþ÷è âèðàç äëÿ ∆u â ∆ó, îòðèìàºìî<br />
∆ y = y′ u′ + y′ β∆ x + u′<br />
α∆ x + αβ∆ x.<br />
u x u x<br />
Ðîçä³ëèâøè îáèäâ³ ÷àñòèíè îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ íà ∆õ ≠ 0 ³<br />
ïåðåéøîâøè äî ãðàíèö³ ïðè ∆õ → 0, îòðèìàºìî<br />
∆y lim = y ′<br />
u⋅<br />
u ′<br />
x. (7.8.2)<br />
∆x<br />
∆x→0<br />
Îòæå, çã³äíî ç îçíà÷åííÿì ïîõ³äíî¿ ³ ñï³ââ³äíîøåííÿì<br />
(7.8.2) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (7.8.1).<br />
Ôîðìóëà (7.8.1) äຠòàêå ïðàâèëî äèôåðåíö³þâàííÿ ñêëàäåíèõ<br />
ôóíêö³é: ïîõ³äíà ñêëàäåíî¿ ôóíêö³¿ äîð³âíþº äîáóòêó<br />
ïîõ³äíî¿ çîâí³øíüî¿ ôóíêö³¿ íà ïîõ³äíó âíóòð³øíüî¿<br />
ôóíêö³¿.<br />
Ç à ó â à æ å í í ÿ. ßêùî ó = f(u), u = ϕ(v), v = g(x), òî<br />
ó = f(ϕ(g(x))), y′ x<br />
= y′ u<br />
⋅u′ v<br />
⋅ v′<br />
x<br />
.<br />
7.8.2. Òàáëèöÿ ïîõ³äíèõ ñêëàäåíèõ ôóíêö³é<br />
Íà îñíîâ³ ôîðìóë (7.4.1) — (7.4.8), (7.5.8) — (7.5.11),<br />
(7.7.1) — (7.7.2) ìîæíà áóëî ñêëàñòè òàáëèöþ ïîõ³äíèõ<br />
îñíîâíèõ åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é. Àëå ìè öüîãî íå áóäåìî<br />
ðîáèòè ÷åðåç òå, ùî çàâäÿêè òåîðåì³ 7.8.1 ³ íà îñíîâ³ òèõ<br />
æå ôîðìóë (7.4.1) — (7.4.8), (7.5.8) — (7.5.11), (7.7.1) —<br />
(7.7.2) ìîæíà ñêëàñòè á³ëüø çàãàëüíó òàáëèöþ. ¯¿ ìè íàçâåìî<br />
òàáëèöåþ ïîõ³äíèõ ñêëàäåíèõ ôóíêö³é. Íàâåäåìî ¿¿.<br />
214 215
Òàáëèöÿ ïîõ³äíèõ ñêëàäåíèõ ôóíêö³é<br />
y y′ y y′<br />
1 c = const 0 9 sin u(x) u′(x) cos u(x)<br />
m<br />
2 u ( x),<br />
m∈<br />
R<br />
3 ux ( )<br />
u( x<br />
4 a ) ( a > 0, a ≠1)<br />
5<br />
u( x)<br />
e<br />
6<br />
log<br />
a<br />
ux ( )<br />
( a > 0, a ≠1)<br />
7 lnu(x)<br />
8<br />
( )<br />
⎡⎣ux<br />
( ) ⎤⎦<br />
v x<br />
m− mu<br />
1 ( x) u′ ( x)<br />
10 cos ux ( ) −u′<br />
( x)sin u( x)<br />
u′<br />
( x)<br />
2 ux ( )<br />
u′<br />
( x)<br />
11 tg u(x) 2<br />
cos ux ( )<br />
u′<br />
( x)<br />
u( x<br />
a<br />
) ln a⋅u′<br />
( x)<br />
12 ctg u(x) −<br />
2<br />
sin ux ( )<br />
e<br />
u( x)<br />
u′<br />
( x)<br />
u′ ( x)<br />
13 arcsin u(x) 2<br />
1 − u ( x)<br />
u′<br />
( x)<br />
ux ( )lna<br />
u′<br />
( x)<br />
ux ( )<br />
v<br />
v 1<br />
uv u vu − u<br />
u′<br />
( x)<br />
14 arccos u(x)<br />
−<br />
2<br />
1 − u ( x)<br />
u′<br />
( x)<br />
15 arctg u(x) 2<br />
1 + u ( x)<br />
u′<br />
( x)<br />
′ ln + ′ 16 arcctg u(x) −<br />
2<br />
1 + u ( x)<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Ïîõ³äíà, ÿêà çàïèñàíà ó ñüîìîìó ðÿäêó<br />
òàáëèö³, íàçèâàºòüñÿ ëîãàðèôì³÷íîþ ïîõ³äíîþ. Ëîãàðèôì³÷íó<br />
ïîõ³äíó ( ln u)<br />
′ ′ = íàçèâàþòü òàêîæ â³äíîñíîþ øâèä-<br />
u<br />
u<br />
ê³ñòþ çì³íè ôóíêö³¿, àáî òåìïîì çì³íè ôóíêö³¿. Ñë³ä ñêàçàòè,<br />
ùî îñòàíí³é òåðì³í äóæå ÷àñòî âèêîðèñòîâóºòüñÿ ó<br />
òåîðåòè÷íèõ ïèòàííÿõ ç åêîíîì³êè.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Íàâåäåíîþ òàáëèöåþ ìîæíà êîðèñòóâàòèñÿ<br />
³ äëÿ âèçíà÷åííÿ ïîõ³äíèõ â³ä îñíîâíèõ åëåìåíòàðíèõ<br />
ôóíêö³é, ÿê³ çàëåæàòü ò³ëüêè â³ä õ. Äëÿ öüîãî ó íàâåäåí³é<br />
òàáëèö³ òðåáà ïîêëàñòè u(x) =x (u′ = 1).<br />
Ïðèêëàäè 7.7.6 — 7.7.10. Êîðèñòóþ÷èñü ôîðìóëàìè äèôåðåíö³þâàííÿ,<br />
çíàéòè ïîõ³äí³ òàêèõ ôóíêö³é:<br />
7.7.6.<br />
2 1 3 2<br />
y = x + + x +<br />
2 ;<br />
x 5<br />
1 2+<br />
x x arcsinx x<br />
7.7.7. y = sin2x+ ln −2 ⋅ cos3 x+ + arctg + arccose<br />
2 2− x tgx x+<br />
2<br />
2x<br />
7.7.8. y = x ; 7.7.9.<br />
7.7.10.<br />
cos αtg<br />
α<br />
y( α ) =<br />
1+<br />
2tg<br />
c<br />
.<br />
5<br />
yt () =<br />
;<br />
asin<br />
t − bcos<br />
t<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ.<br />
7.7.6. Çàïèøåìî ôóíêö³þ ó âèãëÿä³:<br />
1<br />
2 −2 2<br />
3<br />
y= x + x + x + .<br />
5<br />
Çàñòîñîâóþ÷è ôîðìóëó äèôåðåíö³þâàííÿ ñòåïåíåâî¿ ôóíêö³¿<br />
³ ïðàâèëî äèôåðåíö³þâàííÿ àëãåáðà¿÷íî¿ ñóìè, áóäåìî<br />
ìàòè:<br />
2<br />
−3 1<br />
3<br />
y′ = 2x − 2x + x −<br />
.<br />
3<br />
7.7.7. Ñïî÷àòêó çíàéäåìî ïîõ³äí³ êîæíîãî ³ç àëãåáðè÷íèõ<br />
äîäàíê³â, ÿê³ âõîäÿòü ó ñòðóêòóðó äàíî¿ ôóíêö³¿:<br />
⎛1 ⎞<br />
′ 1<br />
⎜ sin 2x⎟<br />
= ⋅ 2cos 2x = cos 2x<br />
,<br />
⎝2 ⎠ 2<br />
⎛<br />
′<br />
2+ x ⎞ 1⎛ 2+<br />
x⎞ 1<br />
ln ln<br />
⎛<br />
( ln ( 2 ) ln ( 2<br />
′ ⎞<br />
= = + − − ))<br />
=<br />
⎜<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
2 ⎟<br />
x x<br />
⎝ −x<br />
⎠ 2⎝<br />
2−x⎠<br />
2⎝ ⎠<br />
2x<br />
;<br />
216 217
1⎛<br />
1 1 ⎞ 2<br />
= ⎜ + ⎟=<br />
,<br />
2<br />
2⎝2+ x 2−x⎠<br />
4 − x<br />
x x x<br />
( x) x ( x)<br />
2 cos3<br />
′ = 2 ln 2 ⋅ cos3 + 2 − sin 3 ⋅ 3 ,<br />
1 ⋅tg<br />
x−arcsin<br />
x⋅<br />
1<br />
2<br />
2<br />
⎛arcsin x ⎞<br />
′<br />
1−<br />
x<br />
cos x<br />
⎜ ⎟ =<br />
,<br />
2<br />
⎝ tg x ⎠<br />
tg x<br />
⎛ x ⎞<br />
′ 1 ⎛ x ⎞<br />
′ 2<br />
⎜arctg ⎟ = ⋅ ,<br />
2 ⎜ ⎟ =<br />
2 2<br />
⎝ x+ 2⎠ ⎛ x ⎞ ⎝ x+<br />
2⎠ ( x+ 2)<br />
+ x<br />
1+ ⎜ ⎟<br />
⎝ x + 2 ⎠<br />
2x<br />
2x<br />
2<br />
( arccos<br />
′ ⋅e<br />
e ) =−<br />
4x<br />
.<br />
1−e<br />
×èòà÷åâ³ ðåêîìåíäóºìî çàïèñàòè ïîõ³äíó ôóíêö³¿ ó ÷åðåç<br />
îòðèìàí³ ôîðìóëè ³ çà ôîðìóëîþ (7.6.4).<br />
7.7.8. Ñïî÷àòêó ïðîëîãàðèôìóºìî îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíîñò³<br />
y = x çà îñíîâîþ ÷èñëà å. Ó ðåçóëüòàò³ îäåðæèìî:<br />
2x<br />
ln y =2x ln x. Ïîò³ì çíàéäåìî ïîõ³äí³ â³ä îáîõ ÷àñòèí<br />
îñòàííüî¿ ð³âíîñò³.<br />
Ïðè öüîìó, çàñòîñîâóþ÷è ëîãàðèôì³÷íó ïîõ³äíó, ìàòèìåìî<br />
= 2(lnx<br />
+ 1)<br />
y′ y<br />
.<br />
Çâ³äêè îòðèìàºìî, ùî<br />
2x<br />
( ) àáî ( )<br />
y′ = 2y lnx+ 1 y′<br />
= 2x lnx+ 1 .<br />
³äçíà÷èìî, ùî ïîõ³äíó äàíî¿ ôóíêö³¿ ìîæíà çíàéòè áåçïîñåðåäíüî,<br />
êîðèñòóþ÷èñü ïðè öüîìó ôîðìóëîþ 8 ³ç òàáëèö³.<br />
− ′ − 5( acos t + bsin t)<br />
′ =− − − =<br />
.<br />
2<br />
7.7.9. y 5( asin t bcos t) ( asin t bcos<br />
t)<br />
( asin<br />
t − bcost)<br />
2<br />
7.7.10.<br />
( sin )′<br />
⎛cos<br />
α⋅tg<br />
α⎞ ′ α cos α<br />
y′ = ⎜ ⎟ = = , c −ñòàëà .<br />
⎝ 1+2tgc ⎠ 1+ 2tgc 1+<br />
2tgc<br />
Ñë³ä ìàòè íà óâàç³, ùî íå çàâæäè äîö³ëüíî äèôåðåíö³þâàòè<br />
çàäàíó ôóíêö³þ â³äðàçó. Ìîæíà ïîïåðåäíüî ï³ääàòè ¿¿<br />
òîòîæí³ì ïåðåòâîðåííÿì, ÿêùî öå âåäå äî ñïðîùåííÿ äèôåðåíö³þâàííÿ.<br />
Òðåáà òàêîæ óÿâëÿòè, ùî ÿê àðãóìåíòè, òàê ³<br />
ôóíêö³¿ ìîæóòü áóòè ïîçíà÷åí³ ð³çíîìàí³òíèìè áóêâàìè,<br />
ïðè öüîìó ïåðø çà âñå òðåáà ÷³òêî âèçíà÷èòè, ÿê³ áóêâè<br />
â³äïîâ³äàþòü çì³ííèì âåëè÷èíàì, à ÿê³ ñòàëèì.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Çíàéòè ïîõ³äí³ òàêèõ ôóíêö³é (ó äåÿêèõ âèïàäêàõ òðåáà<br />
òàêîæ îá÷èñëèòè çíà÷åííÿ ïîõ³äíèõ ó òî÷ö³):<br />
7.1.<br />
x<br />
3<br />
3<br />
2<br />
= + 3 − ; 7.2. 2<br />
y x x<br />
7.3. y ( x a) 2<br />
7.5.<br />
7.7.<br />
7.9.<br />
y = x− x ;<br />
1 1<br />
= − , a = const; 7.4. s = 2<br />
t<br />
+ t<br />
;<br />
z x x<br />
3<br />
3<br />
= 3 − 2 + 4 ; 7.6.<br />
v =<br />
2<br />
x −<br />
x<br />
2<br />
2t<br />
u = ; t + 3<br />
3<br />
+ 3<br />
; 7.8. y = x 2 sin x;<br />
1+ cosϕ<br />
z = ; 7.10. ctg<br />
sin ϕ y=− 3cos t t;<br />
x<br />
7.11. fx ( ) = ;<br />
1 + x<br />
m t<br />
7.12. Ft () = t<br />
+ m<br />
, m — ïàðàìåòð; îá÷èñëèòè<br />
⎛dF<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ dt ⎠ =<br />
t<br />
m<br />
;<br />
218 219
7.13. r(ϕ) =ϕ sin ϕ + cos ϕ; îá÷èñëèòè r′(π);<br />
7.14. z =(y 2 –2y) tgy; îá÷èñëèòè z′(0);<br />
2x<br />
7.32.<br />
−<br />
z = 3e x x ; 7.33. g=arctg<br />
2<br />
1 − x<br />
;<br />
7.15.<br />
2 2<br />
r 2x<br />
u()<br />
r = 2 2<br />
2x<br />
− r<br />
; îá÷èñëèòè<br />
⎛du<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
dr<br />
;<br />
⎝ ⎠ =<br />
r<br />
x<br />
7.34. y = arcsin x; 7.35. ω= ln(sin(cos7 t))<br />
.<br />
7.9. ÏÎÕ²ÄͲ ÂÈÙÈÕ ÏÎÐßÄʲÂ<br />
7.16. y = ( 2+ 3x) 5<br />
; 7.17. y sin( 2x<br />
1)<br />
= − ;<br />
7.18. y = ctg x ; 7.19. 3<br />
z = x + x ;<br />
7.20.<br />
v =<br />
1<br />
( 1+<br />
sin4y<br />
) 3<br />
; 7.21. y = x<br />
3 3 x ;<br />
sin x<br />
7.22. y = lncos3x; 7.23. y =<br />
2 ;<br />
2cos x<br />
7.24. y = sin 2 x + sin x 2 ; îá÷èñëèòè y′(0);<br />
x a<br />
7.25. y = cos cos<br />
a<br />
+ x<br />
; à — ñòàëà; îá÷èñëèòè y′(a);<br />
3<br />
e<br />
7.26. y = ln ; îá÷èñëèòè y′(0);<br />
1<br />
x3x<br />
+ e<br />
x 1 x<br />
7.27. fx ( ) = 3 + + 6<br />
5x<br />
; îá÷èñëèòè f′(1);<br />
2<br />
1+<br />
x<br />
2<br />
7.28. y = cos x− 2ln cos x; 7.29. v = ln 1 − x<br />
;<br />
aϕ<br />
= − ; 7.31. x( ϕ ) = e sint ϕ;<br />
7.30. z x( 1 lnx)<br />
7.9.1. Îçíà÷åííÿ<br />
ßêùî ó′ º ïîõ³äíà â³ä ôóíêö³¿ ó = f(õ) (çà óìîâè, ùî âîíà<br />
³ñíóº), òî ïîõ³äíà â³ä ó′ íàçèâàºòüñÿ äðóãîþ ïîõ³äíîþ, àáî<br />
ïîõ³äíîþ äðóãîãî ïîðÿäêó, â³ä ôóíêö³¿ ó ³ ïîçíà÷àºòüñÿ ó′′,<br />
2<br />
dy<br />
àáî f′′(õ), àáî 2<br />
dx .<br />
Àíàëîã³÷íî îçíà÷àþòüñÿ ³ ïîçíà÷àþòüñÿ ïîõ³äí³ áóäüÿêîãî<br />
ïîðÿäêó:<br />
dy<br />
ïîõ³äíà òðåòüîãî ïîðÿäêó (ó′′)′ = ó′′′(õ) = 3 3<br />
dx ;<br />
ïîõ³äíà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó (ó′′′)′ = ó (4) = f (4) (õ) =<br />
4<br />
d y<br />
4<br />
dx ;<br />
dy<br />
ïîõ³äíà n-ãî ïîðÿäêó (y (n-1) )′ = y (n) = f (n) (x) =<br />
n n<br />
dx .<br />
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó äëÿ çíàõîäæåííÿ ïîõ³äíî¿ áóäüÿêîãî<br />
âèùîãî ïîðÿäêó â³ä äàíî¿ ôóíêö³¿ äîâîäèòüñÿ ïîñë³äîâíî<br />
çíàõîäèòè óñ³ ¿¿ ïîõ³äí³ íèæ÷èõ ïîðÿäê³â.<br />
7.9.2. Ïðèêëàäè<br />
Äëÿ äàíèõ ôóíêö³é çíàéòè ïîõ³äí³ âêàçàíîãî ïîðÿäêó (â<br />
äåÿêèõ âèïàäêàõ, êð³ì öüîãî, äîäàòêîâî òðåáà çíàéòè çíà-<br />
÷åííÿ â³äïîâ³äíî¿ ïîõ³äíî¿ ó çàäàí³é òî÷ö³):<br />
7.9.1. ó = õ 5 +7õ 3 + 9, ó (6) =?<br />
7.9.2. ó =lnõ, ó (5) = ? 7.9.3. y = x ln x, ó (6) =?<br />
7.9.4. s = arctg 2x, s′′(–1) = ? 7.9.5. y = x m , m∈N; y (k) =?<br />
220 221
( k)<br />
7.9.6. ( )<br />
m<br />
y = a + x , m∈ N; y (0) = ?<br />
7.9.7. y = e x , y (k) (0) = ? 7.9.8. y = sin x, y (k) (0) = ?<br />
7.9.9. y = cos x, y (k) (0) = ?<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ.<br />
7.9.1. Ïîñë³äîâíî äèôåðåíö³þþ÷è, îòðèìàºìî<br />
(ó)′ = ó′ =5õ 4 +21õ 2 , (ó′)′ = y′′ =20õ 3 +42õ,<br />
(ó′′)′ = ó′′′ =60õ 2 + 42; ó (4) =(ó′′′)′ = 120x,<br />
ó (5) =(ó (4) )′ = 120 = 5!, ó (6) =(ó (5) )′ =0.<br />
y′ lnx ′ 1<br />
2<br />
= = = x , y′′ =− x<br />
x<br />
−<br />
3<br />
, y′′′ = 2x − (4) 4<br />
, y =− 6x − ,<br />
(5) −5<br />
24<br />
y = 24x<br />
=<br />
5 .<br />
x<br />
y′ = xlnx ′ = ln x+ 1, y′′<br />
= lnx+ 1 ′ = lnx ′ = x − . Òåïåð<br />
−1<br />
7.9.2. ( )<br />
7.9.3. ( ) ( ) ( )<br />
1<br />
ñêîðèñòàºìîñÿ ðåçóëüòàòàìè ðîçâ’ÿçàííÿ ïðèêëàäó 7.9.2.<br />
Ïðè öüîìó ìàòèìåìî<br />
7.9.4. s ( arctg 2x)<br />
y<br />
24<br />
= 24x<br />
=<br />
5 .<br />
x<br />
(6) −5<br />
( x)<br />
′<br />
′ = ′ = =<br />
1 2 +<br />
( 2x)<br />
2<br />
+ ( x) 2 1 4x<br />
2<br />
2<br />
( + x<br />
′<br />
) x<br />
2 2<br />
( 1+ 4x<br />
) ( 1+<br />
4x<br />
)<br />
21 4 16 16<br />
s′′ =− =− , s′′<br />
2 2<br />
( − 1)<br />
=<br />
25<br />
.<br />
7.9.5. Ñïî÷àòêó ðîçãëÿíåìî âèïàäîê, êîëè k ≤ m. Äèôåðåíö³þþ÷è<br />
k ðàç, îòðèìàºìî:<br />
y′ = m x m-1 , y′′ = m(m − 1) x m-2 ,<br />
y′′′ = m(m − 1) (m − 2) x m-3 , … ,<br />
,<br />
y (k) = m(m − 1) … (m – k +1)x m-k . (7.9.1)<br />
ßêùî ó ôîðìóë³ (7.9.1) ïîêëàñòè k = m, òî îòðèìàºìî, ùî<br />
y (m) = m(m − 1) … 1= m! . (7.9.2)<br />
Òåïåð ðîçãëÿíåìî âèïàäîê, êîëè k > m. Îñê³ëüêè m! º<br />
ñòàëà, òî î÷åâèäíî, ùî y (m+1) = 0. À öå îçíà÷àº, ùî äëÿ áóäüÿêîãî<br />
k > m â³ðíà ôîðìóëà<br />
y (k) = 0. (7.9.3)<br />
Îá’ºäíàºìî ôîðìóëè (7.9.1) — (7.9.3). Ó ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî:<br />
⎧ − − + <<br />
( k)<br />
y = x = m k=<br />
m<br />
⎪<br />
⎩<br />
0, k><br />
m.<br />
m−k<br />
mm ( 1)...( m k 1) x , k m;<br />
( ) ( k<br />
m<br />
) ⎪<br />
⎨ !, ;<br />
(7.9.4)<br />
7.9.6. Àíàëîã³÷íî, ÿê ³ â ïîïåðåäíüîìó ïðèêëàä³, ìîæíà<br />
ïîêàçàòè, ùî<br />
⎧ − − + + <<br />
( k)<br />
y = a+ x = m k=<br />
m<br />
⎪<br />
⎩<br />
0, k><br />
m.<br />
m−k<br />
mm ( 1)...( m k 1)( a x) , k m;<br />
m<br />
(( ) ) ( k ) ⎪<br />
⎨ !, ;<br />
²ç ôîðìóëè (7.9.5) âèïëèâàº, ùî<br />
⎧ − − + <<br />
( k)<br />
y (0) = a+ x (0) = m!, k=<br />
m;<br />
⎪<br />
⎩<br />
0, k > m.<br />
7.9.7. Ìàºìî<br />
Îòæå,<br />
m−k<br />
mm ( 1)...( m k 1)( a) , k m;<br />
m<br />
(( ) ) ( k ) ⎪<br />
⎨<br />
′ ′<br />
( ) ( )<br />
( k)<br />
(7.9.5)<br />
(7.9.6)<br />
x x x x x<br />
y′ = e = e , y′′<br />
= e = e ,..., y = e . (7.9.7)<br />
( k)<br />
( ) ( k<br />
x<br />
) 0<br />
y (0) = e (0) = e = 1 . (7.9.8)<br />
222 223
7.9.8. Çíàõîäèìî y′:<br />
Òîä³<br />
⎛ π ⎞<br />
y′ = cos x = sin ⎜x+<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠ .<br />
⎛ π ⎞<br />
y′′ =− sin x = sin( x+π ) = sin ⎜x+ 2 ⋅ 2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ,<br />
⎛ π ⎞<br />
y′′′ =− cos x = sin ⎜x+ 3 ⋅ 2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ,<br />
( 4)<br />
⎛ π ⎞<br />
y = sin x = sin ( x+ 2π ) = sin ⎜x+ 4 ⋅ 2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ .<br />
Î÷åâèäíî, ùî äàë³ çíàõîäèòè ïîõ³äí³ íå ìຠïîòðåáè,<br />
îñê³ëüêè ¿õ âèðàçè áóäóòü öèêë³÷íî ïîâòîðþâàòèñÿ. Öå<br />
ïðèâîäèòü äî òîãî, ùî ìîæíà çàïèñàòè çàãàëüíó ôîðìóëó:<br />
( k)<br />
( sin ) ( k ) ⎛ π ⎞<br />
y = x = sin ⎜x+ k⋅ , k∈<br />
2<br />
⎟ N .<br />
⎝ ⎠<br />
Òåïåð çíàéäåìî y (k) (0):<br />
( )<br />
1 n<br />
k k ⎛ π ⎞ ⎪⎧ −<br />
(0) sin (0) sin<br />
, k = 2 n+<br />
y = x = ⎜k⋅ 1;<br />
2<br />
⎟ = ⎨<br />
⎝ ⎠ ⎪⎩ 0, k = 2 n.<br />
( ) ( ) ( )<br />
7.9.9. Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ, ùî ìຠì³ñöå ôîðìóëà<br />
( k)<br />
( cos ) ( k ) ⎛ π ⎞<br />
y = x = cos ⎜x+ k⋅ , k∈<br />
2<br />
⎟ N .<br />
⎝ ⎠<br />
Ç îñòàííüî¿ ôîðìóëè âèïëèâຠòàêà:<br />
( )<br />
1 n<br />
k k ⎛ π ⎞ ⎪⎧ −<br />
(0) cos (0) cos<br />
, k = 2 n<br />
y = x = ⎜k⋅ ;<br />
2<br />
⎟ = ⎨<br />
⎝ ⎠ ⎪⎩ 0, k = 2n+<br />
1.<br />
( ) ( ) ( )<br />
(7.9.9)<br />
(7.9.10)<br />
7.10. ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀË ÔÓÍÊÖ²¯<br />
7.10.1. Îçíà÷åííÿ<br />
Íåõàé ôóíêö³ÿ ó = f(õ) äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³<br />
(a, b). Òîä³, çã³äíî ç îçíà÷åííÿì ïîõ³äíî¿, ¿¿ ïðèð³ñò ìîæíà<br />
çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:<br />
∆ó = f′(õ) ∆õ + α(õ, ∆õ) ∆õ, (7.10.1)<br />
äå α(õ, ∆õ) ïðÿìóº äî íóëÿ ïðè ∆õ → 0.<br />
ßêùî ïðè äåÿêîìó ô³êñîâàíîìó çíà÷åííþ x: f′(õ) ≠ 0, òî<br />
ïðè ∆õ → 0 äîáóòîê f′(õ)∆õ º íåñê³í÷åííî ìàëîþ ôóíêö³ºþ<br />
îäíàêîâîãî ïîðÿäêó ìàëèçíè â³äíîñíî ∆õ (äèâ. ï. 6.2.2).<br />
Äîáóòîê æå α(õ, ∆õ) ∆õ º íåñê³í÷åííî ìàëîþ ôóíêö³ºþ<br />
á³ëüø âèñîêîãî ïîðÿäêó ìàëèçíè â³äíîñíî ∆õ, òîìó ùî<br />
α( x, ∆x)<br />
∆ x<br />
lim<br />
= lim α ( x, ∆ x) = 0.<br />
∆x<br />
∆x→0 ∆x→0<br />
Òàêèì ÷èíîì, ÿêùî f′(õ) ≠ 0, òî f′(õ)∆õ ÿâëÿº ñîáîþ ãîëîâíó<br />
÷àñòèíó ïðèðîñòó ôóíêö³¿ f(õ) ïðè ô³êñîâàíîìó õ. Öÿ<br />
÷àñòèíà ïðèðîñòó íàçèâàºòüñÿ äèôåðåíö³àëîì ôóíêö³¿ f(õ) ³<br />
ïîçíà÷àºòüñÿ dó, àáî d f(x), dó = f′(x) ∆x.<br />
Çàóâàæåííÿ. Ïîçíà÷åííÿ dó = f′(x) ∆x áóäåìî çáåð³ãàòè<br />
³ ó âèïàäêó êîëè f′(õ) = 0.<br />
ßêùî ó = õ, òî ó′ =(õ)′ = 1. Îòæå, dó = dx = ∆õ, òîáòî äèôåðåíö³àë<br />
dõ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ õ çá³ãàºòüñÿ ç ¿¿ ïðèðîñòîì.<br />
Òîä³<br />
dy = f′<br />
( x)<br />
dx . (7.10.2)<br />
Çâ³äêè<br />
dy<br />
y′ = f′<br />
( x)<br />
= . (7.10.3)<br />
dx<br />
Òàêèì ÷èíîì, ïîõ³äíó f′(x) ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê â³äíîøåííÿ<br />
äèôåðåíö³àëà ôóíêö³¿ äî äèôåðåíö³àëà íåçàëåæíî¿<br />
çì³ííî¿. Äèôåðåíö³àë dy = f′(x) dx íàçèâàþòü ùå äèôåðåíö³àëîì<br />
ïåðøîãî ïîðÿäêó. ²ç ôîðìóëè (7.10.2) âèïëèâàº, ùî<br />
äëÿ îá÷èñëåííÿ äèôåðåíö³àëà ôóíêö³¿ íåîáõ³äíî çíàéòè ¿¿<br />
ïîõ³äíó ³ ïîìíîæèòè íà äèôåðåíö³àë íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿.<br />
224 225
Îñê³ëüêè f′(x) =tgα äîð³âíþº òàíãåíñó êóòà íàõèëó äîòè÷íî¿<br />
äî êðèâî¿ ó = f(x) â òî÷ö³ õ, òî dy = f′(x) dx º ïðèð³ñò<br />
îðäèíàòè äîòè÷íî¿. Ó òîé æå ÷àñ ∆ó º ïðèð³ñò îðäèíàòè<br />
êðèâî¿.<br />
7.10.2. ²íâàð³àíòí³ñòü ôîðìè ïåðøîãî äèôåðåíö³àëà<br />
Íåõàé äàíà äèôåðåíö³éîâíà ôóíêö³ÿ y = f(u), äå u = u(x),<br />
òîáòî y = f(u(x)).  ï. 7.8 áóëî äîâåäåíî, ùî ïîõ³äíà ñêëàäåíî¿<br />
ôóíêö³¿ äîð³âíþº<br />
dy dy du<br />
= ⋅ ⇒ dy = y′ u⋅ u′ {<br />
xdx = y′<br />
udu<br />
dx du dx<br />
.<br />
Îòæå, ôîðìóëà äëÿ îá÷èñëåííÿ äèôåðåíö³àëà (7.10.2) íå<br />
çàëåæèòü â³ä òîãî, áóäå õ íåçàëåæíîþ çì³ííîþ àáî ôóíêö³-<br />
ºþ â³ä íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿.<br />
7.10.3. Çàñòîñóâàííÿ äèôåðåíö³àëà äëÿ íàáëèæåíèõ<br />
îá÷èñëåíü çíà÷åíü ôóíêö³é<br />
Íåõàé äàíà äèôåðåíö³éîâíà ôóíêö³ÿ ó = f(õ). Ó â³äïîâ³äíîñò³<br />
äî ââåäåíîãî ïîíÿòòÿ äèôåðåíö³àëà ¿¿ ïðèð³ñò ïðè<br />
äîñòàòíüî ìàëèõ çíà÷åííÿõ ∆õ ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:<br />
∆ó = dy + α(x, ∆x) ∆x, àáî ∆ó ≈ dy, àáî<br />
f(x + ∆x) ≈ f(x) +f′(x) ∆x. (7.10.4)<br />
Öÿ ôîðìóëà âèçíà÷ຠñïîñ³á íàáëèæåíîãî îá÷èñëåííÿ<br />
ôóíêö³¿.<br />
Íàïðèêëàä, íåõàé fx ( ) = x. Òîä³ x+∆x ≈<br />
∆x<br />
x + .<br />
2 x<br />
ßêùî õ = 1, òî<br />
∆x<br />
1+∆x<br />
≈ 1+ .<br />
2<br />
Òàê,<br />
1,005 =<br />
0,005<br />
1+ 0,005 ≈ 1+ = 1,0025 .<br />
2<br />
Î÷åâèäíî, ùî òî÷í³ñòü òàêèõ íàáëèæåíèõ îá÷èñëåíü çàëåæèòü<br />
â³ä õàðàêòåðó ïîâåä³íêè ôóíêö³¿ â îêîë³ òî÷êè õ ³<br />
âåëè÷èíè ïðèðîñòó àðãóìåíòó ∆õ.<br />
du<br />
7.10.4. Äèôåðåíö³àëè âèùèõ ïîðÿäê³â<br />
Âîíè âèçíà÷àþòüñÿ àíàëîã³÷íî ïîõ³äíèì âèùîãî ïîðÿäêó:<br />
d 2 y = d(dy) =d(y′dx) =(y′′dx) dx = y′′dx 2 . Âçàãàë³, d n y = y (n) dx n º<br />
äèôåðåíö³àë n-ãî ïîðÿäêó, äå x íåçàëåæíà çì³ííà.<br />
7.11. ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß ÏÎÕ²ÄÍί<br />
 ÅÊÎÍÎֲ̲<br />
7.11.1. Äåÿê³ òåðì³íè â åêîíîì³ö³, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³<br />
ç ïîíÿòòÿì ïîõ³äíî¿<br />
Ó ï. 6.1.2 áóëî âñòàíîâëåíî, ùî ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³ º<br />
ïîõ³äíà îáñÿãó âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ çà ÷àñîì. Ðîçãëÿíåìî<br />
ùå îäíå ïîíÿòòÿ, ÿêå ³ëþñòðóº åêîíîì³÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿.<br />
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç ó âèòðàòè âèïóñêàºìî¿ ïðîäóêö³¿. Íåõàé<br />
∆õ º ïðèð³ñò ïðîäóêö³¿, òîä³ ∆ó º ïðèð³ñò âèòðàò âèðîáíèöòâà.<br />
ßñíî, ùî º ñåðåäí³é ïðèð³ñò âèòðàò âèðîáíèö-<br />
∆y<br />
∆ x<br />
òâà íà îäèíèöþ ïðîäóêö³¿, à ïîõ³äíà y′(õ) º øâèäê³ñòü çì³íè<br />
âèòðàò çà óìîâè, ùî ê³ëüê³ñòü âèïóñêàºìî¿ ïðîäóêö³¿ äîð³âíþº<br />
õ. Î÷åâèäíî, ùî ââåäåíà òàêèì ÷èíîì ïîõ³äíà çàëåæèòü<br />
â³ä ê³ëüêîñò³ âèïóñêàºìî¿ ïðîäóêö³¿.  åêîíîì³ö³ âåëè÷èíà<br />
y′(õ) âèðàæຠãðàíè÷í³ âèòðàòè âèðîáíèöòâà.<br />
Êîðèñòóþ÷èñü åêîíîì³÷íèìè òåðì³íàìè, ìîæíà òàêîæ<br />
ââåñòè òàê³ ïîíÿòòÿ, ÿê ãðàíè÷íà âèðó÷êà, ãðàíè÷íà ïðîäóêòèâí³ñòü,<br />
ãðàíè÷íèé äîõîä òà ³íø³ ãðàíè÷í³ âåëè÷èíè.<br />
Î÷åâèäíî, ùî ãðàíè÷í³ âåëè÷èíè õàðàêòåðèçóþòü ïðîöåñ<br />
çì³íè ñòàíó åêîíîì³÷íîãî îá’ºêòà.<br />
Íàâåäåí³ ì³ðêóâàííÿ ïîÿñíþþòü çì³ñò ïîõ³äíî¿ â åêîíîì³ö³.<br />
Âîíà ÿâëÿº ñîáîþ øâèäê³ñòü çì³íè äåÿêîãî åêîíîì³÷íîãî<br />
ïðîöåñó çà ÷àñîì (íàïðèêëàä, ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³)<br />
àáî çà ³íøèì äîñë³äæóâàíèì ôàêòîðîì (íàïðèêëàä,<br />
ãðàíè÷í³ âèòðàòè âèðîáíèöòâà).<br />
Íà çàê³í÷åííÿ ðîçãëÿíåìî åêîíîì³÷íèé çì³ñò ïîõ³äíèõ<br />
â³ä äåÿêèõ ôóíêö³é, ââåäåíèõ ó ï. 6.1.6. Ôóíêö³ÿ ïîïèòó<br />
D = D(p) õàðàêòåðèçóº çàëåæí³ñòü ïîïèòó â³ä ö³íè ð äåÿêîãî<br />
òîâàðó. Îñê³ëüêè ïðè ï³äâèùåíí³ ö³í ïîïèò íà òîâàð çìåíøóºòüñÿ,<br />
òî ïîõ³äíà D′(p) º âåëè÷èíîþ â³ä’ºìíîþ. Âîíà ïîêàçóº,<br />
ó ñê³ëüêè ðàç³â çìåíøóºòüñÿ ïîïèò ó çâ’ÿçêó ç ðîñòîì<br />
ö³íè òîâàðó íà îäíó îäèíèöþ.<br />
226 227
Ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿ S = S(p) õàðàêòåðèçóº çàëåæí³ñòü<br />
ïðîïîçèö³¿ äåÿêîãî òîâàðó â³ä éîãî ö³íè ð. Öÿ ôóíêö³ÿ º<br />
çðîñòàþ÷îþ, òîìó ïîõ³äíà S′(p) º âåëè÷èíà äîäàòíà. Âîíà<br />
ïîêàçóº, ó ñê³ëüêè ðàç³â çá³ëüøóºòüñÿ ïðîïîçèö³ÿ òîâàðó ç³<br />
ñòîðîíè ïðîäàâö³â (âèðîáíèê³â) ó çâ’ÿçêó ç ï³äâèùåííÿì<br />
ö³í íà îäíó îäèíèöþ.<br />
7.11.2. Ïîíÿòòÿ åëàñòè÷íîñò³ ôóíêö³¿<br />
Íåõàé âåëè÷èíà ó çàëåæèòü â³ä õ ³ öÿ çàëåæí³ñòü îïèñó-<br />
ºòüñÿ ôóíêö³ºþ y = f(x). Çì³íà íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ ïðèâîäèòü<br />
íà ï³äñòàâ³ ôóíêö³îíàëüíî¿ çàëåæíîñò³ äî çì³íè ó. Ïîñòàº<br />
ïèòàííÿ, ÿê âèì³ðèòè ÷óòëèâ³ñòü çàëåæíî¿ çì³ííî¿ â³ä<br />
çì³íè õ. ßê áóëî ïîêàçàíî ó ï. 7.11.1, îäíèì ³ç ïîêàçíèê³â<br />
ðåàãóâàííÿ º ïîõ³äíà f′(x). Âîíà ïîêàçóº øâèäê³ñòü çì³íè<br />
ôóíêö³¿ ó çâ’ÿçêó ç³ çì³íîþ àðãóìåíòó õ. Îäíàê â ïèòàííÿõ<br />
åêîíîì³êè öåé ïîêàçíèê íå çàâæäè çðó÷íèé, òîìó ùî<br />
â³í çàëåæèòü â³ä âèáîðó îäèíèö³ âèì³ðó. Íàïðèêëàä, ÿêùî<br />
ìè ðîçãëÿíåìî ôóíêö³þ ïîïèòó íà ìóêó D = D(p), òî ö³ëêîì<br />
î÷åâèäíî, ùî çíà÷åííÿ ïîõ³äíî¿ D′(p) ïðè êîæí³é ö³í³<br />
çàëåæèòü â³ä òîãî, â ÿêèõ îäèíèöÿõ (â ê³ëîãðàìàõ àáî öåíòíåðàõ)<br />
âèì³ðþºòüñÿ ïîïèò íà ìóêó. Ó ïåðøîìó âèïàäêó<br />
ïîõ³äíà âèì³ðþºòüñÿ â êã/ãðí., à â äðóãîìó — ö/ãðí. Òîìó<br />
â åêîíîì³ö³ äëÿ âèì³ðó ÷óòëèâîñò³ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ â³ä<br />
çì³íè àðãóìåíòó âèâ÷àþòü çâ’ÿçîê íå àáñîëþòíèõ çì³í õ ³<br />
ó (àáî ∆õ ³ ∆ó), à ¿õ â³äíîñíèõ àáî ïðîöåíòíèõ çì³í. Òàêèé<br />
ï³äõ³ä ïðèâ³â äî ââåäåííÿ íîâîãî ïîíÿòòÿ.<br />
Îçíà÷åííÿ 7.11.1. Ãðàíèöÿ â³äíîøåííÿ â³äíîñíèõ çì³í<br />
çì³ííèõ ó ³ õ íàçèâàºòüñÿ åëàñòè÷í³ñòþ ôóíêö³¿, àáî â³äíîñíîþ<br />
ïîõ³äíîþ, ³ ñèìâîë³÷íî ïîçíà÷àºòüñÿ òàê: E .<br />
y<br />
x<br />
Ç ââåäåíîãî îçíà÷åííÿ âèïëèâàº, ùî â³äíîñíà ïîõ³äíà<br />
ïîâ’ÿçàíà ³ç çâè÷àéíîþ ïîõ³äíîþ òàêèì ñï³ââ³äíîøåííÿì:<br />
y x<br />
E = ⋅ ′<br />
x<br />
y ( x)<br />
y<br />
. (7.11.1)<br />
ijéñíî, ó â³äïîâ³äíîñò³ äî îçíà÷åííÿ ìàºìî<br />
E<br />
y<br />
x<br />
∆y<br />
⎛ ∆ ⎞ ∆<br />
=<br />
y<br />
x y x y x<br />
lim = ⎜ ⋅ ⎟ = ⋅ = ⋅ ′<br />
∆ → ∆ lim lim y ( x)<br />
x x 0 ∆x→ 0 ⎝y ∆x⎠<br />
y ∆x→<br />
0 ∆x y .<br />
x<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Ïðè íåîáõ³äíîñò³ åëàñòè÷í³ñòü ôóíêö³¿<br />
ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:<br />
y dln<br />
y<br />
E = x<br />
dln<br />
x<br />
.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Ââåäåíå ïîíÿòòÿ äóæå çðó÷íå äëÿ<br />
åêîíîì³ñò³â-ïðàêòèê³â. Êîðèñòóþ÷èñü ïîíÿòòÿì åëàñòè÷íîñò³<br />
ôóíêö³¿, åêîíîì³ñò-ïðàêòèê äîñòàòíüî ãðàìîòíî ìîæå â³äïîâ³ñòè<br />
íà çàïèòàííÿ òèïó:<br />
1. Íà ñê³ëüêè ïðîöåíò³â çì³íèòüñÿ ïîïèò íà òîâàð, ÿêùî<br />
ö³íà íà íüîãî çá³ëüøèòüñÿ íà 1%?<br />
2. Íà ñê³ëüêè ïðîöåíò³â çì³íèòüñÿ ïðîïîçèö³ÿ, ÿêùî<br />
ö³íà íà íüîãî çá³ëüøèòüñÿ íà 1%?<br />
7.12. ÊËÀÑÈ×Ͳ ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß ÏÎÕ²Ä-<br />
Íί  ÌÀÒÅÌÀÒÈÖ² ÒÀ ÅÊÎÍÎֲ̲<br />
7.12.1. Çàñòîñóâàííÿ ïîõ³äíî¿ â ìàòåìàòèö³<br />
7.12.1.1. гâíÿííÿ äîòè÷íî¿<br />
Âîíî âèçíà÷åíî ð³âí³ñòþ (7.2.3). Äëÿ êðàùîãî ðîçóì³ííÿ<br />
ïðîáëåìè ðîçãëÿíåìî êîíêðåòíèé ïðèêëàä.<br />
Ïðèêëàä 7.12.1. Çàïèñàòè ð³âíÿííÿ äîòè÷íî¿ äî êðèâî¿<br />
y = sin x (ñèíóñî¿äè), ÿêà ïðîâåäåíà ÷åðåç òî÷êó O (0, 0).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çíàéäåìî ïîõ³äíó ôóíêö³¿ y = sinx:<br />
y′(0) = cos x. Î÷åâèäíî, ùî y(0) = f(0) = 0, y′(0) = cos 0 = 1.<br />
Òîä³ çã³äíî ç ôîðìóëîþ (7.2.3) ìàºìî øóêàíå ð³âíÿííÿ<br />
äîòè÷íî¿<br />
y = x.<br />
Äî ðå÷³, îñòàííÿ ôîðìóëà âêàçóº, ùî äîòè÷íà, ÿêà ïðîâåäåíà<br />
äî ñèíóñî¿äè íà ïî÷àòêó êîîðäèíàò, ñêëàäຠç îññþ Îx<br />
êóò ó 45%.<br />
228 229
Ïðè çîáðàæåíí³ ñèíóñî¿äè öå òðåáà âðàõîâóâàòè, íàâ³òü<br />
òîä³, êîëè âèêëàäà÷ ïðîïîíóº ñòóäåíòó ñõåìàòè÷íî çîáðàçèòè<br />
ôóíêö³þ y =sinx ó ãðàô³÷í³é ôîðì³.<br />
7.12.1.2. Çðîñòàííÿ (ñïàäàííÿ) äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿<br />
íà ³íòåðâàë³<br />
Ö³ ïîíÿòòÿ áóëî ââåäåío ó ï. 6.14. ßêùî ôóíêö³ÿ y = f(x)<br />
äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³ (a, b), òî çã³äíî ç íàñë³äêîì 3<br />
òåîðåìè Ëàãðàíæà (äèâ. ï. 7.13.2), çíàõîäæåííÿ ³íòåðâàë³â<br />
çðîñòàííÿ (ñïàäàííÿ) ôóíêö³¿ íå º ïðèíöèïîâîþ ïðîáëåìîþ.<br />
Äëÿ äîñÿãíåííÿ ö³º¿ ìåòè òðåáà ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ<br />
f′(x) >0(f′(x) < 0), x ∈ (a, b). Çàóâàæèìî, ùî ôóíêö³ÿ y = f(x)<br />
ìîæå áóòè äèôåðåíö³éîâíîþ íà áóäü-ÿê³é ÷èñëîâ³é ìíîæèí³,<br />
çîêðåìà íà ìíîæèí³ óñ³õ ä³éñíèõ ÷èñåë. Ó öüîìó âèïàäêó<br />
àëãîðèòì âèð³øåííÿ çàäà÷³ òîé ñàìèé: òðåáà ðîçâ’ÿçàòè<br />
ð³âíÿííÿ f′(x) >0(f′(x) < 0), àëå âæå ïðè x ∈ (−∞, ∞). Ñàìå<br />
öåé âèïàäîê ìè íà êîíêðåòíîìó ïðèêëàä³ ³ ðîçãëÿíåìî.<br />
Ïðèêëàä 7.12.2. Çíàéòè ³íòåðâàëè çðîñòàííÿ (ñïàäàííÿ)<br />
ôóíêö³¿<br />
1 3 5 2<br />
y = x − x + 6x + 7, x∈( −∞, ∞).<br />
3 2<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çíàéäåìî ïîõ³äíó äàíî¿ ôóíêö³¿<br />
′ = − 5 + 6. (7.12.1)<br />
2<br />
y x x<br />
2<br />
2<br />
Ðîçâ’ÿçóþ÷è íåð³âíîñò³ x − 5x+ 6> 0 i x − 5x+ 6< 0 áóäüÿêèì<br />
ñïîñîáîì, îòðèìàºìî, ùî ïðè x∈( −∞,2) ∪(3, ∞ ) y′ > 0, à<br />
ïðè x∈ (2,3) y′ < 0 . Öå îçíà÷ຠçã³äíî ç íàñë³äêîì 3 òåîðåìè<br />
Ëàãðàíæà, ùî ïðè x ∈( −∞,2) ∪(3, ∞)<br />
äàíà ôóíêö³ÿ çðîñòàº,<br />
à ïðè x ∈ (2,3) — ñïàäàº. Îòæå, ³íòåðâàëè çðîñòàííÿ (ñïàäàííÿ)<br />
äàíî¿ ôóíêö³¿ çíàéäåíî.<br />
7.12.1.3. Äîñë³äæåííÿ ³ ïîáóäîâà ãðàô³êó ôóíêö³¿<br />
Ïîâíå äîñë³äæåííÿ ³ ïîáóäîâà ãðàô³êó ôóíêö³¿ áóäå íàâåäåíî<br />
ó ï. 7.19. Îäíàê íå çàâæäè òðåáà ïðîâîäèòè ïîâíå<br />
äîñë³äæåííÿ. ²íêîëè äîñòàòíüî çàñòîñóâàòè ò³ëüêè ïîõ³äíó<br />
(ïåðøîãî ³ äðóãîãî ïîðÿäê³â). Ùîá ó öüîìó âïåâíèòèñÿ, ìè<br />
ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä.<br />
Ïðèêëàä 7.12.3. Äîñë³äèòè ôóíêö³þ<br />
1 5<br />
= − + 6 + 7, ∈ [0,4] .<br />
3 2<br />
3 2<br />
y x x x x<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ñïî÷àòêó âñòàíîâëþºìî, ùî äàíà ôóíêö³ÿ<br />
— òà ñàìà, ùî ³ ó ïîïåðåäíüîìó ïðèêëàä³, ò³ëüêè çàäàíà<br />
âîíà íà ñåãìåíò³ [0, 4]. Äàë³ äîñë³äæåííÿ ïðîâîäèìî çà<br />
òàêîþ ñõåìîþ:<br />
1. Çíàéäåìî ïîõ³äíó äàíî¿ ôóíêö³¿. Î÷åâèäíî, ùî âîíà<br />
çíàõîäèòüñÿ çà ôîðìóëîþ (7.12.1).<br />
2. Çíàéäåìî êðèòè÷í³ òî÷êè ç ð³âíÿííÿ y′ = 0 àáî<br />
x 2 –5x + 6 = 0. Êðèòè÷í³ òî÷êè òàê³: x 1 = 2, x 2 = 3. ßñíî, ùî<br />
âîíè ïîïàäàþòü â ³íòåðâàë (0,4). Îòæå, â öèõ òî÷êàõ òðåáà<br />
äîñë³äèòè äàíó ôóíêö³þ íà åêñòðåìóì.<br />
3. Ïðèéìàþ÷è äî óâàãè ïðèêëàä 7.12.2 ³ òå, ùî äàíà<br />
ôóíêö³ÿ çàäàíà íà ñåãìåíò³ [0,4], âñòàíîâëþºìî, ùî ôóíêö³ÿ<br />
1 3 5 2<br />
y= x − x + 6x+ 7, ( x∈[0,4])<br />
çðîñòຠíà ìíîæèí³: [0,2) ∪ (3,4]<br />
3 2<br />
³ ñïàäຠíà ³íòåðâàë³ (2, 3). Òàêèì ÷èíîì, ïðè ïåðåõîä³<br />
÷åðåç êðèòè÷íó òî÷êó x 1 = 2 çë³âà íàïðàâî ïîõ³äíà äàíî¿<br />
ôóíêö³¿ çì³íþº çíàê ç “+” íà “–”, ïðè ïåðåõîä³ ÷åðåç êðèòè÷íó<br />
òî÷êó x 2 = 3 çë³âà íàïðàâî ïîõ³äíà äàíî¿ ôóíêö³¿<br />
çì³íþº çíàê ç “–“ íà “+”. Îñòàíí³ îáñòàâèíè çã³äíî ç ïåðøîþ<br />
äîñòàòíüîþ óìîâîþ ³ñíóâàííÿ åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ äîçâîëÿþòü<br />
ñêàçàòè, ùî òî÷êà x 1 = 2 º òî÷êîþ ìàêñèìóìó äàíî¿<br />
ôóíêö³¿, à òî÷êà x 2 = 3 — òî÷êîþ ¿¿ ì³í³ìóìó. Ïðè<br />
öüîìó<br />
35 23<br />
ymax<br />
= y(2) = , ymin<br />
= y(3)<br />
= . (7.12.2)<br />
3 2<br />
Äîñë³äæåííÿ íà åêñòðåìóì ôóíêö³¿ ìîæíà çä³éñíèòè é<br />
³íøèì ñïîñîáîì, à ñàìå: çà äîïîìîãîþ äðóãî¿ äîñòàòíüî¿<br />
óìîâè ³ñíóâàííÿ åêñòðåìóìó ôóíêö³¿. Äëÿ ö³º¿ ìåòè çíàéäåìî<br />
äðóãó ïîõ³äíó äàíî¿ ôóíêö³¿ (y′′ =2x – 5) ³ çíàéäåìî ¿¿<br />
çíà÷åííÿ â êðèòè÷íèõ òî÷êàõ:<br />
y′′ (2) = 4 − 5 =− 1 < 0, y′′<br />
(3) = 6 − 5 = 1 > 0.<br />
230 231
Îñê³ëüêè â êðèòè÷íèõ òî÷êàõ çíà÷åííÿ äðóãî¿ ïîõ³äíî¿<br />
äàíî¿ ôóíêö³¿ â³äïîâ³äíî â³ä’ºìíå ³ äîäàòíå, òî çã³äíî ç<br />
äðóãîþ äîñòàòíüîþ óìîâîþ ³ñíóâàííÿ åêñòðåìóìó ôóíêö³¿<br />
òî÷êà x 1 = 2 º òî÷êîþ ìàêñèìóìó, à òî÷êà x 2 = 3 º òî÷êîþ<br />
ì³í³ìóìó. Çíà÷åííÿ ìàêñèìóìó ³ ì³í³ìóìó äàíî¿ ôóíêö³¿<br />
òàêîæ çíàõîäÿòüñÿ çà ôîðìóëàìè (7.12.2).<br />
4. Âèçíà÷èìî òåïåð íàéá³ëüø³ é íàéìåíø³ çíà÷åííÿ äàíî¿<br />
ôóíêö³¿ íà ñåãìåíò³ [0,4]. Äëÿ öüîãî ïîð³âíÿºìî çíà-<br />
÷åííÿ äàíî¿ ôóíêö³¿ íà ê³íöÿõ ñåãìåíòà [0,4] ³ çíà÷åííÿ<br />
¿¿ â òî÷êàõ åêñòðåìóìó (äèâ. ôîðìóëó 7.12.2). Îñê³ëüêè<br />
y(0) = 7,<br />
37<br />
y (4) = , òî íàéá³ëüøå çíà÷åííÿ äàíî¿ ôóíêö³¿ äî-<br />
3<br />
ð³âíþº 37 , à íàéìåíøå äîð³âíþº 7.<br />
3<br />
5. Çíàéäåìî ³íòåðâàëè îïóêëîñò³ (âãíóòîñò³) ôóíêö³¿<br />
(äèâ. ï. 7.17.3). Äëÿ öüîãî ñêîðèñòàºìîñÿ äðóãîþ ïîõ³äíîþ<br />
ôóíêö³¿. (y′′ =2x – 5), ³ ó â³äïîâ³äíîñò³ äî òåîðåìè 7.17.1<br />
⎛ 5 ⎞<br />
(“ïðàâèëà äîùó”) íà ³íòåðâàë³ ⎜0, ⎟ ãðàô³ê äàíî¿ ôóíêö³¿<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎛5 ⎞<br />
— îïóêëèé, à íà ³íòåðâàë³ ⎜ ,4 ⎟<br />
⎝2<br />
⎠ — âãíóòèé.<br />
Ïî äàíèì 1 – 5 ìîæíà äîñòàòíüî ãðàìîòíî íàêðåñëèòè<br />
1 3 5 2<br />
åñê³ç ãðàô³êà ôóíêö³¿ y= x − x + 6x+ 7( x∈ [0,4]) . ×èòà÷åâ³<br />
3 2<br />
ðåêîìåíäóºìî öå çðîáèòè.<br />
7.12.2. Çàñòîñóâàííÿ ïîõ³äíî¿ â åêîíîì³ö³<br />
7.12.2.1. Ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³<br />
Öå ïîíÿòòÿ áóëî ââåäåíî â ï. 7.1. Òåïåð çàñòîñóºìî éîãî<br />
ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ êîíêðåòíî¿ ïðîáëåìè.<br />
Ïðèêëàä 7.12.4. ³äîìî, ùî îáñÿã ïðîäóêö³¿ ω (îä.), ÿêó<br />
âèðîáëÿº áðèãàäà ðîá³òíèê³â, îïèñóºòüñÿ ôóíêö³ºþ ÷àñó:<br />
1 3 2<br />
ω () t = t − 6t + 32t+ 10, t ∈[0,7]<br />
.<br />
3<br />
Òóò ÷åðåç ω(t) ïîçíà÷åíà ê³ëüê³ñòü ïðîäóêö³¿, âèðîáëåíî¿<br />
áðèãàäîþ âèðîáíèê³â çà ïðîì³æîê ÷àñó [t, t + 1]. Îñòàííÿ<br />
óìîâà îçíà÷àº, ùî ðîá³òíèêè ïðàöþþòü 8 ãîäèí. Òðåáà:<br />
1) çíàéòè t, ïðè ÿêîìó îáñÿã ïðîäóêö³¿ áóäå ìàêñèìàëüíèì;<br />
2) âèçíà÷èòè çíà÷åííÿ ïðîäóêòèâíîñò³ ïðàö³ ïðè t =0 ³<br />
t = 7 ³ ïîð³âíÿòè ö³ çíà÷åííÿ ì³æ ñîáîþ.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. 1) Äëÿ âèçíà÷åííÿ íàéá³ëüøîãî çíà÷åííÿ<br />
ïðîäóêö³¿ äîñë³äèìî ôóíêö³þ ω íà åêñòðåìóì. Çíàéäåìî<br />
êðèòè÷í³ òî÷êè, ÿê³ º êîðåíÿìè ð³âíÿííÿ<br />
()<br />
2<br />
ω ′ t = t − 12t+ 32 = 0 .<br />
Ðîçâ’ÿçóþ÷è éîãî, âèÿâèìî, ùî âîíè òàê³: t 1 = 4; t 2 =8.<br />
Ïåðøèé êîð³íü íàëåæèòü ³íòåðâàëó (0,7), äðóãèé í³. Îñê³ëüêè<br />
ïðè ïåðåõîä³ ÷åðåç òî÷êó t 1 = 4 çë³âà íàïðàâî ïîõ³äíà<br />
ôóíêö³¿ ω ì³íÿº çíàê ç ïëþñà íà ì³íóñ (ïåðåâ³ðòå!), òî â<br />
ö³é òî÷ö³ âîíà ìຠìàêñèìóì, — çíàéäåìî éîãî:<br />
1<br />
ω<br />
max<br />
=ω ( 4)<br />
= 63 ≈ 63.<br />
3<br />
Çíàõîäèìî òàêîæ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ ω íà ê³íöÿõ ñåãìåíòà<br />
[0,7]: ω ( 0) = 10, ω ( 7)<br />
= 54 ≈ 54.<br />
3<br />
1<br />
Ïîð³âíþþ÷è îñòàíí³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ ω ç ¿¿ ìàêñèìóìîì,<br />
âïåâíþºìîñÿ, ùî íàéá³ëüøó ê³ëüê³ñòü ïðîäóêö³¿ áðèãàäà<br />
âèðîáëÿº â ïåð³îä ç ÷åòâåðòî¿ ãîäèíè äî ï’ÿòî¿ ãîäèíè<br />
ïðàö³.<br />
2) Ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³ âèçíà÷àºòüñÿ ïîõ³äíîþ<br />
ω ′ t = t − 12t+ 32 . Òåïåð çíàéäåìî çíà÷åííÿ ö³º¿ ôóíêö³¿ â<br />
2<br />
()<br />
òî÷êàõ t =0 ³ t = 7: ′( ) ′( )<br />
ω 0 = 32, ω 7 =− 3. .<br />
Ïðîñòèé àíàë³ç ðîçâ’ÿçêó ö³º¿ âïðàâè ïîêàçóº, ùî ïðîäóêòèâí³ñòü<br />
ïðàö³ â ïåðø³ ÷îòèðè ãîäèíè ïðàö³ çíà÷íî çðîñòàº,<br />
à äî ê³íöÿ ðîáî÷îãî äíÿ ñóòòºâî çíèæóºòüñÿ.<br />
232 233
7.12.2.2. Ãðàíè÷í³ âèòðàòè âèðîáíèöòâà<br />
Ó ïóíêò³ 7.1 áóëî âñòàíîâëåíî, ùî ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³<br />
º ïîõ³äíà â³ä îáñÿãó âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ çà ÷àñîì. Ðîçãëÿíåìî<br />
ùå îäíå ïîíÿòòÿ, ÿêå ³ëþñòðóº åêîíîì³÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿.<br />
Âèòðàòè âèðîáíèöòâà ó áóäåìî ðîçãëÿäàòè ÿê ôóíêö³þ<br />
ê³ëüêîñò³ âèïóñêàºìî¿ ïðîäóêö³¿ õ. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç ó 0<br />
âèòðàòè âèïóñêàºìî¿ ïðîäóêö³¿ õ 0 . Íåõàé ∆õ ≠ 0 º ïðèðiñò<br />
ïðîäóêö³¿, òîä³ ∆ó º ïðèðiñò âèòðàò âèðîáíèöòâà. ßñíî, ùî<br />
∆y<br />
º ñåðåäí³é ïðèð³ñò âèòðàò âèðîáíèöòâà çà óìîâè, ùî<br />
∆x<br />
ê³ëüê³ñòü ïðîäóêö³¿ çì³íèëàñÿ íà ∆õ, à ïîõ³äíà<br />
∆y<br />
y′ ( x0<br />
) = lim º øâèäê³ñòü çì³íè âèòðàò âèðîáíèöòâà çà<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
óìîâè, ùî ê³ëüê³ñòü âèïóñêàºìî¿ ïðîäóêö³¿ äîð³âíþº õ 0 . Ó<br />
äàíîìó âèïàäêó ïîõ³äíó y′ ( x0)<br />
â åêîíîì³ö³ ùå íàçèâàþòü<br />
ãðàíè÷íîþ âèòðàòîþ âèðîáíèöòâà.<br />
ßêùî ïðèðiñò ∆õ äîñòàòíüî ìàëèé, òî ïðèðiñò ôóíêö³¿<br />
(äèâ. ï. 7.10.3) íàáëèæåíî ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³:<br />
( 0 )<br />
∆y ≈y′<br />
x ∆ x. (7.12.3)<br />
Äàë³ ïðèïóñòèìî, ùî ê³ëüê³ñòü âèïóñêàºìî¿ ïðîäóêö³¿ õ<br />
äîñòàòíüî âåëèêà (x >>1). Öå îçíà÷àº, ùî âåëè÷èíà x íàáàãàòî<br />
á³ëüøà 1. Òîä³ çà ∆õ ìîæíà âçÿòè 1 ³ íàáëèæåíà ôîðìóëà<br />
(7.12.3) íàáóâຠâèãëÿäó<br />
( )<br />
∆y ≈ y′<br />
x 0 . (7.12.4)<br />
Òàêèì ÷èíîì, çã³äíî ç ôîðìóëîþ (7.12.4) ãðàíè÷íà âèòðàòà<br />
âèðîáíèöòâà õàðàêòåðèçóº íàáëèæåíî äîäàòêîâ³ çàòðàòè<br />
íà âèðîáíèöòâî îäèíèö³ äîäàòêîâî¿ ïðîäóêö³¿.<br />
Äëÿ îïèñàííÿ ïðîöåñó, ïîâ’ÿçàíîãî ç âèçíà÷åííÿì äîäàòêîâèõ<br />
âèòðàò íà âèðîáíèöòâî îäèíèö³ äîäàòêîâî¿ ïðîäóêö³¿,<br />
êîðèñòóþòüñÿ òàêèìè âåëè÷èíàìè:<br />
,<br />
′<br />
( ) i Ay( x )<br />
( )<br />
yx<br />
0<br />
∆ y y x0 0<br />
= .<br />
x0<br />
Äâ³ ïåðø³ âåëè÷èíè íàì â³äîì³. Ùî ñòîñóºòüñÿ âåëè÷èíè<br />
Ay(x 0 ), òî âîíà íàçèâàºòüñÿ ñåðåäí³ì çíà÷åííÿì ôóíêö³¿<br />
y(x) â òî÷ö³ õ 0 . Òàêå ïîçíà÷åííÿ, ÿêå ïðèéíÿòî â ó÷áîâ³é ³<br />
íàóêîâ³é ë³òåðàòóð³ ç åêîíîì³êè, âèíèêëî ³ç àíãë³éñüêîãî<br />
ñëîâà Average, ùî â ïåðåâîä³ íà óêðà¿íñüêó ìîâó îçíà÷àº<br />
“ñåðåäíº”.<br />
ßêùî ïðè äîñë³äæåíí³ ïðîöåñ³â, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³ ç âèòðàòàìè<br />
âèðîáíèöòâà, ìîæíà çíàéòè òî÷íî âåëè÷èíó ∆ó, òî ïðîáëåìà<br />
íå ³ñíóº. Âåëè÷èíà ∆ó ñàìå ³ õàðàêòåðèçóº äîäàòêîâ³<br />
âèòðàòè íà âèðîáíèöòâî îäèíèö³ äîäàòêîâî¿ ïðîäóêö³¿.<br />
ßêùî æ öå íå âäàºòüñÿ çðîáèòè, òî âèêîðèñòîâóþòü íàáëèæåí³<br />
âåëè÷èíè: y′(x 0 ) i Ay(x 0 ). Ïðè öüîìó ñë³ä ñêàçàòè, ùî<br />
ïåðøà âåëè÷èíà ó ïîð³âíÿíí³ ç äðóãîþ êðàùå àïðîêñèìóº<br />
âåëè÷èíó ∆ó. Ïðîòå ïðè îïåðàòèâíèõ ðîçâ’ÿçóâàííÿõ âêàçàíèõ<br />
ïðîáëåì ïåðåâàãà íàäàºòüñÿ äðóã³é âåëè÷èí³. Öå ïîâ’ÿçàíî<br />
ç òèì, ùî îïåðàö³ÿ çíàõîäæåííÿ âåëè÷èíè Ay(x 0 ) äóæå<br />
ïðîñòà.<br />
Çàóâàæåííÿ. ßêùî â êîæí³é òî÷ö³ äåÿêî¿ ÷èñëîâî¿<br />
ìíîæèíè Õ ³ñíóþòü âåëè÷èíè òèïó y,<br />
y′<br />
( x0) i Ay( x0)<br />
( )<br />
yx0<br />
∆ = ,<br />
x<br />
òî âîíè ÿâëÿþòü ñîáîþ ôóíêö³¿, ÿê³ çàäàí³ íà ÷èñëîâ³é<br />
ìíîæèí³ Õ.<br />
Ïðèêëàä 7.12.7. Âñòàíîâëåíî, ùî çàëåæí³ñòü ì³æ âèòðàòàìè<br />
âèðîáíèöòâà ó (ó ãðí.) ³ îáñÿãîì ïðîäóêö³¿ x, ÿêà âèïóñêàºòüñÿ,<br />
âèðàæàºòüñÿ ôóíêö³ºþ<br />
y = x− x x∈ .<br />
2<br />
50 0,01 , [10,2500]<br />
Òðåáà îá÷èñëèòè ïðè õ = 100, õ = 1000 ³ õ = 20000:<br />
1) äîäàòêîâ³ âèòðàòè íà âèðîáíèöòâî îäèíèö³ äîäàòêîâî¿<br />
ïðîäóêö³¿;<br />
2) ãðàíè÷íå çíà÷åííÿ âèòðàò âèðîáíèöòâà;<br />
3) ñåðåäíº çíà÷åííÿ âèòðàò âèðîáíèöòâà.<br />
Êð³ì òîãî, òðåáà ïîð³âíÿòè øóêàí³ çíà÷åííÿ òà çðîáèòè<br />
â³äïîâ³äí³ âèñíîâêè.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) Ïðè ∆õ =1 ³ õ = 100: (∆y)⏐x = 100 =<br />
= 50(100 + 1) – 0,01(100 + 1) 2 – 50 · 100 + 0,01 · 100 2 = 47,99;<br />
0<br />
234 235
ïðè ∆x =1 i x=1000:<br />
(∆y)⏐x = 1000 =<br />
= 50(1000+1) – 0,01(1000+1) 2 –50 · 1000 + 0,01 · 1000 2 =<br />
= 29,99;<br />
ïðè ∆õ =1 ³ õ = 2000:<br />
(∆y)⏐x = 2000 = 50(2000 + 1) – 0,01(2000 + 1) 2 – 50 · 2000 +<br />
+ 0,01 · 2000 2 = 9,99.<br />
2) Ïðè õ = 100: y′= (50 – 2 · 0,01 · x)⏐ x = 100 = 48;<br />
ïðè õ = 1000: y′ = 30; ïðè õ = 2000: y′ = 10.<br />
3) Ïðè õ = 100: Ay = (50 – 0,01 · x)⏐x = 100 = 49;<br />
ïðè õ = 1000 Ay = 40; ïðè õ = 2000 Ay = 30.<br />
Âèñíîâîê. Ïðè ïîð³âíÿíî íåâåëèêèõ îáñÿãàõ ïðîäóêö³¿<br />
(äî 100 îäèíèöü) ãðàíè÷í³ ³ ñåðåäí³ çíà÷åííÿ âèòðàò âèðîáíèöòâà<br />
ìàéæå ñï³âïàäàþòü ç ³ñòèííèìè âèòðàòàìè. Ïðè<br />
ïîð³âíÿíî âåëèêèõ îáñÿãàõ ïðîäóêö³¿ (çà 1000 îäèíèöü) ãðàíè÷í³<br />
òà ³ñòèíí³ âèòðàòè ìàéæå ñï³âïàäàþòü, à ñåðåäí³ çíà-<br />
÷åííÿ âèòðàò äóæå â³äð³çíÿþòüñÿ â³ä ³ñòèííèõ. Ðîçõîäæåííÿ<br />
ñêëàäຠá³ëüøå 10 ãðîøîâèõ îäèíèöü. ßêùî ïðèïóñòèòè,<br />
ùî ãðîøîâà îäèíèöÿ º 100 000 ãðèâåíü, òî ðîçá³æí³ñòü ñêëàäàº<br />
á³ëüøå îäíîãî ì³ëüéîíà ãðèâåíü. Òàê³ ïîõèáêè ó ô³íàíñîâèõ<br />
ðîçðàõóíêàõ ñóòòºâ³, íàâ³òü ó ìàñøòàáàõ êðà¿íè.<br />
Îòæå, ÿêùî íà ï³äïðèºìñòâ³ ÿêèìîñü ÷èíîì àíàë³òè÷íî<br />
âñòàíîâëåíà çàëåæí³ñòü ì³æ âèòðàòàìè âèðîáíèöòâà ó<br />
(ó ãðí.) ³ äîñòàòíüî âåëèêèì îáñÿãîì ïðîäóêö³¿ õ, ÿêà âèðîáëÿºòüñÿ,<br />
òî ïðè ï³äðàõóíêó ìîæëèâèõ äîäàòêîâèõ âèòðàò<br />
íà îäíó îäèíèöþ ïðîäóêö³¿ òðåáà çíàòè ãðàíè÷í³ âèòðàòè<br />
âèðîáíèöòâà.<br />
7.13. ÅÊÑÒÐÅÌÓÌ ÔÓÍÊÖ²¯ ² ÎÑÍÎÂͲ<br />
ÒÅÎÐÅÌÈ ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÎÃÎ<br />
×ÈÑËÅÍÍß<br />
7.13.1. Îçíà÷åííÿ åêñòðåìóìó ôóíêö³¿<br />
Òî÷êà õ 0 íàçèâàºòüñÿ òî÷êîþ ñòðîãî ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìó<br />
(ì³í³ìóìó) ôóíêö³¿ f(õ), ÿêùî â ñàì³é òî÷ö³ õ 0 ³ ¿¿ äî-<br />
ñòàòíüî ìàëîìó δ-îêîë³ õ 0 – δ < x < x 0 + δ f(õ) âèçíà÷åíà ³<br />
çàäîâîëüíÿº âèìîãó:<br />
f(x) f(x 0 )), x∈(x 0 – δ, x 0 + δ), x ≠ x 0 .<br />
ßêùî ââåñòè ïîçíà÷åííÿ<br />
∆õ = õ – õ 0 , ∆ó = f(õ 0 + ∆õ) –f(õ 0 )=f(õ) –f(õ 0 ) (0 < |∆õ|
Òåîðåìà 7.13.2 (Ðîëëÿ 1 ïðî êîð³íü ïîõ³äíî¿). ßêùî<br />
ôóíêö³ÿ f(õ) íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ [a, b], äèôåðåíö³éîâíà<br />
íà ³íòåðâàë³ (à, b) ³ f(a) =f(b), òî ³ñíóº õî÷à á îäíà òàêà<br />
òî÷êà ξ∈(à, b), ùî f′(ξ) =0.<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. 1) ÿêùî f(õ) = const, òîáòî f(x) =f(a) =f(b),<br />
x∈(a, b), òî f′(ξ) = 0 äëÿ ∀ξ∈(a, b); 2) f(x) ≠ const. Îñê³ëüêè<br />
f(a) =f(b) ³ f(x) íåïåðåðâíà, òî íà ³íòåðâàë³ (a, b) âîíà ïîâèííà<br />
äîñÿãàòè, ïðèíàéìí³, ñâîãî íàéá³ëüøîãî àáî íàéìåíøîãî<br />
çíà÷åííÿ (ìîæëèâî ³ òå ³ äðóãå, ÿêùî òàêèìè íå<br />
º f(a) =f(b)). Îòæå, çíàéäåòüñÿ õî÷à á îäíà òî÷êà ξ∈(à, b) ëîêàëüíîãî<br />
åêñòðåìóìó. Àëå òîä³ ó ö³é òî÷ö³ çà òåîðåìîþ<br />
Ôåðìà f′(ξ) =0.<br />
Òåîðåìà 7.13.3 (Ëàãðàíæà 2 ïðî ñê³í÷åííèé ïðèð³ñò<br />
ôóíêö³¿). ßêùî ôóíêö³ÿ f(x) íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ [a, b],<br />
äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³ (a, b), òî çíàéäåòüñÿ òàêà òî÷êà<br />
ξ∈(a, b), ùî<br />
( ) − f( a)<br />
f b<br />
b − a<br />
( )<br />
= f′<br />
ξ . (7.13.2)<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Ïîáóäóºìî äîïîì³æíó ôóíêö³þ (õ), ÿêà<br />
çàäîâîëüíÿëà á òåîðåìó Ðîëëÿ:<br />
( ) − f( a) ( ) , ( ( ) ( ) 0 )<br />
f b<br />
( x) = f( x) −f( a)<br />
− x− a a = b =<br />
b−<br />
a<br />
Çà òåîðåìîþ Ðîëëÿ ³ñíóº òàêà òî÷êà ξ∈(a, b), ùî ′(ξ) =0.<br />
Òîä³<br />
( ) − ( ) ( ) − ( )<br />
f b f a f b f a<br />
′ ( ξ ) = f′ ( ξ)<br />
− = 0 ⇒ = f′<br />
( ξ)<br />
.<br />
b −a b −a<br />
Î÷åâèäíî, ùî òåîðåìà Ðîëëÿ º îêðåìèì âèïàäêîì òåîðåìè<br />
Ëàãðàíæà (ïðè f(a) =f(b)).<br />
Çàóâàæèìî òàêîæ, ùî ³ç ð³âíîñò³ (7.13.2) âèïëèâຠòàê<br />
íàçâàíà ôîðìóëà Ëàãðàíæà:<br />
f(b) –f(a) =f′(ξ)(b – a). (7.13.3)<br />
1<br />
Ðîëëü ̳øåëü (1652 – 1719) — ôðàíöóçüêèé ìàòåìàòèê.<br />
2<br />
Ëàãðàíæ Ëó³ (1736 – 1813) — âèäàòíèé ôðàíöóçüêèé ìàòåìàòèê ³<br />
ìåõàí³ê.<br />
.<br />
Ç òåîðåìè Ëàãðàíæà âèïëèâàþòü òàê³ íàñë³äêè:<br />
Íàñë³äîê 1 (êðèòåð³é ñòàëîñò³ äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿<br />
íà ³íòåðâàë³). Äëÿ òîãî ùîá äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³<br />
(a, b) ôóíêö³ÿ f(x) äîð³âíþâàëà ñòàë³é, íåîáõ³äíî ³ äîñòàòíüî,<br />
ùîá f′(x) =0∀x ∈(a, b).<br />
Íåîáõ³äí³ñòü. Íåõàé f(x) =C ∀x ∈(a, b), äå C — ñòàëà.<br />
ßñíî, ùî f′(x) =0∀x ∈(a, b).<br />
Äîñòàòí³ñòü. Íåõàé f′(x) =0∀x ∈(a, b). ³çüìåìî íà<br />
³íòåðâàë³ (a,b) äâ³ äîâ³ëüí³ òî÷êè x 1 i x 2 (x 1 < x 2 ). Òîä³ ôóíêö³ÿ<br />
f(x) íà ñåãìåíò³ [x 1 , x 2 ] çàäîâîëüíÿº âñ³ óìîâè òåîðåìè<br />
Ëàãðàíæà. Âíàñë³äîê ÷îãî âèêîíóºòüñÿ ð³âí³ñòü<br />
fx ( ) − fx ( ) = f′<br />
( ξ)( x − x),<br />
x < ξ < x. (7.13.4)<br />
2 1 2 1 1 2<br />
Çà óìîâîþ f′(x) =0∀x ∈(a, b), çîêðåìà é ïðè x = ξ, òîáòî<br />
f′(ξ) = 0. Òîä³ ç ð³âíîñò³ (7.13.4) âèïëèâàº, ùî<br />
f(x 2 )–f(x 1 ) = 0, àáî<br />
f(x 2 )=f(x 1 ). (7.13.5)<br />
Îñê³ëüêè òî÷êè x 1 i x 2 äîâ³ëüí³, òî ð³âí³ñòü (7.13.5) îçíà-<br />
÷àº, ùî f(x) =C ∀x ∈(a, b), äå C — ñòàëà, ùî ³ òðåáà áóëî<br />
äîâåñòè.<br />
Íàñë³äîê 2 (îñíîâíà ëåìà ³íòåãðàëüíîãî ÷èñëåííÿ).<br />
Äëÿ òîãî ùîá äâ³ äèôåðåíö³éîâí³ íà ³íòåðâàë³ (a, b) ôóíêö³¿<br />
f(x) i ϕ(x) â³äð³çíÿëèñÿ íà ñòàëó, íåîáõ³äíî ³ äîñòàòíüî,<br />
ùîá ¿õí³ ïîõ³äí³ ñï³âïàäàëè, òîáòî<br />
f′(x) =ϕ′(x) ∀x ∈(a, b). (7.13.6)<br />
Í å î á õ³ ä í ³ ñ ò ü. Íåõàé<br />
f(x) –ϕ(x) =C ∀x ∈(a, b). (7.13.7)<br />
Î÷åâèäíî, ùî ïðè öüîìó âèêîíóºòüñÿ óìîâà (7.13.6).<br />
Äîñòàòí³ñòü. Íåõàé òåïåð ìຠì³ñöå (7.13.6). Ïîçíà÷èìî<br />
ð³çíèöþ f(x) –ϕ(x) ÷åðåç ψ(x): ψ(x) =f(x) –ϕ(x). Òîä³<br />
ôóíêö³ÿ ψ(x) ìຠïîõ³äíó ³ ψ′(x) =f′(x) –ϕ′(x) =0.<br />
Çâ³äñè çã³äíî ç íàñë³äêîì 1 âèïëèâàº, ùî ψ(x) =C, àáî<br />
f(x) –ϕ(x) =C ∀x ∈(a, b), ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.<br />
238 239
Íàñë³äîê 3. ßêùî íà ³íòåðâàë³ (a, b) äèôåðåíö³éîâíà<br />
ôóíêö³ÿ f(x) òàêà, ùî f′(x) >0 (f′(x) < 0), òî íà öüîìó ³íòåðâàë³<br />
ôóíêö³ÿ f(x) çðîñòຠ(ñïàäàº).<br />
Äîâåäåííÿ. Íå îáìåæóþ÷è çàãàëüíîñò³, ïðèïóñòèìî,<br />
ùî f′(x) >0∀x ∈(a, b). Îñê³ëüêè çà óìîâîþ ôóíêö³ÿ f(x)<br />
äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³ (a, b), òî äëÿ áóäü-ÿêèõ x 1 i<br />
x 2 (x 1 < x 2 ) çã³äíî ç òåîðåìîþ Ëàãðàíæà ìàºìî<br />
fx ( ) − fx ( ) = f′<br />
( ξ)( x − x),<br />
x < ξ < x. (7.13.8)<br />
2 1 2 1 1 2<br />
Î÷åâèäíî, ùî ïðàâà ÷àñòèíà ð³âíîñò³ (7.13.8) á³ëüøå<br />
íóëÿ. Öå â ñâîþ ÷åðãó ïðèâîäèòü äî òîãî, ùî<br />
fx ( ) < fx ( ) ∀x ∈( ab , ) i ∀x ∈ ( ab , ), äå x < x.<br />
1 2 1 2 1 2<br />
Îñòàíí³ äâ³ íåð³âíîñò³ ³ ïîêàçóþòü, ùî ôóíêö³ÿ f(x) ä³éñíî<br />
çðîñòຠíà ³íòåðâàë³ (a, b).<br />
Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ äðóãà ÷àñòèíà òåîðåìè (âèïàäîê<br />
f′(x) < 0). Ïðîïîíóºìî öå çä³éñíèòè ÷èòà÷åâ³.<br />
Òåîðåìà 7.13.4 (Êîø³). ßêùî ôóíêö³¿ f(x) ³ g(x) íåïåðåðâí³<br />
íà ñåãìåíò³ [a, b], äèôåðåíö³éîâí³ íà ³íòåðâàë³ (a, b)<br />
³ g′(x) ≠ 0 ∀x∈ ( a, b)<br />
, òî çíàéäåòüñÿ òàêà òî÷êà ξ∈(a, b), â ÿê³é<br />
âèêîíóþòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ<br />
( ) − ( )<br />
( ) ( )<br />
( ξ)<br />
( )<br />
f b f a f′<br />
=<br />
g b − g a g ′ ξ<br />
. (7.13.9)<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Ââåäåìî äîïîì³æíó ôóíêö³þ (x), ÿêà çàäîâîëüíÿº<br />
âèìîãè òåîðåìè Ðîëëÿ<br />
( ) − f( a)<br />
( ( ) ( ))<br />
( ) − g( a)<br />
f b<br />
( x) = f( x) −f( a)<br />
− g x −g a<br />
g b<br />
³äçíà÷èìî, ùî g(a) ≠ g(b). Öå âèïëèâຠç óìîâ äàíî¿ òåîðåìè<br />
³ òåîðåìè Ðîëëÿ.<br />
Òîä³ ∃ ξ∈(a, b), ùî ′(ξ) = 0, òîáòî<br />
( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
.<br />
( )<br />
( )<br />
f b −f a f b −f a f′<br />
ξ<br />
′ ( ξ ) = f′ ( ξ)<br />
− g′<br />
( ξ ) = 0 ⇒ =<br />
g b − g a g b − g a g ′ ξ<br />
.<br />
7.14. ÐÎÇÊÐÈÒÒß ÍÅÂÈÇÍÀ×ÅÍÎÑÒÅÉ<br />
7.14.1. Ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ 1<br />
Åôåêòèâíèì çàñîáîì äëÿ çíàõîäæåííÿ ãðàíèö³ ôóíêö³¿<br />
â îñîáëèâèõ âèïàäêàõ º òàêå ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ: ãðàíèöÿ<br />
â³äíîøåííÿ äâîõ íåñê³í÷åííî ìàëèõ àáî äâîõ íåñê³í÷åííî<br />
âåëèêèõ ôóíêö³é äîð³âíþº ãðàíèö³ â³äíîøåííÿ ¿õ ïîõ³äíèõ<br />
(ÿêùî îñòàííÿ ãðàíèöÿ ³ñíóº àáî äîð³âíþº íåñê³í÷åííîñò³).<br />
Öå ïðàâèëî ïîäàìî áåç äîâåäåííÿ. ßêùî ÷èòà÷à çàö³êàâèòü<br />
äîâåäåííÿ ïðàâèëà Ëîï³òàëÿ äëÿ ðîçêðèòòÿ íåâèçíà÷åíîñòåé<br />
0/0 (äèâ. ï. 6.22), òî â³í öå ìîæå çä³éñíèòè çà äîïîìîãîþ<br />
òåîðåìè Êîø³. Äîâåäåííÿ ïðàâèëà Ëîï³òàëÿ äëÿ<br />
ðîçêðèòòÿ íåâèçíà÷åíîñòåé ∞/∞ çä³éñíþºòüñÿ çíà÷íî ñêëàäí³øå.<br />
7.14.2. Çàñòîñóâàííÿ ïðàâèëà Ëîï³òàëÿ äëÿ ðîçêðèòòÿ<br />
íåâèçíà÷åíîñòåé 0/0 òà ∞/∞<br />
Íåâèçíà÷åí³ñòü 0/0 ÿâëÿº ñîáîþ â³äíîøåííÿ äâîõ íåñê³í-<br />
÷åííî ìàëèõ ôóíêö³é, à íåâèçíà÷åí³ñòü ∞/∞ ÿâëÿº ñîáîþ<br />
â³äíîøåííÿ äâîõ íåñê³í÷åííî âåëèêèõ ôóíêö³é. Çã³äíî ç<br />
ïðàâèëîì Ëîï³òàëÿ, ÿêùî f 1 (x) ³ f 2 (x) îäíî÷àñíî ïðÿìóþòü<br />
äî íóëÿ àáî äî íåñê³í÷åííîñò³ ïðè x → a àáî x →∞, òî<br />
( )<br />
( )<br />
2 2<br />
( )<br />
( )<br />
f1 x f′<br />
1<br />
x<br />
lim = lim<br />
f x f′ x<br />
,<br />
çà óìîâè, ùî ³ñíóº ñê³í÷åííà àáî íåñê³í÷åííà ãðàíèöÿ ïðàâî¿<br />
÷àñòèíè. ßêùî â³äíîøåííÿ ïîõ³äíèõ òàêîæ áóäå ÿâëÿòè<br />
âèïàäîê 0/0 àáî ∞/∞, òî ìîæíà çíîâó ³ çíîâó çàñòîñîâóâàòè<br />
ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ, ÿêùî öå äîö³ëüíî ³ äຠðåçóëüòàò.<br />
Ïðèêëàäè 7.14.1 — 7.14.7. Çíàéòè ãðàíèö³:<br />
7.14.1.<br />
4<br />
m m<br />
x −16<br />
x − a<br />
lim<br />
x→2<br />
3 2 ; 7.14.2. lim , a ≠ 0<br />
x + 5x −6x−16<br />
x→a<br />
n n ;<br />
x − a<br />
1<br />
Ëîï³òàëü Ôðàíñóà (1661 – 1704) — ôðàíöóçüêèé ìàòåìàòèê.<br />
240 241
2x<br />
e − 1<br />
1−<br />
cosax 7.14.3. lim<br />
x→0<br />
; 7.14.4. lim , b ≠ 0 ;<br />
sin x<br />
x→0 1−<br />
cosbx<br />
kx<br />
e<br />
tg x<br />
7.14.5. lim<br />
x→∞<br />
n (k > 0, n ∈ N); 7.14.6. lim<br />
x<br />
x→π/2<br />
sec x ;<br />
7.14.7.<br />
x−<br />
sin x<br />
lim , a =∞.<br />
.<br />
x→a<br />
x+<br />
sin x<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ïåðåêîíàâøèñü, ùî ìຠì³ñöå âèïàäîê<br />
0/0 àáî ∞/∞, çàñòîñóºìî ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ.<br />
7.14.1.<br />
7.14.2.<br />
7.14.3.<br />
4 3<br />
x −16 4x<br />
32 16<br />
lim<br />
= lim<br />
= =<br />
2<br />
3 2<br />
2<br />
2<br />
;<br />
x→<br />
x + 5x −6x− 16 x→<br />
3x + 10x−6<br />
26 13<br />
m m m−1<br />
x − a mx m m n<br />
lim lim<br />
x a<br />
n n<br />
x a<br />
n 1 a<br />
−<br />
= =<br />
→<br />
→<br />
−<br />
x − a nx<br />
2x<br />
2x<br />
e − 1 2e<br />
2<br />
lim = lim = = 2 ;<br />
x→0 sin x x→0cos x 1<br />
2 2<br />
1−<br />
cosax asinax a cosax a<br />
7.14.4. lim = lim = lim = , b ≠0.<br />
x→0 0 0<br />
2 2 .<br />
1−<br />
cosbx x→ bsin bx x→<br />
b cosbx b<br />
Òóò ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ çàñòîñîâàíî äâ³÷³.<br />
kx kx 2 kx n kx<br />
e ke k e k e<br />
7.14.5. lim lim lim ... lim<br />
x n x n 1 x ( 1)<br />
n 2<br />
x = nx = nn x<br />
= = →∞ →∞ − →∞ −<br />
x→∞<br />
n<br />
=+∞ .<br />
−<br />
!<br />
Òóò ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ çàñòîñîâàíî n ðàç³â.<br />
7.14.6.<br />
2<br />
tg sec sec tg<br />
x→π/2 x→π/2 x→π/2 x→π/2<br />
n<br />
x x x x<br />
lim = lim = lim = lim = ...<br />
sec x sec xtg x tg x sec x<br />
Òóò çàñòîñóâàííÿ ïðàâèëà Ëîï³òàëÿ äàðåìíå. Ãðàíèöþ ëåãêî<br />
çíàéòè øëÿõîì åëåìåíòàðíîãî ïåðåòâîðåííÿ:<br />
tg x sin xcos<br />
x<br />
lim = lim = lim sin x = 1 .<br />
sec x cos x<br />
x →π /2 x →π /2 x →π /2<br />
;<br />
x−<br />
sin x<br />
7.14.7. lim , a =∞.<br />
.<br />
x→a<br />
x+<br />
sin x<br />
Òóò ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ çàñòîñîâóâàòè íå ìîæíà, îñê³ëüêè<br />
â³äíîøåííÿ ïîõ³äíèõ 1 − cos x<br />
íå ìຠãðàíèö³ ïðè x →∞.<br />
1+<br />
cosx<br />
Øóêàíó ãðàíèöþ ìîæíà çíàéòè åëåìåíòàðíèì øëÿõîì:<br />
sin x<br />
1−<br />
x−<br />
sin x<br />
lim = lim<br />
x = 1<br />
x→∞<br />
x+<br />
sin x x→∞<br />
sin x , òîìó ùî |sin x| ≤ 1.<br />
1+<br />
x<br />
7.14.3. Ðîçêðèòòÿ íåâèçíà÷åíîñòåé 0 ⋅ ∞ òà ∞ –∞<br />
Íåâèçíà÷åí³ñòü 0 ⋅∞ ÿâëÿº ñîáîþ äîáóòîê íåñê³í÷åííî<br />
ìàëî¿ ôóíêö³¿ íà íåñê³í÷åííî âåëèêó ôóíêö³þ, à íåâèçíà÷åí³ñòü<br />
∞ –∞ ÿâëÿº ñîáîþ ð³çíèöþ äâîõ äîäàòíèõ íåñê³í÷åííî<br />
âåëèêèõ ôóíêö³é. Äëÿ ðîçêðèòòÿ âêàçàíèõ íåâèçíà÷åíîñòåé<br />
áåçïîñåðåäíüî ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ çàñòîñîâóâàòè íå ìîæíà.<br />
Àëå ö³ âèïàäêè çâîäÿòüñÿ äî âèïàäêó 0/0 àáî ∞/∞ øëÿõîì<br />
ïåðåòâîðåííÿ ôóíêö³¿ äî âèãëÿäó äðîáó. Ïîêàæåìî, ÿê öå<br />
ðîáèòüñÿ, íà êîíêðåòíèõ ïðèêëàäàõ.<br />
Ïðèêëàäè 7.14.8 — 7.14.11. Çíàéòè ãðàíèö³:<br />
7.14.8. lim xctg 2x<br />
; 7.14.9.<br />
x→ 0<br />
7.14.10. lim ( tg sec )<br />
ϕ→π/2<br />
lim<br />
3<br />
x→+<br />
0<br />
xln<br />
x;<br />
⎛ 1 x ⎞<br />
ϕ− ϕ ; 7.14.11. lim⎜<br />
− ⎟<br />
x→1<br />
⎝ ln x x−<br />
1 ⎠ .<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ç’ÿñóâàâøè, ùî ìຠì³ñöå âèïàäîê íåâèçíà÷åíîñò³<br />
0 ⋅∞ àáî íåâèçíà÷åíîñò³ ∞ –∞, ïåðåòâîðèìî ôóíêö³þ<br />
äî âèãëÿäó äðîáó, à ïîò³ì çàñòîñóºìî ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ:<br />
x 1 1<br />
7.14.8. lim xctg 2x<br />
= lim = lim =<br />
x→0 x→0 0<br />
2<br />
tg2x<br />
x→<br />
2sec 2x<br />
2<br />
;<br />
242 243
7.14.9.<br />
=<br />
ln x 1/ x<br />
=<br />
1/ x 1<br />
−<br />
= − =<br />
3 4<br />
3 x<br />
3 3<br />
lim xln x lim lim 3 lim x 0<br />
x→+ 0 x→+ 0 3 x→+ 0 x→+<br />
0<br />
sin ϕ−1 cos ϕ<br />
lim tgϕ−secϕ = lim = lim = 0 ;<br />
cos ϕ −sin<br />
ϕ<br />
7.14.10. ( )<br />
ϕ→π/2 ϕ→π/2 ϕ→π/2<br />
⎛ 1 x ⎞ x−1−xlnx −lnx<br />
lim⎜<br />
− ⎟= lim = lim<br />
=<br />
ln x x 1 x 1 ln x ln x x 1 / x<br />
7.14.11. x→1 x→1 ( )<br />
x→1<br />
⎝ − ⎠ − + ( − )<br />
xln x 1+<br />
ln x 1<br />
=− lim<br />
=− lim =− .<br />
x→1 xln x+ x− 1 x→1<br />
2 + ln x 2<br />
Òóò ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ çàñòîñîâàíî äâ³÷³.<br />
7.14.4. Ðîçêðèòòÿ íåâèçíà÷åíîñòåé 1 ∞ , ∞ 0 òà 0 0<br />
³äçíà÷èìî:<br />
1) ùî íåâèçíà÷åí³ñòü 1 ∞ ÿâëÿº ñîáîþ ãðàíèöþ ñòåïåíåâî-ïîêàçíèêîâî¿<br />
ôóíêö³¿, îñíîâà ÿêî¿ ïðÿìóº äî îäèíèö³, à<br />
ïîêàçíèê ïðÿìóº äî íåñê³í÷åííîñò³;<br />
2) ùî íåâèçíà÷åí³ñòü ∞ 0 ÿâëÿº ñîáîþ ãðàíèöþ ñòåïåíåâî-ïîêàçíèêîâî¿<br />
ôóíêö³¿, îñíîâà ÿêî¿ ïðÿìóº äî íåñê³í÷åííîñò³,<br />
à ïîêàçíèê ïðÿìóº äî íóëÿ;<br />
3) ùî íåâèçíà÷åí³ñòü 0 0 òàêîæ ÿâëÿº ñîáîþ ãðàíèöþ ñòåïåíåâî-ïîêàçíèêîâî¿<br />
ôóíêö³¿, îñíîâà ³ ïîêàçíèê ÿêî¿ ïðÿìóþòü<br />
äî íóëÿ.<br />
Ö³ âèïàäêè çíàõîäæåííÿ ãðàíèö³ ôóíêö³¿ çâîäÿòüñÿ äî<br />
âèïàäêó 0 ⋅∞, à ïîò³ì äî âèïàäêó 0/0 àáî ∞/∞ òàêèì øëÿõîì:<br />
ôóíêö³ÿ ëîãàðèôìóºòüñÿ ³ ñïî÷àòêó çíàõîäèòüñÿ ãðàíèöÿ<br />
¿¿ ëîãàðèôìà, à ïîò³ì ïî çíàéäåí³é ãðàíèö³ ëîãàðèôìà<br />
çíàõîäèòüñÿ ãðàíèöÿ ñàìî¿ ôóíêö³¿.<br />
Ïðèêëàäè 7.14.12 — 7.14.14. Çíàéòè ãðàíèö³:<br />
7.14.12 lim ( tg ) tg 2 x<br />
x ; 7.14.13 lim ( ln x) 1/<br />
x→π/4<br />
x→+∞<br />
x<br />
;<br />
;<br />
7.14.14<br />
6<br />
1 2lnx<br />
lim x +<br />
x→+<br />
0<br />
.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ.<br />
7.14.12. Ñïî÷àòêó âñòàíîâëþºìî, ùî ìຠì³ñöå âèïàäîê<br />
íåâèçíà÷åíîñò³ 1 ∞ . Ïîò³ì ëîãàðèôìóºìî ôóíêö³þ ³ çíàõîäèìî<br />
ãðàíèöþ ¿¿ ëîãàðèôìà:<br />
tg2x<br />
tg2x<br />
ln tgx<br />
a = lim ( tg x) , ln a = ln lim ( tgx)<br />
= lim tg2xln tgx<br />
= lim<br />
x→π/4 x→π/4 x→π/4 x→π/4<br />
ctg2 x ,<br />
çâåëîñÿ äî âèïàäêó íåâèçíà÷åíîñò³ 0/0. Çàñòîñóâàâøè ïðàâèëî<br />
Ëîï³òàëÿ, îòðèìàºìî:<br />
2<br />
⎡sec<br />
x<br />
2<br />
⎤<br />
ln a = lim ⎢ : ( − 2cos ec 2x)<br />
⎥ = −1<br />
x→π/4<br />
⎣ tg x<br />
.<br />
⎦<br />
Çâ³äñè à = å -1 .<br />
7.14.13. Ç’ÿñóâàâøè, ùî ìຠì³ñöå âèïàäîê íåâèçíà÷åíîñò³<br />
∞ 0 , ðîáèìî ïåðåòâîðåííÿ:<br />
( x)<br />
1/ x<br />
1/ x ln ln<br />
a = lim ( ln x) , ln a = lim ln ( ln x)<br />
= lim .<br />
x→+∞ x→+∞ x→+∞<br />
x<br />
Îòæå, îòðèìàëè âèïàäîê íåâèçíà÷åíîñò³ ∞/∞. Çàñòîñîâóºìî<br />
ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ:<br />
⎛ 1 ⎞<br />
a = = ⇒ a = e =<br />
⎝ xln<br />
x ⎠<br />
0<br />
ln lim ⎜ :1⎟<br />
0 1<br />
x→+∞<br />
7.14.14. Ïåðåêîíàâøèñü, ùî ìຠì³ñöå âèïàäîê íåâèçíà-<br />
÷åíîñò³ 0 0 , ïåðåòâîðþºìî:<br />
6 6<br />
6lnx<br />
1+ 2lnx<br />
1+<br />
2lnx<br />
a = lim x , ln a = lim ln x = lim .<br />
x→+ 0 x→+ 0 x→+<br />
0 1 + 2ln x<br />
Òàêèì ÷èíîì, îòðèìàëè âèïàäîê íåâèçíà÷åíîñò³ ∞/∞. Çàñòîñîâóºìî<br />
ïðàâèëî Ëîï³òàëÿ:<br />
.<br />
x→+<br />
0<br />
( )<br />
3<br />
ln a = lim 6 / x: 2 / x = 6 / 2 = 3 ⇒ a = e .<br />
244 245
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Çíàéòè ãðàíèö³:<br />
7.36. lim cos3x<br />
x /2 cos x<br />
7.38.<br />
x<br />
→+∞ + ;<br />
; 7.37. lim →π x ln ( 1 x)<br />
lim<br />
x→−∞<br />
7.40. lim cos x tg 5x<br />
x /2<br />
2<br />
x − 1<br />
2 x<br />
; 7.39. lim xe ;<br />
x<br />
x→+<br />
0<br />
; 7.41. lim( ctg 1/ )<br />
→π ϕ→0<br />
x<br />
7.42. lim ( 1 e ) 1/<br />
x→∞<br />
ϕ− ϕ ;<br />
x<br />
x<br />
+ ; 7.43. lim ( cos16 / )<br />
x→∞<br />
x ;<br />
7.44. ( ) 1 ln x<br />
lim ctg x ; 7.45. lim( sin 9 ) sin(16 )<br />
x→+<br />
0<br />
7.15. ÔÎÐÌÓËÀ ÒÅÉËÎÐÀ 1<br />
x→0<br />
x<br />
x .<br />
Íà ïî÷àòêó XVIII ñòîð³÷÷ÿ Òåéëîð îïóáë³êóâàâ ôîðìóëó<br />
äëÿ íàáëèæåíîãî çîáðàæåííÿ ôóíêö³é â îêîë³ äåÿêî¿ òî÷êè<br />
ä³éñíî¿ â³ñ³ ìíîãî÷ëåíàìè. Òåïåð öÿ ôîðìóëà íîñèòü éîãî<br />
³ì’ÿ. Âêàçàíà ôîðìóëà äóæå âàæëèâà ÿê ç òåîðåòè÷íî¿, òàê<br />
³ ç ïðàêòè÷íî¿ òî÷îê çîðó.<br />
7.15.1. Ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ìíîãî÷ëåíà<br />
Íåõàé çàäàíî ìíîãî÷ëåí<br />
( ) =<br />
0<br />
+<br />
1<br />
+ ... + = ∑ n j<br />
p x b bx b x b x . (7.15.1)<br />
n<br />
n n j<br />
j=<br />
0<br />
Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó: çä³éñíèòè ðîçêëàä äàíîãî ìíîãî÷ëåíà<br />
çà ñòåïåíÿìè õ – õ 0 . Òàêó çàäà÷ó ìîæíà áóëî á ðîçâ’ÿçàòè<br />
“â ëîá”. Äëÿ öüîãî òðåáà ñêîðèñòàòèñÿ òîòîæí³ñòþ<br />
õ =(õ –õ 0 )+õ 0 ³ ï³äñòàâèòè çàì³ñòü õ ïðàâó ÷àñòèíó îñòàííüî¿<br />
ôîðìóëè. Ïðè öüîìó îá÷èñëåííÿ áóäóòü íå ïðîñò³.<br />
ßê æå ïîäîëàòè ö³ òðóäíîù³? Âèÿâëÿºòüñÿ, ùî ¿õ ìîæíà ïîäîëàòè<br />
òàêèì ÷èíîì:<br />
1) ñïî÷àòêó çîáðàçèìî ìíîãî÷ëåí ó âèãëÿä³<br />
p ( x) = a + a ( x− x ) + ... + a ( x− x ) + ... +<br />
n<br />
k<br />
0 1 0 k 0<br />
n n<br />
( ) ( )<br />
+ an<br />
x− x = ∑ a x−x<br />
, (7.15.2)<br />
0 k 0<br />
k=<br />
0<br />
äå êîåô³ö³ºíòè ïîêè ùî íåâ³äîì³;<br />
2) ïîò³ì ó ð³âí³ñòü (7.15.2) ï³äñòàâèìî çàì³ñòü õ çíà÷åííÿ<br />
õ 0 .  ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî, ùî<br />
( )<br />
a = p x . (7.15.3)<br />
0 n 0<br />
Äàë³ ïîñë³äîâíî çíàõîäèìî:<br />
′ ′′<br />
a = p x ,2! ⋅ a =⋅p x ,..., k! ⋅ a =⋅ p ( x ),..., n!<br />
a = p x .<br />
( ) ( )<br />
k<br />
( k) ( n )<br />
( )<br />
1 n 0 2 n 0 k n 0 n n 0<br />
Çâ³äêè ä³ñòàºìî, ùî<br />
( k )<br />
n ( x )<br />
p<br />
a 0 k<br />
= , k= 1,2,..., n.<br />
(7.15.4)<br />
k!<br />
Çà îçíà÷åííÿì 0! = 1. Òîä³ ôîðìóëè (7.15.3) — (7.15.4)<br />
ìîæíà çàïèñàòè îäí³ºþ<br />
( k )<br />
n ( x )<br />
p<br />
a 0 k<br />
= , k = 0,1,2,..., n. (7.15.5)<br />
k!<br />
Îòæå, ïîñòàâëåíà ïðîáëåìà âèð³øåíà: ìíîãî÷ëåí p n (x),<br />
ÿêèé çîáðàæåíî ó âèãëÿä³ (7.15.1), ðîçêëàäåíî çà ñòåïåíÿìè<br />
õ–õ 0 . Ïðè öüîìó êîåô³ö³ºíò³ âèçíà÷àþòüñÿ çà ôîðìóëàìè<br />
(7.15.5).<br />
ϳäñòàâèìî (7.15.5) â ð³âí³ñòü (7.15.2). Ó ðåçóëüòàò³<br />
îòðèìàºìî òàê çâàíó ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ ìíîãî÷ëåíà<br />
( k )<br />
n ( x0<br />
) ( )<br />
n p<br />
k<br />
pn<br />
( x)<br />
= ∑ x−x0<br />
. (7.15.6)<br />
k<br />
k=<br />
0 !<br />
1<br />
Òåéëîð Áðóê (1685 – 1731) — àíãë³éñüêèé ìàòåìàòèê ³ ô³ëîñîô.<br />
246 247
Çàóâàæåííÿ. Ðîçêëàä ìíîãî÷ëåíà p n (x) çà ñòåïåíÿìè<br />
õ – õ 0 çä³éñíþºòüñÿ îäíîçíà÷íî.<br />
Öå ä³éñíî òàê, îñê³ëüêè êîåô³ö³ºíòè ðîçêëàäó âèçíà÷àþòüñÿ<br />
îäíîçíà÷íî ÷åðåç çíà÷åííÿ ìíîãî÷ëåíà p n (x) ³ éîãî<br />
ïîõ³äíèõ â òî÷ö³ õ = õ 0 .<br />
7.15.2. Ôîðìóëà á³íîìà Íüþòîíà<br />
Íåõàé ó ôîðìóë³ (7.15.6) ( ) = ( + ) , ∈ ,<br />
pn<br />
x a x n N à õ 0 =0.<br />
Òîä³ ç óðàõóâàííÿì ôîðìóëè (7.9.6) ìàòèìåìî<br />
Ïîçíà÷èìî<br />
( )<br />
( −1... ) ( − + 1)<br />
n n nn n k<br />
n−k k<br />
a+ x = ∑ a x . (7.15.7)<br />
k=<br />
0 k!<br />
( −1... ) ( − + 1)<br />
nn n k<br />
k!<br />
k<br />
n<br />
n<br />
= C . (7.15.8)<br />
k<br />
Ñèìâîë C ìຠãëèáîêèé çì³ñò ó êîìá³íàòîðèö³. Ïðî öå,<br />
n<br />
÷èòà÷, âè óçíàºòå ï³çí³øå, ïðè âèâ÷åíí³ òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé.<br />
Ôîðìóëà (7.15.7) ñïðàâåäëèâà äëÿ áóäü-ÿêîãî õ ä³éñíî¿ â³ñ³<br />
Îx. Çîêðåìà, ïðè x = b ç óðàõóâàííÿì (7.15.8) áóäåìî ìàòè<br />
( )<br />
n n<br />
k n−k k<br />
n<br />
k=<br />
1<br />
a+ b = ∑ C a b . (7.15.9)<br />
Öå ³ º çíàìåíèòà ôîðìóëà á³íîìà Íüþòîíà. Âîíà ÷àñòî<br />
çàñòîñîâóºòüñÿ ó òåîðåòè÷íèõ ³ ïðàêòè÷íèõ ïðîáëåìàõ ìàòåìàòèêè.<br />
Äî ðå÷³, ìè ¿¿ óæå çàñòîñîâóâàëè (äèâ. ï. 5.2.5).<br />
Çàóâàæåííÿ. Ñèìâîë<br />
C<br />
k<br />
n<br />
k<br />
C ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:<br />
n<br />
n!<br />
=<br />
k! n− k !<br />
.<br />
( )<br />
×èòà÷åâ³ ïðîïîíóºìî öå òâåðäæåííÿ äîâåñòè ñàìîñò³éíî.<br />
7.15.3. Ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ôóíêö³¿<br />
Íåõàé çàäàíà ôóíêö³ÿ ó = f(x), ùî íå º ìíîãî÷ëåíîì n-ãî<br />
ñòåïåíÿ ³ ÿêà ìຠïîõ³äí³ äî (n + 1)-ãî ïîðÿäêó âêëþ÷íî ó<br />
òî÷ö³ x 0 ³ ¿¿ δ-îêîë³.<br />
Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó ïðî íàáëèæåííÿ (àïðîêñèìàö³þ) ö³º¿<br />
ôóíêö³¿ ìíîãî÷ëåíîì. Ç ö³ºþ ìåòîþ ââåäåìî â ðîçãëÿä<br />
ìíîãî÷ëåí<br />
( k ) ( x0<br />
) ( )<br />
n f<br />
pn<br />
( x)<br />
= ∑ x −x<br />
k<br />
k=<br />
0 !<br />
0<br />
k<br />
. (7.15.10)<br />
Îñê³ëüêè çã³äíî ç çàóâàæåííÿì ïîïåðåäíüîãî ïóíêòó<br />
êîåô³ö³ºíòè ôîðìóëè Òåéëîðà âèçíà÷àþòüñÿ îäíîçíà÷íî, òî<br />
ïîâèíí³ âèêîíóâàòèñÿ òàê³ ñï³ââ³äíîøåííÿ<br />
( k )<br />
( )<br />
( k )<br />
n ( )<br />
f x0 = p x0 , k = 0,1,2,..., n. (7.15.11)<br />
Òàêèì ÷èíîì, ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ñòðóêòóðè ìíîãî÷ëåíà<br />
(7.15.10) çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ f(õ) ³ ¿¿ ïîõ³äíèõ äî n-ãî ïîðÿäêó<br />
âêëþ÷íî ñï³âïàäàþòü ç â³äïîâ³äíèìè çíà÷åííÿìè ìíîãî-<br />
÷ëåíà p n (x) ó ö³é òî÷ö³. Ïðè öüîìó ïîáóäîâàíèé ìíîãî÷ëåí<br />
çà ôîðìóëîþ (7.15.10) íàçèâàþòü ìíîãî÷ëåíîì Òåéëîðà äëÿ<br />
ôóíêö³¿ f(x).<br />
Äàë³ ââåäåìî ð³çíèöþ<br />
f(x) –p n (x) =R n (x). (7.15.12)<br />
Ïðè öüîìó ôóíêö³þ R n (x) íàçâåìî çàëèøêîâèì ÷ëåíîì.<br />
Î÷åâèäíî, ùî â³í çã³äíî ç ôîðìóëàìè (7.15.11) ìຠâëàñòèâîñò³<br />
′<br />
( n)<br />
R x = R x = ... = R ( x ) = 0 .<br />
( ) ( )<br />
n 0 n 0 n 0<br />
Äëÿ ç’ÿñóâàííÿ ñòðóêòóðè ôóíêö³¿ R n (x) ïîð³âíÿºìî ¿¿ ç<br />
n+<br />
ôóíêö³ºþ ϕ ( x) = ( x− x ) 1<br />
0<br />
(ÿñíî, ùî öÿ ôóíêö³ÿ â òî÷ö³ x = x 0<br />
ìຠò³ ñàì³ âëàñòèâîñò³, ùî ³ ôóíêö³ÿ R n (x)). Äëÿ ö³º¿ ìåòè<br />
ðîçãëÿíåìî:<br />
Rn<br />
( x)<br />
n+<br />
( x − x ) 1<br />
0<br />
.<br />
248 249
Çàñòîñîâóþ÷è (n + 1) ðàç³â ôîðìóëó Êîø³ ³ âðàõîâóþ÷è<br />
âëàñòèâîñò³ (7.15.11), ìàòèìåìî<br />
Rn( x)<br />
Rn( x) − Rn( x0)<br />
R′<br />
n( c1)<br />
+ 1 + 1<br />
( x−x0)<br />
( x− x0)<br />
( n+ 1)( x−x0)<br />
′ ( 1) − ′ ( 0)<br />
′′( 2)<br />
n<br />
n−1<br />
( n+ 1)( x− x ) ( n+ 1) n( x−x<br />
)<br />
= = =<br />
n n n<br />
( n+<br />
1 )<br />
n n n n ()<br />
R c R x R c R c<br />
= = = ... = .<br />
1!<br />
0 0<br />
( n + )<br />
(7.15.13)<br />
Ó ôîðìóë³ (7.15.13) ñòàë³ c 1 , c 2 , ..., c n , c — íåâ³äîì³, àëå<br />
çã³äíî ç òåîðåìîþ Êîø³ ìè çíàºìî, ùî âñ³ âîíè çíàõîäÿòüñÿ<br />
ì³æ õ ³ õ 0 . ßêùî x > x 0 , òî öåé ôàêò, íàïðèêëàä äëÿ ñ,<br />
ìîæíà çàïèñàòè òàê:<br />
ñ = x 0 + θ(x – x 0 ), 0 < θ
Îö³íèìî n ( )<br />
n+ 1 θx<br />
n+<br />
1<br />
x e x<br />
x<br />
R x = ≤ e<br />
1! 1!<br />
, àëå<br />
( n + ) ( n + )<br />
ïðè áóäü-ÿêîìó ñê³í÷åííîìó õ, ³ òîìó Rn<br />
( x)<br />
n+<br />
1<br />
x<br />
lim = 0<br />
n→∞<br />
1!<br />
( n + )<br />
lim = 0 . Îòæå, çà<br />
n→∞<br />
ôîðìóëîþ (7.15.18) çíà÷åííÿ å õ ìîæíà îá÷èñëèòè ç áóäüÿêèì<br />
ñòåïåíåì òî÷íîñò³.<br />
Âðàõîâóþ÷è ôîðìóëè (7.9.9) – (7.9.10), íå âàæêî çàïèñàòè<br />
ùå äâ³ äóæå âàæëèâ³ ôîðìóëè Ìàêëîðåíà:<br />
π<br />
sin( θ x+ (2n+<br />
1) )<br />
x x x<br />
sin x = x− + + ... + ( − 1) +<br />
2<br />
x<br />
3! 5! (2n− 1)! (2n+<br />
1)!<br />
3 5 2n−1<br />
n− 1 2n+<br />
1<br />
( x n)<br />
x x − x cos θ +π<br />
cos x = 1 − + + ... + ( − 1)<br />
+<br />
2! 4! (2n−<br />
2)! (2 n)!<br />
2 4 2n−2<br />
n 1 2n<br />
x<br />
; (7.15.19)<br />
. (7.15.20)<br />
7.16. ÍÅÎÁÕ²ÄͲ ÒÀ ÄÎÑÒÀÒͲ ÓÌÎÂÈ<br />
²ÑÍÓÂÀÍÍß ÅÊÑÒÐÅÌÓÌÓ ÔÓÍÊÖ²¯<br />
7.16.1. Íåîáõ³äíà óìîâà ³ñíóâàííÿ åêñòðåìóìó<br />
ôóíêö³¿<br />
Òåîðåìà Ôåðìà ÷àñòêîâî âêàçóº íà íåîáõ³äíó óìîâó ³ñíóâàííÿ<br />
åêñòðåìóìó ôóíêö³¿. Á³ëüø çàãàëüíó òåîðåìó äîâåäåìî<br />
â öüîìó ïóíêò³.<br />
Òåîðåìà 7.16.1. ßêùî ôóíêö³ÿ y = f(x) â òî÷ö³ õ 0 ìàº<br />
ëîêàëüíèé åêñòðåìóì, òî âîíà â ö³é òî÷ö³ àáî íå äèôåðåíö³éîâíà,<br />
àáî ìຠïîõ³äíó, ÿêà äîð³âíþº íóëþ.<br />
Äîâåäåííÿ. Íåõàé õ 0 òî÷êà ëîêàëüíîãî åêñòðåìóìó ³<br />
ôóíêö³ÿ f(x) â ö³é òî÷ö³ äèôåðåíö³éîâíà. Îñê³ëüêè çíà÷åííÿ<br />
f(x 0 ) º íàéá³ëüøå àáî íàéìåíøå â îêîë³ òî÷êè õ 0 , òî çà<br />
òåîðåìîþ Ôåðìà f′(x 0 )=0.<br />
Âèïàäîê ôóíêö³¿, íå äèôåðåíö³éîâí³é ó òî÷ö³ åêñòðåìóìó,<br />
ïðî³ëþñòðóºìî íà ïðèêëàä³. ijéñíî ôóíêö³ÿ y =|x| â òî÷ö³<br />
õ = 0 ìຠì³í³ìóì, àëå íå äèôåðåíö³éîâíà â í³é (äèâ.<br />
ïðèêë. 7.3.2). Òåîðåìà 7.16.1 ìຠïðîñòèé ãåîìåòðè÷íèé<br />
çì³ñò: ó òî÷ö³ ãðàô³êà ôóíêö³¿, ÿêà â³äïîâ³äຠòî÷ö³ ëîêàëüíîãî<br />
åêñòðåìóìó, äîòè÷íà àáî ïàðàëåëüíà îñÿì êîîðäèíàò,<br />
àáî íå ³ñíóº.<br />
Äîâåäåíà óìîâà åêñòðåìóìó º íåîáõ³äíîþ, àëå íå äîñòàòíüîþ.<br />
Íàïðèêëàä, ôóíêö³ÿ ó = õ 3 â òî÷ö³ õ = 0 ìຠïîõ³äíó,<br />
ÿêà äîð³âíþº íóëþ, àëå íå ìຠâ í³é åêñòðåìóìó.<br />
Òî÷êè, â ÿêèõ âèêîíàíà íåîáõ³äíà óìîâà åêñòðåìóìó<br />
(f′(x) = 0 àáî f(x) íå äèôåðåíö³éîâíà), íàçèâàþòüñÿ êðèòè÷íèìè.<br />
Ö³ òî÷êè “ï³äîçð³ë³” íà åêñòðåìóì. Ïèòàííÿ ïðî<br />
íàÿâí³ñòü åêñòðåìóìó â êðèòè÷íèõ òî÷êàõ âèð³øóºòüñÿ äîñòàòí³ìè<br />
óìîâàìè. Òî÷êè, â ÿêèõ f′(x) = 0, çâóòüñÿ ñòàö³îíàðíèìè.<br />
7.16.2. Äîñòàòí³ óìîâè åêñòðåìóìó ôóíêö³¿<br />
Òåîðåìà 7.16.2. Íåõàé äëÿ ôóíêö³¿ f(x) òî÷êà õ 0 º<br />
êðèòè÷íîþ ³ ôóíêö³ÿ f(x) äèôåðåíö³éîâíà â äåÿêîìó îêîë³<br />
õ 0 , êð³ì, ìîæëèâî, òî÷êè õ 0 , â ÿê³é âîíà íåïåðåðâíà. Òîä³<br />
ÿêùî ïðè ïåðåõîä³ ÷åðåç õ 0 çë³âà íàïðàâî f′(x) çì³íþº çíàê,<br />
òî ôóíêö³ÿ â òî÷ö³ õ 0 ìຠëîêàëüíèé åêñòðåìóì. Ïðè÷îìó<br />
ÿêùî çíàê f′(x) çì³íþºòüñÿ ç + íà –, òî f(x) â òî÷ö³ õ 0 ìàº<br />
ëîêàëüíèé ìàêñèìóì, ÿêùî ç – íà +, òî — ëîêàëüíèé ì³í³ìóì.<br />
Äîâåäåííÿ. Ðîçãëÿíåìî âèïàäîê, êîëè çíàê ïîõ³äíî¿<br />
f′(x) çì³íþºòüñÿ ç + íà –. Òîä³ íà â³äð³çêó ì³æ õ ³ õ 0 , äå<br />
õ — áóäü-ÿêà òî÷êà îêîëó õ 0 , äëÿ f(x) âèêîíàí³ óìîâè òåîðåìè<br />
Ëàãðàíæà. Òîìó f(x) –f(x 0 )=f′(ñ) (x – x 0 ), äå ñ∈(õ, õ 0 ).<br />
Îñê³ëüêè f′(c) > 0 ïðè x < x 0 ³ f′(c) < 0 ïðè x > x 0 , òî çàâæäè<br />
f(x) –f(x 0 ) < 0, òîáòî f(x) < f(x 0 ). Öå îçíà÷àº, ùî â òî÷ö³ õ 0<br />
ôóíêö³ÿ f(x) ìຠëîêàëüíèé ìàêñèìóì.<br />
Àíàëîã³÷íî ðîçãëÿäàºòüñÿ âèïàäîê ëîêàëüíîãî ì³í³ìóìó.<br />
Äîâåäåíà äîñòàòíÿ óìîâà äຠïåðøèé ñïîñ³á äîñë³äæåííÿ<br />
ôóíêö³¿ íà åêñòðåìóì.<br />
Ïðèêëàä 7.16.1. Äîñë³äèòè íà åêñòðåìóì ôóíêö³þ<br />
2<br />
x + 2x+<br />
1<br />
y= f( x)<br />
= .<br />
x −1<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ôóíêö³ÿ âèçíà÷åíà ³ äèôåðåíö³éîâíà íà<br />
ìíîæèí³ D =(–∞, 1) ∪ (1, +∞). Íà ö³é ìíîæèí³<br />
y′ =<br />
( x+ 1)( x−3)<br />
( x − 1) 2<br />
.<br />
252 253
Îòæå, ìíîæèíà êðèòè÷íèõ òî÷îê ö³º¿ ôóíêö³¿ º ò³ëüêè<br />
ìíîæèíà êîðåí³â ð³âíÿííÿ f′(x) = 0, òîáòî {–1, 3}. Äëÿ òî÷êè<br />
õ 1 = –1 ïðè ìàëîìó h >0 f′(x 1 – h) > 0, f′(x 1 + h) < 0, ³ òîìó â<br />
òî÷ö³ õ 1 = –1 ôóíêö³ÿ ìຠëîêàëüíèé ìàêñèìóì f(-1) = 0.<br />
Äëÿ òî÷êè õ 2 = 3 ïðè ìàëîìó h >0 f′(x 2 – h) 0 ⇒ â x 2 = 3 ôóíêö³ÿ ìຠëîêàëüíèé ì³í³ìóì<br />
f(3) = 8.<br />
Ðîçãëÿíåìî äðóãó äîñòàòíþ óìîâó ëîêàëüíîãî åêñòðåìóìó.<br />
Òåîðåìà 7.16.3. Íåõàé äëÿ ôóíêö³¿ f(x) òî÷êà õ 0 º êðèòè÷íîþ<br />
³ f(x) â õ 0 ìຠíåïåðåðâíó äðóãó ïîõ³äíó. Òîä³ ÿêùî<br />
f′′(x 0 ) ≠ 0, òî â òî÷ö³ õ 0 ôóíêö³ÿ ìຠëîêàëüíèé åêñòðåìóì.<br />
Ïðè÷îìó ÿêùî f′′(x 0 ) > 0, òî f(x) â õ 0 ìຠëîêàëüíèé ì³í³ìóì,<br />
ÿêùî æ f′′(x 0 ) < 0, òî f(x) â õ 0 ìຠëîêàëüíèé ìàêñèìóì.<br />
Äîâåäåííÿ. Îñê³ëüêè õ 0 êðèòè÷íà òî÷êà ³ ôóíêö³ÿ f(x)<br />
â õ 0 ìຠäðóãó ïîõ³äíó, òî âîíà ìຠ³ ïåðøó ïîõ³äíó, ïðè÷îìó<br />
f′(x 0 ) = 0. Íåõàé f′′(x 0 ) > 0. Òîä³ f′(x) â äåÿêîìó îêîë³<br />
òî÷êè õ 0 çðîñòàº. Îñê³ëüêè f′(x 0 ) = 0 ³ f′(x) çðîñòàº, òî ïðè<br />
x < x 0 áóäå f′(x) x 0 f′(x) > 0 ³ ç ïîïåðåäíüî¿<br />
òåîðåìè õ 0 º òî÷êîþ ëîêàëüíîãî ì³í³ìóìó. Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ<br />
òåîðåìà ó âèïàäêó f′′(x 0 ) 0, òî â òî÷ö³ õ 2 = 3 ôóíêö³ÿ ìຠëîêàëüíèé<br />
ì³í³ìóì f(3) = 8.<br />
Äðóãèé ñïîñ³á äîñë³äæåííÿ ôóíêö³¿ íà åêñòðåìóì ÷àñòî<br />
âèÿâëÿºòüñÿ ïðîñò³øå ïåðøîãî. Àëå ñë³ä ñêàçàòè, ùî ïåðøèé<br />
ñïîñ³á á³ëüø óí³âåðñàëüíèé. Öå ïîÿñíþºòüñÿ òèì, ùî íå çàâæäè<br />
³ñíóº äðóãà ïîõ³äíà â êðèòè÷í³é òî÷ö³. À ÿêùî ³ñíóº, òî<br />
âîíà ìîæå â êðèòè÷í³é òî÷ö³ äîð³âíþâàòè íóëþ.<br />
7.17. ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÎÃÎ<br />
×ÈÑËÅÍÍß ÄËß ÄÎÑ˲ÄÆÅÍÍß<br />
ÔÓÍÊÖ²¯<br />
7.17.1. Âèçíà÷åííÿ ïðîì³æê³â ìîíîòîííîñò³ ôóíêö³¿<br />
Äëÿ ¿õ âèçíà÷åííÿ íåîáõ³äíî:<br />
1) çíàéòè îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿;<br />
2) çíàéòè ïîõ³äíó ôóíêö³¿;<br />
3) çíàéòè ñòàö³îíàðí³ òî÷êè ç ð³âíÿííÿ f′(x) =0;<br />
4) ðîçä³ëèòè ñòàö³îíàðíèìè òî÷êàìè ³ òî÷êàìè ðîçðèâó<br />
îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ íà ïðîì³æêè;<br />
5) â êîæíîìó ³ç îòðèìàíèõ ïðîì³æê³â âèçíà÷èòè çíàê<br />
ïîõ³äíî¿ (ó′ < 0 — ôóíêö³ÿ ñïàäàº, ó′ > 0 — çðîñòàº).<br />
7.17.2. Çíàõîäæåííÿ íàéá³ëüøîãî àáî íàéìåíøîãî<br />
çíà÷åííÿ íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿<br />
Íåõàé f(x) íåïåðåðâíà íà â³äð³çêó [à, b]. Äëÿ âèð³øåííÿ<br />
âêàçàíî¿ ïðîáëåìè òðåáà: 1) çíàéòè êðèòè÷í³ òî÷êè, ÿê³<br />
çíàõîäÿòüñÿ óñåðåäèí³ [a, b]; 2) îá÷èñëèòè çíà÷åííÿ ôóíêö³é<br />
íà ê³íöÿõ â³äð³çêà, òîáòî f(a) ³ f(b); 3) ïîð³âíÿòè çíà-<br />
÷åííÿ ôóíêö³¿ â êðèòè÷íèõ òî÷êàõ ³ íà ê³íöÿõ. Ñàìå âåëèêå<br />
³ áóäå íàéá³ëüøèì, ñàìå ìåíøå — íàéìåíøèì.<br />
7.17.3. Îïóêëîñò³ êðèâî¿ ³ òî÷êè ïåðåãèíó<br />
ßêùî â äåÿêîìó ³íòåðâàë³ êðèâà ðîçòàøîâàíà íèæ÷å<br />
(âèùå) áóäü-ÿêî¿ ñâ äîòè÷íî¿, òîáòî ó êð – ó äîò ≤ 0<br />
(ó êð – ó äîò ≥ 0), òî âîíà íàçèâàºòüñÿ îïóêëîþ (óãíóòîþ). Òóò<br />
ó êð , ó äîò — â³äïîâ³äíî îðäèíàòà êðèâî¿ ³ äîòè÷íî¿ äîâ³ëüíî¿<br />
òî÷êè ³íòåðâàëó. Òî÷êîþ ïåðåãèíó íàçèâàºòüñÿ òî÷êà, â ÿê³é<br />
îïóêëà ÷àñòèíà êðèâî¿ â³äîêðåìëþºòüñÿ â³ä óãíóòî¿.<br />
Òåîðåìà 7.17.1 (ïðî óìîâè îïóêëîñò³ ³ óãíóòîñò³ êðèâî¿).<br />
ßêùî f′′(x) < 0 íà (a, b), òî f(x) îïóêëà íà (a, b), à ÿêùî<br />
f′′(x) > 0, òî óãíóòà.<br />
Äîâåäåííÿ. Íåõàé f′′(x) 0).  îêîë³ äîâ³ëüíî¿<br />
òî÷êè çà ôîðìóëîþ Òåéëîðà (7.15.16) ìàºìî<br />
( 0 ) ( ) ( ) ( )<br />
f′ x f′′ ξ<br />
2<br />
yêð.<br />
= f( x0)<br />
+ x − x0 + x −x0<br />
14444244443 1! 2! .<br />
yñ³÷<br />
.<br />
254 255
Çâ³äñè ó êð – ó äîò ≤ 0 (≥ 0) ⇒ êðèâà f(x) — îïóêëà (óãíóòà).<br />
Àáñöèñè òî÷îê ïåðåãèíó êðèâîþ ó = f(x) º òî÷êè, â ÿêèõ<br />
çì³íþºòüñÿ ïîâåä³íêà ó′′. Òîìó ¿õ ìîæíà çíàéòè çà íàñòóïíèì<br />
ïðàâèëîì:<br />
1) çíàéòè ó′′ ³ òî÷êè õ, â ÿêèõ ó′′ = 0 àáî íå ³ñíóº;<br />
2) âèçíà÷èòè çíàê ó′′ çë³âà ³ ñïðàâà â³ä êîæíî¿ ç öèõ<br />
òî÷îê.<br />
ßêùî ïî ð³çí³ ñòîðîíè â³ä öèõ òî÷îê ó′′ ìຠð³çí³ çíàêè,<br />
òî âîíè º àáñöèñàìè òî÷îê ïåðåãèíó.<br />
7.18. ÀCÈÌÏÒÎÒÈ<br />
7.18.1. Îçíà÷åííÿ<br />
Àñèìïòîòîþ êðèâî¿ y = f(x) íàçèâàºòüñÿ òàêà ïðÿìà, ùî<br />
â³äñòàíü â³ä òî÷êè (x, f(x)) äî ö³º¿ ïðÿìî¿ ïðÿìóº äî íóëÿ<br />
ïðè íåîáìåæåíîìó â³ääàëåíí³ ¿¿ â³ä ïî÷àòêó êîîðäèíàò.<br />
Êðèâà ìîæå íàáëèæàòèñÿ äî ñâ àñèìïòîòè òèìè ñàìèìè<br />
ñïîñîáàìè, ÿê ³ çì³ííà äî ñâ ãðàíèö³: ç îäí³º¿ ï³âïëîùèíè<br />
àáî ïåðåõîäÿ÷è ç îäí³º¿ ï³âïëîùèíè íà ³íøó.<br />
Àñèìïòîòè áóâàþòü âåðòèêàëüí³ ³ íåâåðòèêàëüí³.<br />
7.18.2. Âåðòèêàëüí³ àñèìïòîòè<br />
ßêùî ïðè õ = à ôóíêö³ÿ ó = f(x) ìຠðîçðèâ äðóãîãî ðîäó<br />
³ ïðè õ → à ± 0 âîíà ïðÿìóº äî íåñê³í÷åííîñò³ (áóäü-ÿêîãî<br />
çíàêà), òî ïðÿìà õ = à º âåðòèêàëüíîþ àñèìïòîòîþ êðèâî¿<br />
y = f(x).<br />
7.18.3. Íåâåðòèêàëüí³ àñèìïòîòè<br />
Íåâåðòèêàëüí³ àñèìïòîòè êðèâî¿ y = f(x), ÿêùî âîíè ³ñíóþòü,<br />
ìàþòü âèãëÿä ó = kõ + b (ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿), äå ïàðàìåòðè<br />
k ³ b âèçíà÷àþòüñÿ çà ôîðìóëàìè:<br />
k<br />
1,2<br />
lim<br />
x→±∞<br />
( )<br />
f x<br />
= ³ b1,2 lim f( x)<br />
kx<br />
x→±∞<br />
x<br />
= ⎡⎣<br />
− ⎤⎦<br />
ïðè îäíàêîâ³é â îáîõ ôîðìóëàõ ïîâåä³íö³ õ, òîáòî â îáîõ<br />
ôîðìóëàõ x → +∞ àáî x → –∞.<br />
7.19. ÇÀÃÀËÜÍÀ ÑÕÅÌÀ ÄÎÑ˲ÄÆÅÍÍß<br />
ÔÓÍÊÖ²¯ ² ÏÎÁÓÄÎÂÀ ¯¯ ÃÐÀÔ²ÊÓ<br />
Äëÿ äîñë³äæåííÿ ôóíêö³¿ ðåêîìåíäîâàíî:<br />
1) çíàéòè îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿;<br />
2) çíàéòè òî÷êè ðîçðèâó ôóíêö³¿ òà ¿¿ îäíîñòîðîíí³ ãðàíèö³<br />
â öèõ òî÷êàõ, à òàêîæ òî÷êè ïåðåòèíó ç îñÿìè êîîðäèíàò;<br />
3) äîñë³äèòè ôóíêö³þ íà ïàðí³ñòü, íåïàðí³ñòü ³ ïåð³îäè÷í³ñòü;<br />
4) çíàéòè ³íòåðâàëè ìîíîòîííîñò³ ôóíêö³¿, òî÷êè åêñòðåìóìó<br />
³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ â öèõ òî÷êàõ;<br />
5) âèçíà÷èòè ³íòåðâàëè îïóêëîñò³ ³ óãíóòîñò³ êðèâî¿ ³<br />
òî÷êè ïåðåãèíó;<br />
6) çíàéòè àñèìïòîòè êðèâî¿;<br />
7) ïîáóäóâàòè ãðàô³ê ôóíêö³¿.<br />
Ïðè íåîáõ³äíîñò³ âèçíà÷àþòü îáëàñòü çíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
E(f).<br />
2 1<br />
Ïðèêëàä 7.19.1. Äîñë³äèòè ôóíêö³þ y = 1 + 2<br />
x<br />
− x<br />
³ ïîáóäóâàòè<br />
¿¿ ãðàô³ê.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
1) îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿: x∈(–∞, 0)∪(0,+∞);<br />
2<br />
x + 2x− 1<br />
2) òî÷êà ðîçðèâó: õ =0: lim<br />
x→ 0±<br />
0<br />
2 =−∞ . Â òî÷ö³ õ =0<br />
x<br />
ôóíêö³ÿ íå ³ñíóº, îòæå, êðèâà íå ïåðåòèíຠâ³ñü îðäèíàò:<br />
2 1<br />
2<br />
y = 0 ⇒ 1 + 0 x 2x 1 0 x<br />
2<br />
1,2<br />
1 2<br />
x<br />
− x<br />
= ⇒ + − = ⇒ =− ± — òî÷êè ïåðåòèíó<br />
îñ³ àáñöèñ;<br />
3) ôóíêö³ÿ í³ ïàðíà, í³ íåïàðíà, í³ ïåð³îäè÷íà;<br />
2 2 21 ( − x)<br />
4) çíàõîäèìî y′ =− + =<br />
2 3 3<br />
. Îòæå, òî÷êà (x = 1) —<br />
x x x<br />
ñòàö³îíàðíà. Ðîçáèâàºìî îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ íà<br />
³íòåðâàëè:<br />
(-∞, 0), y′ < 0 — ôóíêö³ÿ ñïàäàº;<br />
(0, 1), y′ > 0 — ôóíêö³ÿ çðîñòàº;<br />
(1,+∞), y′ < 0 — ôóíêö³ÿ ñïàäàº.<br />
256 257
 òî÷ö³ õ = 1 ôóíêö³ÿ ìຠìàêñèìóì: y′| x 0; y′| x>1 3/2 > 0; y| x = 3/2 = 1 + 4/3 – 4/9 = 17/9.<br />
Òî÷êà ïåðåãèíó (3/2, 17/9);<br />
2<br />
x + 2x−1<br />
6) ïåðåïèøåìî çàäàíó ôóíêö³þ ó âèãëÿä³ y =<br />
2 .<br />
x<br />
Âåðòèêàëüíà àñèìïòîòà: õ = 0. Çíàõîäèìî<br />
2<br />
y x + 2x−1<br />
k1,2 = lim = lim = 0, b<br />
3<br />
1,2<br />
= lim ( y− kx)<br />
= 1.<br />
x→±∞ x x→±∞ x<br />
x→±∞<br />
Ãîðèçîíòàëüíà àñèìïòîòà: ó =1;<br />
7) ãðàô³ê ôóíêö³¿ çîáðàæåíèé íà ðèñ. 7.5.<br />
Ðèñ. 7.5<br />
ÒÅÌÀ 8<br />
ÍÅÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÉ ²ÍÒÅÃÐÀË ² ÉÎÃÎ<br />
×ÈÑËÅÍÍß<br />
8.1. ÏÅÐ<strong>²</strong>ÑÍÀ ² ÍÅÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÉ<br />
²ÍÒÅÃÐÀË<br />
8.1.1. Ïðîáëåìí³ çàäà÷³<br />
Îñíîâíà çàäà÷à äèôåðåíö³àëüíîãî ÷èñëåííÿ ïîëÿãຠâ<br />
òîìó, ùîá â³ä çàäàíî¿ ôóíêö³¿ f(x) çíàéòè ¿¿ ïîõ³äíó. Çà<br />
äîïîìîãîþ äèôåðåíö³þâàííÿ ìîæíà ðîçâ’ÿçàòè òàê³ çàäà÷³:<br />
1 0 . ³äîìî çàêîí ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè<br />
S = S(t). Òðåáà çíàéòè øâèäê³ñòü v â ìîìåíò ÷àñó t.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ ïðîñòå: v(t) =S′(t).<br />
2 0 . ³äîìî ð³âíÿííÿ êðèâî¿ ó = f(x). Òðåáà çíàéòè êóò<br />
íàõèëó äîòè÷íî¿, ÿêà ïðîâåäåíà äî ãðàô³êà ôóíêö³¿ ó = f(x)<br />
÷åðåç äîâ³ëüíó òî÷êó M(x, f(x)). Ðîçâ’ÿçàííÿ òàêå:<br />
k(x) =f′(x).<br />
3 0 . Çàäàíî ôóíêö³þ ó = f(x). Òðåáà çíàéòè åëàñòè÷í³ñòü<br />
ö³º¿ ôóíêö³¿. Ðîçâ’ÿçàííÿ òàêå:<br />
E<br />
y<br />
x<br />
= x<br />
y<br />
y ′ . (8.1.1)<br />
Íà ïðàêòèö³ ³ñíóþòü òàêîæ ³ òàê³ çàäà÷³:<br />
1. Äëÿ çàäàíî¿ øâèäêîñò³ v(t) ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè òðåáà<br />
çíàéòè ïðîéäåíèé íåþ øëÿõ S = S(t).<br />
2. Çà â³äîìèì êóòîâèì êîåô³ö³ºíòîì k(x) =f′(x) òðåáà<br />
çíàéòè êðèâó, ÿêà çàäàíà ð³âíÿííÿì ó = f(x).<br />
3. ³äîìî, ùî åëàñòè÷í³ñòü ôóíêö³¿ f(x) äîð³âíþº ϕ(x).<br />
Òðåáà çíàéòè ñàìó ôóíêö³þ f(x).<br />
Çàóâàæåííÿ. Çàäà÷³ 1 – 2 êëàñè÷í³ ³ ìàéæå â êîæíîìó<br />
ó÷áîâîìó ïîñ³áíèêó ç êóðñó âèùî¿ ìàòåìàòèêè âîíè íàâîäÿòüñÿ.<br />
Ùîäî çàäà÷³ 3, òî âîíà, ìîæëèâî, ïîñòàâëåíà âïåðøå.<br />
Ïðèêëàä 8.1.1. Çíàéòè ôóíêö³þ, åëàñòè÷í³ñòü ÿêî¿ äîð³âíþº<br />
α(α = ñonst).<br />
258 259
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çã³äíî ç ôîðìóëîþ (8.1.1) ìàºìî<br />
x y ′ =α. Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî<br />
y<br />
y′ α<br />
= . (8.1.2)<br />
y x<br />
Ïðî³íòåãðóºìî (äèâ. ïðèêë. 8.3.4) îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíîñò³<br />
(8.1.2). Â ðåçóëüòàò³ îäåðæèìî:<br />
ln y =α ln x + ln c .<br />
Ç îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ âèïëèâàº, ùî y = C⋅ x α . C=± c1<br />
—<br />
äîâ³ëüíà ñòàëà.<br />
Íà îñíîâ³ ðåçóëüòàòó ïðèêëàäà 8.1.1 ñïðàâåäëèâå òàêå<br />
òâåðäæåííÿ.<br />
Òåîðåìà 8.1.1 (êðèòåð³é ñòàëîñò³ åëàñòè÷íîñò³ ôóíêö³¿).<br />
Äëÿ òîãî ùîá äèôåðåíö³éîâíà ôóíêö³ÿ ìàëà ñòàëó<br />
åëàñòè÷í³ñòü, íåîáõ³äíî ³ äîñòàòíüî, ùîá âîíà ñï³âïàäàëà ç³<br />
ñòåïåíåâîþ ôóíêö³ºþ.<br />
y x α−1<br />
Íåîáõ³äí³ñòü äîâîäèòüñÿ áåçïîñåðåäíüî: Ex<br />
= Cα x = α,<br />
α<br />
Cx<br />
à äîñòàòí³ñòü âèïëèâຠç ðîçâ’ÿçàííÿ ïðèêëàäó 8.1.1.<br />
Íåâàæêî ïîáà÷èòè, ùî ñôîðìóëüîâàí³ çàäà÷³ 1 – 3 ç<br />
ìàòåìàòè÷íî¿ òî÷êè çîðó çâîäÿòüñÿ äî îäíî¿ òîé ñàìî¿ ïðîáëåìè:<br />
ïî çàäàí³é íà ³íòåðâàë³ (a, b) ôóíêö³¿ f(x) òðåáà<br />
çíàéòè äèôåðåíö³éîâíó ôóíêö³þ (x) òàêó, ùîá ¿¿ ïîõ³äíà â<br />
êîæí³é òî÷ö³ ³íòåðâàëó (a, b) äîð³âíþâàëî á ôóíêö³¿ f(x).<br />
Îçíà÷åííÿ 8.1.1. Äèôåðåíö³éîâíà íà ³íòåðâàë³ (a, b)<br />
ôóíêö³ÿ (x) íàçèâàºòüñÿ ïåðâ³ñíîþ äëÿ ôóíêö³¿ f(x), çàäàíî¿<br />
â öüîìó æ ³íòåðâàë³, ÿêùî<br />
′ ( x) = f( x), ∀x∈ ( a, b)<br />
. (8.1.3)<br />
Ïðèêëàä 8.1.2. Çíàéòè ïåðâ³ñíó (x) äëÿ ôóíêö³¿<br />
f(x) =2x, ∀x∈(−∞, ∞).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çðàçó æ âèäíî, ùî øóêàíîþ ôóíêö³ºþ<br />
áóäå òàêà<br />
2<br />
( ) =<br />
F x x<br />
0<br />
,<br />
òîìó ùî çà âèçíà÷åííÿì ïåðâ³ñíî¿ ′ 0 (x) =2x,∀x∈(−∞; ∞).<br />
Ëåãêî áà÷èòè, ùî ôóíêö³¿ 1 (x) =x 2 + 13 ³ (x) =x 2 + C, äå<br />
Ñ — äîâ³ëüíà ñòàëà, òåæ º ïåðâ³ñíèìè.<br />
1<br />
Îñê³ëüêè ïîõ³äíà â³ä êîíñòàíòè äîð³âíþº íóëþ, òî ñïðàâäæóþòüñÿ<br />
ð³âíîñò³<br />
2<br />
′<br />
2<br />
′<br />
F1( ′ x) = ( x + 13) = 2 x, F′<br />
( x) = ( x + c) = 2 x, ∀x∈( −∞,<br />
∞)<br />
³, òàêèì ÷èíîì, ôóíêö³¿ 0 (x), 1 (x) i (x) ä³éñíî ÿâëÿþòü<br />
ñîáîþ ïåðâ³ñí³ ôóíêö³¿ äëÿ ôóíêö³¿ f(x) =2x, x ∈ (–∞, ∞).<br />
Íàâåäåíèé ïðèêëàä 8.1.2 ïîêàçóº, ùî îïåðàö³ÿ çíàõîäæåííÿ<br />
ïåðâ³ñíî¿ íåîäíîçíà÷íà. Ó çâ’ÿçêó ç öèì âèíèêàº<br />
ïèòàííÿ: ÿêùî ôóíêö³ÿ f(x) ìຠïåðâ³ñíó, òî ñê³ëüêè ìîæå<br />
áóòè ïåðâ³ñíèõ ³ ÿê âîíè ì³æ ñîáîþ áóäóòü â³äð³çíÿòèñÿ?<br />
Íà ïåðøó ÷àñòèíó çàïèòàííÿ ìîæíà â³äïîâ³ñòè òàê: ¿õ<br />
(ïåðâ³ñíèõ) áåçë³÷. Öåé ôàêò ïîÿñíþºòüñÿ òèì, ùî ÿêùî<br />
ôóíêö³ÿ (x) º ïåðâ³ñíîþ äëÿ ôóíêö³ÿ f(x), òî ³ ôóíêö³ÿ<br />
(x) +Ñ, äå Ñ — äîâ³ëüíà ñòàëà, òåæ º ïåðâ³ñíîþ (ïîõ³äíà<br />
â³ä ñòàëî¿ äîð³âíþº íóëþ).<br />
Äðóãà ÷àñòèíà ïèòàííÿ íå ïðîñòà, ³ âîíà ïîòðåáóº äîïîì³æíèõ<br />
òâåðäæåíü.<br />
Òåîðåìà 8.1.2. Áóäü-ÿê³ äâ³ ïåðâ³ñí³ äëÿ ò³º¿ ñàìî¿<br />
ôóíêö³¿ f(x) â³äð³çíÿþòüñÿ îäíà â³ä îäíî¿ ò³ëüêè íà ñòàëó.<br />
Äîâåäåííÿ. Ðîçãëÿíåìî äëÿ ôóíêö³¿ f(x) äâ³ äîâ³ëüí³<br />
ïåðâ³ñí³: 1 (x) i 2 (x). Äàë³, ââåäåìî ôóíêö³þ<br />
( ) ( ) ( )<br />
F x = F2 x − F1 x .<br />
(8.1.4)<br />
Çíàéäåìî òåïåð ïîõ³äíó â³ä ö³º¿ ôóíêö³¿:<br />
( ) ( ) ( )<br />
′ x = ′ 2<br />
− ′<br />
1<br />
= f x − f x = 0.<br />
(8.1.5)<br />
 îñòàííüîìó ëàíöþæêó ð³âíîñòåé (8.1.5) ìè ïðèéíÿëè äî<br />
óâàãè, ùî 1 (x) i 2 (x) ÿâëÿþòü ñîáîþ ïåðâ³ñí³ äëÿ ôóíêö³¿<br />
f(x).<br />
Îñê³ëüêè ïîõ³äíà ôóíêö³¿ (x) äîð³âíþº íóëþ, òî çã³äíî ç<br />
íàñë³äêîì 1 òåîðåìè Ëàãðàíæà (îñíîâíî¿ ëåìè ³íòåãðàëüíîãî<br />
÷èñëåííÿ), (x) =C (C — ñòàëà) äëÿ áóäü-ÿêî¿ çì³ííî¿ ³ç<br />
³íòåðâàëó, äå çàäàíà ôóíêö³ÿ f(x).<br />
Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ð³âíîñò³ (8.1.4) áóäåìî ìàòè<br />
2 (x) – 1 (x) =Ñ àáî 2 (x) = 1 (x) +Ñ.<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
260 261
Îòæå, ïîâíà â³äïîâ³äü íà ïîñòàâëåíå âèùå çàïèòàííÿ<br />
òàêà: áóäü-ÿêà ôóíêö³ÿ f(x), ÿêà ìຠïåðâ³ñíó, â òîé æå ÷àñ<br />
ìຠíåñê³í÷åííó ìíîæèíó ïåðâ³ñíèõ, ùî â³äð³çíÿþòüñÿ îäíà<br />
â³ä îäíî¿ íà ñòàëó.<br />
Çàóâàæåííÿ. Ïðè äîâåäåíí³ òåîðåìè 8.1.2 äëÿ ñòèñëîãî<br />
âèêëàäàííÿ ³ äëÿ çðó÷íîñò³ ìè íå êîíêðåòèçóâàëè ìíîæèíó,<br />
íà ÿê³é áóëà çàäàíà ôóíêö³ÿ f(x). Öå ìè áóäåìî ðîáèòè<br />
³ ó ïîäàëüøîìó. Ïåâíà ð³÷, ó ðàç³ ïîòðåáè ìè áóäåìî<br />
êîíêðåòèçóâàòè ìíîæèíó, íà ÿê³é áóäå çàäàíà ôóíêö³ÿ f(x).<br />
Òåïåð íàñòàâ ÷àñ ââåñòè äóæå âàæëèâå ÿê ç ïðàêòè÷íî¿,<br />
òàê ³ òåîðåòè÷íî¿ òî÷îê çîðó ïîíÿòòÿ.<br />
Îçíà÷åííÿ 8.1.2. Ìíîæèíà âñ³õ ïåðâ³ñíèõ äëÿ ôóíêö³¿<br />
f(x) íàçèâàºòüñÿ íåâèçíà÷åíèì ³íòåãðàëîì ³ ïîçíà÷àºòüñÿ<br />
∫ fxdx ( ) = x ( ) + C. (8.1.6)<br />
Ó ë³â³é ÷àñòèí³ ð³âíîñò³ (8.1.6) ñèìâîë ∫ º çíàê ³íòåãðàëà;<br />
f(x) — ï³ä³íòåãðàëüíà ôóíêö³ÿ; x — çì³ííà ³íòåãðóâàííÿ;<br />
f(x) dx — ï³ä³íòåãðàëüíèé âèðàç, à ó ¿¿ ïðàâ³é ÷àñòèí³ (x) º<br />
îäíà ³ç ïåðâ³ñíèõ äëÿ ôóíêö³¿ f(x), Ñ — äîâ³ëüíà ñòàëà.<br />
Ðîçøóê ôóíêö³¿ (x) çà â³äîìîþ ïîõ³äíîþ ′(x) =f(x)<br />
(àáî çà â³äîìèì ¿¿ äèôåðåíö³àëîì d = ′(x)dx) íàçèâàºòüñÿ<br />
³íòåãðóâàííÿì (ä³ÿ îáåðíåíà äèôåðåíö³þâàííþ).<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Íà ïåðøèé ïîãëÿä, çäàºòüñÿ, ùî íåâèçíà÷åí³ñòü<br />
³íòåãðàëà, ÿêà âèðàæåíà ôîðìóëîþ (8.1.6), äåê³ëüêà<br />
óñêëàäíþº ä³þ, ÿêà îáåðíåíà äèôåðåíö³þâàííþ (òðåáà<br />
ïèñàòè ùå ÿêóñü äîâ³ëüíó ñòàëó). Àëå á³ëüø óâàæíèé<br />
àíàë³ç ïîêàçóº, ùî áåç äîâ³ëüíî¿ ñòàëî¿, ÿêà âõîäèòü ó ôîðìóëó<br />
(8.1.6), íåìîæëèâî áóëî á, íàïðèêëàä, ó öüîìó ïóíêò³<br />
ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó 1. ijéñíî, îñê³ëüêè ôóíêö³ÿ S = S(t) º çà<br />
îçíà÷åííÿì ïåðâ³ñíîþ äëÿ ôóíêö³¿ v(t), òî<br />
S(t) =S 1 (t) +C,<br />
äå ôóíêö³ÿ S 1 (t) º äåÿêà ïåðâ³ñíà äëÿ ôóíêö³¿ v(t).<br />
Ïðîàíàë³çóºìî òåïåð ð³âí³ñòü ç òî÷êè çîðó ìåõàí³êè.<br />
Îñòàííÿ ôîðìóëà âèðàæຠíåâèçíà÷åí³ñòü øëÿõó, ùî â ìåõàí³ö³<br />
º êðàìîëüíèì. Ïðîòå âñå áóäå ãàðàçä, ÿêùî ìè ðîçãëÿíåìî<br />
äîäàòêîâó óìîâó: S(0) = S 0 . Çâ³äêè çíàõîäèìî, ùî<br />
C = S 0 – S 1 (0).<br />
Îòæå, îñòàòî÷íèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ 1 òàêèé:<br />
S(t) =S 1 (t) + S 0 – S 1 (0).<br />
³äïîâ³äü îäíîçíà÷íà, ³ âñå çàëèøèëîñÿ íà ñâî¿õ ì³ñöÿõ.<br />
Òåïåð çàïèòàºìî ñåáå: à ÷è ìîæíà áóëî ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó<br />
áåç ñòàëî¿ Ñ? Ïåâíà ð³÷, ùî í³. Òàêèì ÷èíîì ñòàëà, ÿêà<br />
âõîäèòü ó ôîðìóëó, º íå øêîäà, à áëàãî, ò³ëüêè öèì áëàãîì<br />
òðåáà äîáðå ðîçïîðÿäèòèñÿ.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. ßê ïîêàçóº ³ñòîð³ÿ ìàòåìàòèêè, îïåðàö³¿,<br />
ÿê³ º îáåðíåíèìè, ÿâëÿþòü ñîáîþ, ÿê ïðàâèëî, á³ëüø<br />
ñêëàäí³ îïåðàö³¿ ³, á³ëüø òîãî, º ³íîä³ ïðîñòî íåìîæëèâèìè<br />
íà âèõ³äí³é ìíîæèí³. Òàê, íàïðèêëàä, íåõàé íà ìíîæèí³<br />
íàòóðàëüíèõ ÷èñåë ââåäåíî îïåðàö³þ äîäàâàííÿ. Òàêà îïåðàö³ÿ<br />
ìîæëèâà. Îáåðíåíîþ îïåðàö³ºþ º îïåðàö³ÿ â³äí³ìàííÿ.<br />
ßê â³äîìî (äèâ. ï. 1.2.1), îïåðàö³ÿ â³äí³ìàííÿ íà ìíîæèí³<br />
íàòóðàëüíèõ ÷èñåë íå çàâæäè ìîæëèâà. Àíàëîã³÷í³<br />
ïðèêëàäè ìîæíà íàâåñòè äëÿ â³äïîâ³äíèõ îïåðàö³é ìíîæåííÿ<br />
³ ä³ëåííÿ, ï³äíåñåííÿ äî ñòåïåíÿ ³ äîáóâàííÿ êîðåíÿ.<br />
Ùîäî îïåðàö³¿ ³íòåãðóâàííÿ, ÿêà º îáåðíåíîþ äî îïåðàö³¿<br />
äèôåðåíö³þâàííÿ, òî òàêîæ ìîæíà ñêàçàòè, ùî âîíà º á³ëüø<br />
ñêëàäíîþ. Çàïðîïîíóºìî ÷èòà÷åâ³ ïðîâåñòè òàêèé åêñïåðèìåíò:<br />
ï³ä³éòè äî ìàòåìàòèêà-ïðîôåñ³îíàëà ³ ïîïðîñèòè éîãî<br />
ïðîäèôåðåíö³þâàòè áóäü-ÿêó ôóíêö³þ. ßêùî ó ìàòåìàòèêà<br />
áóäå ÷àñ, òî â³í íåãàéíî â³äãóêíåòüñÿ íà âàøå ïðîõàííÿ.<br />
Òåïåð óÿâ³òü ñîá³ àíàëîã³÷íó êàðòèíó, àëå ç ïðîõàííÿì ïðî-<br />
³íòåãðóâàòè äåÿêó ôóíêö³þ. Ó çàëåæíîñò³ â³ä ñòðóêòóðè ï³ä-<br />
³íòåãðàëüíî¿ ôóíêö³¿ ðåàêö³ÿ íà ïðîõàííÿ áóäå ð³çíîþ. Íàïðèêëàä,<br />
ÿêùî ñòðóêòóðà ï³ä³íòåãðàëüíî¿ ôóíêö³¿ äëÿ ìàòåìàòèêà-ïðîôåñ³îíàëà<br />
º íå äîñèòü çíàéîìîþ, òî â³í, íà íàø<br />
ïîãëÿä, ñêàæå: ÿ ïîäóìàþ. Òàêà ðåàêö³ÿ íà ïðîõàííÿ ö³ëêîì<br />
çðîçóì³ëà ³ íå º äèâíîþ. Ñïðàâà â òîìó, ùî äåÿê³ ôóíêö³¿<br />
íà ìíîæèí³ åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é âàæêî ³íòåãðóþòüñÿ,<br />
à ³íêîëè ³ çîâñ³ì íå ³íòåãðóþòüñÿ. Íàïðèêëàä, äëÿ ôóíêö³¿<br />
f(x) =e -x2 ïåðâ³ñíà, à òèì ñàìèì ³ íåâèçíà÷åíèé ³íòåãðàë â<br />
åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³ÿõ íå ³ñíóþòü (³íòåãðàë “íå áåðåòüñÿ”).<br />
Òàêèõ ³íòåãðàë³â ìîæíà íàâåñòè äóæå áàãàòî. Îäíàê áóâàº,<br />
ùî äåÿêèé ³íòåãðàë íå áåðåòüñÿ, àëå ÷àñòî çóñòð³÷àºòüñÿ ó<br />
ïðèêëàäíèõ ïèòàííÿõ. Ó òàêîìó âèïàäêó ìàòåìàòèêè, ÿê<br />
ïðàâèëî, ââîäÿòü ñïåö³àëüí³ ôóíêö³¿. Îäíó ç òàêèõ ôóíêö³é<br />
262 263
âè áóäåòå âèâ÷àòè ó êóðñ³ òåî𳿠éìîâ³ðíîñò³. Âîíà ââîäèòüñÿ<br />
ÿê ïðîäóêò ³íòåãðóâàííÿ ôóíêö³¿ f(x) =e -x2 .<br />
Òå, ùî îáåðíåíà îïåðàö³ÿ º á³ëüø ñêëàäíîþ ó ïîð³âíÿíí³<br />
ç ïðÿìîþ, âèäíî ³ç òàêèõ î÷åâèäíèõ òâåðäæåíü: 1) äîâåäåííÿ<br />
íåâèíóâàòîñò³ ï³äñóäíîãî º á³ëüø ñêëàäíîþ ïðîáëåìîþ<br />
í³æ äîâåäåííÿ éîãî âèíè; 2) óñÿêèé ñòóäåíò, ÿêèé âîëî䳺<br />
³íîçåìíîþ ìîâîþ, íàïðèêëàä ³ñïàíñüêîþ, ìîæå äîâåñòè âèêëàäà÷åâ³,<br />
ùî â³í ä³éñíî íåþ âîëî䳺. Äëÿ öüîãî éîìó òðåáà<br />
ïðîñòî çàãîâîðèòè ³ñïàíñüêîþ ìîâîþ. Òåïåð óÿâ³òü ñîá³, ùî<br />
“íåîðäèíàðíèé ñòóäåíò” çàÿâëÿº âàì, øàíîâíèé ÷èòà÷ó, ùî<br />
â³í âîëî䳺 ñòàðîäàâíüîþ ìîâîþ àöòåê³â (³íê³â). Ñïðîñòóâàòè<br />
öå òâåðäæåííÿ âàì íå âäàñòüñÿ, òîìó ùî “íåîðäèíàðíèé<br />
ñòóäåíò” íà âàø ñóìí³â çàâæäè ìîæå ñêàçàòè: ÿ âîëîä³þ<br />
ñòàðîäàâíüîþ ìîâîþ àöòåê³â (³íê³â), àëå çàðàç öüîãî ðîáèòè<br />
íå áóäó.<br />
Ïåðøå òâåðäæåííÿ ïîâ’ÿçàíî ç òàêèì þðèäè÷íèì ïîíÿòòÿì,<br />
ÿê ïðåçóìïö³ÿ íåâèíóâàòîñò³. Äðóãå æ òâåðäæåííÿ<br />
º ô³ëîñîôñüêèì ³ äåÿêîþ ì³ðîþ æàðò³âëèâèì.<br />
8.2. ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒ² ÍÅÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÕ ²ÍÒÅÃ-<br />
ÐÀ˲ ÒÀ ¯ÕÍß ÎÑÍÎÂÍÀ ÒÀÁËÈÖß<br />
8.2.1. Âëàñòèâîñò³ ³ ¿õ äîâåäåííÿ<br />
1. Ïîõ³äíà íåâèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà äîð³âíþº ï³ä³íòåãðàëüí³é<br />
ôóíêö³¿. ijéñíî, çà îçíà÷åííÿì<br />
′ ′<br />
∫ fxdx ( ) = x + C = fx ( ). (8.2.1)<br />
( ) ( ( ) )<br />
2. Äëÿ äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿ ′(x) ñïðàâåäëèâà ð³âí³ñòü<br />
∫ F′ ( x) dx= F( x) + C.<br />
(8.2.2)<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ′(x) — ïîõ³äíà ôóíêö³¿ (x). Òîä³<br />
(x) º ïåðâ³ñíîþ äëÿ ôóíêö³¿ ′(x). Îòæå, ä³éñíî ìຠì³ñöå<br />
ð³âí³ñòü (8.2.2).<br />
Çàóâàæåííÿ. гâíîñò³ (8.2.1) – (8.2.2) ìîæíà â³äïîâ³äíî<br />
çàïèñàòè ùå â òàêîìó âèãëÿä³:<br />
( )<br />
d ∫ fxdx ( ) = fxdx ( ) , (8.2.3)<br />
òîáòî äèôåðåíö³àë â³ä ³íòåãðàëà äîð³âíþº ï³ä³íòåãðàëüíîìó<br />
âèðàçó<br />
∫ dF ( ( x) ) = F( x)<br />
+ C.<br />
(8.2.4)<br />
Ôîðìóëè (8.2.3) – (8.2.4) êðàñíîìîâíî ïîêàçóþòü, ùî îïåðàö³¿<br />
³íòåãðóâàííÿ òà äèôåðåíö³þâàííÿ âçàºìíî îáåðíåí³.<br />
Öåé ôàêò çàâæäè äîçâîëÿº ðåçóëüòàò ³íòåãðóâàííÿ ïåðåâ³ðèòè<br />
äèôåðåíö³þâàííÿì.<br />
3. Ñòàëèé ìíîæíèê ìîæíà âèíîñèòè çà çíàê ³íòåãðàëà.<br />
Äëÿ ôóíêö³¿ kf(x), äå k — ñòàëà, ìàºìî<br />
∫kf( x) dx = k∫ f( x)<br />
dx . (8.2.5)<br />
Ñïðàâåäëèâ³ñòü ð³âíîñò³ (8.2.5) ëåãêî ïåðåâ³ðÿºòüñÿ<br />
′<br />
kfxdx ∫ ( ) = kx ( ) + C⇒ ( kx ( ) + C)<br />
= k′<br />
( x) = kfx ( ),<br />
òîáòî k(x) +C º ïåðâ³ñíà äëÿ kf(x).<br />
4. ²íòåãðàë â³ä ñóìè ñê³í÷åííîãî ÷èñëà ôóíêö³é, ùî ìàþòü<br />
ïåðâ³ñíó, äîð³âíþº ñóì³ ³íòåãðàë³â â³ä äîäàíê³â ôóíêö³é:<br />
( ( ) ( ) K ( ))<br />
∫ f x + f x + + f x dx =<br />
1 2<br />
= ∫f1( x) dx + ∫f2( x) dx + K + ∫fn<br />
( x)<br />
dx . (8.2.6)<br />
Ïîêàæåìî ñïðàâåäëèâ³ñòü ôîðìóëè (8.2.6) íà ïðèêëàä³<br />
äâîõ ôóíêö³é. Íåõàé<br />
∫f( xdx ) = ( x) + C, ∫f( xdx ) = ( x)<br />
+ C⇒<br />
1 1 2 2<br />
n<br />
( )<br />
⇒ f( x) = ′ ( x), f ( x) = ′<br />
( x) ⇒ f( x) + f ( x) = ( x) + ( x )<br />
′ .<br />
1 1 2 2 1 2 1 2<br />
²íòåãðóþ÷è îñòàííþ ð³âí³ñòü, îòðèìàºìî<br />
( )<br />
∫ f1( x) + f2( x) dx = 1( x) + 2( x) + C= ∫f1( x) dx+<br />
∫ f2( x)<br />
dx.<br />
6. ²íòåãðàë â³ä ë³í³éíî¿ êîìá³íàö³¿ ôóíêö³é, ùî ³íòåãðóþòüñÿ,<br />
äîð³âíþº ë³í³éí³é êîìá³íàö³¿ ³íòåãðàë³â:<br />
n<br />
n<br />
∑cf i i<br />
xdx = ∑ i i<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
∫ ( ) c∫ f( xdx ) , çîêðåìà, ³íòåãðàë â³ä ð³çíèö³ äîð³âíþº<br />
òàê³é ñàìî ð³çíèö³ ³íòåãðàë³â.<br />
264 265
Öÿ âëàñòèâ³ñòü âèïëèâຠç âëàñòèâîñòåé 3 ³ 4.<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Ïåâíà ð³÷, ùî ïðè ôîðìóëþâàíí³ âëàñòèâîñòåé<br />
òà ¿õ äîâåäåíí³ ìè ïðèïóñêàëè, ùî âñ³ ôóíêö³¿,<br />
ÿê³ âõîäÿòü ó â³äïîâ³äí³ ð³âíîñò³, ìàþòü ïåðâ³ñí³.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Âèõîäÿ÷è ç îçíà÷åííÿ íåâèçíà÷åíîãî<br />
³íòåãðàëà, ð³âí³ñòü ³íòåãðàë³â òðåáà ðîçóì³òè ç òî÷í³ñòþ äî<br />
äîâ³ëüíîãî ñòàëîãî. ²íøèìè ñëîâàìè, íåâèçíà÷åí³ ³íòåãðàëè<br />
áóäóòü ð³âíèìè òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè ïîõ³äí³ â³ä íèõ<br />
ñï³âïàäàþòü.<br />
8.2.2. Îñíîâíà òàáëèöÿ íåâèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â<br />
Î÷åâèäíî, ùî íà ï³äñòàâ³ ð³âíîñò³ (8.1.6) ïðîáëåìà ³íòåãðóâàííÿ<br />
çâîäèòüñÿ äî ïðîáëåìè çíàõîäæåííÿ â³äïîâ³äíèõ<br />
ïåðâ³ñíèõ. Ùîäî ïåðâ³ñíèõ, òî âîíè çíàõîäÿòüñÿ çà òàêèì<br />
îñíîâíèì ïðàâèëîì: ïåðâ³ñíà â³ä äàíî¿ ôóíêö³¿ º ôóíêö³ÿ,<br />
ïîõ³äíà ÿêî¿ äîð³âíþº äàí³é ôóíêö³¿. Òåïåð íåâàæêî ñêëàñòè<br />
òàáëèöþ äåÿêèõ íåâèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â.<br />
1.<br />
α+ 1<br />
α x<br />
∫ xdx= + C, α≠−1. 2.<br />
α+ 1<br />
dx<br />
x<br />
−1<br />
∫x dx = ∫ = ln x + C .<br />
x<br />
x a<br />
x x<br />
3. ∫adx= + C;<br />
∫ edx= e + C. 4. ∫ sin xdx =− cos x + C .<br />
ln a<br />
2<br />
5. ∫ cos xdx = sin x + C . 6. ∫ sec xdx = tg x + C .<br />
2<br />
7. ∫ cosec xdx =− ctg x + C . 8.<br />
9. ∫ 2 2<br />
11.<br />
∫<br />
a<br />
dx<br />
− x<br />
2 2<br />
x<br />
= arcsin + C .<br />
a<br />
dx 1 x arctg C<br />
x + a = a a<br />
+<br />
dx 1 x − a<br />
. 10. ∫ =<br />
2 2 ln + C .<br />
x − a 2a x+<br />
a<br />
∫<br />
x<br />
dx<br />
± a<br />
2 2<br />
= ln + ± +<br />
2 2<br />
x x a C<br />
Ñïðàâåäëèâ³ñòü ôîðìóë ³íòåãðóâàííÿ, à òàêîæ êîæíèé<br />
ðåçóëüòàò ³íòåãðóâàííÿ ìîæíà ïåðåâ³ðèòè øëÿõîì äèôåðåíö³þâàííÿ,<br />
îñê³ëüêè ³íòåãðóâàííÿ º ä³ÿ, îáåðíåíà äèôåðåíö³þâàííþ.<br />
.<br />
Ó íàéïðîñò³øîìó âèïàäêó, êîëè çàäàíèé ³íòåãðàë ÿâëÿº<br />
îäíó ³ç ôîðìóë ³íòåãðóâàííÿ, çàäà÷à ³íòåãðóâàííÿ çâîäèòüñÿ<br />
äî ïðîñòîãî çàñòîñóâàííÿ ö³º¿ ôîðìóëè.  óñ³õ ³íøèõ âèïàäêàõ<br />
çàäà÷à ³íòåãðóâàííÿ ïîëÿãຠâ òîìó, ùîá øëÿõîì<br />
ïåðåòâîðåíü ïðèâåñòè äàíèé ³íòåãðàë äî îäí³º¿ àáî äî äåê³ëüêîõ<br />
â³äîìèõ ôîðìóë ³íòåãðóâàííÿ (ÿêùî öå ìîæëèâî).<br />
8.3. ÎÑÍÎÂͲ ÌÅÒÎÄÈ ²ÍÒÅÃÐÓÂÀÍÍß<br />
ßê óæå áóëî ñêàçàíî, íå ³ñíóº óí³âåðñàëüíîãî ìåòîäó ³íòåãðóâàííÿ<br />
ôóíêö³é. ² òîìó íàâ³òü â XXI ñòîð³÷÷³ äîñë³äíèêó<br />
³íêîëè òðåáà ïðîÿâëÿòè íàïîëåãëèâ³ñòü ³ âèíàõ³äëèâ³ñòü äëÿ<br />
çíàõîäæåííÿ îòðèìàíîãî â ïðîöåñ³ íàóêîâî¿ ðîáîòè íåâèçíà-<br />
÷åíîãî ³íòåãðàëà.  áàãàòüîõ æå âèïàäêàõ äîñë³äíèêè êîðèñòóþòüñÿ<br />
êëàñè÷íèìè (ðîçðîáëåíèìè áàãàòüìà ìàòåìàòèêàìè<br />
ð³çíèõ ð³âí³â, çîêðåìà êëàñèêàìè ìàòåìàòè÷íîãî àíàë³çó),<br />
àáî òàê çâàíèìè îñíîâíèìè ìåòîäàìè. Äî íèõ íàëåæàòü:<br />
ìåòîä áåçïîñåðåäíüîãî ³íòåãðóâàííÿ, ìåòîä ï³äñòàíîâêè (ìåòîä<br />
çàì³íè) ³ ìåòîä ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè.<br />
8.3.1. Ìåòîä áåçïîñåðåäíüîãî ³íòåãðóâàííÿ<br />
³í çàñíîâàíèé íà çàãàëüíèõ âëàñòèâîñòÿõ íåâèçíà÷åíîãî<br />
³íòåãðàëà ³ òàáëèö³ ³íòåãðàë³â. ßê îêðåìèé âèïàäîê ñþäè<br />
âõîäèòü ìåòîä çîáðàæåííÿ ôóíêö³¿ ó âèãëÿä³ ñóìè ôóíêö³é.<br />
Íàïðèêëàä,<br />
3 2 1/2 2/3<br />
x − 2 x + 1 ⎛ x x 1 ⎞<br />
1/ 4 5/12 −1/4<br />
∫ dx = ∫ 2 dx<br />
1/ 4 1/4 1/ 4 ( x 2x x ) dx<br />
4<br />
⎜ − + ⎟ = ∫ − + =<br />
x ⎝ x x x ⎠<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
5 17 3<br />
4 12 4<br />
4 24 4<br />
= x − x + x + C .<br />
5 17 3<br />
Çíàéòè ³íòåãðàëè ³ îòðèìàí³ â³äïîâ³ä³ ïåðåâ³ðèòè äèôåðåíö³þâàííÿì.<br />
8.1. ( x+<br />
)<br />
∫ x dx ; 8.2.<br />
⎛ 3 x x ⎞<br />
∫ ⎜<br />
−<br />
dx<br />
x 4 ⎟ ;<br />
⎝ ⎠<br />
266 267
8.3.<br />
⎛<br />
∫ ⎜sin x+<br />
⎝<br />
3 ⎞<br />
dx<br />
⎟dx<br />
; 8.4. ∫<br />
4<br />
;<br />
x ⎠<br />
x<br />
8.5. ∫ dx<br />
2 2<br />
cos xsin<br />
x<br />
; 8.6.<br />
2<br />
∫ ctg xdx ;<br />
− x<br />
⎛ 7 ⎞<br />
x<br />
8.7. ∫ 7 ⎜<br />
5+<br />
dx<br />
2 ⎟ .<br />
⎝ 1−<br />
x ⎠<br />
8.3.2. Ìåòîä ï³äñòàíîâêè<br />
Ñóòü öüîãî ìåòîäó ñêëàäàºòüñÿ ó ââåäåíí³ ï³ä çíàê ³íòåãðàëà<br />
òàêî¿ íîâî¿ çì³ííî¿, ï³ñëÿ ï³äñòàíîâêè ÿêî¿ âèõ³äíèé<br />
³íòåãðàë ñïðîùóºòüñÿ àáî çâîäèòüñÿ äî òàáëè÷íîãî. ϳäñòàíîâêè<br />
áóâàþòü äâîõ òèï³â:<br />
1. Ïåðøèé òèï ï³äñòàíîâêè. Íåõàé â³äîìî, ùî<br />
∫ gudu ( ) = Gu ( ) + C. (8.3.1)<br />
Çðîáèìî çàì³íó: u = ϕ(x), äå ôóíêö³ÿ ϕ(x) äèôåðåö³éîâíà<br />
â äåÿêîìó ³íòåðâàë³. Òîä³ ôîðìàëüíî ð³âí³ñòü (8.3.1) ïåðåòâîðèòüñÿ<br />
â òàêó:<br />
∫ g( ϕ( x)) ϕ ′( x) dx = G( ϕ ( x))<br />
+ C. (8.3.2)<br />
Çã³äíî ç çàóâàæåííÿì 2 ï. 8.2.1 ñïðàâåäëèâ³ñòü ð³âíîñò³<br />
(8.3.2) ïåðåâ³ðèìî øëÿõîì äèôåðåíö³þâàííÿ îáîõ ¿¿ ÷àñòèí.<br />
Ìàºìî<br />
( ∫ g( ϕ( x)<br />
) ϕ ′( x)<br />
dx) = g( ϕ( x)<br />
) ϕ′<br />
( x),<br />
′<br />
′ ′<br />
ϕ = ⋅ϕ = ϕ = ϕ ϕ .<br />
( G( ( x)<br />
)) ( G( u)<br />
) u ′( x) g( u) ′( x) g( ( x)<br />
) ′( x)<br />
Îñòàíí³ äâ³ ð³âíîñò³ ïîêàçóþòü, ùî ð³âí³ñòü (8.3.2) ïðè<br />
âèêîíàíí³ âêàçàíèõ âèùå óìîâ ä³éñíî ñïðàâåäëèâà.<br />
Ðîçãëÿíåìî äâà òåîðåòè÷íèõ ïðèêëàäè.<br />
Ïðèêëàä 8.3.1. ³äîìî, ùî<br />
Òðåáà çíàéòè ∫ fax ( + bdxa ) , ≠0.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
⎡t = ax+<br />
b⎤<br />
1 1 1<br />
∫f ( ax + b) dx = ⎢<br />
f () t dt () t C ( ax b)<br />
C<br />
dt adx<br />
⎥ = ∫ = + = + + .<br />
⎣ = ⎦ a a a<br />
Îòæå,<br />
1<br />
∫ f ( ax + b ) dx = ( ax + b) + C, a ≠ 0 . (8.3.4)<br />
a<br />
Ðîçãëÿíåìî òåïåð êîíêðåòèçîâàí³ ïðèêëàäè.<br />
Ïðèêëàä 8.3.2. Çíàéòè ( ) 2001<br />
∫ 5x+<br />
7 dx .<br />
2001<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïîêëàäåìî: fx ( ) = x . Òîä³ êîðèñòóþ-<br />
÷èñü ïîäâ³éíèìè ôîðìóëàìè (8.3.3) – (8.3.4), ìàòèìåìî<br />
( )<br />
( x + ) 2002<br />
2002<br />
2001 x<br />
2001 5 7<br />
∫x dx = + C, ∫ 5x+ 7 dx = + C.<br />
2002 10010<br />
Óÿâ³òü ñîá³, øàíîâíèé ÷èòà÷ó, ÿê³ á âèíèêëè ïðîáëåìè<br />
ïðè ³íòåãðóâàíí³ çàïðîïîíîâàíîãî íåâèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà<br />
ÿêùî ìåòîä ï³äñòàíîâêè íå áóâ áè âàì â³äîìèé. Òðåáà áóëî<br />
äâî÷ëåí (5õ + 7) ï³äíåñòè çà ôîðìóëîþ á³íîìà Íüþòîíà â<br />
2001-é ñòåï³íü. Ïðè öüîìó îäåðæàòè 2002 äîäàíêè, à ïîò³ì<br />
ïðî³íòåãðóâàòè. Òèòàí³÷íà ïðàöÿ! ßê âè çðîçóì³ëè, íå çàâæäè<br />
âîíà ïîòð³áíà.<br />
Çàóâàæèìî òàêîæ, ùî ïðè â³äïîâ³äíîìó òðåíóâàíí³ ÷èòà÷<br />
çìîæå çàïèñóâàòè ðåçóëüòàò ³íòåãðóâàííÿ ³íòåãðàë³â âèäó<br />
∫ fax ( + bdxa ) , ≠ 0 çðàçó. Ïåâíà ð³÷, ùî ïðè öüîìó òðåáà çíàòè<br />
òàáëè÷í³ ³íòåãðàëè.<br />
Ïðèêëàä 8.3.3. Çíàéòè ³íòåãðàë<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
∫<br />
sin( 7x + 5) dx .<br />
1<br />
∫ sin(7x+ 5) dx=− cos(7x+ 5) + C .<br />
7<br />
∫ fxdx ( ) = x ( ) + C. (8.3.3)<br />
268 269
Ïðèêëàä 8.3.4. Çíàéòè ³íòåãðàë<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
ψ′<br />
∫ dx . ψ<br />
ψ′<br />
dt<br />
∫ dx = ⎡⎣t =ψ ( x) , dt =ψ ′( x) dx⎤⎦<br />
= ∫ = ln t + C = ln ψ ( x)<br />
+ C .<br />
ψ<br />
t<br />
Îòæå,<br />
ψ′<br />
∫ dx = ln ψ ( x)<br />
+ C .<br />
ψ<br />
Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî îñòàííüî¿ ôîðìóëè ìîæíà ñôîðìóëþâàòè<br />
òàêå ïðàâèëî: ÿêùî ï³ä³íòåãðàëüíà ôóíêö³ÿ ÿâëÿº ñîáîþ<br />
äð³á, ó ÿêîìó ÷èñåëüíèê º ïîõ³äíà â³ä çíàìåííèêà, òî<br />
ïåðâ³ñíà â³ä íüîãî äîð³âíþº íàòóðàëüíîìó ëîãàðèôìó ìîäóëÿ<br />
çíàìåííèêà.<br />
Ðîçãëÿíåìî òåïåð êîíêðåòèçîâàí³ ïðàêòè÷í³ ïðèêëàäè.<br />
Ïðèêëàä 8.3.5. Çíàéòè ³íòåãðàëè: 1)<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
1)<br />
′<br />
cos x ( sin x)<br />
∫ctgxdx = ∫ dx = ∫ dx = ln sin x + C;<br />
sin x sin x<br />
∫ ñtg xdx ; 2) ∫ tg xdx .<br />
(8.3.5)<br />
′<br />
sin x ( cos x)<br />
2) ∫tg xdx = ∫ dx =− ∫ dx =− ln cos x + C.<br />
(8.3.6)<br />
cos x cos x<br />
Çàóâàæåííÿ. Îäåðæàí³ ôîðìóëè (8.3.5) – (8.3.6) ìîæíà<br />
çàíåñòè ó òàáëèöþ íåâèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â.<br />
2. Äðóãèé òèï ï³äñòàíîâêè. Íåõàé çàäàíî ³íòåãðàë<br />
∫ f( x)<br />
dx.<br />
Òåïåð çðîáèìî çàì³íó: x = ϕ(t), äå ôóíêö³ÿ ϕ(t) ìຠïîõ³äíó<br />
â äåÿêîìó ³íòåðâàë³. Òîä³ çàäàíèé ³íòåãðàë íàáóâຠâèãëÿäó:<br />
( ) = ( ϕ( )) ϕ′ ()<br />
∫f x dx ∫ f t t dt. (8.3.7)<br />
Ñïðàâåäëèâ³ñòü ôîðìóëè (8.3.7) âñòàíîâèìî òàêîæ øëÿõîì<br />
äèôåðåíö³þâàííÿ îáîõ ÷àñòèí ð³âíîñò³ (8.3.7).<br />
Ìàºìî çà îçíà÷åííÿì<br />
′<br />
∫ = . (8.3.8)<br />
( f( x)<br />
dx) f( x)<br />
Ùîäî äèôåðåíö³þâàííÿ ïðàâî¿ ÷àñòèíè ð³âíîñò³ (8.3.7),<br />
òî ìè öþ îïåðàö³þ çä³éñíèìî çà äîïîìîãîþ ôîðìóëè çíàõîäæåííÿ<br />
ïîõ³äíî¿ ñêëàäåíî¿ ôóíêö³¿, ïðè öüîìó ìàòèìåìî<br />
( ∫ ( ()) () ) ∫ ( ()) ()<br />
( ) x ( ()) ()<br />
/ /<br />
f ϕ t ϕ ′ t dt = f ϕ t ϕ′ t dt ⋅ t = f ϕ t ϕ′<br />
t ⋅ =<br />
x<br />
t<br />
ϕ′<br />
( ()) ( )<br />
/ 1<br />
() t<br />
= f ϕ t = f x . (8.3.9)<br />
Ïîð³âíþþ÷è ñï³ââ³äíîøåííÿ (8.3.8) – (8.3.9), âïåâíþºìîñÿ<br />
ó ñïðàâåäëèâîñò³ ôîðìóëè (8.3.7).<br />
Çàóâàæåííÿ. Äðóãèé òèï ï³äñòàíîâêè ïîòðåáóº ï³ñëÿ<br />
³íòåãðóâàííÿ ïðàâî¿ ÷àñòèíè ïîâåðíåííÿ äî ñòàðî¿ çì³ííî¿.<br />
ßê â³äîìî, öå áóäå ãàðàíòîâàíî, ÿêùî áóäå ³ñíóâàòè îáåðíåíà<br />
ôóíêö³ÿ äëÿ ôóíêö³¿ x = ϕ(t).<br />
2 2<br />
Ïðèêëàä 8.3.6. Çíàéòè ³íòåãðàë ∫ 7 − x dx .<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
∫<br />
⎡ x= 7sin t, dx=<br />
7cos tdt;<br />
⎤<br />
2 2<br />
7 − xdx= ⎢<br />
⎥ =<br />
2 2<br />
⎢⎣<br />
7 − x = 7 cost = 7 cos t,cos t ≥0⎥⎦<br />
2 49 49 1<br />
x<br />
= 49∫cos tdt = ∫( 1+ cos 2 t)<br />
dt = ( t + sin 2 t) + C, t = arcsin .<br />
2 2 2 7<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Çíàéòè ³íòåãðàëè:<br />
8.8.<br />
dx<br />
∫ ; 8.9.<br />
x<br />
3 5<br />
∫<br />
dt<br />
3−<br />
4t<br />
2<br />
−<br />
; 8.10. ∫ cos3ϕd<br />
ϕ; 8.11. 2<br />
∫ e dx;<br />
x<br />
270 271
8.12. ∫ sin( ax + b)<br />
dx ; 8.13.<br />
∫<br />
dx<br />
5x<br />
4<br />
+ ; 8.14. ∫ ( α− ) 8<br />
5 dα;<br />
dv<br />
8.15. ∫<br />
2<br />
v + 7<br />
; 8.16. 3dt<br />
dx<br />
∫ 2 ; 8.17. ∫<br />
5 t<br />
3<br />
(3x<br />
+ 2)<br />
;<br />
8.18.<br />
8.21.<br />
8.24.<br />
8.27.<br />
∫<br />
∫<br />
dx<br />
2x<br />
+ 5<br />
; 8.19. ∫ ctg 5xdx ; 8.20.<br />
cos xdx<br />
2sin x + 1<br />
; 8.22. sin 2xdx<br />
∫ ; 8.23.<br />
2<br />
1+<br />
sin x<br />
x<br />
edx<br />
∫<br />
3+<br />
4e<br />
∫<br />
x<br />
x<br />
3<br />
xdx<br />
4 4<br />
+ a<br />
; 8.25.<br />
; 8.28.<br />
∫<br />
∫<br />
xdx<br />
9 − x<br />
2<br />
xdx<br />
bx − a<br />
2 2 2<br />
; 8.26.<br />
; 8.29.<br />
2<br />
x<br />
∫ xsin dx ; 3<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
cos 2xdx<br />
( 2+<br />
sin2x) 3<br />
xdx<br />
x + ;<br />
2<br />
2 3<br />
a<br />
− x dx .<br />
2 2<br />
8.3.3. Ìåòîä ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè<br />
Íåõàé çàäàí³ äâ³ äèôåðåíö³éîâí³ ôóíêö³¿: u = u(x) ³<br />
v = v(x). Ðîçãëÿíåìî äîáóòîê y = uv. Çíàéäåìî<br />
dy = udv + vdu àáî d(uv) =udv + vdu. Óçÿâøè â³ä îáîõ ÷àñòèí<br />
îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ ³íòåãðàë, îòðèìàºìî<br />
àáî<br />
∫duv ( ) = ∫udv + ∫ vdu,<br />
uv = ∫udv + ∫vdu ⇒ ∫udv = uv −∫ vdu . (8.3.10)<br />
Öÿ ôîðìóëà íàçèâàºòüñÿ ôîðìóëîþ ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè.<br />
Âîíà âèêîðèñòîâóºòüñÿ åôåêòèâíî òîä³, êîëè ³íòåãðàë<br />
ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ ñïðîùóºòüñÿ ó ñåíñ³ ³íòåãðóâàííÿ.<br />
Íàïðèêëàä,<br />
x<br />
x<br />
⎡ x= u,<br />
dv=<br />
e dx⎤<br />
x x x x<br />
∫xe dx = ⎢<br />
xe e dx xe e C<br />
x ⎥ = − ∫ = − + .<br />
⎣du = dx,<br />
v = e ⎦<br />
;<br />
Çà äîïîìîãîþ ìåòîäà ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè çíàõîäÿòüñÿ<br />
³íòåãðàëè âèäó:<br />
1. ∫ P ( ) x<br />
n<br />
x e dx , äå P n (x) — ìíîãî÷ëåí n-ãî ñòåïåíÿ. Ôîðìóëà<br />
³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè â öüîìó âèïàäêó çàñòîñîâóºòüñÿ<br />
ïîñë³äîâíî:<br />
x<br />
Px ( ) = u, i= n, n− 1, K ,1, edx=<br />
dv.<br />
i<br />
2. ( ) ax +<br />
∫ P b<br />
n<br />
x e dx , ∫ Pn<br />
( x)sinxdx<br />
, ∫ Pn<br />
( x)cosxdx<br />
, ∫ Pn<br />
( x)sin( ax+<br />
b)<br />
dx ,<br />
∫ Pn<br />
( x)cos( ax+<br />
b)<br />
dx .<br />
×åðåç u ïîçíà÷àþòü P n (x), à ÷åðåç dv — âèðàç, ùî çàëèøèâñÿ<br />
ï³ä çíàêîì ³íòåãðàëà.<br />
Íàïðèêëàä,<br />
2<br />
2<br />
⎡ x = u dv = sin xdx⎤<br />
2<br />
∫x sin xdx = ⎢<br />
⎥ = − x cos x + 2∫xcos<br />
xdx =<br />
⎣du = 2xdx v = −cosx<br />
⎦<br />
⎡ x = u dv = cos xdx⎤<br />
= ⎢<br />
= − cos + 2 sin + 2 cos +<br />
du = dx v = sin x<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
2<br />
x x x x x C<br />
3. ∫ Pn<br />
( x)lnxdx<br />
. Òóò ñë³ä ïîêëàñòè ln x = u, P n (x)dx = dv.<br />
4. ∫ P ( )ln m<br />
n<br />
x xdx , äå m — ö³ëå äîäàòíå ÷èñëî, m > 1. ²íòåãðóºòüñÿ<br />
øëÿõîì ïîñë³äîâíîãî çàñòîñóâàííÿ ôîðìóëè ³íòåãðóâàííÿ<br />
÷àñòèíàìè:<br />
i<br />
ln x = u, i = m, m − 1, K ,1, Pn<br />
( x)<br />
dx = dv.<br />
Íàïðèêëàä,<br />
2<br />
⎡ ln x= u dv=<br />
xdx⎤<br />
2 2<br />
2 x<br />
2<br />
2 x 1<br />
xln xdx<br />
⎢<br />
⎥<br />
∫ = 1 x = ln x− 2lnx dx=<br />
⎢<br />
∫<br />
du = 2lnx dx v =<br />
⎥ 2 2 x<br />
⎢⎣<br />
x 2 ⎥⎦<br />
2<br />
⎡lnx= u dv=<br />
xdx⎤<br />
2 2 2<br />
x 2 x 2<br />
2 x x<br />
= ln x− xlnxdx ⎢<br />
⎥<br />
∫ = dx x = ln x− lnx+ + C<br />
2 ⎢du<br />
v ⎥<br />
.<br />
= = 2 2 4<br />
⎢⎣<br />
x 2 ⎥⎦<br />
.<br />
272 273
5. ∫ Pn<br />
( x)arcsin<br />
xdx . Öåé ³íòåãðàë ìîæíà âèðàçèòè ÷åðåç<br />
³íòåãðàë<br />
dx<br />
∫ Pm<br />
( x) , m = n+<br />
1,<br />
2<br />
1−<br />
x<br />
ÿêùî ïîêëàñòè arcsin x = u, dv = P n (x)dx.<br />
Àíàëîã³÷íî çíàõîäÿòüñÿ ³íòåãðàëè, ó ÿêèõ ï³ä çíàêîì ³íòåãðàëà<br />
ì³ñòÿòüñÿ ôóíêö³¿ arccos x, arctg x, arcctg x.<br />
ax<br />
6. ∫ e sin bx . Â ðåçóëüòàò³ äâîðàçîâîãî çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó<br />
³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè îòðèìàºìî ë³í³éíå ð³âíÿííÿ â³äíîñíî<br />
çàäàíîãî ³íòåãðàëà. Éîãî ðîçâ’ÿçîê äຠøóêàíèé ðåçóëüòàò.<br />
Íàïðèêëàä,<br />
x<br />
x<br />
⎡ sin x = u dv = e dx⎤<br />
x x<br />
∫e sin xdx = ⎢<br />
e sin x e cos xdx<br />
x ⎥ = − ∫<br />
=<br />
⎣du = cos xdx v = e ⎦<br />
x<br />
⎡ cos x = u dv = e dx⎤<br />
x x x<br />
= ⎢<br />
e sin x e cos x e sin xdx<br />
x ⎥ = − − ∫<br />
⇒<br />
⎣du =− sin xdx v = e ⎦<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Çíàéòè ³íòåãðàëè.<br />
8.30.<br />
8.33.<br />
x 1 x<br />
⇒ ∫ e sin xdx = e ( sin x− cos x)<br />
+ C .<br />
2<br />
∫ x<br />
3 ln xdx ; 8.31. ∫ arcsin xdx ; 8.32. ∫ xarctg<br />
xdx ;<br />
2 −2x<br />
∫ ( x + 1) e dx ; 8.34.<br />
x<br />
∫ xe dx ; 8.35. ∫ xln( x−1)<br />
dx ;<br />
ax<br />
x<br />
ax<br />
8.36. ∫ e sin bxdx ; 8.37. ∫ e cos xdx ; 8.38. ∫ e cos bxdx .<br />
8.4. ²ÍÒÅÃÐÓÂÀÍÍß ÐÀÖ²ÎÍÀËÜÍÈÕ<br />
ÔÓÍÊÖ²É<br />
8.4.1. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ ïðî ðàö³îíàëüí³ ôóíêö³¿<br />
Äî êëàñó ðàö³îíàëüíèõ ôóíêö³é â³äíîñÿòüñÿ ôóíêö³¿, ÿê³<br />
ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³ â³äíîøåííÿ äâîõ ìíîãî÷ëåí³â<br />
(äðîáó):<br />
R<br />
mn<br />
( x)<br />
( x)<br />
pm<br />
( x) = ,<br />
q<br />
1<br />
äå ( ) m m−<br />
pm<br />
x = a0x + ax<br />
1<br />
+ ... + am<br />
— ìíîãî÷ëåí ñòåïåíÿ m,<br />
1<br />
( ) n n−<br />
qn<br />
x = b0x + b1x + ... + b — ìíîãî÷ëåí ñòåïåíÿ n. ²íêîëè ðàö³îíàëüí³<br />
ôóíêö³¿ íàçèâàþòü äðîáîâî-ðàö³îíàëüíèìè. Ïðè öüîìó<br />
n<br />
êàæóòü, ùî äð³á º ïðàâèëüíèé, ÿêùî m < n.  ïðîòèâíîìó ðàç³<br />
(m ≥ n) êàæóòü, ùî â³äïîâ³äíèé äð³á º íåïðàâèëüíèé. Ïåâíà ð³÷,<br />
ùî ìíîãî÷ëåíè íàëåæàòü êëàñó ðàö³îíàëüíèõ ôóíêö³é ³ íàçèâàþòüñÿ<br />
âîíè ùå ö³ëèìè ðàö³îíàëüíèìè ôóíêö³ÿìè.  çàãàëüíîìó<br />
âèïàäêó øëÿõîì ä³ëåííÿì “ñòîâï÷èêîì” áóäü-ÿêèé íåïðàâèëüíèé<br />
äð³á ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³ ñóìè ìíîãî÷ëåíà<br />
³ ïðàâèëüíîãî äðîáó. Òàêèì ÷èíîì, ïðîáëåìà ³íòåãðóâàííÿ<br />
çâîäèòüñÿ äî ³íòåãðóâàííÿ ìíîãî÷ëåí³â ³ ïðàâèëüíèõ äðîá³â.<br />
8.4.2. ²íòåãðóâàííÿ ìíîãî÷ëåí³â<br />
Ö³ëà ðàö³îíàëüíà ôóíêö³ÿ (ìíîãî÷ëåí) ³íòåãðóºòüñÿ áåçïîñåðåäíüî:<br />
n n− 1 a0 n+<br />
1 a1<br />
n<br />
∫( a0x + a1x + K+ an)<br />
dx = x + x + K + anx+<br />
C .<br />
n+<br />
1 n<br />
8.4.3. ²íòåãðóâàííÿ äðîáîâî-ðàö³îíàëüíèõ ôóíêö³é<br />
 ïîâíîìó êóðñ³ âèùî¿ àëãåáðè äîâîäèòüñÿ, ùî ïðàâèëüíèé<br />
ðàö³îíàëüíèé äð³á ðîçêëàäàºòüñÿ íà åëåìåíòàðí³ äîäàíêè,<br />
ÿê³ çàâæäè ³íòåãðóþòüñÿ. Ö³ äîäàíêè ìîæóòü áóòè òàêèõ<br />
äâîõ âèä³â:<br />
A Mx+<br />
N<br />
,<br />
m<br />
2<br />
( x− a) ( x + px+<br />
q)<br />
äå m ³ n — ö³ë³ äîäàòí³ ÷èñëà.<br />
n<br />
n<br />
,<br />
274 275
Ïåðøèé òèï äîäàíê³â ³íòåãðóºòüñÿ äîñòàòíüî ïðîñòî:<br />
( x−<br />
a)<br />
− m+<br />
1<br />
⎧<br />
A ⎪ A + C, m≠1;<br />
∫ dx =<br />
m ⎨ − m + 1<br />
( x− a)<br />
⎪<br />
⎩ Aln x− a + C, m=<br />
1.<br />
Ùîäî ³íòåãðàë³â â³ä äîäàíê³â äðóãîãî òèïó, òî âîíè çà<br />
p<br />
äîïîìîãîþ ï³äñòàíîâêè t = x + çâîäÿòüñÿ äî òàáëè÷íèõ<br />
2<br />
³íòåãðàë³â òà ³íòåãðàë³â ñïåö³àëüíî¿ ñòðóêòóðè, à ñàìå:<br />
dt<br />
I = ∫ , a ≠0, n∈N.<br />
n<br />
2 2<br />
( t + a )<br />
Ïðè n = 1 ìàºìî òàáëè÷íèé ³íòåãðàë:<br />
n<br />
dt 1 t<br />
I = 1 ∫ 2 2 arctg C .<br />
t + a<br />
= a a<br />
+<br />
À òåïåð ïðè íàòóðàëüíèõ n > 1 îòðèìàºìî ðåêóðåíòíó<br />
ôîðìóëó:<br />
−n<br />
2 2<br />
( ) , ⎤<br />
2<br />
⎥<br />
2n<br />
−n−1<br />
2 2<br />
⎥<br />
∫<br />
( ) ( ) ( )<br />
⎡<br />
dt u = t + a dv = dt t t<br />
In =<br />
⎢<br />
∫ = = + =<br />
n n n 1<br />
2 2 ⎢<br />
+<br />
2 2 2 2<br />
( t + a ) ⎢du =− 2 nt t + a dt,<br />
v = t⎥<br />
t + a t + a<br />
⎣<br />
⎦<br />
+ −<br />
= + = + ⋅ − ⋅<br />
Çâ³äñè<br />
2 2 2<br />
t t a a t<br />
2<br />
2n 2<br />
n<br />
2<br />
n 1.<br />
n ∫ dt n I na I<br />
n n<br />
+<br />
( 2 2 ) ( 2 2 + 1<br />
t + a t + a ) ( t 2 + a<br />
2<br />
)<br />
I<br />
t 2n−1 = + In<br />
.<br />
2na t a 2na<br />
( + )<br />
n+<br />
1<br />
2 2 2<br />
n 2<br />
ϳäñóìîâóþ÷è âèùåñêàçàíå ìîæíà êîíñòàòóâàòè, ùî ðàö³îíàëüí³<br />
ôóíêö³¿ çàâæäè ³íòåãðóþòüñÿ â åëåìåíòàðíèõ<br />
ôóíêö³ÿõ. Ïðàêòè÷íå çä³éñíåííÿ öüîãî ôàêòó çâîäèòüñÿ äî<br />
ïðîáëåìè ðîçêëàäàííÿ ïðàâèëüíîãî ðàö³îíàëüíîãî äðîáó íà<br />
åëåìåíòàðí³ äîäàíêè. Äëÿ öüîãî ïîòð³áíî:<br />
à) ðîçêëàñòè çíàìåííèê q n (x) íà íàéïðîñò³ø³ ìíîæíèêè.<br />
 çàãàëüíîìó âèïàäêó öå ðîçêëàäàííÿ ìîæå ì³ñòèòè ñòåïåí³<br />
ë³í³éíèõ ³ êâàäðàòè÷íèõ ìíîæíèê³â<br />
q x a x a x b x px q x ex d ;<br />
2 2<br />
( ) =<br />
0<br />
( − ) m K( − ) k ( + + ) s K( + + )<br />
r<br />
n<br />
á) çàïèñàòè ðîçêëàäàííÿ äàíîãî äðîáó íà åëåìåíòàðí³<br />
äîäàíêè äðîáó â òàêîìó âèãëÿä³:<br />
( ) A1 A2 B1 B2<br />
p x A B<br />
q x = x a + + K+ + K+ x b<br />
+ + K+<br />
+<br />
m m k<br />
2 m<br />
2<br />
k<br />
n<br />
( ) − ( x−a) ( x−a) − ( x−b) ( x−b)<br />
Mx<br />
1<br />
+ N1 Mx<br />
2<br />
+ N2 Mx<br />
s<br />
+ Ns<br />
Cx<br />
1<br />
+ D1<br />
+ + + K+ + K+ +<br />
2 2 2 2 s<br />
2<br />
x + px+ q ( x + px+ q) ( x + px+ q)<br />
x + ex+<br />
d<br />
Cx<br />
2<br />
+ C2<br />
Cx<br />
r<br />
+ Dr<br />
+ + K +<br />
2 2 2<br />
r<br />
( x + ex+ d) ( x + ex+<br />
d)<br />
,<br />
äå A 1 , ..., B 1 , ..., C 1 , ..., D 1 , ..., D r — äåÿê³ ñòàë³.<br />
Ïðè öüîìó äëÿ êîæíîãî ìíîæíèêà â ðîçêëàäàíí³ çíàìåííèêà<br />
q n (x) âèïèñóºòüñÿ ñò³ëüêè åëåìåíòàðíèõ äîäàíê³â<br />
(äðîá³â), ÿêà éîãî êðàòí³ñòü (m, k, s, r, ...).<br />
Çíàìåííèêàìè åëåìåíòàðíèõ äðîá³â º âñ³ ö³ë³ ñòåïåí³<br />
êîæíîãî ìíîæíèêà â ðîçêëàäàíí³, ïî÷èíàþ÷è ç ïåðøîãî<br />
ñòåïåíÿ ³ çàê³í÷óþ÷è òèì ñòåïåíåì, êîòðèé ìíîæíèê ìຠó<br />
ðîçêëàäàíí³ q n (x). ×èñåëüíèêàìè åëåìåíòàðíèõ äðîá³â ìîæóòü<br />
áóòè ñòàë³ A 1 , A 2 , ... àáî ë³í³éí³ ôóíêö³¿ M 1 x + N 1 , ...,<br />
âèõîäÿ÷è ç òîãî, ÷è º çíàìåííèê äðîáó äåÿêèì ñòåïåíåì<br />
ë³í³éíî¿ àáî êâàäðàòè÷íî¿ ôóíêö³¿;<br />
â) çâ³ëüíèòèñÿ â³ä çíàìåííèê³â, ïîìíîæóþ÷è îáèäâ³ ÷àñòèíè<br />
ð³âíîñò³ íà q n (x);<br />
ã) ñêëàñòè ñèñòåìó ð³âíÿíü, ïîð³âíþþ÷è êîåô³ö³ºíòè ïðè<br />
îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ x â îáîõ ÷àñòèíàõ îòðèìàíî¿ òîòîæíîñò³.<br />
×èñëî öèõ ð³âíÿíü äîð³âíþº ÷èñëó íåâ³äîìèõ A 1 , ..., B 1 ,<br />
..., C 1 , ..., D 1 , ..., D r ;<br />
276 277
ä) ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó ³ ï³äñòàâèòè çíàéäåí³ çíà÷åííÿ A 1 ,<br />
..., B 1 , ..., C 1 , ..., D 1 , ..., D r äî â³äïîâ³äíî¿ ôîðìóëè ðîçêëàäàííÿ.<br />
ϳñëÿ ðîçêëàäàííÿ íà åëåìåíòàðí³ äîäàíêè äðîáó, ³íòåãðóâàííÿ<br />
óñÿêîãî ïðàâèëüíîãî ðàö³îíàëüíîãî äðîáó çâîäèòüñÿ<br />
äî çíàõîäæåííÿ ³íòåãðàë³â âèäó:<br />
dx<br />
Mx + N<br />
I1<br />
= ∫ ³ I<br />
( x−<br />
a) m 2<br />
= ∫<br />
dx<br />
2<br />
,<br />
( x + px+<br />
q) n<br />
ïðî ÿê³ âæå éøëîñÿ.<br />
Ïðèêëàä 8.4.1. Çíàéòè ³íòåãðàë:<br />
∫<br />
− 4 + 3 + 6 −1<br />
dx .<br />
x − 5x + 6x<br />
4<br />
x<br />
3<br />
x<br />
2<br />
x x<br />
3 2<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïðèâîäèìî íåïðàâèëüíèé äð³á äî ïðàâèëüíîãî<br />
çà äîïîìîãîþ ä³ëåííÿ çâè÷àéíèì “ñòîâï÷èêîì”<br />
x 4 − 3 2 2<br />
4 x + 3 x + 6 x− 1 2 1<br />
= x + 1+<br />
x −<br />
− 5 + 6 − 5 + 6<br />
à) ðîçêëàäàºìî çíàìåííèê íà ìíîæíèêè<br />
3 2 3 2<br />
x x x x x x<br />
3 2 3<br />
x − 5x + 6 x = x( x − 5x+ 6) = x( x−2)( x− 3) ;<br />
á) çàïèñóºìî ðîçêëàäàííÿ ðàö³îíàëüíîãî äðîáó<br />
2<br />
2x −1<br />
A B C<br />
= + +<br />
3 2<br />
;<br />
x − 5x + 6x<br />
x x−2 x−3<br />
â) çâ³ëüíÿºìîñÿ â³ä çíàìåííèê³â<br />
( ) ( ) ( )<br />
2 2 2 2<br />
2 1 5 6 3 2<br />
x − = A x − x+ + B x − x + C x − x ;<br />
ã) ñêëàäàºìî ñèñòåìó ð³âíÿíü, ïðèð³âíþþ÷è êîåô³ö³ºíòè<br />
ïðè îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ x çë³âà ³ ñïðàâà. À ñàìå:<br />
;<br />
ä) ðîçâ’ÿçóºìî îäåðæàíó ñèñòåìó çà ôîðìóëàìè Êðàìåðà<br />
1 1 1 2 1 1<br />
1 1 1 1<br />
∆= 5 3 2 = 6 =−6, ∆<br />
A<br />
= 0 3 2 =− = 1,<br />
3 2 3 2<br />
6 0 0 −1 0 0<br />
1 2 1 1 1 2<br />
∆<br />
B<br />
= 5 0 2 = 21, ∆<br />
C<br />
= 5 3 0 =−34<br />
,<br />
6 −1 0 6 0 −1<br />
A 1 B 7 C 17<br />
A= ∆ =− , B = ∆ =− , C = ∆ = .<br />
∆ 6 ∆ 2 ∆ 3<br />
ßñíî, ùî ñèñòåìó ìîæíà ðîçâ’ÿçàòè é ³íøèìè ìåòîäàìè.<br />
Îñòàòî÷íî îòðèìàºìî<br />
x 4 3 2<br />
− 4 x + 3 x + 6 x −1 1 7 17<br />
∫ dx =<br />
3 2<br />
∫( x + 1)<br />
dx − ∫ dx − ∫ dx + ∫<br />
dx =<br />
x − 5x + 6x<br />
6 x 2 x−2 3 x−3<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
1 2 1 7 17<br />
= x + x− ln x − ln x− 2 + ln x− 3 + c .<br />
2 6 2 3<br />
Çíàéòè ³íòåãðàëè:<br />
8.39.<br />
8.41.<br />
∫<br />
∫<br />
2<br />
xdx<br />
( x+ 1) ( x+<br />
4)<br />
2 2<br />
4<br />
xdx<br />
2<br />
( x − 1)( x+<br />
2)<br />
; 8.40.<br />
; 8.42.<br />
3x<br />
+ 2<br />
∫<br />
x x<br />
( + 1) 3<br />
5<br />
xdx<br />
3<br />
∫<br />
x − 1<br />
;<br />
dx ;<br />
2<br />
x : ⎧ A+ B+ C = 2,<br />
1 ⎪<br />
x : ⎨5A+ 3B+ 2C<br />
= 0,<br />
0<br />
x : ⎪<br />
⎩ 6A=−1;<br />
8.43.<br />
∫<br />
x +<br />
4<br />
3<br />
2<br />
8<br />
3<br />
x +<br />
2<br />
x + x<br />
dx ; 8.44.<br />
∫<br />
x + x +<br />
4 2<br />
x + 3x<br />
5 3<br />
2 6 1<br />
dx .<br />
278 279
8.5. ²ÍÒÅÃÐÓÂÀÍÍß ÄÅßÊÈÕ<br />
²ÐÐÀÖ²ÎÍÀËÜÍÈÕ ÔÓÍÊÖ²É<br />
²ððàö³îíàëüí³ ôóíêö³¿ ³íòåãðóþòüñÿ â åëåìåíòàðíèõ<br />
ôóíêö³ÿõ ò³ëüêè ó äåÿêèõ ïåâíèõ âèïàäêàõ. Íàéá³ëüø çàñòîñîâóþòüñÿ<br />
òàê³ âèäè ³íòåãðàë³â â³ä ³ððàö³îíàëüíèõ ôóíêö³é,<br />
ÿê³ âèðàæàþòüñÿ ÷åðåç åëåìåíòàðí³ ôóíêö³¿.<br />
α β<br />
8.5.1. ²íòåãðàëè âèäó ∫ Rxx ( , , x, K)<br />
dx<br />
(R — ðàö³îíàëüíà ôóíêö³ÿ,<br />
2<br />
β= , ... — ðàö³îíàëüí³<br />
÷èñëà).<br />
m<br />
n<br />
1<br />
α= ,<br />
1<br />
m<br />
n<br />
Óêàçàí³ ³íòåãðàëè çâîäÿòüñÿ äî ³íòåãðàë³â â³ä ðàö³îíàëüíèõ<br />
ôóíêö³é ³, îòæå, âèðàæàþòüñÿ â åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³ÿõ<br />
çà äîïîìîãîþ ï³äñòàíîâêè x = t k , äå k — çàãàëüíèé çíàìåííèê<br />
óñ³õ äðîáîâèõ ïîêàçíèê³â ó x.<br />
²íòåãðàëè á³ëüø çàãàëüíîãî âèäó<br />
( ,( ) α<br />
β<br />
+ ,( + ) , K)<br />
∫ R x ax b ax b dx<br />
α<br />
β<br />
⎛ ⎛ax + b ⎞ ⎛ax + b ⎞ ⎞<br />
àáî ∫ R x, ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , K<br />
dx<br />
⎜ ⎝cx + d ⎠ ⎝cx + d ⎠ ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
çíàõîäÿòüñÿ (çâîäÿòüñÿ äî ðàö³îíàëüíîãî âèäó) çà äîïîìîãîþ<br />
àíàëîã³÷íèõ ï³äñòàíîâîê: ax + b = t àáî = t .<br />
k ax + b k<br />
cx + d<br />
8.5.2. ²íòåãðàëè ç ðàäèêàëàìè<br />
Äî ³íòåãðàë³â â³ä ôóíêö³é, ùî ðàö³îíàëüíî çàëåæàòü â³ä<br />
òðèãîíîìåòðè÷íèõ ôóíêö³é, çâîäÿòüñÿ ³íòåãðàëè:<br />
( ,<br />
2<br />
−<br />
2)<br />
( ,<br />
2<br />
+<br />
2)<br />
( ,<br />
2<br />
−<br />
2)<br />
∫ R x a x dx — ï³äñòàíîâêîþ x = a sin t;<br />
∫ R x a x dx — ï³äñòàíîâêîþ x = a tg t;<br />
∫ R x x a dx — ï³äñòàíîâêîþ x = a sec t.<br />
2<br />
Ïðèêëàä 8.5.1. Çíàéòè ³íòåãðàë:<br />
∫<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
dx<br />
x +<br />
6 5 3 3<br />
dx ⎡x = t , dx = 6 t dt; ⎤ t t + 1−1<br />
2<br />
∫ = ⎢<br />
⎥ = 6∫ dt = 6∫ dt = 6∫( t − t + 1)<br />
dt −<br />
3 3 3 2<br />
x + x ⎢⎣<br />
x = t , x = t ⎥⎦<br />
t+ 1 t+<br />
1<br />
− dt 3 2 3 6 6<br />
6∫<br />
2 3 6 6ln 1 2 3 6 6ln 1<br />
1<br />
= t − t + t − t + + C<br />
+<br />
= x − x + x − x + + C .<br />
t<br />
Ïðèêëàä 8.5.2. Çíàéòè ³íòåãðàë:<br />
∫<br />
2<br />
( ) 3<br />
3<br />
.<br />
x<br />
4 − x ⎡x = 2sin t, dx = 2cos tdt,<br />
⎤<br />
dx = =<br />
6 ⎢<br />
⎥<br />
2<br />
x ⎢⎣<br />
4− x = 2cos t.<br />
⎥⎦<br />
2<br />
( − ) 3<br />
t 4 4<br />
t t<br />
4 4sin 1 cos 1 ctg<br />
= ∫ 2costdt =<br />
6 ∫ dt =<br />
6 ∫ dt =<br />
2<br />
64sin t 4 sin t 4 sin t<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
∫<br />
2<br />
( 4 − x ) 5<br />
1 1<br />
td t t C C .<br />
4 20 20x<br />
4 5<br />
=− ∫ ctg ctg =− ctg + =− +<br />
5<br />
( −1)<br />
dx d x<br />
= ∫<br />
= ln x− 1+ ( x−1) 2<br />
− 1 + C<br />
2 2<br />
.<br />
x − 2x x −1 −1<br />
Çíàéòè ³íòåãðàëè:<br />
8.45.<br />
∫<br />
dx<br />
3<br />
( 1+<br />
x )<br />
( )<br />
1 x − 2<br />
; 8.46.<br />
x ∫ x 3−<br />
xdx ; 8.47. ∫ dx ;<br />
x x<br />
280 281
8.48.<br />
∫<br />
dx<br />
2<br />
( 5 − x ) 3<br />
8.51. 2 2<br />
∫ x 4 − x dx .<br />
; 8.49.<br />
∫<br />
2<br />
2<br />
xdx<br />
2<br />
x + 2x+ 3<br />
; 8.50. x + 4x<br />
∫<br />
dx ;<br />
2<br />
x + 2x+<br />
2<br />
8.6. ²ÍÒÅÃÐÓÂÀÍÍß ÂÈÐÀÇ²Â Ç ÒÐÈÃÎÍÎ-<br />
ÌÅÒÐÈ×ÍÈÌÈ ÔÓÍÊÖ²ßÌÈ<br />
Äî ³íòåãðàë³â â³ä ðàö³îíàëüíèõ ôóíêö³é çâîäÿòüñÿ òàê³<br />
³íòåãðàëè â³ä òðèãîíîìåòðè÷íèõ âèðàç³â, äå R — ðàö³îíàëüíà<br />
ôóíêö³ÿ:<br />
1. ∫ R( sin x,cos<br />
x)<br />
dx — óí³âåðñàëüíîþ òðèãîíîìåòðè÷íîþ<br />
2<br />
x<br />
2z<br />
1 − z<br />
ï³äñòàíîâêîþ z = tg . Ïðè öüîìó sin x =<br />
2<br />
2 , cosx<br />
=<br />
2 ,<br />
1 + z<br />
1 + z<br />
2dz<br />
dx = (äèâ. äîä. 2).<br />
2<br />
1 + z<br />
2. ∫ R( tg x)<br />
dx — ï³äñòàíîâêîþ z =tgx. Ïðè öüîìó<br />
dz<br />
x = arctg z, dx =<br />
2 .<br />
1 + z<br />
 îêðåìèõ âèïàäêàõ:<br />
∫ R( sin x)<br />
cos xdx ï³äñòàíîâêîþ t = sin x çâîäèòüñÿ äî ∫ Rtdt () ;<br />
∫ R( cos x)<br />
sin xdx ï³äñòàíîâêîþ t = cos x çâîäèòüñÿ äî ∫ Rtdt () .<br />
²íòåãðàëè â³ä äîáóòêó ñèíóñà ³ êîñèíóñà ∫ sin px cos qxdx ,<br />
∫ cos px cos qxdx , ∫ sin pxsin<br />
qxdx çíàõîäÿòüñÿ çà ôîðìóëàìè ³íòåãðóâàííÿ<br />
ï³ñëÿ çàñòîñóâàííÿ â³äîìèõ ç êóðñó ìàòåìàòèêè<br />
ñåðåäíüî¿ øêîëè ôîðìóë:<br />
1<br />
sin xcos y = ( sin ( x + y) + sin ( x − y)<br />
),<br />
2<br />
1<br />
sin xsin y = ( cos( x − y) − cos( x + y)<br />
),<br />
2<br />
1<br />
cos xcos y = ( cos ( x + y) + cos ( x − y)<br />
).<br />
2<br />
²íòåãðàëè, ùî ì³ñòÿòü äîáóòîê ñèíóñ³â ³ êîñèíóñ³â â ö³ëèõ<br />
ñòåïåíÿõ ∫ sin xcos<br />
xdx , çðó÷íî ³íòåãðóâàòè, âèêîðèñòî-<br />
m n<br />
âóþ÷è òàê³ ï³äñòàíîâêè:<br />
1) ÿêùî m ³ n — äîäàòí³ àáî â³ä’ºìí³ ³ n — íåïàðíå, òî<br />
t = sin x; ÿêùî m — íåïàðíå, òî t = cos x;<br />
2) ÿêùî m ³ n — ïàðí³ ³ îäíå ³ç íèõ â³ä’ºìíå àáî îäíàêîâî¿<br />
ïàðíîñò³ ³ â³ä’ºìí³, òî t =tgx.<br />
x<br />
³äçíà÷èìî òàêîæ, ùî ³íòåãðàëè âèãëÿäó ∫ Re ( ) dx ï³äñòàíîâêîþ<br />
z = e x (ïðè öüîìó x =lnz, dx = ) çâîäÿòüñÿ äî ³í-<br />
dz<br />
z<br />
òåãðàë³â â³ä ðàö³îíàëüíèõ ôóíêö³é.<br />
Ïðèêëàäè 8.6.1 – 8.6.5.<br />
8.6.1.<br />
8.6.2.<br />
d( z+<br />
2)<br />
( )<br />
dx ⎡ x⎤<br />
2dz<br />
∫ = z = tg = ∫ = 2<br />
2 ∫<br />
=<br />
2<br />
2sinx− cosx ⎢<br />
2<br />
⎥<br />
⎣ ⎦ z + 4z−1 z + 2 −5<br />
x<br />
2− 5 + tg<br />
1 z + 2−<br />
5 1<br />
= ln<br />
+ C = ln<br />
2<br />
+ C.<br />
5 z + 2+ 5 5 x<br />
2+ 5 + tg<br />
2<br />
4<br />
( −1)<br />
3<br />
tgxdx<br />
z dz 1 dz<br />
∫ = tg<br />
2 ⎣⎡z= x⎦⎤= ∫ =<br />
4 ∫ =<br />
4<br />
1−ctg<br />
x z −1 4 z −1<br />
1 4 1 4<br />
= ln z − 1 + C = ln tg x − 1 + C.<br />
4 4<br />
2 2<br />
2<br />
cos x 1 ⎛ 1 ⎞ dt 1+<br />
t<br />
∫ dx = t = tgx = 1+ = =<br />
6 ∫ 2 ⎜ 2 ⎟ 2 ∫ dt<br />
6<br />
sin x t ⎝ t ⎠ 1+<br />
t t<br />
8.6.3. [ ]<br />
282 283
6 4 1 1 1 5 1 3<br />
= ∫t − dt+ ∫t − dt = − − + C = C− tg<br />
− x−<br />
tg<br />
− x .<br />
5 3<br />
5t<br />
3t<br />
5 3<br />
(m, n — ö³ë³, m < 0 (äîð³âíþº –6))<br />
2<br />
+ −<br />
2<br />
8.6.4. ( t ) ( t )<br />
5 3 1 3<br />
2 2 2 4 6<br />
dx 1+ 1+ 1+ 3t + 3t + t<br />
∫ = dt dt dt<br />
5 3 ∫ =<br />
5 ∫ =<br />
5 ∫<br />
=<br />
5<br />
sin xcos<br />
x t t t<br />
1<br />
= + + + =<br />
m =− n =− ⇒ t = x t<br />
−5 −3<br />
3 3<br />
5, 3 tg<br />
∫t dt ∫t dt ∫ dt ∫tdt<br />
1 1 1 −4 3 −2 1 2<br />
3ln<br />
2<br />
1<br />
1+ ctg x<br />
4 2 2<br />
⎛ 1 ⎞2<br />
⎜ +<br />
2 ⎟<br />
⎝ t ⎠<br />
1 1<br />
x = =<br />
2<br />
1<br />
1+<br />
tg x<br />
2 2<br />
( 1+<br />
t )<br />
dt<br />
= +<br />
sin x = = =− t − t + t + t + C =<br />
cos<br />
dx<br />
1<br />
t<br />
8.6.5.<br />
2<br />
1 1 3 1<br />
= x+ x − x− x+<br />
C<br />
2 2 4<br />
2 2 4<br />
tg 3ln tg ctg ctg .<br />
3x<br />
3 2<br />
e dx x z dz z dz ⎛ 1 ⎞<br />
∫ = ⎡z = e ⎤ = 1 dz<br />
2x<br />
∫ = ∫ = − =<br />
2 2<br />
e + 1 ⎣ ⎦<br />
z z + 1<br />
∫⎜<br />
z + 1<br />
⎟<br />
+ ⎝ ⎠<br />
2<br />
( z 1)<br />
dz<br />
x<br />
x<br />
= ∫dz − ∫ = z − arctgz + C = e − arctge + C<br />
2<br />
.<br />
z + 1<br />
8.58.<br />
8.61.<br />
8.64.<br />
dx<br />
∫<br />
1+<br />
tgx<br />
2t<br />
t<br />
e − 2e ∫ 2t<br />
dt<br />
1+<br />
e<br />
⎛<br />
∫ ⎜<br />
⎝N<br />
+ 1<br />
; 8.59. 5<br />
∫ sin xdx<br />
; 8.60. ∫ cos 6 xdx ;<br />
3<br />
; 8.62. ∫ cos xsin<br />
xdx ; 8.63. ∫ cos xcos 7xdx ;<br />
+<br />
N<br />
x N M N 2<br />
+ + + M dx<br />
N + 1 N<br />
⎟<br />
X<br />
x<br />
⎞<br />
⎠<br />
−<br />
; 8.65. ( ) 7<br />
∫ Nx + M dx ;<br />
8.66. ∫ dx<br />
2 2<br />
sin Nx cos Nx<br />
; 8.67. N<br />
sin cos<br />
2 N+<br />
∫ x<br />
1 xdx;<br />
2 2<br />
2 2<br />
8.68. ∫ N − x dx; 8.69. ∫ sin x N − cos x dx;<br />
8.70.<br />
8.73.<br />
3x<br />
e dx<br />
∫ x<br />
e + N<br />
∫<br />
2<br />
xdx<br />
; 8.71. ∫<br />
2 4 ; 8.72.<br />
N − x<br />
( Mx + )<br />
x<br />
N<br />
∫ dx ;<br />
x<br />
N dx<br />
2 2<br />
x + 2Nx + N + 1<br />
; 8.74. dx<br />
∫<br />
;<br />
Mcos x + Nsin<br />
x<br />
8.75. ∫ sin Mx cos Nxdx ; 8.76. ∫ cos Mx cos Nx dx ;<br />
N<br />
8.77. ∫ x ln( Mx)<br />
dx; 8.78. ∫ xsin( Nx)<br />
dx;<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Çíàéòè ³íòåãðàëè:<br />
8.52.<br />
8.55.<br />
cos x<br />
∫ dx ;<br />
1+<br />
cosx<br />
8.53.<br />
dx<br />
∫<br />
;<br />
4cosx<br />
+ 3sinx<br />
8.56.<br />
dx<br />
dx<br />
∫ ; 8.54. ∫ ;<br />
3<br />
sin7x<br />
sin x<br />
x<br />
e −1<br />
∫ dx<br />
x<br />
e + 1<br />
; 8.57. 5<br />
∫ tg xdx ;<br />
8.79. ∫ xcos<br />
Mxdx; 8.80.<br />
2<br />
Mx + Nx + ( M + N)<br />
∫<br />
;<br />
( x −1)( x −2)( x −3)<br />
dx<br />
( Mx + N)<br />
dx<br />
( Mx + N)<br />
dx<br />
8.81. ∫ 3 2 ; 8.82. ∫ 2 2 2 .<br />
x − ( M + N)<br />
x + MNx<br />
( x + 5 )<br />
Ïðèì³òêà. Ïðè âèêîíàíí³ âïðàâ 8.64 – 8.78 ÷èòà÷ ïîâèíåí<br />
çàì³ñòü ïàðàìåòð³â N ³ M ï³äñòàâèòè â³äïîâ³äíî ÷èñëî<br />
³ ì³ñÿöü äàòè ñâîãî íàðîäæåííÿ.<br />
284 285
ÒÅÌÀ 9<br />
ÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÉ ²ÍÒÅÃÐÀË<br />
9.1. ÇÀÄÀײ, ßʲ ÏÐÈÂÎÄßÒÜ ÄÎ<br />
ÏÎÍßÒÒß ÂÈÇÍÀ×ÅÍÎÃÎ ²ÍÒÅÃÐÀËÀ<br />
9.1.1. Çàäà÷à ïðî ïëîùó êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿<br />
Íåõàé íà ñåãìåíò³ [à, b] çàäàíî ôóíêö³þ ó = f(x) ≥ 0. Ô³ãóðà<br />
aÀÂb (ðèñ. 9.1), ÿêà îáìåæåíà ãðàô³êîì äàíî¿ ôóíêö³¿<br />
³ â³äð³çêàìè ïðÿìèõ y =0, õ = à, õ = b, íàçèâàºòüñÿ êðèâîë³í³éíîþ<br />
òðàïåö³ºþ. Òðåáà îá÷èñëèòè ïëîùó ö³º¿ òðàïåö³¿,<br />
òîáòî çíàéòè S aABb . Íàâåäåíà íàçâà ïîÿñíþºòüñÿ òèì, ùî<br />
ÿêáè ìè ç’ºäíàëè òî÷êè À òà  ïðÿìîþ, òî ô³ãóðà aÀÂb<br />
ïåðåòâîðèëàñÿ á ó çâè÷àéíó òðàïåö³þ. À îñê³ëüêè òî÷êè À<br />
òà  璺äíàí³ êðèâîþ, òî ô³ãóðà aÀÂb íàçèâàºòüñÿ êðèâîë³í³éíîþ<br />
òðàïåö³ºþ.<br />
Ïåðåéäåìî òåïåð äî ïðîáëåìè îá÷èñëåííÿ ïëîù³ êðèâîë³í³éíî¿<br />
òðàïåö³¿. Îá÷èñëåííÿ çâè÷àéíî¿ òðàïåö³¿ íå º ïðîáëåìîþ,<br />
à îò îá÷èñëåííÿ êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿ º ïðîáëåìîþ.<br />
Ñïðàâà â òîìó, ùî ïðîáëåìà ñóòòºâî óñêëàäíþºòüñÿ<br />
òèì, ùî ë³í³ÿ À íå º ïðÿìîþ, à º äîâ³ëüíîþ êðèâîþ ë³í³ºþ.<br />
Òîìó ñïî÷àòêó çíàéäåìî íàáëèæåíî ïëîùó êðèâîë³í³éíî¿<br />
òðàïåö³¿ aÀÂb (ðèñ. 9.1). Ç ö³ºþ ìåòîþ çðîáèìî òàê: ðîç³á’ºìî<br />
ñåãìåíò [à, b] çà äîïîìîãîþ äîâ³ëüíî îáðàíèõ òî÷îê<br />
íà n ÷àñòèííèõ ñåãìåíò³â [x i-1 , x i ] (R: a = x 0 < x 1 …<br />
< x i-1 < x i ,…< x n = b) (i = 1, ..., n). Íà êîæíîìó ç íèõ â³çüìåìî<br />
äîâ³ëüíó òî÷êó ξ∈[x i-1 , õ i ] ³ ïîáóäóºìî ïðÿìîêóòíèê, îñíîâîþ<br />
ÿêîãî º â³äïîâ³äíèé ÷àñòèííèé ñåãìåíò, à âèñîòà äîð³âíþº<br />
f(ξ i ) (³ = 1, ..., n) (ðèñ. 9.2).<br />
Ç ðèñ. 9.2 âèäíî, ùî øóêàíà ïëîùà íàáëèæåíî äîð³âíþº<br />
ñóì³ ïëîù òàêîãî òèïó ïðÿìîêóòíèê³â, òîáòî<br />
( )<br />
n<br />
aABb<br />
≈ ξi ∆<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
S ∑ f x,<br />
(9.1.1)<br />
äå ∆ x = x − x − 1<br />
— äîâæèíà ñåãìåíòà [x i-1 , x i ].<br />
i i i<br />
Ðèñ. 9.1<br />
Ðèñ. 9.2<br />
Òåïåð ïåðåéäåìî äî äóæå âàæëèâîãî ìîìåíòó. Íàñòàâ<br />
÷àñ, êîëè òðåáà ïîÿñíèòè, ùî ìè áóäåìî ðîçóì³òè ï³ä ïëîùåþ<br />
êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿ aÀÂb. ßñíî, ùî öå âàæëèâå<br />
ïîíÿòòÿ ïîâ’ÿçàíî ç òî÷í³ñòþ íàáëèæåíî¿ ôîðìóëè (9.1.1).<br />
Äëÿ ç’ÿñóâàííÿ öüîãî ìè ðîçãëÿíåìî îêðåìó êðèâîë³í³éíó<br />
ñìóãó x i-1 A i-1 A i x i (ðèñ. 9.3) ³ çàäàìî (äëÿ çðó÷íîñò³ îá´ðóíòóâàííÿ<br />
ïðîáëåìè) äîäàòêîâå îáìåæåííÿ (ïðèïóñòèìî, ùî<br />
ôóíêö³ÿ y = f(x) äèôåðåíö³éîâíà íà [a,b]).<br />
286 287
[ñ, b] ñåãìåíòà [a, b] ¿õ ìîæå çîâñ³ì íå áóòè. ßñíî, ùî ïðè<br />
òàêîìó çá³ëüøåíí³ n òî÷í³ñòü íàáëèæåíî¿ ôîðìóëè (9.1.1) º<br />
ïðîáëåìàòè÷íîþ. Îòæå, ãîëîâíèì â óòî÷íåíí³ ôîðìóëè<br />
(9.1.1) º òå, ùîá óñ³ ∆x i (i =1,n) áóëè ñïðÿìîâàí³ äî íóëÿ.<br />
Ðèñ. 9.3<br />
Ç ðèñ. 9.3 âèäíî, ùî ïëîùà åëåìåíòàðíî¿ êðèâîë³í³éíî¿<br />
ñìóãè x i-1 A i-1 A i x i á³ëüøà ïëîù³ ïðÿìîêóòíèêà x i-1 A i-1 B i x i ³ â<br />
ñâîþ ÷åðãó âîíà ìåíøà ïëîù³ ïðÿìîêóòíèêà x i-1 B i-1 A i x i , òîáòî<br />
ìຠì³ñöå ïîäâ³éíà íåð³âí³ñòü<br />
( ) ( )<br />
f xi− 1<br />
∆ xi < Si < f xi ∆ xi. (9.1.2)<br />
²ç ïîäâ³éíî¿ ð³âíîñò³ (9.1.2) âèïëèâຠòàêà:<br />
( −1) ( ( ) ( −1)<br />
)<br />
0 < S −f x ∆ x < f x − f x ∆ x . (9.1.3)<br />
i i i i i i<br />
Îñê³ëüêè çà ïðèïóùåííÿì ôóíêö³ÿ f(x) äèôåðåíö³éîâíà<br />
íà [a, b], òî íà ñåãìåíò³ [x i-1 , x i ] äî íå¿ ìîæíà çàñòîñóâàòè<br />
ôîðìóëó Ëàãðàíæà:<br />
( ) ( ) ( )<br />
i<br />
−<br />
i− 1<br />
= ′<br />
i<br />
∆<br />
i.<br />
f x f x f c x<br />
Âðàõîâóþ÷è öå, ïîäâ³éíà íåð³âí³ñòü (9.1.3) íàáóâຠâèãëÿäó:<br />
( ) ( )( ) 2<br />
1<br />
0 < S −f x ∆ x < f c ∆x<br />
.<br />
′<br />
i i− i i i<br />
Òåïåð ñòຠî÷åâèäíèì, ùî äëÿ òîãî ùîá óòî÷íèòè íàáëèæåíó<br />
ôîðìóëó, òðåáà, ùîá óñ³ âåëè÷èíè ∆x i çìåíøóâàëèñÿ.<br />
Çàóâàæèìî ïðè öüîìó, ùî çá³ëüøåííÿ ê³ëüêîñò³ n ÷àñòèííèõ<br />
cåãìåíò³â íà ñóòòºâå óòî÷íåííÿ ìîæå ³ íå âïëèíóòè<br />
(ðèñ. 9.4). ijéñíî, íà ÷àñòèí³ [a, c] ñåãìåíòà [a, b] òî÷îê<br />
ðîçáèòòÿ R ìîæå áóòè ÿê çàâãîäíî áàãàòî, à íà ÷àñòèí³<br />
Ðèñ. 9.4<br />
ßê öå çä³éñíèòè? Ìîæíà çä³éñíèòè öå òàê: ââåñòè â ðîçãëÿä<br />
âåëè÷èíó ρ= max∆x i (ìàêñèìóì äîâæèíè óñ³õ ÷àñòèííèõ<br />
ñåãìåíò³â) ³ ñïðÿìóâàòè ¿¿ äî íóëÿ. Î÷åâèäíî, ùî ïðè<br />
i=<br />
1, n<br />
öüîìó óñ³ ∆x i ( i = 1, n) òåæ ïðÿìóþòü äî íóëÿ.<br />
Òåïåð ç’ÿñóºìî, ùî æ ìè áóäåìî ðîçóì³òè ï³ä ïëîùåþ<br />
êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿.<br />
Îçíà÷åííÿ 9.1.1. Çà ïëîùó êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿ áóäåìî<br />
ââàæàòè ãðàíèöþ ïîñë³äîâíîñòåé ïëîù ñõ³ä÷àñòèõ ô³ãóð<br />
(ðèñ. 9.2), ÿêùî ìàêñèìàëüíà äîâæèíà ÷àñòèííèõ ñåãìåíò³â<br />
ïðÿìóº äî íóëÿ, òîáòî<br />
ρ→ 0 i=<br />
1<br />
( )<br />
S= lim∑ n f ξ . i<br />
∆xi (9.1.4)<br />
9.1.2. Çàäà÷à ïðî ðîáîòó çì³ííî¿ ñèëè<br />
Íåõàé âçäîâæ îñ³ Îõ 䳺 ñèëà Ð(õ), íàïðÿì ÿêî¿ ñòàëèé<br />
³ çá³ãàºòüñÿ ç íàïðÿìîì îñ³ Îõ. Êð³ì òîãî, ñèëà íåïåðåðâíî<br />
çì³íþºòüñÿ çà âåëè÷èíîþ. Íåõàé ï³ä 䳺þ ñèëè Ð(õ) ìàòå-<br />
288 289
ð³àëüíà òî÷êà ïåðåì³ñòèëàñÿ âçäîâæ îñ³ Îõ ç òî÷êè à â<br />
òî÷êó b (ðèñ. 9.5). Òðåáà îá÷èñëèòè ðîáîòó ö³º¿ ñèëè íà<br />
øëÿõó (ñåãìåíò³) [à, b].<br />
Ðèñ. 9.5<br />
³äîìî, ùî ÿêùî ñèëà ñòàëà (Ð(õ) =Ð = const) ³ 䳺 ó<br />
íàïðÿìó ïåðåì³ùåííÿ, òî ðîáîòà À äîð³âíþº äîáóòêó ñèëè<br />
íà âåëè÷èíó ïåðåì³ùåííÿ:<br />
À = Ð(b – à). (9.1.5)<br />
Àëå ñèëà çì³ííà, ³ ìè íå ìàºìî ïðàâà êîðèñòóâàòèñÿ<br />
ôîðìóëîþ (9.1.5). Òîìó ñïî÷àòêó, ÿê öå áóëî ³ ïðè ðîçâ’ÿçàíí³<br />
çàäà÷³ 9.1.1, çä³éñíèìî ðîçáèòòÿ R ñåãìåíòà [à, b] òî-<br />
÷êàìè à = õ 0 < õ 1 …
9.2.1. Îçíà÷åííÿ òà óìîâè ³ñíóâàííÿ âèçíà÷åíîãî<br />
³íòåãðàëà<br />
Íåõàé ôóíêö³ÿ ó = f(õ) âèçíà÷åíà íà cåãìåíò³ [à, b]<br />
(à < b). Çä³éñíèìî ðîçáèòòÿ R ñåãìåíòà [à, b] íà n ÷àñòèí<br />
äîâ³ëüíî îáðàíèìè òî÷êàìè ä³ëåííÿ:<br />
R: à = x 0 < õ 1
Ôîðìóëà (9.2.5) âèðàæຠåêîíîì³÷íèé çì³ñò âèçíà÷åíîãî<br />
³íòåãðàëà.<br />
Ìîæíà ðîçãëÿíóòè ùå íèçêó çàäà÷ çì³ñòîâíîãî õàðàêòåðó,<br />
ùî ïðèâîäÿòü äî ïîíÿòòÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà, àëå<br />
òðåáà â÷àñíî çóïèíèòèñÿ ³ ïåðåéòè äî ôîðìóëþâàíü äåÿêèõ<br />
óìîâ ³íòåãðîâíîñò³ ôóíêö³¿ f(õ) íà ñåãìåíò³ [a, b].<br />
Òåîðåìà 9.2.1 (ïðî íåîáõ³äíó óìîâó ³íòåãðîâíîñò³).<br />
ßêùî ôóíêö³ÿ ó = f(õ) ³íòåãðîâíà íà ñåãìåíò³ [à, b], òî âîíà<br />
îáìåæåíà íà íüîìó.<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Ïðèïóñòèìî ïðîòèëåæíå, òîáòî, ùî ôóíêö³ÿ<br />
íåîáìåæåíà íà â³äð³çêó [à, b]. Òîä³ äëÿ áóäü-ÿêîãî ðîçáèòòÿ<br />
R ñåãìåíòà [a, b] íà ÷àñòèíí³ ôóíêö³ÿ f(õ) áóäå íåîáìåæåíîþ<br />
õî÷à á íà îäíîìó ç íèõ, íàïðèêëàä, äëÿ êîíêðåòíîñò³<br />
íà [0, õ 1 ] (íà ðåøò³ ÷àñòèííèõ ñåãìåíò³â ôóíêö³ÿ f(õ)<br />
ââàæàºòüñÿ îáìåæåíîþ). Òåïåð ³íòåãðàëüíó ñóìó, ÿêó ìè<br />
ïîçíà÷èìî ÷åðåç S n , ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:<br />
S n = f(ξ 1 )∆x 1 + σ n ,<br />
n<br />
äå ∑ f( )<br />
σ = ξ ∆x.<br />
n i i<br />
i=<br />
2<br />
Ïîñë³äîâí³ñòü σ n çã³äíî ç ïðèïóùåííÿì — îáìåæåíà, à<br />
ïåðøèé äîäàíîê ñóìè çà ðàõóíîê íåîáìåæåíîñò³ ôóíêö³¿<br />
f(õ) íà [0, õ 1 ] ìîæíà çðîáèòè òàêèì âåëèêèì, ùî çà àáñîëþòíîþ<br />
âåëè÷èíîþ â³í áóäå ïåðåâåðøóâàòè ÿêå çàâãîäíî<br />
çàäàíå äîäàòíå ÷èñëî. À öå îçíà÷àº, ùî ãðàíèöÿ ³íòåãðàëüíî¿<br />
ñóìè S n íå ³ñíóº ïðè ρ→ 0 , à òîä³ ôóíêö³ÿ f(õ) íå º ³íòåãðîâíîþ,<br />
ùî ñóïåðå÷èòü óìîâ³ òåîðåìè. Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Çàóâàæåííÿ. Îáåðíåíå òâåðäæåííÿ íåïðàâèëüíå, òîáòî<br />
ç îáìåæåíîñò³ ôóíêö³¿ íà cåãìåíò³ íå âèïëèâຠ¿¿ ³íòåãðîâí³ñòü<br />
íà íüîìó. Êëàñè÷íèì ïðèêëàäîì òàêî¿ ôóíêö³¿ º òàê<br />
çâàíà ôóíêö³ÿ ijð³õëå (äèâ. ï. 6.1.2). Öÿ ôóíêö³ÿ íà â³äð³çêó<br />
[0, 1] º îáìåæåíîþ, òîìó ùî 0 ≤ D(õ) ≤ 1. Äîâåäåìî, ùî<br />
âîíà íå ³íòåãðîâíà íà [0, 1]. Ðîç³á’ºìî â³äð³çîê [0, 1] äîâ³ëüíèì<br />
÷èíîì íà ÷àñòèíí³ ñåãìåíòè ³ ñêëàäåìî ³íòåãðàëüíó<br />
ñóìó<br />
n<br />
n<br />
= ∑ ( ξi)<br />
∆<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
S D x .<br />
Ðîçãëÿíåìî òåïåð äâà âèïàäêè âèáîðó òî÷îê ξ i :<br />
1) òî÷êè ξ i — ðàö³îíàëüí³; 2) òî÷êè ξ i — ³ððàö³îíàëüí³.<br />
Ó âèïàäêó 1) ³íòåãðàëüíà ñóìà<br />
ó âèïàäêó 2) ³íòåãðàëüíà ñóìà<br />
S<br />
n<br />
S<br />
n<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
= ∑ 1⋅∆ x = 1 ³<br />
= ∑ 0⋅∆ x = 0 ³<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
i<br />
limS<br />
n<br />
= 1, à<br />
ρ→0<br />
limS<br />
n<br />
= 0.<br />
ρ→0<br />
Îòæå, ãðàíèöÿ ³íòåãðàëüíî¿ ñóìè çàëåæèòü â³ä âèáîðó<br />
òî÷îê ξ i , à öå îçíà÷àº, ùî ôóíêö³ÿ D(õ) íå º ³íòåãðîâíîþ íà<br />
[0, 1].<br />
Òåîðåìà 9.2.2. (ïðî äîñòàòíþ óìîâó ³íòåãðîâíîñò³).<br />
ßêùî ôóíêö³ÿ f(õ) íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ [à, b], òî âîíà<br />
³íòåãðîâíà íà íüîìó.<br />
Òåîðåìà 9.2.3. ßêùî ôóíêö³ÿ f(õ) îáìåæåíà íà ñåãìåíò³<br />
[a, b] ³ íåïåðåðâíà íà íüîìó óñþäè, êð³ì ñê³í÷åííîãî<br />
÷èñëà òî÷îê, â ÿêèõ ìຠòî÷êè ðîçðèâó I ðîäó, òî âîíà ³íòåãðîâíà<br />
íà íüîìó.<br />
Òåîðåìà 9.2.4. Âñÿêà îáìåæåíà ³ ìîíîòîííà íà ñåãìåíò³<br />
[à, b] ôóíêö³ÿ ³íòåãðîâíà íà íüîìó.<br />
Òåîðåìè 9.2.2 – 9.2.4 ïîäàìî áåç äîâåäåííÿ.<br />
9.3. ÂËÀÑÒÈÂÎÑÒ² ÂÈÇÍÀ×ÅÍÎÃÎ<br />
²ÍÒÅÃÐÀËÀ<br />
1. Âåëè÷èíà âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà íå çàëåæèòü â³ä ïîçíà÷åííÿ<br />
çì³ííî¿ ³íòåãðóâàííÿ:<br />
b b b<br />
( ) = ( ) ... = ( )<br />
∫f x dx ∫f t dt ∫ f y dy .<br />
a a a<br />
2. ßêùî âåðõíÿ ìåæà ³íòåãðóâàííÿ äîð³âíþº íèæí³é, òî<br />
³íòåãðàë äîð³âíþº íóëþ, òîáòî<br />
a<br />
∫ fxdx= ( ) 0.<br />
a<br />
3. ³ä ïåðåñòàâëåííÿ ìåæ ³íòåãðóâàííÿ ³íòåãðàë çì³íþº<br />
çíàê íà ïðîòèëåæíèé, òîáòî<br />
b<br />
∫fxdx<br />
( ) =−∫ fxdx ( ) .<br />
a<br />
a<br />
b<br />
294 295
4. ßêùî ôóíêö³ÿ ó = f(õ) ³íòåãðîâíà íà ñåãìåíò³ [à, b],<br />
òî ñïðàâåäëèâà ð³âí³ñòü<br />
b c b<br />
( ) = ( ) + ( ) ,<br />
∫f x dx ∫f x dx ∫f x dx<br />
a a c<br />
äå ñ∈(a, b).<br />
Ïðè f(x) ≥ 0 öÿ âëàñòèâ³ñòü äîáðå ³ëþñòðóºòüñÿ ãåîìåòðè÷íî<br />
(ðèñ. 9.6) (S aABb = S I + S II ).<br />
Ðèñ. 9.6<br />
5. Ñòàëèé ìíîæíèê ìîæíà âèíîñèòè çà çíàê âèçíà÷åíîãî<br />
³íòåãðàëà<br />
b<br />
( ) = ∫ ( ) .<br />
∫Cf x dx C f x dx<br />
a<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Çã³äíî ç îçíà÷åííÿì âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà<br />
ìàºìî:<br />
( ξ ) ∆ = ∫ ( )<br />
lim∑<br />
f x f x dx.<br />
ρ→ 0 i=<br />
1<br />
Ðîçãëÿíåìî òåïåð ôóíêö³þ Cf(x). Òîä³<br />
b<br />
n<br />
i<br />
n<br />
n<br />
( ) = lim∑<br />
( ξ ) ∆ = lim∑<br />
( ξ ) ∆ = ∫ ( )<br />
∫Cf x dx Cf x C f x C f x dx.<br />
a<br />
i i i i<br />
ρ→0 i= 1 ρ→0<br />
i=<br />
1<br />
Ïîð³âíþþ÷è ñàìó ë³âó ³ ñàìó ïðàâó ÷àñòèíè ö³º¿ ð³âíîñò³,<br />
âïåâíþºìîñÿ ó ñïðàâåäëèâîñò³ âëàñòèâîñò³ 5.<br />
i<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
6. Cdx = C( b −a).<br />
Äîâåäåííÿ. Äëÿ ôóíêö³¿ f(x) =Ñ ³íòåãðàëüíà ñóìà<br />
äëÿ áóäü-ÿêîãî ðîçáèòòÿ R òàêà:<br />
n<br />
n<br />
i<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
( )<br />
∑C∆ x = C∑∆ x = C b−a<br />
.<br />
Òóò ìè ñêîðèñòàëèñÿ òèì, ùî äëÿ áóäü-ÿêîãî ðîçáèòòÿ R<br />
ñóìà ÷àñòèííèõ ñåãìåíò³â çàâæäè äîð³âíþº äîâæèí³ ñåãìåíòà.<br />
Ïåðåéäåìî òåïåð ó ë³â³é ³ ïðàâ³é ÷àñòèíàõ îñòàííüî¿ ð³âíîñò³<br />
äî ãðàíèö³ ïðè ρ→ 0. Îñê³ëüêè ãðàíèöÿ â³ä ñòàëî¿<br />
äîð³âíþº ò³é ñàì³é ñòàë³é, òî çà îçíà÷åííÿì 9.2.1 ä³éñíî<br />
ñïðàâäæóºòüñÿ âëàñòèâ³ñòü 6.<br />
7. Âèçíà÷åíèé ³íòåãðàë â³ä ñóìè (ð³çíèö³) ³íòåãðîâíèõ íà<br />
ñåãìåíò³ [a, b] ôóíêö³é f(x) i ϕ(x) äîð³âíþº ñóì³ (ð³çíèö³)<br />
³íòåãðàë³â â³ä öèõ ôóíêö³é, òîáòî<br />
( ( ) ±ϕ ( )) = ( ) ± ϕ( )<br />
b b b<br />
∫ f x x dx ∫f x dx ∫ x dx.<br />
a a a<br />
Äîâåäåííÿ ïðîâåäåìî äëÿ ñóìè. Ðîç³á’ºìî äîâ³ëüíî<br />
ñåãìåíò [a, b] íà ÷àñòèíí³. Çã³äíî ç óìîâîþ ³íòåãðîâíîñò³<br />
ìàòèìåìî, ùî<br />
n<br />
ρ→ 0 i=<br />
1<br />
i<br />
( ξ ) ∆ = ( )<br />
lim∑ f<br />
i<br />
xi<br />
∫ f x dx ,<br />
n<br />
ρ→ 0i=<br />
1<br />
( ) ( )<br />
lim∑<br />
ϕξi<br />
∆ xi<br />
= ϕx dx .<br />
Äàë³, ò³ ñàì³ ïðîì³æí³ òî÷êè ξ i â³çüìåìî äëÿ íîâî¿ ôóíêö³¿<br />
ψ ( x) = f( x) +ϕ ( x)<br />
, ñêëàäåìî äëÿ íå¿ ³íòåãðàëüíó ñóìó ³<br />
ïåðåéäåìî äî ãðàíèö³. Îñê³ëüêè ôóíêö³¿ f(x) i ϕ(x) ³íòåãðîâí³<br />
íà ñåãìåíò³ [a, b], òî ìàòèìåìî<br />
b<br />
a<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
( ) lim∑<br />
( ) lim∑( ( ) ( ))<br />
b n n<br />
∫ ψ xdx= ψ ξ ∆ x= fξ +ϕ ξ ∆ x=<br />
a<br />
n<br />
i i i i i<br />
ρ→0i= 1 ρ→0i=<br />
1<br />
n<br />
( ) lim ( ) ( ) ( )<br />
= lim∑f ξ ∆ x + ∑ϕ ξ ∆ x = ∫f x dx+ ∫ϕ<br />
x dx.<br />
i i i i<br />
ρ→0i= 1 ρ→0i=<br />
1<br />
a a<br />
b<br />
b<br />
296 297
Çâ³äñè âèïëèâຠâëàñòèâ³ñòü 7 äëÿ ñóìè. Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ<br />
âëàñòèâ³ñòü 7 äëÿ ð³çíèö³. ×èòà÷åâ³ ïðîïîíóºìî<br />
öå çðîáèòè ñàìîñò³éíî.<br />
8. ßêùî ∀x∈[à, b]: f(õ) ≥ 0 (à < b), òî î÷åâèäíî, ùî<br />
b<br />
( ) 0.<br />
∫ f x dx≥<br />
9. ßêùî ∀x∈[à, b]: f(õ) ≤ g(x) (a < b), òî<br />
b<br />
a<br />
∫f( x) dx ≤ ∫ g( x)<br />
dx .<br />
a<br />
b<br />
a<br />
Öÿ âëàñòèâ³ñòü âèïëèâຠ³ç âëàñòèâîñò³ 7 ³ ïîïåðåäíüî¿.<br />
10. ßêùî ∀x∈[à, b]: m ≤ f(õ) ≤ M (à < b), òî<br />
b<br />
( − ) ≤ ( ) ≤ ( − )<br />
mb a ∫ fxdx Mb a.<br />
a<br />
Öÿ âëàñòèâ³ñòü âèïëèâຠ³ç âëàñòèâîñòåé 6 ³ 9.<br />
Ó âèïàäêó, êîëè f(õ) > 0, öÿ âëàñòèâ³ñòü äîáðå ³ëþñòðóºòüñÿ<br />
ãåîìåòðè÷íî (ðèñ. 9.7): ïëîùà êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿<br />
àÀÂb íå ìåíøà, í³æ ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà àÀ 1  1 b, ³ íå á³ëüøà,<br />
í³æ ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà àÀ 2  2 b.<br />
b<br />
a<br />
( ) = ( ξ)( − ).<br />
∫ f x dx f b a<br />
Äîâåäåííÿ. Îñê³ëüêè f(õ) íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³<br />
[a, b], òî âîíà äîñÿãຠíà öüîìó ñåãìåíò³ ñâîãî íàéìåíøîãî ³<br />
íàéá³ëüøîãî çíà÷åííÿ m, Ì. Òîä³<br />
àáî<br />
b<br />
( − ) ≤ ( ) ≤ ( − )<br />
mb a ∫ fxdx Mb a,<br />
a<br />
1<br />
b<br />
m≤<br />
∫ f( x)<br />
dx ≤ M.<br />
b−<br />
a a<br />
1<br />
Âåëè÷èíà µ= b<br />
fxdx ( )<br />
b a<br />
∫ íàçèâàºòüñÿ ñåðåäí³ì çíà÷åííÿì<br />
− a<br />
ôóíêö³¿ f(õ) íà ñåãìåíò³ [a, b]. Âíàñë³äîê íåïåðåðâíîñò³<br />
ôóíêö³¿ íà [à, b] ³ñíóº òàêà òî÷êà ξ º [à, b], ùî f(ξ) =µ, òîáòî<br />
1<br />
b<br />
f() ξ = ∫ f() x dx,<br />
b−<br />
a a<br />
ùî é òðåáà áóëî äîâåñòè.<br />
Ãåîìåòðè÷íî öÿ òåîðåìà ³ëþñòðóºòüñÿ íà ðèñ. 9.8. Ïëîùà<br />
êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿ àÀÂb äîð³âíþº ïëîù³ ïðÿìîêóòíèêà<br />
àÀ 1 Âb ç îñíîâîþ b – a ³ âèñîòîþ f(ξ).<br />
Ðèñ. 9.7<br />
Òåîðåìà 9.3.1 (ïðî ñåðåäíº çíà÷åííÿ ôóíêö³¿). ßêùî<br />
ôóíêö³ÿ f(õ) íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ [a, b], òî íà öüîìó ñåãìåíò³<br />
³ñíóº òàêà òî÷êà ξ, ùî áóäå ñïðàâåäëèâà ð³âí³ñòü<br />
Ðèñ. 9.8<br />
298 299
9.4. ÎÑÍÎÂÍÀ ÔÎÐÌÓËÀ ²ÍÒÅÃÐÀËÜÍÎÃÎ<br />
×ÈÑËÅÍÍß<br />
9.4.1. ²íòåãðàë ³ç çì³ííîþ âåðõíüîþ ìåæåþ<br />
Íåõàé ôóíêö³ÿ f(õ) íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ [à, b], òîä³<br />
âîíà ³íòåãðîâíà íà íüîìó. ³çüìåìî äîâ³ëüíå õ∈[à, b], òîä³<br />
f(õ) áóäå ³íòåãðîâíîþ íà [a, õ], òîáòî ³ñíóº ³íòåãðàë<br />
x<br />
a<br />
()<br />
∫ f t dt.<br />
Òóò ìè çì³ííó ³íòåãðóâàííÿ õ çàì³íèëè íà t, ùîá íå<br />
ïëóòàòè ³ç çì³ííîþ âåðõíüîþ ìåæåþ õ.<br />
ßêùî õ çì³íþºòüñÿ, òî, î÷åâèäíî, áóäå çì³íþâàòèñü ³ öåé<br />
³íòåãðàë, òîáòî â³í ÿâëÿºòüñÿ ôóíêö³ºþ çì³ííî¿ õ. Ïîçíà÷èìî<br />
öþ ôóíêö³þ Ô(õ):<br />
x<br />
()<br />
Ô( x ) = ∫ f t dt. (9.4.1)<br />
a<br />
²íòåãðàë (9.4.1) íàçèâàºòüñÿ ³íòåãðàëîì ³ç çì³ííîþ âåðõíüîþ<br />
ìåæåþ.<br />
Òåîðåìà 9.4.1 (Áàððîó 1 ). Íåõàé ó ð³âíîñò³ (9.4.1)<br />
ôóíêö³ÿ f(õ) íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ [à, b]. Òîä³ ñïðàâåäëèâà<br />
ôîðìóëà<br />
′<br />
x<br />
Ô( ′ )<br />
⎛<br />
f<br />
⎞<br />
x = ⎜∫<br />
() t dt⎟<br />
= f( x ). (9.4.2)<br />
⎝ a ⎠<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Çàñòîñóºìî îçíà÷åííÿ ïîõ³äíî¿ äëÿ ôóíêö³¿.<br />
Òîä³ (äèâ. ï. 7.2.1) ìàòèìåìî<br />
x+∆x x<br />
f<br />
( ) ( ) () −<br />
x x x ∫ t dt ∫f()<br />
Φ +∆ −Φ<br />
t dt<br />
a<br />
a<br />
Φ ′( x)<br />
= lim<br />
= lim<br />
=<br />
∆x→0 ∆x<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
1<br />
x+∆x<br />
= lim ⋅ ∫ f() t dt = limf() ξ = limf() ξ = f( x)<br />
. (9.4.3)<br />
∆x→0∆x<br />
x<br />
∆x→0<br />
ξ→x<br />
1<br />
Áàððîó ²ñààê (1630 – 1677) — àíãë³éñüêèé ìàòåìàòèê, ô³çèê, ô³ëîñîô,<br />
áîòàí³ê ³ òåîëîã, â÷èòåëü ñàìîãî Íüþòîíà.<br />
Ó ëàíöþæêó ð³âíîñòåé (9.4.3) ìè ïîñë³äîâíî çàñòîñóâàëè<br />
âëàñòèâ³ñòü 4 (ï. 9.3), òåîðåìó 9.3.1 ïðî ñåðåäíº çíà÷åííÿ ³<br />
íåïåðåðâí³ñòü ôóíêö³¿ f(õ) (çà òåîðåìîþ ïðî ñåðåäíº çíà÷åííÿ<br />
òî÷êà ξ çíàõîäèòüñÿ ì³æ òî÷êàìè x i x + ∆x, ³ òîìó ïðè<br />
∆x<br />
→0<br />
ξ→ x ). Îòæå, òåîðåìó äîâåäåíî, îñê³ëüêè ñàìà ë³âà<br />
÷àñòèíà â ð³âíîñò³ (9.4.2) äîð³âíþº ñàì³é ïðàâ³é ¿¿ ÷àñòèí³.<br />
Òåîðåìà Áàððîó ìຠäóæå âàæëèâå çíà÷åííÿ. Âîíà ñòâåðäæóº<br />
³ñíóâàííÿ ïåðâ³ñíî¿ ó íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿ ³ âñòàíîâëþº<br />
çâ’ÿçîê ì³æ íåâèçíà÷åíèì ³íòåãðàëîì òà ³íòåãðàëîì ç³<br />
çì³ííîþ âåðõíüîþ ìåæåþ. Êð³ì òîãî, ó â³äïîâ³äíîñò³ äî<br />
ð³âíîñò³ (9.4.2) ôóíêö³ÿ Ô(õ) º ïåðâ³ñíîþ äëÿ ôóíêö³¿ f(õ).<br />
9.4.2. Ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáí³öà<br />
Íåõàé (õ) — áóäü-ÿêà ïåðâ³ñíà ôóíêö³ÿ äëÿ íåïåðåðâíî¿<br />
ôóíêö³¿ f(x) íà ñåãìåíò³ [à, b]. Îñê³ëüêè Ô(õ) òåæ<br />
ïåðâ³ñíà äëÿ f(x), òî çã³äíî ç îñíîâíîþ ëåìîþ ³íòåãðàëüíîãî<br />
÷èñëåííÿ ìàòèìåìî ð³âí³ñòü<br />
x<br />
a<br />
() = ( ) + ,<br />
∫ f t dt x C<br />
ÿêà ñïðàâåäëèâà äëÿ áóäü-ÿêîãî õ∈[a, b]. Ïîêëàäåìî õ = à.<br />
Îñê³ëüêè<br />
a<br />
∫<br />
a<br />
çâ³äêè Ñ =–(à), òîáòî<br />
() ( )<br />
f t dt = 0, òî a + C = 0,<br />
x<br />
a<br />
() = ( ) − ( ).<br />
∫ f t dt x a<br />
Òåïåð ïîêëàäåìî òóò õ = b. ijñòàíåìî:<br />
b<br />
a<br />
() = () − ( ),<br />
∫ f t dt b a<br />
àáî çã³äíî ç âëàñòèâ³ñòþ 1 (ï. 9.3)<br />
b<br />
a<br />
( ) = ( ) − ( )<br />
∫ f x dx b a . (9.4.4)<br />
300 301
Öå ³ º ôîðìóëà Íüþòîíà – Ëåéáí³öà, ÿêó íàçèâàþòü îñíîâíîþ<br />
ôîðìóëîþ ³íòåãðàëüíîãî ÷èñëåííÿ. ¯¿ çíà÷åííÿ âåëüìè<br />
âàæëèâå ³, ìàáóòü, íàâ³òü íåîö³íèìå, òîìó ùî âîíà âñòàíîâëþº<br />
çâ’ÿçîê ì³æ íåâèçíà÷åíèìè ³ âèçíà÷åíèìè ³íòåãðàëàìè<br />
³, êð³ì òîãî, äຠêîíñòðóêòèâíèé ìåòîä îá÷èñëåííÿ<br />
³íòåãðàë³â (áåç çíàõîäæåííÿ ãðàíèö³ â³äïîâ³äíèõ ³íòåãðàëüíèõ<br />
ñóì). Ôîðìóëà Íüþòîíà – Ëåéáí³öà º â³íöåì çóñèëü áàãàòüîõ<br />
ìàòåìàòèê³â ³ çàéìຠäîñòîéíå ì³ñöå ñåðåä øåäåâð³â<br />
ìàòåìàòè÷íî¿ äóìêè. Ùîá ï³äêðåñëèòè öå, îäèí ³ç âèäàòíèõ<br />
ðàäÿíñüêèõ ìàòåìàòèê³â Îëåêñàíäð ßêîâè÷ Õ³í÷èí (1894 –<br />
1959) ó ñâî¿õ ëåêö³ÿõ (ïåâíà ð³÷, ï³ñëÿ âèâåäåííÿ ôîðìóëè<br />
Íüþòîíà – Ëåéáí³öà) ãîâîðèâ, ùî ó ïðèñóòí³õ ñòóäåíò³â ñüîãîäí³<br />
âåëèêå ñâÿòî: âîíè îçíàéîìèëèñÿ ç îäíèì ³ç øåäåâð³â<br />
íå ò³ëüêè ìàòåìàòèêè, àëå ³ âñ³º¿ öèâ³ë³çàö³¿. ² ùîá öåé<br />
äåíü ñòàâ äëÿ ñòóäåíò³â ä³éñíî ñâÿòêîâèì, â³í, çàê³í÷óþ÷è<br />
ëåêö³þ, ïðîïîíóâàâ ¿ì â³äì³òèòè éîãî íàëåæíèì ÷èíîì.<br />
9.5. ÎÑÍÎÂͲ ÌÅÒÎÄÈ ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß<br />
ÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÕ ²ÍÒÅÃÐÀ˲Â<br />
Îñê³ëüêè âèçíà÷åí³ òà íåâèçíà÷åí³ ³íòåãðàëè ïîâ’ÿçàí³<br />
ì³æ ñîáîþ ôîðìóëîþ Íüþòîíà – Ëåéáí³öà, òî ìåòîäè îá÷èñëåííÿ<br />
âèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â ò³ ñàì³, ùî ³ äëÿ íåâèçíà÷åíèõ<br />
³íòåãðàë³â, à ñàìå: áåçïîñåðåäí³é ìåòîä, ìåòîä çàì³íè àáî<br />
ï³äñòàíîâêè ³ ìåòîä ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè.<br />
9.5.1. Áåïîñåðåäí³é ìåòîä<br />
³í â îñíîâíîìó áàçóºòüñÿ íà âëàñòèâîñòÿõ 5 òà 7<br />
(ï. 9.3) ³ íà ôîðìóë³ Íüþòîíà – Ëåéáí³öà. Ñóòü öüîãî ìåòîäó<br />
ïîÿñíèìî íà ïðèêëàäàõ. Ïðè öüîìó â³äì³òèìî, ùî íà<br />
ïðàêòèö³ äëÿ çðó÷íîñò³ çàñòîñóâàííÿ ôîðìóëó (9.4.4) çàïèñóþòü<br />
òàê:<br />
Ïðèêëàäè 9.5.1 – 9.5.5.<br />
b<br />
b<br />
( ) = ( ) = ( ) − ( )<br />
∫ f x dx x b a .<br />
a<br />
9.5.1. 3 2 3 2 3<br />
3<br />
3 3<br />
∫3xdx= 3∫xdx= x = 3 − 2 = 19;<br />
2 2 2<br />
a<br />
9.5.2.<br />
4<br />
x<br />
4 4<br />
x x<br />
⎛ ⎞ 4 4<br />
4 4<br />
⎛ x ⎞<br />
4<br />
∫⎜1+ e ⎟dx = ∫dx+ 4∫e d⎜ ⎟= x + 4e = 4+ 4e− 4=<br />
4e 0⎝<br />
⎠<br />
0 0 ⎝4<br />
⎠ 0 0<br />
;<br />
dt<br />
7<br />
= + + = + = − =<br />
3 4 3 3 −1<br />
;<br />
t +<br />
3 3<br />
7 7<br />
1 1<br />
1 2 2 8<br />
−<br />
9.5.3. ∫<br />
∫( 3t 4) 2 d( 3t 4) ( 3t<br />
4) 2 ( 5 1)<br />
−1 −1<br />
9.5.4. ( )<br />
1 3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
⎞<br />
x<br />
2 2<br />
1 1⎛<br />
2 2 4<br />
∫ x − 4x dx = ∫⎜x − 4x ⎟dx = x − 4 = − 2=−<br />
;<br />
0 0⎝<br />
⎠ 3 2 3 3<br />
0<br />
π<br />
π<br />
2 2<br />
1 1⎛<br />
1 ⎞ π<br />
∫ cos xdx = ∫ 1+ cos 2x dx = ⎜x + sin 2x<br />
⎟ = .<br />
0 2 0<br />
2⎝<br />
2 ⎠ 4<br />
2<br />
9.5.5. ( )<br />
9.5.2. Ìåòîä çàì³íè çì³ííî¿, àáî ï³äñòàíîâêè<br />
Öåé ìåòîä áàçóºòüñÿ íà òàê³é òåîðåì³.<br />
Òåîðåìà 9.5.1 (ïðî çàì³íó çì³ííî¿ ³íòåãðóâàííÿ). Íåõàé<br />
ôóíêö³ÿ f(õ) íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ [à, b], à ôóíêö³ÿ<br />
õ = ϕ(t) çàäîâîëüíÿº òàêèì óìîâàì:<br />
1) ϕ(t) âèçíà÷åíà ³ íåïåðåðâíà íà ñåãìåíò³ [α, β] ³ â³äîáðàæàº<br />
ñåãìåíò [α, β] íà ñåãìåíò [à, b];<br />
2) ϕ(α) =à, ϕ(β) =b;<br />
3) ϕ(t) íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíà íà [α, β].<br />
Òîä³ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà:<br />
b<br />
a<br />
β<br />
( ) = ⎡ϕ( ) ⎤ϕ′<br />
( )<br />
9<br />
π<br />
2<br />
∫f x dx ∫f⎣ t ⎦ t dt. (9.5.1)<br />
α<br />
Äîâåäåííÿ. Çã³äíî ç ôîðìóëîþ Íüþòîíà — Ëåéáí³öà<br />
ìàºìî:<br />
b<br />
a<br />
( ) = ( ) − ( )<br />
∫ f x dx b a ,<br />
äå (õ) — ïåðâ³ñíà ôóíêö³¿ f(õ) íà [à, b]. Ëåãêî ïåðåêîíàòèñÿ<br />
ó òîìó, ùî ôóíêö³ÿ [ϕ(t)] º ïåðâ³ñíîþ äëÿ ôóíêö³¿<br />
f[[ϕ(t)]⋅ϕ′(t) íà [α, β]. ijéñíî, îñê³ëüêè ′(õ) =f(õ), òî ó â³äïî-<br />
0<br />
302 303
â³äíîñò³ äî ôîðìóëè äèôåðåíö³þâàííÿ ñêëàäåíî¿ ôóíêö³¿<br />
/<br />
/<br />
( ⎡ϕ () t ⎤) = x<br />
⎡ϕ() t ⎤⋅ϕ ′() t = f ⎡ϕ() t ⎤ϕ′<br />
( x)<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Îòæå, ìàòèìåìî:<br />
β<br />
t<br />
() ′() () ( ) () ( ) ∫ ( ) .<br />
∫f⎡⎣ϕ t ⎤⎦ϕ t dt = ⎡⎣ϕ β ⎤⎦−⎡⎣ϕ α ⎤⎦<br />
= b − a = f x dx<br />
α<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè âèêîðèñòàííÿ ö³º¿ òåîðåìè.<br />
Ïðèêëàä 9.5.1. Çíàéòè ïëîùó ô³ãóðè, îáìåæåíî¿ åë³ïñîì.<br />
Âðàõîâóþ÷è ñèìåòðè÷í³ñòü åë³ïñà, ÷åòâåðòèíà øóêàíî¿ ïëîù³<br />
S îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ:<br />
1 a<br />
b 2 2<br />
S = ∫ a −x dx .<br />
4 0 a<br />
Çðîáèìî çàì³íó çì³ííî¿: x = a sint. Òîä³ áóäåìî ìàòè<br />
2 2 2 2 2<br />
1 b<br />
a ⎡dx = a cos tdt, a − x = a − a sin t = a cost⎤<br />
2 2<br />
S = ∫ a − x dx = ⎢<br />
⎥ =<br />
4 a 0<br />
⎢ x = 0⇒ t = 0, x = a⇒ t = π ⎥<br />
⎣<br />
2 ⎦<br />
π<br />
π<br />
2 2<br />
2 ab<br />
( )<br />
= ba ∫ cos tdt = ∫ 1+ cos 2t dt =<br />
0 2 0<br />
π<br />
2<br />
ab ⎛ 1 ⎞ πab<br />
= ⎜t+ sin 2 t⎟<br />
= .<br />
2 ⎝ 2 ⎠ 4<br />
Òàêèì ÷èíîì, S = πab. Çîêðåìà, ÿêùî à = b = R, òî îòðèìàºìî:<br />
S = πR 2 (ôîðìóëà äëÿ îá÷èñëåííÿ ïëîù³ êðóãà).<br />
Çàóâàæåííÿ. Íà â³äì³íó â³ä ìåòîäó ï³äñòàíîâêè ó íåâèçíà÷åíîìó<br />
³íòåãðàë³ íåìà ïîòðåáè ïîâåðòàòèñÿ äî ñòàðî¿<br />
çì³ííî¿, îñê³ëüêè âèçíà÷åíèé ³íòåãðàë äîð³âíþº ñòàë³é âåëè-<br />
÷èí³.<br />
Òåîðåòè÷í³ ïðèêëàäè. Âñòàíîâèìî çà äîïîìîãîþ çàì³íè<br />
çì³ííî¿ òàê³ òâåðäæåííÿ.<br />
1. ßêùî f(x) º íåïàðíîþ, òîáòî f(–x) =–f(x), òî ∀à∈R:<br />
a<br />
( ) 0<br />
0<br />
I = ∫ f x dx = . (9.5.2)<br />
−a<br />
b<br />
a<br />
Ñïî÷àòêó ðîç³á’ºìî öåé ³íòåãðàë íà äâà<br />
0<br />
−a<br />
a<br />
( ) ( )<br />
I = ∫ f xdx+<br />
∫ f x dx. (9.5.3)<br />
Ïåðøèé ³íòåãðàë ïåðåòâîðèìî òàêèì ÷èíîì:<br />
0 ⎡ x =− t,<br />
dx =−dt<br />
⎤<br />
∫ f( x)<br />
dx = ⎢ =<br />
−a<br />
x =−a ⇒ t = a, x = 0 ⇒ t = 0<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
0<br />
a<br />
a<br />
() () ( )<br />
0<br />
0<br />
a<br />
= ∫f tdt = − ∫ f t dt =−∫ f x dx. (9.5.4)<br />
Ó ëàíöþæêó ð³âíîñòåé (9.5.4) ìè ïîñë³äîâíî âèêîðèñòàëè<br />
âëàñòèâîñò³ 2 ³ 1 âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà (ï. 9.3).<br />
ßêùî òåïåð ï³äñòàâèìî (9.5.4) â (9.5.3), òî ä³éñíî îòðèìàºìî<br />
(9.5.2).<br />
2. ßêùî f(õ) ïàðíà, òîáòî f(–x) =f(x), òî ∀à∈R:<br />
a<br />
−a<br />
( ) = 2 ( )<br />
∫ f x dx ∫ f x dx .<br />
Äîâîäèòüñÿ àíàëîã³÷íî 1. ×èòà÷åâ³ ïðîïîíóºìî çðîáèòè<br />
öå ñàìîñò³éíî.<br />
Ïðèêëàäè 9.5.2 – 9.5.4<br />
5 3<br />
xdx 2<br />
4<br />
2 2⎛t<br />
⎞ 4 2⎛64 1 ⎞<br />
9.5.2. ∫ = ∫( t − 1) dt = ⎜ − t⎟ = −4− + 1 = 4<br />
0 1 3 9 1 9 3 1<br />
⎜ ⎟<br />
+ ⎝ ⎠ 9⎝ 3 3<br />
.<br />
x<br />
⎠<br />
2<br />
t −1 2<br />
Òóò ââåäåíà íîâà çì³ííà t = 1+ 3 x ⇒ x = , dx = tdt .<br />
3 3<br />
Ïðè öüîìó íîâ³ ìåæ³ ³íòåãðóâàííÿ çíàõîäÿòüñÿ òàêèì ÷èíîì:<br />
t 1<br />
= 1+ 3⋅ 0 = 1, t 2<br />
= 1+ 3⋅ 5 = 4 .<br />
9.5.3.<br />
ln 3 3 3<br />
x −x<br />
−1 2<br />
ln 2 2 2<br />
a<br />
0<br />
dx dt dt 1 t −1 3 1⎛ 2 1⎞<br />
1<br />
∫ = ∫ = ∫ = ln = ⎜ln − ln ⎟ = ln1,5.<br />
e −e t( t−t ) t −1<br />
2 t + 1 2 2⎝ 4 3⎠<br />
2<br />
x<br />
ln 2 ln 3<br />
Ïîêëàäåíî t = e ⇒ x = ln t, dx = dt / t, t = e = 2, t = e = 3 .<br />
0<br />
1 2<br />
304 305
3 3 3<br />
( x + 1) dx<br />
π/3 8sin t+<br />
1<br />
π/3 1<br />
π/3<br />
dt<br />
9.5.4. ∫ = ∫ dt = 2 sintdt<br />
2 2<br />
2 ∫ + ∫ =<br />
2<br />
1 x 4 − x π/6 4sin t<br />
π/6 4 π/6sin<br />
t<br />
π<br />
π<br />
3 ⎛1 ⎞ 3 ⎛1 3⎞ 1⎛ 3 ⎞ 7<br />
= ( −2cos t ) − ctg =−2 − − − 3 = 3−1<br />
π<br />
⎜ ⎟<br />
⎝4 t ⎠ π ⎜2 2 ⎟ 4⎜ 3 ⎟ 6<br />
6 6<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
.<br />
1 π<br />
Çðîáëåíà çàì³íà x = 2sin t ⇒ dx =2costdt, t 1<br />
= arcsin = , 2 6<br />
3 π<br />
t2<br />
= arcsin = . 2 3<br />
9.5.3. Ìåòîä ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè<br />
Äëÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà ìຠì³ñöå ôîðìóëà ³íòåãðóâàííÿ<br />
÷àñòèíàìè:<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
∫udv = uv −∫ vdu . (9.5.5)<br />
a<br />
Òóò u = u(x) i v = v(x) íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâí³ ôóíêö³¿<br />
íà ñåãìåíò³ [a, b].<br />
Ôîðìóëà (9.5.5) âèïëèâຠç â³äïîâ³äíî¿ ôîðìóëè (8.3.10)<br />
äëÿ íåâèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà ³ ôîðìóëè Íüþòîíà — Ëåéáí³öà.<br />
Ïðèêëàä 9.5.5. Îá÷èñëèòè 2 ∫ a ( x+<br />
3)sinaxdx , a ≠ 0.<br />
0<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
π<br />
⎡u = x+ 3 dv = sinaxdx⎤ x + 3 π<br />
∫ ( x+ 3)sinaxdx = ⎢<br />
⎥<br />
1 =− cosax<br />
2a<br />
+<br />
0<br />
⎢du = dx v =− cos ax⎥<br />
a<br />
⎢⎣<br />
0<br />
a ⎥⎦<br />
2a<br />
1<br />
π /2a ⎛ x + 3 1 ⎞<br />
π<br />
2 1 3 1 3a<br />
cos axdx cos ax sin ax a<br />
+<br />
+ ∫ = ⎜− +<br />
2 ⎟ = + =<br />
2 2<br />
a 0<br />
⎝ a a ⎠ 0 a a a<br />
.<br />
π<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Îá÷èñëèòè ³íòåãðàëè:<br />
5<br />
1<br />
dx<br />
9.1. ∫<br />
1 3x<br />
− 2<br />
; 9.2. dz<br />
∫<br />
0 (2z<br />
+ 1)<br />
3<br />
2<br />
dt<br />
; 9.3. ∫ 2<br />
1 t + 5t+ 4<br />
;<br />
2<br />
x + 3<br />
a<br />
x<br />
9.4. ∫ dx<br />
2 ; 9.5. ∫ xcos<br />
dx ;<br />
0 x + 4<br />
−a<br />
a<br />
π<br />
e<br />
x 3x 9.6. cos cos dx<br />
2<br />
∫ ; 9.7. ∫ (1+<br />
ln y)<br />
dy ;<br />
0 2 2<br />
1<br />
1 2<br />
xdx<br />
9.8. ∫ , ï³äñòàíîâêà z = x+<br />
1<br />
4<br />
; 9.9.<br />
0 ( x + 1)<br />
9.10. ∫<br />
7 3<br />
xdx<br />
2<br />
, z = x + 1<br />
3 2 2<br />
3<br />
3<br />
−3<br />
( x + 1)<br />
2 2<br />
9.12. ∫ x 9 − x dx, x = 3cosϕ; 9.13. ∫<br />
9.6. ÍÅÂËÀÑͲ ²ÍÒÅÃÐÀËÈ<br />
ln 2<br />
x<br />
x<br />
∫ e − 1 dx, t = e −1;<br />
0<br />
e 4<br />
1+<br />
lnx ; 9.11. ∫ dx , t = 1+<br />
ln x ;<br />
1 x<br />
π /2<br />
0<br />
dx x<br />
, z = tg .<br />
2+<br />
cosx<br />
2<br />
Ïîíÿòòÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà áóëî ââåäåíî äëÿ ñê³í-<br />
÷åííîãî ïðîì³æêó ³íòåãðóâàííÿ ³ â³ä îáìåæåíî¿ íà öüîìó<br />
ïðîì³æêó ôóíêö³¿ f(õ). ßêùî õî÷ îäíà ç öèõ óìîâ íå âèêîíàíà,<br />
òî âèçíà÷åíèé ³íòåãðàë ÿê ãðàíèöÿ ³íòåãðàëüíî¿<br />
ñóìè íå ³ñíóº. Àëå ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ ïðàêòè÷íèõ çàäà÷<br />
âèíèêຠíåîáõ³äí³ñòü ðîçãëÿäàòè íåâèçíà÷åí³ ³íòåãðàëè íà<br />
íåñê³í÷åííîìó ïðîì³æêó ³íòåãðóâàííÿ ³ â³ä íåîáìåæåíî¿<br />
ôóíêö³¿. Ó çâ’ÿçêó ç öèì ââîäèòüñÿ ïîøèðåíå ïîíÿòòÿ ³íòåãðàëà<br />
ó âèïàäêàõ íåñê³í÷åííîãî ïðîì³æêó òà íåîáìåæåíî¿<br />
ôóíêö³¿. ²íòåãðàëè â óêàçàíèõ âèïàäêàõ íàçèâàþòüñÿ<br />
íåâëàñíèìè.<br />
9.6.1. Íåâëàñí³ ³íòåãðàëè ² ðîäó<br />
Íåõàé ôóíêö³ÿ f(õ), ÿêà âèçíà÷åíà íà ïðîì³æêó [a,+∞)<br />
³íòåãðîâíà íà áóäü-ÿêîìó ñåãìåíò³ [a, A], äå a < A
Îçíà÷åííÿ 9.6.1. Íåâëàñíèì ³íòåãðàëîì ² ðîäó â³ä<br />
ôóíêö³¿ f(õ) íà ïðîì³æêó [a, +∞) (ïîçíà÷àºòüñÿ ñèìâîëîì<br />
+∞<br />
f x dx<br />
∫ ( ) ) íàçèâàºòüñÿ ãðàíèöÿ f( x) dx,<br />
a<br />
A<br />
lim<br />
A→+∞<br />
a<br />
∫ òîáòî<br />
A<br />
∫ f( x) dx = lim ∫ f( x)<br />
dx. (9.6.1)<br />
+∞<br />
a<br />
A→+∞<br />
a<br />
Ïðè öüîìó ìîæëèâ³ 3 âèïàäêè:<br />
1) ³ñíóº ñê³í÷åííà ãðàíèöÿ (9.6.1); 2) ãðàíèöÿ (9.6.1) äîð³âíþº<br />
íåñê³í÷åííîñò³; 3) ãðàíèöÿ (9.6.1) çîâñ³ì íå ³ñíóº.<br />
Ó ïåðøîìó âèïàäêó íåâëàñíèé ³íòåãðàë ² ðîäó (9.6.1)<br />
íàçèâàºòüñÿ çá³æíèì, à ó âèïàäêàõ 2) – 3) — ðîçá³æíèì.<br />
ßêùî íà ïðîì³æêó [a, +∞) f(õ) ≥ 0, òî, ç ãåîìåòðè÷íî¿<br />
òî÷êè çîðó, íåâëàñíèé ³íòåãðàë ² ðîäó âèðàæຠïëîùó íåîáìåæåíî¿<br />
îáëàñò³ (ðèñ. 9.9).<br />
äå ñ — äîâ³ëüíå ÷èñëî. Íåâëàñíèé ³íòåãðàë çë³âà ó ð³âíîñò³<br />
(9.6.2) º çá³æíèì òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè îáèäâà ³íòåãðàëè<br />
ó ïðàâ³é ¿¿ ÷àñòèí³ çá³æí³.<br />
Ïðèêëàä 9.6.1<br />
+∞<br />
dx<br />
A<br />
dx<br />
π<br />
∫ =<br />
2 lim ∫ =<br />
2 lim ( arctg A− arctg0)<br />
= limarctg A = .<br />
0 1+ x A→+∞ o 1+<br />
x A→+∞ A→+∞<br />
2<br />
π<br />
Îòæå ³íòåãðàë çá³æíèé, ³ éîãî çíà÷åííÿ äîð³âíþº . 2<br />
Ïðèêëàä 9.6.2<br />
dx<br />
A<br />
dx<br />
∫ = lim ∫ = lim ( ln A− ln1)<br />
= lim ln A=+∞.<br />
x x<br />
+∞<br />
1 A→+∞1<br />
A→+∞ A→+∞<br />
Ó öüîìó ïðèêëàä³ ³íòåãðàë ðîçá³æíèé.<br />
Ïðèêëàä 9.6.3<br />
+∞<br />
A<br />
( )<br />
∫ cos xdx = lim ∫ cos xdx = lim sin A − sin 0 = lim sin A .<br />
0 A→∞ 0<br />
A→+∞ A→+∞<br />
³äîìî, ùî ôóíêö³ÿ sinx íå ìຠãðàíèö³ íà íåñê³í÷åííîñò³,<br />
òîìó â öüîìó ïðèêëàä³ íåâëàñíèé ³íòåãðàë º ðîçá³æíèì.<br />
Ïðèêëàäè 9.6.4 – 9.6.5. Îá÷èñëèòè íåâëàñí³ ³íòåãðàëè:<br />
b<br />
e dx = lim e dx = lim − e = lim e − e = 1<br />
0<br />
.<br />
+∞ b<br />
− x − x 0<br />
9.6.4. (<br />
− x) (<br />
− b<br />
∫<br />
∫<br />
)<br />
0<br />
b→+∞ 0<br />
b→+∞ b→+∞<br />
Ðèñ. 9.9<br />
Àíàëîã³÷íî âèçíà÷àºòüñÿ íåâëàñíèé ³íòåãðàë ² ðîäó íà<br />
ïðîì³æêó (–∞, b].<br />
b<br />
( ) = lim ( )<br />
∫ f x dx ∫ f x dx.<br />
−∞<br />
b<br />
B→−∞B<br />
Íåâëàñíèé ³íòåãðàë ç äâîìà íåñê³í÷åííèìè ìåæàìè âèçíà÷àºòüñÿ<br />
ð³âí³ñòþ<br />
+∞ c<br />
+∞<br />
( ) = ( ) + ( )<br />
∫ f x dx ∫ f x dx ∫ f x dx. (9.6.2)<br />
−∞<br />
−∞<br />
c<br />
+∞<br />
dx<br />
0<br />
dx<br />
b<br />
dx<br />
0<br />
b<br />
9.6.5. ∫ = lim lim lim arctg lim arctg<br />
2 ∫ + 1 →−∞ 2 ∫ = + =<br />
1 →+∞ 2<br />
−∞ x + a<br />
a x + b<br />
0 x + 1 a→−∞ a b→+∞<br />
0<br />
⎛ π⎞<br />
π<br />
=−arctg( −∞ ) + arctg( +∞ ) =−⎜− ⎟+ =π.<br />
⎝ 2⎠<br />
2<br />
Ïðèêëàä 9.6.6 (òåîðåòè÷íèé). Âèçíà÷èòè, ïðè ÿêèõ çíà-<br />
÷åííÿõ λ º çá³æíèì íåâëàñíèé ³íòåãðàë:<br />
+∞<br />
dx<br />
I( λ ) = ∫ λ . (9.6.3)<br />
1 x<br />
308 309
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ïðèêëàäó 9.6.2 ïðè<br />
λ = 1 íåâëàñíèé ³íòåãðàë (9.6.3) ðîçá³ãàºòüñÿ. À ïðè λ≠1<br />
ìàºìî:<br />
⎧ 1<br />
1 −λ+ 1 ⎪ , ÿêùî λ> 1;<br />
∫ = ∫ x dx= = ( A − 1)<br />
= ⎨λ−1<br />
−λ + 1 −λ + 1<br />
⎪<br />
⎩ +∞ , ÿêùî λ < 1.<br />
1<br />
A<br />
+∞<br />
A<br />
−λ+<br />
dx<br />
−λ x<br />
λ lim lim lim<br />
1 x A→+∞1<br />
A→+∞ A→+∞<br />
1<br />
Îòæå, ò³ëüêè ïðè λ > 1 íåâëàñíèé ³íòåãðàë I(λ) çá³ãàºòüñÿ.<br />
ßñíî, ùî ïðè ³íøèõ çíà÷åííÿõ λ â³í ðîçá³ãàºòüñÿ.<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Àíàëîã³÷íî ìîæíà ïîêàçàòè (ðåêîìåíäóºìî<br />
öå çðîáèòè ÷èòà÷åâ³), ùî íåâëàñíèé ³íòåãðàë<br />
∫ ( a > 0<br />
+∞<br />
dx<br />
λ<br />
) çá³ãàºòüñÿ ïðè λ > 1, à ïðè λ≤1 ðîçá³ãàºòüñÿ.<br />
a x<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Âñòàíîâëåííÿ çá³æíîñò³ ïðè îá÷èñëåíí³<br />
íåâëàñíèõ ³íòåãðàë³â º ïåðøîñòåïåíåâîþ çàäà÷åþ, îñîáëèâî,<br />
ÿêùî òî÷íî íåâëàñíèé ³íòåãðàë íå îá÷èñëþºòüñÿ. Öåé ôàêò<br />
ïîÿñíþºòüñÿ òèì, ùî ò³ëüêè çà óìîâè çá³æíîñò³ íåâëàñíèõ<br />
³íòåãðàë³â ¿õ ìîæíà îá÷èñëþâàòè (òî÷íî àáî íàáëèæåíî).<br />
³äçíà÷èìî òàêîæ, ùî çã³äíî ç îçíà÷åííÿì íåâëàñíîãî ³íòåãðàëà<br />
éîãî ìîæíà íàáëèæåíî îá÷èñëèòè ç áóäü-ÿêîþ òî÷í³ñòþ.<br />
Íà ïðàêòèö³ îïåðàö³ÿ çíàõîäæåííÿ íàáëèæåíîãî çíà-<br />
÷åííÿ íåâëàñíîãî ³íòåãðàëà çä³éñíþºòüñÿ çà äîïîìîãîþ êîìï’þòåð³â.<br />
Ó çâ’ÿçêó ç îñòàíí³ì çàóâàæåííÿì ñôîðìóëþºìî ó âèãëÿä³<br />
òåîðåì äâ³ äîñòàòí³ óìîâè çá³æíîñò³ íåâëàñíèõ ³íòåãðàë³â<br />
² ðîäó.<br />
Òåîðåìà 9.6.1. ßêùî íà ïðîì³æêó [à, +∞) ôóíêö³¿ f(õ)<br />
³ g(õ) íåïåðåðâí³ é 0 ≤ f(õ) ≤ g(õ), òî ³ç çá³æíîñò³ ³íòåãðàëà<br />
âèïëèâຠçá³æí³ñòü<br />
+∞<br />
∫ g( x)<br />
dx<br />
(9.6.4)<br />
a<br />
+∞<br />
∫ f( x)<br />
dx, (9.6.5)<br />
a<br />
à ³ç ðîçá³æíîñò³ ³íòåãðàëà (9.6.4) âèïëèâຠðîçá³æí³ñòü ³íòåãðàëà<br />
(9.6.5).<br />
Òåîðåìà 9.6.2. ßêùî ³ñíóº ãðàíèöÿ<br />
( )<br />
( )<br />
f x<br />
lim<br />
x→+∞<br />
g x<br />
= k, 0 < k < +∞,<br />
òî îáèäâà ³íòåãðàëè (9.6.4) ³ (9.6.5) àáî âîäíî÷àñ çá³ãàþòüñÿ,<br />
àáî âîäíî÷àñ ðîçá³ãàþòüñÿ.<br />
Ïðèêëàä 9.6.7. Äîñë³äèòè íà çá³æí³ñòü ³íòåãðàë<br />
+∞<br />
xdx<br />
∫<br />
1<br />
23<br />
x + 5<br />
. (9.6.6)<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïðè x ≥ 1 ìàºìî î÷åâèäíó îö³íêó<br />
x x 1<br />
< =<br />
x + 5 x x<br />
23 23 21<br />
2 2<br />
+∞<br />
dx<br />
³ îñê³ëüêè ³íòåãðàë ∫ 21<br />
1<br />
x 2<br />
çá³ãàºòüñÿ (öå ³íòåãðàë ²(λ) äëÿ<br />
21<br />
λ= >1), òî çã³äíî ç òåîðåìîþ 9.6.1 çá³ãàºòüñÿ é ³íòåãðàë<br />
2<br />
(9.6.6).<br />
Ïðèêëàä 9.6.8. Äîñë³äèòè íà çá³æí³ñòü ³íòåãðàë<br />
+∞<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ìàºìî<br />
( x)<br />
1<br />
( ln ( 1+ x)<br />
−ln<br />
)<br />
,<br />
∫ x dx . (9.6.7)<br />
x<br />
ln 1+ −ln x ⎛ ⎛ 1⎞⎞<br />
⎛ 1⎞<br />
lim = lim x ln 1 lim ln 1<br />
x→+∞ 1<br />
⎜ ⋅ ⎜ + ⎟⎟= ⎜ + ⎟ =<br />
x→+∞ ⎝ x⎠ x→+∞<br />
⎝ x⎠<br />
x<br />
⎝<br />
⎠<br />
x<br />
⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞<br />
= ln lim 1+ = ln e = 1,<br />
⎜ ⎜ ⎟<br />
x→+∞⎝<br />
x ⎠ ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
310 311
³ îñê³ëüêè<br />
+∞<br />
∫<br />
1<br />
ðîçá³æíèé (öå ³íòåãðàë ²(λ) ïðè λ = 1), òî ðîçá³æíèì º<br />
³íòåãðàë (9.6.7) âíàñë³äîê òåîðåìè 9.6.2.<br />
9.6.2. Íåâëàñí³ ³íòåãðàëè II ðîäó<br />
Ðîçãëÿíåìî òåïåð ôóíêö³þ f(x), ÿêà âèçíà÷åíà íà ï³â³íòåðâàë³<br />
[à, b), ³ íåõàé âèêîíàíà óìîâà:<br />
x→b−0<br />
dx<br />
x<br />
( )<br />
lim f x<br />
=∞ .<br />
Òî÷êó b áóäåìî íàçèâàòè îñîáëèâîþ òî÷êîþ ôóíêö³¿ f(x).<br />
Ó ö³é òî÷ö³ ôóíêö³ÿ f(õ) ìຠâåðòèêàëüíó àñèìïòîòó<br />
(ðèñ. 9.10). Íåõàé ôóíêö³ÿ f(õ) ³íòåãðîâíà íà áóäü-ÿêîìó<br />
ñåãìåíò³ [à, b – ε], äå 0 < ε < b – à.<br />
ßêùî ãðàíèöÿ ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ (9.6.8) ³ñíóº ³ ñê³í÷åííà,<br />
òî íåâëàñíèé ³íòåãðàë ²² ðîäó íàçèâàºòüñÿ çá³æíèì, ó ïðîòèâíîìó<br />
ðàç³ íàçèâàºòüñÿ ðîçá³æíèì.<br />
ßêùî îñîáëèâîþ òî÷êîþ ôóíêö³¿ f(x) º òî÷êà à<br />
(ðèñ. 9.11), òî<br />
b<br />
a<br />
( ) = lim ∫ ( )<br />
∫f x dx<br />
b<br />
−ε→ 0a+ε<br />
f x dx<br />
çà óìîâè, ùî ôóíêö³ÿ f(x) ³íòåãðîâíà íà ñåãìåíò³ [a + ε, b],<br />
0
ßêùî ³ñíóþòü îêðåìî ñê³í÷åíí³ ãðàíèö³<br />
lim<br />
c−ε1<br />
( ) lim ∫ ( )<br />
∫ f x dx, f x dx,<br />
ε1→0 a<br />
ε2→ 0c+ε<br />
2<br />
òî ³íòåãðàë ó ë³â³é ÷àñòèí³ ôîðìóëè (9.6.9) íàçèâàºòüñÿ<br />
çá³æíèì, à ÿêùî õî÷à á îäíà ç öèõ ãðàíèöü íå ³ñíóº àáî º<br />
íåñê³í÷åííîþ — ðîçá³æíèì.<br />
ßêùî îñîáëèâèìè º ò³ëüêè òî÷êè à ³ b, òî çà îçíà÷åííÿì<br />
b c b<br />
( ) = ( ) + ( ) ,<br />
b<br />
∫f x dx ∫f x dx ∫ f x dx<br />
(9.6.10)<br />
a a c<br />
äå ñ — äîâ³ëüíà òî÷êà ³íòåðâàëó (à, b). ²íòåãðàë ó ë³â³é<br />
÷àñòèí³ ôîðìóëè (9.6.10) áóäå çá³æíèì, ÿêùî îáèäâà ³íòåãðàëè<br />
ó ïðàâ³é ¿¿ ÷àñòèí³ çá³æí³.<br />
Ç ãåîìåòðè÷íî¿ òî÷êè çîðó, ³íòåãðàë (9.6.8) òàêîæ, ÿê ³<br />
íåâëàñíèé ³íòåãðàë ² ðîäó, âèðàæຠïëîùó íåñê³í÷åííî¿ ô³ãóðè<br />
(ðèñ. 9.13).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ó äàíîìó ïðèêëàä³ îñîáëèâîþ º òî÷êà<br />
õ = 1. Òîä³ ìàºìî:<br />
dx<br />
dx<br />
−ε<br />
π<br />
= = ( arcsin x) = ( arcsin( 1−ε ))<br />
= arcsin1 = .<br />
1−x<br />
1−x<br />
2<br />
1 1−ε<br />
1<br />
∫ lim ∫ lim lim<br />
2 0 2 0<br />
0<br />
0 ε→ 0<br />
ε→ ε→0<br />
²íòåãðàë çá³ãàºòüñÿ.<br />
Ïðèêëàä 9.6.10. Äîñë³äèòè íà çá³æí³ñòü ³ ó âèïàäêó çá³æíîñò³<br />
îá÷èñëèòè ³íòåãðàë:<br />
2<br />
∫<br />
dx<br />
( x − )<br />
−1 3<br />
2<br />
1<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ó äàíîìó ïðèêëàä³ ï³ä³íòåãðàëüíà<br />
ôóíêö³ÿ ìຠíåñê³í÷åííèé ðîçðèâ ó òî÷ö³ x = 1, ÿêà çíàõîäèòüñÿ<br />
óñåðåäèí³ â³äð³çêà ³íòåãðóâàííÿ [–1, 2]. Çàñòîñóºìî<br />
ôîðìóëó (9.6.9):<br />
dx dx dx<br />
2 1−ε1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
∫ = lim ∫ + lim ∫ = lim 3 x − 1 +<br />
−1 3<br />
2 ε→+ 1 0<br />
− 1 3<br />
2 ε2→+ 0<br />
1+ε<br />
3<br />
2 ε→+ 1 0<br />
( x−1 2<br />
) ( x−1) ( x−1)<br />
.<br />
1−ε<br />
−1<br />
3 3 3<br />
( 1 ) ( 2 ) ( )<br />
2<br />
+ lim 3 x − 1 = 3 lim −ε − − 2 + 3 lim 1 − ε = 3 2 + 1 .<br />
3 3 3<br />
ε2→+ 0 1+ε<br />
ε1→+ 0 ε2→+<br />
0<br />
2<br />
²íòåãðàë çá³ãàºòüñÿ.<br />
Ïðèêëàä 9.6.11. Äîñë³äèòè íà çá³æí³ñòü<br />
Ðèñ. 9.13<br />
Ïðèêëàä 9.6.9. Äîñë³äèòè íà çá³æí³ñòü ³ ó âèïàäêó çá³æíîñò³<br />
îá÷èñëèòè ³íòåãðàë<br />
1<br />
∫<br />
0 1<br />
dx<br />
.<br />
2<br />
− x<br />
e<br />
dx<br />
∫ . (9.6.11)<br />
1 x ln x<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñîáëèâîþ º òî÷êà õ = 1, îñê³ëüêè<br />
ln1 = 0. Ìàºìî:<br />
( ln x)<br />
e<br />
dx<br />
e d<br />
e<br />
∫ = lim ∫ = lim( ln ( ln x)<br />
) = lim( − ln ( ln ( 1+ε )))<br />
=+∞.<br />
1 xln<br />
x ε→01+ε<br />
ln x ε→0 1+ε<br />
ε→0<br />
Îòæå, ³íòåãðàë (9.6.11) ðîçá³æíèé.<br />
314 315
Ïðèêëàä 9.6.12 (òåîðåòè÷íèé). Äîâåñòè, ùî ³íòåãðàë<br />
1<br />
∫<br />
0<br />
dx<br />
x λ<br />
ïðè λ < 1 çá³ãàºòüñÿ, à ïðè λ ≥1ðîçá³ãàºòüñÿ. Ïðîïîíóºìî öå<br />
çðîáèòè ÷èòà÷åâ³ ñàìîñò³éíî.<br />
Çàóâàæåííÿ. ßê äëÿ íåâëàñíèõ ³íòåãðàë³â ² ðîäó, òàê<br />
³ íåâëàñíèõ ³íòåãðàë³â ²² ðîäó âñòàíîâëåííÿ çá³æíîñò³ º<br />
ïåðøîñòåïåíåâèì. Ó çâ’ÿçêó ç öèì äóæå âàæëèâèìè º äîñòàòí³<br />
îçíàêè çá³æíîñò³ íåâëàñíèõ ³íòåãðàë³â ²² ðîäó. Ìàþòü<br />
ì³ñöå òåîðåìè, ÿê³ àíàëîã³÷í³ òåîðåìàì 9.6.1 – 9.6.2.<br />
Íàâåäåìî áåç äîâåäåííÿ îäíó ç íèõ.<br />
Òåîðåìà 9.6.3. Íåõàé íà ï³â³íòåðâàë³ (a, b] ôóíêö³¿<br />
f(õ) ³ g(õ) íåïåðåðâí³, ïðèéìàþòü äîäàòí³ çíà÷åííÿ ³ ìàþòü<br />
îñîáëèâ³ñòü ó òî÷ö³ õ = à. Òîä³, ÿêùî ³ñíóº ãðàíèöÿ<br />
( )<br />
( )<br />
f x<br />
lim<br />
x → a g x<br />
b<br />
b<br />
òî ³íòåãðàëè ∫ f( x)<br />
dx ³ ∫ ( )<br />
a<br />
a<br />
= k, 0 < k < +∞,<br />
g x dx<br />
çá³ãàþòüñÿ àáî ðîçá³ãàþòüñÿ<br />
îäíî÷àñíî.<br />
Ïðèêëàä 9.6.13. Äîñë³äèòè íà çá³æí³ñòü ³íòåãðàë<br />
1<br />
dx<br />
∫ .<br />
0 sin x<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Òóò îñîáëèâîþ º òî÷êà õ = 0. Äëÿ çàñòîñóâàííÿ<br />
òåîðåìè (9.6.3) îá÷èñëèìî ãðàíèöþ lim . Âîíà º<br />
sin x<br />
x →0<br />
x<br />
âàæëèâîþ ³, ÿê â³äîìî, (ï. 6.2.3) äîð³âíþº 1, ³ òîìó çá³æí³ñòü<br />
³íòåãðàëà ð³âíîñèëüíà çá³æíîñò³ ³íòåãðàëà ∫ , ÿêèé<br />
1<br />
dx<br />
0 x<br />
ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ïðèêëàäó 9.6.12 ðîçá³ãàºòüñÿ. Îòæå, çã³äíî<br />
ç òåîðåìîþ 9.6.3, ðîçá³ãàºòüñÿ ³ ðîçãëÿäóâàíèé ³íòåãðàë.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Îá÷èñëèòè íåâëàñí³ ³íòåãðàëè àáî ïîêàçàòè ¿õ ðîçá³æí³ñòü:<br />
1<br />
∞<br />
t<br />
dx<br />
9.14. ∫ edt ; 9.15. ∫ 2<br />
−∞<br />
−∞ x + 2x+ 2<br />
;<br />
1<br />
9.16. ∫ ln xdx ; 9.17.<br />
0<br />
2<br />
∫<br />
dx<br />
9.18. 0 ( x −1)<br />
2<br />
; 9.19.<br />
∫<br />
2<br />
xdx<br />
∫<br />
x − ;<br />
2<br />
−2 1<br />
6<br />
( − x)<br />
2 3<br />
4<br />
9.7. ÃÅÎÌÅÒÐÈ×Ͳ ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß<br />
ÂÈÇÍÀ×ÅÍÎÃÎ ²ÍÒÅÃÐÀËÀ<br />
9.7.1. Îá÷èñëåííÿ ïëîù ô³ãóð<br />
1. Ïëîùà ô³ãóðè ó ïðÿìîêóòí³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò.<br />
Ðîçãëÿíåìî ô³ãóðó, ÿêà îáìåæåíà ãðàô³êàìè ôóíêö³é f(õ),<br />
g(õ), äå f, g — íåïåðåðâí³ íà cåãìåíò³ [à, b] ôóíêö³¿,<br />
f(õ) ≥ g(õ) ≥ 0 ∀ x º [à, b], à òàêîæ âåðòèêàëüíèìè ïðÿìèìè<br />
õ = à, õ = b (ðèñ. 9.14).<br />
Ðèñ. 9.14<br />
dx<br />
2<br />
.<br />
316 317
Âèõîäÿ÷è ç ãåîìåòðè÷íîãî çì³ñòó âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà<br />
íåâàæêî ïîáà÷èòè, ùî ïëîùà ö³º¿ ô³ãóðè äîð³âíþº ð³çíèö³<br />
ïëîù äâîõ êðèâîë³í³éíèõ òðàïåö³é<br />
( ) ( ) ( ( ) ( ))<br />
b b b<br />
SABCD = SaADb − SaBCb<br />
= ∫f x dx− ∫g x dx = ∫ f x −g x dx. (9.7.1)<br />
a a a<br />
Çàóâàæåííÿ. Ôîðìóëà (9.7.1) çáåð³ãàºòüñÿ ³ ó òîìó<br />
âèïàäêó, êîëè ôóíêö³¿ f(õ), g(õ) ïðèéìàþòü áóäü-ÿê³ çíà÷åííÿ,<br />
íå îáîâ’ÿçêîâî íåâ³ä’ºìí³. Àëå ïðè öüîìó ïîâèííà âèêîíóâàòèñÿ<br />
íåð³âí³ñòü f(õ) ≥ g(õ), íàïðèêëàä, ÿê çîáðàæåíî íà<br />
ðèñ. 9.15.<br />
Ðèñ. 9.15<br />
Îá´ðóíòóâàííÿ ôîðìóëè (9.7.1) ó öüîìó âèïàäêó òàêå:<br />
êð³ì ôóíêö³é f(õ), g(õ), ðîçãëÿíåìî ôóíêö³¿ f(õ) +Ñ, g(õ)+Ñ,<br />
äå Ñ âèáèðàºòüñÿ òàê, ùîá íîâ³ ôóíêö³¿ ïðèéìàëè ò³ëüêè<br />
äîäàòí³ çíà÷åííÿ. Äëÿ òàêèõ ôóíêö³é ôîðìóëà (9.7.1) ñïðàâåäëèâà.<br />
Äàë³ òðåáà ñêîðèñòàòèñÿ î÷åâèäíîþ òîòîæí³ñòþ:<br />
(f(õ) +Ñ) –(g(õ) +Ñ) =f(õ) –g(õ).<br />
Ïðèêëàä 9.7.1. Îá÷èñëèòè ïëîùó ô³ãóðè, ÿêó îáìåæåíî<br />
2<br />
ãðàô³êàìè ôóíêö³é y = x+ 2, y = x + 2x<br />
(ðèñ. 9.16).<br />
Ðèñ. 9.16<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ñïî÷àòêó çíàéäåìî ìåæ³ ³íòåãðóâàííÿ.<br />
Äëÿ öüîãî òðåáà çíàéòè àáñöèñè òî÷îê ïåðåòèíó ãðàô³ê³â<br />
2<br />
ôóíêö³é y = x+ 2, y = x + 2x. Îñê³ëüêè â òî÷êàõ ïåðåòèíó îðäèíàòè<br />
îäíàêîâ³, òî äëÿ çíàõîäæåííÿ øóêàíèõ àáñöèñ ìàòèìåìî<br />
ð³âíÿííÿ<br />
2<br />
x + 2x = x+<br />
2<br />
³ çâ³äñè ìàºìî: x 1 = –2, x 2 =1.<br />
Îòæå,<br />
1 1<br />
2 3<br />
2 2<br />
⎛ x x ⎞ 9<br />
S = ∫ ( x+ 2−x − 2x) dx = ∫ ( 2−x− x ) dx = ⎜2x− − ⎟ = = 4,5<br />
−2 −2<br />
2 2 2<br />
.<br />
⎝<br />
⎠ −2<br />
2. Ïëîùà ô³ãóðè, ÿêà îáìåæåíà ë³í³ÿìè, ùî çàäàí³<br />
ïàðàìåòðè÷íî. Íåõàé êðèâîë³í³éíà òðàïåö³ÿ îáìåæåíà êðèâîþ,<br />
ÿêà çàäàíà ïàðàìåòðè÷íî<br />
x =ϕ t , y =ψ t , α≤t ≤β,<br />
() ()<br />
äå ϕ(t), ó = ψ(t) — íåïåðåðâí³ ³ íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâí³<br />
íà ñåãìåíò³ [α, β] ôóíêö³¿. ßêùî ôóíêö³ÿ ϕ(t) ìîíîòîííà íà<br />
[α, β] ³ ϕ(α) =à, ϕ(β) =b, òî ïëîùà êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿<br />
îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ:<br />
β<br />
() ()<br />
S = ∫ ψ t ϕ′ t dt . (9.7.2)<br />
α<br />
1<br />
318 319
Ïðèêëàä 9.7.2. Îá÷èñëèòè ïëîùó ô³ãóðè, ÿêà îáìåæåíà<br />
åë³ïñîì õ = acos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π (äèâ. ï. 4.4.1).<br />
Ðîçâÿçàííÿ. Î÷åâèäíî, ùî øóêàíà ïëîùà ìîæå áóòè<br />
çíàéäåíà ìíîæåííÿì íà 4 ïëîù³ ¿¿ ÷àñòèíè, ùî ðîçòàøîâàíà<br />
ó 1-ìó êâàäðàíò³. Äëÿ ö³º¿ ÷àñòèíè:<br />
π<br />
⎛π⎞<br />
0 ≤t ≤ , ϕ ( t) = acos t, ϕ (0) = a , ϕ ⎜ ⎟=<br />
0.<br />
2 ⎝2⎠<br />
Òîìó çã³äíî ç ôîðìóëîþ (9.7.2) ìàòèìåìî:<br />
π<br />
0 0 2<br />
′<br />
2<br />
S = 4 ∫ bsin t ( a cos t) dt =− 4ab ∫ sin tdt = 2ab ∫ ( 1− cos 2t)<br />
dt =<br />
π<br />
π<br />
2 2<br />
π<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞<br />
= 2ab⎜t − sin2t ⎟ = πab<br />
.<br />
⎝ 2 ⎠<br />
Îòæå, ïëîùà ô³ãóðè, ÿêà îáìåæåíà åë³ïñîì, äîð³âíþº<br />
πab. Öåé ðåçóëüòàò ïîâí³ñòþ çá³ãàºòüñÿ ç ðåçóëüòàòîì<br />
îá÷èñëåííÿ ïëîù³ ô³ãóðè, îáìåæåíî¿ åë³ïñîì, ³íøèì ñïîñîáîì<br />
(äèâ. ïðèêë. 9.5.1).<br />
3. Ïëîùà ô³ãóðè ó ïîëÿðí³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò. Ðîçãëÿíåìî<br />
ô³ãóðó ÎÀÂ, ÿêà îáìåæåíà êðèâîþ, çàäàíîþ ó ïîëÿðí³é<br />
ñèñòåì³ êîîðäèíàò ρ=ρ( ϕ ) ³ ïðîìåíÿìè ϕ=α,<br />
ϕ=β<br />
(ðèñ. 9.17).<br />
0<br />
0<br />
Òàêà ô³ãóðà íàçèâàºòüñÿ êðèâîë³í³éíèì ñåêòîðîì. Îá÷èñëèìî<br />
éîãî ïëîùó. Ðîç³á’ºìî ñåãìåíò [α, β] äîâ³ëüíî îáðàíèìè<br />
òî÷êàìè<br />
α=ϕ<br />
0<br />
äå<br />
Îòæå,<br />
0≤≤<br />
i n<br />
S<br />
1 1<br />
= lim ρ ( ξ ) ∆ϕ = ρ ( ϕ)<br />
dϕ,<br />
2 2<br />
n<br />
β<br />
2 2<br />
OAB ∑<br />
i i ∫<br />
λ→ 0i= 1<br />
α<br />
λ= max∆ϕ — ðàíã ðîçáèòòÿ ñåãìåíòà [α, β] íà ÷àñòèíí³.<br />
i<br />
Òàêèì ÷èíîì, ïëîùà êðèâîë³í³éíîãî ñåêòîðà (çà óìîâè,<br />
ùî âîíà ³ñíóº) îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ<br />
β<br />
1 2<br />
S = ∫ ρ ( ϕ)<br />
dϕ. (9.7.3)<br />
2 α<br />
Ïðèêëàä 9.7.3. Îá÷èñëèòè ïëîùó ô³ãóðè, ÿêà îáìåæåíà<br />
ρ= 2a<br />
1+ cos ϕ , 0≤ϕ≤2π (ðèñ. 9.19).<br />
êàðä³î¿äîþ ( )<br />
Ðèñ. 9.19<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ô³ãóðà, ÿêà îáìåæåíà êàðä³î¿äîþ (ðèñ.<br />
9.19), íàãàäóº ñåðöå ³ ñèìåòðè÷íà â³äíîñíî îñ³ Îõ. Òîìó ¿¿<br />
ïëîùó ìîæíà îá÷èñëèòè ÿê ïîäâîºíó ïëîùó ¿¿ âåðõíüî¿<br />
÷àñòèíè. Äëÿ íå¿ 0 ≤ϕ≤π, òîìó<br />
1<br />
2<br />
π<br />
= ⋅ ( + ϕ) ϕ= ∫( + ϕ+ ϕ)<br />
ϕ=<br />
2<br />
π<br />
2 2 2<br />
S 2 ∫4a 1 cos d 4a 1 2cos cos d<br />
0 0<br />
π<br />
2 1 cos 2<br />
π<br />
⎛<br />
+ ϕ⎞<br />
2<br />
= 4a ∫⎜1+ 2cosϕ+ ⎟dϕ= 2a ∫( 3+ 4cosϕ+ cos2ϕ)<br />
dϕ=<br />
0⎝<br />
2 ⎠<br />
0<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
⎛<br />
1 ⎞<br />
= 2 ⎜3ϕ+ 4sinϕ+ sin2ϕ ⎟ = 6π<br />
⎝<br />
2 ⎠<br />
2 π 2<br />
a<br />
0<br />
a .<br />
9.20. Îá÷èñëèòè ïëîùó ô³ãóðè, ÿêà îáìåæåíà òàêèìè ë³í³ÿìè:<br />
1) ïàðàáîëîþ 4y =8x – x 2 ³ ïðÿìîþ 4y = x +6;<br />
2) ïàðàáîëàìè y =4–x 2 ³ y = x 2 –2x;<br />
3) êðèâèìè ρ= 2 3a<br />
cosϕ ³ ρ= 2a<br />
sinϕ.<br />
9.7.2. Îá÷èñëåííÿ äîâæèíè äóã êðèâèõ ë³í³é<br />
1. Äîâæèíà äóãè ó ïðÿìîêóòí³é äåêàðòîâ³é ñèñòåì³<br />
êîîðäèíàò. Íåõàé çàäàíà äóãà À ãðàô³êà ôóíêö³¿ ó = f(x),<br />
ÿêó áóäåìî ââàæàòè íåïåðåðâíî ä³ôåðåíö³éîâíîþ íà cåãìåíò³<br />
[à, b]. Ðîç³á’ºìî ñåãìåíò [à, b] äîâ³ëüíî îáðàíèìè òî÷êàìè<br />
ä³ëåííÿ íà ÷àñòèíí³: à = õ 0 < õ 1
Îñê³ëüêè ôóíêö³ÿ ó = f(x) íåïåðåðâíî ä³ôåðåíö³éîâíà íà<br />
cåãìåíò³ [à, b], òî çã³äíî ç ôîðìóëîþ Ëàãðàíæà íà êîæíîìó<br />
÷àñòèííîìó ñåãìåíò³ [x i-1 , x i ] ìàòèìåìî<br />
Òîä³<br />
( ) ( 1 ) ( )<br />
∆ y = f x − f x = f ξ ⋅∆ x .<br />
′<br />
i i i− i i<br />
n<br />
n<br />
( ′( )) ( ′( ))<br />
2 2<br />
i<br />
1<br />
i i, n i<br />
1<br />
i i<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
∆ S = + f ξ ⋅∆ x P = ∑∆ S = ∑ + f ξ ⋅∆x<br />
.<br />
Îñòàííÿ ñóìà ÿâëÿº ñîáîþ ³íòåãðàëüíó ñóìó äëÿ ôóíêö³¿<br />
( ′( )) 2<br />
1 + f x . Îñê³ëüêè f′(x) íåïåðåðâíà, òî ôóíêö³ÿ<br />
( ′( )) 2<br />
1 + f x òåæ íåïåðåðâíà, ³ òîä³ ³ñíóº â³äïîâ³äíà ãðàíèöÿ<br />
(äèâ. ï. 9.2):<br />
1 3<br />
4 4<br />
3 3 2 2<br />
9 ⎛ 9 ⎞ 4 2⎛ 9 ⎞ 56<br />
l = ∫ 1+ xdx = ∫ ⎜1+ x⎟ dx = ⋅ ⎜1+ x ⎟ = .<br />
0 4 0 ⎝ 4 ⎠ 9 3⎝ 4 ⎠ 27<br />
2. Äîâæèíà äóãè ó âèïàäêó ¿¿ ïàðàìåòðè÷íîãî çàäàííÿ.<br />
ßêùî êðèâà À çàäàíà ïàðàìåòðè÷íî: õ = ϕ(t), ó = ψ(t),<br />
α≤t ≤β, äå ϕ, ψ — íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâí³ íà ñåãìåíò³<br />
[α, β] ôóíêö³¿, òî<br />
β<br />
α<br />
( ′()) ( ′())<br />
2 2<br />
l = ∫ ϕ t + ψ t dt . (9.7.5)<br />
Ïðèêëàä 9.7.5. Îá÷èñëèòè äîâæèíó îäí³º¿ àðêè öèêëî¿-<br />
äè (ðèñ. 9.21), ÿêà çàäàíà ïàðàìåòðè÷íèìè ð³âíÿííÿìè:<br />
õ = à(t – sint), ó = à(1– ñîst) (0 ≤ t ≤ 2π).<br />
4<br />
3<br />
0<br />
n<br />
λ→ 0 i=<br />
1<br />
b<br />
( ′( )) ( ′<br />
i<br />
i ( ))<br />
2 2<br />
l = lim∑ 1+ f ξ ⋅∆ x = ∫ 1+<br />
f x dx.<br />
Îòæå, îòðèìàëè ôîðìóëó:<br />
a<br />
b<br />
( ′( )) 2<br />
l = ∫ 1 + f x dx. (9.7.4)<br />
a<br />
Ïðèêëàä 9.7.4. Îá÷èñëèòè äîâæèíó äóãè íàï³âêóá³÷íî¿<br />
3<br />
ïàðàáîëè y = x 2<br />
4 , x ∈ [0, ] (ðèñ. 9.20).<br />
3<br />
Ðèñ. 9.21<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Öèêëî¿äà — öå ë³í³ÿ, ÿêó îïèñóº òî÷êà<br />
íà êîë³ ðàä³óñà à, ÿêå êîòèòüñÿ âçäîâæ ïðÿìî¿ ë³í³¿. Ó<br />
ÿêîñò³ ïàðàìåòðà t âèñòóïຠêóò ïîâîðîòó êîëà.<br />
Çà ôîðìóëîþ (9.7.5) ìàºìî:<br />
2 2<br />
2π<br />
2π<br />
⎛ ′ ⎞ ⎛ ′ ⎞<br />
2 2 2 2<br />
l = ∫ ⎜( a( t− sin t)<br />
) ⎟ + ⎜( a( 1− cost)<br />
) ⎟ = ∫ a( 1− cost)<br />
+ a sin t dt =<br />
0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0<br />
Ðèñ. 9.20<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çàñòîñóºìî ôîðìóëó (9.7.4). Òîä³ ìàòèìåìî<br />
2π<br />
2π<br />
2π<br />
t<br />
t<br />
= a ∫ 2− 2cos t dt = 2a ∫ sin dt = − 4acos 0<br />
= 8a .<br />
0 0 2 2<br />
3. Äîâæèíà äóãè â ïîëÿðí³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò. ßêùî<br />
êðèâà çàäàíà ó ïîëÿðí³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò: ρ = ρ(ϕ),<br />
324 325
α≤ϕ≤β, äå ρ(ϕ) — íåïåðåðâíà äèôåðåíö³éîâíà íà [α, β]<br />
ôóíêö³ÿ, òî ìîæíà äîâåñòè, ùî<br />
l<br />
( ) ( ′( )) 2<br />
β<br />
2<br />
= ρ ϕ + ρ ϕ dϕ<br />
α<br />
∫ . (9.7.6)<br />
Ïðèêëàä 9.7.6. Îá÷èñëèòè äîâæèíó äóãè ïåðøîãî âèòêà<br />
ñï³ðàë³ Àðõ³ìåäà (ðèñ. 9.22) ρ= aϕ, 0≤ϕ≤2π.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
9.21. Îá÷èñëèòè äîâæèíó äóãè:<br />
1) ï³âêóá³÷íî¿ ïàðàáîëè y 2 =(x –1) 3 ì³æ òî÷êàìè A(2, –1)<br />
³ B(5, –8).<br />
3 ϕ<br />
2) êðèâî¿ ρ= a cos .<br />
3<br />
9.8. ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß ÎÁ’ªÌ²Â Ò²Ë<br />
9.8.1. Îá÷èñëåííÿ îá’ºì³â ò³ë çà â³äîìèìè ïëîùàìè<br />
ïåðåð³ç³â<br />
Ðîçãëÿíåìî äåÿêå ò³ëî Ò (ðèñ. 9.23). Ïîçíà÷èìî ÷åðåç<br />
S(õ) ïëîùó ïåðåð³çó öüîãî ò³ëà ïëîùèíîþ, ùî ïðîõîäèòü<br />
ïåðïåíäèêóëÿðíî äåÿêî¿ îñ³ ÷åðåç òî÷êó ç êîîðäèíàòîþ õ<br />
íà ö³é îñ³ (a ≤ x ≤ b).<br />
Ðèñ. 9.22<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çàñòîñóºìî ôîðìóëó (9.7.6). Ó ðåçóëüòàò³<br />
îòðèìàºìî<br />
⎡<br />
2<br />
u = ϕ + 1, dv = dϕ⎤<br />
2π<br />
2π<br />
⎢<br />
⎥<br />
2 2 2 2<br />
l = ∫ a ϕ + a dϕ = a∫ 1 +ϕ dϕ = ⎢ ϕ<br />
⎥ =<br />
0 0<br />
du = dϕ , v = ϕ<br />
2<br />
⎢⎣<br />
ϕ + 1 ⎥⎦<br />
( )<br />
2π 2π 2 2 2<br />
2 ϕ<br />
π<br />
2 ϕ + 1−1<br />
= a ϕ + 1 ϕ −a⋅ ∫ dϕ= 2aπ 4π + 1−a∫<br />
dϕ=<br />
0 0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
ϕ + 1 ϕ + 1<br />
( )<br />
2π<br />
2 dϕ<br />
2 2<br />
= 2aπ 4π + 1− l+ a∫<br />
= 4aπ 4π + 1− l+ aln 2π+ 4π + 1<br />
0<br />
2<br />
.<br />
ϕ + 1<br />
Ñàìà ë³âà ÷àñòèíà ³ ñàìà ïðàâà ÷àñòèíà ëàíöþæêà ð³âíîñòåé<br />
ÿâëÿþòü ñîáîþ ð³âíÿííÿ â³äíîñíî øóêàíî¿ äîâæèíè l.<br />
Ðîçâ’ÿçóþ÷è éîãî, îñòàòî÷íî ìàòèìåìî<br />
( )<br />
⎡<br />
1<br />
= ⎢π π + + π+ π +<br />
⎣<br />
2<br />
2 2<br />
l a 4 1 ln 2 4 1 .<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Ðèñ. 9.23<br />
Çä³éñíèìî äîâ³ëüíå ðîçáèòòÿ R ñåãìåíòà [a, b] íà ÷àñòèíí³<br />
ñåãìåíòè òî÷êàìè<br />
R: a = x 0 < x 1 < ...< x n–1 < x n = b<br />
³ ïðîâåäåìî ÷åðåç ö³ òî÷êè ïëîùèíè, ïåðïåíäèêóëÿðí³ ñåãìåíòó<br />
[a, b]. Íà êîæíîìó ÷àñòèííîìó ñåãìåíò³ [x i–1 , x i ] âèáåðåìî<br />
äîâ³ëüíó òî÷êó ξ i . Ïëîùèíè ðîçáèâàþòü ò³ëî Ò íà<br />
øàðè, â ÿê³ âïèøåìî åëåìåíòàðí³ öèë³íäðè Ò i . Ïëîùà îñíîâè<br />
öèë³íäðà Ò i äîð³âíþº S(ξ i ), à âèñîòà ∆õ i = õ i – x i-1 . Îá’ºì<br />
âñ³õ òàêèõ öèë³íäð³â îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ<br />
n n<br />
n<br />
=<br />
i<br />
= ( ξi)<br />
∆<br />
i<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
V ∑T ∑ S x .<br />
326 327
Ãðàíèöÿ ö³º¿ ñóìè ïðè<br />
λ= max ∆x<br />
→ 0 (ÿêùî âîíà ³ñíóº)<br />
1≤≤<br />
i n<br />
íàçèâàºòüñÿ îá’ºìîì äàíîãî ò³ëà. Î÷åâèäíî, ùî V n — ³íòåãðàëüíà<br />
ñóìà äëÿ ôóíêö³¿ S(õ) íà ñåãìåíò³ [à, b]. Îòæå, çà<br />
îçíà÷åííÿì âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà îá’ºì ò³ëà Ò òàêèé:<br />
b<br />
V = ∫ S( x)<br />
dx . (9.8.1)<br />
a<br />
Çàóâàæåííÿ. ßêùî íàì â³äîì³ ïëîù³ S(y) ïåðåð³ç³â,<br />
ùî ïðîõîäÿòü ïåðïåíäèêóëÿðíî îñ³ Îy ÷åðåç òî÷êó ç êîîðäèíàòîþ<br />
ó íà ö³é îñ³ (ñ ≤ ó ≤ d), òî îá’ºì ò³ëà Ò (çà óìîâè,<br />
ùî â³í ³ñíóº) îá÷èñëþºòüñÿ çà òàêîþ ôîðìóëîþ:<br />
d<br />
( )<br />
i<br />
V = ∫ S y dy . (9.8.2)<br />
c<br />
Ïðèêëàä 9.8.1. Çíàéòè îá’ºì åë³ïñî¿äà (ðèñ. 9.24)<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
+ + = 1.<br />
2 2 2<br />
a b c<br />
àáî<br />
2 2 2<br />
x z y<br />
+ = 1− 2 2 2 ,<br />
a c b<br />
x<br />
a<br />
z<br />
+ 1<br />
c<br />
= .<br />
2 2<br />
2 2<br />
1 1<br />
2 2<br />
y<br />
y<br />
ϳâîñ³ öüîãî åë³ïñà òàê³: a = 1<br />
a 1 − , c<br />
2 1<br />
c 1<br />
2<br />
b<br />
= − b<br />
. Éîãî<br />
ïëîùà (äèâ. ïðèêë. 9.5.1, 9.7.2) äîð³âíþº<br />
2<br />
⎛<br />
Sy () ab<br />
1 1<br />
ac 1 y ⎞<br />
=π =π ⎜ −<br />
2 ⎟<br />
⎝ b ⎠ .<br />
Òîä³ çà ôîðìóëîþ 9.8.2 îòðèìàºìî<br />
b<br />
2 2 3 b<br />
⎛ y ⎞ b⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞ 4<br />
V =πac∫<br />
⎜1− dy 2 ac 1 dy 2 ac y abc<br />
2 ⎟ = π ∫⎜ −<br />
2 ⎟ = π ⎜ −<br />
2 ⎟ = π<br />
−b<br />
⎝ b ⎠ 0⎝ b ⎠ ⎝ 3b<br />
⎠ 0 3<br />
.<br />
Çîêðåìà, ÿêùî ïîêëàñòè a = b = c = R, òî îòðèìàºìî â³äîìó<br />
ôîðìóëó îá’ºìó êóë³<br />
V<br />
4<br />
3<br />
3<br />
= π R .<br />
9.8.2. Îá’ºì ò³ëà îáåðòàííÿ<br />
Ðîçãëÿíåìî ò³ëî, ÿêå óòâîðåíî îáåðòàííÿì ãðàô³êà ôóíêö³¿<br />
ó = f(x) íàâêîëî cåãìåíòà [à, b] îñ³ Îõ (ðèñ. 9.25). Òîä³<br />
ïëîùà ïåðåð³çó S(x) =πf 2 (õ), ³ çã³äíî ç ôîðìóëîþ (9.8.1)<br />
ìàòèìåìî:<br />
Ðèñ. 9.24<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ó ïåðåð³ç³ åë³ïñî¿äà ïëîùèíîþ, ïàðàëåëüíîþ<br />
ïëîùèí³ Îxyz íà â³äñòàí³ ó â³ä íå¿, óòâîðþºòüñÿ<br />
åë³ïñ<br />
b<br />
2<br />
V f ( x)<br />
dx<br />
a<br />
=π∫ . (9.8.3)<br />
Ïðèêëàä 9.8.2. Çíàéòè îá’ºì ò³ëà, óòâîðåíîãî îáåðòàííÿì<br />
ãðàô³êà ôóíêö³¿ y = sin x íàâêîëî â³äð³çêà [0, π] îñ³<br />
Îõ.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çà ôîðìóëîþ (9.8.3) ìàºìî:<br />
328 329
π<br />
π<br />
π<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞<br />
∫sin ∫( 1 cos 2 ) ⎜ sin 2 ⎟<br />
0 0 ⎝ ⎠0<br />
2<br />
π π π<br />
V =π xdx = − x dx = x − x = .<br />
2 2 2 2<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Ðèñ. 9.25<br />
9.22. Îá÷èñëèòè îá’ºì ò³ëà, óòâîðåíîãî îáåðòàííÿì ô³ãóðè,<br />
ÿêà îáìåæåíà ë³í³ÿìè:<br />
1) y 2 = px, x = a íàâêîëî îñ³ Ox;<br />
2 2<br />
x y<br />
2) + = 1<br />
2 2 íàâêîëî îñ³ Oy;<br />
a b<br />
3) 2y = x 2 , 2x +2y – 3 = 0 íàâêîëî îñ³ Ox;<br />
4) y =4–x 2 , y = 0 íàâêîëî ïðÿìî¿ x =3.<br />
9.9. ÏËÎÙÀ ÏÎÂÅÐÕͲ Ò²ËÀ ÎÁÅÐÒÀÍÍß<br />
9.9.1. Âèïàäîê îáåðòàííÿ êðèâî¿, ÿêà çàäàíà ð³âíÿííÿì<br />
y=f(x), x∈ [a, b]<br />
Íåõàé ãðàô³ê íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿<br />
y = f(x), x∈[a, b] (f(x) ≥ 0) îáåðòàºòüñÿ íàâêîëî îñ³ Îõ. Òîä³<br />
ìîæíà ïîêàçàòè, ùî ïëîùà ïîâåðõí³ ò³ëà, óòâîðåíîãî òàêèì<br />
÷èíîì, ³ñíóº ³ âîíà çíàõîäèòüñÿ çà ôîðìóëîþ<br />
( ) ( ′( )) 2<br />
b<br />
S = 2π ∫ f x 1+<br />
f x dx. (9.9.1)<br />
a<br />
Ïðèêëàä 9.9.1. Îá÷èñëèòè ïëîùó ïîâåðõí³ øàðîâîãî ïîÿñó<br />
âèñîòè H (÷àñòèíà ñôåðè, ÿêà âèð³çàíà äâîìà ïàðàëåëüíèìè<br />
ïëîùèíàìè, ùî ðîçòàøîâàí³ îäíà â³ä îäíî¿ íà â³äñòàí³<br />
H), ÿêùî ðàä³óñ ñôåðè äîð³âíþº R.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïîâåðõíþ øàðîâîãî ïîÿñó ìîæíà ðîçãëÿíóòè<br />
ÿê ïîâåðõíþ ò³ëà, ÿêó óòâîðåíî ïðè îáåðòàíí³ äóãè<br />
2 2<br />
êîëà y = R − x , äå a ≤ x ≤ b, b – a = H, íàâêîëî îñ³ Îõ, (÷èòà-<br />
÷åâ³ ïðîïîíóºìî çîáðàçèòè öåé ôàêò â³äïîâ³äíèì ðèñóíêîì).<br />
Îñê³ëüêè, f′ ( x) =<br />
−x<br />
2 2 , òî ( ( )) 2 R<br />
1 + f′<br />
x = ,<br />
2 2 ³<br />
R − x<br />
R − x<br />
çã³äíî ç ôîðìóëîþ (9.9.1) áóäåìî ìàòè<br />
b<br />
2 2 R<br />
b<br />
S = 2π∫<br />
R −x ⋅ dx = 2π R∫dx = 2πR( b− a)<br />
= 2πRH<br />
.<br />
a<br />
2 2<br />
R − x<br />
a<br />
Îòæå, ïëîùà ïîâåðõí³ øàðîâîãî ïîÿñó âèñîòè H îá÷èñëþºòüñÿ<br />
çà ôîðìóëîþ S = 2π RH .<br />
Çîêðåìà, ïëîùó ïîâåðõí³ ñôåðè ðàä³óñà R ìîæíà îòðèìàòè<br />
øëÿõîì ãðàíè÷íîãî ïåðåõîäó îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ ïðè<br />
2<br />
H → R: S = 4π R .<br />
ñô.<br />
9.9.2. Âèïàäîê îáåðòàííÿ êðèâî¿, ÿêà çàäàíà ïàðàìåòðè÷íî<br />
ßêùî êðèâà çàäàíà ïàðàìåòðè÷íî:<br />
x=ϕ () t , y =ψ()<br />
t ( α≤t≤β,<br />
)<br />
äå ϕ, ψ — íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâí³ ôóíêö³¿ íà ñåãìåíò³<br />
ϕα = ϕβ = b , òî ³ç ôîðìóëè (9.9.1) âèïëèâຠòàêà<br />
[α, β], ( ) a,<br />
( )<br />
β<br />
() ( ′()) ( ′())<br />
2 2<br />
S = 2π∫ ψ t ϕ t + ψ t dt . (9.9.2)<br />
α<br />
Ïðèêëàä 9.9.2 Îá÷èñëèòè ïëîùó S ïîâåðõí³, îòðèìàíî¿<br />
x= a t− sin t , y= a 1−cos t ,<br />
øëÿõîì îáåðòàííÿ öèêëî¿äè ( ) ( )<br />
0≤ t ≤2π, íàâêîëî îñ³ Îõ.<br />
330 331
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çà ôîðìóëîþ (9.9.1) ìàºìî<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
β<br />
( ) ( ) 2<br />
( ( )) 2<br />
S = 2π∫<br />
a 1− cost asint + a 1− cost dt =<br />
α<br />
t 64<br />
= πa − t dt = π a dt = πa .<br />
2π<br />
3<br />
2π<br />
2 2<br />
2 3 2<br />
2 2 ∫ ( 1 cos ) 8 ∫ sin<br />
0 0 2 3<br />
9.23. Çíàéòè ïëîùó ïîâåðõí³, óòâîðåíî¿ îáåðòàííÿì íàâêîëî<br />
â³ñ³ Ox:<br />
1) äóãè êóá³÷íî¿ ïàðàáîëè y = x 3 , ÿêà ì³ñòèòüñÿ ì³æ ïðÿìèìè<br />
2<br />
x =− ³<br />
3<br />
2<br />
x = ;<br />
3<br />
2 2<br />
x y<br />
2) åë³ïñà + = 1<br />
2 2 , a > b;<br />
a b<br />
3) îêðóæíîñò³ x = acos t, y = asin t;<br />
4) äóãè ïàðàáîëè y 2 =2x ì³æ òî÷êàìè ïåðåòèíó ç ïðÿìîþ<br />
2x =3.<br />
Ïðèêëàä 9.10.1. Îá÷èñëèòè ðîáîòó, ÿêó òðåáà çàòðàòèòè,<br />
ùîá ò³ëî ìàñè m ï³äíÿòè ç ïîâåðõí³ Çåìë³ âåðòèêàëüíî<br />
âãîðó íà âèñîòó h, ÿêùî ðàä³óñ Çåìë³ äîð³âíþº R.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çã³äíî ç çàêîíîì Íüþòîíà ñèëà çåìíîãî<br />
òÿæ³ííÿ äîð³âíþº:<br />
mM<br />
F( x) =γ<br />
2 ,<br />
x<br />
äå Ì — ìàñà Çåìë³, γ — ãðàâ³òàö³éíà ñòàëà, õ — â³äñòàíü<br />
â³ä öåíòðà ò³ëà äî öåíòðà Çåìë³ (ðèñ. 9.26). Î÷åâèäíî, ùî<br />
R ≤ õ ≤ R + h. ßêùî õ = R, (ò³ëî çíàõîäèòüñÿ íà ïîâåðõí³<br />
Çåìë³), òî (R) =Ð = mg — âàãà ò³ëà, òîáòî<br />
mM<br />
F( R) =γ = P ,<br />
2<br />
R<br />
³ çâ³äñè çà ôîðìóëîþ (9.10.1) ìàºìî:<br />
R+ h<br />
R+<br />
h 2<br />
pR PRh<br />
A= ∫ F( x)<br />
dx = ∫ dx=<br />
2<br />
R<br />
R x R+ h<br />
.<br />
9.10. Ô²ÇÈ×Ͳ ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß<br />
ÂÈÇÍÀ×ÅÍÎÃÎ ²ÍÒÅÃÐÀËÀ<br />
Çàñòîñóâàíü âèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â ó ô³çèö³ äóæå áàãàòî.<br />
³äçíà÷èìî äåÿê³ ç íèõ.<br />
9.10.1. Ðîáîòà çì³ííî¿ ñèëè<br />
ßê áóëî âæå ñêàçàíî â ï. 9.1.2, îá÷èñëåííÿ ðîáîòè çì³ííî¿<br />
ñèëè ïðèâîäèòü äî ïîíÿòòÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà. Íàãàäàºìî,<br />
ùî, ÿêùî çì³ííà ñèëà (x) 䳺 âçäîâæ íàïðÿìó<br />
ðóõó íà ñåãìåíò³ [a, b], òî ðîáîòà À îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ<br />
b<br />
a<br />
( )<br />
A= ∫ F x dx . (9.10.1)<br />
Ó öüîìó ïóíêò³ ðîçãëÿíåìî êîíêðåòíå çàñòîñóâàííÿ âèçíà÷åíîãî<br />
³íòåãðàëà.<br />
Ðèñ. 9.26<br />
332 333
9.10.2. Îá÷èñëåííÿ ïðîéäåíîãî øëÿõó<br />
Íåõàé òî÷êà Ì ðóõàºòüñÿ âçäîâæ äåÿêî¿ îñ³ ³ ìèòòºâà<br />
øâèäê³ñòü òî÷êè Ì ó ìîìåíò ÷àñó t äîð³âíþº v(t). Òðåáà<br />
çíàéòè øëÿõ, ÿêèé ïðîéäå òî÷êà â³ä ìîìåíòó ÷àñó t 0 äî<br />
ìîìåíòó Ò.<br />
ßêáè øâèäê³ñòü áóëà ñòàëîþ âåëè÷èíîþ (v(t) =v = ñînst),<br />
òî òàêà çàäà÷à ðîçâ’ÿçóâàëàñü áè äóæå ïðîñòî: S = v(T – t 0 ).<br />
Àëå v(t) — çì³ííà âåëè÷èíà, ³ çàäà÷à óñêëàäíþºòüñÿ.<br />
Ðîç³á’ºìî â³äð³çîê [t 0 , T] íà ÷àñòèíí³ [t i-1 , t i ] ( i = 1, n) ³ â<br />
êîæíîìó ç íèõ âèáåðåìî äîâ³ëüíó òî÷êó (ìîìåíò ÷àñó t i *).<br />
Ïðè öüîìó áóäåìî ââàæàòè, ùî øâèäê³ñòü íà êîæíîìó ç<br />
â³äð³çê³â º ñòàëîþ ³ ð³âíîþ v(t i* ). Òîä³ øëÿõ, ïðîéäåíèé<br />
òî÷êîþ çà ïðîì³æîê ÷àñó ∆ ti = ti − ti<br />
− 1<br />
, íàáëèæåíî äîð³âíþº<br />
*<br />
∆ S = v t ∆ t , à âåñü øëÿõ íàáëèæåíî çíàõîäèòüñÿ òàê:<br />
( )<br />
i i i<br />
*<br />
( i )<br />
n<br />
∑ i. (9.10.2)<br />
i=<br />
1<br />
∆ S= v t ∆t<br />
ßêùî òåïåð ïðèïóñòèòè, ùî ôóíêö³ÿ v(t) íåïåðåðâíà, òî,<br />
ïåðåõîäÿ÷è â ð³âíîñò³ (9.10.2) äî ãðàíèö³ ïðè λ= max∆t<br />
→ 0 ,<br />
1≤≤<br />
i n<br />
îòðèìàºìî<br />
T<br />
t0<br />
()<br />
S= ∫ v t dt. (9.10.3)<br />
Ïðèêëàä 9.10.2. Ìèòòºâà øâèäê³ñòü ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè<br />
òàêà: v(t) =7t + 5. Òðåáà çíàéòè øëÿõ, ÿêèé òî÷êà ïðîéøëà<br />
â³ä ìîìåíòó t 0 = 0 äî T = 100.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çã³äíî ç ôîðìóëîþ (9.10.3) ìàºìî:<br />
⎛7t<br />
⎝ 2<br />
100<br />
2 100<br />
S = ∫ ( 7t+ 5)<br />
dt = ⎜ + 5t ⎟ 0<br />
= 35500 .<br />
0<br />
⎞<br />
⎠<br />
9.11. ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß ÂÈÇÍÀ×ÅÍÎÃÎ<br />
²ÍÒÅÃÐÀËÀ  ÅÊÎÍÎֲ̲<br />
9.11.1. Çàñòîñóâàííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà â äèíàì³÷íèõ<br />
ïðîöåñàõ<br />
1.  ï. 9.1.3 áóëî âæå ïîêàçàíî åêîíîì³÷íèé çì³ñò âèçíà÷åíîãî<br />
³íòåãðàëà, à ñàìå: ÷åðåç âèçíà÷åíèé ³íòåãðàë<br />
(9.2.5) ìîæíà îá÷èñëèòè îá’ºì âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿, ÿêùî<br />
íàì â³äîìà ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³.<br />
Òàêå çàñòîñóâàííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà ìè ïðî³ëþñòðó-<br />
ºìî íà êîíêðåòíîìó ïðèêëàä³.<br />
Ïðèêëàä 9.11.1. Ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³ áðèãàäè ðîá³òíèê³â<br />
îïèñóºòüñÿ ôóíêö³ºþ qt () = 8t− t . Òóò qt () =ω ′()<br />
t , äå ω(t)<br />
2<br />
îçíà÷ຠê³ëüê³ñòü âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ çà ïðîì³æîê ÷àñó<br />
[0, t]. Ðîá³òíèêè ïðàöþþòü 8 ãîäèí, òîáòî t ∈ [0, 8].<br />
Òðåáà: à) îá÷èñëèòè îáñÿã âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ çà ïîâíèé<br />
ðîáî÷èé äåíü; á) îá÷èñëèòè îáñÿã âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿<br />
çà ïðîì³æîê ÷àñó [2,6]; â) ïîð³âíÿòè â ïðîöåíòíîìó â³äíîøåíí³<br />
ö³ îáñÿãè.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çàñòîñóºìî ôîðìóëó (9.2.5).<br />
Òîä³<br />
8 8<br />
3<br />
2 2 t 8 256<br />
à) Q q() t dt ( 8t t ) dt ⎛ ⎞<br />
= ∫ = ∫ − = ⎜4t<br />
− ⎟ = (îä. ïð.);<br />
0 0<br />
⎝ 3 ⎠ 0 3<br />
6 6<br />
3<br />
2 2 t 6 176<br />
á) Q1 q() t dt ( 8t t ) dt ⎛ ⎞<br />
= ∫ = ∫ − = ⎜4t<br />
− ⎟ 2<br />
= (îä. ïð.);<br />
2 2<br />
⎝ 3 ⎠ 3<br />
Q1 17600 275<br />
â) r = ⋅ 100% = = = 68.75% .<br />
Q<br />
256 4<br />
2.  åêîíîì³÷í³é ë³òåðàòóð³ âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ Êîááà –<br />
Äóãëàñà, ÿêà âðàõîâóº òåõí³÷íèé ïðîãðåñ, ìຠâèãëÿä:<br />
α1 α2 λt<br />
()<br />
qt = AL ⋅ ⋅K ⋅ e , (9.11.1)<br />
äå âåëè÷èíà L õàðàêòåðèçóº îáñÿã òðóäîâèõ ðåñóðñ³â, âåëè÷èíà<br />
K õàðàêòåðèçóº îáñÿã ôîíä³â, âåëè÷èíà λ õàðàêòåðèçóº<br />
³íòåíñèâí³ñòü ðîçâèòêó âèðîáíèöòâà, ïîâ’ÿçàíîãî ç òåõí³÷íèì<br />
ïðîãðåñîì.<br />
334 335
Òîä³ ìîæíà ïîêàçàòè ó â³äïîâ³äíîñò³ äî åêîíîì³÷íîãî<br />
çì³ñòó âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿ Êîááà – Äóãëàñà, ùî îáñÿã ïðîäóêö³¿<br />
çà T ðîê³â ñêëàäàº:<br />
T<br />
0<br />
()<br />
Q= ∫ q t dt, (9.11.2)<br />
äå q(t) — ôóíêö³ÿ, ÿêà âèçíà÷åíà çà ôîðìóëîþ (9.11.1).<br />
Ïðèêëàä 9.11.2. Òðåáà çíàéòè îáñÿã ïðîäóêö³¿, âèðîáëåíî¿<br />
ï³äïðèºìñòâîì çà 5 ðîê³â, ÿêùî âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ<br />
Êîááà – Äóãëàñà ïî âèãîòîâëåííþ ïðîäóêö³¿ ìຠâèãëÿä:<br />
() 49( 1 ) 7 t<br />
te<br />
qt<br />
= + . (9.11.3)<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çàñòîñîâóºìî ôîðìóëó (9.11.2) ç óðàõóâàííÿì<br />
(9.11.3).<br />
Òîä³ ìàòèìåìî<br />
7t<br />
⎡u = 1 + t , dv = e dt⎤<br />
5<br />
7t<br />
Q= 49 ( 1 t)<br />
e dt ⎢<br />
⎥<br />
∫ + = 1 =<br />
7t<br />
0<br />
⎢du = dt , v = e ⎥<br />
⎢⎣<br />
7 ⎥⎦<br />
Ïðèêëàä 9.11.3. Íåõàé I(t) = 5000 t.<br />
Òðåáà: à) îá÷èñëèòè ïðèð³ñò êàï³òàëó çà 5 ðîê³â;<br />
á) çà ñê³ëüêè ðîê³â ïðèð³ñò êàï³òàëó áóäå ñêëàäàòè<br />
250 000 (ãð. îä.).<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ.<br />
à) Çã³äíî ç ôîðìóëîþ (9.11.4) ìàºìî<br />
5<br />
∆ K = tdt = t =<br />
0<br />
á)<br />
5<br />
∫ 5000<br />
2<br />
2500 62500<br />
0<br />
T<br />
2<br />
250000 = ∫ 5000tdt<br />
= 2500T<br />
,<br />
0<br />
(ãð. îä.);<br />
çâ³äñè T = 10 (ðîê³â).<br />
9.11.2. Çàñòîñóâàííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà â çàäà-<br />
÷àõ ðåàë³çàö³¿ òîâàð³â<br />
Ðîçãëÿíåìî ôóíêö³þ ïîïèòó äåÿêîãî òîâàðó ó âèãëÿä³<br />
P = f(Q) (ðèñ. 9.27).<br />
( ) 7 5<br />
t<br />
5<br />
7 t<br />
= 71+ t e − 7∫ e dt = ( 41e<br />
35 −6)<br />
(îä. ïð.).<br />
0 0<br />
3. Ïðèïóñòèìî, ùî çà îäèíèöþ ÷àñó êàï³òàë K(t) ï³äïðè-<br />
ºìñòâà çá³ëüøóºòüñÿ íà âåëè÷èíó ÷èñòèõ ³íâåñòèö³é I(t)<br />
(êàï³òàëîâêëàäåííÿ ç óðàõóâàííÿì ïîâíèõ çàòðàò íà âèðîáíèöòâî<br />
ïðîäóêö³¿).<br />
Òîä³ ìàºìî<br />
() ′()<br />
I t = K t .<br />
×àñòî â åêîíîì³ö³ ñòàâèòüñÿ ïèòàííÿ ïðî ïðèð³ñò êàï³òàëó<br />
çà ïåð³îä T, ÿêùî â³äîìà ³íâåñòèö³ÿ I(t).<br />
Î÷åâèäíî, ùî<br />
( ) ( 0) ( )<br />
T<br />
K T − K =∆ K = ∫ I t dt . (9.11.4)<br />
0<br />
Ðèñ. 9.27<br />
Òóò P 0 — ð³âíîâàæíà ö³íà, à Q 0 — ê³ëüê³ñòü òîâàðó, ÿêèé<br />
ðåàë³çóºòüñÿ ïî ö³é ö³í³.<br />
ßñíî, ùî çàãàëüíà ñóìà ãðîøåé, ÿêà âèòðà÷åíà ïîêóïöÿìè,<br />
ñòàíîâèòü âåëè÷èíó<br />
à = P 0 Q 0 . (9.11.5)<br />
336 337
Íà ïðàêòèö³ êàðòèíà ðåàë³çàö³¿ òîâàðó Q 0 ïðîäàâöåì<br />
á³ëüø ñêëàäíà, ³ ïîâ’ÿçàíå öå ç òèì, ùî ïðîäàâåöü ç ìåòîþ<br />
ïðîäàæó òîâàðó âèùå ð³âíîâàæíî¿ ö³íè ïðîïîíóº ïîêóïöÿì<br />
Q0<br />
òîâàð ïàðò³ÿìè (ïîðö³ÿìè). Íàïðèêëàä, ∆ Qi<br />
= , i = 1, n, òóò<br />
n<br />
n — íàòóðàëüíå ÷èñëî, ÿêå âèçíà÷ຠê³ëüê³ñòü ïàðò³é òîâàðó.<br />
ϳäðàõóºìî òåïåð íàáëèæåíî ñóìó ãðîøåé, ÿêó âèòðà÷åíî<br />
ïîêóïöåì ïðè íàâåäåí³é òàêòèö³ ïðîäàâö³â:<br />
Γ ≈ P∆ Q + P∆ Q + K+ P∆Q<br />
, äå P = f( Q ) (ðèñ. 9.28).<br />
1 1 2 2 n n<br />
n<br />
n<br />
9.11.3. Çàñòîñóâàííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà â çàäà-<br />
÷àõ îá÷èñëåííÿ âèòðàò, äîõîä³â òà ïðèáóòê³â<br />
Íàâåäåìî ïðèêëàäè åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â, ïîâ’ÿçàíèõ ç<br />
ïîíÿòòÿì ãðàíè÷íèõ âåëè÷èí (äèâ. ï. 7.11).<br />
Íåõàé (x) º ôóíêö³ºþ çàãàëüíèõ âèòðàò íà âèðîáíèöòâî<br />
x îäèíèöü ïðîäóêö³¿, à f(x) =′(x) — ôóíêö³ÿ ãðàíè÷íèõ<br />
âèòðàò. Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ôîðìóëè Íüþòîíà – Ëåéáí³öà ìîæíà<br />
çàïèñàòè, ùî<br />
b<br />
b<br />
∫ f( x) dx = ( x) = ( b) −( a)<br />
. (9.11.6)<br />
a<br />
a<br />
Ðèñ. 9.28<br />
ßêùî, ä³éñíî ïðîäàâö³ ðåàë³çóþòü òîâàð “ìàëèìè” ïîðö³ÿìè,<br />
òî øóêàíó âåëè÷èíó à ìîæíà íàáëèæåíî îá÷èñëèòè<br />
0<br />
÷åðåç âèçíà÷åíèé ³íòåãðàë Γ ≈ ∫ ( )<br />
Q<br />
Q1<br />
f Q dQ, ùî â áàãàòüîõ âèïàäêàõ<br />
ñòàíîâèòü á³ëüø ïðîñòèé àëãîðèòì îá÷èñëåííÿ ñóìè<br />
Ã, í³æ ïîïåðåäí³é.<br />
10<br />
Ïðèêëàä 9.11.4. Íåõàé P = , Q<br />
Q 0 = 10000 (îä. ïð.),<br />
Q 1 =4.<br />
Òîä³<br />
10000<br />
1<br />
10<br />
10000<br />
2<br />
Γ ≈ ∫ dQ= 10⋅ 2Q<br />
= 20( 100 − 2)<br />
= 1960 (ãð. îä.).<br />
4 Q<br />
4<br />
Ïðè öüîìó âåëè÷èíà (b) –(a) âèçíà÷ຠçàãàëüí³ âèòðàòè<br />
ïðè çðîñòàíí³ â³ä a äî b îäèíèöü ïðîäóêö³¿.<br />
2<br />
Ïðèêëàä 9.11.5. Íåõàé ôóíêö³ÿ f( x) 5 2x 0,003x<br />
= + + .<br />
Òðåáà îá÷èñëèòè çàãàëüí³ âèòðàòè ∆ ïðè çðîñòàíí³ âèðîáíèöòâà<br />
â³ä 100 äî 1000 îäèíèöü ïðîäóêö³¿.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çã³äíî ç ôîðìóëîþ (9.11.6) ìàºìî<br />
1000<br />
2 2 3<br />
1000<br />
∆ F = ∫ ( 5 + 2x+ 0,003x ) dx= ( 5x+ x + 0,001x ) = 1993500 .<br />
100<br />
100<br />
Îòæå, çàãàëüí³ âèòðàòè âèðîáíèöòâà ó çàçíà÷åíèõ ìåæàõ<br />
äîð³âíþþòü 1 993 500 ãð. îä.<br />
Íàâåäåìî òàêîæ â³äïîâ³äí³ ôîðìóëè äëÿ îá÷èñëåííÿ ïðèðîñòó<br />
äîõîäó Ô(x) òà ïðèáóòêó Ψ(x) ïðè ðåàë³çàö³¿ âèðîáëåíî¿<br />
ïðîäóêö³¿ â³ä a äî b îäèíèöü çà óìîâè, ùî íàì â³äîì³<br />
ãðàíè÷íèé äîõîä ϕ(x) òà ãðàíè÷íèé ïðèáóòîê ψ(x):<br />
( x) dx ( b) ( a) , ( x) dx ( b) ( a)<br />
338 339<br />
b<br />
a<br />
b<br />
∆Φ = ∫ϕ = Φ − Φ ∆Ψ = ∫ φ = Ψ − Ψ . (9.11.7)<br />
a<br />
Ïðèêëàä 9.11.6. Íåõàé, ôóíêö³ÿ ϕ(x) = 100 + 0,2 x, à<br />
ψ(x) = 100 – 0,2 x, a = 0, b = 100.<br />
Òðåáà çíàéòè äîõîä òà ïðèáóòîê ï³äïðèºìñòâà â³ä ðåàë³çàö³¿<br />
âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
100 100<br />
2<br />
⎛ x ⎞100<br />
4 3<br />
∆Φ = ∫ ϕ ( x) dx = ∫ ( 100 + 0, 2x)<br />
dx = ⎜10x + 0, 2 ⎟ = 10 + 10 = 11000<br />
0 0<br />
⎝ 2 ⎠ 0<br />
,
4 3<br />
∆Ψ = 10 − 10 = 9000 .<br />
Îòæå, ïðè ðåàë³çàö³¿ ïðîäóêòó â 100 îäèíèöü äîõîä ñòàíîâèòü<br />
11 000 (ãð. îä), à ïðèáóòîê 9000 (ãð. îä.).<br />
9.12. ÍÀÁËÈÆÅÍÅ ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß<br />
ÂÈÇÍÀ×ÅÍÈÕ ²ÍÒÅÃÐÀ˲Â<br />
Äëÿ íàáëèæåíîãî îá÷èñëåííÿ âèçíà÷åíèõ ³íòåãðàë³â º<br />
ê³ëüêà ñïîñîá³â. ßêùî ôóíêö³ÿ f(x) çàäàíà ôîðìóëîþ àáî<br />
òàáëèöåþ, òî íàáëèæåíå çíà÷åííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà<br />
b<br />
∫ fxdx ( ) ìîæíà çíàéòè òàêèì øëÿõîì: 1) ðîçáèòè â³äð³çîê<br />
a<br />
³íòåãðóâàííÿ [a, b] òî÷êàìè x 1 , x 2 , ..., x n-1 íà n ð³âíèõ ÷àñòèí<br />
h = ; 2) îá÷èñëèòè çíà÷åííÿ ï³ä³íòåãðàëüíî¿ ôóíê-<br />
b − a<br />
n<br />
ö³¿ y = f(x) â òî÷êàõ a, x 1 , x 2 , ..., x n-1 , b, òîáòî âèçíà÷èòè:<br />
y 0 = f(a), y 1 = f(x 1 ), ..., y n-1 = f(x n-1 ), y n = f(b); 3) ñêîðèñòàòèñÿ<br />
îäí³ºþ ç íàáëèæåíèõ ôîðìóë.<br />
Íàéá³ëüøå âæèâàþòüñÿ òàê³ íàáëèæåí³ ôîðìóëè, ÿê³ çàñíîâàí³<br />
íà ãåîìåòðè÷íîìó çîáðàæåíí³ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà<br />
ó âèãëÿä³ ïëîù³ êðèâîë³í³éíî¿ òðàïåö³¿. Ïðè öüîìó ïðèïóñêàºòüñÿ,<br />
ùî ôóíêö³ÿ f(x) çàäàíà àíàë³òè÷íî ³ äèôåðåíö³éîâíà<br />
ïîòð³áíå ÷èñëî ðàç äëÿ îö³íêè ïîõèáêè.<br />
9.12.1. Ôîðìóëà ïðÿìîêóòíèê³â<br />
àáî<br />
b<br />
n−1<br />
∫ fxdx ( ) ≈ hy ( 0<br />
+ y1 + K + yn−<br />
1)<br />
= h∑<br />
yi<br />
(9.12.1)<br />
a<br />
i=<br />
0<br />
b<br />
n<br />
∫ fxdx ( ) ≈ hy ( 1<br />
+ y2<br />
+ K + yn)<br />
= h∑<br />
yi<br />
. (9.12.2)<br />
a<br />
i=<br />
1<br />
Ãåîìåòðè÷íî (ðèñ. 9.29) çà ö³ºþ ôîðìóëîþ ïëîùà êðèâîë³í³éíî¿<br />
òðàïåö³¿ aABb, ÿêà â³äïîâ³äຠ³íòåãðàëó ∫ fxdx ( ) ,<br />
b<br />
a<br />
çàì³íþºòüñÿ ñóìîþ ïëîù çàøòðèõîâàíèõ ïðÿìîêóòíèê³â.<br />
Ðèñ. 9.29<br />
9.12.2. Ôîðìóëà òðàïåö³é<br />
b<br />
⎛y 1<br />
0<br />
+ y n<br />
n<br />
⎞ ⎛y0<br />
+ y −<br />
n ⎞<br />
∫ fxdx ( ) ≈ h⎜ + y1 + y2 + K + yn−1⎟ = h⎜ + ∑ yi⎟. (9.12.3)<br />
a<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 i=<br />
1 ⎠<br />
Ãåîìåòðè÷íî çà ö³ºþ ôîðìóëîþ ïëîùà êðèâîë³í³éíî¿<br />
òðàïåö³¿ çàì³íþºòüñÿ ñóìîþ ïëîù çàøòðèõîâàíèõ òðàïåö³é<br />
(ðèñ. 9.30).<br />
Ðèñ. 9.30<br />
1<br />
dx<br />
Ïðèêëàä 9.1.7. Îá÷èñëèòè íàáëèæåíî ³íòåãðàë ∫ 2 çà<br />
0 1 + x<br />
äîïîìîãîþ ôîðìóë ïðÿìîêóòíèê³â ³ òðàïåö³¿ é ïîð³âíÿòè ç<br />
éîãî òî÷íèì çíà÷åííÿì.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íå îáìåæóþ÷è çàãàëüíîñò³, ðîç³á’ºìî<br />
ñåãìåíò [0, 1] íà 10 ð³âíèõ ÷àñòèí (h =10 –1 ) ³ çíàéäåìî çíà-<br />
÷åííÿ ôóíêö³¿ f(x) =(1+x 2 ) –1 â òî÷êàõ ðîçáèòòÿ. Ïîò³ì çàñòîñóºìî<br />
ôîðìóëè (9.10.1) – (9.10.3)<br />
1<br />
∫<br />
0<br />
dx<br />
1 +<br />
(1.0 0.99 0.96 0.92 0.86 0.8<br />
2<br />
x ≈ + + + + + +<br />
340 341
+ 0.74 + 0.67 + 0.61 + 0.55) = 0.81 .<br />
1<br />
∫<br />
0<br />
dx<br />
1 +<br />
1 (0.99 0.96 0.92 0.86 0.8<br />
2<br />
x ≈ 10<br />
+ + + + +<br />
+ 0.74 + 0.67 + 0.61 + 0.55 + 0.5) = 0.76 .<br />
1<br />
∫<br />
0<br />
dx<br />
1 +<br />
1 (0.75 0.99 0.96 0.92 0.86<br />
2<br />
x ≈ 10<br />
+ + + + +<br />
+ 0.8 + 0.67 + 0.61 + 0.55) = 0.782 .<br />
Òåïåð îá÷èñëèìî òî÷íî äàíèé ³íòåãðàë:<br />
1<br />
∫<br />
0<br />
dx<br />
1 + x<br />
2<br />
1<br />
π<br />
= arctgx<br />
0<br />
= ≈ 0.78539 .<br />
4<br />
Ïîð³âíÿííÿ íàáëèæåíèõ îá÷èñëåíü äàíîãî ³íòåãðàëà ç<br />
éîãî òî÷íèì çíà÷åííÿì äàþòü òàêèé ðåçóëüòàò: îòðèìàíà<br />
îäíà â³ðíà öèôðà çà ôîðìóëàìè ïðÿìîêóòíèê³â, à çà ôîðìóëîþ<br />
òðàïåö³¿ — äâ³ â³ðí³ öèôðè.<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Î÷åâèäíî, ùî ç³ çá³ëüøåííÿì n òî÷í³ñòü<br />
ôîðìóë (9.10.1 – 9.10.3) ïîêðàùóºòüñÿ.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Êð³ì ôîðìóë (9.10.1 – 9.10.3), ³ñíóþòü<br />
é ³íø³, íàïðèêëàä ïàðàáîë³÷íà ôîðìóëà ѳìïñîíà 1 .<br />
1<br />
ѳìïñîí Òîìàñ (1710 – 1761) — àíãë³éñüêèé ìàòåìàòèê.<br />
ÒÅÌÀ 10<br />
ÔÓÍÊÖ²¯ ÁÀÃÀÒÜÎÕ Ç̲ÍÍÈÕ<br />
10.1. ÎÑÍÎÂͲ ÎÇÍÀ×ÅÍÍß ² ÏÎÍßÒÒß<br />
10.1.1. Ïðîáëåìí³ ïðèêëàäè<br />
Ïðè âèð³øåíí³ áàãàòüîõ ïèòàíü ãåîìåòð³¿, ïðèðîäîçíàâñòâà<br />
³, çîêðåìà, åêîíîì³êè ìàþòü ì³ñöå âèïàäêè, êîëè îäíà<br />
âåëè÷èíà çàëåæèòü â³ä äåê³ëüêîõ.<br />
Ïîÿñíèìî öå íà ïðèêëàäàõ.<br />
Ïðèêëàä 10.1.1. Ïëîùà S äîâ³ëüíîãî ïðÿìîêóòíèêà<br />
òàêà: S = xy. Ç ö³º¿ ôîðìóëè âèäíî, ùî âåëè÷èíà S çàëåæèòü<br />
â³ä äâîõ çì³ííèõ âåëè÷èí x ³ y (x — äîâæèíà, y —<br />
øèðèíà).<br />
Ïðèêëàä 10.1.2.  òåî𳿠åëåêòðèêè â³äîìèé çàêîí Îìà,<br />
ÿêèé ó â³äïîâ³äíèõ îäèíèöÿõ ïîâ’ÿçóº ñèëó ñòðóìó (I), íàïðóãó<br />
(U) ³ îï³ð (R). Öåé çàêîí ìîæíà îïèñàòè òàêîþ ôîðìóëîþ<br />
U<br />
I = .<br />
R<br />
Ïðèêëàä 10.1.3. Îá’ºì V äîâ³ëüíîãî ïðÿìîãî ïàðàëåëåï³ïåäà<br />
òàêèé: V = xyz. Öÿ ôîðìóëà ïîêàçóº, ùî âåëè÷èíà V<br />
áóäü-ÿêîãî ïðÿìîãî ïàðàëåëåï³ïåäà çàëåæèòü â³ä òðüîõ âåëè÷èí<br />
(x — äîâæèíà, y — øèðèíà, z — âèñîòà).<br />
Ïðèêëàä 10.1.4.  êëàñè÷í³é òåî𳿠åêîíîì³êè â³äîìî<br />
òàêå ñï³ââ³äíîøåííÿ<br />
MV = PY. (10.1.1)<br />
Âîíî íàçèâàºòüñÿ ð³âíÿííÿì îáì³íó Ô³øåðà, àáî îñíîâíèì<br />
ð³âíÿííÿì êëàñè÷íî¿ ê³ëüê³ñíî¿ òåî𳿠ãðîøåé.  öüîìó<br />
ð³âíÿíí³ áóêâîþ Ì ïîçíà÷åíî çàãàëüíó ê³ëüê³ñòü ãðîøåé;<br />
áóêâîþ V ïîçíà÷åíî øâèäê³ñòü ¿õ îáîðîòó (ñê³ëüêè ðàç<br />
êîæíà ãðèâíÿ, äîëàð ïðèéìຠó÷àñòü ó ðîçðàõóíêàõ ó ñåðåäíüîìó<br />
çà ð³ê); áóêâîþ Y ïîçíà÷åíî íàö³îíàëüíèé ïðîäóêò<br />
àáî äîõîä (íàö³îíàëüíèé ïðîäóêò, âèðàæåíèé âàðò³ñòþ, ñï³â-<br />
342 343
ïàäຠç íàö³îíàëüíèì äîõîäîì); áóêâîþ Ð ïîçíà÷åíî ð³âåíü<br />
ö³í (ñåðåäíº âàãîìå çíà÷åííÿ ö³í ãîòîâèõ òîâàð³â ³ ïîñëóã,<br />
ÿê³ âèðàæàþòüñÿ â³äíîñíî áàçîâîãî ïîêàçíèêà, ïðèéíÿòîãî<br />
çà îäèíèöþ).<br />
Ñï³ââ³äíîøåííÿ (10.1.1) ïîâ’ÿçóº ì³æ ñîáîþ ÷îòèðè âèùå<br />
ââåäåí³ âåëè÷èíè, ³ ÿêùî éîãî ðîçâ’ÿçàòè â³äíîñíî îäí³º¿<br />
âåëè÷èíè, òî âîíà áóäå çàëåæàòè â³ä òðüîõ çàëèøåíèõ.<br />
Ïðèêëàä 10.1.5. Ïðè âèâ÷åíí³ òåìè 7 áóëà ââåäåíà âèðîáíè÷à<br />
ôóíêö³ÿ, ÿêà çàëåæèòü â³ä îäíîãî ôàêòîðà (îäíîôàêòîðíà<br />
âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ). Àëå â ðåàëüíîìó æèòò³ âàðò³ñòü<br />
ó âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ çàëåæèòü â³ä áàãàòüîõ ôàêòîð³â.<br />
Íàâåäåìî îäíó ç òàêèõ çàëåæíîñòåé:<br />
y = A K α L β , (10.1.2)<br />
äå A, α, β — íåâ³ä’ºìí³ êîíñòàíòè ³ α + β≤1, K º îáñÿã ôîíä³â,<br />
ÿê³ âèðàæàþòüñÿ ÷åðåç â³äïîâ³äíó âàðò³ñòü, à L º îáñÿã<br />
òðóäîâèõ ðåñóðñ³â.<br />
Ïðèêëàä 10.1.6. Ïîëîæåííÿ êîñì³÷íîãî êîðàáëÿ ùîäî<br />
öåíòðà «Áàéêîíóð» âèçíà÷àºòüñÿ ÷îòèðìà âåëè÷èíàìè<br />
(òðüîìà ïðîñòîðîâèìè é îäí³ºþ ÷àñîâîþ).<br />
Ïðèêëàä 10.1.7. Ñòàí ëþäèíè õàðàêòåðèçóºòüñÿ áàãàòüìà<br />
âåëè÷èíàìè, à ñàìå: â³êîì, òåìïåðàòóðîþ, àðòåð³àëüíèì òèñêîì,<br />
êàðä³îãðàìîþ òà ³íøå, ³íøå.<br />
Ðîçãëÿíóò³ ïðèêëàäè ïîêàçóþòü, ùî ³ñíóþòü çàëåæíîñò³<br />
äâîõ, òðüîõ, ÷îòèðüîõ ³ á³ëüø âåëè÷èí. Öåé ôàêò ïðèâîäèòü<br />
íàñ äî ïîíÿòòÿ ôóíêö³¿ áàãàòüîõ çì³ííèõ. Çîêðåìà, çàëåæí³ñòü<br />
(10.1.2) íàçèâàºòüñÿ ôóíêö³ºþ Êîááà – Äóãëàñà.<br />
10.1.2. Îçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ áàãàòüîõ çì³ííèõ<br />
Íåõàé ìàºìî n çì³ííèõ âåëè÷èí, ³ êîæíîìó óïîðÿäêîâàíîìó<br />
íàáîðó ³ç äåÿêî¿ ìíîæèíè X ñòàâèòüñÿ ó â³äïîâ³äí³ñòü<br />
ö³ëêîì âèçíà÷åíå çíà÷åííÿ çì³ííî¿ âåëè÷èíè z. Òîä³ êàæóòü,<br />
ùî çàäàíà ôóíêö³ÿ áàãàòüîõ çì³ííèõ z = f(x 1 , x 2 ,..., x n ).<br />
Çì³íí³ x 1 , x 2 ,..., x n íàçèâàþòü íåçàëåæíèìè çì³ííèìè, àáî<br />
àðãóìåíòàìè, z íàçèâàþòü çàëåæíîþ çì³ííîþ, ñèìâîë f<br />
îçíà÷ຠçàêîí â³äïîâ³äíîñò³. Ìíîæèíó Õ íàçèâàþòü îáëàñòþ<br />
âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿.<br />
Çâåðíåìî óâàãó íà ïðàâîì³ðí³ñòü ôðàçè: ôóíêö³ÿ áàãàòüîõ<br />
çì³ííèõ. Íà ïåðøèé ïîãëÿä, ç òî÷êè çîðó çàãàëüíîãî<br />
âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ (ÿê â³äîáðàæåííÿ îäíî¿ ìíîæèíè òî-<br />
÷îê íà äðóãó ìíîæèíó òî÷îê), âîíà çâó÷èòü òðîõè ïàðàäîêñàëüíî.<br />
Àëå óñå ñòຠçðîçóì³ëèì, ÿêùî êîæí³é óïîðÿäêîâàí³é<br />
ìíîæèí³ n ÷èñåë ïîñòàâèòè ó â³äïîâ³äí³ñòü òî÷êó<br />
P(x 1 , x 2 ,..., x n ). Ñàìà òî÷êà íàçèâàºòüñÿ òî÷êîþ n-âèì³ðíîãî<br />
ïðîñòîðó, à ìíîæèíà óñ³õ òî÷îê íàçèâàºòüñÿ n-âèì³ðíèì<br />
ïðîñòîðîì. Çîêðåìà, ÿêùî n = 2, òî öå òî÷êà êîîðäèíàòíî¿<br />
ïëîùèíè. Òàê ùî, âèõîäÿ÷è ç ö³º¿ ³íòåðïðåòàö³¿, çàãàëüíå<br />
îçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ íåçì³ííå ( P → f( P)<br />
).<br />
À ôðàçîþ “ôóíêö³ÿ áàãàòüîõ çì³ííèõ” ³ çàïèñîì ôóíêö³¿<br />
z =(x 1 , x 2 ,..., x n ) ìè áóäåìî êîðèñòóâàòèñÿ ç ö³ëêîì<br />
ïðèðîäíèõ ì³ðêóâàíü (äëÿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ çâè÷àéíî<br />
êîðèñòóþòüñÿ çàïèñîì z = f(x, y)). À ñàìå, ÿêùî çàô³êñóâàòè<br />
(n – 1) çì³ííèõ, òî áóäåìî ìàòè ôóíêö³þ îäí³º¿ çì³ííî¿. Ó<br />
öüîìó âèïàäêó âñ³ ðåçóëüòàòè, â³äîì³ äëÿ ôóíêö³¿ îäí³º¿<br />
çì³ííî¿, ìîæóòü áóòè åôåêòèâíî ïåðåíåñåí³ íà äîñë³äæåííÿ<br />
ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ.<br />
10.1.3. Ôóíêö³ÿ äâîõ çì³ííèõ ³ ¿¿ îáëàñòü âèçíà-<br />
÷åííÿ<br />
Íå îáìåæóþ÷è çàãàëüíîñò³, çóïèíèìîñÿ íà âèïàäêó ôóíêö³¿<br />
äâîõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ. Âèíèêຠâ³äðàçó ïèòàííÿ. Íà<br />
ÿê³é ìíîæèí³ çàäàºòüñÿ ôóíêö³ÿ?<br />
Ö³ëêîì ïðèðîäíî, ùî ñàìîþ øèðîêîþ îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ<br />
ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ º âñÿ êîîðäèíàòíà ïëîùèíà. Àëå<br />
ó íèçö³ âèïàäê³â ôóíêö³ÿ çàäàºòüñÿ íà äåÿê³é ï³äìíîæèí³<br />
òî÷îê êîîðäèíàòíî¿ ïëîùèíè.<br />
Íàïðèêëàä,<br />
2 2<br />
= 1 − − .<br />
z x y<br />
Íàâåäåíà ôóíêö³ÿ âèçíà÷àºòüñÿ â òèõ òî÷êàõ, äå ï³äêîðåíåâèé<br />
âèðàç íåâ³ä’ºìíèé, òîáòî<br />
2 2<br />
−x<br />
−y<br />
≥ àáî x + y ≤ 1 .<br />
2 2<br />
1 0<br />
Ç àíàë³òè÷íî¿ ãåîìåò𳿠íà ïëîùèí³ â³äîìî (ï. 4.2), ùî<br />
öÿ ìíîæèíà ÿâëÿº ñîáîþ êðóã ðàä³óñà 1 ç öåíòðîì íà ïî-<br />
÷àòêó êîîðäèíàò.<br />
344 345
Ïðè öüîìó ìè êîðèñòóºìîñÿ ïîíÿòòÿì â³äñòàí³ ì³æ äâîìà<br />
òî÷êàìè P ³ P 0 êîîðäèíàòíî¿ ïëîùèíè<br />
( ) ( )<br />
2 2<br />
0 0 0<br />
PP = x − x + y − y .<br />
Ïëîùèíà, ó ÿê³é óâåäåíà â³äñòàíü, ñòຠåâêë³äîâîþ ³ ïîçíà÷àºòüñÿ<br />
E (2) .<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Âíóòð³øíüîþ òî÷êîþ P 0 îáëàñò³ íàçèâàþòü<br />
òî÷êó, ùî ìຠîê³ë O δ (P 0 ), óñ³ òî÷êè ÿêîãî íàëåæàòü<br />
äàí³é ìíîæèí³.<br />
Çîêðåìà, O δ (P 0 ) — îáëàñòü, à ìíîæèíà òî÷îê, ùî çàäîâîëüíÿþòü<br />
îñòàííþ íåð³âí³ñòü, íå º îáëàñòþ, ÿê öå äàíî çà îçíà-<br />
÷åííÿì. Àëå ìè ¿¿ áóäåìî íàçèâàòè îáëàñòþ, ò³ëüêè çàêðèòîþ.<br />
Òóò âèÿâëÿºòüñÿ àíàëîã³ÿ ç ñåãìåíòîì [a, b]. Êîëî, ùî<br />
â³äïîâ³äຠäàíîìó êðóãó, áóäåìî íàçèâàòè ãðàíèöåþ îáëàñò³.<br />
Âàðòî ïîì³òèòè, ùî îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ äâîõ<br />
çì³ííèõ ìîæå áóòè ñàìå, ùî í³ º, “õèòðîìóäðà” ìíîæèíà<br />
(äèâ. íàïðèêëàä ðèñ. 10.2):<br />
Ðèñ. 10.1<br />
ßêùî öåíòð êîëà ðàä³óñà δ ïîì³ñòèòè â òî÷ö³ P 0 (x 0 , y 0 ),<br />
òî êîîðäèíàòè ìíîæèíè éîãî òî÷îê áóäóòü çàäîâîëüíÿòè<br />
óìîâó<br />
( x x0) ( y y0)<br />
2 2 2<br />
− + − ≤ δ .<br />
ßêùî âèêëþ÷èòè çíàê ð³âíîñò³, òî îòðèìàíà ð³âí³ñòü<br />
íàçèâàºòüñÿ δ-îêîëîì òî÷êè P 0 ³ ïîçíà÷àºòüñÿ O δ (P 0 ).<br />
O δ (P 0 ) — ïðÿìà àíàëîã³ÿ ç ³íòåðâàëîì (–δ, δ).<br />
Íàéïðîñò³øîþ îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ îäí³º¿ çì³ííî¿<br />
º ³íòåðâàë (–δ, δ). Äëÿ ôóíêö³¿ æ äâîõ çì³ííèõ îáëàñòþ<br />
âèçíà÷åííÿ ñëóæèòü O δ (P 0 ).<br />
Ïîíÿòòÿ îáëàñò³ íà ïëîùèí³ âèìàãຠóòî÷íåííÿ (á³ëüøå<br />
ìîæëèâîñòåé ç’ºäíàííÿ îäí³º¿ òî÷êè ç ³íøîþ).<br />
Îçíà÷åííÿ 10.1.1. Îáëàñòþ äëÿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ<br />
íàçèâàºòüñÿ ìíîæèíà òî÷îê ïëîùèíè Oxy, ùî ìàþòü òàê³<br />
âëàñòèâîñò³:<br />
1) áóäü-ÿêà òî÷êà ìíîæèíè ìຠîê³ë, óñ³ òî÷êè ÿêîãî íàëåæàòü<br />
ö³é ìíîæèí³ (âëàñòèâ³ñòü â³äêðèòîñò³);<br />
2) äîâ³ëüí³ äâ³ òî÷êè ìíîæèíè ìîæíà ç’ºäíàòè ëàìàíîþ,<br />
óñ³ òî÷êè ÿêî¿ íàëåæàòü äàí³é ìíîæèí³ (âëàñòèâ³ñòü çâ’ÿçíîñò³).<br />
Ðèñ. 10.2<br />
Òóò óæå âèÿâëÿºòüñÿ ÿê³ñíà â³äì³íí³ñòü ôóíêö³¿ áàãàòüîõ<br />
çì³ííèõ â³ä ôóíêö³é îäí³º¿ çì³ííî¿. Íàäàë³ áóäåìî<br />
ââàæàòè, ùî îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ â³äîìà.<br />
Äî ðå÷³, íà ïðàêòèö³ îáëàñòü âèçíà÷åííÿ âèçíà÷àºòüñÿ ç<br />
íàñòóïíèõ ì³ðêóâàíü: âîíà ô³êñóºòüñÿ â òèõ òî÷êàõ êîîðäèíàòíî¿<br />
ïëîùèíè, ó ÿêèõ ôóíêö³ÿ âèçíà÷åíà, ìຠñåíñ.<br />
2 2<br />
Íàïðèêëàä, ðîçãëÿíóòà íàìè ôóíêö³ÿ z= 1 −x − y âèçíà÷åíà<br />
â òèõ òî÷êàõ ïëîùèíè xOy, ó ÿêèõ êîîðäèíàòè<br />
2 2<br />
çâ’ÿçàí³ ñï³ââ³äíîøåííÿì 1−x<br />
−y<br />
≥ 0.<br />
Ðîçãëÿíåìî ôóíêö³þ f(x, y) ³ áóäü-ÿêó òî÷êó P ( x , y ) D( f)<br />
0 0 0<br />
∈ .<br />
Òîä³ â³äïîâ³äíî äî oçíà÷åííÿ ÷èñëîâî¿ ôóíêö³¿ ìîæíà âèçíà-<br />
÷èòè çíà÷åííÿ z = f(x, y). Òàê³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ áóäåìî íàçèâàòè<br />
÷àñòèííèìè.<br />
Îçíà÷åííÿ 10.1.2. Ìíîæèíà âñ³ëÿêèõ îêðåìèõ çíà÷åíü<br />
ôóíêö³¿ z = f(P) (z = f(x, y)) íàçèâàºòüñÿ îáëàñòþ çíà÷åíü<br />
ôóíêö³¿ ³ ïîçíà÷àºòüñÿ E(f).<br />
346 347
Çàóâàæåííÿ 2. Àíàëîã³÷í³ ïîíÿòòÿ ââîäÿòüñÿ ³ äëÿ<br />
ôóíêö³¿ n-çì³ííèõ z = f(x 1 , x 2 ,...,x n ).<br />
³äñòàíü ì³æ òî÷êàìè P ³ P 0 n-âèì³ðíîãî ïðîñòîðó âèçíà÷àºòüñÿ<br />
çà ôîðìóëîþ<br />
n<br />
0<br />
( PP , ) ( x x) 2<br />
ρ = −<br />
0<br />
∑ i i .<br />
i=<br />
1<br />
Ïðè öüîìó δ-îê³ë òî÷êè P 0 áóäå n-âèì³ðíà êóëÿ ðàä³óñà<br />
δ, öåíòðîì ÿêî¿ º òî÷êà P 0 . Çîêðåìà, ïðè n =3 δ-îê³ë ÿâëÿº<br />
ñîáîþ â³äêðèòó êóëþ.<br />
Ôóíêö³¿ áàãàòüîõ çì³ííèõ ìîæóòü áóòè çàäàí³ ó âèãëÿä³<br />
òàáëèö³ àáî ôîðìóëè (àíàë³òè÷íèé ñïîñ³á çàäàííÿ). Òàê,<br />
íàïðèêëàä ôóíêö³ÿ (10.1.2) ³ ôóíêö³ÿ<br />
2 2<br />
z = x + y<br />
(10.1.3)<br />
çàäàí³ àíàë³òè÷íèì ñïîñîáîì.<br />
ßêùî n = 2, òî çðó÷íî êîðèñòóâàòèñÿ ãðàô³êîì ôóíêö³¿.<br />
Îçíà÷åííÿ 10.1.3. Ãðàô³êîì ôóíêö³¿ f(x, y),<br />
( , )<br />
( 2)<br />
M x y ∈ D ⊂ R íàçèâàºòüñÿ ìíîæèíà òî÷îê P(x, y, z) ó òðèâèì³ðíîìó<br />
ïðîñòîð³ òàêèõ, ùî<br />
( , ) ( ), ( , ) ( )<br />
M x y ∈ D f z = f x y ∈ E f .<br />
Òðèâèì³ðíèé ïðîñò³ð ìîæíà çîáðàçèòè çà äîïîìîãîþ ñèñòåìè<br />
êîîðäèíàò:<br />
Ðèñ. 10.3<br />
Êîæí³é óïîðÿäêîâàí³é òð³éö³ ÷èñåë ìîæíà ç³ñòàâèòè òî-<br />
÷êó P ³, íàâïàêè, êîæí³é òî÷ö³ P — óïîðÿäêîâàíó òð³éêó<br />
÷èñåë (x, y, z). Îñòàííÿ îáñòàâèíà äîçâîëÿº çîáðàçèòè ôóíêö³þ<br />
z = f(x, y) ãðàô³÷íî (ðèñ. 10.3 – 10.4).<br />
Ïðè çàäàíí³ ôóíêö³¿ z = f(x, y) îäåðæèìî óïîðÿäêîâàíó<br />
ìíîæèíó ÷èñåë (x, y, z), ÿêó áóäåìî íàçèâàòè ïîâåðõíåþ.<br />
гâí³ñòü æå z = f(x, y) íàçèâàºòüñÿ ð³âíÿííÿì ïîâåðõí³. Íàïðèêëàä,<br />
ÿêùî çà ôóíêö³þ z = f(x, y) óçÿòè âèñîòó êóïîëà<br />
öèðêó, à ÷åðåç (x, y) ïîçíà÷èòè êîîðäèíàòè òî÷îê ìàíåæó,<br />
òî ïîâåðõíåþ äàíî¿ ôóíêö³¿ áóäå êóïîë.<br />
Ðèñ. 10.4<br />
2 2<br />
Ãðàô³êîì ôóíêö³¿ z = 1 −x − y º ïîâåðõíÿ, à ñàìå: âåðõíÿ<br />
ïîëîâèíà ñôåðè ðàä³óñà, ð³âíîãî 1; ãðàô³êîì ôóíêö³¿<br />
z = x 2 + y 2 — ïàðàáîëî¿ä îáåðòàííÿ (ÿêùî ïàðàáîëó z = x 2<br />
îáåðòàòè íàâêîëî îñ³ Oz, òî îäåðæèìî äàíó ïîâåðõíþ).<br />
Ç àíàë³òè÷íî¿ ãåîìåò𳿠ó ïðîñòîð³ (ï. 4.5) â³äîìî, ùî<br />
ãðàô³ê ôóíêö³¿ z = ax + by + c ÿâëÿº ñîáîþ ïëîùèíó.<br />
Íà çàê³í÷åííÿ öüîãî ïàðàãðàôà â³äçíà÷èìî, ùî â áàãàòüîõ<br />
çàäà÷àõ âèÿâëÿºòüñÿ çðó÷íèì ãåîìåòðè÷íî îïèñóâàòè<br />
ôóíêö³þ äâîõ çì³ííèõ, íå âèõîäÿ÷è â òðèâèì³ðíèé ïðîñò³ð.<br />
Çàñîáîì òàêîãî îïèñó º ë³í³¿ ð³âíÿ.<br />
Îçíà÷åííÿ 10.1.4. Ìíîæèíà òî÷îê ïëîùèíè Oxy, ó ÿêèõ<br />
ôóíêö³ÿ z = f(x, y) ïðèéìຠòå ñàìå çíà÷åííÿ c, íàçèâàºòüñÿ<br />
ë³í³ºþ ð³âíÿ.<br />
гâíÿííÿ ë³í³¿ ð³âíÿ òàêå: f(x, y) =c. (10.1.4)<br />
348 349
Äàþ÷è c ð³çí³ çíà÷åííÿ ³ ùîðàç áóäóþ÷è ë³í³þ ç çàäàíèì<br />
ð³âíåì, ìè îäåðæèìî ñ³ìåéñòâî ë³í³é ð³âíÿ. Öå ñ³ìåéñòâî<br />
íàî÷íî îïèñóº ôóíêö³þ z = f(x, y). Íàïðèêëàä, ñ³ìåéñòâîì<br />
ë³í³é ð³âíÿ ïàðàáîëî¿äà îáåðòàííÿ áóäå ñ³ìåéñòâî ê³ë<br />
(ðèñ. 10.5).<br />
Ðèñ. 10.6<br />
Ðèñ. 10.5<br />
˳í³ÿìè ð³âíÿ ïîçíà÷àþòü ãëèáèíó ìîð³â ³ âèñîòó ã³ð íà<br />
ãåîãðàô³÷íèõ êàðòàõ. Ñèíîïòèêè ïóáë³êóþòü êàðòè ç³ çîáðàæåííÿì<br />
³çîòåðì òà ³çîáàð, ÿê³ â³äïîâ³äíî áóäóòü ë³í³ÿìè<br />
ð³âíÿ òåìïåðàòóðè òà òèñêó.  åêîíîì³ö³ ïðèêëàäîì<br />
ë³í³é ð³âíÿ ñëóæàòü ³çîêâàíòè, öå ë³í³¿ âçäîâæ ÿêèõ âèðîáíè÷à<br />
ôóíêö³ÿ äîð³âíþº êîíñòàíò³.<br />
Ïðè äîñë³äæåíí³ åêîëîã³÷íèõ ïðîáëåì òåæ ââîäÿòü ïîíÿòòÿ<br />
ë³í³¿ ð³âíÿ.<br />
Ïðèêëàä 10.1.8. ³äçíà÷àþ÷è â³ä öåíòðó ìóðàøíèêà òî-<br />
÷êè ç îäí³º¿ ³ ò³ºþ æå ù³ëüí³ñòþ ìóðàõ (ê³ëüê³ñòü ìóðàõ,<br />
ùî ïðèõîäÿòüñÿ íà îäèíèöþ ïëîù³), îäåðæèìî ë³í³¿ ð³âíÿ<br />
ïîçà ìóðàøíèêîì (ðèñ. 10.6).<br />
Ö³ ë³í³¿ áóäóòü â³äð³çíÿòèñÿ â³ä ê³ë, ÿêùî ïðîñò³ð íàâêîëî<br />
ìóðàøíèêà íåîäíîð³äíèé çà ðîçïîä³ëîì êîðìó äëÿ ìóðàõ.<br />
Àíàëîã³÷í³ ë³í³¿ îïèñóþòü ñòðóêòóðó òâàðèííèõ ³ ðîñëèííèõ<br />
àðåàë³â.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
10.1. Çíàéòè îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
2 2<br />
( )<br />
z= ln 1 −x − y .<br />
10.2. Çíàéòè îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
2 2<br />
( )<br />
z= arcsin x + y − 3 .<br />
10.3. Çîáðàçèòè ãðàô³÷íî ôóíêö³þ<br />
2 2<br />
z = c 1 − x − y .<br />
2 2<br />
a b<br />
10.4. Çîáðàçèòè ãðàô³÷íî ôóíêö³þ<br />
2 2<br />
x y<br />
z = +<br />
2 2<br />
.<br />
a b<br />
10.5. Ë³í³¿ ð³âíÿ ù³ëüíîñò³ ìóðàõ òàê³:<br />
x y<br />
16 25<br />
2 2<br />
2<br />
+ = c .<br />
Óêàçàòè íàïðÿìîê ì³ñöü, äå º íàéá³ëüøà ê³ëüê³ñòü æèâèëüíèõ<br />
ðå÷îâèí äëÿ ìóðàõ.<br />
350 351
10.2. ÃÐÀÍÈÖß ² ÍÅÏÅÐÅÐÂͲÑÒÜ ÔÓÍÊÖ²¯<br />
ÄÂÎÕ Ç̲ÍÍÈÕ<br />
10.2.1. Ãðàíèöÿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ<br />
Ïðè ðîçãëÿä³ ãðàíèö³ ôóíêö³¿ îäí³º¿ çì³ííî¿ y = f(x)<br />
áóëî ââåäåíå ïîíÿòòÿ îêîëó òî÷êè. Àíàëîã³÷íå ïîíÿòòÿ<br />
ââåäåíå â ï. 10.1. Éîãî ìè ³ áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè ïðè<br />
âèâ÷åíí³ ïîíÿòòÿ ãðàíèö³ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ.<br />
Îçíà÷åííÿ 10.2.1. Íåõàé ôóíêö³ÿ z = f(x, y) âèçíà÷åíà â<br />
îêîë³ òî÷êè M 0 (x 0 , y 0 ), çà âèíÿòêîì, ìîæå áóòè, ñàìî¿ òî÷êè<br />
M 0 . Òîä³ ñòàëå ÷èñëî A íàçèâàºòüñÿ ãðàíèöåþ ôóíêö³¿<br />
z = f(x, y) ïðè M→M0 (( x, y) → ( x0,<br />
y0)<br />
), ÿêùî äëÿ êîæíîãî<br />
ε > 0 çíàéäåòüñÿ òàêèé îê³ë O δ (M 0 ), ùî ÿê ò³ëüêè â³äñòàíü<br />
ρ ( MM ,<br />
0)<br />
Ïðèêëàä 10.2.2. Ïîêàæåìî, ùî ôóíêö³ÿ<br />
2<br />
2x y<br />
2 2<br />
íà ïî÷à-<br />
x + y<br />
òêó êîîðäèíàò ìຠãðàíèöþ, ÿêà äîð³âíþº íóëþ.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Âèêîðèñòîâóºìî î÷åâèäíó íåð³âí³ñòü<br />
( x y) 2 0<br />
− ≥ .<br />
Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî<br />
2 2<br />
2 xy≤ x + y.<br />
Îòæå,<br />
2<br />
2x y<br />
x<br />
2 2<br />
x + y ≤ .<br />
Îñê³ëüêè ïðè x → 0 ïðàâà ÷àñòèíà îñòàííüî¿ íåð³âíîñò³<br />
ïðÿìóº äî íóëÿ, òî ³ ë³âà ÷àñòèíà ¿¿ ïðÿìóº äî íóëÿ, òîáòî<br />
lim<br />
2<br />
2xy<br />
lim = 0<br />
2 2<br />
x + y .<br />
x→0<br />
y →0<br />
Ïðèêëàä 10.2.3. Îá÷èñëèòè<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
lim<br />
x<br />
2<br />
+<br />
2<br />
+ y + − .<br />
x y1 x →0<br />
2 2<br />
1<br />
y →0<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
x + y ⎡ x + y = ρ ⎤<br />
ρ<br />
= ⎢<br />
⎥ = lim<br />
=<br />
+ + 1 −1 ⎢x<br />
+ y → 0 ⇒ ρ → 0⎥<br />
ρ + 1 −1<br />
x→0 2 2 2 2<br />
ρ→0<br />
2<br />
y→0<br />
x y<br />
⎣<br />
⎦<br />
( 1 1)<br />
2 2<br />
ρ ρ + +<br />
= lim<br />
= 2<br />
2<br />
.<br />
ρ→0<br />
ρ<br />
Íà çàê³í÷åííÿ ïàðàãðàôà ðîçãëÿíåìî ïîíÿòòÿ íåïåðåðâíîñò³<br />
ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ.<br />
Îçíà÷åííÿ 10.2.2. Ôóíêö³ÿ z = f(x, y) íàçèâàºòüñÿ íåïåðåðâíîþ<br />
â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), ÿêùî<br />
( , ) = ( , )<br />
limf x y f x y<br />
x→x0<br />
y→y0<br />
0 0<br />
.<br />
Îçíà÷åííÿ 10.2.3. Ôóíêö³ÿ z = f(x, y) =f(M) íàçèâàºòüñÿ<br />
íåïåðåðâíîþ ó â³äêðèò³é ÷è çàìêíóò³é îáëàñò³, ÿêùî âîíà<br />
íåïåðåðâíà â êîæí³é òî÷ö³ ö³º¿ îáëàñò³.<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Ôóíêö³ÿ z = f(M) ââàæàºòüñÿ íåïåðåðâíîþ<br />
â ãðàíè÷í³é òî÷ö³ M 0 , ÿêùî lim fM ( ) fM ( )<br />
M→M0<br />
= , êîëè<br />
òî÷êà M ïðÿìóº äî òî÷êè M 0 óçäîâæ áóäü-ÿêîãî øëÿõó, ùî<br />
íàëåæèòü äàí³é îáëàñò³.<br />
Ðàí³øå áóëè ðîçãëÿíóò³ âëàñòèâîñò³ ôóíêö³é îäí³º¿ çì³ííî¿,<br />
íåïåðåðâíî¿ íà ñåãìåíò³. Àíàëîã³÷í³ âëàñòèâîñò³ ìàº<br />
ôóíêö³ÿ äâîõ çì³ííèõ.<br />
Ìຠì³ñöå<br />
Òåîðåìà 10.2.2. ßêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) íåïåðåðâíà â<br />
îáìåæåí³é çàìêíóò³é îáëàñò³, òî âîíà â ö³é îáëàñò³<br />
1) îáìåæåíà: f( x,<br />
y)<br />
≤ M, M >0;<br />
2) ìຠíàéìåíøå çíà÷åííÿ m ³ íàéá³ëüøå çíà÷åííÿ M;<br />
3) ïðèéìຠõî÷à á â îäí³é òî÷ö³ îáëàñò³ áóäü-ÿêå ÷èñåëüíå<br />
çíà÷åííÿ, óêëàäåíå ì³æ m ³ M;<br />
4) ôóíêö³ÿ äîð³âíþº íóëþ â òî÷ö³ îáëàñò³, ÿêùî ³ñíóþòü<br />
òî÷êè, ó ÿêèõ ôóíêö³ÿ ïðèéìຠçíà÷åííÿ ð³çíèõ çíàê³â.<br />
2 2<br />
Ïðèêëàä 10.2.4. Äîâåñòè, ùî ôóíêö³ÿ z = sin( x + y ) íåïåðåðâíà<br />
íà ïî÷àòêó êîîðäèíàò.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Äëÿ êîæíîãî ε > 0 ³ñíóº òàêå δ, ùî ÿê<br />
2 2<br />
2 2<br />
ò³ëüêè ρ ( M,0) = x + y
Öå ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ùî º ãðàíèöåþ îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ<br />
ôóíêö³¿. Êîæíà òî÷êà ö³º¿ ïðÿìî¿ º òî÷êîþ ðîçðèâó. Òàêèì<br />
÷èíîì, òî÷êè ðîçðèâó óòâîðþþòü ö³ëó ïðÿìó — ë³í³þ<br />
ðîçðèâó äàíî¿ ôóíêö³¿.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Äëÿ ôóíêö³é äåê³ëüêîõ çì³ííèõ ïîíÿòòÿ<br />
ãðàíèö³ ³ íåïåðåðâíîñò³ ââîäÿòüñÿ àíàëîã³÷íî.<br />
10.3. ×ÀÑÒÈÍͲ ÏÎÕ²ÄͲ<br />
10.3.1. ×àñòèíí³ ïîõ³äí³ ïåðøîãî ïîðÿäêó<br />
ßê â³äîìî, ïîõ³äíà f′(x) ôóíêö³¿ îäí³º¿ çì³ííî¿ (çà óìîâè,<br />
ùî âîíà ³ñíóº) õàðàêòåðèçóº øâèäê³ñòü çì³íè ôóíêö³¿ f(x) â<br />
òî÷ö³ x. Ó çâ’ÿçêó ç öèì âèíèêຠïèòàííÿ ïðî ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
ïðîáëåìè âèçíà÷åííÿ øâèäêîñò³ çì³íè ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ<br />
â çàäàí³é òî÷ö³.<br />
Ðèñ. 10.8<br />
Ïî÷íåìî ç ïðîñòîãî ïðèêëàäà. Ïðîñòèé àíàë³ç ïîêàçóº,<br />
ùî ôóíêö³ÿ z = x + y, ë³í³¿ ð³âíÿ ÿêî¿ çîáðàæåíî íà ðèñóíêó<br />
10.8, â³äïðàâëÿþ÷èñü â³ä òî÷êè Î (0,0), âåäå ñåáå ïî-ð³çíîìó:<br />
à) âçäîâæ á³ñåêòðèñè ïåðøîãî òà òðåòüîãî êîîðäèíàòíèõ<br />
êóò³â âîíà íàéá³ëüøå âñüîãî çðîñòàº; á) âçäîâæ êîîðäèíàòíèõ<br />
â³ñåé âîíà çðîñòຠïîâ³ëüí³øå; â) âçäîâæ á³ñåêòðèñè<br />
äðóãîãî òà ÷åòâåðòîãî êîîðäèíàòíèõ êóò³â âîíà çîâñ³ì íå<br />
çì³íþºòüñÿ.<br />
Íàâåäåíèé ïðèêëàä ïîêàçóº, ùî ãîâîðèòè ïðî øâèäê³ñòü<br />
çì³íè ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ â äàí³é òî÷ö³ íå ìຠñìèñëó.<br />
ßñíî, ùî ïðîáëåìà çðîñòàííÿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ íàáóâàº<br />
çì³ñòó, ÿêùî áóäå çàäàíî íàïðÿìîê, çà ÿêèì çì³íþºòüñÿ<br />
ðîçãëÿäóâàíà ôóíêö³ÿ. ² çíîâó âèíèêຠïðîáëåìà: íàïðÿìê³â<br />
— íåçë³÷åíà ìíîæèíà. ² òîìó íà ïåðøèé ïîãëÿä çäà-<br />
ºòüñÿ, ùî ïîñòàâëåíà ïðîáëåìà íå ìîæå áóòè ðîçâ’ÿçàíà. Çàá³ãàþ÷è<br />
âïåðåä, ñêàæåìî, ùî äëÿ äîñòàòíüî øèðîêîãî êëàñó<br />
ôóíêö³é äâîõ çì³ííèõ âêàçàíà ïðîáëåìà ìîæå áóòè ïîäîëàíà<br />
(äîâåäåííÿ öüîãî ôàêòó áóäå çä³éñíåíî ï³çí³øå), àëå äëÿ<br />
öüîãî òðåáà çíàòè íàïðÿìîê çì³íè ôóíêö³¿ ³ øâèäê³ñòü<br />
çðîñòàííÿ ôóíêö³¿ ó äâîõ âçàºìíî ïåðïåíäèêóëÿðíèõ íàïðÿìàõ.<br />
Ö³ëêîì ïðèðîäíî, ùî â ÿêîñò³ òàêèõ íàïðÿì³â ìè<br />
â³çüìåìî íàïðÿìè, ÿê³ ñï³âïàäàþòü ç íàïðÿìîì êîîðäèíàòíèõ<br />
â³ñåé. Òàê ìè ïðèõîäèìî äî ïîíÿòòÿ ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ.<br />
Ðîçãëÿíåìî ôóíêö³þ äâîõ çì³ííèõ z = f(x, y). ³çüìåìî<br />
òî÷êó M 0 (x 0 , y 0 ) ³ äàìî ÷èñëó x 0 ïðèð³ñò ∆x ≠ 0. Ïðèïóñòèìî<br />
ïðè öüîìó, ùî òî÷êà Mx ( 0<br />
+∆ xy ,<br />
0)<br />
íå âèõîäèòü ³ç îáëàñò³<br />
âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ z = f(x, y).  ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî ÷àñòèííèé<br />
ïðèð³ñò<br />
( , ) ( , )<br />
∆ xz = f x0 +∆x y0 − f x0 y0<br />
. (10.3.1)<br />
Ó ð³âíîñò³ (10.3.1) ³íäåêñ x âêàçóº íà òå, ùî ïðèð³ñò ôóíêö³¿<br />
çä³éñíþºòüñÿ çà ðàõóíîê ò³ëüêè çì³íè x.<br />
∆ z<br />
Îçíà÷åííÿ 10.3.1. ßêùî ãðàíèöÿ lim<br />
x<br />
³ñíóº ³ ñê³í÷åííà,<br />
òî âîíà íàçèâàºòüñÿ ÷àñòèííîþ ïîõ³äíîþ ïî çì³íí³é x â<br />
∆x→0<br />
∆x<br />
òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) ³ ñèìâîë³÷íî öå çàïèñóºòüñÿ òàê:<br />
∆ z ∂z ⎛ ∂f ∂f<br />
⎞<br />
= ( x , y ) z′ ( x , y ), ( x , y ), z′<br />
( M ),<br />
( M )<br />
∆x ∂x ⎜<br />
∂x ∂x<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ . (10.3.2)<br />
lim x 0 0 x 0 0 0 0 x 0 0<br />
∆x→0<br />
Çàóâàæåííÿ 1.  äóæêàõ âêàçàí³ ³íø³ ñèìâîëè ïîçíà÷åííÿ<br />
÷àñòèííî¿ ïîõ³äíî¿ ïî çì³íí³é õ.<br />
Àíàëîã³÷íî ââîäèòüñÿ ïîíÿòòÿ ÷àñòèííî¿ ïîõ³äíî¿ ôóíêö³¿<br />
z = f(x, y) ïî çì³íí³é y:<br />
356 357
∆ z ∂z ⎛ ∂f ∂f<br />
⎞<br />
= ( x , y ) ⎜z′ ( x , y ), ( x , y ), z′<br />
( M ),<br />
( M ) ⎟<br />
∆y ∂y ⎝ ∂y ∂y<br />
⎠ . (10.3.4)<br />
lim y 0 0 y 0 0 0 0 y 0 0<br />
∆y→0<br />
Òóò ( , ) ( , )<br />
y ′ y 1 y ′ y<br />
x = yx , x = x lnx.<br />
∆ yz = f x0 y0 +∆y − f x0 y0<br />
, äå ∆y<br />
≠ 0 .<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Ó ô³êñîâàí³é òî÷ö³ ÷àñòèííà ïîõ³äíà º<br />
÷èñëî. Ïðèïóñòèìî òåïåð, ùî â êîæí³é òî÷ö³ âèçíà÷åííÿ<br />
ôóíêö³¿ z = f(x, y) (àáî â ï³äîáëàñò³ âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
z = f(x, y)) ³ñíóþòü ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³, òîä³ â öüîìó âèïàäêó<br />
÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ áóäóòü òàêîæ ôóíêö³ÿìè. Ö³ ôóíêö³¿ ó<br />
â³äïîâ³äíîñò³ äî îçíà÷åííÿ ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ çíàõîäÿòüñÿ<br />
çà òàêèìè ïðàâèëàìè: à) ïðè çíàõîäæåíí³ ÷àñòèííî¿ ïîõ³äíî¿<br />
ïî çì³íí³é x ô³êñóºòüñÿ çì³ííà y, ÿêà ââàæàºòüñÿ ñòàëîþ,<br />
³ äèôåðåíö³þºòüñÿ çâè÷àéíèì ñïîñîáîì; á) ïðè çíàõîäæåíí³<br />
÷àñòèííî¿ ïîõ³äíî¿ ïî çì³íí³é y ô³êñóºòüñÿ x ³<br />
äèôåðåíö³þºòüñÿ ïî çì³íí³é y çâè÷àéíèì ñïîñîáîì. Íà-<br />
−<br />
ïðèêëàä, ( ) ( )<br />
x<br />
y<br />
Ïðè âèâ÷åíí³ ôóíêö³¿ îäí³º¿ çì³ííî¿ ìè âïåâíèëèñü â<br />
òîìó, ùî íàÿâí³ñòü ñê³í÷åííî¿ ïîõ³äíî¿ â òî÷ö³ x = x 0 çàáåçïå÷óº<br />
íåïåðåðâí³ñòü ôóíêö³¿ â ö³é òî÷ö³.<br />
Âèíèêຠïèòàííÿ ÷è ãàðàíòóº ³ñíóâàííÿ ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ<br />
â çàäàí³é òî÷ö³ íåïåðåðâí³ñòü ôóíêö³¿. Âèÿâëÿºòüñÿ,<br />
⎧ xy 2 2<br />
⎪ , x + y ≠0<br />
2 2<br />
ùî íå ãàðàíòóº. Íàïðèêëàä, ôóíêö³ÿ z = ⎨x<br />
+ y<br />
,<br />
⎪ 2 2<br />
⎩ 0, x + y = 0<br />
ÿê áóëî ïîêàçàíî â ï. 10.2, ðîçðèâíà â òî÷ö³ Î(0,0). Ïðîòå<br />
÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ â ö³é òî÷ö³ ³ñíóþòü:<br />
∆xz<br />
⎛⎛<br />
∆x<br />
⋅0 ⎞ 1<br />
⎞<br />
0<br />
z′ x(0,0) = lim = lim ⎜⎜<br />
−0⎟⋅ ⎟ = lim = 0<br />
∆x→0 ∆x ∆x→0⎜⎜( ) 2 2<br />
∆ x + 0 ⎟ ∆x⎟<br />
∆x→0∆x<br />
,<br />
⎝⎝<br />
⎠ ⎠<br />
∆yz<br />
⎛⎛<br />
0⋅∆y<br />
⎞ 1<br />
⎞<br />
0<br />
z′ y<br />
(0,0) = lim = lim ⎜⎜<br />
−0⎟⋅ ⎟ = lim = 0<br />
∆y→0 ∆y ∆y→0⎜⎜<br />
2<br />
0 + ( ∆y) 2 ⎟ ∆y⎟<br />
∆y→0∆y<br />
.<br />
⎝⎝<br />
⎠ ⎠<br />
Âèãëÿäຠöåé ðåçóëüòàò òðîõè ïàðàäîêñàëüíî. Àëå éîãî<br />
ìîæíà ëåãêî ïîÿñíèòè. Ñïðàâà â òîìó, ùî â îçíà÷åíí³ ïîõ³äíî¿<br />
â³ä ôóíêö³¿ îäí³º¿ çì³ííî¿ â äàí³é òî÷ö³ x 0 âèêîðèñòîâóþòü<br />
âñ³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ â äîñòàòíüî ìàëîìó îêîë³<br />
ö³º¿ òî÷êè. Ó îçíà÷åíí³ æå ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ, íàïðèêëàä<br />
äëÿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ, íå âèêîðèñòîâóþòüñÿ çíà÷åííÿ<br />
ôóíêö³¿ â îêîë³ òî÷êè M 0 (x 0 , y 0 ), à âèêîðèñòîâóþòüñÿ ò³ëüêè<br />
çíà÷åííÿ ôóíêö³¿, ÿê³ ëåæàòü íà ïðÿìèõ x = x 0 , y = y 0 .<br />
Ïðî³ëþñòðóºìî ñêàçàíå íà æàðò³âíîìó ïðèêëàä³.<br />
Íåõàé íà ïëÿæ³ «Àðêàä³ÿ» â³äïî÷èâàþ÷èé ñòóäåíò íà<br />
ï³ñêó ïðîâåäå äâà âçàºìíî ïåðïåíäèêóëÿðíèõ â³äð³çêè ³<br />
çàïîâíèòü ¿õ âîäîþ ç ×îðíîãî ìîðÿ (ïðèïóñòèìî, ùî âîäà<br />
íå â³äðàçó ïðîñÿêíå ñêð³çü ï³ñîê).<br />
Ðèñ. 10.9<br />
Ïîò³ì ñòóäåíò ïðîâîäèòü òàêèé åêñïåðèìåíò. ³í ðîçãëÿäàº<br />
ñèñòåìó êîîðäèíàò íà ïðîäîâæåíí³ âçàºìíî ïåðïåíäèêóëÿðíèõ<br />
â³äð³çê³â ³ ââîäèòü â îêîë³ òî÷êè Î(0,0) ôóíêö³þ<br />
z =ρ ( x,<br />
y)<br />
, äå ρ ( xy , ) îçíà÷ຠãóñòèíó ðå÷îâèíè â îêîë³<br />
òî÷êè Î(0,0).<br />
Ñòóäåíò ÿñíî ðîçó쳺, ùî ôóíêö³ÿ z =ρ ( x,<br />
y)<br />
â òî÷ö³<br />
Î(0,0) ðîçðèâíà. Ðîçó쳺 â³í òàêîæ, ùî âçäîâæ â³äð³çê³â, ÿê³<br />
âèõîäÿòü ç ïî÷àòêó êîîðäèíàò, ãóñòèíà âîäè íå çì³íþºòüñÿ<br />
³ òîìó øâèäê³ñòü çì³íè ãóñòèíè äîð³âíþº íóëþ. À öå îçíà-<br />
÷àº, ùî ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ â³ä ôóíêö³¿ z =ρ ( x,<br />
y)<br />
â òî÷ö³<br />
Î(0,0) ³ñíóþòü ³ äîð³âíþþòü íóëþ.<br />
358 359
Öåé æàðò³âëèâèé åêñïåðèìåíò äîïîì³ã ñòóäåíòîâ³ çðîçóì³òè<br />
ïàðàäîêñàëüíèé íà ïåðøèé ïîãëÿä ôàêò: ÷àñòèíí³<br />
ïîõ³äí³ ôóíêö³¿ â äàí³é òî÷ö³ ìîæóòü ³ñíóâàòè, à ñàìà<br />
ôóíêö³ÿ â í³é ðîçðèâíà.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
10.6. Çíàéòè ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ôóíêö³¿ z = x y â òî÷ö³<br />
M 0 (1, 2).<br />
10.7. Çíàéòè ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ôóíêö³¿ z = arctg x y â òî÷ö³<br />
M 0 (1, 1).<br />
10.8. Çíàéòè ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ôóíêö³¿ z = sin( x 2 + y<br />
2<br />
) â<br />
òî÷ö³ M 0 (0, 1).<br />
∂z<br />
∂z<br />
1<br />
10.9. Äîâåñòè, ùî x + y = , äå z = ln ( x + y)<br />
.<br />
∂x<br />
∂y<br />
2<br />
∂z<br />
∂z<br />
3 2 3<br />
10.10. Äîâåñòè, ùî x + y = 3z, äå z = x + xy − 2y<br />
.<br />
∂x<br />
∂y<br />
10.3.2. Ïîõ³äí³ âèùèõ ïîðÿäê³â<br />
2<br />
Íåõàé ôóíêö³ÿ z = f(x, y) ìຠâ îáëàñò³ D ⊂ R ÷àñòèíí³<br />
ïîõ³äí³ z′ x ( x,<br />
y)<br />
³ z′ y ( x,<br />
y)<br />
. Ìè íàçèâàòèìåìî ¿õ ïîõ³äíèìè<br />
ïåðøîãî ïîðÿäêó. Ö³ ïîõ³äí³, ÿê³ ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê ôóíêö³¿<br />
â³ä x ³ y, â ñâîþ ÷åðãó ìîæóòü ìàòè ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ïî x<br />
³ y. Òîáòî º ñåíñ ðîçãëÿäàòè ïîõ³äí³ ( z ′<br />
x )<br />
′<br />
x<br />
, ( z ′ x )<br />
′ , ( )<br />
y<br />
z ′ ′ ³<br />
y x<br />
( z ′<br />
y )<br />
′<br />
y<br />
,<br />
ÿê³ ìè â³äïîâ³äíî ïîçíà÷èìî òàê:<br />
ðÿäîê çì³øàíèõ ïîõ³äíèõ äîð³âíþº 2, à ñàìå ïîõ³äí³ òàê³:<br />
z′′<br />
xy ³<br />
z′′<br />
yx . ßñíî, ùî ç³ çðîñòàííÿì n ¿õ ê³ëüê³ñòü çíà÷íî<br />
çðîñòàº. ßêùî ìîæëèâî äèôåðåíö³þâàòè n ðàç³â ïî çì³ííèõ<br />
x ³ y, òî â ðåçóëüòàò³ áóäåìî ìàòè 2 n ïîõ³äíèõ n-ãî ïîðÿäêó.<br />
Ïîêàæåìî ñõåìàòè÷íî ïðîöåñ çíàõîäæåííÿ ïîõ³äíèõ âèùèõ<br />
ïîðÿäê³â:<br />
x<br />
Ïðèêëàä 10.3.1. Íåõàé z = e cos y . Òðåáà çíàéòè óñ³ ïîõ³äí³<br />
äðóãîãî ïîðÿäêó ³ ïîêàçàòè, ùî:<br />
z′′ = z′′<br />
;<br />
1) xy yx<br />
2) z′′ + z′′<br />
= 0 .<br />
xx<br />
yy<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
′ ′ ′ ′<br />
z′ = z′′ z′ = z′′ z′ = z′′ z′ = z′′<br />
. (10.3.5)<br />
( ) , ( ) , ( ) , ( )<br />
x x xx x y xy y<br />
x<br />
yx y<br />
y<br />
yy<br />
Îòðèìàí³ ïîõ³äí³ íàçèâàþòüñÿ ïîõ³äíèìè äðóãîãî ïîðÿäêó.<br />
¯õ âñüîãî ÷îòèðè. ßêùî ïðîöåñ ïîäàëüøîãî äèôåðåíö³þâàííÿ<br />
ìîæëèâèé, òî ïðè äèôåðåíö³þâàíí³ ôóíêö³é, âèçíà-<br />
÷åíèõ çà ôîðìóëîþ (10.3.5), ìè îòðèìàºìî âæå 8 ïîõ³äíèõ<br />
òðåòüîãî ïîðÿäêó ³ ò. ä. Ñåðåä íèõ áóäóòü çóñòð³÷àòèñÿ ïîõ³äí³<br />
òèïó z′′<br />
xx<br />
, à òàêîæ òèïó z′′<br />
xy . Ïîõ³äí³ îñòàííüîãî òèïó<br />
áóäåìî íàçèâàòè çì³øàíèìè ïîõ³äíèìè. ßêíàéìåíøèé ïî-<br />
Îòæå, áåçïîñåðåäíüî âñòàíîâëþºìî, ùî ä³éñíî ñïðàâåäëèâà<br />
òîòîæí³ñòü 1).<br />
x<br />
x<br />
2) Îñê³ëüêè, z′′ xx<br />
= e cos y, à z′′ yy<br />
=− e cos y, òî ð³âí³ñòü 2) òåæ<br />
ñïðàâäæóºòüñÿ.<br />
Çàóâàæåííÿ. Òîòîæí³ñòü òèïó 1) íå âèïàäêîâà. Ç íåþ<br />
ïîâ’ÿçàíà.<br />
360 361
Ò å î ð å ì à 10.3.1. ßêùî ïîõ³äí³ 2-ãî ïîðÿäêó<br />
íåïåðåðâí³ â òî÷ö³ M(x, y), òî âîíè îäíàêîâ³.<br />
Öþ òåîðåìó ìè ïîäàºìî áåç äîâåäåííÿ.<br />
z′′<br />
xy ³<br />
10.3.3. Ãåîìåòðè÷íèé òà åêîíîì³÷íèé çì³ñò ÷àñòèííèõ<br />
ïîõ³äíèõ<br />
Ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ ôóíêö³¿<br />
z = f(x, y) ó òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) ïîêàçàíî íà ðèñ. 10.10.<br />
Ðèñ. 10.10<br />
Íåõàé ãðàô³ê ôóíêö³¿ z = f(x, y) ÿâëÿº ñîáîþ äåÿêó ïîâåðõíþ.<br />
Òîä³ ïðè y = y 0 ìè îòðèìàºìî êðèâó à x , ÿêà º ïåðåð³çîì<br />
ö³º¿ ïîâåðõí³ ç â³äïîâ³äíîþ ïëîùèíîþ. Ó öüîìó âèïàäêó<br />
ïîõ³äíà z′ x ( x0,<br />
y0)<br />
âèðàæຠêóòîâèé êîåô³ö³ºíò äîòè÷íî¿<br />
äî êðèâî¿ Ã x â çàäàí³é òî÷ö³ P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) (z 0 = f(x 0 , y 0 )),<br />
z′ x , y = tgα , äå α 0 êóò íàõèëó äîòè÷íî¿ äî â³ñ³ Ox.<br />
òîáòî x ( 0 0)<br />
0<br />
Àíàëîã³÷íî z ( x , y ) tg<br />
′ = β .<br />
y<br />
0 0 0<br />
z′′<br />
yx<br />
Çàãàëüíèé çì³ñò ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ â òî÷ö³ ïîëÿãຠâ<br />
òîìó, ùî âîíè âèçíà÷àþòü øâèäê³ñòü çðîñòàííÿ ôóíêö³¿ â<br />
íàïðÿìàõ, ïàðàëåëüíèõ â³ñÿì êîîðäèíàò.<br />
z′ x , y ìàº<br />
Çã³äíî ç îçíà÷åííÿì ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ x ( 0 0)<br />
ì³ñöå ð³âí³ñòü ∆ z= z′<br />
( x0,<br />
y0)<br />
∆ x+α∆ x, äå lim 0<br />
. ßêùî ïðèð³ñò<br />
∆x äîñòàòíüî ìàëèé, òî<br />
Àíàëîã³÷íî<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
( 0,<br />
0)<br />
α=<br />
∆x→<br />
0<br />
∆ z≈z′<br />
x y ∆ x. (10.3.6)<br />
y<br />
y<br />
( , )<br />
∆ z≈z′<br />
x y ∆ y, (10.3.7)<br />
0 0<br />
äå âåëè÷èíà ∆y äîñòàòíüî ìàëà.<br />
Òåïåð ïðèïóñòèìî, ùî ïðîöåñ çì³íè z òàêèé, ùî çì³íí³ x<br />
òà y òàê³, ùî âîíè íàáàãàòî ïåðåâèùóþòü 1. Òîä³ â íàáëèæåíèõ<br />
÷àñòèííèõ ïðèðîñòàõ (10.3.6) – (10.3.7) ôóíêö³¿<br />
z = f(x, y) â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) ìîæíà ïîêëàñòè ∆x ³ ∆y ð³âíèìè<br />
1. Ó ðåçóëüòàò³ áóäåìî ìàòè òàê³ íàáëèæåí³ ôîðìóëè:<br />
x<br />
x<br />
( 0,<br />
0)<br />
∆ z ≈ z′<br />
x y , (10.3.8)<br />
y<br />
y<br />
( , )<br />
∆ z≈ z′<br />
x y . (10.3.9)<br />
0 0<br />
Òåïåð ïåðåéäåìî äî ç’ÿñóâàííÿ åêîíîì³÷íîãî çì³ñòó ÷àñòèííèõ<br />
ïîõ³äíèõ â ô³êñîâàí³é òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ).<br />
Ç ö³ºþ ìåòîþ ðîçãëÿíåìî âèðîáíè÷ó ôóíêö³þ z = f(x, y),<br />
äå çì³íí³ x òà y â³äïîâ³äíî âèçíà÷àþòü îáñÿã ôîíä³â òà<br />
îáñÿã òðóäîâèõ ðåñóðñ³â.<br />
Íåõàé äëÿ êîíêðåòíîñò³ çì³ííà x ÿâëÿº ñîáîþ ê³ëüê³ñòü<br />
âåðñòàò³â, à y ÷èñëî ðîá³òíèê³â íà ï³äïðèºìñòâ³. Çàô³êñóºìî<br />
ïîòî÷íèé ñòàí ï³äïðèºìñòâà, òîáòî ìè ââîäèìî ô³êñîâàí³ âåëè÷èíè<br />
x 0 òà y 0 .<br />
ßêùî ïðè öüîìó ö³ âåëè÷èíè íàáàãàòî ïåðåâèùóþòü 1,<br />
òî çã³äíî ç ôîðìóëàìè (10.3.8) – (10.3.9) ìîæíà äàòè åêîíîì³÷íèé<br />
çì³ñò ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ).<br />
×àñòèííà ïîõ³äíà â³ä âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿ z = f(x, y) çà<br />
îáñÿãîì ôîíä³â ó òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) íàáëèæåíî äîð³âíþº äî-<br />
362 363
äàòêîâ³é âàðòîñò³ ïðîäóêö³¿ çà ðàõóíîê çá³ëüøåííÿ ôîíä³â<br />
ï³äïðèºìñòâà íà îäíó îäèíèöþ (êóïèëè îäèí âåðñòàê).<br />
×àñòèííà ïîõ³äíà â³ä âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿ z = f(x, y) ïî<br />
îáñÿãó òðóäîâèõ ðåñóðñ³â â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) íàáëèæåíî äîð³âíþº<br />
äîäàòêîâ³é âàðòîñò³ ïðîäóêö³¿, âèðîáëåíî¿ ùå îäíèì<br />
äîäàòêîâèì ðîá³òíèêîì.<br />
z′ x , y òà<br />
y<br />
Ââåäåí³ òóò ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ â òî÷ö³ x ( 0 0)<br />
( 0,<br />
0)<br />
z′ x y íàçèâàþòüñÿ â³äïîâ³äíî ãðàíè÷íîþ ïðîäóêòèâí³ñòþ<br />
òà ãðàíè÷íîþ ôîíäîâ³ääà÷åþ.<br />
×åðåç ò³æ ïðè÷èíè, ùî áóëè ïîäàí³ ðàí³øå, â åêîíîì³ö³<br />
(äèâ. ï. 7), ââîäÿòü òàêå âàæëèâå ïîíÿòòÿ, ÿê ÷àñòèííà åëàñòè÷í³ñòü.<br />
Äëÿ ðîçãëÿíóòî¿ âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿ z = f(x, y)<br />
÷àñòèíí³ åëàñòè÷íîñò³ â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) ìàþòü âèãëÿä:<br />
z x<br />
E ( , ) 0<br />
x<br />
x y = z′<br />
( x , y ), (10.3.10)<br />
0 0 x 0 0<br />
z0<br />
z y<br />
E ( , ) 0<br />
y<br />
x y = z′<br />
( x , y ), (10.3.11)<br />
0 0 y 0 0<br />
z0<br />
äå z 0 = f(x 0 , y 0 ).<br />
Ïðèêëàä 10.3.2. Íåõàé âèðîáíèöòâî äåÿêîãî ï³äïðèºìñòâà<br />
õàðàêòåðèçóºòüñÿ âèðîáíè÷îþ ôóíêö³ºþ Êîááà – Äóãëàñà<br />
z = Ax α y β , α +β≤1, x — îáñÿã ôîíä³â, y — îáñÿã òðóäîâèõ ðåñóðñ³â<br />
(íàïðèêëàä, ê³ëüê³ñòü ðîá³òíèê³â).<br />
Òðåáà çíàéòè ãðàíè÷íó ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³ òà ãðàíè÷íó<br />
ôîíäîâ³ääà÷ó ïðè x =25⋅ 10 8 , y = 1000.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ<br />
α−1<br />
β<br />
1<br />
z′ = Aα⋅ x y , z′ = Aβ⋅ x α y<br />
β− ;<br />
x<br />
y<br />
( 8 ) ( 8 α−<br />
A ) 1<br />
β<br />
z′ 25 ⋅ 10 ,1000 = α⋅ 25 ⋅ 10 1000 ,<br />
x<br />
( ) A ( )<br />
8 8 α<br />
β− 1<br />
z′ 25 ⋅ 10 ,1000 = β⋅ 25 ⋅ 10 1000 .<br />
y<br />
Ïðèêëàä 10.3.3. Íåõàé ñïðàâäæóþòüñÿ óìîâè ïðèêëàäó<br />
10.3.2.<br />
Òðåáà âèçíà÷èòè ïàðàìåòðè A, α ³ β âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿<br />
Êîááà – Äóãëàñà, ÿêùî â³äîìî, ùî äëÿ çá³ëüøåííÿ âèïóñêó<br />
ïðîäóêö³¿ íà 5% íåîáõ³äíî çá³ëüøèòè ôîíäè íà 10% àáî<br />
çá³ëüøèòè ÷èñåëüí³ñòü ðîá³òíèê³â íà 15%.  ìîìåíò äîñë³äæåííÿ<br />
îäèí ðîá³òíèê çà ì³ñÿöü âèðîáëÿº ïðîäóêö³þ íà<br />
100 000 ãðí., à âñüîãî ðîá³òíèê³â 1000.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çíàõîäèìî ñïî÷àòêó ÷àñòèíí³ åëàñòè÷íîñò³<br />
z<br />
x<br />
E ( 25 ⋅ 10 8 ,10<br />
3 ) = α− 1 β<br />
x<br />
A x y<br />
α β<br />
8 8<br />
Ax y x = 25 ⋅ 10 ⋅ α x = 25 ⋅10<br />
= α .<br />
3 3<br />
y = 10 y = 10<br />
5 1<br />
Ç ³íøîãî áîêó, ³ç óìîâ çàäà÷³ âèïëèâàº, ùî α= = .<br />
10 2<br />
z<br />
8 3 5 1<br />
Àíàëîã³÷íî ïîêàçóºòüñÿ, ùî Ey<br />
( 25⋅ 10 ,10 ) =β= = .<br />
15 3<br />
Òàêèì ÷èíîì, åëàñòè÷í³ñòü β âèïóñêó ïðîäóêö³¿ ïî òðóäó<br />
äîð³âíþº 1 3 , à åëàñòè÷í³ñòü α ïî ôîíäàõ äîð³âíþº 1 2 .<br />
Âðàõîâóþ÷è öåé ôàêò, âèðîáíè÷ó ôóíêö³þ Êîááà – Äóãëàñà<br />
çàïèñóºìî ó âèãëÿä³:<br />
1 1<br />
2 3<br />
.<br />
z = Ax y<br />
ϳäñòàâèìî ³íø³ äàíí³ çàäà÷³ ³ îòðèìàºìî ð³âí³ñòü<br />
1 1<br />
8 2 3<br />
4 5<br />
( ) ( )<br />
100000 ⋅ 1000 = A ⋅ 25 ⋅10 ⋅ 1000 = A⋅5 ⋅10 ⋅ 10 = A ⋅5 ⋅ 10 ,<br />
çâ³äêè, A = 200.<br />
Îòæå, îñòàòî÷íî ôóíêö³ÿ Êîááà – Äóãëàñà ìຠâèãëÿä<br />
1 1<br />
2 3<br />
z = 200x y .<br />
Çàóâàæåííÿ. Äëÿ çðó÷íîñò³ ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ ïðèêëàäó<br />
ìè çàì³íèëè òðàäèö³éí³ çì³íí³ K, L ³ y íà x, y ³ z.<br />
364 365
10.4. ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÉÎÂͲÑÒÜ ÔÓÍÊÖ²¯<br />
10.4.1. Äèôåðåíö³éîâí³ñòü â òî÷ö³<br />
Íåõàé ôóíêö³ÿ z = f(x, y) âèçíà÷åíà â δ-îêîë³ òî÷êè<br />
M 0 (x 0 , y 0 ). ³çüìåìî òî÷êó M(x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) ç öüîãî îêîëó.<br />
гçíèöÿ ∆z = f(x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) –f(x 0 , y 0 ) ïðè ∆x ≠ 0 ³ ∆y ≠ 0<br />
íàçèâàºòüñÿ ïîâíèì ïðèðîñòîì ö³º¿ ôóíêö³¿ â òî÷ö³<br />
M 0 (x 0 , y 0 ).<br />
Îçíà÷åííÿ 10.4.1. Ôóíêö³ÿ z = f(x, y), ÿêà âèçíà÷åíà â<br />
îêîë³ òî÷êè M 0 (x 0 , y 0 ), íàçèâàºòüñÿ äèôåðåíö³éîâíîþ â òî÷ö³,<br />
ÿêùî ¿¿ ïîâíèé ïðèð³ñò ó ö³é òî÷ö³ ìîæíà çîáðàçèòè ó<br />
âèãëÿä³:<br />
( 0,<br />
0)<br />
∆ zx y = A⋅∆ x+ B⋅∆ y+α⋅∆ x+β⋅∆ y, (10.4.1)<br />
äå ÷èñëà A ³ B íå çàëåæàòü â³ä ∆x ³ ∆y, à<br />
limα= 0 ,<br />
∆x→0<br />
∆y→0<br />
limβ= 0 .<br />
∆x→0<br />
∆→ y 0<br />
∆x→0<br />
∆y→0<br />
Äëÿ äèôåðåíö³éîâíèõ ôóíêö³é äîâîäèòüñÿ íèçêà âàæëèâèõ<br />
òåîðåì.<br />
Òåîðåìà 10.4.1 (ïðî íåïåðåðâí³ñòü). ßêùî ôóíêö³ÿ<br />
z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), òî âîíà â ö³é<br />
òî÷ö³ íåïåðåðâíà.<br />
ijéñíî, ÿêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â òî÷ö³<br />
M 0 (x 0 , y 0 ), òî ¿¿ ïîâíèé ïðèð³ñò çã³äíî ç îçíà÷åííÿì ìàº<br />
âèãëÿä (10.4.1).<br />
Ïåðåõîäÿ÷è äî ãðàíèö³ â ð³âíîñò³ (10.4.1) ïðè ∆x<br />
→ 0 ³<br />
∆y<br />
→ 0, áóäåìî ìàòè, ùî lim∆ z = 0 . À öå îçíà÷àº, ùî ôóíêö³ÿ<br />
z = f(x, y) íåïåðåðâíà â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ).<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Òåîðåìà 10.4.2 (ïðî ³ñíóâàííÿ ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ).<br />
ßêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ),<br />
òî â ö³é òî÷ö³ ³ñíóþòü ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ z′ x ( x0,<br />
y0)<br />
³ z′ y ( x0,<br />
y0)<br />
,<br />
ïðè÷îìó, ÿêùî ïîâíèé ïðèð³ñò ôóíêö³¿ çàïèñàíèé ó âèãëÿä³<br />
(10.4.1), òî<br />
( , ) , ( , )<br />
z′ x y = A z′<br />
x y = B.<br />
x<br />
0 0 y 0 0<br />
Äîâåäåííÿ. ßêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â<br />
òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), òî ¿¿ ïîâíèé ïðèð³ñò ó ö³é òî÷ö³ çã³äíî ç<br />
îçíà÷åííÿì çàïèøåìî ó âèãëÿä³ (10.4.1). Íåõàé òåïåð<br />
∆y = 0, à ∆x ≠ 0. Òîä³ ïîâíèé ïðèð³ñò ôóíêö³¿ â òî÷ö³<br />
M 0 (x 0 , y 0 ) áóäå ñï³âïàäàòè ç ÷àñòèííèì ïðèðîñòîì ïî x<br />
ö³º¿ ôóíêö³¿ â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), òîáòî ð³âí³ñòü (10.4.1) ìîæíà<br />
çàïèñàòè ó âèãëÿä³:<br />
äå<br />
limα= 0 . Çâ³äñè<br />
∆x→0<br />
( 0,<br />
0)<br />
∆ xz x y = A⋅∆ x+α⋅∆ x,<br />
∆ xz = A +α .<br />
∆x<br />
Ïðè ∆x → 0 ïðàâà ÷àñòèíà îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ ïðÿìóº äî<br />
÷èñëà A, öå îçíà÷àº, ùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 )<br />
ìຠ÷àñòèííó ïîõ³äíó (ñê³í÷åííó) z′ x ( x0,<br />
y0)<br />
³ ñïðàâäæóºòüñÿ<br />
ð³âí³ñòü<br />
z′ x , y = A. (10.4.2)<br />
x<br />
( )<br />
0 0<br />
ßêùî ∆x = 0, à ∆y ≠ 0, òî, ïðîâîäÿ÷è àíàëîã³÷í³ ïåðåòâîðåííÿ,<br />
ïåðåêîíàºìîñÿ, ùî ÷àñòèííà ïîõ³äíà ïî y â³ä ôóíêö³¿<br />
z = f(x, y) ó òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) òàêîæ ³ñíóº ³ ñïðàâåäëèâà ð³âí³ñòü<br />
y<br />
( 0,<br />
0)<br />
z′ x y = B. (10.4.3)<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
10.4.2. Äèôåðåíö³àë ôóíêö³¿<br />
Íàãàäàºìî, ùî ÿêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â<br />
òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), òî ¿¿ ïîâíèé ïðèð³ñò ìîæå áóòè çîáðàæåíèé<br />
ó âèãëÿä³:<br />
( , )<br />
∆ zx y = A⋅∆ x+ B⋅∆ y+α⋅∆ x+β⋅∆ y, (10.4.4)<br />
0 0<br />
äå ÷èñëà A ³ B íå çàëåæàòü â³ä ∆x ³ ∆y, à<br />
limα= 0 ,<br />
∆x→0<br />
∆y→0<br />
limβ= 0 .<br />
∆x→0<br />
∆→ y 0<br />
366 367
Îçíà÷åííÿ 10.4.2 Äèôåðåíö³àëîì äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿<br />
z = f(x, y) â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) íàçèâàºòüñÿ ë³í³éíà â³äíîñíî<br />
ïðèðîñò³â ∆x i ∆y ÷àñòèíà ïîâíîãî ïðèðîñòó ö³º¿ ôóíêö³¿ â<br />
òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ). Äèôåðåíö³àë ôóíêö³¿ z = f(x, y) â òî÷ö³<br />
M 0 (x 0 , y 0 ) ïîçíà÷àºòüñÿ òàê: dz(x 0 , y 0 ). Òîä³ çà îçíà÷åííÿì<br />
³ òåîðåìîþ 10.4.2 äèôåðåíö³àë ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³:<br />
( 0, ) ′<br />
0 ( 0, 0) ′( 0,<br />
0)<br />
dz x y = z x y ∆ x + z x y ∆ y . (10.4.5)<br />
x<br />
Äèôåðåíö³àëàìè íåçàëåæíèõ çì³ííèõ õ ³ ó íàçâåìî ïðèðîñòè<br />
öèõ çì³ííèõ: dx = ∆x, dy = ∆y. Òîä³ äèôåðåíö³àë íàáóâàº<br />
ñèìåòðè÷íîãî âèãëÿäó:<br />
y<br />
( , ) ′ ( , ) ′( , )<br />
0 0 x 0 0 y 0 0<br />
y<br />
dz x y = z x y dx + z x y dy . (10.4.6)<br />
z′ x y = A,<br />
Íåõàé ïðèíàéìí³ îäíà ³ç êîíñòàíò x ( 0,<br />
0)<br />
( 0,<br />
0)<br />
z′ x y = B â³äì³ííà â³ä íóëÿ. Òîä³ ó ð³âíîñò³ (10.4.4) òðåò³é<br />
³ ÷åòâåðòèé äîäàíîê ÿâëÿþòü ñîáîþ íåñê³í÷åííî ìàë³<br />
á³ëüø âèñîêîãî ïîðÿäêó ìàëèçíè, í³æ ïåðø³ äâà. ² â öüîìó<br />
âèïàäêó ìîæíà çàïèñàòè íàáëèæåíó ôîðìóëó<br />
∆z ≈ dz,<br />
ÿêó âåëüìè ÷àñòî âèêîðèñòîâóþòü â íàáëèæåíèõ îá÷èñëåííÿõ.<br />
Çàóâàæåííÿ. ßêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà<br />
â äåÿê³é îáëàñò³ D, òî â äîâ³ëüí³é òî÷ö³ ö³º¿ îáëàñò³ äèôåðåíö³àë<br />
ìຠòàêèé âèãëÿä:<br />
x<br />
( , ) ( , )<br />
10.4.3. Ïîõ³äíà çà íàïðÿìîì<br />
dz = z′ x y dx + z′<br />
x y dy . (10.4.7)<br />
×àñòèííà ïîõ³äíà z′ ( x , y ) ( zy<br />
( x0,<br />
y0)<br />
)<br />
′ ó òî÷ö³ M<br />
x 0 0<br />
0 (x 0 , y 0 )<br />
âèðàæຠøâèäê³ñòü çðîñòàííÿ ôóíêö³¿ z = f(x, y) â òî÷ö³ â<br />
äîäàòíîìó íàïðÿìó îñ³ Ox (Oy), îäíàê äëÿ ôóíêö³¿<br />
z = f(x, y) ìîæíà ïîñòàâèòè ïèòàííÿ ïðî øâèäê³ñòü ¿¿ çðîñòàííÿ<br />
â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) â äîâ³ëüíîìó íàïðÿì³.<br />
y<br />
Íåõàé íàïðÿì ó òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) çàäàíî îäèíè÷íèì âåêòîðîì<br />
e r (ðèñ. 10.11), ÿêèé óòâîðþº ç äîäàòíèì íàïðÿìîì<br />
îñ³ Ox êóò α. Ðîçãëÿíåìî ïðÿìó, ÿêà ïàðàëåëüíà âåêòîðó e r .<br />
Ðèñ. 10.11<br />
Íà í³é â³çüìåìî äîâ³ëüíó òî÷êó M 0 (x 0 +∆x, y 0 + ∆y), ÿêà<br />
â³äì³ííà â³ä òî÷êè M 0 , ³ ââåäåìî â³äñòàíü<br />
( ) ( )<br />
2 2<br />
ρ=ρ<br />
MM ,<br />
= ∆ x + ∆ y . Ðîçãëÿíåìî òåïåð ôóíêö³þ z = f(x, y),<br />
0<br />
ÿêà äèôåðåíö³éîâíà â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), ïðè öüîìó òî÷êà<br />
M 0 (x 0 +∆x, y 0 + ∆y) íàëåæ³òü δ-îêîëó ö³º¿ òî÷êè.<br />
∆z<br />
Òîä³ â³äíîøåííÿ âèðàæຠñåðåäíþ øâèäê³ñòü çðîñòàííÿ<br />
ôóíêö³¿ z = f(x, y) íà â³äð³çêó M 0<br />
ρ<br />
M.<br />
∆<br />
Îçíà÷åííÿ 10.4.3. ßêùî ãðàíèöÿ lim z<br />
³ñíóº, òî âîíà<br />
ρ→0<br />
ρ<br />
íàçèâàºòüñÿ ïîõ³äíîþ ôóíêö³¿ z = f(x, y) â òî÷ö³ M 0 çà íàïðÿìîì<br />
âåêòîðà e r<br />
∂zx<br />
( 0,<br />
y0)<br />
³ ïîçíà÷àºòüñÿ . Ñèìâîë³÷íî öå<br />
∂e<br />
çàïèñóºòüñÿ òàê:<br />
∆<br />
lim z ∂<br />
=<br />
z x y<br />
ρ→0<br />
ρ ∂e<br />
( , )<br />
0 0<br />
. (10.4.8)<br />
368 369
Ïîõ³äíà çà íàïðÿìîì âåêòîðà e r â òî÷ö³ M 0 âèðàæàº<br />
øâèäê³ñòü çðîñòàííÿ ôóíêö³¿ z = f(x, y) çà òèì ñàìèì íàïðÿìîì.<br />
Çàóâàæåííÿ. ßêùî íàïðÿì âåêòîðà e r ñï³âïàäຠç<br />
äîäàòíèì íàïðÿìîì îñ³ Ox (Oy), òî ïîõ³äíà çà íàïðÿìîì e r<br />
â òî÷ö³ M 0 ïåðåòâîðþºòüñÿ â ÷àñòèííó ïîõ³äíó z′<br />
x ( x0,<br />
y0)<br />
( z′ y ( x0,<br />
y0)<br />
).<br />
Òåîðåìà 10.4.3 (ïðî ïîõ³äíó çà íàïðÿìîì). ßêùî ôóíêö³ÿ<br />
z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), òî â ö³é<br />
òî÷ö³ âîíà ìຠïîõ³äíó çà áóäü-ÿêèì íàïðÿìîì e r , ïðè öüîìó<br />
âèêîíóºòüñÿ ð³âí³ñòü<br />
∂z ∂z ∂z<br />
( x0, y0) = ( x0, y0) cos α+ ( x0, y0)<br />
sinα. ∂e ∂x ∂y<br />
(10.4.9)<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. ßêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â<br />
òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ), òî â ö³é òî÷ö³ ¿¿ ïîâíèé ïðèð³ñò ìຠâèãëÿä<br />
(10.4.1).<br />
Òîä³ â³äíîøåííÿ<br />
çàïèñàòè òàê:<br />
àáî<br />
( 0,<br />
0)<br />
∆z<br />
ρ<br />
ç óðàõóâàííÿì (10.4.1) ìîæíà<br />
∆z x y ∂z ∆x ∂z ∆y ∆x ∆y<br />
= ( x , y ) + ( x , y ) +α +β<br />
x<br />
y<br />
( 0,<br />
0)<br />
0 0 0 0<br />
ρ ∂ ρ ∂ ρ ρ ρ (10.4.10)<br />
∆z x y ∂z ∂z<br />
= ( x0, y0) cos α + ( x0, y0)<br />
sinα +αcosα +βsinα, (10.4.11)<br />
ρ ∂x<br />
∂y<br />
äå<br />
limα= 0 ,<br />
∆x→0<br />
∆y→0<br />
limβ= 0 . (10.4.12)<br />
∆x→0<br />
∆→ y 0<br />
Ïåðåõ³ä â³ä ð³âíîñò³ (10.4.10) äî (10.4.11) â³ðíèé, òîìó ùî<br />
ç òðèêóòíèêà M 0 MN âèïëèâàº, ùî<br />
∆ x = cos α ∆ y<br />
, à = sin α .<br />
ρ<br />
ρ<br />
Òåïåð íåâàæêî ïåðåéòè äî ãðàíèö³ â ïðàâ³é ÷àñòèí³ ð³âíîñò³<br />
(10.4.11), êîëè ρ→0. Ãðàíèöÿ â í³é ³ñíóº, îñê³ëüêè î÷åâèäíî,<br />
ùî ïðè ρ→0 ∆x → 0 ³ ∆y → 0 (ÿêùî ã³ïîòåíóçà ïðÿìóº äî<br />
íóëÿ, òî ³ êàòåòè òåæ ïðÿìóþòü äî íóëÿ), ³ çíà÷èòü â³ðí³<br />
ð³âíîñò³ (10.4.12)). Òîä³ ³ñíóº ãðàíèöÿ â ë³â³é ÷àñòèí³ ð³âíîñò³<br />
(10.4.11) ³ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà (10.4.8).<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Àíàëîã³÷í³ òåîðåìè ìîæíà äîâåñòè ³<br />
äëÿ ôóíêö³é äèôåðåíö³éîâíèõ â òî÷ö³ Q 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) òðèâèì³ðíîãî<br />
ïðîñòîðó (ôóíêö³ÿ u = f(x, y, z) íàçèâàºòüñÿ äèôåðåíö³éîâíîþ<br />
â òî÷ö³ Q 0 (x 0 , y 0 , z 0 ), ÿêùî â ö³é òî÷ö³ ïðèð³ñò<br />
çîáðàæóºòüñÿ ó âèãëÿä³ ∆ u = A∆ x+ B∆ y+ C∆ z+α∆ x+β∆ y+γ∆ z, äå<br />
∆x≠0, ∆y≠0, ∆z≠ 0 ³ lim ( αβγ , , ) = 0 ). Çîêðåìà, ñïðàâåäëèâà<br />
ôîðìóëà<br />
∆x→0<br />
∆y→0<br />
∆→ z 0<br />
∂z ∂z ∂z ∂z<br />
( x0, y0, z0) = ( x0, y0, z0) cos α+ ( x0, y0, z0) cos β+ ( x0, y0, z0)<br />
cosγ<br />
∂e ∂x ∂y ∂z<br />
.<br />
Òóò cos α, cos β ³ cosγ — íàïðÿìëåí³ êîñèíóñè, äëÿ ÿêèõ<br />
â³ðíà ð³âí³ñòü:<br />
2 2 2<br />
cos α+ cos β+ cos γ= 1 .<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Ìîæíà àáñòðàêòíî ââåñòè n-âèì³ðíèé<br />
ïðîñò³ð (n > 3). Òàêå ââåäåííÿ ìè íàçâàëè àáñòðàêòíèì,<br />
îñê³ëüêè íàî÷íî âàæêî ñîá³ óÿâèòè â³äïîâ³äíó ñèñòåìó êîîðäèíàò<br />
ïðè n >3.<br />
Äëÿ n-âèì³ðíîãî ïðîñòîðó (n > 3) ââîäèòüñÿ òåæ ïîíÿòòÿ<br />
äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿ u = f(x 1 , x 2 , ..., x n ) (÷èòà÷åâ³ ïðîïîíóºòüñÿ<br />
öå çðîáèòè) ³ ïîõ³äíî¿ çà íàïðÿìîì âåêòîðà<br />
e r ( cos α1,cos α2, K ,cos α n ) â òî÷ö³ M ( 0 0 0<br />
0<br />
x1, x2, K , x n ). Ïðè öüîìó<br />
ïîõ³äíà ôóíêö³¿ u = f(x 1 , x 2 , ..., x n ) â òî÷ö³ M 0 çà íàïðÿìîì<br />
âåêòîðà e r îá÷èñëþºòüñÿ çà äîïîìîãîþ òàêî¿ ôîðìóëè:<br />
∂u 0 0 ∂u 0 0 ∂u<br />
0 0<br />
( x1, K, x ) = ( x1, K, x ) cos α<br />
1<br />
+ K+ ( x1, K , x ) cosα<br />
∂e ∂x ∂x<br />
,<br />
n n n n<br />
1<br />
n<br />
370 371
∂u<br />
äå ( i = 1, 2, K , n)<br />
∂x<br />
÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ â òî÷ö³ M 0 , à<br />
i<br />
2 2 2<br />
cos α<br />
1<br />
+ cos α<br />
2<br />
+ K + cos α<br />
n<br />
= 1.<br />
Çàóâàæåííÿ 3. Î÷åâèäíî, ùî âñ³ ïîíÿòòÿ, ÿê³ áóëî<br />
ââåäåíî äëÿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ, ïåðåíîñÿòüñÿ íà äîâ³ëüíèé<br />
n-âèì³ðíèé ïðîñò³ð äîñòàòíüî ëåãêî. Ïðè öüîìó òðåáà<br />
ðîçóì³òè, ùî ïåðåõ³ä â³ä n = 2 äî n = 3 ñóòòºâèé. Ñóòòºâ³ñòü<br />
ïîëÿãຠâ òîìó, ùî â äâîâèì³ðíîìó ïðîñòîð³ íàïðÿìëåí³<br />
⎛π<br />
⎞<br />
êîñèíóñè ïîâ’ÿçàí³ ð³âí³ñòþ cosβ= cos⎜<br />
−α ⎟= sin α (β êóò,<br />
⎝2<br />
⎠<br />
ï³ä ÿêèì âåêòîð e r ïåðåòèíຠîñü Oy), à â òðèâèì³ðíîìó<br />
ïðîñòîð³ àíàëîã³÷íî¿ çàëåæíîñò³ íå ³ñíóº.<br />
Ùîäî n-âèì³ðíîãî ïðîñòîðó (n > 3), òî ïðèíöèïîâî â³í<br />
â³äíîñíî ââåäåíèõ ïîíÿòü í³÷èì íå â³äð³çíÿºòüñÿ. Âñ³ ïîíÿòòÿ<br />
ïîâí³ñòþ ïîâòîðþþòüñÿ, ò³ëüêè á³ëüø ãðîì³çäêî.<br />
Çàóâàæåííÿ 4. Âèíèêຠïèòàííÿ: äëÿ ÷îãî òðåáà ðîçãëÿäàòè<br />
n-âèì³ðíèé ïðîñò³ð? ³äïîâ³äü îäíîçíà÷íà: äëÿ òîãî,<br />
ùîá ìîæíà áóëî åôåêòèâíî äîñë³äæóâàòè çàëåæí³ñòü îäí³º¿<br />
âåëè÷èíè â³ä áàãàòüîõ ³íøèõ.  åêîíîì³ö³ òàê³ çàëåæíîñò³<br />
³ñíóþòü (äóìàþ, ùî ÷èòà÷ äîáðå öå ðîçó쳺), ³ òîìó ïîòðåáà<br />
â àáñòðàãóâàíí³ ö³ëêîì î÷åâèäíà.<br />
Çàóâàæåííÿ 5. Ðîçãëÿäàííÿ äâîâèì³ðíîãî ïðîñòîðó, à<br />
³íêîëè òðèâèì³ðíîãî ïîâ’ÿçàíî ò³ëüêè ç åëåìåíòàìè íàî÷íîñò³.<br />
×èòà÷, ÿêèé áóäå äîáðå âîëîä³òè ïîíÿòòÿì äëÿ äâîâèì³ðíîãî<br />
³ òðèâèì³ðíîãî ïðîñòîðó, áåç âñÿêî¿ íàïðóãè ìîæå<br />
ïðàöþâàòè ³ â ïðîñòîð³ ðîçì³ðó á³ëüøå 3. Ïåâíà ð³÷, ÿêùî<br />
â öüîìó áóäå ïîòðåáà.<br />
10.5. ÃÐÀIJªÍÒ ÔÓÍÊÖ²¯<br />
10.5.1. Ïîíÿòòÿ ïðî ñêàëÿðí³ òà âåêòîðí³ ïîëÿ<br />
Ïðè äîñë³äæåíí³ ð³çíèõ ÿâèù, çîêðåìà â åêîíîì³ö³, ÷àñòî<br />
âèíèêຠïîòðåáà ðîçãëÿäàííÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, àáî âåêòîðíîãî,<br />
àáî â ñóêóïíîñò³. Íàïðèêëàä, íåð³âíîì³ðíå îá’ºìíå<br />
ò³ëî óòâîðþº â ÷àñòèí³ ïðîñòîðó, ÿêå çàéìຠò³ëî, ñêàëÿðíå<br />
³ âåêòîðíå ïîëå (ðèñ. 10.12) (òåìïåðàòóðà º ñêàëÿð, à íàïðÿì<br />
òåìïåðàòóðíîãî ïîòîêó — âåêòîð).<br />
Ðèñ. 10.12<br />
Äâîâèì³ðíèé (n-âèì³ðíèé) âåêòîð p=<br />
( p , p )<br />
0<br />
r<br />
1 2<br />
r<br />
( p = (p 1 , p 2 , ...,<br />
p n )) óòâîðþº â îêîë³ ð³âíîâàæíî¿ òî÷êè (òî÷êà â ÿê³é ïðîïîçèö³ÿ<br />
òîâàðó ñï³âïàäຠç éîãî ïîïèòîì) âåêòîðíå ïîëå.<br />
³í æå âèçíà÷ຠ³ ñêàëÿðíå ïîëå — ïîëå âàðòîñò³ òîâàðó.<br />
10.5.2. Ãðà䳺íò ôóíêö³¿<br />
Íåõàé ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà â òî÷ö³<br />
M 0 (x 0 , y 0 ). Òîä³ çà òåîðåìîþ 10.4.3, ó ö³é òî÷ö³ ³ñíóº ïîõ³äíà<br />
ö³º¿ ôóíêö³¿ çà áóäü-ÿêèì íàïðÿìîì. ² çðàçó æå âèíèêàº<br />
âàæëèâå ïèòàííÿ ïðî çíàõîäæåííÿ íàïðÿìó, çà ÿêèì öÿ<br />
ïîõ³äíà áóäå íàéá³ëüøîþ.<br />
Ùîá â³äïîâ³ñòè íà òàêå çàïèòàííÿ, ðîçãëÿíåìî äâà âåêòîðè:<br />
îäèíè÷íèé âåêòîð e = cos α⋅ i + sin α⋅ j , ïðî ÿêèé âèùå<br />
r r r<br />
áóëî çãàäàíî â ï. 10.4, ³ âåêòîð<br />
r<br />
r<br />
x= x0 = z′ x( x0, y0) ⋅ i + z′<br />
y( x0, y0)<br />
⋅j,<br />
gradz (10.5.1)<br />
y = y<br />
372 373
ùî íàçèâàºòüñÿ ãðà䳺íòîì ôóíêö³¿ z = f(x, y) â òî÷ö³<br />
M 0 (x 0 , y 0 ). Òóò i r , r<br />
j â³äîì³ îðòè.<br />
Ïîìíîæèìî òåïåð ñêàëÿðíî ö³ äâà âåêòîðè, ïðè÷îìó äâîìà<br />
ñïîñîáàìè (äèâ. ï. 2.1.6). Ó ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî<br />
r<br />
grad z ⋅ e = z′ x ( x0, y0) ⋅cos α + z′<br />
y ( x0, y0)<br />
⋅sin<br />
α<br />
M = M<br />
, (10.5.2)<br />
0<br />
r<br />
r<br />
grad z ⋅ e = grad z ⋅ e ⋅cos<br />
ϕ<br />
M = M0 M = M<br />
,<br />
0<br />
(10.5.3)<br />
äå ϕ — êóò ì³æ öèìè âåêòîðàìè. Îñê³ëüêè<br />
r<br />
e = 1 , òî ³ç<br />
(10.5.2) – (10.5.3) áóäåìî ìàòè<br />
∂z ( x<br />
0, y<br />
0) = grad z ( x<br />
0, y<br />
0)<br />
⋅cosϕ. (10.5.4)<br />
∂e<br />
Ïðîñòèé àíàë³ç ôîðìóëè (10.5.4) ïîêàçóº, ùî íàéá³ëüøå<br />
çíà÷åííÿ ïîõ³äíî¿ çà íàïðÿìîì e r â òî÷ö³ M 0 áóäå òîä³,<br />
êîëè grad z ≠ 0 ³ íàïðÿì âåêòîðà e r ñï³âïàäຠç íàïðÿìîì<br />
ãðà䳺íòà. Ïðè öüîìó âåëè÷èíà íàéá³ëüøîãî çðîñ-<br />
M = M<br />
0<br />
òàííÿ ôóíêö³¿ z îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ<br />
∂z x y z x y z x y z x y<br />
∂e<br />
( ) ( )( ) ( ( )) 2<br />
( ( )) 2<br />
0, 0<br />
= grad<br />
0, 0<br />
= ′<br />
x 0, 0<br />
+ ′<br />
y 0,<br />
0<br />
. (10.5.5)<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Çã³äíî ç ôîðìóëîþ (10.5.1) ãðà䳺íòîì<br />
ôóíêö³¿ z = f(x, y) â òî÷ö³ (x 0 , y 0 ) º âåêòîð, êîîðäèíàòè<br />
ÿêîãî äîð³âíþþòü â³äïîâ³äíî z′ x ( x0,<br />
y0)<br />
, z′ y ( x0,<br />
y0)<br />
.<br />
Àíàëîã³÷íî îçíà÷àºòüñÿ ãðà䳺íò ôóíêö³¿ â³ä n íåçàëåæíèõ<br />
çì³ííèõ. Ñôîðìóëþºìî, íàïðèêëàä, îçíà÷åííÿ ãðà䳺íòà<br />
äëÿ ôóíêö³¿ â³ä òðüîõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ.<br />
Íåõàé ôóíêö³ÿ u = f(x, y, z) â òî÷ö³ Q 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) äèôåðåíö³éîâíà.<br />
Òîä³ â ö³é òî÷ö³ ³ñíóº ãðà䳺íò, ÿêèé âèçíà÷àºòüñÿ<br />
çà ôîðìóëîþ<br />
grad u x , y , z = u x , y , z ⋅ i r + u x , y , z ⋅ j r<br />
+ u x , y , z ⋅k,<br />
r<br />
( ) ′ ( ) ′ ( ) ′( )<br />
0 0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0<br />
äå i r , j r ³ k r çíàéîì³ íàì îðòè.<br />
Íàðåøò³ ìîæíà ñêàçàòè, ùî ïðîáëåìà ïîøóêó êëàñó<br />
ôóíêö³é (äèâ. ï. 10.3), äëÿ ÿêèõ ìîæíà ãàðàíòîâàíî çíàéòè<br />
íàïðÿì íàéá³ëüøîãî çðîñòàííÿ ôóíêö³¿ ³ ñàìó øâèäê³ñòü ¿¿<br />
çðîñòàííÿ, âèð³øåíà, öå êëàñ äèôåðåíö³éîâíèõ ôóíêö³é.<br />
Äèôåðåíö³éîâí³ ôóíêö³¿ ìàþòü äóæå âàæëèâ³ âëàñòèâîñò³.<br />
Çîêðåìà, ÿêùî ôóíêö³ÿ äèôåðåíö³éîâíà, òî âîíà íåïåðåðâíà<br />
³ ³ñíóþòü ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ çà áóäü-ÿêèì íàïðÿìîì. Ó<br />
çâ’ÿçêó ç öèì ïîñòຠïèòàííÿ ïðî âèÿâëåííÿ äîñòàòí³õ<br />
óìîâ, ÿê³ çàáåçïå÷óþòü äèôåðåíö³éîâí³ñòü ôóíêö³¿. ³äïîâ³äü<br />
íà çàïèòàííÿ äຠòàêà òåîðåìà.<br />
Òåîðåìà 10.5.1 (äîñòàòí³ óìîâè äèôåðåíö³éîâíîñò³<br />
ôóíêö³¿). Íåõàé ôóíêö³ÿ z = f(x, y) â äåÿêîìó δ-îêîë³ òî÷êè<br />
M 0 (x 0 , y 0 ) ìຠñê³í÷åíí³ ïîõ³äí³ z′ ( x,<br />
y)<br />
³ z ( x,<br />
y)<br />
x<br />
′ , ÿê³ íåïåðåðâí³<br />
â ñàì³é òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ). Òîä³ ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äèôåðåíö³éîâíà<br />
â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ).<br />
Äîâåäåííÿ. Ðîçãëÿíåìî ïîâíèé ïðèð³ñò ôóíêö³¿ â òî÷ö³,<br />
ÿêèé ìîæåìî çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:<br />
( 0, 0) ( 0<br />
,<br />
0 ) ( 0,<br />
0)<br />
∆ zx y = fx +∆ xy +∆y − fx y =<br />
( f( x0 x, y0 y) f( x0,<br />
y0<br />
y)<br />
)<br />
= +∆ +∆ − +∆ +<br />
( f( x0, y0 y) f( x0,<br />
y0)<br />
)<br />
+ +∆ − , (10.5.6)<br />
äå ∆x ≠ 0 ³ ∆y ≠ 0.<br />
Âèðàç, ùî ñòî¿òü ó ïåðøèõ äóæêàõ, º ïðèðîñòîì ôóíêö³¿<br />
f(x, y 0 + ∆y) îäí³º¿ çì³ííî¿ x â òî÷ö³ x 0 . Îñê³ëüêè öÿ ôóíêö³ÿ<br />
äèôåðåíö³éîâíà â δ-îêîë³ òî÷êè x 0 (âíàñë³äîê ³ñíóâàííÿ<br />
÷àñòèííî¿ ïîõ³äíî¿ f′ x ( x,<br />
y)<br />
â δ-îêîë³ òî÷êè M 0 (x 0 , y 0 )), òî<br />
äî ïðèðîñòó ö³º¿ ôóíêö³¿ ìîæíà çàñòîñóâàòè òåîðåìó Ëàãðàíæà.<br />
Çã³äíî ç ö³ºþ òåîðåìîþ áóäåìî ìàòè<br />
( , ) ( , ) ′ ( , )<br />
f x +∆ x y +∆y − f x y +∆ y = f x +θ∆ x y +∆y ∆ x, (10.5.7)<br />
0 0 0 0 x 0 1 0<br />
äå 0 < θ 1
Àíàëîã³÷íî<br />
( 0, 0 ) ( 0, 0) ′ ( 0,<br />
0 2 )<br />
f x y +∆y − f x y = f x y +θ∆y ∆ y, (10.5.8)<br />
äå 0 < θ 2
ÂÏÐÀÂÈ<br />
10.11. Çíàéòè ïîõ³äíó z = x 2 y – y 2 x ó òî÷ö³ M 0 (2, 1) ó<br />
íàïðÿìêó âåêòîðà e r , ÿêèé ñêëàäຠêóò α = 30° ç äîäàòíèì<br />
íàïðÿìîì îñ³ Ox.<br />
5<br />
10.12. Çàäàíà ôóíêö³ÿ z = . Ïîáóäóâàòè ë³í³¿ ð³âíÿ<br />
2 2<br />
x + y<br />
³ gradz ó òî÷ö³ M 0 (–1, 2) òà çíàéòè grad z( − 1,2) .<br />
10.13. Çíàéòè ïîõ³äíó ôóíêö³¿ z = xy 2 z 3 â òî÷ö³<br />
uuuuuuur<br />
M 0 (1, 2, 3) ó íàïðÿìó âåêòîðà MM<br />
0 , äå M(3,2,1).<br />
10.14. Çíàéòè ïîõ³äíó ôóíêö³¿ z = 5ln( x 2 + y<br />
2<br />
) â òî÷ö³<br />
M 0 (1; 2) ó íàïðÿìó ãðà䳺íòà ôóíêö³¿ z ³ íàéá³ëüøó øâèäê³ñòü<br />
¿¿ çðîñòàííÿ â äàí³é òî÷ö³.<br />
10.15. Çàäàíà ôóíêö³ÿ u =tgx – x + 3siny – sin 3 y + z + ctgz.<br />
Òðåáà çíàéòè ãðà䳺íò ö³º¿ ôóíêö³¿, éîãî äîâæèíó ³ íàïðÿì â<br />
M π 4 π 3 π 2 .<br />
10.16. Çíàéòè íàéá³ëüøó êðóò³ñòü ïîâåðõí³ z 2 = xy â òî÷ö³<br />
M 0 (4, 2).<br />
10.17. Çíàéòè ïîõ³äíó ôóíêö³¿ z = ln(e x +e y ) ó íàïðÿìàõ,<br />
ïàðàëåëüíèõ á³ñåêòðèñàì êîîðäèíàòíèõ êóò³â.<br />
10.18. Çíàéòè ïîõ³äíó ôóíêö³¿ U = x 2 + y 2 + z 2 â òî÷ö³<br />
òî÷ö³ 0 ( , , )<br />
M 0 (1, 1, 1) ó íàïðÿìó r e (cos45°, cos60°, cos60°) ³ çíàéòè ãðàä³-<br />
ºíò â ò³é òî÷ö³. Ïîáóäóâàòè òàêîæ ïîâåðõí³ ð³âí³â çàäàíî¿<br />
ôóíêö³¿.<br />
10.19. Ó ïðèêëàä³ 10.3.3 âèçíà÷åíà ôóíêö³ÿ Êîááà – Äóãëàñà.<br />
Òðåáà çíàéòè â òî÷ö³ M 0 (25 ⋅ 10 8 ,10 3 ) ¿¿ ãðà䳺íò ³ øâèäê³ñòü<br />
íàéá³ëüøîãî çðîñòàííÿ. Ùî áóäå îçíà÷àòè ç åêîíîì³÷íî¿<br />
òî÷êè çîðó îòðèìàíèé ðåçóëüòàò?<br />
10.6. ÅÊÑÒÐÅÌÀËÜͲ ÇÍÀ×ÅÍÍß ÔÓÍÊÖ²¯<br />
ÁÀÃÀÒÜÎÕ Ç̲ÍÍÈÕ<br />
10.6.1. Åêñòðåìóì ôóíêö³¿<br />
ßê ³ äëÿ âèïàäêó îäí³º¿ çì³ííî¿, ôóíêö³ÿ z = f(x, y) ìàº<br />
âóçëîâ³ òî÷êè, ÿê³ âèçíà÷àþòü ñòðóêòóðó ãðàô³êà.  ïåðøó<br />
÷åðãó öå òî÷êè åêñòðåìóìó.<br />
Îçíà÷åííÿ 10.6.1. Êàæóòü, ùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y), ÿêà<br />
âèçíà÷åíà â δ-îêîë³ òî÷êè M 0 (x 0 , y 0 ), ìຠìàêñèìóì (ì³í³ìóì),<br />
ÿêùî ³ñíóº òàêèé δ 1 -îê³ë (δ 1 < δ), ùî äëÿ óñ³õ òî÷îê<br />
δ 1 -îêîëó âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü<br />
f(M) ≤ f(M 0 )(f(M) ≥ f(M 0 )).<br />
Ðèñ. 10.13<br />
Ðèñ. 10.14<br />
Íà ðèñ. 10.13 ôóíêö³ÿ z = f(x, y) â òî÷ö³ ìຠìàêñèìóì, à<br />
íà ðèñ. 10.14 — ì³í³ìóì. Ìàêñèìóì (ì³í³ìóì) ôóíêö³¿<br />
z = f(x, y) ïîçíà÷àºòüñÿ òàê:<br />
( ,<br />
o) ( ( ,<br />
o)<br />
)<br />
z = f x y z = f x y .<br />
max 0 min 0<br />
Ïîíÿòòÿ åêñòðåìóìó îá’ºäíóº âæå ââåäåí³ ïîíÿòòÿ ìàêñèìóìó<br />
³ ì³í³ìóìó. ²íøèìè ñëîâàìè, òî÷êè ìàêñèìóìó ³ ì³í³ìóìó<br />
íàçèâàþòüñÿ òî÷êàìè åêñòðåìóìó, à çíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
z = f(x, y) â íèõ íàçèâàþòü åêñòðåìóìîì ôóíêö³¿.<br />
378 379
Çàóâàæèìî, ùî ïîíÿòòÿ åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ íîñèòü ëîêàëüíèé<br />
õàðàêòåð. ̳í³ìóì ôóíêö³¿ ìîæå áóòè á³ëüøå ìàêñèìóìó<br />
(ðèñ. 10.15).<br />
Ðèñ. 10.15<br />
Òåîðåìà 10.6.1 (íåîáõ³äíà óìîâà åêñòðåìóìó ôóíêö³¿<br />
äâîõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ). ßêùî ôóíêö³ÿ z = f(x, y) â òî÷ö³<br />
M 0 (x 0 , y 0 ) ìຠåêñòðåìóì, òî â ö³é òî÷ö³ ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ íå<br />
³ñíóþòü àáî äîð³âíþþòü íóëþ.<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) ôóíêö³ÿ z = f(x, y)<br />
ìຠåêñòðåìóì, òîä³ ³ ôóíêö³¿ ϕ = f(x, y 0 ), ψ = f(x 0 , y) ìàþòü<br />
åêñòðåìóìè â³äïîâ³äíî â òî÷êàõ x 0 ³ y 0 . Òàêèì ÷èíîì (äèâ.<br />
ï. 7.13.1), ïîõ³äí³ öèõ ôóíêö³é ó äàíèõ òî÷êàõ àáî íå ³ñíóþòü,<br />
àáî äîð³âíþþòü íóëþ:<br />
( x ) z ( x y )<br />
ϕ ′ = ′ , = 0,<br />
0 x 0 0<br />
( y ) z ( x y )<br />
ψ ′ = ′ , = 0.<br />
0 y 0 0<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Òî÷êè, â ÿêèõ ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ íå ³ñíóþòü àáî äîð³âíþþòü<br />
íóëþ, íàçèâàþòüñÿ êðèòè÷íèìè, àáî “òî÷êàìè ï³äîçð³ëèìè<br />
íà åêñòðåìóì”.<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Òî÷êè, â ÿêèõ âèêîíóþòüñÿ óìîâè<br />
( x y)<br />
z′ , = 0, (10.6.1)<br />
x<br />
( x y)<br />
z′ , = 0, (10.6.2)<br />
y<br />
íàçèâàþòüñÿ ñòàö³îíàðíèìè. ¯õ òàêîæ ìîæíà íàçèâàòè êðèòè÷íèìè<br />
òî÷êàìè, îñê³ëüêè âîíè ÿâëÿþòü ñîáîþ ï³äìíîæèíó<br />
ìíîæèíè êðèòè÷íèõ òî÷îê. Äëÿ çíàõîäæåííÿ ñòàö³îíàðíèõ<br />
òî÷îê ð³âíÿííÿ (10.6.1) – (10.6.2) ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê<br />
ñèñòåìà.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Ó âèïàäêó ñòàö³îíàðíèõ òî÷îê ñôîðìóëüîâàíà<br />
òåîðåìà º äâîâèì³ðíèì àíàëîãîì òåîðåìè Ôåðìà.<br />
Çàóâàæåííÿ 3. Äëÿ çíàõîäæåííÿ ñòàö³îíàðíèõ òî÷îê<br />
äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿ n çì³ííèõ òðåáà ðîçâ’ÿçóâàòè ñèñòåìó<br />
n ð³âíÿíü, ÿêà àíàëîã³÷íà ñèñòåì³ (10.6.1) – (10.6.2)<br />
(óñ³ ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ïåðøîãî ïîðÿäêó òàêî¿ ôóíêö³¿ â ñòàö³îíàðí³é<br />
òî÷ö³ äîð³âíþþòü íóëþ).<br />
Çàçíà÷èìî òåïåð, ùî óìîâè (10.6.1) – (10.6.2) àáî óìîâè<br />
íå ³ñíóâàííÿ ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ º ò³ëüêè íåîáõ³äíèìè.<br />
Ùîá ó öüîìó ïåðåêîíàòèñÿ ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè.<br />
Ïðèêëàä 10.6.1. z = x 2 – y 2 .<br />
Ãðàô³ê ö³º¿ ôóíêö³¿ (ïîâåðõíÿ) çîáðàæåíî íà ðèñ. 10.16.<br />
Ðèñ. 10.16<br />
Ïîâåðõíÿ ôóíêö³¿ z = x 2 – y 2 íàãàäóº ñ³äëî. Äîñë³äèìî ¿¿<br />
íà åêñòðåìóì. Ñïî÷àòêó çíàéäåìî ñòàö³îíàðí³ òî÷êè:<br />
z′ = 2x= 0⇒ x = 0<br />
x<br />
z′ =− 2y = 0⇒ y = 0.<br />
y<br />
380 381
Îòæå, ñòàö³îíàðíà òî÷êà ò³ëüêè îäíà — öå ïî÷àòîê êîîðäèíàò<br />
Î(0,0). Àëå öÿ òî÷êà íå º òî÷êîþ åêñòðåìóìó ôóíêö³¿<br />
z = x 2 – y 2 , îñê³ëüêè ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ¿¿ ñòðóêòóðè âîíà â<br />
áóäü-ÿêîìó ìàëîìó îêîë³ òî÷êè Î(0,0) ïðèéìຠÿê äîäàòí³,<br />
òàê ³ â³ä’ºìí³ çíà÷åííÿ.<br />
2 2<br />
Ïðèêëàä 10.6.2. z = x + y .<br />
Ãðàô³ê ö³º¿ ôóíêö³¿ º êîíóñ. Ïîâåðõíþ, ÿêà â³äïîâ³äàº<br />
2 2<br />
z = x + y , ìîæíà ïîáóäóâàòè øëÿõîì îáåðòàííÿ<br />
ôóíêö³¿<br />
ãðàô³êà ôóíêö³¿ z<br />
= x íàâêîëî â³ñ³ Oz.<br />
2 2<br />
 òî÷ö³ Î(0,0) ôóíêö³ÿ z = x + y ìຠÿâíèé ì³í³ìóì,<br />
íåçâàæàþ÷è íà òå, ùî âîíà º ò³ëüêè òî÷êîþ “ï³äîçð³ëîþ íà<br />
åêñòðåìóì” (÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ðîçãëÿäóâàíî¿ ôóíêö³¿<br />
z′ =<br />
x<br />
x<br />
x<br />
+ y<br />
2 2<br />
³<br />
z′ =<br />
y<br />
x<br />
y<br />
+ y<br />
2 2<br />
â òî÷ö³ Î(0,0) íå ³ñíóþòü).<br />
Îòæå, ðîçãëÿíóò³ êîíòðïðèêëàäè ïîêàçóþòü, ùî ä³éñíî, íå<br />
âñ³ êðèòè÷í³ òî÷êè ìîæóòü áóòè òî÷êàìè åêñòðåìóìó ³<br />
òîìó âèíèêຠïðîáëåìà ïîøóêó äîñòàòí³õ óìîâ ³ñíóâàííÿ<br />
åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ â êðèòè÷íèõ òî÷êàõ.<br />
Äîñòàòí³ óìîâè ó âèïàäêó ñòàö³îíàðíèõ òî÷îê áóëî ìàòåìàòèêàìè<br />
çíàéäåíî.<br />
Ò å î ð å ì à 10.6.2. (ïðî äîñòàòíþ óìîâó ³ñíóâàííÿ åêñòðåìóìó<br />
ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ). Íåõàé ôóíêö³ÿ z = f(x, y)<br />
âèçíà÷åíà â δ-îêîë³ ñòàö³îíàðíî¿ òî÷êè M 0 (x 0 , y 0 ). Êð³ì<br />
öüîãî, â í³é äàíà ôóíêö³ÿ ìຠíåïåðåðâí³ ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³<br />
äðóãîãî ïîðÿäêó<br />
( , ) , ( , ) ( , ) , ( , )<br />
z′′ x y = A z′′ x y = z′′ x y = B z′′<br />
x y = C.<br />
xx 0 0 xy 0 0 yx 0 0 yy 0 0<br />
Òîä³, 1) ÿêùî ∆ = AC – B 2 > 0, òî â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 ) ôóíêö³ÿ<br />
z = f(x, y) ìຠåêñòðåìóì, ïðè÷îìó, êîëè A > 0, — ì³í³ìóì,<br />
à êîëè A < 0, — ìàêñèìóì; 2) ÿêùî ∆ = AC – B 2 <br />
0,<br />
−2 4<br />
A= z′′<br />
xx<br />
4,2 = 2 > 0 . Òàêèì ÷èíîì, ó òî÷ö³ M 0 (4,2) ôóíêö³ÿ<br />
ìຠì³í³ìóì:<br />
( )<br />
2 2<br />
zmin = z 4,2 = 4 −2 ⋅4 ⋅ 2 + 2 ⋅2 −4 ⋅ 4 = − 8 .<br />
Òåîðåìà 10.6.3 (ïðî äîñòàòíþ óìîâó ³ñíóâàííÿ åêñòðåìóìó<br />
ôóíêö³¿ òðüîõ çì³ííèõ). Íåõàé ôóíêö³ÿ u = f(x, y, z)<br />
âèçíà÷åíà â δ-îêîë³ ñòàö³îíàðíî¿ òî÷êè M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ). Êð³ì<br />
öüîãî, â í³é äàíà ôóíêö³ÿ ìຠíåïåðåðâí³ ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³<br />
( ) ( ) ( )<br />
u′′ x , y , z = a , u′′ x , y , z = u′′<br />
x , y , z = a = a ,<br />
xx 0 0 0 11 xy 0 0 0 yx 0 0 0 12 21<br />
( ) ( ) ( )<br />
u′′ x , y , z = a , u′′ x , y , z = u′′<br />
x , y , z = a = a ,<br />
yy 0 0 0 22 xz 0 0 0 zx 0 0 0 13 31<br />
( ) ( ) ( )<br />
u′′ x , y , z = a , u′′ x , y , z = u′′<br />
x , y , z = a = a ,<br />
zz 0 0 0 33 yz 0 0 0 zy 0 0 0 23 32<br />
u′′ ( x , y , z ) = u′′<br />
( x , y , z ) = a = a .<br />
yz<br />
0 0 0 zy 0 0 0 23 32<br />
382 383
Òîä³: 1) ÿêùî<br />
a a a<br />
a > 0, ∆ = > 0, a a a > 0,<br />
11 12 13<br />
a11 a12<br />
11 1 21 22 23<br />
a21 a22<br />
a31 a32 a33<br />
òî â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ôóíêö³ÿ u = f(x, y, z) ìຠì³í³ìóì;<br />
2) ÿêùî<br />
a a a<br />
a < 0, ∆ = > 0, a a a < 0,<br />
11 12 13<br />
a11 a12<br />
11 1 21 22 23<br />
a21 a22<br />
a31 a32 a33<br />
òî â òî÷ö³ M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ôóíêö³ÿ u = f(x, y, z) ìຠìàêñèìóì.<br />
Ïðèêëàä 10.6.4. Çíàéòè åêñòðåìóì ôóíêö³¿:<br />
u = x 2 + y 2 + z 2 +2x +4y –6z.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî çàóâàæåííÿ 3<br />
ï. 10.6.1. äëÿ çíàõîäæåííÿ ñòàö³îíàðíèõ òî÷îê îòðèìàºìî<br />
òàêó ñèñòåìó<br />
⎧ u′ x<br />
= 2x<br />
+ 2 = 0<br />
⎪<br />
⎨uy<br />
′ = 2y<br />
+ 4 = 0<br />
⎪<br />
⎩uz<br />
′ = 2z<br />
− 6 = 0.<br />
Ðîçâ’ÿçàâøè ¿¿ (áóäü-ÿêèì ñïîñîáîì), çíàéäåìî ºäèíó<br />
ñòàö³îíàðíó òî÷êó M 0 (–1, –2, 3).<br />
Äàë³ çàñòîñóºìî òåîðåìó 10.6.3. Ó òî÷ö³ M 0 (–1, –2, 3)<br />
ìàòèìåìî<br />
2 0 0<br />
2 0<br />
a<br />
11<br />
= 2> 0, ∆<br />
1<br />
= = 4> 0, ∆<br />
3<br />
= 0 2 0 = 8><br />
0.<br />
0 2<br />
0 0 2<br />
Îòæå, çà çãàäàíîþ òåîðåìîþ ôóíêö³ÿ<br />
u = x 2 + y 2 + z 2 +2x +4y –6z â òî÷ö³ M 0 (–1, –2, 3) ìຠì³í³ìóì<br />
2 2 2<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
u<br />
min<br />
= − 1 + − 2 + 3 + 2⋅ − 1 + 4⋅ −2 −6⋅ 3= − 14.<br />
10.6.2. Íàéá³ëüø³ òà íàéìåíø³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿<br />
Íåõàé ôóíêö³ÿ z = f(x, y) íåïåðåðâíà â çàìêíåí³é îáìåæåí³é<br />
îáëàñò³ D . Òîä³ çà òåîðåìîþ Âåéåðøòðàññà (òâåðäæåííÿ<br />
2) òåîðåìè 10.2.2.) â òàê³é îáëàñò³ ôóíêö³ÿ ìàº<br />
íàéìåíøå òà íàéá³ëüøå çíà÷åííÿ, òîáòî ³ñíóþòü òàê³ òî÷êè<br />
M 1 (x 1 , y 1 ) ³ M 2 (x 2 , y 2 ), ùî â îáëàñò³ íåïåðåðâíîñò³ ôóíêö³¿<br />
z = f(x, y) âèêîíóþòüñÿ óìîâè<br />
( , ) ( , ) ( , ) ( , )<br />
f x y ≤ f x y ≤ f x y ∀M x y ∈ D.<br />
1 1 2 2<br />
Òåîðåìà ãàðàíòóº ³ñíóâàííÿ òî÷îê îáëàñò³ D , â ÿê³é<br />
ôóíêö³ÿ z = f(x, y) äîñÿãຠñâîãî íàéá³ëüøîãî òà íàéìåíøîãî<br />
çíà÷åíü, àëå âîíà í³÷îãî íå ãîâîðèòü ïðî òå, ÿê ¿õ çíàéòè.<br />
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó òèì ïà÷å íåìຠïðàâèëà äëÿ â³äøóêàííÿ<br />
âêàçàíèõ âèùå òî÷îê.<br />
Îäíàê äëÿ ïåâíèõ êëàñ³â ôóíêö³é, ÿê³ ÷àñòî çóñòð³÷àþòüñÿ<br />
íà ïðàêòèö³, çîêðåìà â ïèòàííÿõ åêîíîì³êè, òàêå ïðàâèëî<br />
º. Ìè çàðàç ïîçíàéîìèìîñÿ ç íèì. Öå ïðàâèëî êîíñòðóêòèâíå<br />
³ áàçóºòüñÿ íà òàêîìó àëãîðèòì³:<br />
1. Çíàéòè êðèòè÷í³ òî÷êè, ÿê³ ëåæàòü óñåðåäèí³ îáëàñò³<br />
D, ³ îá÷èñëèòè çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ â öèõ òî÷êàõ (íå âäàþ÷èñü<br />
â äîñë³äæåííÿ, ÷è áóäå â íèõ åêñòðåìóì ôóíêö³¿ ³ ÿêîãî<br />
âèäó).<br />
2. Çíàéòè íàéá³ëüøå (íàéìåíøå) çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ íà<br />
ìåæ³ îáëàñò³ D.<br />
3. Ïîð³âíÿòè îòðèìàí³ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿: ñàìå á³ëüøå<br />
(ìåíøå) ç íèõ ³ áóäå íàéá³ëüøèì (íàéìåíøèì) çíà÷åííÿì<br />
ôóíêö³¿ ó âñ³é îáëàñò³ D .<br />
Ïðèêëàä 10.6.5. Â òðèêóòíèêó, ÿêèé îáìåæåíèé ïðÿìèìè<br />
x = –1, y =4 ³ y = x – 1, çíàéòè íàéá³ëüøå òà íàéìåíøå<br />
çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ z = x 3 –3x 2 – y 2 .<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. ²ç ñèñòåìè<br />
⎧′= ⎪zx<br />
x − x=<br />
⎨<br />
⎪⎩ zy<br />
′ =− 2y<br />
= 0<br />
2<br />
3 6 0<br />
çíàõîäèìî äâ³ êðèòè÷í³ òî÷êè M 0 (0, 0) ³ M 1 (2, 0). Ïåðøà<br />
òî÷êà ñï³âïàäຠç ïî÷àòêîì êîîðäèíàò ³ íàëåæèòü òðèêóò-<br />
384 385
íèêó, à äðóãà òî÷êà ëåæèòü çà ìåæàìè òðèêóòíèêà<br />
(ðèñ. 10.17).<br />
Ðèñ. 10.17<br />
Òàêèì ÷èíîì äîñë³äæåííÿ íà åêñòðåìóì òðåáà ïðîâîäèòè<br />
â òî÷ö³ Î(0,0). Ìàºìî:<br />
( )<br />
A= z′′ 0,0 =− 6 < 0,<br />
xx<br />
( )<br />
C = z′′ 0,0 = − 2 ,<br />
yy<br />
2<br />
∆= AC − B = > .<br />
12 0<br />
Çã³äíî ç òåîðåìîþ 10.6.2 â òî÷ö³ Î(0,0) ôóíêö³ÿ ìàº<br />
ìàêñèìóì: zmax z( 0,0)<br />
= = 0 . Çàóâàæèìî, ùî äëÿ âêàçàíîãî<br />
ïðàâèëà íå îáîâ’ÿçêîâî çíàòè, ÷è òî÷êà Î(0,0) º òî÷êîþ<br />
ìàêñèìóìó.<br />
Äîñë³äèìî òåïåð ôóíêö³þ íà ìåæ³ òðèêóòíèêà ç âåðøèíàìè<br />
M 2 , M 3 , M 4 .<br />
Òðèêóòíèê ñêëàäàºòüñÿ ç òðüîõ ñòîð³í. Äîñë³äæåííÿ áóäåìî<br />
ïðîâîäèòè íà êîæí³é ç öèõ ñòîð³í. Íà ñòîðîí³<br />
MM<br />
4 2 ( x=−1, −2 ≤y≤ 4)<br />
äàíà ôóíêö³ÿ ïåðåòâîðþºòüñÿ ó<br />
2<br />
ôóíêö³þ îäí³º¿ çì³ííî¿ z =ψ ( y) =−4<br />
− y , −2≤y<br />
≤ 4. Íà ñåãìåíò³<br />
[–2, 4] äîñë³äæåííÿ ôóíêö³¿ ψ(y) äóæå ïðîñòå (÷èòà-<br />
÷åâ³ ðåêîìåíäóºìî öå çðîáèòè). Ðåçóëüòàòè éîãî òàê³: ïðè<br />
y = 0 ôóíêö³ÿ ψ(y) ìຠìàêñèìóì, ð³âíèé –4. Öåé ìàêñèìóì<br />
º íàéá³ëüøèì çíà÷åííÿì ôóíêö³¿ ψ(y) íà ñåãìåíò³ [–2, 4].<br />
 òî÷ö³ y = 4 çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ ì³í³ìàëüíå ³ äîð³âíþº –20.<br />
Íà ñòîðîí³ M 4 M 3 (y =4,–1≤ x ≤ 5) äàíà ôóíêö³ÿ ïåðåòâîðþºòüñÿ<br />
ó ôóíêö³þ ϕ ( x) = x 3 −3x 2 −16, x∈[ − 1,5]<br />
. Öÿ ôóíêö³ÿ<br />
íà ñåãìåíò³ [–1,5] ìຠì³í³ìóì â òî÷ö³ x = 2 ³ äîð³âíþº –20,<br />
à ìàêñèìóì â òî÷ö³ x = 0, ÿêèé äîð³âíþº –16. Íà ìåæ³<br />
ñåãìåíòà [–1,5] ¿¿ çíà÷åííÿ â³äïîâ³äíî äîð³âíþþòü –20 ³ 34.<br />
Íàðåøò³, íà ñòîðîí³ M 3 M 2 äàíà ôóíêö³ÿ ïåðåòâîðþºòüñÿ<br />
3 2<br />
ó ôóíêö³þ ω ( x) = x − 4x + 2x− 1 , x ∈− [ 1, 5]<br />
. Ïðîñòèé àíàë³ç<br />
ïîêàçóº (ïåðåâ³ðòå!), ùî íà ñåãìåíò³ [–1, 5] ôóíêö³ÿ ω(x)<br />
äîñÿãຠíàéìåíøîãî ³ íàéá³ëüøîãî çíà÷åíü ó ìåæîâèõ òî÷êàõ,<br />
à ñàìå: ω(–1) = –8, ω(5) = 34.<br />
²ç ìíîæèíè âèä³ëåíèõ ÷èñåë 0, –4, –8, –20, –16, 34 âèáèðàºìî<br />
íàéá³ëüøå ³ íàéìåíøå. Âîíè ³ áóäóòü â³äïîâ³äàòè íàéá³ëüøîìó<br />
³ íàéìåíøîìó çíà÷åííþ ôóíêö³¿ z = x 3 –3x 2 – y 2 â<br />
òðèêóòíèêó M 2 M 3 M 4 . ßñíî, ùî íàéá³ëüøå çíà÷åííÿ äîð³âíþº<br />
34, à íàéìåíøå –20.<br />
³äçíà÷èìî òàêîæ, ùî ôóíêö³ÿ z = x 3 –3x 2 – y 2 ïðèéìàº<br />
íàéá³ëüøå çíà÷åííÿ ó âåðøèí³ M 3 , à íàéìåíøå ó âåðøèí³ M 4 .<br />
Çàóâàæåííÿ. Íàâåäåíèé ïðèêëàä º ïîâ÷àëüíèì. Ùîá öå<br />
ïîêàçàòè ïðîâåäåìî íåñêëàäíèé àíàë³ç. Ó ðîçãëÿíóòîìó ïðèêëàä³<br />
ôóíêö³ÿ ìຠò³ëüêè îäèí åêñòðåìóì, ³ â³í âèÿâèâñÿ<br />
ìàêñèìóìîì ôóíêö³¿. Òåïåð ïîð³âíÿºìî ç àíàëîã³÷íîþ ñèòóàö³ºþ<br />
äëÿ ôóíêö³¿ îäí³º¿ çì³ííî¿. Óÿâèìî ñîá³, ùî ôóíêö³ÿ<br />
îäí³º¿ çì³ííî¿ íà ñåãìåíò³ ìàëà á îäèí ìàêñèìóì, à ì³í³ìóì³â<br />
íå áóëî á. Òîä³ ìè çðîáèëè áè âèñíîâîê, ùî íàéá³ëüøå çíà÷åííÿ<br />
ôóíêö³¿ îäí³º¿ çì³ííî¿ äîð³âíþâàëî áè çíàéäåíîìó ìàêñèìóìó<br />
ö³º¿ ôóíêö³¿. Ó íàøîìó ïðèêëàä³ ôóíêö³ÿ z = x 3 –3x 2 –<br />
y 2 ìຠò³ëüêè îäíó òî÷êó ìàêñèìóìó â îáëàñò³ ³ íå ìຠòî÷îê<br />
ì³í³ìóìó. Ïðîòå íàéá³ëüøå çíà÷åííÿ íå ñï³âïàäຠç ìàêñèìóìîì,<br />
à äîð³âíþº çíà÷åííþ ôóíêö³¿ ó ìåæîâ³é òî÷ö³. Òàêèì<br />
÷èíîì, íå çàâæäè ìîæëèâèé ïåðåíîñ ôàêò³â ç ôóíêö³é îäí³º¿<br />
çì³ííî¿ äî ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ. Îáåðåæí³ñòü ïðè ïåðåíîñ³<br />
ôàêò³â íå çàâàäèòü ³, á³ëüø òîãî, º âåëüìè êîðèñíîþ. Ïðî<br />
òàê³ ôàêòè ìè âæå ãîâîðèëè (äèâ. ï. 10.3).<br />
386 387
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Äîñë³äèòè íà åêñòðåìóì ôóíêö³¿:<br />
10.20. z = x 2 – xy + y 2 +9x –6y + 20.<br />
10.21. z = x 2 – xy + y 2 .<br />
10.22. z = x 2 –2xy +2y 2 +2x.<br />
10.23. z = x 3 + y 3 – x 2 –2xy + y 3 .<br />
10.24. u =2x 2 – xy +2xz – y + y 3 + z 2 .<br />
10.25. u =2x 2 + y 2 + z 2 –2xy +4z – x.<br />
10.7. ÓÌÎÂÍÈÉ ÅÊÑÒÐÅÌÓÌ<br />
10.7.1. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ ³ îçíà÷åííÿ<br />
Íåõàé çàäàíà ôóíêö³ÿ u = f(x, y), ÿêà âèçíà÷åíà â îáëàñò³<br />
D (ðèñ. 10.18, à), ³ íåõàé â ö³é îáëàñò³ çàäàíà äåÿêà ë³í³ÿ<br />
L, ð³âíÿííÿ ÿêî¿ ϕ(õ, ó) = 0 (ðèñ. 10.18, á).<br />
à<br />
á<br />
Ðèñ. 10.18<br />
Ðîçãëÿäàþ÷è ïèòàííÿ ïðî åêñòðåìóì ôóíêö³¿ u = f(x, y)<br />
â îáëàñò³ D, ìîæíà ñòàâèòè äâ³ çàäà÷³: âèçíà÷èòè åêñòðåìóì<br />
ôóíêö³¿ u = f(x, y) â îáëàñò³ D ³ åêñòðåìóì ôóíêö³¿<br />
f(x, y) íà ë³í³¿ L, ÿêà íàëåæèòü ö³º¿ îáëàñò³.  ïåðøîìó<br />
âèïàäêó êàæóòü ïðî áåçóìîâíèé åêñòðåìóì, ó äðóãîìó —<br />
ïðî óìîâíèé. Îñòàííÿ íàçâà ïîâ’ÿçàíà ç òèì, ùî íà çì³íí³<br />
õ ³ ó íàêëàäåíî äîäàòêîâó óìîâó ϕ(õ, ó) = 0. ßêùî öå ð³âíÿííÿ<br />
ðîçâ’ÿçíå, íàïðèêëàä â³äíîñíî ó = ψ(õ), òî, ï³äñòàâëÿþ÷è<br />
ó = ψ(õ) äî âèðàçó äëÿ u = f(x, y), îòðèìàºìî ñêëàäåíó<br />
ôóíêö³þ îäí³º¿ çì³ííî¿ u = f(x, ψ(x)).<br />
Ôóíêö³ÿ ϕ(õ, ó) = 0, ùî çàäຠë³í³þ L, íàçèâàºòüñÿ çâ’ÿçêîì<br />
(óìîâîþ). гâíÿííÿ ë³í³¿ L ìîæå áóòè çàäàíî ïàðàìåòðè÷íî<br />
x = x(t), y = y(t).<br />
 çàãàëüíîìó âèïàäêó çàäà÷à çíàõîäæåííÿ óìîâíîãî åêñòðåìóìó<br />
ôîðìóëþºòüñÿ òàê: çíàéòè åêñòðåìóì ôóíêö³¿<br />
u = f(x 1 , x 2 ,…, x n ) íà m-âèì³ðí³é ïîâåðõí³, ÿêà çàäàíà ð³âíÿííÿìè<br />
ϕ j (x 1 , x 2 ,…, x n ) = 0, j = 1, m, m < n.<br />
Çàäà÷³ íà óìîâíèé åêñòðåìóì çâè÷àéíî çâîäÿòü äî çàäà-<br />
÷³ íà áåçóìîâíèé åêñòðåìóì. Ðîçãëÿíåìî öå íà ïðèêëàä³<br />
äèôåðåíö³éîâíî¿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ u = f(x, y) ³ ïîò³ì<br />
óçàãàëüíèìî íà âèïàäîê n çì³ííèõ.<br />
Íåõàé õ, ó ïîâ’ÿçàí³ ð³âíÿííÿì ϕ(õ, ó) = 0. Ðîçãëÿäàþ÷è<br />
ôóíêö³þ u = f(x, y) ³ çâ’ÿçîê ϕ(õ, ó) =0 (ϕ(õ, ó) — äèôåðåíö³éîâíà<br />
ÿê ôóíêö³ÿ äâîõ àðãóìåíò³â õ ³ ó), îá÷èñëèìî çà<br />
ôîðìóëîþ (10.4.7) ¿õ ïîâí³ äèôåðåíö³àëè. Îòðèìàºìî<br />
∂u<br />
∂u<br />
∂ϕ ∂ϕ<br />
du = dx + dy, dϕ= dx + dy = 0<br />
∂x ∂y ∂x ∂y<br />
. (10.7.1)<br />
 ñòàö³îíàðíèõ òî÷êàõ du = 0. Îòæå,<br />
∂u<br />
∂u<br />
dx + dy = 0<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂u<br />
∂udy<br />
àáî + = 0<br />
∂x<br />
∂y dx<br />
. (10.7.2)<br />
Ïîìíîæóþ÷è äðóãå ð³âíÿííÿ (10.7.1) íà ñòàëèé ìíîæíèê<br />
λ ³ äîäàþ÷è éîãî ï³ñëÿ ìíîæåííÿ ³ ä³ëåííÿ íà dx äî<br />
ð³âíÿííÿ (10.7.2), îòðèìàºìî<br />
àáî<br />
∂u ∂u dy ⎛∂ϕ ∂ϕdy⎞<br />
+ +λ ⎜ + ⎟ = 0 ,<br />
∂x ∂y dx ⎝∂x ∂y dx⎠<br />
∂u ∂ϕ ⎛∂u ∂ϕ⎞dy<br />
+λ + ⎜ +λ ⎟ = 0 . (10.7.3)<br />
∂x ∂x ⎝∂y ∂y⎠dx<br />
Ç ð³âíÿííÿ (10.7.3) âèçíà÷àºìî ñòàö³îíàðí³ òî÷êè, îáðàâøè<br />
ïàðàìåòð λ òàê, ùîá<br />
∂u<br />
∂ϕ<br />
+λ = 0 .<br />
∂y<br />
∂y<br />
388 389
Òîä³ ð³âíÿííÿ (10.7.3) ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³:<br />
∂u<br />
∂ϕ<br />
+λ = 0 .<br />
∂x<br />
∂x<br />
Îñòàòî÷íî ñòàö³îíàðí³ òî÷êè óìîâíîãî åêñòðåìóìó âèçíà-<br />
÷àþòüñÿ ç ñèñòåìè òðüîõ ð³âíÿíü<br />
⎧ ∂f<br />
∂ϕ<br />
⎪ +λ = 0,<br />
∂ x ∂ x<br />
⎪<br />
⎪ ∂ f ∂ϕ<br />
⎨ +λ = 0,<br />
⎪ ∂ y ∂ y<br />
⎪ϕ ( xy , ) = 0.<br />
⎪<br />
⎩<br />
ßêùî ðîçãëÿíóòè ôóíêö³þ ( x, y, ) f( x, y) ( x,<br />
y)<br />
(10.7.4)<br />
λ = +λϕ , òî<br />
çíàõîäæåííÿ óìîâíîãî åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ f(x, y) çâåäåòüñÿ<br />
äî çíàõîäæåííÿ áåçóìîâíîãî åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ (x, y, λ),<br />
îñê³ëüêè ñèñòåìà (10.7.4) ð³âíîñèëüíà ñèñòåì³<br />
⎧∂<br />
⎪ = 0,<br />
⎪ ∂ x<br />
⎪ ∂ <br />
⎨ = 0,<br />
⎪ ∂ y<br />
⎪∂<br />
⎪ = 0.<br />
⎩ ∂λ<br />
Ôóíêö³ÿ íàçèâàºòüñÿ ôóíêö³ºþ Ëàãðàíæà. Õàðàêòåð<br />
óìîâíîãî åêñòðåìóìó, òàê ñàìî, ÿê ³ áåçóìîâíîãî, âèçíà÷à-<br />
ºòüñÿ çà òåîðåìîþ 10.6.2.<br />
ßêùî ñòàâèòüñÿ çàäà÷à íà åêñòðåìóì ôóíêö³¿<br />
u = f(x 1 , x 2 ,…, x n ) ³ç çâ’ÿçêàìè<br />
ϕ j (x 1 , x 2 ,…, x n ) = 0, j=1,m , m < n, (10.7.5)<br />
òî ñêëàäàºòüñÿ ôóíêö³ÿ Ëàãðàíæà<br />
m<br />
=f(x,x, K,x)+ ∑ λϕ(x,x, K ,x). (10.7.6)<br />
1 2 n j j 1 2 n<br />
j=<br />
1<br />
∂<br />
Íåîáõ³äí³ óìîâè = 0( i = 1, n)<br />
∂x<br />
, ðàçîì ç ð³âíÿííÿìè<br />
i<br />
(10.7.5), óòâîðþþòü ñèñòåìó ð³âíÿíü, ç ÿêî¿ âèçíà÷àþòüñÿ<br />
êîîðäèíàòè ñòàö³îíàðíèõ òî÷îê. Ôóíêö³ÿ (10.7.6) çâîäèòü<br />
çàäà÷ó óìîâíîãî åêñòðåìóìó äî áåçóìîâíîãî.<br />
Ïðèêëàä 10.7.1. ϳäïðèºìñòâî âèð³øèëî ùîì³ñÿöÿ âèä³ëÿòè<br />
140 000 ãðí íà âèðîáíèöòâî íîâî¿ ïðîäóêö³¿. Ñåðåäíÿ<br />
çàðîá³òíà ïëàòà íà ï³äïðèºìñòâ³ äîð³âíþº 400 ãðí., à âàðò³ñòü<br />
îäèíèö³ ñèðîâèíè – 100 ãðí. Ïîòð³áíî âèçíà÷èòè, ÿêó<br />
ê³ëüê³ñòü ðîáî÷èõ k ³ ÿêó ê³ëüê³ñòü ñèðîâèíè c íåîáõ³äíî<br />
ïðèäáàòè ï³äïðèºìñòâó äëÿ îäåðæàííÿ íàéá³ëüøîãî îáñÿãó<br />
ïðîäóêö³¿ Q, ÿêùî â³äîìî, ùî<br />
Q =80k +20c – k 2 – c 2 + kc. (10.7.7)<br />
Çã³äíî ç óìîâîþ âåëè÷èíè ñ ³ k ïîâ’ÿçàí³ ì³æ cîáîþ òàê:<br />
400k + 100c = 140 000. (10.7.8)<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Öå çàäà÷à íà óìîâíèé åêñòðåìóì<br />
2 2<br />
( , ) 80 20 , 400 100 140000<br />
Qkc<br />
14444444444444424444444444444<br />
= k+ c −k − c + kc k + c =<br />
43<br />
2 2<br />
( , , ) 80 20 (400 100 14000)<br />
Lkcλ = k+ c−k − c + kc+λ k+ c−<br />
⎧∂L<br />
⎪ = 80 − 2k+ c + 400 λ = 0<br />
∂ k<br />
⎪ ⎧ c − 2k<br />
+ 400λ = −80<br />
⎪∂<br />
L<br />
⎪<br />
⎨ = 20 − 2c + k + 100 λ = 0 ⇒ ⎨k − 2c+ 100 λ = −20<br />
⎪∂c<br />
⎪ 400k<br />
+ 100 c = 14000.<br />
⎪∂L<br />
⎩<br />
⎪ = 400k<br />
+ 100c<br />
− 140000 = 0<br />
⎩ ∂λ<br />
Ðîçâ’ÿçóþ÷è îñòàííþ ñèñòåìó áóäü-ÿêèì ñïîñîáîì, îòðèìàºìî<br />
(ïåðåâ³ðòå!):<br />
k = 30, c = 20, λ =–10 –1 .<br />
390 391
Òàêèì ÷èíîì, ìè âèçíà÷èëè ºäèíó òî÷êó Ì 0 (30, 20), ÿêà<br />
ï³äîçð³ëà íà åêñòðåìóì ôóíêö³¿ Q(k, c). Çàñòîñóâàííÿ òåîðåìè<br />
10.6.1 äî ôóíêö³¿, ñòðóêòóðà ÿêî¿ âèçíà÷àºòüñÿ ôîðìóëîþ<br />
(10.7.7) ³ç çâ’ÿçêîþ (10.7.8), âèÿâëÿº, ùî â òî÷ö³<br />
Ì 0 (30,20) ôóíêö³ÿ Q(k, c) ìຠìàêñèìóì (ïåðåâ³ðòå!):<br />
( )<br />
Qmax = Q 30,20 = 2100 îäèíèöü ïðîäóêö³¿.<br />
Îòæå, íà ïîñòàâëåíå çàïèòàííÿ â³äïîâ³äü îäíîçíà÷íà: äëÿ<br />
ìàêñèìàëüíîãî âèðîáíèöòâà ïðîäóêö³¿ òðåáà çàáåçïå÷èòè<br />
30 ðîáî÷èõ ì³ñöü ³ ïðèäáàòè 20 îäèíèöü ñèðîâèíè.<br />
Çàóâàæåííÿ. Ïîñòàâëåíó çàäà÷ó ìîæíà ðîçâ’ÿçàòè ³<br />
³íøèì ñïîñîáîì, à ñàìå: øëÿõîì çâåäåííÿ çàäà÷³ íà óìîâíèé<br />
åêñòðåìóì äî çàäà÷³ íà çâè÷àéíèé åêñòðåìóì. Äëÿ<br />
öüîãî òðåáà ³ç ð³âíîñò³ (10.7.8) îäíó âåëè÷èíó, íàïðèêëàä ñ<br />
âèðàçèòè ÷åðåç k ³ ï³äñòàâèòè â ôîðìóëó (10.7.7), à ïîò³ì<br />
äîñë³äèòè íà åêñòðåìóì.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Çíàéòè óìîâíèé åêñòðåìóì ôóíêö³¿:<br />
x y<br />
10.26. z = x 2 + y 2 ïðè + = 1.<br />
2 3<br />
2 2 2<br />
x y z<br />
10.27. u = x + y + z ïðè + + = 1<br />
2 2 2 , äå a > 0, b > 0, c >0.<br />
a b c<br />
10.28. u = xy 2 z 2 ïðè x + y + z = 12, äå x > 0, y > 0, z >0.<br />
³äïîâ³ä³: â 10.26 min ó òî÷ö³<br />
â 10.27 min ó òî÷ö³<br />
2 2 2<br />
⎛ a b c ⎞<br />
⎜− , − , − ⎟<br />
⎝ λ λ λ ⎠<br />
λ >0, 2 2 2<br />
λ= a + b + c ; â 10.28 min ó òî÷ö³<br />
⎛18 12 36 ⎞<br />
⎜ , , ⎟<br />
⎝13 13 13 ⎠ ;<br />
ïðè λ
âàòè ïðîöåñ çàëåæíîñò³ çì³ííèõ x òà y. Ïðè öüîìó áóäóòü<br />
çåêîíîìëåí³ êîøòè, îñê³ëüêè â³äïàäຠïîòðåáà â äîäàòêîâèõ<br />
åêñïåðèìåíòàõ.<br />
Òåïåð âèíèêຠïèòàííÿ: ÿê îòðèìàòè çà åêñïåðèìåíòàëüíèìè<br />
äàíèìè âäàëó ôîðìóëó?<br />
³äïîâ³äü òàêà: òðåáà äîáðå îð³ºíòóâàòèñÿ â íàáëèæåíèõ<br />
ìàòåìàòè÷íèõ ìåòîäàõ, â³ä ñàìèõ ïðîñòèõ äî ñó÷àñíèõ.<br />
Ïðî äåÿê³ ç íèõ ìè êîðîòêî ðîçïîâ³ìî.<br />
Ñàìèé ïðîñòèé ïîâ’ÿçàíèé ç ë³í³éíîþ ³íòåðïîëÿö³ºþ.<br />
Ñóòü éîãî ïîëÿãຠó íàñòóïíîìó: îñê³ëüêè äàí³ òàáëèö³ ìîæíà<br />
³íòåðïðåòóâàòè ÿê êîîðäèíàòè n òî÷îê: M 1 (x 1 , y 1 ), K,<br />
M n (x n , y n ), òî ìè ¿õ çîáðàçèìî íà ïðÿìîêóòí³é êîîðäèíàòí³é<br />
ïëîùèí³. Ïîò³ì ö³ òî÷êè ç’ºäíàºìî ïðÿìèìè (ðèñ. 10.19).<br />
Ðèñ. 10.19<br />
Ïðè öüîìó, ïåâíà ð³÷, ïðèïóñêàºòüñÿ, ùî çàëåæí³ñòü ì³æ<br />
x òà y íà ñåãìåíòàõ [x i–1 , x i ] º ë³í³éíà.<br />
Òåïåð åìï³ðè÷íó ôîðìóëó ìîæíà ïîáóäóâàòè. Êîðèñòóþ-<br />
÷èñü ìåòîäàìè àíàë³òè÷íî¿ ãåîìåò𳿠(ï. 4.3.1), ¿¿ çîáðàæóþòü<br />
ó âèãëÿä³:<br />
⎧ y2 − y1<br />
⎪y1 + ( x−x1) , x∈( x1,<br />
x2)<br />
⎪<br />
x2 − x1<br />
⎪LLLLLLLLLLLLLLLL<br />
⎪<br />
⎪ yi<br />
− yi−<br />
1<br />
f( x)<br />
= ⎨yi−1 + ( x−xi− 1) , x∈( xi−<br />
1,<br />
xi)<br />
⎪ xi<br />
− xi−<br />
1<br />
⎪LLLLLLLLLLLLLLLL . (10.8.1)<br />
⎪<br />
⎪ yn<br />
− yn−<br />
1<br />
⎪<br />
yn− 1<br />
+ ( x−xn− 1) , x∈( xn−<br />
1,<br />
xn)<br />
⎩ xn<br />
− xn−<br />
1<br />
Åìï³ðè÷íó ôîðìóëó ïîáóäîâàíî. Âäàëà âîíà ÷è í³, öå<br />
âæå äðóãå ïèòàííÿ, íà ÿêå, ãàäàþ, ÷èòà÷ çìîæå âæå â³äïîâ³ñòè.<br />
Á³ëüø ñêëàäíà ïîáóäîâà åìï³ðè÷íèõ ôîðìóë ïîâ’ÿçàíà ç<br />
òàê çâàíèì ìåòîäîì ñïëàéíà.<br />
Ñóòü éîãî ïîëÿãຠâ òîìó, ùî íà êîæíîìó ñåãìåíò³<br />
[x i–1 , x i ], äå x i — äàí³ åêñïåðèìåíòó, òî÷êè M i–1 òà M i ç’ºäíóþòüñÿ<br />
íå ïðÿìèìè, à êðèâèìè, ÿê³ çàäàþòüñÿ äëÿ çðó÷íîñò³<br />
â³äîìèìè ôóíêö³ÿìè (ÿê ïðàâèëî, âîíè áåðóòüñÿ ³ç íàáîðó<br />
îñíîâíèõ åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é).<br />
Ñïëàéí-ìåòîä ïðèïóñêàº, ùî ïîáóäîâàíà åìï³ðè÷íî ôóíêö³ÿ<br />
y = f(x) äîñòàòíüî “ãëàäêà” (äîñòàòíüî ðàç äèôåðåíö³éîâíà).<br />
Åìï³ðè÷íà ôóíêö³ÿ, ÿêà ïîáóäîâàíà çà ôîðìóëîþ<br />
(10.8.1), íå º òàêîþ, îñê³ëüêè â òî÷êàõ x i , i = 1 , n âîíà íåäèôåðåíö³éîâíà.<br />
Öå º ãîëîâíèì íåäîë³êîì ôîðìóëè (10.8.1).<br />
Ñïëàéí-ìåòîä, ãðóáî êàæó÷è, áàçóºòüñÿ íà “ñêëåþâàíí³”<br />
÷àñòèí ð³çíèõ ãðàô³ê³â åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é. ² òîìó ôàíòàç³ÿ,<br />
äîñâ³ä ³ âèíàõ³äëèâ³ñòü äîñë³äíèêà äîïîìàãàþòü éîìó<br />
“ñêëå¿òè” ãðàô³êè åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é òàê, ùîá ïîáóäîâà<br />
åìï³ðè÷íî¿ ôóíêö³¿ áóëà âäàëîþ.<br />
Íàâåäåìî ìîæëèâ³ âàð³àíòè (ðèñ. 10.20).<br />
Ðèñ. 10.20<br />
ßê ïîêàçóº ³ñòîð³ÿ, åìï³ðè÷í³ ôîðìóëè áóâàþòü íå ò³ëüêè<br />
âäàë³, à ïðîñòî ãåí³àëüí³. Íàïðèêëàä, äëÿ âñòàíîâëåííÿ çàëåæíîñò³<br />
ì³æ ñèëîþ ñòðóìó, îïîðó ³ íàïðóãè Îì ïðîâ³â<br />
äåê³ëüêà åêñïåðèìåíò³â. ³í çàô³êñóâàâ íàïðóãó ³ äàí³ åêñïåðèìåíò³â<br />
çîáðàçèâ ó âèãëÿä³ òî÷îê íà ïëîùèí³<br />
(ðèñ. 10.21)<br />
394 395
Ðèñ. 10.21<br />
³äîìèé Îìó ãðàô³ê ã³ïåðáîëè íàøòîâõíóâ íà äóìêó, ùî<br />
U<br />
øóêàíà çàëåæí³ñòü ìîæå áóòè çîáðàæåíà ó âèãëÿä³ I = .<br />
R<br />
Äîäàòêîâ³ åêñïåðèìåíòè ³ ðîçäóìè âèÿâèëè äèâî: U äîð³âíþâàëî<br />
çíà÷åííþ íàïðóãè.<br />
Íàâåäåíà ³ñòîð³ÿ ìîæëèâî íå º ïðàâäîþ, àëå, ïîãîäüòåñÿ<br />
÷èòà÷ó, ùî âîíà º äóæå ïðàâäîïîä³áíîþ.<br />
10.8.1. Ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ó âèïàäêó ìîæëèâî¿<br />
ë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³ çì³ííèõ x òà y<br />
ϳñëÿ ïðîâåäåííÿ åêñïåðèìåíò³â âèÿâèëîñÿ, ùî òî÷êè<br />
(êîîðäèíàòè òî÷îê âçÿòî ç òàáëèö³) M i , i = 1 , n ãðóïóþòüñÿ<br />
âçäîâæ äåÿêîãî íàïðÿìó, íàïðèêëàä ÿê íà ðèñ. 10.22.<br />
Ðèñ. 10.22<br />
Òîä³ ïðèðîäíî øóêàòè àíàë³òè÷íó çàëåæí³ñòü çì³ííèõ x<br />
ó âèãëÿä³ ë³í³éíî¿ ôóíêö³¿<br />
y = kx + b. (10.8.2)<br />
Îòæå, çàäà÷à çâîäèòüñÿ äî ïîøóêó òàêèõ k ³ b, ùîá ïðÿìà,<br />
ÿêà çàäàíà ð³âíÿííÿì (10.8.2), íàéêðàùèì ÷èíîì íàáëèæàëàñÿ<br />
äî óñ³õ òî÷îê M i , i = 1 , n.<br />
Ïåðåïèøåìî (10.8.2) ó âèãëÿä³:<br />
kx + b – y = 0. (10.8.3)<br />
Îñê³ëüêè íàø³ òî÷êè, ÿê ïðàâèëî, íå ëåæàòü íà ïðÿì³é<br />
(10.8.3), òî ïðè ï³äñòàíîâö³ â öå ð³âíÿííÿ ¿õ êîîðäèíàò â<br />
ïðàâ³é ÷àñòèí³, âçàãàë³ êàæó÷è, îòðèìàºìî íå íóëü, à äåÿê³<br />
÷èñëà:<br />
kxi + b − yi =ε i, i = 1, n. (10.8.4)<br />
×èñëà ε i , i = 1 , n íàçèâàþòü ïîõèáêàìè, àáî íåâ’ÿçêàìè.<br />
Òåïåð âèíèêຠ÷èñòî ìàòåìàòè÷íà ïðîáëåìà: òðåáà ï³ä³áðàòè<br />
êîåô³ö³ºíòè k ³ b òàêèì ÷èíîì, ùîá ö³ ïîõèáêè çà<br />
ìîæëèâ³ñòþ áóëè ìàëèìè çà àáñîëþòíîþ âåëè÷èíîþ.<br />
Ìîæëèâ³ òàê³ âàð³àíòè:<br />
1) äîñë³äèòè íà åêñòðåìóì ôóíêö³þ S( k,<br />
b)<br />
2) äîñë³äèòè íà åêñòðåìóì ôóíêö³þ S( k,<br />
b)<br />
n<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
= ∑ ε ;<br />
= ∑ ε ;<br />
n<br />
2<br />
3) äîñë³äèòè íà åêñòðåìóì ôóíêö³þ S( k,<br />
b) = ∑ ε .<br />
Âàð³àíòè 1) – 2) íå äîö³ëüíî çä³éñíþâàòè, îñê³ëüêè ó ïåðøîìó<br />
âèïàäêó ∑ εi<br />
ìîæå áóòè ìàëîþ ³ íàâ³òü äîð³âíþâàòè<br />
i = 1<br />
íóëþ ïðè çíà÷íîìó ðîçêèä³ åìï³ðè÷íèõ òî÷îê M i (x i , y i ), à â<br />
n<br />
äðóãîìó âèïàäêó ôóíêö³ÿ ∑ εi<br />
ïîçáàâëåíà âêàçàíîãî íåäîë³êó,<br />
ïðîòå ìຠ³íøèé — âîíà íå º äèôåðåíö³éîâíîþ, ùî<br />
i = 1<br />
ñóòòºâî óñêëàäíþº ðîçâ’ÿçàííÿ ïðîáëåìè.<br />
Òðåò³é âàð³àíò íàéá³ëüø ïðèâàáëèâèé, îñê³ëüêè ïîçáàâëåíèé<br />
íåäîë³ê³â ïåðøèõ äâîõ âàð³àíò³â.<br />
Îòæå, ðîçãëÿíåìî ôóíêö³þ<br />
n n<br />
2<br />
( , ) = ∑ ε = ∑( + − )<br />
2<br />
i i i<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
S k b kx b y , (10.8.5)<br />
396 397
ÿêà ÿâëÿº ñîáîþ ñóìó êâàäðàò³â óñ³õ íåâ’ÿçîê. Öèì ôàêòîì<br />
³ îáóìîâëåíà íàçâà ìåòîäó.<br />
Ïðèíöèï ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ïîëÿãຠâ òîìó,<br />
ùî òðåáà òàê ï³ä³áðàòè ïàðàìåòðè k ³ b, ùîá ñóìà êâàäðàò³â<br />
íåâ’ÿçîê áóëà ì³í³ìàëüíîþ. Î÷åâèäíî ïðè öüîìó, ùî ñóìà<br />
àáñîëþòíèõ âåëè÷èí íåâ’ÿçîê áóäå òåæ ì³í³ìàëüíîþ. Öå<br />
ïðèâîäèòü äî òîãî, ùî øóêàíà ïðÿìà íàéêðàùèì ÷èíîì ó<br />
ñóêóïíîñò³ íàáëèæàºòüñÿ äî òî÷îê M i (x i , y i ).<br />
Ó çâ’ÿçêó ç âèùåñêàçàíèì áóäåìî äîñë³äæóâàòè ôóíêö³þ<br />
S(k, b), ÿêà âèçíà÷åíà ôîðìóëîþ (10.8.5) íà åêñòðåìóì. ßê<br />
ìè çíàºìî, äëÿ öüîãî íåîáõ³äíî ñïî÷àòêó çíàéòè ñòàö³îíàðí³<br />
òî÷êè, ÿê³ çíàõîäÿòüñÿ ³ç ñèñòåìè<br />
( k b)<br />
( k b)<br />
⎧ ⎪S′<br />
k<br />
, = 0<br />
⎨<br />
⎪⎩ Sb<br />
′ , = 0<br />
àáî<br />
n<br />
⎧<br />
∑ ( kx + − ) =<br />
⎪<br />
i<br />
b yi xi<br />
0<br />
i=<br />
1<br />
⎨<br />
n<br />
⎪ ∑ ( kxi<br />
+ b − y<br />
i)<br />
= 0 .<br />
⎩i=<br />
1<br />
ϳñëÿ ïðîñòèõ àëãåáðà¿÷íèõ ïåðåòâîðåíü îñòàííÿ ñèñòåìà<br />
ïðèéìຠâèãëÿä:<br />
2<br />
( ) ( )<br />
n<br />
( ∑ i)<br />
n n n<br />
⎧<br />
∑xi k + ∑xi b = ∑xy<br />
i i<br />
⎪ i= 1 i= 1 i=<br />
1<br />
⎨<br />
n<br />
⎪ x k+ n⋅ b = ∑y .<br />
i<br />
⎪⎩ i= 1 i=<br />
1<br />
(10.8.6)<br />
² çðàçó æ âèíèêຠïèòàííÿ: ³ñíóº ÷è í³ ðîçâ’ÿçîê ö³º¿<br />
ñèñòåìè? ßê â³äîìî (äèâ. ï. 3.3.2), â³äïîâ³äü íà öå çàïèòàííÿ<br />
äຠçíà÷åííÿ âèçíà÷íèêà ñèñòåìè (10.8.6). Âèçíà÷íèê<br />
ñèñòåìè (10.8.6) ìຠâèãëÿä:<br />
2 2<br />
( 1 2) ( 1 2) ( 1 2)<br />
2 2<br />
2 x + x − x + x = x − x > 0, ÿêùî x 1 ≠ x 2 .<br />
Îòæå, çã³äíî ç ïðàâèëîì Êðàìåðà ñèñòåìà ìຠºäèíèé<br />
ðîçâ’ÿçîê. Öå îçíà÷àº, ùî ñòàö³îíàðíà òî÷êà ò³ëüêè îäíà:<br />
M 0 (k 0 , b 0 ). Ïðè öüîìó ìè ùå íå çíàºìî, ÷è áóäå â ö³é òî÷ö³<br />
åêñòðåìóì, ÷è í³, à ÿêùî áóäå, òî ÿêèé â³í. Ïåâíà ð³÷, ùî<br />
ìàêñèìóì íàì íå ï³äõîäèòü. Ùîá âçíàòè âñå öå, çðîáèìî<br />
ùå îäèí êðîê: çíàéäåìî äðóã³ ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ â òî÷ö³<br />
M 0 (k 0 , b 0 ):<br />
n<br />
n<br />
2<br />
( ) ∑<br />
( ) ∑ ( )<br />
S′′ k , b = 2 x = A, S′′ k , b = 2 x = B, S′′<br />
k , b = 2n = C.<br />
kk 0 0 i<br />
kb 0 0 i<br />
bb 0 0<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
Îñê³ëüêè ∆ 1 = AB – C 2 =4∆ > 0 (ïåðåâ³ðòå!), òî ðàçîì ç<br />
óìîâîþ S′′ ( k0, b<br />
0)<br />
> 0 (äèâ. òåîðåìó 10.6.2) ïðîáëåìà âèð³øåíà<br />
ïîçèòèâíî, à ñàìå: â òî÷ö³ M 0 (k 0 , b 0 )<br />
kk<br />
ôóíêö³ÿ<br />
( , )<br />
n<br />
∑ 2<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
S k b = ε ìຠì³í³ìóì. Öå îçíà÷àº, ùî ïðÿìà y = k 0 x + b 0<br />
íàéìåíøå âñüîãî â³äõèëÿºòüñÿ â³ä òî÷îê M i (x i , y i ) ³ º íàä³ÿ,<br />
ùî îòðèìàíà åìï³ðè÷íà ôîðìóëà º âäàëîþ.<br />
10.8.2. Ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ìîæëèâî¿ ñòåïåíåâî¿<br />
çàëåæíîñò³ x òà y<br />
ϳñëÿ âäàëîãî çàâåðøåííÿ ïðîáëåìè ï. 10.8.1. âñå æ<br />
òàêè çíîâó âèíèêຠïèòàííÿ: à ùî ðîáèòè, êîëè òî÷êè<br />
M i (x i , y i ) íå ãðóïóþòüñÿ íàâêîëî ïðÿìî¿, íàïðèêëàä ÿê öå<br />
ïîêàçàíî íà ðèñ. 10.23.<br />
n n<br />
2<br />
∑ xi ∑ xi n n<br />
i= 1 i=<br />
1 2<br />
∆= = ⋅∑<br />
−<br />
n<br />
i<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
∑ xi<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
( ∑ i)<br />
n x x<br />
2<br />
. (10.8.7)<br />
Ìîæíà ïîêàçàòè, ùî ÿêùî x i ≠ x n , i ≠ n, òî âèçíà÷íèê,<br />
ÿêèé îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ (10.8.7), â³äì³ííèé â³ä<br />
íóëÿ ³, á³ëüø òîãî, éîãî çíà÷åííÿ äîäàòíå.<br />
Îáìåæèìîñÿ äîâåäåííÿì öüîãî ôàêòó ïðè n =2:<br />
Ðèñ. 10.23<br />
398 399
ßñíî, ùî âàð³àíò ë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³ ì³æ çì³ííèìè x òà<br />
y âæå íà ï³äõîäèòü. Ùî æ ðîáèòè? Ìîæíà ðîçãëÿíóòè ñòåïåíåâó<br />
çàëåæí³ñòü y = ax k . ßê ïîêàçóº ðèñ. 10.23, âîíà ìîæå<br />
áóòè äîñèòü âäàëîþ.<br />
À òåïåð ïîêàæåìî, ùî ÿêùî ìîæëèâà çàëåæí³ñòü ì³æ x<br />
òà y º ñòåïåíåâîþ, òî ïðîáëåìà ìîæå áóòè çâåäåíà äî âæå<br />
ðîçãëÿíóòî¿.<br />
Ç ö³ºþ ìåòîþ ââåäåìî òàê³ âåëè÷èíè Y =lny, X =lnx,<br />
b =lna. Òîä³ çàëåæí³ñòü y = ax k øëÿõîì ëîãàðèôìóâàííÿ<br />
ìîæíà çâåñòè äî ë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³<br />
Y = kX + b .<br />
Òàêó ïðîáëåìó ìè âæå çíàºìî, ÿê ðîçâ’ÿçóâàòè. Ïðè<br />
öüîìó ò³ëüêè òðåáà ïàì’ÿòàòè, ùî íå ç âåëè÷èí x i , y i , à ç ¿õ<br />
ëîãàðèôì³â ñêëàäàºòüñÿ â³äïîâ³äíà òàáëèöÿ.<br />
Ïðèêëàä 10.8.1. Áóëè ïðîâåäåí³ åêñïåðèìåíòàëüí³<br />
äîñë³äæåííÿ, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³ ç âèçíà÷åííÿì ð³âíîâàæíî¿ ö³íè<br />
äëÿ äåÿêîãî òîâàðó.<br />
Ôóíêö³¿ D(p) òà S(p) íåâ³äîì³, àëå åêñïåðèìåíòè äàëè<br />
ìîæëèâ³ñòü ñêëàñòè äâ³ òàáëèö³<br />
Òàáëèöÿ 1 Òàáëèöÿ 2<br />
p 1 2 3 p 1 2 3<br />
D 2,8 2,1 1 S 0,9 2,1 3<br />
Òðåáà çíàéòè íàáëèæåíå çíà÷åííÿ ð³âíîâàæíî¿ ö³íè íà<br />
çàïðîïîíîâàíèé òîâàð.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Éîãî áóäåìî çä³éñíþâàòè çà äîïîìîãîþ<br />
ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî òåîð³¿<br />
ï. 10.8.1 ñêëàäåìî ñèñòåìè — îäíó äëÿ ïîáóäîâè åìï³ðè÷íî¿<br />
ôîðìóëè äëÿ âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ D(p), à äðóãó äëÿ<br />
åìï³ðè÷íî¿ ôîðìóëè âèçíà÷åííÿ ôóíêö³¿ S(p).<br />
Äëÿ ïåðøî¿ ³ äðóãî¿ ñèñòåìè â³äïîâ³äíî ìàòèìåìî òàê³<br />
êîåô³ö³ºíòè:<br />
1)<br />
3 3<br />
2 2 2 2<br />
∑ pi ∑ piDi<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
3 3<br />
∑ p<br />
= 1 + 2 + 3 = 14, = 2,8 + 4,2 + 3 = 10,<br />
= 1+ 2+ 3 = 6, ∑ D = 2,8 + 2,1+ 1 = 5,9;<br />
i<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
i<br />
2)<br />
3 3<br />
2<br />
∑ pi ∑ pS<br />
i i<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
3 3<br />
∑ p<br />
= 14, = 14,1 ,<br />
= 6, ∑ S = 6.<br />
i<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
i<br />
Ó ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî òàê³ ñèñòåìè:<br />
⎧14k<br />
+ 6b<br />
= 10<br />
⎨<br />
⎩6k + 3b = 5,9 , (10.8.8)<br />
⎧14k<br />
+ 6b<br />
= 14,1<br />
⎨<br />
⎩6k + 3b = 6 . (10.8.9)<br />
Ðîçâ’ÿçóþ÷è ñèñòåìè (10.8.8) – (10.8.9) áóäü-ÿêèì ñïîñîáîì,<br />
îòðèìàºìî, ùî ðîçâ’ÿçêîì ñèñòåìè (10.8.8) º òî÷êà<br />
⎛ 9 113⎞<br />
⎜−<br />
,<br />
10 30<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ , à ñèñòåìè (10.8.9) — òî÷êà ⎛21 1 ⎞<br />
⎜ ,<br />
20 20<br />
⎟ . Îòæå, ìè<br />
⎝ ⎠<br />
çíàéøëè åìï³ðè÷í³ ôîðìóëè äëÿ âèçíà÷åííÿ ôóíêö³é D(p)<br />
³ S(p):<br />
9 113 21 1<br />
D( p) =− p + , S( p)<br />
= p + . (10.8.10)<br />
10 30 20 20<br />
Äàë³, ùîá çíàéòè íàáëèæåíó ð³âíîâàæíó ö³íó, ðîçâ’ÿæåìî<br />
ð³âíÿííÿ D(p) =S(p). Ç óðàõóâàííÿì (10.8.10) âîíî ìàº<br />
âèãëÿä:<br />
9 113 21 1<br />
− p + = p + ,<br />
10 30 20 20<br />
223<br />
çâ³äêè p<br />
0<br />
= ≈ 2 (ãðîøîâ³ îäèíèöi).<br />
117<br />
Òàêèì ÷èíîì, äëÿ âð³âíîâàæåííÿ ïîïèòó ³ ïðîïîçèö³¿<br />
òîâàð ïîâèíåí êîøòóâàòè äåñü â ìåæàõ äâîõ ãðîøîâèõ îäèíèöü.<br />
400 401
ÒÅÌÀ 11<br />
ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜͲ вÂÍßÍÍß<br />
Ó ÿêîñò³ íàéïðîñò³øî¿ åêîíîì³÷íî¿ ìîäåë³ íàêîïè÷åííÿ<br />
êàï³òàëó ðîçãëÿíåìî âèïàäîê, êîëè ôóíêö³¿ P(t, ∆t) ³<br />
U(t, ∆t) âèçíà÷àþòüñÿ òàê:<br />
P(t, ∆t) =αQ(t) ⋅∆t, (11.1.2)<br />
11.1. ÇÀÄÀײ ÏÐÈÐÎÄÎÇÍÀÂÑÒÂÀ, ÙÎ<br />
ÏÐÈÂÎÄßÒÜ ÄÎ ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÈÕ<br />
вÂÍßÍÜ<br />
Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ð³çíîìàí³òíèõ ïðîöåñ³â òà<br />
ÿâèù ïðèâîäÿòü äî ð³âíÿíü, ÿê³, êð³ì íåçàëåæíèõ çì³ííèõ<br />
³ çàëåæíèõ â³ä íèõ øóêàíèõ ôóíêö³é, ì³ñòÿòü òàêîæ ïîõ³äí³<br />
â³ä íåâ³äîìèõ ôóíêö³é. Òàê³ ð³âíÿííÿ íàçèâàþòüñÿ äèôåðåíö³àëüíèìè.<br />
Ðîçãëÿíåìî äåê³ëüêà íàéïðîñò³øèõ çàäà÷, ùî<br />
ïðèâîäÿòü äî äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü.<br />
11.1.1. Íàéïðîñò³øà ìîäåëü íàêîïè÷åííÿ êàï³òàëó<br />
Äåÿêå ï³äïðèºìñòâî ç ïî÷àòêîâèì êàï³òàëîì Q 0 ïî÷àëî<br />
ä³ÿòè ç ìåòîþ íàêîïè÷åííÿ êàï³òàëó.  ñèëó çì³íè äîõîäó<br />
³ ïîâíèõ çàòðàò íà âèðîáíèöòâî, êàï³òàë ç ÷àñîì çì³íþºòüñÿ.<br />
Òðåáà îïèñàòè äèíàì³êó öüîãî ïðîöåñó.<br />
Íåõàé Q(t) (â ãðîø. îä.) — êàï³òàë ï³äïðèºìñòâà â ìîìåíò<br />
÷àñó t, à Q(t + ∆t) — â ìîìåíò ÷àñó t + ∆t. Òîä³ ð³çíèöÿ<br />
∆ Q = Q( t+ ∆t) −Q( t)<br />
äຠïðèð³ñò êàï³òàëó çà ïðîì³æîê ÷àñó ∆t. ²ç ÷îãî ñêëàäà-<br />
ºòüñÿ öåé ïðèð³ñò? Ïåâíà ð³÷, ³ç äîõîäó çà ïðîì³æîê ÷àñó ∆t<br />
³ ïîâíèõ çàòðàò íà âèðîáíèöòâî. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó öåé<br />
ïðèð³ñò âèçíà÷àºòüñÿ ôîðìóëîþ<br />
∆Q = P – U, (11.1.1)<br />
äå P = P(t, ∆t) — äîõîä ï³äïðèºìñòâà (â ãðîø. îä.), à<br />
U = U(t, ∆t) — ïîâí³ çàòðàòè ï³äïðèºìñòâà (â ãðîø. îä.) ç<br />
ìîìåíòó ÷àñó t äî ìîìåíòó t + ∆t.<br />
Ñï³ââ³äíîøåííÿ (11.1.1) ³ º, çàãàëüíî êàæó÷è, ð³âíÿííÿ<br />
íàêîïè÷åííÿ êàï³òàëó. ßñíî, ùî äëÿ éîãî ðîçâ’ÿçàííÿ òðåáà<br />
çíàòè ôóíêö³¿ P(t, ∆t) ³ U(t, ∆t). Öÿ ïðîáëåìà º îäí³ºþ ç<br />
âàæëèâèõ â òåî𳿠ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â. Íàâ³òü<br />
ó êîíêðåòíîìó âèïàäêó âèçíà÷åííÿ öèõ ôóíêö³é ïîòðåáóº<br />
êîï³òêî¿ ³íòåëåêòóàëüíî¿ ïðàö³.<br />
U(t, ∆t) =βQ(t) ⋅∆t. (11.1.3)<br />
Äîäàòí³ êîåô³ö³ºíòè α ³ β õàðàêòåðèçóþòü â³äïîâ³äíî<br />
³íòåíñèâí³ñòü çì³íè äîõîäó ³ ïîâíèõ âèòðàò âèðîáíèöòâà.<br />
Âðàõîâóþ÷è ïðèïóùåííÿ (11.1.2) – (11.1.3), ñï³ââ³äíîøåííÿ<br />
(11.1.1) çàïèøåìî ó âèãëÿä³:<br />
∆Q = ε Q(t) ∆t, (11.1.4)<br />
äå ε=α−β.<br />
Äàë³, ó ð³âíîñò³ (11.1.4) ïîä³ëèìî íà ∆t ≠ 0 ³ ïåðåéäåìî<br />
äî ãðàíèö³ ïðè ∆t → 0.<br />
Ó ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ<br />
dQ<br />
=ε Q . (11.1.5)<br />
dt<br />
11.1.2. Ïðî ðîçïàä ðàä³þ<br />
Âñòàíîâëåíî, ùî øâèäê³ñòü ðîçïàäó ðàä³þ ïðÿìî ïðîïîðö³éíà<br />
éîãî ê³ëüêîñò³ â äàíèé ìîìåíò. Íåîáõ³äíî âèçíà÷èòè<br />
çàêîí çì³íè ìàñè ðàä³þ â çàëåæíîñò³ â³ä ÷àñó.<br />
Íåõàé M(t) — ìàñà ðàä³þ â ìîìåíò ÷àñó t. Øâèäê³ñòü<br />
ðîçïàäó ïðè öüîìó äîð³âíþº dM dt .<br />
Çà óìîâîþ çàäà÷³ âñòàíîâëåíî çâ’ÿçîê ì³æ ôóíêö³ºþ<br />
M(t) ³ ¿¿ ïîõ³äíî¿<br />
dM<br />
=− kM , (11.1.6)<br />
dt<br />
äå k — êîåô³ö³ºíò ïðîïîðö³éíîñò³ (k > 0). Çíàê ”–“ ñòàâèòüñÿ<br />
â ð³âíÿííÿ (11.1.6), òîìó ùî ïðè çðîñòàíí³ ÷àñó ìàñà<br />
dM<br />
ðàä³þ ñïàäຠ³, ÿê â³äîìî (äèâ. ï. 7.3.2), ïðè öüîìó 0<br />
dt < .<br />
402 403
11.1.3. Ïðî â³ëüíå ïàä³ííÿ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè<br />
Ìàòåð³àëüíà òî÷êà ìàñè m ïàäຠï³ä 䳺þ ñèëè çåìíîãî<br />
òÿæ³ííÿ. Òðåáà âèçíà÷èòè øëÿõ, ÿêèé ïðîéäåíî òî÷êîþ çà<br />
÷àñ t.<br />
Ïðèéìåìî âåðòèêàëüíó ïðÿìó, âçäîâæ ÿêî¿ ðóõàºòüñÿ<br />
òî÷êà çà â³ñü Îs. Çà äîäàòíèé íàïðÿì îñ³ Îs â³çüìåìî íàïðÿì<br />
äî Çåìë³. Ïðîéäåíèé øëÿõ ÿâëÿº ñîáîþ äåÿêó ôóíêö³þ<br />
S çàëåæíî â³ä ÷àñó t. Íåîáõ³äíî çíàéòè öþ ôóíêö³þ,<br />
òîáòî çíàéòè çàêîí ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ï³ä 䳺þ ñèëè<br />
çåìíîãî òÿæ³ííÿ.<br />
Ç ìåõàí³êè â³äîìî, ùî ïðè â³ëüíîìó ïàä³íí³ ïðèñêîðåííÿ<br />
g ïàäàþ÷îãî ò³ëà º âåëè÷èíîþ ñòàëîþ ³ íàáëèæåíî äîð³âíþº<br />
9, 8 ì 2<br />
c<br />
. Ç äðóãîãî áîêó, ÿê â³äîìî, ïðèñêîðåííÿ äîð³âíþº<br />
äðóã³é ïîõ³äí³é â³ä øëÿõó. Òåïåð çàñòîñóºìî äðóãèé<br />
çàêîí Íüþòîíà, ùî ïðèâåäå äî ð³âíÿííÿ<br />
2<br />
dS<br />
2<br />
dt<br />
= g . (11.1.7)<br />
11.2. ÎCÍÎÂͲ ÏÎÍßÒÒß ÒÀ ÎÇÍÀ×ÅÍÍß<br />
11.2.1. Îçíà÷åííÿ<br />
Äèôåðåíö³àëüíèì ð³âíÿííÿì íàçèâàºòüñÿ ð³âíÿííÿ, ÿêå<br />
ì³ñòèòü íåâ³äîìó ôóíêö³þ, ïîõ³äí³ â³ä íå¿ ³ íåçàëåæí³ çì³íí³.<br />
Ïîðÿäêîì äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ íàçèâàºòüñÿ íàéâèùèé<br />
ïîðÿäîê ïîõ³äíî¿, ùî âõîäèòü ó íüîãî.<br />
ßêùî â äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ âõîäèòü íåâ³äîìà<br />
ôóíêö³ÿ, ÿêà çàëåæèòü â³ä îäí³º¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿, òî<br />
òàêå ð³âíÿííÿ íàçèâàþòü çâè÷àéíèì.<br />
Äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ n-ãî ïîðÿäêó â çàãàëüíîìó<br />
âèãëÿä³ çàïèñóºòüñÿ òàê:<br />
x ( , yx ( ), y′ ( x), y′′ ( x), ..., y ( x)) = 0. (11.2.1)<br />
Ðîçâ’ÿçêîì äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ (11.2.1) íàçèâàþòü<br />
áóäü-ÿêó n ðàç³â äèôåðåíö³éîâíó ôóíêö³þ, ÿêà, áóäó÷è ï³äñòàâëåíà<br />
â ð³âíÿííÿ (11.2.1), ïåðåòâîðþº éîãî â òîòîæí³ñòü.<br />
( n)<br />
Çàóâàæåííÿ. ßêùî äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ ì³ñòèòü<br />
÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ïî ê³ëüêîì íåçàëåæíèì çì³ííèì (íàïðèêëàä,<br />
+ = 0 ), òî âîíî íàçèâàºòüñÿ äèôåðåíö³àëüíèì ð³-<br />
2 2<br />
∂ z ∂ z<br />
2 2<br />
∂x<br />
∂y<br />
âíÿíÿì ç ÷àñòèííèìè ïîõ³äíèìè.<br />
Ó äàíîìó êóðñ³ ìè áóäåìî ðîçãëÿäàòè ò³ëüêè çâè÷àéí³<br />
äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ òà íàçèâàòè ¿õ áóäåìî ïðîñòî äèôåðåíö³àëüíèìè<br />
ð³âíÿííÿìè.<br />
 òåî𳿠äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ñòàâëÿòüñÿ òà âèð³øóþòüñÿ<br />
òàê³ ïèòàííÿ:<br />
1. ²ñíóº ÷è í³ ðîçâ’ÿçîê äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ?<br />
2. ßêà ìíîæèíà ðîçâ’ÿçê³â?<br />
3. ßê çíàéòè ðîçâ’ÿçîê äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ?<br />
4. ßêùî ðîçâ’ÿçê³â áàãàòî, òî ÿê â³äð³çíèòè îäèí ðîçâ’ÿçîê<br />
â³ä ³íøîãî ³ ÿê âèä³ëèòè êîíêðåòíèé (÷àñòèííèé) ðîçâ’ÿçîê?<br />
5. ßêùî íå âäàºòüñÿ çíàéòè ðîçâ’ÿçîê â ÿâíîìó âèãëÿä³,<br />
òî ÿê âèçíà÷èòè âëàñòèâîñò³ ðîçâ’ÿçê³â?<br />
6. ßêùî íå âäàºòüñÿ ïîáóäóâàòè òî÷íèé ðîçâ’ÿçîê, òî ÿê<br />
ïîáóäóâàòè íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê?<br />
7. ßê îö³íèòè ïîõèáêó íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó?<br />
 äåÿêèõ âèïàäêàõ ðîçâ’ÿçîê äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ<br />
ìîæíà çíàéòè â ÿâíîìó âèãëÿä³ ³ òèì ñàìèì â³äïîâ³ñòè íà<br />
çàïèòàííÿ 1 – 4. Ö³ëêîì çðîçóì³ëî, ùî â öèõ âèïàäêàõ<br />
ïèòàííÿ 5 – 7 íå ðîçãëÿäàþòüñÿ.<br />
 íàñòóïíîìó ïóíêò³ ðîçãëÿíåìî ïðèêëàäè äèôåðåíö³àëüíèõ<br />
ð³âíÿíü, ðîçâ’ÿçêè ÿêèõ çíàõîäÿòüñÿ â ÿâíîìó<br />
âèãëÿä³.<br />
11.3. ÏÐÈÊËÀÄÈ ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÈÕ Ð²Â-<br />
ÍßÍÜ, ÐÎÇÂ’ßÇÊÈ ßÊÈÕ ÇÍÀÕÎÄßÒÜ-<br />
Ñß Â ßÂÍÎÌÓ ÂÈÃËßIJ ÇÀ ÄÎÏÎÌÎ-<br />
ÃÎÞ ÅËÅÌÅÍÒÀÐÍÈÕ ÏÐÈÉÎ̲Â<br />
Òóò ìè çíàéäåìî ðîçâ’ÿçêè äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü,<br />
ÿê³ áóëè îòðèìàí³ â ï. 11.1.<br />
Ïðèêëàä 11.3.1. Ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ (11.1.5) áóäåìî øóêàòè<br />
ó âèãëÿä³ Q = ce , äå ñ — äîâ³ëüíà ñòàëà, à k — øóêà-<br />
kt<br />
íà ñòàëà. Íåâàæêî ïîáà÷èòè, ùî ÿêùî ìè ïîêëàäåìî k = ε,<br />
404 405
ln 2<br />
T = ≈1590<br />
ðîê³â.<br />
0,00044<br />
³äçíà÷èìî, ùî íàäàí³ ö³êàâ³ â³äîìîñò³ çàêëàäåí³ â îñíîâó<br />
âèçíà÷åííÿ â³êó ö³ííèõ àðõåîëîã³÷íèõ çíàõ³äîê.<br />
Ïðèêëàä 11.3.3. Äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ (11.1.7) äðóãîãî<br />
ïîðÿäêó. Çàãàëüíèõ ìåòîä³â ðîçâ’ÿçàííÿ äèôåðåíö³àëüíèõ<br />
ð³âíÿíü äðóãîãî ïîðÿäêó, ÿê ³ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü<br />
ïåðøîãî ïîðÿäêó, äîòåïåð íå ³ñíóº, àëå îñê³ëüêè âîíî ïðî-<br />
kt kt<br />
òî ïðè äîâ³ëüíèõ ñ ìຠì³ñöå òîòîæí³ñòü cke ≡ cε e , òîáòî<br />
kt<br />
ôóíêö³ÿ Q = ce ä³éñíî º ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ (11.1.5).<br />
Îäåðæàíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ (11.1.5) äຠçðàçó æ â³äïîâ³ä³<br />
íà ïåðø³ òðè çàïèòàííÿ ï. 11.2.1: ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
(11.1.5) ³ñíóº ³ ìíîæèíà ¿õ íåñê³í÷åííà, ïðàêòè÷íèé<br />
ïðèéîì çíàõîäæåííÿ ðîçâ’ÿçêó ïðè öüîìó íàäàºòüñÿ.<br />
Ùîäî 4-ãî çàïèòàííÿ, òî âîíî â â³äïîâ³äí³é çàäà÷³ 1<br />
ï. 11.2.1 ìຠêîíêðåòíå òëóìà÷åííÿ: îäíîçíà÷íèé îïèñ ïðîöåñó<br />
íàêîïè÷åííÿ êàï³òàëó ìîæå áóòè âèä³ëåíèé ç ðîçâ’ÿçêó<br />
Q = ce εt , ÿêùî ìè áóäåìî çíàòè ïî÷àòêîâèé êàï³òàë<br />
(íàïðèêëàä, â ìîìåíò ÷àñó t = 0). Îñê³ëüêè çà óìîâîþ çàäà÷³<br />
ïî÷àòêîâèé êàï³òàë äîð³âíþâàâ Q 0 , òî ö³ëêîì çðîçóì³ëî, ùî<br />
îäíîçíà÷íèé îïèñ íàêîïè÷åííÿ êàï³òàëó çä³éñíþºòüñÿ çà<br />
εt<br />
äîïîìîãîþ ôóíêö³¿ Q = Q0e ( c = Q0)<br />
.<br />
Îäåðæàíèé êîíêðåòíèé (÷àñòèííèé) ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
òåïåð óæå ìîæíà äîñë³äèòè. Ïðîñòèé àíàë³ç ïîêàçóº, ùî<br />
ïðè ε > 0 ôóíêö³ÿ Q = Q0<br />
e εt çðîñòàº, à ïðè ε < 0 — ñïàäàº;<br />
ïðè ε = 0 âîíà º ñòàëîþ (ðèñ. 11.1). Ç òî÷êè çîðó åêîíîì³êè<br />
— öå îçíà÷àº, ùî ÿêùî ε=α−β>0, òî ³íòåíñèâí³ñòü çá³ëüøåííÿ<br />
ïðèáóòê³â ïåðåâåðøóº çàãàëüí³ âèòðàòè íà âèðîáíèöòâî<br />
³ çðîñòàííÿ êàï³òàëó Q ö³ëêîì î÷åâèäíå; ÿêùî æ<br />
ε=α−β
ñòå, òî ìè çìîæåìî éîãî ðîçâ’ÿçàòè äâîêðàòíèì ³íòåãðóâàííÿì.<br />
ijéñíî,<br />
dS gt C1<br />
dt = + ,<br />
2<br />
gt<br />
St () = + Ct<br />
1<br />
+ C0. (11.3.4)<br />
2<br />
Öåé çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ì³ñòèòü âæå äâ³ äîâ³ëüí³ ñòàë³.<br />
Àëå ³ âîíè ô³êñóþòüñÿ, ÿêùî ðîçâ’ÿçóâàòè çàäà÷ó ç ïî÷àòêîâèìè<br />
óìîâàìè.<br />
Äëÿ çíàõîäæåííÿ ÷àñòèííîãî ðîçâ’ÿçêó òðåáà ùå çàäàòè<br />
ïî÷àòêîâó øâèäê³ñòü v 0 ³ ïî÷àòêîâèé øëÿõ S 0 (ÿêùî çà<br />
ïî÷àòîê êîîðäèíàò âçÿòè òî÷êó â³ñ³, ÿêà â³äïîâ³äຠïîëîæåííþ<br />
òî÷êè ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò t = 0, òî S = 0 ïðè t = 0).<br />
Îòæå, ³ç ô³çè÷íèõ ³ ãåîìåòðè÷íèõ ì³ðêóâàíü ìàºìî:<br />
S<br />
dS<br />
= 0, = v .<br />
dt<br />
t= 0 t=<br />
0 0<br />
Ö³ óìîâè ïðèâîäÿòü äî òîãî, ùî ³ç çàãàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó<br />
âèä³ëÿºòüñÿ ÷àñòèííèé<br />
2<br />
gt<br />
St () = + vt<br />
0 ,<br />
2<br />
ÿêèé â³äïîâ³äຠçàêîíó ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ï³ä 䳺þ<br />
ñèëè òÿæ³ííÿ ³ ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³ v 0 .<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ ð³âíÿíü ó öüîìó<br />
ïóíêò³ ìè òîðêíóëèñÿ äóæå âàæëèâèõ ïîíÿòü â òåî𳿠äèôåðåíö³àëüíèõ<br />
ð³âíÿíü — çàãàëüí³ òà ÷àñòèíí³ ðîçâ’ÿçêè.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Ìîæíà ïîêàçàòè, ùî çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê<br />
äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ ïåðøîãî ïîðÿäêó ì³ñòèòü<br />
îäíó äîâ³ëüíó ñòàëó (òàêèé ðîçâ’ÿçîê ùå íàçèâàþòü çàãàëüíèì<br />
³íòåãðàëîì), à çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê äèôåðåíö³àëüíîãî<br />
ð³âíÿííÿ n-ãî ïîðÿäêó — n äîâ³ëüíèõ ñòàëèõ.<br />
11.4. ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜͲ вÂÍßÍÍß<br />
ÏÅÐØÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÓ. ÒÅÎÐÅÌÀ ÊÎز<br />
Îçíà÷åííÿ 11.4.1. гâíÿííÿ âèãëÿäó<br />
(x,y(x), y′(x)) = 0 (11.4.1)<br />
íàçèâàºòüñÿ äèôåðåíö³àëüíèì ð³âíÿííÿì ïåðøîãî ïîðÿäêó.<br />
ßêùî öå ð³âíÿííÿ ìîæíà ðîçâ’ÿçàòè â³äíîñíî y′(x), òî<br />
âîíî íàáóâຠâèãëÿäó:<br />
y′(x) =f(x,y(x)). (11.4.2)<br />
Òîä³ ìàòèìåìî ð³âíÿííÿ, ÿêå ðîçâ’ÿçàíå â³äíîñíî ïîõ³äíî¿.<br />
Íàäàë³ áóäåìî ðîçãëÿäàòè ñàìå òàê³ ð³âíÿííÿ. ßê çàçíà÷àëîñÿ<br />
âèùå, îäíå ç ãîëîâíèõ ïèòàíü òåî𳿠äèôåðåíö³àëüíèõ<br />
ð³âíÿíü º ïèòàííÿ ïðî ³ñíóâàííÿ òà ºäèí³ñòü<br />
ðîçâ’ÿçêó. Ïðè ïåâíèõ óìîâàõ âêàçàíà ïðîáëåìà âèð³øåíà.<br />
Òåîðåìà 11.4.1 (Êîø³ ïðî ³ñíóâàííÿ òà ºäèí³ñòü ðîçâ’ÿçêó<br />
äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ 1-ãî ïîðÿäêó). ßêùî<br />
ôóíêö³ÿ f(x, y) âèçíà÷åíà ³ íåïåðåðâíà â îáëàñò³ D ðàçîì ç<br />
÷àñòèííîþ ïîõ³äíîþ ∂f / ∂y, òî äëÿ âñÿêî¿ âíóòð³øíüî¿ òî÷êè<br />
(x 0 , y 0 ) îáëàñò³ D â äåÿêîìó îêîë³ òî÷êè x 0 ³ñíóº ºäèíèé<br />
ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ y′ = f(,)<br />
x y , ÿêèé çàäîâîëüíÿº óìîâó<br />
y(x 0 )=y 0 . (11.4.3)<br />
ßê çàçíà÷àëîñÿ ðàí³øå, óìîâà (11.4.3) íàçèâàºòüñÿ ïî-<br />
÷àòêîâîþ. Öåé òåðì³í ñòຠçðîçóì³ëèì â ïîâí³é ì³ð³, ÿêùî<br />
çì³ííà õ õàðàêòåðèçóº ÷àñ (äèâ. ïðèêë. ï. 11.1).<br />
Ãðàô³ê ðîçâ’ÿçêó äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ íàçèâàºòüñÿ<br />
³íòåãðàëüíîþ êðèâîþ. Ùîá çðîçóì³òè ââåäåíèé òåðì³í, ðîçãëÿíåìî<br />
ïðîñòy çàäà÷ó: çíàéòè ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ y′ =2x.<br />
Äëÿ òîãî ùîá çíàéòè ðîçâ’ÿçîê öüîãî ð³âíÿííÿ, òðåáà ïðî-<br />
³íòåãðóâàòè. Ó ðåçóëüòàò³ îäåðæèìî ñ³ìåéñòâî ðîçâ’ÿçê³â:<br />
ó = õ 2 + ñ (ñ³ìåéñòâî ïàðàáîë) (ðèñ. 11.2).<br />
Êîæíà ç ïàðàáîë º ³íòåãðàëüíîþ êðèâîþ (âîíà óòâîðèëàñÿ<br />
çà äîïîìîãîþ ³íòåãðóâàííÿ). Äëÿ ¿¿ ô³êñóâàííÿ òðåáà<br />
çàäàòè ÿêóñü ïî÷àòêîâó óìîâó. Íàïðèêëàä, òàêó: ïðè õ =0<br />
ó òåæ äîð³âíþº íóëþ. Î÷åâèäíî, ùî òàêà ³íòåãðàëüíà êðèâà<br />
º çâè÷àéíîþ ïàðàáîëîþ ó = õ 2 .<br />
408 409
Òåîðåìà Êîø³ ðîçâ’ÿçóº á³ëüø ãëîáàëüíó ïðîáëåìó í³æ<br />
íàâåäåíà âèùå çàäà÷à. Âîíà äຠìîæëèâ³ñòü çà âèäîì äèôåðåíö³àëüíîãî<br />
ð³âíÿííÿ âèð³øóâàòè ïèòàííÿ ïðî ³ñíóâàííÿ<br />
òà ºäèí³ñòü éîãî ðîçâ’ÿçêó. Öå îñîáëèâî âàæëèâî â òèõ<br />
âèïàäêàõ, êîëè çàçäàëåã³äü íåâ³äîìî, ÷è ìຠäàíå ð³âíÿííÿ<br />
ðîçâ’ÿçîê.<br />
11.4.1. Ïîëå íàïðÿì³â (³çîêë³íè)<br />
Íàéá³ëüø íàî÷íî ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò äèôåðåíö³àëüíîãî<br />
ð³âíÿííÿ y′ = f( x, y)<br />
âäàºòüñÿ ïðî³ëþñòðóâàòè çà äîïîìîãîþ<br />
ïîëÿ íàïðÿì³â, ÿêå õàðàêòåðèçóºòüñÿ ð³âíÿííÿì<br />
f(x, y) =k. (11.4.4)<br />
Âèáåðåìî êîíêðåòíó òî÷êó M 0 (x 0 , y 0 ) ç îáëàñò³ D âèçíà-<br />
÷åííÿ ôóíêö³¿ f(x, y) ³ îá÷èñëèìî f(x 0 , y 0 ). ×èñëî f(x 0 , y 0 ) ó<br />
â³äïîâ³äíîñò³ äî ð³âíîñò³ (11.4.2) ÿâëÿº ñîáîþ êóòîâèé êîåô³ö³ºíò<br />
äîòè÷íî¿ äî ³íòåãðàëüíî¿ êðèâî¿ ð³âíÿííÿ (11.4.2).<br />
Ïîáóäóºìî â òî÷ö³ (x 0 , y 0 ) íàïðÿìëåíó äîòè÷íó ó âèãëÿä³<br />
íåâåëèêîãî â³äð³çêà. Ïðîâ³âøè ïîáóäîâó äëÿ óñ³õ òî÷îê<br />
îáëàñò³ D, îòðèìàºìî òàê çâàíå ïîëå íàïðÿì³â (ðèñ. 11.3).<br />
Ðèñ. 11.2<br />
ßê ó íàâåäåíîìó ïðèêëàä³, òàê ³ â ãëîáàëüíîìó ñåíñ³<br />
òåîðåìà Êîø³ çà ïåâíèõ óìîâ ñòâåðäæóº, ùî ÷åðåç êîæíó<br />
âíóòð³øíþ òî÷êó (x 0 , y 0 ) îáëàñò³ D (â ÿê³é çàäàíà ôóíêö³ÿ<br />
f(x, y)) ïðîõîäèòü ºäèíà ³íòåãðàëüíà êðèâà. Î÷åâèäíî, ùî<br />
ïðè öüîìó ð³âíÿííÿ (11.4.2) ìຠíåñê³í÷åííó ìíîæèíó ðîçâ’ÿçê³â.<br />
Ðîçøóê ðîçâ’ÿçêó ð³âíÿííÿ (11.4.2), ÿêèé çàäîâîëüíÿº<br />
ïî÷àòêîâó óìîâó (11.4.3), íàçèâàºòüñÿ çàäà÷åþ Êîø³. Ç ãåîìåòðè÷íî¿<br />
òî÷êè çîðó, ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó Êîø³ îçíà÷àº, ùî<br />
³ç ìíîæèíè ³íòåãðàëüíèõ êðèâèõ òðåáà âèä³ëèòè òó, ÿêà<br />
ïðîõîäèòü ÷åðåç çàäàíó òî÷êó (x 0 , y 0 ) ïëîùèíè Oxy.<br />
Òî÷êè ïëîùèíè, ÷åðåç ÿê³ ïðîõîäèòü á³ëüø îäí³º¿ ³íòåãðàëüíî¿<br />
êðèâî¿ àáî íå ïðîõîäèòü æîäíî¿, íàçèâàþòüñÿ îñîáëèâèìè<br />
òî÷êàìè äàíîãî ð³âíÿííÿ.<br />
Ðèñ 11.3<br />
Òàêèì ÷èíîì, ãåîìåòðè÷íî ð³âíÿííÿ (11.4.4) çàäຠïîëå<br />
íàïðÿì³â, äîòè÷íèõ äî ãðàô³ê³â ðîçâ’ÿçê³â öüîãî ð³âíÿííÿ,<br />
òîáòî â êîæí³é òî÷ö³ îáëàñò³ D íàïðÿìîê äîòè÷íî¿ äî ³íòåãðàëüíî¿<br />
êðèâî¿ çá³ãàºòüñÿ ç íàïðÿìîì ïîëÿ â ö³é òî÷ö³.<br />
Ïîáóäóâàâøè íà ïëîùèí³ ïîëå íàïðÿì³â äàíîãî äèôåðåíö³àëüíîãî<br />
ð³âíÿííÿ, ìîæíà íàáëèæåíî ïîáóäóâàòè ³íòåãðàëüí³<br />
êðèâ³.<br />
2 2<br />
Ïðèêëàä 11.4.1. Ðîçãëÿíåìî ð³âíÿííÿ y′ = x + y . Äëÿ<br />
åôåêòèâíîãî âèçíà÷åííÿ ïîëÿ íàïðÿì³â âèêîðèñòàºìî êðèâ³,<br />
âçäîâæ ÿêèõ y′ = c . Ö³ êðèâ³ ïðèéíÿòî çâàòè ³çîêë³íàìè.<br />
Ó öüîìó âèïàäêó ³çîêë³íè çîáðàæóþòü ñîáîþ ñ³ìåéñòâî<br />
x 2 + y 2 = c c ≥ 0 ç öåíòðîì íà ïî÷àòêó<br />
êîíöåíòðè÷íèõ ê³ë ( )<br />
410 411
êîîðäèíàò (ðèñ. 11.4). Äëÿ íàî÷íîñò³ ïîêëàäåìî òàê³ çíà-<br />
÷åííÿ c: c = 0, c = 3/3, c =1, c = 3 . Ïîçíà÷èìî ÷åðåç ϕ<br />
êóò íàõèëó äîòè÷íî¿. Òîä³ ïðè c = 0 (tg ϕ =0)⇒ ϕ =0,<br />
c = 3/3 ⇒ ϕ = π/6, c =1⇒ ϕ = π/4, c = 3 ⇒ ϕ = π/3. Ó âèïàäêó<br />
c = 0 êîëî âèðîäæóºòüñÿ ó òî÷êó.<br />
Ðèñ 11.4<br />
Ìàþ÷è ïîëå íàïðÿì³â, íåâàæêî ïîáóäóâàòè ³íòåãðàëüí³<br />
êðèâ³. Äëÿ íàáëèæåíî¿ ïîáóäîâè êîíêðåòíî¿ ³íòåãðàëüíî¿<br />
êðèâî¿ íåîáõ³äíî çàäàòè òî÷êó, ÷åðåç ÿêó âîíà ïðîõîäèòü.<br />
Äëÿ âèçíà÷åíîñò³ íåõàé öå áóäå òî÷êà Î(0,0). Ïîáóäîâàíà<br />
êðèâà L º íàáëèæåíèì ÷àñòèííèì ðîçâ’ÿçêîì ðîçãëÿíóòîãî<br />
ð³âíÿííÿ.<br />
Ñôîðìóëþºìî òåîðåìó Êîø³ äëÿ ð³âíÿííÿ n-ãî ïîðÿäêó,<br />
ðîçâ’ÿçàíîãî â³äíîñíî ñòàðøî¿ ïîõ³äíî¿<br />
ç ïî÷àòêîâèìè óìîâàìè<br />
( , , ′, ′′, , )<br />
( n) ( n 1)<br />
y = f x y y y K y −<br />
(11.4.5)<br />
( n−1) ( n−1)<br />
yx ( ) = y, y′ ( x) = y′<br />
, K , y ( x)<br />
= y . (11.4.6)<br />
0 0 0 0 0 0<br />
Òåîðåìà 11.4.2. ßêùî ôóíêö³ÿ<br />
( n 1)<br />
( , , , , , y )<br />
−<br />
f x y y′ y′′ K , ùî<br />
( n 1)<br />
çàëåæèòü â³ä n + 1 çì³ííèõ xyy , , ′, y′′ , K , y − , âèçíà÷åíà ³<br />
íåïåðåðâíà â äåÿê³é (n + 1)-âèì³ðí³é â³äêðèò³é îáëàñò³ D<br />
ðàçîì ç ÷àñòèííèìè ïîõ³äíèìè ∂ f<br />
, ∂ f f<br />
, K ,<br />
∂<br />
( n 1<br />
∂y ∂y′<br />
)<br />
∂y − , òî äëÿ<br />
( )<br />
( )<br />
1<br />
âñÿêî¿ òî÷êè , , , , ,<br />
n<br />
x0 y0 y′ 0<br />
y′′ 0<br />
K y −<br />
0 , ÿêà íàëåæèòü îáëàñò³ D,<br />
â äåÿêîìó îêîë³ òî÷êè x = x 0 ³ñíóº ºäèíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
(11.4.5), ÿêèé çàäîâîëüíÿº ïî÷àòêîâ³ óìîâè (11.4.6).<br />
Öþ òåîðåìó Êîø³ ïîäàìî òàêîæ áåç äîâåäåííÿ.<br />
Äëÿ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü n-ãî ïîðÿäêó òåæ ââîäÿòü<br />
ïîíÿòòÿ çàãàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó. Àëå ó öüîìó âèïàäêó â³í<br />
ì³ñòèòü n äîâ³ëüíèõ ñòàëèõ.<br />
11.4.2. Êëàñè íåë³í³éíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü<br />
ïåðøîãî ïîðÿäêó, ÿê³ ðîçâ’ÿçóþòüñÿ ó êâàäðàòóðàõ<br />
Çàãàëüíîãî ìåòîäó çíàõîäæåííÿ ðîçâ’ÿçê³â äèôåðåíö³àëüíèõ<br />
ð³âíÿíü ïåðøîãî ïîðÿäêó íå ³ñíóº. Çâè÷àéíî ðîçãëÿäàþòüñÿ<br />
îêðåì³ òèïè ð³âíÿíü, ³ äëÿ êîæíîãî ç íèõ çíàõîäÿòü<br />
ñâ³é ñïîñ³á ðîçâ’ÿçàííÿ.<br />
1.4.2.1. гâíÿííÿ ç â³äîêðåìëåíèìè òà â³äîêðåìëþâàíèìè<br />
çì³ííèìè<br />
Äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ<br />
M( x) dx + N( y) dy = 0<br />
(11.4.7)<br />
íàçèâàºòüñÿ ð³âíÿííÿì ç â³äîêðåìëåíèìè çì³ííèìè. Çàãàëüíèé<br />
³íòåãðàë çíàõîäèòüñÿ çà ôîðìóëîþ<br />
∫M( x) dx + ∫ N( y)<br />
dy = c . (11.4.8)<br />
гâíÿííÿ âèãëÿäó<br />
M ( x) N ( y) dx + M ( x) N ( y) dy = 0 (11.4.9)<br />
1 1 2 2<br />
íàçèâàþòüñÿ ð³âíÿííÿìè ç â³äîêðåìëþâàíèìè çì³ííèìè.<br />
Âîíè ìîæóòü áóòè ïðèâåäåí³ äî ð³âíÿíü òèïó (11.4.7) øëÿõîì<br />
ä³ëåííÿ îáîõ ÷àñòèí íà âèðàç N1( y) M2( x ):<br />
M1( x) N1( y)<br />
dx + dy = 0 .<br />
M ( x) N ( y)<br />
(11.4.10)<br />
2 2<br />
412 413
Ñë³ä çàóâàæèòè, ùî ð³âíÿííÿ (11.4.9) – (11.4.10) áóäóòü<br />
åêâ³âàëåíòí³ ó ò³é îáëàñò³, äå ôóíêö³¿ M 2 (x) ³ N 2 (y) íå ïåðåòâîðþþòüñÿ<br />
äî íóëÿ. Òàêèì ÷èíîì, ó çàãàëüíîìó âèïàäêó<br />
ïðè ðîçãëÿä³ ð³âíÿííÿ (11.4.10) ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ (11.4.9)<br />
ìîæå áóòè âòðà÷åíèì. Ó öüîìó âèïàäêó ìîæëèâ³ âòðà÷åí³<br />
ðîçâ’ÿçêè ïåðåâ³ðÿþòüñÿ áåçïîñåðåäíüî, øëÿõîì ï³äñòàíîâêè<br />
M 2 (x) =0 ³ N 2 (y) = 0 ó âèõ³äíå ð³âíÿííÿ.<br />
Ïðèêëàä 11.4.2. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ<br />
xdx + ydy = 0 . (11.4.11)<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. ²íòåãðóþ÷è (11.4.11), îòðèìàºìî çàãàëüíèé<br />
ðîçâ’ÿçîê (³íòåãðàë)<br />
2 2<br />
x y<br />
+ = c1<br />
. (11.4.12)<br />
2 2<br />
Îñê³ëüêè ë³âà ÷àñòèíà ð³âíîñò³ (11.4.12) º íåâ³ä’ºìíîþ, òî<br />
êîíñòàíòà ñ 1 òåæ íåâ³ä’ºìíà. Ïîçíà÷èìî 2ñ 1 ÷åðåç ñ 2 , áóäåìî<br />
ìàòè<br />
2 2 2<br />
x + y = c .<br />
Îòæå, ³íòåãðàëüí³ êðèâ³ ðîçãëÿíóòîãî ð³âíÿííÿ ÿâëÿþòü<br />
ñîáîþ êîíöåíòðè÷í³ êîëà ç öåíòðîì íà ïî÷àòêó êîîðäèíàò<br />
³ ðàä³óñîì ñ.<br />
Ïðèêëàä 11.4.3. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ<br />
ydx + xdy = 0 . (11.4.13)<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Öå ð³âíÿííÿ ç â³äîêðåìëþâàíèìè çì³ííèìè.<br />
ijëèìî îáèäâ³ ÷àñòè íà xy. Îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ<br />
dx dy<br />
+ = 0<br />
x y , (11.4.14)<br />
ÿêå íååêâ³âàëåíòíå âèõ³äíîìó ð³âíÿííþ â îáëàñò³, ùî ì³ñòèòü<br />
ïî÷àòîê êîîðäèíàò. Çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
(11.1.14) çíàõîäèòüñÿ øëÿõîì ³íòåãðóâàííÿ:<br />
ϳñëÿ ïîòåíö³þâàííÿ, áóäåìî ìàòè<br />
y =<br />
x<br />
àáî y =± .<br />
x<br />
Ïîêëàäåìî ±ñ 1 = ñ, îñòàòî÷íî îòðèìàºìî<br />
c 1<br />
c<br />
y = . (11.4.15)<br />
x<br />
Ãåîìåòðè÷íî çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ (11.4.14) ÿâëÿº<br />
ñîáîþ ñ³ìåéñòâî ð³âíîá³÷íèõ ã³ïåðáîë.<br />
Íåâàæêî ïîì³òèòè, ùî ïðè ä³ëåíí³ ð³âíÿííÿ (11.4.13) íà<br />
xy ìè âòðàòèëè ðîçâ’ÿçêè x = 0, y = 0, ÿê³ íå ìîæíà îòðèìàòè<br />
³ç çàãàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó (11.4.15). Òóò ìè çíîâó òîðêíóëèñÿ<br />
ïèòàíü, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³ ç òåîðåìîþ ³ñíóâàííÿ òà ºäèíîñò³<br />
äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ ïåðøîãî ïîðÿäêó (äèâ. òåîð.<br />
11.4.1).<br />
Ïðèêëàä 11.4.4. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ<br />
c 1<br />
2 2<br />
1 1 0<br />
− ydx+ − xdy= . (11.4.16)<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñê³ëüêè êîåô³ö³ºíòè ïðè dx ³ dy ìîæóòü<br />
áóòè çîáðàæåí³ ó âèãëÿä³ äîáóòêó ôóíêö³é, ùî çàëåæàòü<br />
ò³ëüêè â³ä x òà ò³ëüêè â³ä y, òî ð³âíÿííÿ (11.4.16) º<br />
ð³âíÿííÿì ç â³äîêðåìëþâàíèìè çì³ííèìè. ³äîêðåìèìî<br />
çì³íí³ ³ ç³íòåãðóºìî:<br />
dx dy<br />
∫ + ∫ = c .<br />
2 2<br />
1−x<br />
1−<br />
y<br />
Îòðèìàºìî çàãàëüíèé ³íòåãðàë<br />
arcsin x + arcsin y = c. (11.4.17)<br />
Ç (11.4.17) ìîæíà îäåðæàòè çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ó âèãëÿä³:<br />
y = sin( c − arcsin x)<br />
.<br />
ln x + ln y = ln c .<br />
1<br />
414 415
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ:<br />
11.1. ( x + xy) dx + ( y + xy) dy = 0;<br />
2 2<br />
11.2. yy ( − 1) dx+ xx ( − 1) dy=<br />
0;<br />
2 2<br />
11.3. xy ( − 1) dx+ yx ( − 1) dy=<br />
0;<br />
2 2<br />
11.4. sec x⋅ tg ydx + sec y⋅ tg xdy = 0;<br />
2 1<br />
Âêàç³âêà. sec x =<br />
2 ;<br />
cos x<br />
2 2<br />
11.5. x 1+ y dx + y 1+ x dy = 0;<br />
11.6 − ycos xdx + sin xdy = 0;<br />
11.7. yln ydx + xdy = 0;<br />
y<br />
x<br />
11.8. xe dx + ye dy = 0;<br />
y + N dx + x + N dy = 0;<br />
2 2 2 2<br />
11.9. ( ) ( )<br />
N<br />
N<br />
11.10. x ydy + y xdx = 0;<br />
x 1+ Ny dx + y 1+ Nx = 0;<br />
11.11. ( ) ( )<br />
2 2 2 2<br />
11.12. x N + y dx + y N + x dy = 0;<br />
2 2 2 2<br />
11.13. N − x dx + N − y dy = 0;<br />
2 2 2 2<br />
11.14. N − x dy + N − y dx = 0.<br />
ßê ³ ðàí³øå, ïàðàìåòð N îçíà÷ຠ÷èñëî äàòè íàðîäæåííÿ<br />
÷èòà÷à, ÿêèé áóäå âèêîíóâàòè âïðàâè 11.9–11.14.<br />
11.4.2.2. Îäíîð³äí³ ð³âíÿííÿ<br />
Äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ ïåðøîãî ïîðÿäêó íàçèâàºòüñÿ<br />
îäíîð³äíèì, ÿêùî éîãî ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³:<br />
⎛y<br />
⎞<br />
y′ =ϕ ⎜<br />
x ⎟<br />
⎝ ⎠ , (11.4.18)<br />
äå ïðàâà ÷àñòèíà º ôóíêö³ºþ ò³ëüêè â³ä â³äíîøåííÿ çì³ííèõ.<br />
Äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ (11.4.18) çâîäèòüñÿ äî ð³âíÿííÿ<br />
ç â³äîêðåìëþâàíèìè çì³ííèìè øëÿõîì ï³äñòàíîâêè<br />
y<br />
z = ( y = zx)<br />
. ijéñíî:<br />
x<br />
dy dz<br />
= z+ x .<br />
dx dx<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è öåé âèðàç ïîõ³äíî¿ ó ð³âíÿííÿ (11.4.18),<br />
îòðèìàºìî:<br />
dz<br />
z+ x = ϕ () z . (11.4.19)<br />
dx<br />
гâíÿííÿ (11.4.19) — ð³âíÿííÿ ç â³äîêðåìëþâàíèìè<br />
çì³ííèìè, ÿêå ðîçâ’ÿçóºòüñÿ ìåòîäîì, çàçíà÷åíèì âèùå.<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è ï³ñëÿ ³íòåãðóâàííÿ ð³âíÿííÿ (11.4.19) çàì³ñòü<br />
z â³äíîøåííÿ y , îòðèìàºìî çàãàëüíèé ³íòåãðàë ð³âíÿííÿ<br />
(11.4.18).<br />
x<br />
Ïðèêëàä 11.4.5. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ<br />
2 2<br />
2xyy′ = x + y . (11.4.20)<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çàïèøåìî ð³âíÿííÿ (11.4.20) ó âèãëÿä³:<br />
2 2<br />
dy x + y<br />
= , àáî<br />
dx 2xy<br />
( y x)<br />
( )<br />
dy 1 + /<br />
= .<br />
dx 2 y / x<br />
Çä³éñíþþ÷è ï³äñòàíîâêó y = xz, îäåðæóºìî<br />
2 2<br />
dz 1+ z dz 1−z<br />
z + x = àáî x = .<br />
dx 2z dx 2z<br />
 îòðèìàíîìó ð³âíÿíí³ çì³íí³ â³äîêðåìëþþòüñÿ:<br />
dx 2zdz<br />
=<br />
2 .<br />
x 1 − z<br />
2<br />
416 417
²íòåãðóþ÷è,<br />
ìàºìî<br />
ln x ln c ln 1 z<br />
2<br />
=<br />
1<br />
− − , çâ³äê³ëÿ<br />
2<br />
2<br />
x 1 − z = c1<br />
, àáî x(1 − z ) = ± c . Ïîêëàäåìî ±c<br />
1<br />
1 = c, òîä³<br />
2<br />
c = x(1 − z ) , àáî îñòàòî÷íî<br />
2<br />
⎛<br />
c x 1 y ⎞<br />
= ⎜ −<br />
2 ⎟<br />
⎝ x ⎠ .<br />
Ïðèêëàä 11.4.6. Ïðî³íòåãðóâàòè ð³âíÿííÿ<br />
dy xy<br />
=<br />
2 2<br />
dx<br />
. (11.4.21)<br />
x − y<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. ijëÿ÷è ÷èñåëüíèê ³ çíàìåííèê ïðàâî¿<br />
÷àñòèíè ð³âíÿííÿ (11.4.21) íà x 2 , îòðèìàºìî<br />
dy y / x<br />
=<br />
dx 1 − y/<br />
x<br />
( ) 2<br />
Ðîáèìî çàì³íó y z<br />
x = , òîä³ dz z<br />
z + x = dx<br />
2 .<br />
1 − z<br />
³äîêðåìëþþ÷è çì³íí³, áóäåìî ìàòè<br />
z<br />
²íòåãðóþ÷è, çíàõîäèìî:<br />
1<br />
2z<br />
ln ln ln<br />
2<br />
1 − z dx<br />
dz<br />
3<br />
= .<br />
x<br />
− − z = x + c<br />
2<br />
àáî 2<br />
.<br />
1<br />
− = ln zxc .<br />
2z<br />
y<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è â îñòàííþ ð³âí³ñòü z = , îòðèìàºìî çàãàëüíèé<br />
³íòåãðàë âèõ³äíîãî<br />
x<br />
ð³âíÿííÿ:<br />
2<br />
x<br />
− = ln cy<br />
2 .<br />
2y<br />
Çàóâàæåííÿ. гâíÿííÿ âèãëÿäó<br />
Mxydx ( , ) + Nxydy ( , ) = 0<br />
áóäå îäíîð³äíèì ó òîìó ³ ò³ëüêè ó òîìó âèïàäêó, ÿêùî<br />
ôóíêö³¿ M(x, y) ³ N(x, y) º îäíîð³äíèìè ôóíêö³ÿìè îäíîãî é<br />
òîãî ñàìîãî ñòåïåíÿ, òîáòî ÿêùî M(λx, λy) =λ n M(x, y) ³<br />
N(λx, λy)=λ n N(x, y), äå λ > 0 — äîâ³ëüíå ÷èñëî, n — ñòåï³íü<br />
îäíîð³äíîñò³.<br />
Ïðèêëàä 11.4.11. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ<br />
( )<br />
+ − = 0 . (11.4.22)<br />
2 2<br />
y xy dx x dy<br />
2<br />
Öå ð³âíÿííÿ º îäíîð³äíèì, îñê³ëüêè ôóíêö³¿ y + xy ³<br />
x 2 — îäíîð³äí³ ôóíêö³¿ äðóãîãî ñòåïåíÿ.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. ijëèìî îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíÿííÿ<br />
(11.4.22) íà x 2 ³ ðîçâ’ÿçóºìî â³äíîñíî ïîõ³äíî¿. Îòðèìàºìî:<br />
Ââîäÿ÷è íîâó ôóíêö³þ<br />
Ðîçâ’ÿçóþ÷è éîãî<br />
2<br />
dy ⎛⎛y ⎞ y ⎞<br />
= +<br />
dx ⎜⎜<br />
x<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ x ⎟<br />
⎝ ⎠ .<br />
y<br />
z = , áóäåìî ìàòè ð³âíÿííÿ<br />
x<br />
2 dz<br />
z + z = z + x . dx<br />
= dz dz dx 1<br />
, , ln<br />
dx z<br />
= x − z<br />
= +<br />
2<br />
z x x c<br />
2<br />
³ ïîâåðòàþ÷èñü äî ñòàðèõ çì³ííèõ, îòðèìàºìî çàãàëüíèé<br />
ðîçâ’ÿçîê<br />
x<br />
x<br />
− = ln x + c ⇒ y = −<br />
y c + ln x<br />
.<br />
418 419
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ:<br />
dy 2xy<br />
11.15. = ;<br />
2 2<br />
dx x + y<br />
dy<br />
dx<br />
y<br />
x<br />
11.16. = ( + y − x)<br />
Âêàç³âêà ln y − ln x = ln y , y > 0, x > 0;<br />
x<br />
11.17.<br />
2 2<br />
y x xy<br />
1 ln ln ;<br />
+ dy dy<br />
;<br />
dx<br />
= dx<br />
11.18. ( y + x ) dy = ( y −x ) dx ;<br />
y + y −x dx − xdy = 0;<br />
2 2<br />
11.19. ( )<br />
2 2 2<br />
y xy x dx x dy<br />
11.20. ( )<br />
− + − = 0;<br />
⎛<br />
11.21. cos y ⎞ y<br />
⎜x − y dx + xcos dy = 0<br />
x<br />
⎟<br />
.<br />
⎝<br />
⎠ x<br />
11.5. ˲ͲÉͲ ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜͲ<br />
вÂÍßÍÍß ÏÅÐØÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÓ<br />
11.5.1. Îçíà÷åííÿ<br />
гâíÿííÿ âèãëÿäó<br />
y′ + P( x) y = Q( x)( x∈ ( a, b))<br />
, (11.5.1)<br />
äå ôóíêö³¿ P(x), Q(x) — â³äîì³ òà íåïåðåðâí³ íà ³íòåðâàë³ (a, b),<br />
à øóêàíà ôóíêö³ÿ y º íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíà íà íüîìó, íàçèâàºòüñÿ<br />
ë³í³éíèì äèôåðåíö³àëüíèì ïåðøîãî ïîðÿäêó.<br />
Äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ð³âíÿííÿ (11.5.1) âèêîðèñòîâóþòü äâà<br />
ìåòîäè: ìåòîä âàð³àö³¿ äîâ³ëüíî¿ ñòàëî¿ òà ìåòîä Áåðíóëë³<br />
– Ôóð’º. Ïåðøèì ìåòîäîì ð³âíÿííÿ (11.5.1) ³íòåãðóºòüñÿ<br />
òàêèì ÷èíîì. Ðîçãëÿíåìî ë³í³éíå îäíîð³äíå ð³âíÿííÿ<br />
y′ + P( x) y = 0, ÿêå îòðèìàíî ç (11.5.1) ïðè Q(x) ≡ 0. Â öüîìó<br />
ð³âíÿíí³ çì³íí³ ëåãêî â³äîêðåìëþþòüñÿ.  ðåçóëüòàò³ ìàºìî<br />
dy<br />
=−Pxy ( ) ⇒ ln y =− ∫ Pxdx ( ) + lnc,<br />
dx<br />
äå äëÿ çðó÷íîñò³ äîâ³ëüíà ñòàëà çîáðàæåíà ÿê ln ⏐c⏐. ϳñëÿ<br />
ïîòåíö³þâàííÿ îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ îòðèìàºìî çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê<br />
îäíîð³äíîãî ë³í³éíîãî ð³âíÿííÿ ïåðøîãî ïîðÿäêó:<br />
( )<br />
y x<br />
P( x)<br />
dx<br />
= ce −∫<br />
. (11.5.2)<br />
Áóäåìî òåïåð ââàæàòè â (11.5.2) ñ íåâ³äîìîþ ôóíêö³ºþ<br />
â³ä x ³ âèçíà÷èìî ¿¿ ç óìîâè çàäîâîëåííÿ ðîçâ’ÿçêó<br />
( )<br />
y x<br />
P( x)<br />
dx<br />
= c( x)<br />
e − ∫<br />
(11.5.3)<br />
ð³âíÿííÿ (11.5.1). Äèôåðåíö³þþ÷è (11.5.3) ³ ï³äñòàâëÿþ÷è<br />
äî (11.5.1), îòðèìàºìî<br />
dc − P( x) dx P( x) dx P( x)<br />
dx<br />
e<br />
∫<br />
−<br />
c x P x e<br />
∫<br />
−<br />
c x P x e<br />
∫ Q x<br />
dx<br />
²íòåãðóþ÷è, ìàºìî<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
− + = ⇒<br />
( ) ( )<br />
P( x)<br />
dx<br />
⇒ c′<br />
x = Q x e ∫ .<br />
P( x)<br />
dx<br />
c( x) = Q( x)<br />
e<br />
∫<br />
∫ dx + c .<br />
1<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è äî (11.5.3) âèðàç äëÿ c(x), îòðèìàºìî<br />
P( x) dx P( x) dx P( x)<br />
dx<br />
y x = c e<br />
∫<br />
+ e<br />
∫<br />
Q x e<br />
∫<br />
∫ dx. (11.5.4)<br />
−<br />
−<br />
( ) 1<br />
( )<br />
Ïðèêëàä 11.5.1. Çíàéòè çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
dy<br />
dx<br />
y<br />
x<br />
2<br />
− = x . (11.5.5)<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ðîçãëÿíåìî ñïî÷àòêó â³äïîâ³äíå ë³í³éíå<br />
îäíîð³äíå ð³âíÿííÿ<br />
dy y<br />
− = 0 . (11.5.6)<br />
dx x<br />
dy dx<br />
 öüîìó ð³âíÿíí³ çì³íí³ â³äîêðåìëþþòüñÿ: = .<br />
y x<br />
²íòåãðóþ÷è,<br />
îòðèìàºìî<br />
y = cx. (11.5.7)<br />
420 421
 îòðèìàíîìó çàãàëüíîìó ðîçâ’ÿçêó ð³âíÿííÿ (11.5.6)<br />
çàì³íèìî ñòàëó c ôóíêö³ºþ c(x), òîáòî y = c(x)x. Äèôåðåíö³þþ÷è<br />
y, çíàõîäèìî:<br />
y′ = c′<br />
( x) x + c( x)<br />
. (11.5.8)<br />
ϳäñòàâëÿºìî äî ð³âíÿííÿ (11.5.5) øóêàíó ôóíêö³þ<br />
y = c(x)x ³ ¿¿ ïîõ³äíó (11.5.8):<br />
2<br />
′ + − = .<br />
c( x) x c( x) c( x)<br />
x<br />
2<br />
x<br />
Çâ³äñè c′ ( x) = x,<br />
³ cx ( ) = + c0,<br />
äå c<br />
2<br />
0 — äîâ³ëüíà ñòàëà.<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è c(x) äî (11.5.7), îñòàòî÷íî çíàõîäèìî çàãàëüíèé<br />
ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ:<br />
3<br />
x<br />
yx ( ) = + cx<br />
0 .<br />
2<br />
Ïðèêëàä 11.5.2. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ<br />
y′ − ytg<br />
x = ctg x. (11.5.9)<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Áóäåìî ðîçâ’ÿçóâàòè éîãî ìåòîäîì âàð³àö³¿<br />
äîâ³ëüíî¿ ñòàëî¿. Äëÿ öüîãî ðîçâ’ÿæåìî ñïî÷àòêó ë³í³éíå<br />
îäíîð³äíå ð³âíÿííÿ, â³äïîâ³äíå äî äàíîãî íåîäíîð³äíîãî<br />
y′ − ytg x = 0 .<br />
Öå ð³âíÿííÿ ç â³äîêðåìëþâàíèìè çì³ííèìè, òîìó ëåãêî<br />
ðîçâ’ÿçóºòüñÿ:<br />
dy<br />
dy<br />
= ytg x; = tg xdx;<br />
dx<br />
y<br />
dy<br />
∫ tg xdx; ln y ln cos x ln c<br />
y = ∫ = − + .<br />
²ç îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ îòðèìàºìî:<br />
c<br />
y = .<br />
cos x<br />
Ó çíàéäåíîìó çàãàëüíîìó ðîçâ’ÿçêó ë³í³éíîãî îäíîð³äíîãî<br />
ð³âíÿííÿ âàð³þºìî äîâ³ëüíó ñòàëó c, òîáòî øóêàºìî ðîçâ’ÿçîê<br />
ð³âíÿííÿ (11.5.9) ó âèãëÿä³<br />
cx ( )<br />
y = .<br />
cos x<br />
(11.5.10)<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è (11.5.10) äî íåîäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ<br />
(11.5.9), ìàºìî<br />
çâ³äêè<br />
c′<br />
( x) sinx tgx<br />
+ cx ( ) − cx ( ) = ctgx<br />
2<br />
,<br />
cos x cos x cos x<br />
2<br />
cos x<br />
c′ ( x) = , à<br />
sin x<br />
cos x 1 − sin x x<br />
cx ( ) = dx= dx= cosx+ ln tg + c<br />
sin x sin x<br />
2<br />
2 2<br />
∫ ∫ 0 .<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è çíàéäåíå c(x) â (11.5.10), îäåðæóºìî çàãàëüíèé<br />
ðîçâ’ÿçîê âèõ³äíîãî ð³âíÿííÿ:<br />
x<br />
ln tg 2 c0<br />
y = 1 + cos x<br />
+ .<br />
cos x<br />
Ïðèêëàä 11.5.3. Çíàéòè çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
2<br />
′ + = . (11.5.11)<br />
y 2xy e −x<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Øóêàòè ðîçâ’ÿçîê áóäåìî çà îïèñàíîþ<br />
ñõåìîþ. Ðîçãëÿäàºìî â³äïîâ³äíå îäíîð³äíå ð³âíÿííÿ<br />
y′ + 2xy<br />
= 0.<br />
⎛dy<br />
⎞<br />
³äîêðåìëþþ÷è çì³íí³ ⎜ =−2xdx⎟<br />
³ ³íòåãðóþ÷è, îòðèìàºìî:<br />
⎝ y ⎠<br />
2<br />
2<br />
− x + ln c = ln y ; y = ce −x .<br />
422 423
Äàë³ âàð³þºìî ñòàëó ³ øóêàºìî ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
(11.31) ó âèãëÿä³<br />
2<br />
y = c( x)<br />
e −x . (11.5.12)<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è ôóíêö³þ (11.5.12) ³ ¿¿ ïîõ³äíó äî (11.5.11)<br />
( ( ) −x<br />
)<br />
2 2 −x<br />
y′ = c′<br />
x e − xe 2<br />
c ( x ) , ïåðåéäåìî äî ïðîñòîãî äèôåðåíö³àëüíîãî<br />
ð³âíÿííÿ â³äíîñíî c(x):<br />
2 2<br />
−x<br />
−x<br />
′ = àáî ( ) 1<br />
c( x)<br />
e<br />
e<br />
c′ x = .<br />
Î÷åâèäíî, ùî c(x) =x + c 0 ³ øóêàíèé ðîçâ’ÿçîê áóäå âèãëÿäàòè<br />
òàê:<br />
2 2<br />
−x<br />
−x<br />
y = xe + c e , c = const.<br />
0 0<br />
Çàóâàæåííÿ 1.  íàâåäåíèõ ïðèêëàäàõ ëåãêî ïîáà÷èòè<br />
çàêîíîì³ðí³ñòü: çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ë³í³éíîãî íåîäíîð³äíîãî<br />
ð³âíÿííÿ çîáðàæåíî ó âèãëÿä³ ñóìè çàãàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó<br />
ë³í³éíîãî îäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ ³ ÷àñòèííîãî ðîçâ’ÿçêó<br />
íåîäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ.<br />
Äðóãèé ìåòîä (ìåòîä Áåðíóëë³ – Ôóð’º) ðîçâ’ÿçàííÿ ð³âíÿííÿ<br />
âèãëÿäó (11.5.1) ïîëÿãຠâ çàì³í³ ôóíêö³¿ y äîáóòêîì<br />
äâîõ äîïîì³æíèõ ôóíêö³é: y = uv. ˳í³éíå ð³âíÿííÿ<br />
ïðè öüîìó çâîäèòüñÿ äî äâîõ ð³âíÿíü ç â³äîêðåìëþâàíèìè<br />
çì³ííèìè â³äíîñíî êîæíî¿ ç äîïîì³æíèõ ôóíêö³é u ³ v.<br />
ijéñíî, ï³äñòàâëÿþ÷è âèðàç äëÿ y ³ y′ äî (11.5.1), îòðèìà-<br />
ºìî<br />
uv ′ + vu ′ + P x uv= Q x ⇒ u′ + P x u v+ vu ′ = Q x .<br />
( ) ( ) ( ( ) ) ( )<br />
Âèáåðåìî ìíîæíèê u òàêèì, ùîá u′ + P( x) u = 0. Òîä³<br />
( )<br />
vu ′ = Q x . Îñòàíí³ äâà ð³âíÿííÿ ëåãêî ðîçâ’ÿçóþòüñÿ:<br />
Pxdx ( )<br />
u = e − ∫<br />
(äèâ. ôîðìóëó (11.5.2), äå c = 1) ³<br />
îñòàòî÷íî<br />
Pxdx ( )<br />
Pxdx ( )<br />
v′ = Q x e<br />
∫<br />
⇒ v = Q x e<br />
∫<br />
∫ dx + c ,<br />
( )<br />
1<br />
( )<br />
−∫ ( ) −∫ ( ) ∫ ( )<br />
( )<br />
Pxdx Pxdx Pxdx<br />
y = c e + e ∫ Q x e dx ,<br />
1<br />
ùî çá³ãàºòüñÿ ç ôîðìóëîþ (11.5.4). Ïðî³ëþñòðóºìî ìåòîä<br />
ïðèêëàäàìè.<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Çà äîïîìîãîþ ï³äñòàíîâêè y = uv<br />
( y′ = uv ′ + vu ′ ) ðîçâ’ÿçóºòüñÿ òàêîæ ð³âíÿííÿ Áåðíóëë³<br />
n<br />
y′ + P( x) y = y Q( x)<br />
, ùî â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ë³í³éíîãî òèì, ùî<br />
äî ïðàâî¿ ÷àñòèíè âõîäèòü ìíîæíèêîì ôóíêö³ÿ y â ñòåïåí³,<br />
â³äì³ííîìó â³ä íóëÿ é îäèíèö³.<br />
Ïðèêëàä 11.5.4. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ<br />
y′ − yctg<br />
x = sin x.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïîêëàäåìî y = uv, òîä³ y′ = u′ v + uv′<br />
³<br />
ð³âíÿííÿ ïåðåòâîðèòüñÿ äî âèãëÿäó:<br />
+ − = àáî ′ ( ′ ctg )<br />
uv ′ uv′<br />
uvctg<br />
x sin x<br />
uv+ u v − v x = sin x.<br />
Îñê³ëüêè îäíó ç äîïîì³æíèõ ôóíêö³é u àáî v ìîæíà<br />
óçÿòè äîâ³ëüíî, òî âèáåðåìî v ÿê äåÿêèé ÷àñòèííèé ³íòåãðàë<br />
ð³âíÿííÿ v′ − vctg x = 0 .<br />
Òîä³ äëÿ çíàõîäæåííÿ u îòðèìàºìî ùå îäíå ð³âíÿííÿ<br />
uv ′ = sin x.<br />
Ðîçâ’ÿçóºìî ïåðøå ð³âíÿííÿ, âèçíà÷àþ÷è â³äì³ííèé â³ä<br />
íóëÿ ÷àñòèííèé ³íòåãðàë<br />
dv<br />
ctg xdx ln v ln sin x v sin x<br />
v = ⇒ = ⇒ = .<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è v äî äðóãîãî ð³âíÿííÿ ³ ðîçâ’ÿçóþ÷è éîãî,<br />
çíàéäåìî u ÿê çàãàëüíèé ³íòåãðàë öüîãî ð³âíÿííÿ<br />
u′ sin x = sin x ⇒ du = dx ⇒ u = x + c .<br />
Îòæå, îñòàòî÷íî<br />
y = uv = ( x+ c)sin<br />
x.<br />
Ïðèêëàä 11.5.5. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ<br />
2 2 3<br />
xyy′ + xy = 1 .<br />
424 425
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ðîçä³ëèìî îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíÿííÿ íà<br />
x 2 y 2 :<br />
y −2<br />
1<br />
y′ + = y<br />
2 .<br />
x x<br />
Îòðèìàºìî ð³âíÿííÿ Áåðíóëë³, äå P(x) =x –1 , Q(x) =x –2 .<br />
Ïîêëàäåìî y = uv,<br />
y′ = uv ′ + uv′<br />
,<br />
uv 1<br />
⎛ v ⎞ 1<br />
uv ′ + uv′<br />
+ =<br />
2 2 2 àáî uv ′ + u⎜v′<br />
+ =<br />
2 2 2<br />
x xuv<br />
x<br />
⎟ .<br />
⎝ ⎠ xuv<br />
Çâ³äñè îäåðæóºìî äâà ð³âíÿííÿ:<br />
v<br />
1<br />
v′ + = 0 i uv ′ =<br />
2 2 2 .<br />
x<br />
xuv<br />
Ðîçâ’ÿçóºìî ïåðøå ð³âíÿííÿ<br />
dv dx<br />
1<br />
+ = 0 ⇒ lnv + lnx = 0 ⇒ vx = 1, v = .<br />
v x x<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è v äî äðóãîãî ð³âíÿííÿ ³ ðîçâ’ÿçóþ÷è éîãî,<br />
çíàõîäèìî<br />
′ 3 2<br />
1 2 3<br />
= ⇒ 3<br />
2<br />
udu = xdx ⇒ = + , u = x + c .<br />
2<br />
u u x c<br />
x u<br />
3 2 3 2<br />
Îòæå,<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ:<br />
x<br />
11.22. y y e<br />
y<br />
3<br />
2x<br />
c<br />
= uv = 3 + . 3<br />
2<br />
′ − = ; 11.23 ( )<br />
x<br />
x + 1 y′<br />
+ 4xy<br />
= 3;<br />
11.24. y′ + y = x y ;<br />
1 − x y′<br />
+ y = e −x , çà óìîâîþ y(2) = 0;<br />
11.25. ( )( )<br />
11.26. ydx − (3x + 1 + ln y) dy = 0 , çà óìîâîþ<br />
1<br />
y ⎛<br />
⎜− ⎞ = 1<br />
3<br />
⎟ ;<br />
⎝ ⎠<br />
11.27. ( )<br />
′ 4 + 2 + 2 = 0, çà óìîâîþ (2) 8 /<br />
y x y<br />
y = π.<br />
11.6. ˲ͲÉͲ ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜͲ<br />
вÂÍßÍÍß ÄÐÓÃÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÓ<br />
˳í³éí³ äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ (ËÄÐ) ÿâëÿþòü ñîáîþ<br />
ïðîñòèé ³ äîáðå âèâ÷åíèé òèï ð³âíÿíü. Çàâåðøåííÿ òåîð³¿<br />
ËÄÐ äðóãîãî ïîðÿäêó äîçâîëÿº åôåêòèâíî äîñë³äæóâàòè<br />
ïðèêëàäí³ çàäà÷³, ÿê³ çâîäÿòüñÿ äî íèõ. Öå çàäà÷³ ìåõàí³êè,<br />
åëåêòðîòåõí³êè, ô³çèêè, ³, çîêðåìà, åêîíîì³êè.<br />
11.6.1. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ ³ îçíà÷åííÿ<br />
гâíÿííÿ âèãëÿäó<br />
( ) ( ) ( )<br />
y′′ + p x y′<br />
+ q x y = f x (x ∈ (a, b)), (11.6.1)<br />
äå ôóíêö³¿ p(x), q(x) ³ f(x) — â³äîì³ òà íåïåðåðâí³ íà ³íòåðâàë³<br />
(a, b), à øóêàíà ôóíêö³ÿ y — äâ³÷³ íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíà<br />
ôóíêö³ÿ íà íüîìó, íàçèâàºòüñÿ ë³í³éíèì äèôåðåíö³àëüíèì<br />
ð³âíÿííÿì äðóãîãî ïîðÿäêó.<br />
ßêùî f(x) ≡ 0, òî ð³âíÿííÿ (11.6.1) íàçèâàºòüñÿ ë³í³éíèì<br />
îäíîð³äíèì ð³âíÿííÿì. ßêùî æ f(x) ≠ 0, òî ð³âíÿííÿ (11.6.1)<br />
íàçèâàºòüñÿ ë³í³éíèì íåîäíîð³äíèì ð³âíÿííÿì.<br />
Ðîçâ’ÿçóþ÷è ð³âíÿííÿ (11.6.1) â³äíîñíî äðóãî¿ ïîõ³äíî¿<br />
y′′ =−p x y′<br />
− q x y + f x , ìè áà÷èìî, ùî<br />
øóêàíî¿ ôóíêö³¿: ( ) ( ) ( )<br />
âîíî º îêðåìèì âèïàäêîì ð³âíÿííÿ y′′ ( x, y,<br />
y′<br />
)<br />
=ϕ ³ çàäîâîëüíÿº<br />
óìîâè òåîðåìè ³ñíóâàííÿ òà ºäèíîñò³ ðîçâ’ÿçêó (ï. 11.4).<br />
ijéñíî, ôóíêö³ÿ ϕ ( xyy , , ′) = −px ( ) y′<br />
− qx ( ) y+ f( x)<br />
— íåïåðåðâíà<br />
ÿê ôóíêö³ÿ òðüîõ çì³ííèõ, x, y òà y′ (ïåðåâ³ðòå!). Íåïå-<br />
ϕ xyy′ , , ïî y òà y′:<br />
ðåðâí³ òàêîæ ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ôóíêö³¿ ( )<br />
ϕ ′ ( xyy , , ′) = −qx ( ), ϕ ′′<br />
( xyy , , ′) = − px ( ).<br />
y<br />
Òîìó çà òåîðåìîþ Êîø³ 11.4.2 ïðè áóäü-ÿêèõ ïî÷àòêîâèõ<br />
y′ x0 = y′<br />
0 (x 0 ∈ (a, b)) ð³âíÿííÿ (11.6.1) ìàº<br />
ºäèíèé ðîçâ’ÿçîê.<br />
Âèâ÷åííÿ ËÄÐ äðóãîãî ïîðÿäêó ìè ïî÷íåìî ç îäíîð³äíèõ.<br />
óìîâàõ y(x 0 )=y 0 , ( )<br />
y<br />
426 427
11.6.2. ˳í³éí³ îäíîð³äí³ äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ<br />
äðóãîãî ïîðÿäêó<br />
Ñïî÷àòêó â³äçíà÷èìî îäíó âàæëèâó âëàñòèâ³ñòü ë³í³éíèõ<br />
îäíîð³äíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü (ËÎÄÐ) ó âèãëÿä³ òåîðåìè.<br />
Òåîðåìà 11.6.1. Íåõàé ôóíêö³¿ y 1 (x) ³ y 2 (x) — ðîçâ’ÿçêè<br />
ËÎÄÐ<br />
Òîä³ ôóíêö³ÿ<br />
( ) ( ) 0<br />
y′′ + p x y′<br />
+ q x y = (x ∈ (a, b)). (11.6.2)<br />
( ) ( )<br />
y = C y x + C y x<br />
(11.6.3)<br />
1 1 2 2<br />
ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åííÿõ ñòàëèõ C 1 òà C 2 òàêîæ º ðîçâ’ÿçêîì<br />
ð³âíÿííÿ (11.6.2).<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Ç ð³âíîñò³ (11.6.2) ïîñë³äîâíî çíàõîäèìî:<br />
( ) ( )<br />
y′ = C y′ x + C y′<br />
x , (11.6.4)<br />
1 1 2 2<br />
( ) ( )<br />
y′′ = C y′′ x + C y′′<br />
x<br />
(11.3.5)<br />
1 1 2 2<br />
³ ï³äñòàâëÿºìî ¿õ â ë³âó ÷àñòèíó ð³âíÿííÿ (11.6.2). Çàâäÿêè<br />
ë³í³éí³é ñòðóêòóð³ âèðàç³â (11.6.3) – (11.6.5) â³äíîñíî yi<br />
( x ),<br />
y′ ( x)<br />
, y′′ ( x)<br />
, i = 1,2 é âëàñòèâîñòÿì ïîõ³äíèõ îòðèìàºìî,<br />
i<br />
ùî<br />
i<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
C1 ⎡⎣y′′ 1<br />
x + p x y′<br />
1<br />
x + q x y1<br />
x ⎤⎦<br />
+<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
+ C2 ⎡⎣y′′ 2<br />
x + p x y′<br />
2<br />
x + q x y2<br />
x ⎤⎦<br />
≡<br />
≡ C ⋅ 0+ C ⋅0 ≡ 0. (11.6.6)<br />
1 2<br />
Ïðè äîâåäåíí³ òîòîæíîñò³ (11.6.6) ìè âðàõóâàëè, ùî y 1 (x)<br />
³ y 2 (x) º ðîçâ’ÿçêè ð³âíÿííÿ (11.6.2). Òàêèì ÷èíîì, ôóíêö³ÿ<br />
y, ÿêà ïîáóäîâàíà çà ôîðìóëîþ (11.6.3), º ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ<br />
(11.6.2).<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Ôóíêö³ÿ âèäó y C y ( x) C y ( x)<br />
= + ç äîâ³ëüíèìè ñòàëèìè<br />
1 1 2 2<br />
º ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ (11.6.2). Ïðèðîäíî âèïëèâຠïèòàííÿ,<br />
÷è º öåé ðîçâ’ÿçîê çàãàëüíèì ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ (11.3.2).<br />
Äëÿ òîãî ùîá â³äïîâ³ñòè íà òàêå çàïèòàííÿ, ðîçãëÿíåìî â<br />
íàñòóïíîìó ïóíêò³ òàê³ ïîíÿòòÿ, ÿê ë³í³éíà çàëåæí³ñòü òà<br />
íåçàëåæí³ñòü ôóíêö³é.<br />
11.6.3. ˳í³éíî çàëåæí³ òà íåçàëåæí³ ôóíêö³¿<br />
íà ³íòåðâàë³ (a, b)<br />
Îçíà÷åííÿ 11.6.1. Ôóíêö³¿ y i (x), i = 1,2 íàçèâàþòüñÿ ë³í³éíî<br />
íåçàëåæíèìè (ËÍÇ) íà ³íòåðâàë³ (a, b), ÿêùî òîòîæí³ñòü<br />
( ) ( )<br />
α<br />
1y1 x + α2y2 x ≡ 0, α = const, i = 1,2 (11.6.7)<br />
i<br />
âèêîíóºòüñÿ ò³ëüêè ïðè α<br />
i<br />
= 0 , i = 1, 2 ; ó ïðîòèâíîìó ðàç³<br />
âîíè íàçèâàþòüñÿ ë³í³éíî çàëåæíèìè.<br />
Çàóâàæåííÿ. Íå âèêëþ÷àºòüñÿ âèïàäîê, êîëè a =–∞, a<br />
b = ∞.<br />
Íàâåäåìî íèçêó ïðèêëàä³â.<br />
Ïðèêëàä 11.6.1. Äîâåñòè, ùî ôóíêö³¿<br />
kx<br />
( ) ( ) ( )<br />
1 kx<br />
= , = 2<br />
, ∈ , ≠<br />
y x e y x e x R k k (11.6.8)<br />
1 2 1 2<br />
ë³í³éíî íåçàëåæí³.<br />
Äîâåäåííÿ áóäåìî ïðîâîäèòè ìåòîäîì â³ä ñóïðîòèâíîãî.<br />
Ïðèïóñòèìî, ùî ìຠì³ñöå òîòîæí³ñòü (11.6.7) çà óìîâè,<br />
ùî õî÷à á îäíå ³ç ÷èñåë α 1 , α 2 íå äîð³âíþº íóëþ. Íàïðèêëàä,<br />
α 2 ≠ 0. Òîä³ òîòîæí³ñòü (11.6.7) ç óðàõóâàííÿì (11.6.8)<br />
ìîæíà ïåðåïèñàòè òàê:<br />
( k k ) x<br />
e − α<br />
≡− α<br />
. (11.6.9)<br />
2 1 1<br />
Îòðèìàëè ñóïåðå÷í³ñòü, îñê³ëüêè ë³âà ÷àñòèíà òîòîæíîñò³<br />
(11.6.9) çì³íþºòüñÿ, à ïðàâà ÷àñòèíà º êîíñòàíòà. Îòæå,<br />
α 2 = 0. Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ, ùî ³ α 1 = 0. Öå îçíà÷àº, ùî<br />
ôóíêö³¿ (11.6.8) ë³í³éíî íåçàëåæí³.<br />
2<br />
428 429
Ïðèêëàä 11.6.2. Ïîêàçàòè, ùî ôóíêö³¿ ( )<br />
( )<br />
1<br />
kx<br />
= ,<br />
y x e<br />
y2 x = 5e<br />
kx (k ∈ R ) ë³í³éíî çàëåæí³ íà (–∞, ∞), òîáòî ë³í³éíî<br />
çàëåæí³ ïðè x ∈ R .<br />
Ä î â å ä å í í ÿ. Ñêëàäåìî ë³í³éíó êîìá³íàö³þ<br />
( )<br />
α e + α 5e = e α + 5α .<br />
kx kx kx<br />
1 2 1 2<br />
ßêùî òåïåð ó ö³é ð³âíîñò³ ïîêëàäåìî α 1 =–5α 2 , α 2 ≠ 0, òî<br />
∀x∈R áóäåìî ìàòè òîòîæí³ñòü<br />
kx<br />
α e + 5α e ≡ 0,<br />
kx<br />
1 2<br />
ïðè÷îìó α 1 ³ α 2 íå äîð³âíþþòü íóëþ.<br />
Çã³äíî ç îçíà÷åííÿì 11.6.1 ôóíêö³¿<br />
1 ( )<br />
( ) = ë³í³éíî çàëåæí³ ïðè x∈R.<br />
Çàóâàæåííÿ 1. Ó ïðèêëàä³ 11.6.2 y2( x) 5y1( x)<br />
y x e<br />
2<br />
5 kx<br />
y x e<br />
kx<br />
= òà<br />
= . Ïðè<br />
öüîìó âèÿâèëîñÿ, ùî âîíè ë³í³éíî çàëåæí³. Öåé ïðèêëàä<br />
óçàãàëüíþºòüñÿ. Ìຠì³ñöå òàêå òâåðäæåííÿ: äëÿ òîãî ùîá<br />
ôóíêö³¿ y 1 (x) òà y 2 (x) áóëè ë³í³éíî çàëåæíèìè, íåîáõ³äíî ³<br />
äîñòàòíüî, ùîá âîíè áóëè ïðîïîðö³éíèìè, òîáòî áóëè ïîâ’ÿçàí³<br />
òîòîæí³ñòþ<br />
( ) ≡λ ( ) àáî y ( x) y ( x)<br />
y x y x<br />
2 1<br />
1 2<br />
≡λ , x∈(a, b). (11.6.10)<br />
Í å î á õ³ ä í ³ ñ ò ü. Ôóíêö³¿ y 1 (x) òà y 2 (x) ë³í³éíî çàëåæí³,<br />
öå îçíà÷àº, ùî ³ñíóþòü òàê³ ÷èñëà α 1 ³ α 2 , ç ÿêèõ õî÷à á<br />
îäíå â³äì³ííå â³ä íóëÿ, òà ìຠì³ñöå òîòîæí³ñòü (11.6.7).<br />
Äëÿ êîíêðåòíîñò³ áóäåìî ââàæàòè, ùî öå ÷èñëî α 2 . Òîä³ ³ç<br />
òîòîæíîñò³ (11.6.7) âèïëèâຠy ( ) 1<br />
2<br />
x y1( x)<br />
α<br />
α<br />
≡− α<br />
2<br />
. Ïîçíà÷èìî<br />
1<br />
λ=− α<br />
. Òîä³ y 2 (x) =λy 1 (x) ³ ä³éñíî ìຠì³ñöå (11.6.10).<br />
2<br />
Äîñòàòí³ñòü. Íåõàé ôóíêö³¿ y 1 (x) òà y 2 (x) ïîâ’ÿçàí³<br />
òîòîæí³ñòþ (11.6.10). Íàïðèêëàä, ïåðøîþ, òîä³ òîòîæí³ñòü<br />
ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³:<br />
( ) ( )<br />
1⋅y x −λy x ≡ 0. (11.6.11)<br />
2 1<br />
гâí³ñòü (11.6.11) îçíà÷àº, ùî y 1 (x) òà y 2 (x) ë³í³éíî çàëåæí³.<br />
Öå ä³éñíî òàê, òîìó ùî ³ç äâîõ ÷èñåë 1 ³ λ ñàìå 1<br />
â³äì³ííå â³ä íóëÿ.<br />
Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ òâåðäæåííÿ ïðè α 1 ≠ 0.<br />
Îòæå, òâåðäæåííÿ äîâåäåíî. Íàäàë³, íå îáìåæóþ÷è çàãàëüíîñò³,<br />
áóäåìî ïðèïóñêàòè ïðè íàÿâíîñò³ çàëåæíîñò³ ôóíêö³¿<br />
y 1 (x) òà y 2 (x) ïåðøèé çàïèñ (11.6.10).<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Î÷åâèäíî, ùî ÿêùî ôóíêö³¿ y 1 (x) òà<br />
y1<br />
( x)<br />
const<br />
y2<br />
( x)<br />
≠ .<br />
Ïðèêëàä 11.6.3. Äîâåñòè, ùî ôóíêö³¿ ( )<br />
y 2 (x) ë³í³éíî íåçàëåæí³, òî â³äíîøåííÿ<br />
2<br />
( )<br />
y x xe<br />
kx<br />
= , k∈R ë³í³éíî íåçàëåæí³ ïðè x∈R.<br />
Äîâåäåííÿ. Ðîçãëÿíåìî â³äíîøåííÿ<br />
1<br />
kx<br />
= ,<br />
y x e<br />
y2<br />
( x)<br />
y2<br />
( x)<br />
y ( x )<br />
( )<br />
1<br />
x<br />
y x = ,<br />
x∈R. Îñê³ëüêè x çì³ííà, òî çã³äíî ç çàóâàæåííÿì 2 ôóíêö³¿<br />
y 1 (x) òà y 2 (x) ë³í³éíî íåçàëåæí³. Ùî ³ òðåáà áóëî äîâåñòè.<br />
Çà îçíà÷åííÿì ç’ÿñóâàòè ë³í³éíó çàëåæí³ñòü àáî ë³í³éíó<br />
íåçàëåæí³ñòü ÷àñòî áóâຠâàæêî. Ó çâ’ÿçêó ç öèì âèíèêàþòü<br />
ïðîáëåìè. Âèð³øåííþ ¿õ äîïîìàãຠâèçíà÷íèê Âðîíñüêîãî<br />
1 y1 y2<br />
= yy′ 1 2<br />
− yy′<br />
2 1<br />
y′ y′<br />
. (11.6.12)<br />
1 2<br />
Âèçíà÷íèê Âðîíñüêîãî (âðîíñê³àí) ÿâëÿº ñîáîþ ôóíêö³þ,<br />
âèçíà÷åíó íà (a, b), ³ ïîçíà÷àºòüñÿ W(y 1 , y 2 ) àáî ïðîñòî W(x).<br />
Òåîðåìà 11.6.2. ßêùî ôóíêö³¿ y 1 (x) ³ y 2 (x) ë³í³éíî<br />
çàëåæí³ íà (a, b), òî âèçíà÷íèê Âðîíñüêîãî, ñêëàäåíèé ç íèõ,<br />
äîð³âíþº íóëþ íà öüîìó ³íòåðâàë³.<br />
Äîâåäåííÿ. Îñê³ëüêè ôóíêö³¿ y 1 (x) ³ y 2 (x) ë³í³éíî çàëåæí³,<br />
òî ó â³äïîâ³äíîñò³ äî çàóâàæåííÿ 1 âîíè ïîâ’ÿçàí³<br />
ì³æ ñîáîþ ð³âí³ñòþ:<br />
1<br />
Âðîíñüêèé Þçåô (1775 – 1853) — ïîëüñüêèé ìàòåìàòèê.<br />
1<br />
430 431
Òîä³<br />
( ) ( )<br />
y2 x ≡λy1 x , λ= const. (11.6.13)<br />
( ) ( )<br />
y′ x ≡λ y′<br />
x . (11.6.14)<br />
2 1<br />
ϳäñòàâèìî (11.6.13) – (11.6.14) ó âèçíà÷íèê Âðîíñüêîãî.<br />
 ðåçóëüòàò³ ìàòèìåìî<br />
( )<br />
y y y λy<br />
= = = 0 ∀ ∈( , ). (11.6.15)<br />
1 2 1 1<br />
W y x a b<br />
y′ 1<br />
y′ 2<br />
y′ 1<br />
λy′<br />
1<br />
Òóò â îñòàííüîìó ëàíöþæêó ð³âíîñòåé ìè ñêîðèñòàëèñÿ<br />
âëàñòèâ³ñòþ âèçíà÷íèêà (äèâ. 2.3.2).<br />
Îòæå, òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Òåîðåìà 11.6.3. ßêùî ðîçâ’ÿçêè y 1 (x) ³ y 2 (x) ËÎÄÐ<br />
(11.6.1) ë³í³éíî íåçàëåæí³ íà (a, b), òî âèçíà÷íèê Âðîíñüêîãî,<br />
ñêëàäåíèé ç íèõ, â³äì³ííèé â³ä íóëÿ íà öüîìó ³íòåðâàë³.<br />
Ä î â å ä å í í ÿ áóäåìî ïðîâîäèòè ìåòîäîì â³ä ñóïðîòèâíîãî.<br />
Ïðèïóñòèìî, ùî ³ñíóº òî÷êà x 0 ∈(a, b), â ÿê³é âðîíñê³àí<br />
ïåðåòâîðþºòüñÿ â íóëü, òîáòî W(x 0 ) = 0. Ñêëàäåìî ñèñòåìó<br />
ð³âíÿíü<br />
⎧α ⎪ 1y1( x0) +α<br />
2y2( x0)<br />
= 0<br />
⎨<br />
⎪⎩ α 1y′ 1( x0) +α 2y′<br />
2( x0)<br />
= , (11.6.16)<br />
0<br />
â ÿê³é α 1 ³ α 2 — íåâ³äîì³ ÷èñëà. Îñê³ëüêè âèçíà÷íèê ö³º¿<br />
ñèñòåìè<br />
( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
y x y x<br />
( ) 0<br />
′ ′ ,<br />
1 0 2 0<br />
∆= = W x0<br />
=<br />
y1 x0 y2 x0<br />
òî âîíà ìຠ(äèâ. ï. 3.6.2) íåòðèâ³àëüíèé ðîçâ’ÿçîê â³äíîñíî<br />
α 1 ³ α 2 (òîáòî õî÷à á îäíå ç íèõ â³äì³ííå â³ä íóëÿ).<br />
Ðîçãëÿíåìî òåïåð ôóíêö³þ<br />
( ) ( ) ( )<br />
y x =α y x +α y x ,<br />
1 1 2 2<br />
äå α 1 ³ α 2 — íåòðèâ³àëüí³ ðîçâ’ÿçêè ñèñòåìè (11.6.16).<br />
Çà òåîðåìîþ 11.6.1 öÿ ôóíêö³ÿ º ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ<br />
(11.6.2). Êð³ì öüîãî, îñê³ëüêè α 1 ³ α 2 — ðîçâ’ÿçêè ñèñòåìè<br />
(11.6.2), òî ôóíêö³ÿ y(x) çã³äíî ç (11.6.16) çàäîâîëüíÿº íóëüîâ³<br />
ïî÷àòêîâ³ óìîâè<br />
( ) ′<br />
0 ( 0)<br />
y x = 0, y x = 0 . (11.6.17)<br />
ßñíî, ùî òàê³ ïî÷àòêîâ³ óìîâè çàäîâîëüíÿº ³ ôóíêö³ÿ<br />
y(x) ≡ 0. Çà òåîðåìîþ ³ñíóâàííÿ òà ºäèíîñò³, ðîçâ’ÿçîê<br />
y(x) ≡ 0 º ºäèíèì ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ (11.6.2) ç ïî÷àòêîâèìè<br />
óìîâàìè (11.6.17). Îòæå y ( x) y ( x)<br />
1 1 2 2<br />
0<br />
α +α ≡ íà ³íòåðâàë³<br />
(a, b), à öå îçíà÷àº, ùî ôóíêö³¿ y 1 (x) ³ y 2 (x) ë³í³éíî çàëåæí³.<br />
Îòðèìàëè ñóïåðå÷í³ñòü, ÿêà é äîâîäèòü òåîðåìó.<br />
Âñòàíîâèìî òåïåð, çà ÿêèõ óìîâ ôóíêö³ÿ<br />
y( x) = C1y1( x) + C2y2( x)<br />
º çàãàëüíèì ðîçâ’ÿçêîì ËÎÄÐ<br />
(11.6.2).<br />
Òåîðåìà 11.6.4 (ïðî ñòðóêòóðó çàãàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó<br />
ËÎÄÐ). ßêùî ôóíêö³¿ y 1 (x) ³ y 2 (x) ë³í³éíî íåçàëåæí³ ðîçâ’ÿçêè<br />
ð³âíÿííÿ (11.6.2), òî ôóíêö³ÿ<br />
( ) ( ) ( )<br />
y x = C y x + C y x (x∈(a, b)), (11.6.18)<br />
1 1 2 2<br />
äå C 1 ³ C 2 — äîâ³ëüí³ ñòàë³, ÿâëÿº ñîáîþ çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê<br />
ð³âíÿííÿ (11.6.1).<br />
Äîâåäåííÿ. Íàãàäàºìî, ùî íà ï³äñòàâ³ òåîðåìè 11.6.1<br />
ôóíêö³ÿ y = C1y1( x) + C2y2( x)<br />
ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åííÿõ ñòàëèõ<br />
C 1 ³ C 2 º ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ (11.6.1). Òåïåð, äëÿ òîãî<br />
ùîá äîâåñòè, ùî öÿ ôóíêö³ÿ º çàãàëüíèì ðîçâ’ÿçêîì, äîñòàòíüî<br />
âñòàíîâèòè, ùî ç íüîãî ìîæíà âèä³ëèòè ÷àñòèíí³ ðîçâ’ÿçêè.<br />
Íåõàé x 0 ∈(a, b) ³<br />
( ) , ( )<br />
y x = y y′ x = y′<br />
(11.6.19)<br />
0 0 0 0<br />
äîâ³ëüí³ ïî÷àòêîâ³ óìîâè.<br />
Ïîêàæåìî, ùî ñòàë³ C 1 ³ C 2 ìîæíà ï³ä³áðàòè òàê, ùî ðîçâ’ÿçîê<br />
âèãëÿäó (11.6.18) ïðè öèõ çíà÷åííÿõ ñòàëèõ ÿâëÿº<br />
ñîáîþ ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê, ÿêèé çàäîâîëüíÿº ïî÷àòêîâ³ óìîâè<br />
(11.6.19).<br />
432 433
Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ïî÷àòêîâèõ óìîâ (11.6.19) ñêëàäåìî<br />
ñèñòåìó<br />
( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
⎧ ⎪Cy 1 1<br />
x0 + Cy<br />
2 2<br />
x0 = y0<br />
⎨<br />
Cy′ 1 1<br />
x0 Cy′ 2 2<br />
x0 y′<br />
, (11.6.20)<br />
⎪⎩ + =<br />
0<br />
â ÿê³é C 1 ³ C 2 — íåâ³äîì³ ÷èñëà.<br />
Íåâàæêî ïîáà÷èòè, ùî âèçíà÷íèê ö³º¿ ñèñòåìè º âèçíà÷íèêîì<br />
Âðîíñüêîãî. Îñê³ëüêè çà óìîâîþ òåîðåìè ôóíêö³¿<br />
y 1 (x) ³ y 2 (x) — ë³í³éíî íåçàëåæí³ íà (a, b), òî çàâäÿêè òåîðåì³<br />
11.6.3 W(x 0 ) ≠ 0. Òîìó ñèñòåìà (11.6.20) ìຠºäèíèé ðîçâ’ÿçîê,<br />
ÿêèé ìè ïîçíà÷èìî òàê: C = C , C = C .<br />
0<br />
0<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è<br />
0<br />
1<br />
1 1<br />
2 2<br />
0<br />
C ³ C â ð³âí³ñòü (11.6.18), îòðèìàºìî øóêàíèé ÷àñòèííèé<br />
2<br />
ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ (11.3.1): y( x) C 0 y ( x) C 0 y ( x)<br />
= + , ÿêèé<br />
1 1 2 2<br />
çàäîâîëüíÿº ïî÷àòêîâ³ óìîâè (11.6.19). Öå ³ îçíà÷àº, ùî ðîçâ’ÿçîê<br />
(11.6.18) º çàãàëüíèì ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ (11.6.2).<br />
11.7. ˲ͲÉͲ ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜͲ<br />
вÂÍßÍÍß ÄÐÓÃÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÓ<br />
Dz ÑÒÀËÈÌÈ ÊÎÅÔ²Ö²ªÍÒÀÌÈ<br />
11.7.1. Îäíîð³äí³ ð³âíÿííÿ<br />
Çàãàëüíèé âèãëÿä îäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ:<br />
y′′ + py′<br />
+ qy = 0 (x∈R), (11.7.1)<br />
äå p ³ q — ñòàë³.<br />
Çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ (11.7.1)<br />
ïîâ’ÿçàíèé ç ðîçâ’ÿçàííÿì õàðàêòåðèñòè÷íîãî ð³âíÿííÿ<br />
2<br />
k pk q<br />
+ + = 0 . (11.7.2)<br />
kx<br />
= , äå k — ñòàëà, ùî ï³äëÿãຠâè-<br />
ijéñíî, ïîêëàäåìî y e<br />
kx<br />
çíà÷åííþ. ϳäñòàâèìî y = e äî ð³âíÿííÿ (11.7.1). Âðàõîâóþ÷è,<br />
ùî y′ = ke , y′′ = k e îäåðæèìî, ùî<br />
kx<br />
2 kx<br />
∀x∈R:<br />
2<br />
( )<br />
kx<br />
e k + pk + q = 0 .<br />
kx<br />
kx<br />
Îñê³ëüêè e ≠ 0 ∀x∈R , òî ôóíêö³ÿ y = e áóäå ðîçâ’ÿçêîì<br />
ð³âíÿííÿ (11.7.1) ò³ëüêè ïðè çä³éñíåíí³ âèìîãè<br />
(11.7.2).  çàëåæíîñò³ â³ä âèäó êîðåí³â õàðàêòåðèñòè÷íîãî<br />
ð³âíÿííÿ (11.7.2) áóäóþòüñÿ ð³çí³ âèäè çàãàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó<br />
ð³âíÿííÿ (11.7.1), àëå ñòðóêòóðà çàãàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó<br />
ð³âíÿííÿ (11.7.1) îäíà é òà ñàìà:<br />
( ) ( )<br />
y = c y x + c y x ,<br />
1 1 2 2<br />
äå y 1 (x) ³ y 2 (x) ë³í³éíî íåçàëåæí³ (ËÍÇ) ðîçâ’ÿçêè ð³âíÿííÿ<br />
(11.7.1), à c 1 ³ c 2 — äîâ³ëüí³ ñòàë³.<br />
Ïîøóê ËÍÇ ðîçâ’ÿçê³â ð³âíÿííÿ (11.7.1) ïîâ’ÿçàíèé ç<br />
ìîæëèâèìè âàð³àíòàìè ðîçâ’ÿçêó õàðàêòåðèñòè÷íîãî ð³âíÿííÿ<br />
(11.7.2). Ö³ âàð³àíòè íàäàþòüñÿ ó íèæ÷å íàâåäåí³é<br />
òàáëèö³.<br />
Ïðèêëàä 11.7.1. Çíàéòè çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
y′′ − 5y′<br />
+ 6y<br />
= 0.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Õàðàêòåðèñòè÷íå ð³âíÿííÿ, ÿêå â³äïîâ³äíå<br />
äàíîìó äèôåðåíö³àëüíîìó ð³âíÿííþ, ìຠâèãëÿä:<br />
2<br />
k − 5k<br />
+ 6 = 0.<br />
Éîãî êîðåí³ k 1 = 2, k 2 = 3. Ôóíäàìåíòàëüíà (ËÍÇ) ñèñòåìà<br />
2x<br />
3x<br />
÷àñòèííèõ ðîçâ’ÿçê³â: y1<br />
= e , y2<br />
= e . Çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê<br />
ìຠâèãëÿä:<br />
y = c e + c e .<br />
2x<br />
3x<br />
1 1 2<br />
Ïðèêëàä 11.7.2. Çíàéòè çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
y′′ − 4y′<br />
+ 4y<br />
= 0.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Õàðàêòåðèñòè÷íå ð³âíÿííÿ<br />
2<br />
k − 4k<br />
+ 4 = 0<br />
ìຠð³âí³ êîðåí³ k 1 = k 2 = 2. Ôóíäàìåíòàëüíà (ËÍÇ) ñèñòåìà<br />
÷àñòèííèõ ðîçâ’ÿçê³â:<br />
y = e , y = xe .<br />
2x<br />
2x<br />
1 2<br />
434 435
2x<br />
Çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ y e ( c xc )<br />
= + .<br />
1 2<br />
Äèôåðåíö³àëüíå y′′ + py′<br />
+ qy = 0<br />
ð³âíÿííÿ<br />
2<br />
Õàðàêòåðèñòè÷íå k + pk+ q = 0<br />
ð³âíÿííÿ<br />
Êîðåí³ õàðàêòåðè- k1 ≠ k2<br />
k1 = k2<br />
= k k1<br />
ñòè÷íîãî ð³âíÿííÿ k2<br />
Ôóíäàìåíòàëüíà kx 1<br />
e<br />
(ËÍÇ) ñèñòåìà ÷àñ-<br />
x<br />
e k 2<br />
òèííèõ ðîçâ’ÿçê³â<br />
Âèä çàãàëüíîãî<br />
kx 1<br />
y = c1e<br />
+<br />
ðîçâ’ÿçêó<br />
kx 2<br />
ce<br />
2<br />
y<br />
kx<br />
e<br />
kx<br />
xe<br />
kx<br />
= ×<br />
+ ( c1 c2x)<br />
e<br />
e<br />
e<br />
αx<br />
αx<br />
=α+βi<br />
=α−βi<br />
cosβx<br />
sin βx<br />
y = e αx ×<br />
× + × ( c 1<br />
cos β x +<br />
+ c2 sin βx<br />
Ïðèêëàä 11.7.3. Çíàéòè çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
y′′ + 4y′<br />
+ 13y<br />
= 0.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Õàðàêòåðèñòè÷íå ð³âíÿííÿ<br />
2<br />
k + 4k<br />
+ 13 = 0 ìຠêîìïëåêñíî ñïðÿæåí³ (äèâ. äîä. 1) êîðåí³<br />
k1 =− 2+ 3 i, k2<br />
=−2− 3i<br />
. Ôóíäàìåíòàëüíà (ËÍÇ) ñèñòåìà<br />
÷àñòèííèõ ðîçâ’ÿçê³â<br />
y = e cos3 x, y = e sin 3x.<br />
−2x<br />
−2x<br />
1 2<br />
Çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ òàêèé:<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
= ( cos3 + sin 3 ) .<br />
−2x<br />
y e c1 x c2<br />
x<br />
Çíàéòè çàãàëüí³ ðîçâ’ÿçêè ð³âíÿíü:<br />
11.28 y′′ − 4y′<br />
+ 3y<br />
= 0; 11.29. y′′ + 5y′<br />
+ 6y<br />
= 0;<br />
)<br />
11.30. y′′ − 2y′<br />
+ y = 0; 11.31. y′′ − 10y′<br />
+ 25y<br />
= 0;<br />
11.32 y′′ − 6y′<br />
+ 9y<br />
= 0; 11.33. y′′ − 2y′<br />
+ 5y<br />
= 0;<br />
2<br />
11.34. y′′ +ω y = 0, ω> 0 ; 11.35. y′′ + y = 0 .<br />
11.7.2. Íåîäíîð³äí³ ð³âíÿííÿ<br />
Çàãàëüíèé âèä íåîäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ:<br />
y′′ + py′<br />
+ qy = f( x)<br />
(x∈R), (11.7.3)<br />
äå p ³ q — ñòàë³; f(x) — â³äîìà íåïåðåðâíà ôóíêö³ÿ.<br />
Íåâàæêî ïîêàçàòè, ùî çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
(11.7.3) ÿâëÿº ñîáîþ ñóìó ÷àñòèííîãî ðîçâ’ÿçêó íåîäíîð³äíîãî<br />
ð³âíÿííÿ ³ çàãàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó â³äïîâ³äíîãî îäíîð³äíîãî<br />
ð³âíÿííÿ (÷èòà÷åâ³ ðåêîìåíäóºòüñÿ öå çä³éñíèòè). ßê<br />
çíàõîäèòè çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê îäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ áóëî<br />
ïîêàçàíî âèùå. Äëÿ çíàõîäæåííÿ ÷àñòèííîãî ðîçâ’ÿçêó íåîäíîð³äíîãî<br />
ð³âíÿííÿ (11.7.3) ìîæíà çàñòîñóâàòè ìåòîä âàð³àö³¿<br />
äîâ³ëüíèõ ñòàëèõ. Öåé ìåòîä, âçàãàë³ êàæó÷è, çàñòîñîâóºòüñÿ<br />
äî áóäü-ÿêî¿ íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿ f(x). Îäíàê äëÿ<br />
ð³âíÿíü ç³ ñòàëèìè êîåô³ö³ºíòàìè, ïðàâ³ ÷àñòèíè ÿêèõ ìàþòü<br />
ñïåö³àëüíèé âèãëÿä, ³ñíóº á³ëüø ïðîñòèé ñïîñ³á çíàõîäæåííÿ<br />
÷àñòèííîãî ðîçâ’ÿçêó.<br />
Çàçíà÷èìî ôîðìó, â ÿê³é ñë³ä øóêàòè ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê<br />
â çàëåæíîñò³ â³ä âèãëÿäó ïðàâî¿ ÷àñòèíè f(x) äèôåðåíö³àëüíîãî<br />
ð³âíÿííÿ.<br />
αx<br />
I. Ïðàâà ÷àñòèíà ð³âíÿííÿ fx ( ) = e ⋅ Pn<br />
( x)<br />
. Òóò P n (x) —<br />
ìíîãî÷ëåí ñòåïåí³ n, à êîåô³ö³ºíò α â ïîêàçíèêó — ä³éñíå<br />
÷èñëî.  öüîìó âèïàäêó ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê íåîäíîð³äíîãî<br />
ð³âíÿííÿ ñë³ä øóêàòè ó âèãëÿä³<br />
αx<br />
r<br />
yr . .<br />
= Q ( )<br />
H n<br />
x e x , (11.7.4)<br />
äå Q n (x) — ìíîãî÷ëåí òîãî ñàìîãî ñòåïåíÿ, ùî ³ ìíîãî÷ëåí<br />
P n (x), àëå ç íåâ³äîìèìè ïîêè ùî êîåô³ö³ºíòàìè, à r — ÷èñëî<br />
êîðåí³â õàðàêòåðèñòè÷íîãî ð³âíÿííÿ, ùî çá³ãàþòüñÿ ç êîåô³ö³ºíòîì<br />
α.<br />
436 437
Çàóâàæåííÿ. Âèïàäîê α = 0 íå âèêëþ÷àºòüñÿ.  öüîìó<br />
âèïàäêó f(x) =P n (x), à y ÷.í. = Q n (x)x r , äå r — ÷èñëî êîðåí³â<br />
õàðàêòåðèñòè÷íîãî ð³âíÿííÿ, ÿê³ äîð³âíþþòü íóëþ.<br />
Ïðèêëàä 11.7.4 Çíàéòè çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
x<br />
y′′ − 5y′<br />
+ 6y = e . (11.7.5)<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ñêëàäàºìî õàðàêòåðèñòè÷íå ð³âíÿííÿ ³<br />
2<br />
çíàõîäèìî éîãî êîðåí³: k − 5k+ 6 = 0, k1 = 2, k2<br />
= 3. Çàãàëüíèé<br />
ðîçâ’ÿçîê îäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ y ç.î. ìຠâèãëÿä:<br />
2x<br />
3x<br />
y ç.î. ce<br />
1<br />
ce<br />
2<br />
= + .<br />
Îñê³ëüêè k 1 =2 ³ k 2 = 3 íå ð³âí³ α = 1, òî ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê<br />
íåîäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ y ÷.í. ñë³ä øóêàòè ó âèãëÿä³<br />
x<br />
y ÷.í. = Ae ,<br />
äå À – íåâ³äîìà ñòàëà.<br />
x<br />
x<br />
Çíàõîäèìî y′ ÷.í. ³ y′′ ÷.í. :y′ ÷.í.<br />
= Ae y′′ ÷.í.<br />
= Ae . ϳäñòàâëÿþ÷è<br />
âèðàçè y ÷.í. , y′′ ÷.í. , ³ y′′′ ÷.í. äî ð³âíÿííÿ (11.7.5) ³ ñêîðî÷óþ÷è íà<br />
x<br />
ìíîæíèê e ≠ 0 îäåðæóºìî ð³âí³ñòü: A –5A +6A = 1, çâ³äê³ëÿ<br />
A = 1/2.<br />
Îòæå, ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ 11.7.5 ìຠâèãëÿä:<br />
1 x<br />
y ÷.í.<br />
= e , à çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê éîãî òàêèé:<br />
2<br />
2<br />
y<br />
x 3x 1 x<br />
ç.í. = ce<br />
1<br />
+ ce<br />
2<br />
+ e .<br />
2<br />
Ïðèêëàä 11.7.5. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ<br />
y′′ − 7y′<br />
+ 6 y = ( x − 2) e<br />
x . (11.7.6)<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Òóò ïðàâà ÷àñòèíà ìຠâèãëÿä:<br />
( ) 1 x<br />
P1 x = e ⋅ , ïðè÷îìó êîåô³ö³ºíò 1 â ïîêàçíèêó ñòåïåí³ º ïðîñòèì<br />
êîðåíåì õàðàêòåðèñòè÷íîãî ìíîãî÷ëåíà k 2 –7k +6=0,<br />
k 1 = 1, k 2 = 6. Îòæå, ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê øóêàºìî ó âèãëÿä³<br />
y ÷.í. =(Ax + B)xe x . ϳäñòàâëÿºìî éîãî äî ð³âíÿííÿ (11.7.6),<br />
ìàºìî:<br />
[(Ax 2 + Bx) +(4Ax +2B) +2A –7(Ax 2 + Bx) – 7(2Ax +B) +<br />
+6(Ax 2 + Bx)]e x =(x –2)e x . (11.7.7)<br />
Ïðè öüîìó ìè âèêîðèñòîâóâàëè, ùî<br />
y′ ÷.í. =(2Ax +B)e x +(Ax 2 +Bx)e x =(Ax 2 +(B +2A)x + B)e x<br />
y′′ ÷.í. =(2Ax +B +2A)e x +(Ax 2 +(B +2A)x + B)e x =<br />
=[Ax 2 +(B +4A)x +2B +2A]e x .<br />
Ñêîðî÷óþ÷è â (11.7.7) íà e x ≠ 0 ³ ïðèð³âíþþ÷è êîåô³ö³ºíòè<br />
ïðè ð³âíèõ ñòåïåíÿõ x, îòðèìàºìî: –10A =1,<br />
1 9<br />
–5B +2A = –2, çâ³äêè A =− , B = . Îòæå, ÷àñòèííèì<br />
10 25<br />
ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ 11.7.6 º<br />
⎛ 1 9 ⎞<br />
y ÷.í.<br />
= x⎜− x + e<br />
10 25<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
à éîãî çàãàëüíèì — ôóíêö³ÿ:<br />
⎛ 1 9 ⎞<br />
⎜<br />
10 25<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
Ïðèêëàä 11.7.6. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ<br />
x 6x x<br />
y ç.í. = ce<br />
1<br />
+ ce<br />
2<br />
+ x − x+<br />
e<br />
x<br />
x<br />
y′′ − 2y′<br />
+ y = e . (11.7.8)<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ñêëàäåìî õàðàêòåðèñòè÷íå ð³âíÿííÿ<br />
k 2 –2k + 1 = 0. Éîãî êîðåí³ k 1 = k 2 = 1. Çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê<br />
îäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ ìຠâèãëÿä:<br />
y ç.o. = e x (c 1 + xc 2 ).<br />
×àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê íåîäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ ó â³äïîâ³äíîñò³<br />
äî ôîðìóëè (11.7.4) (k 1 = k 2 = α = 1) ñë³ä øóêàòè ó<br />
âèãëÿä³: y ç.í. =Ax 2 e x . Çíàõîäèìî ïåðøó ³ äðóãó ïîõ³äí³ ö³º¿<br />
ôóíêö³¿:<br />
,<br />
.<br />
438 439
y′ ÷.í. = e x (2Ax +Ax 2 ),<br />
y′′ ÷.í. =(2A +2Ax)e x +(2Ax + Ax 2 )e x =(Ax 2 +4Ax +2A)e x .<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è y ÷.í. , y′ ÷.í. ³ y′′ ÷.í. äî ð³âíÿííÿ (11.7.8) ³ ñêîðî÷óþ÷è<br />
íà e x ≠ 0, îòðèìàºìî 2Ax 2 +4Ax +2A –4Ax –2Ax 2 =1<br />
1<br />
àáî 2A = 1, çâ³äêè A = . Òàêèì ÷èíîì, ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê<br />
íåîäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ (11.7.8) ìàº<br />
2<br />
âèãëÿä:<br />
à çàãàëüíèé<br />
1 x<br />
= xe ,<br />
2<br />
y ÷.í.<br />
2<br />
x<br />
1 2 x<br />
y ç.í. = e ( c1 + xc2) + x e .<br />
2<br />
II. Ïðàâà ÷àñòèíà ð³âíÿííÿ<br />
αx<br />
fx ( ) = e ( Pn( x)cos β x+ Qm( x)sinβ x)<br />
.<br />
Òóò P n (x) ³ Q m (x) — ìíîãî÷ëåíè ñòåïåí³â â³äïîâ³äíî n ³<br />
m.  öüîìó âèïàäêó ìîæëèâ³ äâà âàð³àíòè:<br />
1) ÿêùî ÷èñëî α + iβ íå º êîðåíåì õàðàêòåðèñòè÷íîãî<br />
ð³âíÿííÿ, òî ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ (11.7.3) ñë³ä<br />
øóêàòè ó âèãëÿä³<br />
y ÷.í. ( ( )cos ( )sin )<br />
x<br />
= Rl<br />
x β x + Ml<br />
x β x e α , (11.7.9)<br />
äå R l (x) ³ M l (x) — ìíîãî÷ëåíè ñòåïåíÿ l = max (n, m);<br />
2) ÿêùî ÷èñëî α + iβ º êîð³íü õàðàêòåðèñòè÷íîãî ð³âíÿííÿ,<br />
òî ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê ñë³ä øóêàòè ó âèãëÿä³<br />
y ÷.í. ( )<br />
x<br />
= x R ( x) cos β x + M ( x) sin β x e , l = max( m, n)<br />
. (11.7.10)<br />
l<br />
l<br />
Çàóâàæåííÿ. Äëÿ çàïîá³ãàííÿ ìîæëèâèõ ïîìèëîê â³äçíà÷èìî,<br />
ùî ñòðóêòóðà ÷àñòèííèõ ðîçâ’ÿçê³â çáåð³ãຠâèãëÿäè<br />
(11.7.9 – 11.7.10) ³ â òîìó âèïàäêó, ÿêùî îäèí ç ìíîãî-<br />
÷ëåí³â P n (x) àáî Q m (x) òîòîæíî äîð³âíþº íóëþ.<br />
Ïðèêëàä 11.7.7. Çíàéòè çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
y′′ + 2y′<br />
+ 5y = 2cosx. (11.7.11)<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Õàðàêòåðèñòè÷íå ð³âíÿííÿ k 2 +2k +5=0<br />
ìຠêîðåí³ k 1 =–1+2i, k 2 = –1– 2i. Îòæå, çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê<br />
â³äïîâ³äíîãî îäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ ìຠâèãëÿä:<br />
−x<br />
y ç.o. e ( c cos 2x c sin 2x)<br />
= + .<br />
1 2<br />
Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ôîðìóëè (11.7.9) ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê<br />
íåîäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ øóêàºìî ó âèãëÿä³<br />
y ÷.í. = A cosx + B sinx.<br />
Äàë³, çíàõîäèìî ïîõ³äí³ ïåðøîãî ³ äðóãîãî ïîðÿäê³â ö³º¿<br />
ôóíêö³¿:<br />
y′ ÷.í. =− Asin x + Bcos<br />
x ,<br />
y′′ ÷.í. =–A cosx – B sinx.<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è y ÷.í. , y′ ÷.í. ³ y′′ ÷.í. äî ð³âíÿííÿ (11.7.11), áóäåìî<br />
ìàòè<br />
−Acos x − Bsin x − 2Asin x + 2Bcos x + 5Acos x + 5Bsin x = 2 cos x.<br />
Ïðèð³âíþþ÷è êîåô³ö³ºíòè ïðè cos x ³ sinx îòðèìàºìî<br />
A + 2B+ 5A = 2; − B− 2A + 5B<br />
= 0,<br />
2 1<br />
çâ³äêè A = , B = .<br />
5 5<br />
Çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê íåîäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ (11.7.11)<br />
òàêèé:<br />
−x<br />
2 1<br />
y ç.í. = y ç.o. + y ÷.í. = e ( c1 cos 2x + c2<br />
sin 2x)<br />
+ cos x + sin x.<br />
5 5<br />
Ïðèêëàä 11.7.8. Çíàéòè çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
y′′ + 4y = cos2x. (11.7.12)<br />
440 441
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Õàðàêòåðèñòè÷íå ð³âíÿííÿ ìຠêîðåí³<br />
k 1 =2i, k 2 =–2i, òîìó çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê îäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ<br />
ìຠñòðóêòóðó<br />
y ç.o. 1 2<br />
= c cos2x + c sin 2x<br />
.<br />
×àñòèííèé æå ðîçâ’ÿçîê, ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ôîðìóëè<br />
(11.7.9), (α = 0, k 1 = β = 2), ñë³ä øóêàòè ó âèãëÿä³<br />
y ÷.í. = x(A cos2x + B sin2x).<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è äî ð³âíÿííÿ (11.7.12) ³ ïðèð³âíþþ÷è êîåô³ö³ºíòè<br />
ïðè cos 2x ³ sin2x îäåðæóºìî ñèñòåìó ð³âíÿíü äëÿ<br />
âèçíà÷åííÿ A ³ B: 4B = 1, –4A = 0, çâ³äêè A = 0, B = 1/4.<br />
Òàêèì ÷èíîì, çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ (11.7.12) âèãëÿäàº<br />
òàê:<br />
1<br />
y ç.í. = c 1<br />
cos2x + c 2<br />
sin 2x + xsin 2x<br />
.<br />
4<br />
Çàóâàæåííÿ 2. Îòðèìàí³ ðîçâ’ÿçêè ïðè x → +∞, îïèñóþ÷è<br />
êîëèâàííÿ, íåîáìåæåíî çðîñòàþòü.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Çíàéòè çàãàëüí³ ðîçâ’ÿçêè ð³âíÿíü:<br />
x<br />
4x<br />
11.36. y′′ + y = e ;<br />
11.37. y′′ − 4y′<br />
= 4 e ;<br />
x<br />
11.38 y′′ + y = sin5 x;<br />
11.39. y′′ + y′<br />
= xe ;<br />
x<br />
11.40. y′′ + 7y′<br />
+ 20 y = e ; 11.41. y′′ + 9y = cos3 x;<br />
3x<br />
11.42. y′′ − 6y′<br />
+ 9 y = e ; 11.43. y′′ + 3y′<br />
+ y = 3cos2 x;<br />
11.44. y′′ + y′<br />
= xsin x;<br />
11.45. y′′ + y = cos x + sin5 x.<br />
Âêàç³âêà. Ó âïðàâ³ 11.44 íåîáõ³äíî øóêàòè äâà âèäè<br />
÷àñòèííèõ ðîçâ’ÿçê³â.<br />
11.8. ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜͲ вÂÍßÍÍß ÂÈÙÈÕ<br />
ÏÎÐßÄʲÂ, ÙÎ ÄÎÏÓÑÊÀÞÒÜ<br />
ÇÍÈÆÅÍÍß ÏÎÐßÄÊÓ<br />
11.8.1. гâíÿííÿ n-ãî ïîðÿäêó âèäó y (n) = f(x)<br />
Âîíè ðîçâ’ÿçóþòüñÿ ïîñë³äîâíèì ³íòåãðóâàííÿì. À ñàìå:<br />
ïîìíîæóþ÷è îáèäâ³ ÷àñòè ð³âíÿííÿ íà dx ³ ³íòåãðóþ÷è,<br />
îäåðæóºìî ð³âíÿííÿ (n – 1)-ãî ïîðÿäêó:<br />
( n−1)<br />
( ) ( )<br />
y = ∫ f x dx + c1 = ϕ<br />
1<br />
x + c1.<br />
Ïîò³ì, ïîâòîðþþ÷è òó ñàìó ïðîöåäóðó, îäåðæóºìî ð³âíÿííÿ<br />
(n – 2)-ãî ïîðÿäêó:<br />
( n−2)<br />
( ) ( )<br />
y = ϕ x dx + c dx + c = ϕ x + c x + c<br />
∫ 1 ∫ 1 2 2 1 2<br />
³ ò.ä.<br />
ϳñëÿ n-êðàòíîãî ³íòåãðóâàííÿ îäåðæóºìî ³íòåãðàë y<br />
öüîãî ð³âíÿííÿ ó âèãëÿä³ ÿâíî¿ ôóíêö³¿ â³ä x ³ n äîâ³ëüíèõ<br />
ñòàëèõ:<br />
n<br />
n−1 n−2<br />
( )<br />
y =ϕ x + c x + c x + K + c .<br />
1 1<br />
11.8.2. гâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó:<br />
à) f( x, y′ , y′′ ) = 0 ³ á) ( y, y′ , y′′ ) = 0, ùî íå ì³ñòÿòü ÿâíî ôóíêö³¿<br />
y àáî àðãóìåíòó x, ïåðåòâîðÿòüñÿ â ð³âíÿííÿ 1-ãî ïîðÿäêó<br />
çà äîïîìîãîþ ï³äñòàíîâêè y′ = p (çâ³äêè y′′ = dp/<br />
dx —<br />
dp<br />
äëÿ ð³âíÿííÿ à) àáî y′′ = p dy<br />
— äëÿ ð³âíÿííÿ á).<br />
2<br />
Ïðèêëàä 11.8.1 Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ y′′′ = 60x<br />
.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Ïîìíîæóþ÷è îáèäâ³ ÷àñòè ð³âíÿííÿ íà<br />
dx ³ ïîò³ì ³íòåãðóþ÷è, îäåðæóºìî ð³âíÿííÿ 2-ãî ïîðÿäêó:<br />
2 3<br />
ydx ′′′ = 60 xdx, y′′<br />
= 20x + c.<br />
1<br />
Äàë³ çà òèì ñàìèì ñïîñîáîì îäåðæóºìî ð³âíÿííÿ ïåðøîãî<br />
ïîðÿäêó ³ ïîò³ì øóêàíó ôóíêö³þ — çàãàëüíèé ³íòåãðàë<br />
ð³âíÿííÿ:<br />
n<br />
( )<br />
ydx ′′ = 20 xdx+ cdx, y′ = 5 x + cx+ c, ydx ′ = 5 x + cx+<br />
c dx,<br />
3 4 4<br />
1 1 2 1 2<br />
442 443
x<br />
= + + + .<br />
2<br />
2<br />
5<br />
y x c1 c2x c3<br />
x − 3 y′′ + y′<br />
= 0.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. гâíÿííÿ íå ì³ñòèòü ÿâíî ôóíêö³¿ y.<br />
Ïîêëàäåìî y′ = p, îòðèìàºìî y′′ = dp/<br />
dx, ³ ï³ñëÿ ï³äñòàíîâêè<br />
ó ïî÷àòêîâå ð³âíÿííÿ âîíî ïåðåòâîðþºòüñÿ íà ð³âíÿííÿ<br />
1-ãî ïîðÿäêó:<br />
dp<br />
( x − 3)<br />
+ p = 0 .<br />
dx<br />
³äîêðåìëþþ÷è çì³íí³ é ³íòåãðóþ÷è, çíàéäåìî<br />
dp dx<br />
+ = 0 ; ln p + ln x− 3 = ln c ( c > 0) ⇒ p( x − 3) =<br />
p x − 3<br />
Ïðèêëàä 11.8.2. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ ( )<br />
= c ⇒ p( x − 3) = ± c = c .<br />
1<br />
Çàì³íþþ÷è äîïîì³æíó çì³ííó p ÷åðåç dy<br />
dx , îòðèìàºìî<br />
ð³âíÿííÿ ( x − 3) dy = c1<br />
, ðîçâ’ÿçóþ÷è ÿêå, çíàéäåìî øóêàíèé<br />
dx<br />
çàãàëüíèé ³íòåãðàë:<br />
cdx<br />
= ⇒ = ln − 3 +<br />
x − 3<br />
1<br />
dy y c1 x c2<br />
11.9. ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÈÕ<br />
вÂÍßÍÜ Â ÅÊÎÍÎֲ̲<br />
Íà ïî÷àòêó ï. 11.1 ìè ðîçãëÿíóëè ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü<br />
åêîíîì³÷íîãî çì³ñòó, ÿêà áóëà çâåäåíà äî äèôåðåíö³àëüíîãî<br />
ð³âíÿííÿ.  öüîìó ïóíêò³ ïðîäîâæèìî ðîçãëÿäàííÿ çàäà÷<br />
òàêîãî õàðàêòåðó.<br />
11.9.1. Ìîäåëü Åâàíñà<br />
Ðîçãëÿíåìî ðèíîê îäíîãî òîâàðó. Íåõàé d(t), s(t), p(t) —<br />
â³äïîâ³äíî ôóíêö³¿ ïîïèòó, ïðîïîçèö³¿ ³ ö³íè öüîãî òîâàðó.<br />
Ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü ð³âíîâàæíî¿ ö³íè áàçóºòüñÿ íà òàê³é<br />
.<br />
îñíîâí³é ã³ïîòåç³: ïðèð³ñò ö³íè çà ïðîì³æîê ÷àñó ∆t ïðÿìî<br />
ïðîïîðö³éíèé ð³çíèö³ ì³æ ïîïèòîì ³ ïðîïîçèö³ºþ, òîáòî<br />
∆ p = γ( d −s) ∆t, γ > 0. (11.9.1)<br />
Ðîçä³ëèìî îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíîñò³ (11.9.1) íà ∆t ≠ 0 ³<br />
ïåðåéäåìî äî ãðàíèö³ ïðè ∆t → 0.<br />
Ó ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ.<br />
dp<br />
=γ( d() t − p()<br />
t)<br />
. (11.9.2)<br />
dt<br />
Ïðèêëàä 11.9.1. Äîñë³äèòè ìîäåëü Åâàíñà, ïðèïóñêàþ÷è,<br />
ùî d ³ s â³äíîñíî ö³íè ð — ë³í³éí³ ôóíêö³¿:<br />
( ) , s( p)<br />
d p = a − b p = a + b p. (11.9.3)<br />
1 1 2 2<br />
Óñ³ êîíñòàíòè, ÿê³ âõîäÿòü ó ôîðìóëè (11.9.3), ââàæàþòüñÿ<br />
äîäàòíèìè ñòàëèìè. Ïðèïóñêàºòüñÿ òàêîæ, ùî a 1 > a 2<br />
(ïðè äîñòàòíüî ìàë³é ö³í³ ïîïèò ïåðåâèùóº ïðîïîçèö³þ) ³<br />
ùî<br />
p(0) = p 0 . (11.9.4)<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. гâíÿííÿ (11.9.2) ç óðàõóâàííÿì (11.9.3)<br />
çàïèøåìî ó âèãëÿä³:<br />
dp<br />
=−γ( −α+β p)<br />
, (11.9.5)<br />
dt<br />
äå α = a 1 – a 2 , β = b 1 + b 2 >0.<br />
Äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ (11.9.5) º ð³âíÿííÿì ç â³äîêðåìëþâàíèìè<br />
çì³ííèìè. Çã³äíî ç ï. 11.4.2 çîáðàçèìî éîãî<br />
çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ó âèãëÿä³:<br />
−γβt<br />
α+ Ce<br />
p()<br />
t = .<br />
β<br />
Âðàõîâóþ÷è ïî÷àòêîâó óìîâó (11.9.4), áóäåìî ìàòè<br />
α<br />
p t p e e<br />
β<br />
−γβt<br />
−γβt<br />
() =<br />
0<br />
+ (1 − )<br />
. (11.9.6)<br />
444 445
Î÷åâèäíî, ùî<br />
α<br />
limp() t = = p1<br />
. (11.9.7)<br />
t→∞<br />
β<br />
Ïðîâåäåìî òåïåð àíàë³ç. ²ç ñòðóêòóðè ð³âíÿííÿ (11.9.5)<br />
âèïëèâàº, ùî:<br />
1) ö³íà p 1 º ð³âíîâàæíîþ. ijéñíî, ïðè p = p 1 âèêîíóºòüñÿ<br />
óìîâà d(p 1 )=s(p 1 ) (ïåðåâ³ðòå!);<br />
dp<br />
2) ïðè p0 > p1 < 0 . Öå îçíà÷àº, ùî ÿêùî ïî÷àòêîâà<br />
dt<br />
ö³íà á³ëüøå í³æ ð³âíîâàæíà, òî ôóíêö³ÿ p(t) ñïàäàº, òîáòî<br />
ö³íà íà òîâàð ³ç çðîñòàííÿì ÷àñó çìåíøóºòüñÿ ³ ïðÿìóº äî<br />
ð³âíîâàæíî¿;<br />
dp<br />
3) ïðè p0 < p1 > 0 . Öå îçíà÷àº, ùî ÿêùî ïî÷àòêîâà<br />
dt<br />
ö³íà ìåíøà ÷èì ð³âíîâàæíà, òî ôóíêö³ÿ p(t) çðîñòàº, òîáòî<br />
ö³íà íà òîâàð ³ç çðîñòàííÿì ÷àñó çá³ëüøóºòüñÿ ³ ïðÿìóº<br />
òàêîæ äî ð³âíîâàæíî¿.<br />
11.9.2. Ìîäåëü äèíàì³êè ôîíä³â<br />
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç Ô âåëè÷èíó ôîíä³â ó íàòóðàëüíîìó àáî<br />
âàðò³ñíîìó âèðàç³. ßê â³äîìî, ôîíäè ó íàòóðàëüíîìó âèä³<br />
ÿâëÿþòü ñîáîþ ñòàíêè, êîìï’þòåðè, ïðèì³ùåííÿ ³ òàêå<br />
³íøå. Ç ÷àñîì âîíè ëàìàþòüñÿ, ñòàð³þòü, çíîøóþòüñÿ ³, ÿê<br />
òî êàæóòü, âèõîäÿòü ç ëàäó. Òàêèé ïðîöåñ â åêîíîì³ö³ íàçèâàºòüñÿ<br />
âèáóòòÿì ôîíä³â. Øâèäê³ñòü âèáóòòÿ ôîíä³â õàðàêòåðèçóºòüñÿ<br />
êîåô³ö³ºíòîì âèáóòòÿ µ(0 < µ < 1). Íàïðèêëàä,<br />
ÿêùî çà 7 ðîê³â ôîíä ïîâí³ñòþ ïîíîâëþºòüñÿ, òî<br />
1<br />
µ= . Òàêèì ÷èíîì, âèáóòòÿ µ ïðèâîäèòü äî çìåíøåííÿ<br />
7<br />
ôîíä³â çà 1 ð³ê íà âåëè÷èíó µÔ, à çà ïðîì³æîê ÷àñó ∆t íà<br />
âåëè÷èíó µÔ∆t. Ç äðóãîãî áîêó ³íâåñòèö³ÿ ² çà ð³ê äàº<br />
çá³ëüøåííÿ ôîíä³â íà âåëè÷èíó ρI, à çà ïðîì³æîê ÷àñó ∆t<br />
íà âåëè÷èíó ρI∆t.<br />
Ðîçãëÿíåìî äîâ³ëüíèé ìîìåíò ÷àñó t ³ éîãî ïðèð³ñò<br />
∆t ≠ 0. Òîä³ ìàòèìåìî<br />
∆Φ = Φ ( t + ∆t) − Φ ( t) = ( ρI − µΦ)<br />
∆ t. (11.9.8)<br />
Òåïåð îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíîñò³ (11.9.8) ðîçä³ëèìî íà ∆t ³<br />
ïåðåéäåìî äî ãðàíèö³ ïðè ∆t → 0.<br />
Ïðè öüîìó, ââàæàþ÷è ðîçãëÿäóâàíèé ïðîöåñ íåïåðåðâíèì,<br />
îòðèìàºìî äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ âèãëÿäó<br />
d Φ =−µΦ+ρ I . (11.9.9)<br />
dt<br />
Ïðèêëàä 11.9.3. Íåõàé íà äåÿêîìó ï³äïðèºìñòâ³:<br />
µ = 0,1; ρ = 0,7. (11.9.10)<br />
²íâåñòèö³ÿ º ñòàëîþ âåëè÷èíîþ ³ äîð³âíþº 10 6 ãðí. Òðåáà<br />
çíàéòè ó âàðò³ñíîìó âèðàç³ äèíàì³êó ôîíä³â ï³äïðèºìñòâà<br />
çà óìîâè, ùî â ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ñïîñòåðåæåííÿ (t =0)<br />
âèêîíóºòüñÿ óìîâà:<br />
Ô(0) = 10 7 ãðí. (11.9.11)<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íà öåé ðàç ìè ðîçâ’ÿæåìî ð³âíÿííÿ<br />
(11.9.9) ÿê ë³í³éíå äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ 1-ãî ïîðÿäêó.<br />
Î÷åâèäíî, ùî çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê îäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ, ÿêå<br />
â³äïîâ³äຠð³âíÿííþ (11.9.9), ìຠâèãëÿä<br />
Ô ç.î. (t) =Ce –µt .<br />
×àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê íåîäíîð³äíîãî ð³âíÿííÿ áóäåìî<br />
øóêàòè ó âèãëÿä³ êîíñòàíòè Ô = Ô ÷.í. . Òîä³ ³ç ð³âíÿííÿ<br />
(11.9.9) ìàòèìåìî<br />
ρ<br />
Ô ÷.í.<br />
= I . µ<br />
Îòæå, çã³äíî ç òåîð³ºþ ë³í³éíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü<br />
ïåðøîãî ïîðÿäêó (ï. 11.5) çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ<br />
(11.9.9) çàïèøåìî ó âèãëÿä³:<br />
Ô ç.í.<br />
= Ce + I . µ<br />
−µ t ρ<br />
Ç óðàõóâàííÿì ïî÷àòêîâî¿ óìîâè (11.9.11) ³ óìîâè<br />
(11.9.10) ìàòèìåìî<br />
446 447
Ô(t) =7⋅ 10 6 +3⋅ 10 6 e –0,1t .<br />
ρ<br />
6<br />
Î÷åâèäíî, ùî limΦ () t = I = 7⋅10<br />
. Öå îçíà÷àº, ùî äëÿ<br />
t →∞ µ<br />
ðîçãëÿíóòîãî âèïàäêó ³ç çðîñòàííÿì ÷àñó âåëè÷èíà Ô çíà-<br />
÷íî çìåíøóºòüñÿ. Íå äóæå âò³øíà êàðòèíà. Àëå ç³ ñòðóêòóðè<br />
ð³âíÿííÿ ìîæíà çðîáèòè òàêèé âèñíîâîê: äëÿ òîãî ùîá<br />
ôîíä ï³äïðèºìñòâà íå çìåíøóâàâñÿ, òðåáà çä³éñíþâàòè ñòðàòåã³þ<br />
òàê, ùîá ³íâåñòèö³ÿ áóëà çì³ííîþ ³ çàäîâîëüíÿëà<br />
óìîâó<br />
1<br />
≥ Φ .<br />
7<br />
() () t<br />
I t<br />
11.9.3. Ìîäåëü Ñîëîó<br />
Ñòàí åêîíîì³êè, ÿê ºäèíå ö³ëå, çàäàºòüñÿ ï’ÿòüìà çì³ííèìè<br />
ñòàíó: Q — ê³íöåâèé ïðîäóêò, L — òðóäîâ³ ðåñóðñè,<br />
K — âèðîáíè÷³ ôîíäè, ² — ³íâåñòèö³¿, Ñ — ðîçì³ð íåâèðîáíè÷îãî<br />
ñïîæèâàííÿ.  ë³òåðàòóð³ ç åêîíîì³êè, â ðàìêàõ<br />
ìîäåë³ Ñîëîó, ï’ÿòü çãàäàíèõ âèùå çì³ííèõ ïîâ’ÿçàí³ ì³æ<br />
ñîáîþ òàêèìè ñï³ââ³äíîøåííÿìè:<br />
( ) ( ) 0<br />
C = 1 −ρ Q, 0 ≤ρ< 1; Q = Q K, L ; L = L e νt ;<br />
dK<br />
Q K,<br />
K( o) K0<br />
dt =ρ −µ = . (11.9.12)<br />
Òóò âåëè÷èíà ρ íàçèâàºòüñÿ íîðìîþ íàêîïè÷åííÿ ³ õàðàêòåðèçóº<br />
äîëþ ê³íöåâîãî ïðîäóêòó, ÿêó âèêîðèñòîâóþòü<br />
íà ³íâåñòèö³¿; âåëè÷èíà µ º êîåô³ö³ºíò âèáóòòÿ ôîíä³â. Áóäåìî<br />
ïðè öüîìó ââàæàòè, ùî âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ Q = Q(K, L)<br />
º îäíîð³äíîþ ôóíêö³ºþ ïåðøîãî ïîðÿäêó, òîáòî<br />
Q(λK, λL) =λQ(K, L) (ïðèðîäíà óìîâà äëÿ âèðîáíè÷èõ ôóíêö³é<br />
â åêîíîì³ö³). Ââåäåìî ïîçíà÷åííÿ:<br />
Q K<br />
q = , k<br />
L<br />
= L<br />
. (11.9.13)<br />
Óâåäåí³ âåëè÷èíè â³äïîâ³äíî íàçèâàþòüñÿ ñåðåäíüîþ ïðîäóêòèâí³ñòþ<br />
ïðàö³ ³ ñåðåäíüîþ ôîíäîîçáðîºí³ñòþ.<br />
Âðàõîâóþ÷è ïîçíà÷åííÿ (11.8.13) ³ îäíîð³äí³ñòü ôóíêö³¿<br />
Q = Q(K, L), îòðèìàºìî<br />
( , )<br />
Q Q K L ⎛K<br />
⎞<br />
q = = = Q ,1 Q( k,1) q( k)<br />
L L<br />
⎜ = =<br />
L<br />
⎟<br />
.<br />
⎝ ⎠<br />
Äàë³, ïðîäèôåðåíöþºìî âåëè÷èíó k ïî çì³íí³é t.  ðåçóëüòàò³<br />
ìàòèìåìî:<br />
(<br />
K<br />
)<br />
dk d<br />
L K′ L − KL′ K′ L′<br />
= = = − K =<br />
2 2<br />
dt dt L L L<br />
ρQ −µ K K<br />
= −ν = ρq( k) − ( µ +ν ) k.<br />
L L<br />
dk<br />
=ρ − µ+ν k, (11.9.14)<br />
dt<br />
Îñòàòî÷íî: q( k) ( )<br />
k<br />
K<br />
0<br />
( 0) k<br />
=<br />
0<br />
=<br />
L<br />
. (11.9.15)<br />
0<br />
Çàóâàæèìî, ùî â ëàíöþæêó ïåðåòâîðåíü, ÿê³ ïðèâåëè íàñ<br />
äî äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ (11.9.4) ³ ïî÷àòêîâî¿ óìîâè<br />
(11.9.15), ìè ñêîðèñòàëèñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿìè (11.9.13).<br />
Ïðèêëàä 11.9.3. Íåõàé ( )<br />
ρ= 10 −1 ,<br />
1 1<br />
, 10 9 2 2<br />
Q K L = ⋅ K L , k<br />
0<br />
= 5 ,<br />
1<br />
µ=ν= . Òðåáà çíàéòè ñåðåäíþ ôîíäîîçáðîºí³ñòü<br />
2<br />
ï³äïðèºìñòâà.<br />
гâíÿííÿ (11.9.14) ïðè çàäàíèõ óìîâàõ íàáóäå âèãëÿäó:<br />
dk<br />
k k<br />
dt + = ⋅<br />
1<br />
10 5 2<br />
448 449
àáî<br />
dk<br />
= dt<br />
1 . (11.9.16)<br />
10 5 2<br />
k − k<br />
Ïðî³íòåãðóºìî ë³âó ÷àñòèíó ð³âíîñò³ (11.9.16):<br />
∫<br />
10 k<br />
⎡<br />
⎤<br />
dx<br />
=<br />
⎢ 1 ⎥<br />
= =<br />
− k dx = k dk 10 − x<br />
⎢<br />
⎣ 2<br />
⎥<br />
⎦<br />
1 2<br />
dk<br />
x = k<br />
⎢<br />
⎥<br />
1 1<br />
2<br />
−<br />
∫ 5<br />
5 2<br />
2<br />
5<br />
2ln 10 ln ln<br />
=− − x + C =<br />
C<br />
1<br />
5 2<br />
( 10 k )<br />
2<br />
− .<br />
ßêùî òåïåð ïðî³íòåãðóâàòè ïðàâó ÷àñòèíó ð³âíîñò³<br />
1<br />
(11.8.16), òî ç íå¿ îòðèìàºìî ( )<br />
2 10 5<br />
2<br />
k − = Ce −t<br />
. Öåé ðîçâ’ÿçîê<br />
— çàãàëüíèé. Âèêîðèñòîâóþ÷è ïî÷àòêîâó óìîâó, çíàéäåìî<br />
øóêàíó ôóíêö³þ (ñåðåäíþ ôîíäîîçáðîºí³ñòü ï³äïðèºìñò-<br />
5<br />
âà) ó âèãëÿä³ () ( ) 2<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
k t = 99995e −t + 10 .<br />
11.46. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ (11.9.9) çà óìîâàìè:<br />
µ = 0.2, ρ = 0.8, Φ(0) = 10 6 ãðí.<br />
11.47. Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ (11.9.14) çà óìîâàìè:<br />
−1<br />
( ) , 10 , 1.9, k(0) 10<br />
2<br />
qk<br />
2k<br />
= µ = ν = =<br />
k + 1<br />
.<br />
Òåìà 12<br />
Ðÿäè<br />
Ðÿäè ÿâëÿþòü ñîáîþ ïðîñòèé ³ äóæå äîñêîíàëèé ³íñòðóìåíò<br />
ìàòåìàòè÷íîãî àíàë³çó ÿê äëÿ òåîðåòè÷íèõ äîñë³äæåíü,<br />
òàê ³ äëÿ íàáëèæåíîãî îá÷èñëåííÿ çíà÷åíü ôóíêö³é é ïîáóäîâè<br />
íàáëèæåíèõ ðîçâ’ÿçê³â äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü.<br />
12.1. ×ÈÑËÎ<strong>²</strong> ÐßÄÈ<br />
12.1.1. Ïîíÿòòÿ ÷èñëîâîãî ðÿäó<br />
Ðîçãëÿíåìî ÷èñëîâó ïîñë³äîâí³ñòü {a n }. Ç’ºäíàâøè çíàêîì<br />
àëãåáðà¿÷íîãî äîäàâàííÿ ÷ëåíè ö³º¿ ïîñë³äîâíîñò³,<br />
îòðèìàºìî âèðàç, ùî ì³ñòèòü íåñê³í÷åííå ÷èñëî äîäàíê³â,<br />
öåé âèðàç ³ íàçèâàºòüñÿ ÷èñëîâèì ðÿäîì, àáî ïðîñòî ðÿäîì:<br />
a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... = ∑ a . (12.1.1)<br />
×èñëà a 1 , a 2 , ..., a n íàçèâàþòüñÿ ÷ëåíàìè ðÿäó, ÷ëåí a n ç<br />
äîâ³ëüíèì íîìåðîì — çàãàëüíèì ÷ëåíîì ðÿäó.<br />
Ââåäåìî ïîíÿòòÿ ÷àñòèííèõ (çð³çàíèõ) ñóì: S 1 = a 1 ,<br />
S 2 = a 1 + a 2 , S 3 = a 1 + a 2 + a 3 , ..., S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n . Îñê³ëüêè<br />
÷èñëî ÷ëåí³â ðÿäó íåñê³í÷åííå, òî ÷àñòèíí³ ñóìè<br />
ðÿäó óòâîðþþòü ïîñë³äîâí³ñòü ÷àñòèííèõ ñóì<br />
S 1 , S 2 , ..., S n , ... . (12.1.2)<br />
Îçíà÷åííÿ 12.1.1. ßêùî ïîñë³äîâí³ñòü ÷àñòèííèõ ñóì<br />
(12.1.2) ìຠñê³í÷åííó ãðàíèöþ lim S n<br />
= S , òî ðÿä íàçèâàºòüñÿ<br />
çá³æíèì, à S íàçèâàºòüñÿ éîãî ñóìîþ. ßêùî æ ïîñë³äî-<br />
n→∞<br />
âí³ñòü ÷àñòèííèõ ñóì (12.1.2) íå ìຠãðàíèö³ àáî âîíà<br />
äîð³âíþº íåñê³í÷åííîñò³, òî ðÿä íàçèâàºòüñÿ ðîçá³æíèì.<br />
Ïðèêëàä 12.1.1. Ïîêàæåìî, ùî ðÿä<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
1 1 1 1 ∞ 1<br />
+ + + K+ + K= ∑<br />
1⋅2 2⋅3 3⋅4 n⋅ n + 1 n⋅ n + 1<br />
( ) n=<br />
1 ( )<br />
çá³ãàºòüñÿ. ³çüìåìî ñóìó S n ïåðøèõ n ÷ëåí³â ðÿäó<br />
450 451
S n<br />
1 1 1<br />
= + + K +<br />
1⋅2 2⋅ 3 n n + 1<br />
.<br />
( )<br />
Äîäàíêè ö³º¿ ñóìè ìîæóòü áóòè ïîäàí³ ó âèãëÿä³:<br />
Òîìó<br />
1 1 1 1 1 1 1 1<br />
= 1 − ; = − ; K ; = −<br />
1⋅2 2 2⋅ 3 2 3 n n + 1 n n + 1<br />
.<br />
( )<br />
⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ 1<br />
S n<br />
= ⎜1− 1<br />
2<br />
⎟ + ⎜ −<br />
2 3<br />
⎟ + ⎜ − + + − = −<br />
3 4<br />
⎟ ⎜<br />
n n 1<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ K ⎝ + ⎠ n + 1<br />
.<br />
Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî ãðàíèöÿ ïîñë³äîâíîñò³ ÷àñòèííèõ<br />
ñóì äàíîãî ðÿäó äîð³âíþº îäèíèö³:<br />
⎛ 1 ⎞<br />
1<br />
lim Sn<br />
= lim 1 1 lim 1<br />
n→∞ n→∞ ⎜ −<br />
n 1<br />
⎟ = − = .<br />
n→∞<br />
⎝ + ⎠ n + 1<br />
Òàêèì ÷èíîì, ðÿä çá³ãàºòüñÿ ³ éîãî ñóìà äîð³âíþº îäèíèö³.<br />
Ïðèêëàä 12.1.2. Óñòàíîâèìî çá³æí³ñòü àáî ðîçá³æí³ñòü<br />
ðÿäó<br />
n<br />
∞<br />
( ) ∑ ( )<br />
− 1 n+<br />
1<br />
1− 1+ 1− 1+ K+ − 1 + K = −1<br />
.<br />
Ïîñë³äîâí³ñòü éîãî ÷àñòèííèõ ñóì ìຠâèãëÿä S 1 =1,<br />
S 2 = 0, S 3 = 1, S 4 = 0, ... . Öå îçíà÷àº, ùî ðÿä íå çá³ãàºòüñÿ<br />
í³ äî ÿêî¿ ãðàíèö³, òîìó äàíèé ðÿä ðîçá³ãàºòüñÿ.<br />
Ïðèêëàä 12.1.3. Ðîçãëÿíåìî ðÿä, ñêëàäåíèé ç ÷ëåí³â ãåîìåòðè÷íî¿<br />
ïðîãðåñ³¿:<br />
n=<br />
1<br />
2 n−1 ∞<br />
∑<br />
n−1<br />
n=<br />
1<br />
a + aq + aq + K+ aq + K = aq , a ≠ 0. (12.1.3)<br />
×àñòèííà ñóìà S n öüîãî ðÿäó ïðè q ≠ 1 ìຠâèãëÿä:<br />
n<br />
n<br />
2 n−1<br />
a − aq a aq<br />
Sn<br />
= a + aq + aq + K + aq = = − .<br />
1−q 1−q 1−q<br />
Çâ³äñè:<br />
n<br />
1) ÿêùî q < 1, òî lim lim a lim aq a<br />
Sn<br />
= − = , òîáòî ðÿä<br />
n→∞ n→∞1−q n→∞1−q 1−q<br />
çá³ãàºòüñÿ ³ éîãî ñóìà<br />
q = 1/5 ìàºìî:<br />
a<br />
S = 1 − q<br />
. Íàïðèêëàä, ïðè a =1,<br />
1 1 1 5<br />
S = + + + K+ + K = ;<br />
1 5 5<br />
2 5<br />
n−1<br />
4<br />
n<br />
2) ÿêùî q > 1, òî lim lim a−<br />
aq<br />
Sn<br />
= =∞, òîáòî ðÿä (12.1.3)<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
1− q<br />
ðîçá³ãàºòüñÿ;<br />
3) ïðè q = 1 ðÿä (12.1.3) ïðèéìຠâèä: a + a + a +...+ a +...<br />
⎛<br />
⎞<br />
Ó öüîìó âèïàäêó lim Sn<br />
= lim a+ a+ + a = lim na =∞<br />
n→∞ n→∞⎜1 42443 K<br />
⎟<br />
, òîáòî<br />
n→∞<br />
⎝ n ðàç ⎠<br />
ðÿä ðîçá³ãàºòüñÿ;<br />
4) ïðè q = –1 ðÿä (12.1.3) ïðèéìຠâèãëÿä: a – a + a –<br />
a a( −1) n<br />
– a + ... + (–1) n–1 a + ... Äëÿ íüîãî Sn<br />
= − , òîáòî S n =0<br />
2 2<br />
ïðè n ïàðíîìó ³ S n = a ïðè n íåïàðíîìó. Îòæå, lim S n<br />
íå<br />
n→∞<br />
³ñíóº ³ ðÿä (12.1.3) ðîçá³ãàºòüñÿ. Òàêèì ÷èíîì, ðÿä (12.1.3)<br />
º çá³æíèì ïðè q < 1 ³ ðîçá³æíèì ïðè q ≥ 1 .<br />
12.1.2. Íåîáõ³äíà óìîâà çá³æíîñò³ ðÿäó<br />
Òåîðåìà 12.1.1 (ïðî íåîáõ³äíó óìîâó çá³æíîñò³ ðÿäó).<br />
ßêùî ðÿä<br />
∞<br />
∑ a<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
çá³ãàºòüñÿ, òî ãðàíèöÿ çàãàëüíîãî ÷ëåíà<br />
ðÿäó äîð³âíþº íóëþ, òîáòî lim a n<br />
= 0 .<br />
n→∞<br />
Äîâåäåííÿ. Ðîçãëÿíåìî ÷àñòèíí³ ñóìè S n = a 1 + a 2 +<br />
+ a 3 + ... + a n ³ S n–1 = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n–1 . Î÷åâèäíî, ùî<br />
452 453
an = Sn −S n−1<br />
. Îñê³ëüêè S n → S ³ S n–1 → S ïðè n →∞ (ðÿä çá³ãàºòüñÿ),<br />
òî lim an = lim( Sn − Sn−1)<br />
= lim S0 − lim Sn−1<br />
= S − S = 0 .<br />
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞<br />
Óìîâà lim a n<br />
= 0 º íåîáõ³äíîþ, àëå íå äîñòàòíüîþ óìîâîþ<br />
n→∞<br />
çá³æíîñò³ ðÿäó. Ïîêàæåìî öå íà ïðèêëàä³.<br />
lim a<br />
n→∞<br />
Ïðèêëàä 12.1.4. Ðîçãëÿíåìî ðÿä<br />
n<br />
1 1 1<br />
1+ + + + +<br />
2 3 K n<br />
K ,<br />
1<br />
= lim = 0 (âèêîíóºòüñÿ íåîáõ³äíà óìîâà). Ïðîòå ðÿä<br />
n→∞<br />
n<br />
ðîçá³ãàºòüñÿ.<br />
ijéñíî, îñê³ëüêè<br />
1 1 1 1 1 1 n<br />
Sn<br />
= 1+ + + + > + + + = = n<br />
2 3 K n n n K .<br />
n n<br />
òî lim S n<br />
=∞, òîáòî ðîçãëÿäóâàíèé ðÿä ðîçá³ãàºòüñÿ.<br />
n→∞<br />
12.2. ÄÎÑÒÀÒͲ ÎÇÍÀÊÈ ÇÁ²ÆÍÎÑÒ² ÐßIJÂ<br />
Ç ÄÎÄÀÒÍÈÌÈ ×ËÅÍÀÌÈ<br />
12.2.1. Äîïîì³æíå òâåðäæåííÿ<br />
Ïåðåä äîâåäåííÿì äîñòàòí³õ îçíàê çá³æíîñò³ ðÿä³â äîâåäåìî<br />
îäíó ëåìó.<br />
Ëåìà. ßêùî ó ðÿä³<br />
a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... (12.2.1)<br />
â³äêèíóòè ñê³í÷åííå ÷èñëî ïåðøèõ ïî÷àòêîâèõ ÷ëåí³â, íàïðèêëàä<br />
k ÷ëåí³â, òî îòðèìàºìî ðÿä<br />
a k+1 + a k+2 + a k+3 + ... + a k+n + ..., (12.2.2)<br />
ÿêèé çá³ãàºòüñÿ (àáî ðîçá³ãàºòüñÿ) îäíî÷àñíî ç äàíèì ðÿäîì<br />
(12.2.1).<br />
Äîâåäåííÿ. Ïîçíà÷èìî ñóìó â³äêèíåíèõ ÷ëåí³â ÷åðåç<br />
U:<br />
U = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a k .<br />
Íåõàé S n — ñóìà ïåðøèõ n ÷ëåí³â ðÿäó (12.2.1), à σ n —<br />
ñóìà ïåðøèõ n ÷ëåí³â ðÿäó (12.2.2). Òîä³ ìàòèìåìî<br />
S n+k = U + σ n . (12.2.3)<br />
Çâ³äñè<br />
σ n = S n+k – U. (12.2.4)<br />
Íåõàé çá³ãàºòüñÿ ðÿä (12.2.1):<br />
lim S n<br />
= S . (12.2.5)<br />
n→∞<br />
Î÷åâèäíî, ùî ³ç ð³âíîñò³ (12.2.5) âèïëèâຠòàêà:<br />
lim<br />
=<br />
S n + k<br />
S.<br />
n→∞<br />
Ïåðåõîäÿ÷è äî ãðàíèöü (n →∞) ³ç ð³âíîñò³ (12.2.4) áóäåìî<br />
ìàòè<br />
σ = S – U,<br />
äå<br />
lim σ = σ<br />
n .<br />
n →∞<br />
Àíàëîã³÷íî äîâîäèòüñÿ, ùî ³ç çá³æíîñò³ ðÿäó (12.2.2) âèïëèâàº<br />
çá³æí³ñòü (12.2.1), ïðè÷îìó<br />
S = σ + U.<br />
Îòæå, ëåìó äîâåäåíî.<br />
12.2.2. Îçíàêà ïîð³âíÿííÿ ðÿä³â<br />
ßêùî ÷ëåíè ðÿäó<br />
a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... (12.2.6)<br />
íåâ³ä’ºìí³ ³ íå ïåðåâåðøóþòü â³äïîâ³äíèõ ÷ëåí³â çá³æíîãî<br />
ðÿäó<br />
b 1 + b 2 + b 3 + ... + b n + ..., (12.2.7)<br />
òî äàíèé ðÿä (12.2.6) òåæ çá³ãàºòüñÿ.<br />
Äîâåäåííÿ. Ïîçíà÷èìî<br />
S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n ,<br />
σ n =b 1 + b 2 + b 3 + ... + b n .<br />
454 455
Îñê³ëüêè ðÿä (12.2.7) çá³ãàºòüñÿ, òî ìàºìî<br />
lim σ<br />
= σ<br />
n ,<br />
n →∞<br />
äå σ — ñóìà ðÿäó (12.2.7). Çã³äíî ç óìîâîþ òåîðåìè ïîñë³äîâíîñò³<br />
çð³çàíèõ ñóì ðÿä³â (12.2.6) – (12.2.7) ³ ñóìà ðÿäà<br />
(12.2.7) ïîâ’ÿçàíà íåð³âí³ñòþ<br />
0 ≤ S n ≤σ n ≤σ.<br />
Íà ï³äñòàâ³ òîãî, ùî åëåìåíòè íåâ³ä’ºìí³, ïîñë³äîâí³ñòü S n<br />
íåñïàäíà ³, êð³ì òîãî, çã³äíî ç îñòàííüîþ íåð³âí³ñòþ âîíà º<br />
îáìåæåíîþ. Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî òåîðåìè 5.2.6 ïîñë³äîâí³ñòü<br />
ìຠãðàíèöþ.<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
12.2.3. Îçíàêà çá³æíîñò³ Äàëàìáåðà<br />
Òåîðåìà 12.2.1. Íåõàé óñ³ ÷ëåíè ðÿäó<br />
a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... (12.2.8)<br />
äîäàòí³, ³ íåõàé<br />
a<br />
lim<br />
a<br />
n→+∞<br />
n + 1<br />
n<br />
=ρ. (12.2.9)<br />
Òîä³ ïðè ρ < 1 ðÿä çá³ãàºòüñÿ, à ïðè ρ > 1 ðîçá³ãàºòüñÿ.<br />
Ïðè ρ = 1 ïèòàííÿ ïðî çá³æí³ñòü ðÿäó çàëèøàºòüñÿ â³äêðèòèì,<br />
òîáòî ðÿä ∑<br />
∞ a<br />
n ìîæå ÿê çá³ãàòèñÿ, òàê ³ ðîçá³ãàòèñÿ.<br />
n=<br />
1<br />
Ó öüîìó âèïàäêó íåîáõ³äíå äîäàòêîâå äîñë³äæåííÿ çà äîïîìîãîþ<br />
³íøèõ îçíàê.<br />
Äîâåäåííÿ. Çà îçíà÷åííÿì ãðàíèö³ ïîñë³äîâíîñò³<br />
(äèâ. ï. 5.2) ³ç ð³âíîñò³ (12.2.9) âèïëèâàº, ùî<br />
∀ε >0∃Nn >N:<br />
an<br />
+ 1<br />
−ρ a n (12.2.13)<br />
ïðè n > N +1.<br />
q<br />
456 457
Íåð³âí³ñòü (12.2.13) ãîâîðèòü ïðî òå, ùî ïîñë³äîâí³ñòü a n<br />
çðîñòຠ³ òèì ñàìèì íå âèêîíóºòüñÿ íåîáõ³äíà óìîâà çá³æíîñò³<br />
ðÿäó. Òàêèì ÷èíîì, ðÿä (12.2.8) ó öüîìó âèïàäêó<br />
ðîçá³ãàºòüñÿ.<br />
3°. ßêùî ρ = 1, òî íà ïðèêëàäàõ ìîæíà ïîêàçàòè, ùî ðÿä<br />
â îäíèõ âèïàäêàõ çá³ãàºòüñÿ, à â ³íøèõ âèïàäêàõ ðîçá³ãà-<br />
ºòüñÿ. ßñíî, ùî â òàêèõ âèïàäêàõ ìè ïîâèíí³ çàñòîñóâàòè<br />
³íøó îçíàêó çá³æíîñò³.<br />
Òåîðåìó äîâåäåíî.<br />
Ïðèêëàä 12.2.1. Äîñë³äèòè çà îçíàêîþ Äàëàìáåðà çá³æí³ñòü<br />
ðÿäó ∑<br />
∞<br />
5<br />
n<br />
n<br />
n=<br />
1 2 .<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çíàþ÷è n-é ÷ëåí ðÿäó, çíàõîäèìî íàñòóïíèé<br />
çà íèì (n + 1)-é ÷ëåí, çàì³íþþ÷è â âèðàç³ n-ãî<br />
÷ëåíà n íà n + 1. Ïîò³ì øóêàºìî ãðàíèöþ â³äíîøåííÿ íàñòóïíîãî<br />
÷ëåíà a n+1 äî ïîïåðåäíüîãî a n ïðè íåîáìåæåíîìó<br />
çðîñòàíí³ n:<br />
( n + 1)<br />
5<br />
n<br />
an<br />
= , a<br />
n n +<br />
=<br />
n<br />
2 2 +<br />
1 1<br />
an+<br />
1<br />
1⎛n<br />
+ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞<br />
1<br />
ρ= lim = lim ⎜ ⎟ = lim ⎜1+ ⎟ =<br />
n→+∞ a n→+∞ n<br />
n<br />
2 n →+∞<br />
⎝ ⎠ 2 ⎝ n⎠<br />
2 .<br />
Òóò ρ < 1. Òîìó çã³äíî ç îçíàêîþ Äàëàìáåðà äàíèé ðÿä<br />
çá³ãàºòüñÿ.<br />
Íàâåäåìî, áåç äîâåäåííÿ, ³íøó äîñòàòíþ îçíàêó çá³æíîñò³<br />
ðÿäó ç äîäàòíèìè ÷ëåíàìè — ³íòåãðàëüíó îçíàêó Êîø³.<br />
Òåîðåìà 12.2.2. Ðÿä ç äîäàòíèìè ñïàäíèìè ÷ëåíàìè<br />
a n = f(n) çá³ãàºòüñÿ àáî ðîçá³ãàºòüñÿ, â çàëåæíîñò³ â³ä òîãî,<br />
5<br />
5 5<br />
çá³ãàºòüñÿ ÷è ðîçá³ãàºòüñÿ íåâëàñíèé ³íòåãðàë<br />
f(x) — íåïåðåðâíà ñïàäíà ôóíêö³ÿ.<br />
Ïðèêëàä 12.2.2. Äîñë³äèòè çá³æí³ñòü ðÿäó<br />
+ 1 + 1 + ... + 1 ∞<br />
...<br />
α α α α<br />
( )<br />
n<br />
+ = 1<br />
1 ∑<br />
n=<br />
n<br />
α > 0 .<br />
2 3<br />
1<br />
;<br />
∞<br />
∫ fxdx ( ) , äå<br />
1<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñÿ (äèâ. ïðèêë.<br />
∞<br />
dx<br />
9.6.6), ùî íåâëàñíèé ³íòåãðàë ∫ α ïðè α > 1 çá³ãàºòüñÿ, à<br />
1 x<br />
ïðè α≤1 ðîçá³ãàºòüñÿ. Îòæå, äàíèé ðÿä çá³ãàºòüñÿ ïðè α >1<br />
òà ðîçá³ãàºòüñÿ ïðè α≤1.<br />
Çàóâàæåííÿ. Ïðè α=1 ðÿä íàáóâຠâèãëÿäó:<br />
1 1 1 ∞ 1<br />
1+ + + ... + + ... = ∑ . (12.2.14)<br />
2 3 n n=<br />
1 n<br />
Ðÿä (12.2.14) íàçèâàºòüñÿ ãàðìîí³÷íèì. Îñê³ëüêè, α=1,<br />
òî ãàðìîí³÷íèé ðÿä ðîçá³ãàºòüñÿ. Äî ðå÷³, çà îçíàêîþ Äàëàìáåðà<br />
öå íåìîæëèâî âñòàíîâèòè. ×èòà÷åâ³ ðåêîìåíäóºìî<br />
öåé ôàêò îá´ðóíòóâàòè.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Äîñë³äèòè çá³æí³ñòü ðÿä³â:<br />
∞ 1<br />
∞ 1<br />
12.1. ∑<br />
3 ; 12.2. ∑<br />
n=<br />
2 nln<br />
n<br />
n = 0 4n<br />
+ 1 ; 12.3. ∞ n<br />
∑<br />
4<br />
n=<br />
3 n − 9 ;<br />
∞ 1 ∞ 1<br />
12.4. ∑<br />
n = n 2 ; 12.5. ∑<br />
2<br />
1<br />
n = 2 n −1 ; 12.6. ∞ n!<br />
∑<br />
n<br />
n=<br />
1 5 ;<br />
∞ 1<br />
∞<br />
2n+<br />
1<br />
∞<br />
3n<br />
12.7. ∑ 3<br />
7<br />
n=<br />
1 ( n + 1)<br />
n<br />
; 12.8. ∑<br />
3n−1<br />
; 12.9. ∑<br />
n=<br />
0<br />
n=<br />
3<br />
2<br />
( 2n<br />
− 5 )!<br />
;<br />
∞<br />
3<br />
∞<br />
n<br />
1<br />
∞<br />
12.10. ∑<br />
2n<br />
−1<br />
∑<br />
n=<br />
1 ( 2n<br />
; 12.11. ∑<br />
)!<br />
n<br />
; 12.12. n=<br />
2 3<br />
n=<br />
1 2<br />
2n<br />
3<br />
∞<br />
n<br />
3<br />
∞<br />
12.13. ∑<br />
n<br />
n=<br />
0 2 ( 2n<br />
+ 1 )<br />
; 12.14. 4n<br />
− 3<br />
∑<br />
n=<br />
1 n<br />
n3 ; 12.15. ∞ 1<br />
∑<br />
n ;<br />
n=<br />
1 n<br />
1<br />
n=<br />
0<br />
( )<br />
− 2<br />
12.16.<br />
∞<br />
∞<br />
1<br />
∞<br />
∑ ; 12.17. ∑<br />
n=<br />
2 ln n<br />
( n + 13 ) n 1<br />
∑<br />
n = 0<br />
3<br />
n + 1 ;<br />
12.19.<br />
∞ 1<br />
∑<br />
n<br />
n=<br />
1 n5 ∞<br />
∞<br />
1<br />
ln ( n + 1)<br />
∑<br />
n<br />
n=<br />
0 2 + 1 ; 12.21. ∑<br />
n=<br />
1 3<br />
n 2 .<br />
Âêàç³âêà.  ïðèêëàäàõ 12.1 – 12.7 äîö³ëüíî âèêîðèñòîâóâàòè<br />
³íòåãðàëüíó îçíàêó çá³æíîñò³; 12.8 – 12.14 — îçíàêó<br />
Äàëàìáåðà; 12.15 – 12.21 — îçíàêó ïîð³âíÿííÿ.<br />
;<br />
458 459
Çàóâàæåííÿ. Ðÿäè ç â³ä’ºìíèìè ÷ëåíàìè â³äð³çíÿþòüñÿ<br />
â³ä â³äïîâ³äíèõ ðÿä³â ç äîäàòíèìè ÷ëåíàìè ò³ëüêè ìíîæíèêîì<br />
–1. Òîìó ïèòàííÿ ïðî ¿õ çá³æí³ñòü ðîçâ’ÿçóºòüñÿ<br />
àíàëîã³÷íî.<br />
12.3. ÇÍÀÊÎÏÅÐÅ̲ÆͲ ÐßÄÈ<br />
Ðîçãëÿíåìî çíàêîïåðåì³æíèé ðÿä<br />
n-1 ∞ n-1<br />
a1 − a2 + a3 − a4<br />
+ ... + ( − 1 ) an<br />
+ ... = ∑ ( −1)<br />
a<br />
n , (12.3.1)<br />
n=<br />
1<br />
äå a n > 0, n ∈ N. Îòæå, äëÿ çðó÷íîñò³ ïðèéìàºòüñÿ, ùî ïåðøèé<br />
÷ëåí ðÿäó ìຠçíàê ïëþñ.<br />
Äëÿ çíàêîïåðåì³æíèõ ðÿä³â ìຠì³ñöå òàêà, äóæå ïðîñòà<br />
äîñòàòíÿ îçíàêà çá³æíîñò³.<br />
Òåîðåìà 12.3.1 (îçíàêà Ëåéáí³öà). Çíàêîïåðåì³æíèé<br />
ðÿä (12.3.1) çá³ãàºòüñÿ, ÿêùî éîãî ÷ëåíè ñïàäàþòü çà àáñîëþòíèì<br />
çíà÷åííÿì, ïðÿìóþ÷è äî íóëÿ, òîáòî a 1 > a 2 > a 3 > ...<br />
³ lim a n<br />
= 0 .<br />
n→∞<br />
Äîâåäåííÿ. Íåõàé çàäàíî ðÿä (12.3.1), ïðè öüîìó<br />
a n > a n+1 ³ a n → 0 ïðè n →∞.<br />
Ðîçãëÿíåìî ÷àñòèííó ñóìó ðÿäó ç ïàðíèì ÷èñëîì ÷ëåí³â<br />
( ) ( ) ( )<br />
S = a − a + a − a + ... + a − a = a − a + a − a + ... + a −a .<br />
2n 1 2 3 4 2n-1 2n 1 2 3 4 2n-1 2n<br />
Óñ³ ð³çíèö³ â äóæêàõ çà óìîâîþ òåîðåìè äîäàòí³, òîìó<br />
ïîñë³äîâí³ñòü ÷àñòèííèõ ñóì {S 2n } º çðîñòàþ÷îþ. Ïîêàæåìî,<br />
ùî âîíà º îáìåæåíîþ. Äëÿ öüîãî çîáðàçèìî S 2n ó âèãëÿä³:<br />
( ) ( ) ... ( )<br />
S2 = a1 −⎡⎣<br />
a2 − a3 + a4 − a5 + + a2 -2<br />
− a2 -1<br />
+ a<br />
2<br />
⎤<br />
n n n n ⎦.<br />
Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî S 2n < a 1 äëÿ áóäü-ÿêîãî n, òîáòî ïîñë³äîâí³ñòü<br />
{S 2n } — îáìåæåíà.<br />
Òàêèì ÷èíîì, ïîñë³äîâí³ñòü {S 2n } çðîñòàþ÷à ³ îáìåæåíà.<br />
Îòæå, çà òåîðåìîþ 5.2.6 âîíà ìຠãðàíèöþ, òîáòî lim S2n<br />
= S .<br />
n→∞<br />
Ïîêàæåìî, ùî äî ö³º¿ æ ãðàíèö³ S çá³ãàºòüñÿ ³ ïîñë³äîâí³ñòü<br />
÷àñòèííèõ ñóì íåïàðíîãî ÷èñëà ÷ëåí³â ðÿäó {S 2n+1 }.<br />
ijéñíî, S 2n+1 = S 2n + a 2n+1 . Ïåðåõîäÿ÷è â ö³é ð³âíîñò³ äî ãðà-<br />
íèö³ ïðè n →∞ ³ âèêîðèñòîâóþ÷è óìîâó òåîðåìè (a n → 0<br />
ïðè n →∞), îòðèìàºìî<br />
( )<br />
lim S = lim S2 + a2 1<br />
= lim S2 + lim a2 1<br />
= S + 0 = S .<br />
2n + 1<br />
n n+ n n+<br />
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞<br />
Òàêèì ÷èíîì, ïîñë³äîâí³ñòü ÷àñòèííèõ ñóì {S n } ðÿäó<br />
(12.3.1) çá³ãàºòüñÿ äî ãðàíèö³ S. Öå ³ îçíà÷àº, ùî ðÿä<br />
(12.3.1) çá³ãàºòüñÿ.<br />
Ïðèêëàä 12.3.2. Ðÿä<br />
1 1 1 n+ 1 1 ∞ n+<br />
1 1<br />
( ) ∑ ( )<br />
n=<br />
1<br />
1− + − + + − 1 + = −1<br />
2 3 4 K n<br />
K<br />
n<br />
çá³ãàºòüñÿ, òîìó ùî â³í çàäîâîëüíÿº âèìîãè îçíàêè Ëåéáí³öà:<br />
1 > > > ... > > ... ³ lim = 0<br />
1 1 1<br />
1<br />
2 3 n<br />
n<br />
. Çàóâàæèìî, ùî öåé ðÿä<br />
→∞ n<br />
â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ãàðìîí³÷íîãî ðÿäó ò³ëüêè çíàêàìè ïàðíèõ<br />
÷ëåí³â.<br />
12.4. ÏÎÍßÒÒß ÏÐÎ ÀÁÑÎËÞÒÍÎ<br />
ÒÀ ÓÌÎÂÍÎ ÇÁ²ÆͲ ÐßÄÈ<br />
Ðîçãëÿíåìî òåïåð ðÿäè, ÷àñòèíà ÷ëåí³â ÿêèõ äîäàòí³, à<br />
÷àñòèíà ÷ëåí³â â³ä’ºìí³ àáî ð³âí³ íóëþ. Ïðè öüîìó ÷åðãóâàííÿ<br />
äîäàòíèõ òà â³ä’ºìíèõ ÷ëåí³â ðÿäó äîâ³ëüíå.  öèõ<br />
âèïàäêàõ ïîïåðåäí³ äîñòàòí³ ïðèçíàêè âæå íå ïðàöþþòü.<br />
ßñíî, ùî âèíèêຠïèòàííÿ ïðî äîñë³äæåííÿ çá³æíîñò³ ðÿä³â<br />
ç âêàçàíèìè îñîáëèâîñòÿìè. Äëÿ âèð³øåííÿ ö³º¿ ïðîáëåìè<br />
ìàòåìàòèêè ââåëè ïîíÿòòÿ àáñîëþòíî¿ çá³æíîñò³. Ïîðó÷ ç<br />
ðÿäîì<br />
ðîçãëÿäàºòüñÿ ðÿä<br />
a1 + a2 + a3 + a4<br />
+ ... + an<br />
+ ... = ∑ an<br />
(12.4.1)<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
a1 + a2 + a3 + a4<br />
+ ... + an<br />
+ ... =∑ a<br />
n , (12.4.2)<br />
n=<br />
1<br />
ÿêèé ñêëàäåíèé ç àáñîëþòíèõ âåëè÷èí éîãî ÷ëåí³â.<br />
460 461
Ìîæíà äîâåñòè, ùî ÿêùî çá³ãàºòüñÿ ðÿä (12.4.2), òî é<br />
çá³ãàºòüñÿ ðÿä (12.4.1). Ó çâ’ÿçêó ç öèì ââîäèòüñÿ ïîíÿòòÿ<br />
àáñîëþòíî¿ çá³æíîñò³.<br />
Ðÿä (12.4.1) íàçèâàºòüñÿ àáñîëþòíî çá³æíèì, ÿêùî çá³ãà-<br />
ºòüñÿ ðÿä, ñêëàäåíèé ç àáñîëþòíèõ çíà÷åíü éîãî ÷ëåí³â,<br />
òîáòî ðÿä (12.4.2).<br />
Ðÿä (12.4.1) íàçèâàºòüñÿ óìîâíî çá³æíèì, ÿêùî â³í çá³ãà-<br />
ºòüñÿ, à ðÿä (12.4.2) ñêëàäåíèé ç àáñîëþòíèõ âåëè÷èí ÷ëåí³â<br />
ðÿäó ðîçá³ãàºòüñÿ.<br />
Ïðèêëàä 12.4.1. Ðÿä<br />
1 1 1 n+ 1 1 ∞ n+<br />
1 1<br />
1− + − + K+ ( − 1) + K= n<br />
∑ ( −1)<br />
n<br />
2 4 8 2 n=<br />
1 2<br />
º àáñîëþòíî çá³æíèì, òîìó ùî ðÿä, ñêëàäåíèé ç àáñîëþòíèõ<br />
âåëè÷èí,<br />
1 1 1 1 1<br />
∞<br />
1+ + + + K+ + K= n<br />
∑<br />
2 4 8 2<br />
n<br />
n=<br />
1 2<br />
òàêîæ çá³ãàºòüñÿ (îáèäâà ðÿäè — ãåîìåòðè÷í³ ïðîãðåñ³¿ ³ç<br />
çíàìåííèêàìè, â³äïîâ³äíî ð³âíèìè − 1 2 ³ 1 2 ).<br />
Ïðèêëàä 12.4.2. Ðÿä<br />
1 1 1 n+ 1 1 ∞ n+<br />
1 1<br />
1− + − + K+ ( − 1) + K= ∑( −1)<br />
2 3 4<br />
n n=<br />
1 n<br />
º óìîâíî çá³æíèì, òîìó ùî ñàì â³í çá³ãàºòüñÿ çà îçíàêîþ<br />
Ëåéáí³öà, à ðÿä ñêëàäåíèé ç àáñîëþòíèõ âåëè÷èí,<br />
1 1 1 1 ∞ 1<br />
1+ + + + K+ + K=∑<br />
2 3 4 n n=<br />
1 n<br />
ðîçá³ãàºòüñÿ (äèâ. ïðèêëàä 12.1.4).<br />
Çàóâàæåííÿ. Ïðè ïðàêòè÷íîìó âèêîðèñòàíí³ ðÿä³â<br />
(çá³æíèõ) çâè÷àéíî îáìåæóþòüñÿ ê³ëüêîìà ¿õ ïåðøèìè ÷ëåíàìè.<br />
Äîïóùåíà ïðè öüîìó ïîõèáêà (çàëèøîê ðÿäó) íàéá³ëüøå<br />
ïðîñòî îö³íþºòüñÿ äëÿ çíàêîïåðåì³æíèõ ðÿä³â: ïîõèáêà<br />
ïðè çàì³í³ ñóìè çá³æíîãî çíàêîïåðåì³æíîãî ðÿäó<br />
ñóìîþ n éîãî ïåðøèõ ÷ëåí³â ìåíøå àáñîëþòíîãî çíà÷åííÿ<br />
ïåðøîãî ç â³äêèíóòèõ ÷ëåí³â ðÿäó, òîáòî a n+1 . Äîâåäåííÿ<br />
öüîãî ôàêòó àíàëîã³÷íî ïðèéîìîâ³, âèêîðèñòàíîìó ïðè äîâåäåíí³<br />
îçíàêè Ëåéáí³öà.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Äîñë³äèòè çá³æí³ñòü çíàêîïåðåì³æíèõ ðÿä³â. Âèçíà÷èòè,<br />
÷è º âîíè àáñîëþòíî çá³æíèìè, óìîâíî çá³æíèìè àáî ðîçá³æíèìè.<br />
( ) n −1<br />
n<br />
∞ −1<br />
∞ ( )<br />
12.22. ∑<br />
n=<br />
1 2n<br />
−1 ; 12.23.<br />
−1<br />
∑<br />
n=<br />
1 n( n+<br />
1 )<br />
; 12.24. ∞ ( −1) n<br />
∑<br />
3<br />
n=<br />
1 n + 1 ;<br />
( ) n −1<br />
∞ −1<br />
∞ ( −1) n<br />
12.25. ∑ ; 12.26. ∑<br />
n=<br />
1<br />
3<br />
n n<br />
n=<br />
0 2n<br />
+ 1 .<br />
12.5. ÏÎÍßÒÒß ÏÐÎ ÔÓÍÊÖ²ÎÍÀËÜͲ<br />
ÐßÄÈ<br />
Ðÿä<br />
( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + = ∑ ( )<br />
∞<br />
f x f x f x f x f x<br />
1 2 3<br />
K<br />
n<br />
K<br />
n ,<br />
n=<br />
1<br />
÷ëåíè ÿêîãî º ôóíêö³ÿìè â³ä çì³ííî¿ x, º ôóíêö³îíàëüíèé<br />
ðÿä. ßêùî ôóíêö³¿ f n (x) ä³éñí³, òî ïðè ð³çíèõ çíà÷åííÿõ<br />
çì³ííî¿ x ³ç ôóíêö³îíàëüíîãî ðÿäó îäåðæóþòüñÿ ð³çí³ ÷èñëîâ³<br />
ðÿäè, ÿê³ ìîæóòü áóòè çá³æíèìè àáî ðîçá³æíèìè.<br />
12.5.1. Ñòåïåíåâ³ ðÿäè<br />
Ç óñ³õ ôóíêö³îíàëüíèõ ðÿä³â íàéïðîñò³øèìè ³ íàéá³ëüøå<br />
âæèâàíèìè º ñòåïåíåâ³ ðÿäè âèãëÿäó<br />
∞<br />
2<br />
n<br />
n<br />
a0 + a1x+ a2x + + anx + = ∑ anx<br />
n=<br />
0<br />
K K . (12.5.1)<br />
×èñëà a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n , ... íàçèâàþòüñÿ êîåô³ö³ºíòàìè<br />
ñòåïåíåâîãî ðÿäó.<br />
Íàäàþ÷è x ð³çí³ ÷èñëîâ³ çíà÷åííÿ, áóäåìî îòðèìóâàòè<br />
ð³çí³ ÷èñëîâ³ ðÿäè, ÿê³ ìîæóòü âèÿâèòèñÿ çá³æíèìè àáî<br />
ðîçá³æíèìè. Ìíîæèíà òèõ çíà÷åíü x, ïðè ÿêèõ ðÿä (12.5.1)<br />
çá³ãàºòüñÿ, íàçèâàºòüñÿ îáëàñòþ éîãî çá³æíîñò³. Öÿ ìíîæè-<br />
462 463
íà çàâæäè íå ïîðîæíÿ, òîìó ùî áóäü-ÿêèé ñòåïåíåâèé ðÿä<br />
çá³ãàºòüñÿ ïðè x =0.<br />
Î÷åâèäíî, ùî ÷àñòèííà ñóìà ñòåïåíåâîãî ðÿäó<br />
n<br />
Sn( x) = a0 + a1x+ K + anx<br />
º ôóíêö³ºþ çì³ííî¿ x. Òîìó ³ ñóìà<br />
ðÿäó S òàêîæ º ôóíêö³ºþ çì³ííî¿ x, ÿêà âèçíà÷åíà â îáëàñò³<br />
çá³æíîñò³ ðÿäó:<br />
∞<br />
n<br />
( ∑ n )<br />
∞<br />
n<br />
( ) ∑<br />
( )<br />
S = S x = a x àáî f x = a x .<br />
n<br />
n= 0 n=<br />
0<br />
12.5.2. ²íòåðâàë çá³æíîñò³ ñòåïåíåâîãî ðÿäó<br />
Äîâåäåìî òåîðåìó, ùî ìຠâàæëèâå çíà÷åííÿ â òåî𳿠ñòåïåíåâèõ<br />
ðÿä³â. Âîíà ñòîñóºòüñÿ îáëàñò³ çá³æíîñò³ ñòåïåíåâîãî<br />
ðÿäó.<br />
Òåîðåìà 12.5.1 (Àáåëÿ ïðî çá³æí³ñòü ñòåïåíåâîãî<br />
ðÿäó):<br />
1) ÿêùî ñòåïåíåâèé ðÿä (12.5.1) çá³ãàºòüñÿ ïðè<br />
x = x 0 (x 0 ≠ 0), òî â³í çá³ãàºòüñÿ ³ ïðèòîìó àáñîëþòíî äëÿ<br />
âñ³õ x, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü âèìîãó x ≤ x0<br />
;<br />
2) ÿêùî ðÿä (11.12) ðîçá³ãàºòüñÿ ïðè x = x 1 , òî â³í ðîçá³ãàºòüñÿ<br />
äëÿ óñ³õ x, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü âèìîãó x > x1<br />
.<br />
Äîâåäåííÿ. 1) Îñê³ëüêè çà óìîâîþ ÷èñëîâèé ðÿä<br />
∞<br />
∑ n<br />
ax<br />
n 0 çá³ãàºòüñÿ, òî éîãî çàãàëüíèé ÷ëåí n<br />
ax → 0 ïðè<br />
0<br />
n=<br />
0<br />
n<br />
n →∞, çâ³äêè âèïëèâàº, ùî ïîñë³äîâí³ñòü { n 0 }<br />
ax º îáìåæåíîþ,<br />
òîáòî ³ñíóº ÷èñëî M > 0 òàêå, ùî<br />
ax<br />
n<br />
n 0<br />
Ïåðåïèøåìî ðÿä (12.5.1) ó âèãëÿä³<br />
2<br />
x 2 x n x<br />
0 1 0 2 0 n 0<br />
x0 x0 x0<br />
n<br />
< M. (12.5.2)<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
a + a x ⎜ ⎟+ a x ⎜ ⎟ + K+ a x ⎜ ⎟ + K. (12.5.3)<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
³ ðîçãëÿíåìî ðÿä, ñêëàäåíèé ç àáñîëþòíèõ âåëè÷èí éîãî<br />
÷ëåí³â:<br />
n<br />
2<br />
n<br />
0 1 0 2 0 n 0<br />
x0 x0 x0<br />
2<br />
x x x<br />
a + a x + a x + K+ a x + K. (12.5.4)<br />
×ëåíè ðÿäó (12.5.4) íà ï³äñòàâ³ íåð³âíîñò³ (12.5.2) ìåíø³<br />
ïðîòè â³äïîâ³äíèõ ÷ëåí³â ðÿäó<br />
2<br />
x x x<br />
M + M + M + K+ M + K. (12.5.5)<br />
x x x<br />
0 0 0<br />
Ïðè x < x0<br />
ðÿä (12.5.5) ÿâëÿº ñîáîþ ãåîìåòðè÷íó ïðîãðåñ³þ<br />
³ç çíàìåííèêîì q =<br />
x<br />
x0<br />
< 1 ³, îòæå, çá³ãàºòüñÿ. Îñê³ëüêè<br />
÷ëåíè ðÿäó (12.5.4) ìåíø³ ïðîòè â³äïîâ³äíèõ ÷ëåí³â<br />
ðÿäó (12.5.5), òî çà îçíàêîþ ïîð³âíÿííÿ ðÿä (12.5.4) òàêîæ<br />
çá³ãàºòüñÿ, à öå îçíà÷àº, ùî ðÿä (12.5.1) ïðè x < x0<br />
çá³ãà-<br />
ºòüñÿ àáñîëþòíî.<br />
2) Äîâåäåìî òåïåð äðóãó ÷àñòèíó òåîðåìè. Çà óìîâîþ â<br />
òî÷ö³ x 1 ðÿä (12.5.1) ðîçá³ãàºòüñÿ. Ïîòð³áíî ïîêàçàòè, ùî<br />
â³í ðîçá³ãàºòüñÿ äëÿ óñ³õ x, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü âèìîãó<br />
x > x 1 . Ïðèïóñòèìî ñóïðîòèâíå, òîáòî ïðè x > x1<br />
ðÿä<br />
(12.5.1) çá³ãàºòüñÿ. Òîä³ çã³äíî ç äîâåäåíîþ ïåðøîþ ÷àñòèíîþ<br />
òåîðåìè ðÿä (12.5.1) ïîâèíåí çá³ãàòèñÿ ³ â òî÷ö³ x 1 ,<br />
òîìó ùî x1<br />
< x . Àëå öå ñóïåðå÷èòü óìîâ³, îñê³ëüêè â òî÷ö³<br />
x 1 ðÿä ðîçá³ãàºòüñÿ.<br />
Òåîðåìà Àáåëÿ ñòâåðäæóº, ùî ÿêùî x 0 — òî÷êà çá³æíîñò³<br />
ñòåïåíåâîãî ðÿäó, òî â óñ³õ òî÷êàõ, ðîçòàøîâàíèõ íà ³íòåðâàë³<br />
(–|x 0 |, |x 0 |), öåé ðÿä çá³ãàºòüñÿ àáñîëþòíî, à ÿêùî x 1 —<br />
òî÷êà ðîçá³æíîñò³ ñòåïåíåâîãî ðÿäó, òî â óñ³õ òî÷êàõ, ðîçòàøîâàíèõ<br />
ïîçà ³íòåðâàëó (–|x 1 |, |x 1 |), ðÿä ðîçá³ãàºòüñÿ.<br />
Ç òåîðåìè Àáåëÿ âèïëèâàº, ùî ÿêùî ðÿä (12.5.1) çá³ãà-<br />
ºòüñÿ íå ò³ëüêè ïðè x = 0, òî ³ñíóº ÷èñëî R > 0 òàêå, ùî ðÿä<br />
àáñîëþòíî çá³ãàºòüñÿ ïðè |x| R.<br />
²íòåðâàë (–R, R) íàçèâàºòüñÿ ³íòåðâàëîì çá³æíîñò³ ñòåïåíåâîãî<br />
ðÿäó. ×èñëî R íàçèâàºòüñÿ ðàä³óñîì çá³æíîñò³<br />
n<br />
n<br />
464 465
ñòåïåíåâîãî ðÿäó. Ïðè x =±R ðÿä ìîæå àáî çá³ãàòèñÿ, àáî<br />
ðîçá³ãàòèñÿ.<br />
12.5.3. Âèçíà÷åííÿ ðàä³óñà çá³æíîñò³ ñòåïåíåâîãî<br />
ðÿäó<br />
Íàâåäåìî ñïîñ³á âèçíà÷åííÿ ðàä³óñà çá³æíîñò³ ñòåïåíåâîãî<br />
ðÿäó (12.5.1). Ðîçãëÿíåìî ðÿä<br />
a<br />
n+<br />
1<br />
lim 0<br />
n→∞<br />
an<br />
≠<br />
1<br />
. Ïîçíà÷èìî éîãî ÷åðåç<br />
R . Òîä³<br />
a x a x<br />
lim = =<br />
n→∞<br />
R<br />
.<br />
n+<br />
1<br />
n+ 1 n+<br />
1<br />
x lim<br />
n<br />
ax<br />
n→∞<br />
n<br />
an<br />
∞<br />
n<br />
∑ ax<br />
n . Íåõàé<br />
n=<br />
0<br />
Ïðè êîæíîìó çíà÷åíí³ x ñòåïåíåâèé ðÿä ñòຠ÷èñëîâèì<br />
ðÿäîì. Òîìó çà îçíàêîþ Äàëàìáåðà ðÿä<br />
∞<br />
n<br />
∑ ax<br />
n çá³ãàºòüñÿ,<br />
n=<br />
0<br />
x<br />
ÿêùî 1<br />
R < , òîáòî ïðè |x| 1<br />
n<br />
n→∞<br />
n<br />
ax<br />
n<br />
R<br />
³ çàãàëüíèé ÷ëåí ax íå ïðÿìóº äî íóëÿ<br />
n<br />
ïðè n →∞.<br />
n<br />
Òàêèì ÷èíîì, ñòåïåíåâèé ðÿä ∑ ax<br />
n çá³ãàºòüñÿ âñåðåäèí³<br />
³íòåðâàëó (–R, R) ³ ðîçá³ãàºòüñÿ ïîçà íüîãî, òîáòî ðàä³óñ<br />
n=<br />
0<br />
çá³æíîñò³ ðÿäó<br />
∞<br />
a<br />
R = lim<br />
n<br />
n→∞<br />
a<br />
. (12.5.6)<br />
Çàóâàæåííÿ. ßêùî ãðàíèöÿ â (12.5.6) äîð³âíþº íóëþ,<br />
òî ñòåïåíåâèé ðÿä çá³ãàºòüñÿ ò³ëüêè ïðè x = 0, òîáòî R =0.<br />
Ïðè R = ∞ ñòåïåíåâèé ðÿä çá³ãàºòüñÿ íà âñ³é ÷èñëîâ³é ïðÿì³é.<br />
n+<br />
1<br />
Ïðèêëàä 12.5.1. Çíàéòè ðàä³óñ çá³æíîñò³ ðÿäó<br />
x<br />
2<br />
x<br />
n<br />
x ∞<br />
n<br />
x<br />
n=<br />
0<br />
1+ + + K+ + K = ∑ .<br />
1! 2! n ! n !<br />
1 1<br />
= , a =<br />
! 1 !<br />
. Îòæå,<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Òóò n<br />
n+<br />
1<br />
n ( n+<br />
)<br />
a<br />
( n + )<br />
1!<br />
R = lim = lim( n+ 1)<br />
=∞.<br />
n→∞<br />
n!<br />
n→∞<br />
Âèõ³äíèé ðÿä çá³ãàºòüñÿ àáñîëþòíî äëÿ ∈−∞∞ ( , )<br />
x .<br />
Ïðèêëàä 12.5.2. Âèçíà÷èòè ðàä³óñ çá³æíîñò³ ðÿäó<br />
∞<br />
n<br />
x<br />
∑<br />
n .<br />
n=<br />
1<br />
1 1<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Òóò an<br />
= , an+<br />
1<br />
= . Òîìó<br />
n n + 1<br />
n + 1 ⎛ 1⎞<br />
R = lim = lim ⎜1+ ⎟=<br />
1 .<br />
n→∞<br />
n n→∞⎝<br />
n⎠<br />
Ðÿä çá³ãàºòüñÿ àáñîëþòíî äëÿ x ∈− ( 1,1)<br />
.<br />
Ïðèêëàä 12.5.3. Âèçíà÷èòè ðàä³óñ çá³æíîñò³ ðÿäó<br />
∞<br />
∑ nx ! n<br />
.<br />
n=<br />
0<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Òóò a n a ( n )<br />
n<br />
( n )<br />
= !, = + 1 ! ³<br />
n+<br />
1<br />
n! 1<br />
R = lim = lim = 0<br />
n→∞<br />
+ 1! n→∞<br />
n+ 1<br />
.<br />
Ðÿä ðîçá³ãàºòüñÿ íà âñ³é ÷èñëîâ³é ïðÿì³é, êð³ì òî÷êè<br />
x =0.<br />
466 467
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Âèçíà÷èòè ³íòåðâàë çá³æíîñò³ ñòåïåíåâèõ ðÿä³â:<br />
12.27.<br />
12.29.<br />
n<br />
∞ ( −x<br />
∞<br />
n<br />
)<br />
∑ ; 12.28. 2 !<br />
1<br />
1 3<br />
n−<br />
( )<br />
n=<br />
n=<br />
1 2 n !<br />
x<br />
n x<br />
2n<br />
∑ ;<br />
∞ ( x + 8) 3n<br />
∞<br />
∑ ; 12.30. 2 n<br />
10 ( 2x<br />
3) 2n<br />
−<br />
−<br />
1<br />
n=<br />
1<br />
∞<br />
n<br />
2<br />
∑ ;<br />
n=<br />
1<br />
2<br />
12.31. ( 2) n n<br />
∑ − x ; 12.32. ∑ ( −1)<br />
n=<br />
0<br />
∞<br />
n=<br />
1<br />
n−1<br />
12.5.4. Âëàñòèâîñò³ ñòåïåíåâèõ ðÿä³â<br />
Íåõàé ôóíêö³ÿ f(x) º ñóìîþ ñòåïåíåâîãî ðÿäó<br />
( )<br />
2<br />
n<br />
=<br />
0<br />
+<br />
1<br />
+<br />
2<br />
+ +<br />
n<br />
+<br />
( ) 2 n−<br />
x − 4<br />
1<br />
2n<br />
−1<br />
f x a a x a x K a x K, (12.5.7)<br />
³íòåðâàë çá³æíîñò³ ÿêîãî (–R, R).<br />
Ó öüîìó âèïàäêó êàæóòü, ùî íà ³íòåðâàë³ (–R, R) ôóíêö³ÿ<br />
f(x) ðîçêëàäàºòüñÿ â ñòåïåíåâèé ðÿä (àáî â ðÿä çà ñòåïåíÿìè<br />
x) ³ ìàþòü ì³ñöå òàê³ äâ³ âëàñòèâîñò³. Íàâåäåìî ¿õ<br />
áåç äîâåäåííÿ:<br />
1) ÿêùî ôóíêö³ÿ f(x) íà ³íòåðâàë³ (–R, R) ðîçêëàäàºòüñÿ<br />
â ñòåïåíåâèé ðÿä (12.5.7), òî ìîæóòü áóòè âèçíà÷åí³ ¿¿ ïîõ³äí³<br />
áóäü-ÿêîãî ïîðÿäêó íà öüîìó æ ³íòåðâàë³. Ïðè öüîìó<br />
â³äïîâ³äí³ ðÿäè ìàþòü òîé ñàìèé ³íòåðâàë çá³æíîñò³, ùî ³<br />
ðÿä (12.5.7) Íàïðèêëàä,<br />
′<br />
2<br />
n<br />
f′ x = a + a x+ a x + K+ a x + K =<br />
( ) ( 0 1 2<br />
n )<br />
= a + 2a x+ 3a x + K+ na x − + K;<br />
2 n 1<br />
1 2 3<br />
n<br />
2) ÿêùî ôóíêö³ÿ f(x) íà ³íòåðâàë³ (–R, R) ðîçêëàäàºòüñÿ<br />
â ñòåïåíåâèé ðÿä (12.5.7), òî âîíà ³íòåãðîâíà â ³íòåðâàë³<br />
(–R, R) é ³íòåãðàë â³ä íå¿ ìîæå áóòè îá÷èñëåíèé ïî÷ëåííèì<br />
³íòåãðóâàííÿì ðÿäó (12.5.7), òîáòî ÿêùî x 1 , x 2 ∈(–R, R),<br />
òî<br />
.<br />
x2 2<br />
x<br />
2<br />
n<br />
( ) ( 0 1 2<br />
n )<br />
∫ f x dx= ∫ a + ax+ ax + K+ a x + K dx=<br />
x1 x1<br />
x2 x2 x2 x2<br />
2<br />
n<br />
∫ a0dx ∫ a1xdx ∫ a2x dx ∫ an<br />
x dx<br />
x1 x1 x1 x1<br />
+ + + K+ + K.<br />
Ñòàíîâèòü ³íòåðåñ ³íòåãðóâàííÿ ñòåïåíåâîãî ðÿäó (12.5.7)<br />
íà ñåãìåíò³ [0, x], äå |x|
Ïðè a = 0 ðÿä Òåéëîðà º ñòåïåíåâèé ðÿä â³äíîñíî íåçàëåæíî¿<br />
çì³ííî¿ x:<br />
( 0)<br />
( ) ( )<br />
( n ) ( )<br />
f′ 0 f′′<br />
0 f 0<br />
+ + + K+ + K, (12.5.10)<br />
1! 2! n!<br />
2<br />
n<br />
f x x x<br />
ÿêèé íàçèâàºòüñÿ ðÿäîì Ìàêëîðåíà.<br />
Äëÿ ðîçêëàäàííÿ äàíî¿ ôóíêö³¿ â ðÿä Òåéëîðà ïîòð³áíî:<br />
1) çàïèñàòè ðÿä Òåéëîðà äëÿ äàíî¿ ôóíêö³¿, òîáòî îá÷èñëèòè<br />
çíà÷åííÿ ö³º¿ ôóíêö³¿ ³ ¿¿ ïîõ³äíèõ ïðè x = a ³ ï³äñòàâèòè<br />
¿õ äî çàãàëüíîãî âèðàçó ðÿäó Òåéëîðà (12.5.9);<br />
2) äîñë³äèòè çàëèøêîâèé ÷ëåí R n ôîðìóëè Òåéëîðà äëÿ<br />
äàíî¿ ôóíêö³¿ ³ âèçíà÷èòè ñóêóïí³ñòü çíà÷åíü x, ïðè ÿêèõ<br />
îòðèìàíèé ðÿä çá³ãàºòüñÿ äî äàíî¿ ôóíêö³¿ (òîáòî ïðè<br />
ÿêèõ x lim Rn<br />
= 0 ).<br />
n→∞<br />
Ïðè ðîçêëàäàíí³ áàãàòüîõ ôóíêö³é â ðÿä Òåéëîðà ìîæíà<br />
çàì³ñòü äîñë³äæåííÿ â³äïîâ³äíîãî çàëèøêîâîãî ÷ëåíà R n , ùî<br />
â áàãàòüîõ âèïàäêàõ äóæå âàæêî, äîñë³äèòè çá³æí³ñòü ñàìîãî<br />
ðÿäó Òåéëîðà, ÿê çâè÷àéíîãî ñòåïåíåâîãî ðÿäó.<br />
Ðîçãëÿíåìî ðîçêëàäàííÿ äåÿêèõ åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³é â<br />
ðÿä Ìàêëîðåíà.<br />
Ðîçêëàäàííÿ ôóíêö³¿ f(x) =e x . Ìàºìî:<br />
( n<br />
′( ) ′′( )<br />
)<br />
( )<br />
çâ³äêè ïðè x = 0 îäåðæóºìî: ′( ) ′′( )<br />
f x = f x = = f x = e<br />
x<br />
K ,<br />
( n )<br />
( )<br />
f 0 = f 0 = K = f 0 = 1 (äèâ.<br />
ïðèêë. 7.9.7). Çà ôîðìóëîþ (12.5.10) äëÿ ôóíêö³¿ e x ñêëàäåìî<br />
ðÿä Ìàêëîðåíà:<br />
x<br />
2<br />
x<br />
n<br />
x ∞<br />
n<br />
x<br />
n=<br />
0<br />
x<br />
e = 1+ + + K+ + K = ∑ . (12.5.11)<br />
1! 2! n ! n !<br />
Çíàéäåìî ³íòåðâàë çá³æíîñò³ ðÿäó (12.5.11)<br />
( n + )<br />
a<br />
1!<br />
R = lim = lim = lim( n+ 1)<br />
=∞ .<br />
n<br />
n an+<br />
1<br />
n n!<br />
n Îòæå, ðÿä (12.5.11) àáñîëþòíî çá³ãàºòüñÿ íà âñ³é ÷èñëîâ³é<br />
ïðÿì³é.<br />
Ðîçêëàäàííÿ ôóíêö³¿ f(x) = sin x. Ìàºìî:<br />
f′ x = x = ⎛ x +<br />
π ⎞<br />
( ) cos sin ⎜<br />
2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ , ( )<br />
= sin<br />
⎛<br />
⎜x+<br />
n π ⎞<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎛ π ⎞<br />
( n<br />
f′′ x =− sin x = sin ⎜x + 2 , , f ) ( x)<br />
=<br />
2<br />
⎟ K<br />
⎝ ⎠<br />
. Çâ³äêè, ïîêëàâøè x = 0, îäåðæóºìî: f ( 0 ) = 0,<br />
( ) ( ) ( )<br />
( 4 ) ( )<br />
f′ 0 = 1, f′′ 0 = 0, f′′′<br />
0 = − 1, f 0 = 0, K (äèâ. ïðèêë. 7.9.8).<br />
Ñêëàäåìî çà ôîðìóëîþ (12.4.10) äëÿ ôóíêö³¿ sin x ðÿä Ìàêëîðåíà:<br />
n−<br />
( − ) x<br />
( n−<br />
)<br />
n−<br />
( − ) x<br />
( n−<br />
)<br />
3 5 7<br />
1 2n−1 1 2n−1<br />
x x x 1 ∞ 1<br />
3! 5! 7! 2 1 ! n=<br />
1 2 1 !<br />
sin x = x− + − + K + + K = ∑<br />
.<br />
Ëåãêî ïåðåâ³ðèòè, ùî îòðèìàíèé ðÿä çá³ãàºòüñÿ àáñîëþòíî<br />
íà âñ³é ÷èñëîâ³é ïðÿì³é:<br />
( n + )<br />
( n−<br />
)<br />
a 2 1 !<br />
R = lim = lim = lim 2n( n+ 1)<br />
=∞.<br />
n<br />
n an+<br />
1<br />
n 2 1 ! n Ðîçêëàäàííÿ ôóíêö³¿ f(x) = cos x. Àíàëîã³÷íî ïîïåðåäíüîìó<br />
ìîæíà îòðèìàòè ðîçêëàäàííÿ ôóíêö³¿ cos x ó ðÿä<br />
Ìàêëîðåíà, ÿêå ñïðàâåäëèâå ïðè áóäü-ÿêîìó x. Îäíàê ùå<br />
ïðîñò³øå ðîçêëàäàííÿ cos x îòðèìóºòüñÿ ïðè âèêîðèñòàíí³<br />
âëàñòèâîñò³ ïî÷ëåííîãî äèôåðåíö³þâàííÿ ñòåïåíåâîãî ðÿäó,<br />
â äàíîìó âèïàäêó ðÿäó äëÿ sin x:<br />
3<br />
′<br />
5<br />
′<br />
7<br />
′<br />
n−1 ′<br />
2n−1<br />
′ ′ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛( −1)<br />
x ⎞<br />
cos x = ( sin x) = ( x)<br />
− ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + + +<br />
3! 5! 7! K ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ( 2n<br />
−1 )!<br />
⎟<br />
K,<br />
⎝ ⎠<br />
çâ³äêè<br />
n<br />
( − ) x<br />
( n)<br />
n<br />
( − ) x<br />
( n)<br />
1 1<br />
K K .<br />
2 4 6<br />
2n<br />
2n<br />
x x x<br />
∞<br />
cos x = 1− + − + + + = ∑<br />
2! 4! 6! 2 ! n=<br />
0 2 !<br />
470 471
12.5.6. Äîâåäåííÿ ôîðìóëè Åéëåðà<br />
Âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçêëàäàííÿ ó ðÿä Ìàêëîðåíà ôóíêö³é<br />
e x , sin x, cos x, îòðèìàºìî:<br />
2 3 4<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
2 4 6<br />
ix ix ix ix ix ix ⎛ x x x ⎞<br />
e = 1+ + + + + K+ + K= ⎜1− + − + K⎟+<br />
1! 2! 3! 4! n! ⎝ 2! 4! 6! ⎠<br />
3 5 7<br />
⎛ x x x ⎞<br />
2<br />
+ i⎜x− + − + K ⎟ = cos x+ isin x ( i =−1)<br />
⎝ 3! 5! 7!<br />
. (12.5.12)<br />
⎠<br />
Òóò ³ — óÿâíà îäèíèöÿ (äèâ. äîäàòîê 1).<br />
Êð³ì ðîçãëÿíóòèõ ôóíêö³é e x , sin x, cos x, ó ðÿä Ìàêëîðåíà<br />
ìîæóòü áóòè ðîçêëàäåí³ ³ áàãàòî ³íøèõ ôóíêö³é.<br />
Çàì³ñòü ðÿäó Ìàêëîðåíà ìîæíà áóëî á ðîçãëÿíóòè ³<br />
á³ëüø çàãàëüíèé ðÿä Òåéëîðà (12.5.9). Âèêëàäåíå ö³ëêîì<br />
ïåðåíîñèòüñÿ ³ íà ðîçêëàäàííÿ ðîçãëÿíóòèõ ôóíêö³é ó ðÿä<br />
Òåéëîðà.<br />
Äëÿ ðîçêëàäàííÿ äåÿêèõ ôóíêö³é ó ðÿä ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè<br />
³íøó âëàñòèâ³ñòü ñòåïåíåâèõ ðÿä³â — ¿õ ïî÷ëåííå<br />
³íòåãðóâàííÿ.<br />
Ïðèêëàä 12.5.4. Ðîçêëàñòè çà äîïîìîãîþ ïî÷ëåííîãî ³íòåãðóâàííÿ<br />
äî ñòåïåíåâèõ ðÿä³â ôóíêö³¿ ln(1 + x) ³ arctg x.<br />
2 3<br />
n<br />
Ðîçãëÿíåìî ðÿä 1+ x+ x + x + K+ x + K. Äàíèé ðÿä º ãåîìåòðè÷íîþ<br />
ïðîãðåñ³ºþ ç³ çíàìåííèêîì q = x. Ïðè x < 1 ðÿä<br />
çá³ãàºòüñÿ ³ éîãî ñóìà äîð³âíþº<br />
1<br />
1<br />
2 3<br />
n<br />
1 x x x x<br />
− x = + + + + + +<br />
n<br />
K K. (12.5.13)<br />
1<br />
гâí³ñòü (12.5.13) º ðîçêëàäàííÿì ôóíêö³¿ f( x)<br />
= â<br />
1 − x<br />
ñòåïåíåâèé ðÿä. ϳäñòàâëÿþ÷è â íüîãî –t çàì³ñòü x, îòðèìà-<br />
ºìî ð³âí³ñòü<br />
1<br />
2 3<br />
n n<br />
1 t t t ( 1)<br />
t<br />
1+ t = − + − + K + − + K,<br />
ÿêà ñïðàâåäëèâà ïðè t < 1. dzíòåãðóºìî öåé ñòåïåíåâèé ðÿä<br />
ïî÷ëåííî ó ìåæàõ â³ä 0 äî x ( x < 1 ). Ìàºìî<br />
n n<br />
( K)<br />
x<br />
dt<br />
x<br />
x<br />
2 3<br />
∫ ln ( 1 t) ln ( 1 x) 1 t t t ( 1)<br />
t dt<br />
01<br />
t = + 0<br />
= + = ∫ − + − + K<br />
+<br />
+ − + =<br />
0<br />
Çâ³äñè<br />
2 3 4 n+<br />
1<br />
x t x t x t x n t x<br />
= t − + − + K+ ( − 1)<br />
+ K=<br />
0 2 0 3 0 4 0 n + 1 0<br />
2 3 4 n+<br />
1<br />
x x x n x<br />
= x − + − + K+ ( − 1)<br />
+ K.<br />
2 3 4 n + 1<br />
2 3 4 n+<br />
1<br />
x x x n x<br />
ln( 1+ x) = x− + − + K+ ( − 1)<br />
+ K. (12.5.14)<br />
2 3 4 n + 1<br />
Ïîêàæåìî, ùî îòðèìàíå ðîçêëàäàííÿ ôóíêö³¿ ln(1 + x) ó<br />
ñòåïåíåâèé ðÿä ñïðàâåäëèâå ³ ïðè x = 1. ijéñíî ïðè x =1<br />
ë³âà ÷àñòèíà (12.4.14) äîð³âíþº ln 2, à ïðàâà ÷àñòèíà —<br />
çá³æíèé çà îçíàêîþ Ëåéáí³öà ÷èñëîâèé ðÿä<br />
1 1 1 n−<br />
1− + − + K+ ( − 1) 1 1 + K. (12.5.15)<br />
2 3 4<br />
n<br />
Çàëèøàºòüñÿ ïåðåâ³ðèòè ñïðàâåäëèâ³ñòü ð³âíîñò³<br />
1 1 1 n−<br />
ln 2 = 1− + − + K+ ( − 1) 1 1 + K. (12.5.16)<br />
2 3 4<br />
n<br />
Äëÿ öüîãî ç³íòåãðóºìî â³ä 0 äî 1 âèðàç<br />
n<br />
1<br />
2 3 n−1<br />
n−1<br />
n t<br />
= 1− t+ t − t + K + ( − 1) t + ( −1)<br />
,<br />
1+ t<br />
1+<br />
t<br />
îòðèìàíèé ó ðåçóëüòàò³ ä³ëåííÿ îäèíèö³ íà 1 + t. Ìàºìî<br />
1 1<br />
n<br />
dt<br />
1 ⎛<br />
1<br />
( ) 2 3 n−<br />
n−<br />
ln 1 ln 2 1 ( 1) 1 n t ⎞<br />
∫ = + t = = ∫⎜ − t+ t − t + K+ − t + ( − 1)<br />
⎟dt<br />
=<br />
01+ t 0<br />
0⎝<br />
1+<br />
t⎠<br />
472 473
àáî<br />
1<br />
( ) ( ) 1 n<br />
1 1 1 n−<br />
1 n t<br />
K<br />
2 3 4 n<br />
01+<br />
= 1− + − + + − 1 + −1<br />
∫<br />
dt<br />
t<br />
( ) 1 n<br />
n t<br />
ln 2 − Sn<br />
= −1<br />
∫ dt , (12.5.17)<br />
0 1+<br />
t<br />
äå S n — ÷àñòèííà ñóìà ïåðøèõ n äîäàíê³â ðÿäó.<br />
Íåâàæêî ïîáà÷èòè, ùî<br />
1 n 1 n 1<br />
n+<br />
1<br />
n t t n t 1 1<br />
− 1 ∫ dt = ∫ dt < ∫t dt = = →0<br />
ïðè n →∞<br />
01+ t 01+ t 0 n+ 1 0 n+<br />
1<br />
,<br />
( )<br />
òîáòî ³íòåãðàë â ïðàâ³é ÷àñòè (12.4.17) ïðÿìóº äî íóëÿ ïðè<br />
n →∞ ³, îòæå, lim Sn<br />
= ln 2 . Öå îçíà÷ຠñïðàâåäëèâ³ñòü ð³âíîñò³<br />
n→∞<br />
(12.5.16).<br />
Çíàéäåìî òåïåð ðîçêëàäàííÿ ôóíêö³¿ arctg x. ϳäñòàâëÿþ÷è<br />
äî (12.5.13) –t 2 çàì³ñòü x ³ ³íòåãðóþ÷è ïî t â³ä 0 äî x,<br />
îòðèìàºìî<br />
3 5 7 2n+<br />
1<br />
x x x n x<br />
arctgx= x− + − + K+ ( − 1)<br />
+ K (12.5.18)<br />
3 5 7 2n<br />
+ 1<br />
гâí³ñòü (12.5.18) ñïðàâåäëèâà ïðè x < 1 . Îäíàê àíàëîã³÷íî<br />
ïîïåðåäíüîìó ìîæíà ïîêàçàòè, ùî âîíà ñïðàâåäëèâà ³<br />
äëÿ x = ±1.<br />
12.6. ÇÀÑÒÎÑÓÂÀÍÍß ÐßIJÂ<br />
×èñëîâ³ ³ ôóíêö³îíàëüí³ ðÿäè øèðîêî âèêîðèñòîâóþòüñÿ<br />
äëÿ îá÷èñëåííÿ ôóíêö³é, ³íòåãðàë³â, ùî íå âèðàæàþòüñÿ â<br />
åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³ÿõ, ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ àëãåáðà¿÷íèõ, äèôåðåíö³àëüíèõ<br />
ð³âíÿíü.<br />
Äëÿ îá÷èñëåííÿ ôóíêö³é âèêîðèñòîâóþòüñÿ çâè÷àéíî<br />
ñòåïåíåâ³ ðÿäè. Ôóíêö³ÿ ðîçêëàäàºòüñÿ äî ðÿäó Òåéëîðà â<br />
îêîë³ ò³º¿ òî÷êè, â ÿê³é ïîòð³áíî âèçíà÷èòè çíà÷åííÿ ôóíêö³¿.<br />
Äàºòüñÿ îö³íêà çàëèøêó ðÿäó ³ îá÷èñëþºòüñÿ çíà÷åííÿ<br />
ôóíêö³¿ ç çàäàíèì ñòåïåíºì òî÷íîñò³. Àíàëîã³÷íî ä³þòü<br />
ïðè îá÷èñëåíí³ ³íòåãðàëà, ç òîþ ëèøå ð³çíèöåþ, ùî ó ñòåïå-<br />
íåâèé ðÿä ðîçêëàäàºòüñÿ ï³ä³íòåãðàëüíà ôóíêö³ÿ. Âèçíà÷àþòüñÿ<br />
óìîâè ³íòåãðîâíîñò³ öüîãî ðÿäó, à òàêîæ îö³íþºòüñÿ<br />
çàëèøîê ðÿäó, îòðèìàíîãî ï³ñëÿ ³íòåãðóâàííÿ.<br />
12.6.1. Çàñòîñóâàííÿ ðÿä³â äëÿ îá÷èñëåííÿ âèçíà÷åíèõ<br />
³íòåãðàë³â<br />
a<br />
sin x<br />
Ïðèêëàä 12.6.1. Îá÷èñëèòè ³íòåãðàë ∫ dx .<br />
0 x<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îá÷èñëèòè öåé ³íòåãðàë çà äîïîìîãîþ<br />
ôîðìóëè Íüþòîíà – Ëåéáí³öà íåìîæëèâî, îñê³ëüêè ïåðâ³ñíà<br />
ôóíêö³¿ sin x íå º åëåìåíòàðíîþ. Ðàçîì ç òèì öÿ ïåðâ³ñíà<br />
x<br />
ëåãêî âèðàæàºòüñÿ ó âèãëÿä³ ñòåïåíåâîãî ðÿäó.<br />
3 5 7<br />
x x x<br />
ijéñíî, îñê³ëüêè sin x = x− + − +K , òî, ïîìíîæóþ÷è<br />
3! 5! 7!<br />
öåé ðÿä íà 1 x , îòðèìàºìî 2 4 6<br />
sin x x x x<br />
= 1− + − +K ,<br />
x 3! 5! 7!<br />
ïðè÷îìó öåé ðÿä çá³ãàºòüñÿ ïðè áóäü-ÿêîìó x. ²íòåãðóþ÷è<br />
éîãî ïî÷ëåííî â³ä 0 äî a, ìàºìî<br />
a 3 5 7<br />
sin<br />
∫ x dx = a − a + a − a + K.<br />
0 x 3!3 5!5 7!7<br />
Çà äîïîìîãîþ ö³º¿ ð³âíîñò³ ìîæíà ïðè áóäü-ÿêîìó a ç<br />
áóäü-ÿêèì ñòåïåíåì òî÷íîñò³ îá÷èñëèòè äàíèé ³íòåãðàë.<br />
12.6.2. Çàñòîñóâàííÿ ðÿä³â äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ äèôåðåíö³àëüíèõ<br />
ð³âíÿíü<br />
Çíà÷íó ðîëü ãðàþòü ñòåïåíåâ³ ðÿäè â íàáëèæåíèõ ìåòîäàõ<br />
ðîçâ’ÿçàííÿ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü.<br />
²íòåãðàë äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ íå çàâæäè ìîæíà<br />
âèðàçèòè â åëåìåíòàðíèõ ôóíêö³ÿõ àáî çà äîïîìîãîþ ñê³í-<br />
÷åííîãî ÷èñëà êâàäðàòóð (³íòåãðàë³â).  á³ëüøîñò³ âèïàäê³â<br />
êîæíå äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ ÿâëÿº ñîáîþ îñîáëèâó ôóí-<br />
474 475
êö³þ, êîòðó íàé÷àñò³øå ìîæíà çîáðàçèòè ó âèãëÿä³ íåñê³í-<br />
÷åííîãî ôóíêö³îíàëüíîãî ðÿäó.<br />
²íòåãðàëè áàãàòüîõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü, çàãàëüí³ àáî<br />
÷àñòèíí³, ìîæóòü áóòè íàäàí³ ó âèãëÿä³ ñòåïåíåâîãî ðÿäó,<br />
çá³æíîãî â äåÿêîìó ³íòåðâàë³ çíà÷åíü íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿.<br />
 òàêîìó âèïàäêó ðÿä, ùî º ³íòåãðàëîì ð³âíÿííÿ, ìîæíà<br />
çíàéòè àáî ìåòîäîì íåâèçíà÷åíèõ êîåô³ö³ºíò³â, àáî ìåòîäîì,<br />
çàñíîâàíèì íà çàñòîñóâàíí³ ðÿäó Ìàêëîðåíà (Òåéëîðà).<br />
Ïðèêëàä 12.6.2. Çíàéòè ó âèãëÿä³ ñòåïåíåâîãî ðÿäó ÷àñòèííèé<br />
³íòåãðàë ð³âíÿííÿ y′′ + + y = 0 , ÿêèé çàäîâîëüíÿº<br />
y′<br />
x<br />
ïî÷àòêîâ³ âèìîãè: y( 0) = 1, y′ ( 0)<br />
= 0.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïðèïóñòèìî, ùî øóêàíèé ³íòåãðàë ÿâëÿº<br />
2<br />
n<br />
ñîáîþ çá³æíèé ñòåïåíåâèé ðÿä y = a0 + a1x+ a2x + K+ anx<br />
+ K,<br />
äå a0, a1, K, a n<br />
, K— íåâ³äîì³ êîåô³ö³ºíòè, ÿê³ ï³äëÿãàþòü âèçíà÷åííþ.<br />
Çíàéäåìî ðÿäè äëÿ y′ ³ y′′ éîãî ïî÷ëåííèì äèôåðåíö³þâàííÿì<br />
y′ = a + 2ax+ 3ax + K+ nax − + K,<br />
2 n 1<br />
1 2 3<br />
n<br />
( )<br />
y′′ = 2a + 3⋅ 2a x+ 4⋅ 3a x + K+ n n− 1 a x − + K.<br />
2 n 2<br />
2 3 4<br />
n<br />
Âèêîðèñòîâóþ÷è ïî÷àòêîâ³ óìîâè, çíàéäåìî çíà÷åííÿ<br />
äâîõ ïåðøèõ êîåô³ö³ºíò³â: y( 0) = a0 = 1, y′<br />
( 0)<br />
= a1<br />
= 0 .<br />
ϳäñòàâëÿþ÷è ðÿäè äëÿ y, y′ ³ y′′ äî çàäàíîãî ð³âíÿííÿ ³<br />
çâîäÿ÷è ïîä³áí³ ÷ëåíè, îòðèìàºìî<br />
( 1 2<br />
2) 3<br />
3 ( 2<br />
4<br />
4) ( 3<br />
5<br />
5)<br />
+ 2 + 2 + + 2 2 + + 2 3 + +<br />
a a x a a x a a x<br />
( ( )<br />
2<br />
n<br />
n+<br />
2 )<br />
n<br />
+ a + n+ 2 a x + K = 0.<br />
Ïðèð³âíþþ÷è äî íóëÿ âñ³ êîåô³ö³ºíòè ðÿäó, ùî çíàõîäèòüñÿ<br />
ó ë³â³é ÷àñòèí³ ö³º¿ ð³âíîñò³ (òîìó ùî ò³ëüêè ïðè<br />
ö³é óìîâ³ ðÿä áóäå òîòîæíî äîð³âíþâàòè íóëþ), îòðèìàºìî<br />
ñèñòåìó<br />
K<br />
K ( ) 2<br />
K,<br />
2 2 2 2<br />
1+ 2 a2 = 0; 3 a3 = 0; a2 + 4 a4 = 0; a3 + 5 a5 = 0, , an<br />
+ n+ 2 a<br />
n + 2<br />
= 0,<br />
³ç ÿêî¿ çíàõîäèìî íàñòóïí³ çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíò³â:<br />
a = a = a = K= a +<br />
= K = ;<br />
3 5 7 2n<br />
1<br />
0<br />
n<br />
( − )<br />
K( n)<br />
n<br />
( − )<br />
n<br />
( n )<br />
1 1 1<br />
1 1<br />
a2 =− ; a<br />
2 4<br />
= ; a<br />
2 2 6<br />
=− ; K; a<br />
2 2 2 2n<br />
= = ; K<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2 4 2 4 6<br />
.<br />
24 2 4 !<br />
Òàêèì ÷èíîì, øóêàíèé ÷àñòèííèé ³íòåãðàë äàíîãî ð³âíÿííÿ<br />
º ñòåïåíåâèé ðÿä<br />
2 3<br />
( ) ( ) ( )<br />
n 2<br />
( −1)<br />
x<br />
n<br />
( n )<br />
2 4 6<br />
x x x<br />
y = 1 − + − + K+ + K<br />
2 2 2 2 ,<br />
41! 4 2! 4 3! 4 !<br />
ÿêèé çá³ãàºòüñÿ ïðè áóäü-ÿêîìó çíà÷åíí³ x çã³äíî ç îçíàêîþ<br />
Äàëàìáåðà. Àáñîëþòíà âåëè÷èíà â³äíîøåííÿ íàñòóïíîãî<br />
÷ëåíà ðÿäó äî ïîïåðåäíüîãî:<br />
2n+<br />
2 2n<br />
2<br />
x x x<br />
: =<br />
⎣ ⎦ 4 ! 4 1<br />
n<br />
( n + ) ⎤ ( n ) ( n+<br />
)<br />
1<br />
2 2 2<br />
4<br />
n+<br />
⎡ 1 !<br />
ïðè áóäü-ÿêîìó x ³ ïðè íåîáìåæåíîìó çðîñòàíí³ n ïðÿìóº<br />
äî íóëÿ.<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
1. Çíàéòè ïåðø³ ÷îòèðè ÷ëåíè ðîçêëàäàííÿ â ñòåïåíåâèé<br />
ðÿä ÷àñòèííîãî ³íòåãðàëà ð³âíÿíü:<br />
y′′ − ycos x= x, y 0 = 1, y′<br />
0 = 0 ;<br />
12.33. ( ) ( )<br />
12.34. y′′ y′ x y y( ) y′<br />
( )<br />
12.35. y′′ − x 2 y = 0, y( 0) = y′<br />
( 0)<br />
= 1 ;<br />
12.36. y′′ y x y( ) y′<br />
( )<br />
− sin + = 1, 0 = 0 = 1;<br />
+ cos = 0, 0 = 3, 0 = 0 .<br />
n<br />
476 477
2. Çíàéòè ðîçêëàäàííÿ â ñòåïåíåâèé ðÿä ÷àñòèííîãî ³íòåãðàëà<br />
ð³âíÿíü:<br />
12.37. y′′ xy y( ) y′<br />
( )<br />
− = 0, 0 = 0, 0 = 1;<br />
12.38. xy′′ y′ xy y( ) y′<br />
( )<br />
³äïîâ³ä³:<br />
12.33.<br />
12.34.<br />
12.35.<br />
12.36.<br />
12.37.<br />
+ 2 − = 0, 0 = 1, 0 = 1.<br />
2 3 5<br />
x x x<br />
y = 1+ + + +K;<br />
2! 3! 5!<br />
2 4 5<br />
x x x<br />
y= x+ + − +K;<br />
2! 4! 5!<br />
4 5 8<br />
x x x<br />
y= 1+ x+ + + +K;<br />
12 20 672<br />
2 4 6 8<br />
3x x 3x x<br />
y = 3− + − + +K;<br />
2 4 80 2688<br />
n=<br />
1<br />
K ( n )<br />
( 3n<br />
+ 1 )!<br />
∞ 258 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 −1<br />
y = x+ ∑<br />
x<br />
∞<br />
12.38. y ∑ ( 1)<br />
n=<br />
1<br />
3n+<br />
1<br />
2n−2<br />
n−1<br />
x<br />
= − −∞<
Âèðàç âèäó<br />
a+bi=z,<br />
äå à — ä³éñíå ÷èñëî, bi — óÿâíå ÷èñëî, íàçèâàºòüñÿ êîìïëåêñíèì<br />
÷èñëîì.<br />
ijéñíà òà óÿâíà ÷àñòèíè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà â³äïîâ³äíî<br />
ïîçíà÷àþòüñÿ a = Re z, b =Imz ³ z=Re z+Im z ⋅ i.<br />
Êîìïëåêñíå ÷èñëî äîð³âíþº íóëþ, ÿêùî ä³éñíà ÷àñòèíà ³<br />
êîåô³ö³ºíò ïðè óÿâí³é îäèíèö³ äîð³âíþþòü íóëþ.<br />
Äâà êîìïëåêñíèõ ÷èñëà z 1 = a 1 + b 1 i ³ z 2 = a 2 + b 2 i<br />
ââàæàþòüñÿ ð³âíèìè ì³æ ñîáîþ òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè<br />
ð³âí³ ¿õ ä³éñí³ ÷àñòèíè ³ êîåô³ö³ºíòè ïðè óÿâí³é îäèíèö³.<br />
Ïîíÿòòÿ “á³ëüøå” ³ “ìåíøå” äëÿ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë íå<br />
ìàþòü ñìèñëó.<br />
Çàïèñ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ó âèãëÿä³<br />
z=a+bi<br />
íàçèâàºòüñÿ àëãåáðà¿÷íîþ ôîðìîþ çàïèñó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.<br />
13.1.2. Çîáðàæåííÿ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë<br />
Ãåîìåòðè÷íî êîìïëåêñíå ÷èñëî z = a + bi ìຠâèãëÿä<br />
òî÷êè íà ïëîùèí³ ç êîîðäèíàòàìè (a, b). Îòæå, êîìïëåêñíå<br />
÷èñëî a + bi º ïàðà äâîõ óïîðÿäêîâàíèõ ÷èñåë (a, b).<br />
Ïëîùèíà (õ, ó), íà ÿê³é çîáðàæóþòüñÿ êîìïëåêñí³ ÷èñëà,<br />
íàçèâàºòüñÿ êîìïëåêñíîþ ïëîùèíîþ (ðèñ. 13.1). Ïðè öüîìó<br />
â³ñü Ox íàçèâàºòüñÿ ä³éñíîþ â³ññþ, à â³ñü Oy — óÿâíîþ.<br />
ßêùî ââåñòè ðàä³óñ-âåêòîð r òî÷êè z = (a, b) êîìïëåêñíî¿<br />
ïëîùèíè, òî êîìïëåêñíå ÷èñëî ìîæíà çîáðàçèòè ðàä³óñâåêòîðîì<br />
r . Ïîçíà÷èìî ÷åðåç r = r , òîä³ (ðèñ. 13.1) a= r<br />
cos ϕ ³ b = r sin ϕ.<br />
Îòæå, êîìïëåêñíå ÷èñëî z = a + bi ìîæíà çàïèñàòè ó<br />
âèãëÿä³<br />
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).<br />
Ðèñ. 13.1<br />
Òàêèé çàïèñ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íàçèâàºòüñÿ òðèãîíîìåòðè÷íîþ<br />
ôîðìîþ çàïèñó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.<br />
Äîâæèíà âåêòîðà r<br />
2 2<br />
r = r = a + b<br />
íàçèâàºòüñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z ³ ïîçíà÷àºòüñÿ<br />
2 2<br />
z = a + b . (13.1.1)<br />
ßêùî b=0, òî z=a — ä³éñíå ÷èñëî.<br />
Êóò ϕ íàçèâàºòüñÿ àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Äëÿ<br />
áóäü-ÿêîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà àðãóìåíò (Arg) âèçíà÷àºòüñÿ<br />
ç òî÷í³ñòþ äî äîäàíêà, êðàòíîãî 2π, â³äíîñíî ãîëîâíîãî çíà-<br />
÷åííÿ arg z:<br />
Arg z = arg z + 2πk, k = 0, ±1, ±2,… (0 ≤ arg z
Äëÿ ñïðÿæåíèõ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë ìîäóë³ ð³âí³, à àðãóìåíòè<br />
ïðîòèëåæí³ arg z =− arg z .<br />
13.1.3. ij¿ íàä êîìïëåêñíèìè ÷èñëàìè<br />
1. Ñóìîþ äâîõ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë z 1 =a 1 +ib 1 ³ z 2 =a 2 +ib 2<br />
íàçèâàºòüñÿ êîìïëåêñíå ÷èñëî z, ÿêå îáóìîâëåíå ð³âí³ñòþ<br />
z=z 1 +z 2 = (a 1 +b 1 i) + (a 2 +b 2 i) = (a 1 +a 2 ) + (b 1 +b 2 ) i. (13.1.2)<br />
2. гçíèöåþ äâîõ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë z 1 = a 1 + b 1 i ³<br />
z 2 =a 2 +b 2 i íàçèâàºòüñÿ òàêå êîìïëåêñíå ÷èñëî z, ÿêå, áóäó-<br />
÷è ñêëàäåíå ç z 2 , äຠâ ñóì³ êîìïëåêñíå ÷èñëî z 1 :<br />
z=z 1 –z 2 = (a 1 +b 1 i)–(a 2 +b 2 i) = (a 1 –a 2 ) + (b 1 –b 2 )i. (13.1.3)<br />
³äçíà÷èìî, ùî ìîäóëü ð³çíèö³ äâîõ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë<br />
äîð³âíþº â³äñòàí³ ì³æ òî÷êàìè, ùî çîáðàæóþòü ö³ ÷èñëà íà<br />
ïëîùèí³ êîìïëåêñíî¿ çì³ííî¿<br />
z − z = ( a − a ) + ( b −b<br />
) .<br />
2 2<br />
1 2 1 2 1 2<br />
3. Äîáóòêîì êîìïëåêñíèõ ÷èñåë z 1 =a 1 +b 1 i ³ z 2 =a 2 +b 2 i<br />
íàçèâàºòüñÿ òàêå êîìïëåêñíå ÷èñëî z, ÿêå âèõîäèòü, ÿêùî<br />
ïåðåìíîæèòè ö³ ÷èñëà ÿê äâî÷ëåíè çà ïðàâèëàìè àëãåáðè,<br />
âðàõîâóþ÷è ò³ëüêè, ùî i 2 =−1.<br />
Íà ï³äñòàâ³ öüîãî ïðàâèëà îäåðæóºìî<br />
z = z 1 z 2 =(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i)=a 1 a 2 + b 1 a 2 i + a 1 b 2 i + b 1 b 2 i 2 =<br />
= (a 1 a 2 –b 1 b 2 )+(b 1 a 2 +a 1 b 2 )i. (13.1.4)<br />
ßêùî êîìïëåêñí³ ÷èñëà çàäàí³ â òðèãîíîìåòðè÷í³é ôîðì³,<br />
òî íåâàæêî äîâåñòè, ùî<br />
z=z 1 z 2 =r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) ⋅ r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) =<br />
=r 1 r 2 (cos ϕ 1 cos ϕ 2 + i sin ϕ 1 cos ϕ 2 + i cos ϕ 1 sin ϕ 2 + i 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 )=<br />
=r 1 r 2 [(cos ϕ 1 cos ϕ 2 −sin ϕ 1 sin ϕ 2 )+i (sin ϕ 1 cosϕ 2 + cosϕ 1 sinϕ 2 )]=<br />
=r 1 r 2 [cos(ϕ 1 +ϕ 2 )+i sin(ϕ 1 +ϕ 2 )], (13.1.5)<br />
òîáòî äîáóòîê äâîõ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë º òàêå êîìïëåêñíå<br />
÷èñëî, ìîäóëü ÿêîãî äîð³âíþº äîáóòêó ìîäóë³â ñï³âìíîæíèê³â,<br />
à àðãóìåíò äîð³âíþº ñóì³ àðãóìåíò³â ñï³âìíîæíèê³â.<br />
Çàóâàæåííÿ. Äîáóòîê ñïðÿæåíèõ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë<br />
z=a+bi ³ z=a− bi íà ï³äñòàâ³ ð³âíîñò³ (13.1.4) çíàõîäèòüñÿ<br />
òàêèì ÷èíîì:<br />
2 2 2 2<br />
zz a b z z<br />
= + = = ,<br />
òîáòî äîáóòîê ñïðÿæåíèõ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë äîð³âíþº êâàäðàòó<br />
ìîäóëÿ êîæíîãî ç íèõ.<br />
4. ijëåííÿ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë âèçíà÷àºòüñÿ ÿê ä³ÿ, îáåðíåíà<br />
ìíîæåííþ.<br />
2 2<br />
Íåõàé z 1 =a 1 +b 1 i, z 2 =a 2 +b 2 i, z2 = a2 + b2 ≠ 0 . Òîä³<br />
z 1 /z 2 =z º òàêå êîìïëåêñíå ÷èñëî, ùî z 1 =z 2 z. ßêùî<br />
a<br />
a<br />
+ bi<br />
= x+<br />
yi<br />
+ bi<br />
,<br />
1 1<br />
2 2<br />
òî a 1 +b 1 i=(a 2 +b 2 i)(x +yi) = (a 2 x–b 2 y) + (a 2 y+b 2 x)i, äå õ, ó<br />
âèçíà÷àþòüñÿ ç ñèñòåìè ð³âíÿíü<br />
⎧ a1 = a2x −b2y aa<br />
1 2+ bb<br />
1 2<br />
ab<br />
2 1−ab<br />
1 2<br />
⎨<br />
⇒ x = , y =<br />
.<br />
2 2 2 2<br />
⎩b1 = b2x − a2y a2 + b2 a2 + b2<br />
Îñòàòî÷íî îòðèìàºìî<br />
aa + bb ab − ab<br />
z = +<br />
i.<br />
1 2 1 2 2 1 1 2<br />
2 2 2 2<br />
a2 + b2 a2 + b2<br />
(13.1.6)<br />
Ïðàêòè÷íî ä³ëåííÿ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë âèêîíóºòüñÿ òàêèì<br />
÷èíîì: ùîá ðîçä³ëèòè z 1 =a 1 +b 1 i íà z 2 =a 2 +b 2 i, ïîìíîæèìî<br />
ä³ëåíå ³ ä³ëüíèê íà êîìïëåêñíå ÷èñëî, ñïðÿæåíå ä³ëüíèêó<br />
(òîáòî íà a 2 − b 2 i), â ðåçóëüòàò³ îòðèìàºìî ôîðìóëó<br />
(13.1.6).<br />
ßêùî êîìïëåêñí³ ÷èñëà çàäàí³ â òðèãîíîìåòðè÷í³é ôîðì³<br />
z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ), z 2 =r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ),<br />
482 483
òî<br />
z<br />
z r (cos ϕ + isin ϕ ) r<br />
(cos( ) sin( )).<br />
1 1 1 1 1<br />
= = = ϕ1 −ϕ<br />
2<br />
+ i ϕ1 −ϕ2<br />
z2 r2(cos ϕ<br />
2<br />
+ isin ϕ2)<br />
r2<br />
(13.1.7)<br />
Äëÿ ïåðåâ³ðêè ö³º¿ ð³âíîñò³ äîñòàòíüî ïîìíîæèòè ä³ëüíèê<br />
íà ÷àñòêó.<br />
Òàêèì ÷èíîì, ìîäóëü ÷àñòêè äâîõ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë<br />
äîð³âíþº ÷àñòö³ ìîäóë³â ä³ëåíîãî ³ ä³ëüíèêà; àðãóìåíò ÷àñòêè<br />
äîð³âíþº ð³çíèö³ àðãóìåíò³â ä³ëåíîãî ³ ä³ëüíèêà.<br />
5. Çâåäåííÿ â ñòåï³íü. Ç ôîðìóëè (13.1.5) âèïëèâàº, ùî<br />
ÿêùî n — ö³ëå äîäàòíå ÷èñëî, òî<br />
n n<br />
((cos r ϕ+ isin ϕ )) = r (cosnϕ+ isin n ϕ)<br />
. (13.1.8)<br />
Öÿ ôîðìóëà íàçèâàºòüñÿ ôîðìóëîþ Ìóàâðà 1 .<br />
Ðîçãëÿíåìî îäíå ç çàñòîñóâàíü ôîðìóëè Ìóàâðà. Ïîêëàäåìî<br />
â ôîðìóë³ (1.3.10) r = 1, òîä³ îòðèìàºìî<br />
n<br />
(cos ϕ+ isin ϕ ) = cos nϕ+ isin nϕ.<br />
Ðîçêëàäàþ÷è ë³âó ÷àñòèíó çà ôîðìóëîþ á³íîìà Íüþòîíà<br />
(âîíà áóäå äîâåäåíà ï³çí³øå) ³ äîð³âíþþ÷è ä³éñí³ é óÿâí³<br />
÷àñòèíè, ìîæíà âèðàçèòè sin nϕ ³ cosnϕ ÷åðåç ñòåïåí³ sin ϕ<br />
³ cos ϕ. Íàïðèêëàä, ó âèïàäêó n = 3 îòðèìàºìî<br />
3 2 2 3<br />
cos ϕ+ i3cos ϕsin ϕ−3cos ϕsin ϕ−isin ϕ= cos3ϕ+ isin 3ϕ⇒<br />
⇒ ϕ− ϕ ϕ= ϕ − ϕ+ ϕ ϕ= ϕ<br />
3 2 3 2<br />
cos 3cos sin cos3 , sin 3cos sin sin 3 .<br />
6. Äîáóâàííÿ êîðåíÿ. Êîðåíåì n-ãî ñòåïåíÿ ç êîìïëåêñíîãî<br />
÷èñëà íàçèâàºòüñÿ òàêå êîìïëåêñíå ÷èñëî, n-é ñòåï³íü<br />
ÿêîãî äîð³âíþº ï³äêîðåíåâîìó ÷èñëó, òîáòî<br />
ÿêùî<br />
n<br />
r(cosϕ+ isin ϕ ) =ρ(cosψ+ isin ψ),<br />
n<br />
ρ (cos nψ+ isin nψ ) = r(cos ϕ+ isin ϕ).<br />
Îñê³ëüêè ó ð³âíèõ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë ìîäóë³ ïîâèíí³<br />
áóòè ð³âí³, à àðãóìåíòè ìîæóòü â³äð³çíÿòèñÿ íà ÷èñëî êðàòíå<br />
2π, òî<br />
n n ϕ+ 2kπ<br />
ρ = r, nψ=ϕ+ 2 kπ⇒ρ= r, ψ= ,<br />
n<br />
äå k — áóäü-ÿêå ö³ëå ÷èñëî; n r — àðèôìåòè÷íå çíà÷åííÿ<br />
êîðåíÿ. Îòæå,<br />
n ϕ+ 2kπ ϕ+ 2kπ<br />
n<br />
r(cosϕ+ isin ϕ ) = r(cos + isin ). (13.1.9)<br />
n<br />
n<br />
Íàäàþ÷è k çíà÷åííÿ 0, 1, 2,..., n-1, îòðèìàºìî n ð³çíèõ<br />
çíà÷åíü êîðåíÿ. Äëÿ ³íøèõ çíà÷åíü, íàïðèêëàä äëÿ k = n,<br />
n+1,..., àðãóìåíòè áóäóòü â³äð³çíÿòèñÿ â³ä îòðèìàíèõ íà<br />
÷èñëî, êðàòíå 2π ³, îòæå, áóäóòü îòðèìàí³ çíà÷åííÿ êîðåíÿ,<br />
ùî çá³ãàþòüñÿ ç ðîçãëÿíóòèìè. Òàêèì ÷èíîì, êîð³íü n-ãî<br />
ñòåïåíÿ ç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ìຠn ð³çíèõ çíà÷åíü.<br />
Êîð³íü n-ãî ñòåïåíÿ ç ä³éñíîãî ÷èñëà a, â³äì³ííîãî â³ä<br />
íóëÿ, òàêîæ ìຠn çíà÷åíü, òîìó ùî ä³éñíå ÷èñëî a º îêðåìèì<br />
âèïàäêîì êîìïëåêñíîãî ³ ìîæå áóòè çîáðàæåíî â<br />
òðèãîíîìåòðè÷í³é ôîðì³:<br />
⎧ ⎪ a (cos0 + isin0), a≥0,<br />
a = ⎨<br />
⎪⎩ a (cosπ+ isin π ), a<<br />
0.<br />
Íàïðèê³íö³ öüîãî ïóíêòó íàâåäåìî ùå îäèí çàïèñ êîìïëåêñíèõ<br />
÷èñåë.<br />
Ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ôîðìóëè Åéëåðà (äèâ. 12.5.12) ìàºìî<br />
i<br />
e<br />
ϕ = cos ϕ+ isin<br />
ϕ. (13.1.10)<br />
Òîä³ êîìïëåêñíå ÷èñëî z ìîæå áóòè çîáðàæåíå ó âèãëÿä³<br />
z<br />
i<br />
= z e ϕ .<br />
Ïðèêëàä 13.1. Çíàéòè âñ³ çíà÷åííÿ êóá³÷íîãî êîðåíÿ ç<br />
îäèíèö³.<br />
Ð î ç â ’ ÿ ç à í í ÿ. Çîáðàçèìî îäèíèöþ â òðèãîíîìåòðè÷í³é<br />
ôîðì³<br />
1 = cos 0 +isin 0.<br />
1<br />
Ìóàâð Àáðàõàì (1667 – 1754) — àíãë³éñüêèé ìàòåìàòèê.<br />
484 485
Çà ôîðìóëîþ (13.1.9) îòðèìàºìî<br />
3 0+ 2kπ 0+ 2kπ<br />
1 =<br />
3<br />
cos0 + isin 0 = cos + isin .<br />
3 3<br />
Ïîêëàâøè k = 0, 1, 2, çíàõîäèìî òðè çíà÷åííÿ êîðåíÿ:<br />
x = cos0 + isin 0 = 1, x = cos(2 π / 3) + isin(2 π / 3) =− 1/ 2 + i 3 / 2,<br />
1 2<br />
x3 = cos(4 π / 3) + isin(4 π / 3) =−1/ 2 −i<br />
3 / 2.<br />
Ïðèêëàä 13.2. Çíàéòè âñ³ çíà÷åííÿ êâàäðàòíîãî êîðåíÿ ç<br />
ì³íóñ îäèíèö³.<br />
Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çîáðàçèìî ì³íóñ îäèíèöþ â òðèãîíîìåòðè÷í³é<br />
ôîðì³<br />
–1 = cos π +isin π..<br />
Çà ôîðìóëîþ (13.1.9) îòðèìàºìî<br />
π+ 2kπ π+ 2kπ<br />
− 1 = cos π+ isin π = cos + isin .<br />
2 2<br />
Ïîêëàâøè k = 0, 1, çíàõîäèìî äâà çíà÷åííÿ êîðåíÿ:<br />
π π 3π 3π<br />
x1 = cos + isin = i, x2<br />
= cos( ) + isin( ) = −i.<br />
2 2 2 2<br />
13.1.4. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ êâàäðàòíèõ ð³âíÿíü<br />
ç â³ä’ºìíèì äèñêðèì³íàíòîì<br />
Ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ êâàäðàòíèõ ð³âíÿíü<br />
+ + =0<br />
2<br />
ax bx c<br />
ó âèïàäêó íåâ³ä’ºìíîãî äèñêðèì³íàíòà D (D = b 2 − 4ac)<br />
êîðèñòóþòüñÿ â³äîìîþ ôîðìóëîþ<br />
x<br />
− ±<br />
= b D<br />
2a<br />
1,2<br />
.<br />
ßêùî æ äèñêðèì³íàíò D â³ä’ºìíèé, òî êàæóòü, ùî íà<br />
ìíîæèí³ ä³éñíèõ ÷èñåë ð³âíÿííÿ íå ìຠðîçâ’ÿçê³â. ßê âæå<br />
ñêàçàíî, öåé ôàêò ïîâ’ÿçàíèé ç òèì, ùî çäîáóòòÿ êîðåíÿ ç<br />
â³ä’ºìíîãî ÷èñëà íå ìຠíà ìíîæèí³ ä³éñíèõ ÷èñåë ñåíñó.<br />
Íà ìíîæèí³ êîìïëåêñíèõ ÷èñåë òàêà îïåðàö³ÿ âæå ìຠñåíñ,<br />
îñê³ëüêè íà í³é âîíà ãàðàíòóº âèêîíóâàí³ñòü 䳿 äîáóâàííÿ<br />
êâàäðàòíîãî êîðåíÿ ç â³ä’ºìíîãî ÷èñëà. Ðîçãëÿíåìî öþ îïåðàö³þ.<br />
² ïî÷íåìî ¿¿ ç äîáóòòÿ êîðåíÿ êâàäðàòíîãî ç –1.<br />
Ïðèêëàä 13.2 ïîêàçàâ, ùî ³ñíóþòü äâà ³ ò³ëüêè äâà çíà÷åííÿ<br />
êîðåíÿ êâàäðàòíîãî ç –1, à ñàìå: ³ òà −³. Óìîâíî öå<br />
çàïèñóþòü òàê: − 1 = i, − − 1 =−i . Îá´ðóíòîâàí³ñòü òàêèõ ïîçíà÷åíü<br />
ìຠì³ñöå ³ âîíà ïîâ’ÿçàíà ç ìíîãîçíà÷íèìè ôóíêö³ÿìè<br />
êîìïëåêñíîãî çì³ííîãî. ×èòà÷, ÿêîãî ö³êàâèòü ñòðîã³ñòü<br />
ââåäåíèõ ïîíÿòü, ìîæå çàäîâîëüíèòèñü ìàòåð³àëîì,<br />
âèêëàäåíèì ó áóäü-ÿêîìó ïîñ³áíèêó ç òåî𳿠ôóíêö³é êîìïëåêñíîãî<br />
çì³ííîãî.<br />
Àíàëîã³÷íî ìîæíà ïîêàçàòè, ùî ³ñíóº äâà ³ ò³ëüêè äâà<br />
çíà÷åííÿ êîðåíÿ êâàäðàòíîãî ç –à, à>0, à ñàìå:<br />
−<br />
a ⋅i , äå ï³ä<br />
ÂÏÐÀÂÈ<br />
Âèêîíàòè àðèôìåòè÷í³ ä³¿:<br />
a ðîçóì³þòü àðèôìåòè÷íèé êîð³íü.<br />
13.1. (4+7i) + (1+5i); 13.2. (5-7i) –(3-4i);<br />
13.3. (5+7i)(5-7i); 13.4.<br />
13.5.<br />
13.7. 1 + i 2<br />
1-i 2<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎛ 1 3 1 3<br />
i<br />
⎞ ⎛ i<br />
⎞<br />
⎜<br />
+ + −<br />
2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ;<br />
⎛ ⎞⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠⎝ ⎠ ;<br />
⎛1 3 ⎞ 1 3<br />
⎜ + i i<br />
2 ⎟− −<br />
⎝2 ⎠<br />
⎜2 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ; 13.6. 1 3 1 3<br />
+ i −i<br />
2 2 2 2<br />
13.8. -2 3 + i<br />
1+<br />
2 3i<br />
13.9.<br />
1 3<br />
+ i<br />
2 2<br />
1 3 .<br />
− i<br />
2 2<br />
a ⋅i òà<br />
Çíàéòè ìîäóë³ ³ ãîëîâí³ çíà÷åííÿ äàíèõ êîìïëåêñíèõ<br />
÷èñåë:<br />
13.10. z =3+4i; 13.11. z = 1+ 3i; 13.12. z =1+i;<br />
13.13. z =–1–i; 13.14. z = i; 13.15. z =–i;<br />
486 487
13.16. z =− 2+ 2 3i<br />
; 13.17. z =−1− 3i;<br />
13.18. z = 1− 3i<br />
; 13.19. z = 1+ 3i<br />
; 13.20. z =5+7i.<br />
Ïîäàòè âèðàçè ó âèãëÿä³ äîáóòêó äâîõ ñïðÿæåíèõ êîìïëåêñíèõ<br />
÷èñåë:<br />
13.21. a 2 +b 2 ; 13.22. 0,25+49x 2 ; 13.23. x 2 +5;<br />
13.24. a 4 +b 4 ; 13.25. 7.<br />
Ñïðîñòèòè âèðàçè.<br />
13.26. 5i 2 ; 13.27. 5i 4 ; 13.28. 7i 12 ; 13.29. 21⋅i 100 ;<br />
13.30. 25+9i 2 – i N .<br />
ϳäíåñòè äî ñòåïåíÿ:<br />
13.31. (3 + 4i) 5 ; 13.32. (1 + i) 4 2<br />
; 13.33. ( 3 + i)<br />
;<br />
7<br />
13.34. (1+ i 3) ; 13.35. (1+ i 2) N .<br />
Ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ<br />
13.36. x 2 –10x + 74 = 0; 13.37. x 2 +10x +74=0;<br />
13.38. x 2 –6x + 18 = 0; 13.39. x 2 –6x +18=0;<br />
13.40. x 2 +2x + 27 = 0; 13.41. 5x 2 –7x +11=0;<br />
13.42. x 2 –2Nx +(N 2 +1)=0.<br />
Ïðèì³òêà. Ïàðàìåòð N îçíà÷ຠ÷èñëî äàòè íàðîäæåííÿ<br />
÷èòà÷à, ÿêîìó ïîòð³áíî âèêîíóâàòè ö³ âïðàâè.<br />
Äîäàòîê 2<br />
Îñíîâí³ ôîðìóëè, ïîçíà÷åííÿ òà âàæëèâ³<br />
ñòàë³<br />
14.1. ÀÐÈÔÌÅÒÈÊÀ<br />
14.1.1. Ñåðåäíº àðèôìåòè÷íå ÷èñåë:<br />
a + a + + a n<br />
.<br />
n<br />
1 2<br />
K<br />
14.1.2. Ñåðåäíº ãåîìåòðè÷íå ÷èñåë:<br />
n<br />
n<br />
( , , , , )<br />
a1⋅a2 ⋅K⋅a a ≥ 0 i = 1 2 K n .<br />
i<br />
14.1.3. Çíàõîäæåííÿ ïðîöåíòà â³ä äàíîãî ÷èñëà a:<br />
a⋅<br />
p<br />
a →100%, x→ p%,<br />
x =<br />
100 .<br />
14.1.4. Çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî ïðîöåíòîì: íåõàé<br />
p% äåÿêîãî ÷èñëà y äîð³âíþþòü ÷èñëó a, òî<br />
a ⋅ 100<br />
a → p%, y → 100%, y = .<br />
p<br />
14.1.5. Çíàõîäæåííÿ ïðîöåíòíîãî â³äíîøåííÿ äâîõ<br />
÷èñåë a ³ b:<br />
a<br />
%<br />
b ⋅100 .<br />
488 489
14.1.6. Ïðîïîðö³¿<br />
a c<br />
= ⇔ ad = bc .<br />
b d<br />
(a, d — êðàéí³ ÷ëåíè ïðîïîðö³¿, b, c — ñåðåäí³ ÷ëåíè ïðîïîðö³¿)<br />
òà ¿õí³ âëàñòèâîñò³:<br />
a+ b c+ d a−b c− d a+ b c+ d a−b c−d<br />
= ; = ; = ; = ;<br />
a c a c b d b d<br />
a a<br />
ab = a b ; ( b );<br />
b<br />
= b<br />
≠0<br />
a+ b ≤ a + b ; a−b ≥ a − b .<br />
14.2.2. Ôîðìóëè ñêîðî÷åíîãî ìíîæåííÿ:<br />
( )<br />
2 2 2<br />
a± b = a ± 2 ab+<br />
b ;<br />
a = c ; a = c ; b = d ;<br />
b =<br />
d<br />
a+ b c+ d a−b c− d a+ b c+ d a−b c−d<br />
a+ b c+ d a+ c a c a+<br />
b a b<br />
= ; = = ; = = ;<br />
a−b c− d b+ d b d c+<br />
d c d<br />
a−c a c a−b a b<br />
= = ; = = .<br />
b−d b d c−d c d<br />
Çàãàëüí³ ïîõ³äí³ ïðîïîðö³¿:<br />
ma + nb mc + nd ma + nc mb + nd<br />
= ; =<br />
ma+ nb mc+ nd ma+ nc mb+<br />
nd<br />
1 1 1 1 1 1 1 1<br />
äå m, n, m 1 , n 1 — äîâ³ëüí³ ÷èñëà.<br />
14.2. ÀËÃÅÁÐÀ<br />
;<br />
( )<br />
( )<br />
3 3 2 2 3<br />
a± b = a ± 3a b+ 3 ab ± b ;<br />
( )( )<br />
2 2<br />
a − b = a− b a+<br />
b ;<br />
( )( )<br />
3 3 2 2<br />
a ± b = a± b a m ab+<br />
b ;<br />
2 2 2 2<br />
a + b + c = a + b + c + 2ab + 2ac + 2 bc .<br />
14.2.3. Ñòåïåí³ òà ¿õí³ âëàñòèâîñò³:<br />
( )<br />
n<br />
0 1<br />
a = a14243 ⋅a⋅K⋅ a; a = 1 a ≠ 0 ; a = a<br />
;<br />
1<br />
n<br />
n<br />
m<br />
n<br />
1<br />
n n m −n<br />
a = a; a = a ; a = ( m,<br />
n∈N n<br />
);<br />
a<br />
14.2.1. Ìîäóëü ä³éñíîãî ÷èñëà ³ éîãî âëàñòèâîñò³:<br />
p p p p<br />
q<br />
pq p q p<br />
( ) = ; ( ) = ; = + q<br />
( , ∈ )<br />
ab a b a a a a a p q R ;<br />
a<br />
⎧ a, a ≥ 0,<br />
= ⎨<br />
⎩ − a, a < 0;<br />
p p p<br />
⎛a⎞<br />
a a p−q<br />
⎜ ⎟ = ; = a ( p, q∈R , b ≠0<br />
p q<br />
).<br />
⎝b⎠<br />
b a<br />
a ≥ 0; a = 0⇔ a = 0;<br />
490 491
14.2.4. Êîðåí³ òà ¿õí³ âëàñòèâîñò³:<br />
( )<br />
m<br />
n<br />
n m a a<br />
ab = a b, a ≥0, b ≥ 0; a = a , a ≥ 0; = a ≥ 0, b > 0;<br />
n<br />
b b<br />
n n n n n<br />
a = a a = a a = a a ≥ .<br />
n m nm nk mk n m 2n<br />
2n<br />
; ; , 0<br />
( n a — àðèôìåòè÷íå çíà÷åííÿ êîðåíÿ ïðè a ≥ 0).<br />
14.2.5. Ëîãàðèôìè òà ¿õí³ âëàñòèâîñò³:<br />
( )<br />
log b = c ⇔ a c<br />
= b a a<br />
> 0; a ≠ 1; b > 0 ;<br />
10<br />
( )<br />
lg b= log b; ln b= log b, b> 0 e ≈2,718<br />
;<br />
( )<br />
loga b<br />
a = b; loga bc = loga b + log<br />
a c , bc > 0 ;<br />
b<br />
n 1<br />
loga = loga b − log<br />
a<br />
c , bc > 0; loga b = log<br />
a<br />
b, b > 0 ;<br />
c<br />
n<br />
e<br />
( )<br />
log b α =α log b b > 0, α∈R ;<br />
a<br />
a<br />
logc<br />
b<br />
log;<br />
ab = 1<br />
log<br />
ab ( b , a , b , a )<br />
loglog<br />
a<br />
= a<br />
≠ 1 ≠ 1 > 0 > 0 ;<br />
b<br />
c<br />
( )<br />
α<br />
log a = 1; log α b = log b α∈R , α ≠ 0, a > 0, a ≠ 1, b > 0 ;<br />
a<br />
a<br />
a<br />
( )<br />
log,<br />
a<br />
1= 0 a > 0 a≠1 ;<br />
1 1<br />
= lg, e = 0 43429K; = ln 10 = 2,<br />
30258K ln10<br />
lg e<br />
.<br />
14.2.6. Êîðåí³ êâàäðàòíîãî ð³âíÿííÿ. Ðîçêëàä êâàäðàòíîãî<br />
òðè÷ëåíà íà ìíîæíèêè:<br />
2<br />
− b±<br />
D<br />
2<br />
ax + bx + c = 0 ( a ≠0 ), x12 ,<br />
= , D = b −4ac<br />
≥0;<br />
2a<br />
2<br />
− k±<br />
D<br />
2<br />
ax + 2kx + c = 0 ( a ≠ 0 ), x12 ,<br />
= , D = k −ac<br />
≥0 ;<br />
a<br />
2<br />
p D<br />
2<br />
x + px+ q = 0 , x12 ,<br />
=− ± , D = b −4ac≥0.<br />
2 2<br />
Ôîðìóëè ³ºòà:<br />
2<br />
x + px+ q = 0 , xx = q,<br />
x + x = −p<br />
Á³êâàäðàòíå ð³âíÿííÿ<br />
1 2 1 2<br />
.<br />
( )<br />
4 2<br />
ax + bx + c = 0 a ≠0<br />
ï³äñòàíîâêîþ x 2 = y çâîäèòüñÿ äî êâàäðàòíîãî ð³âíÿííÿ<br />
( )<br />
+ + = ≠<br />
2<br />
ay by c 0 a 0 .<br />
Ðîçêëàä òðè÷ëåíà íà ìíîæíèêè:<br />
( )( )<br />
2<br />
ax + bx + c = a x −x x −x<br />
1 2 ,<br />
äå x 1 ³ x 2 — êîðåí³ êâàäðàòíîãî ð³âíÿííÿ.<br />
14.2.7. Àðèôìåòè÷íà ïðîãðåñ³ÿ<br />
a<br />
a , a , a , K 1 2 3<br />
, a n<br />
, K;<br />
an = a1+ d( n− 1);<br />
d = a2 − a1 = K= an − an<br />
− 1<br />
= K;<br />
a<br />
+ a<br />
2<br />
( n 2)<br />
n− 1 n+<br />
1<br />
n<br />
= ≥<br />
;<br />
n n<br />
a1+ a = a2 + a − 1<br />
= K ;<br />
492 493
S = a + a + + a<br />
n<br />
1 2<br />
K<br />
n;<br />
( )<br />
a + a 2a<br />
d n<br />
n<br />
1<br />
+ −1<br />
1<br />
Sn<br />
= n;<br />
Sn<br />
=<br />
n.<br />
2 2<br />
14.2.11. Äåêàðòîâ³ êîîðäèíàòè íà ïëîùèí³<br />
(ðèñ. 14.1 ³ 14.2):<br />
14.2.8. Ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ<br />
b, b , b , , b n<br />
,<br />
K K 1 2 3<br />
K K ( )<br />
n−1<br />
b = bq ; q = b / b = = b / b = b ≠<br />
n 1 2 1 n n−1 1<br />
0<br />
n n− n+<br />
( )<br />
b = b<br />
1b 1<br />
n≥<br />
2 ; bbn = bbn<br />
−<br />
=<br />
S = b1 + b2 + K + b ;<br />
1 2 1<br />
K;<br />
n n<br />
( −1) ( 1−<br />
) ( )<br />
n n<br />
b1 q b1<br />
q<br />
Sn<br />
= nb1<br />
( q = 1)<br />
; Sn<br />
= = q ≠1<br />
.<br />
q−1 1−q<br />
14.2.9. Íåñê³í÷åííî ñïàäíà ãåîìåòðè÷íà ïðîãðåñ³ÿ<br />
( )<br />
b, b , b , K, b , K ; q < 1 b ≠ 0 ;<br />
1 2 3 n<br />
1<br />
Ðèñ. 14.1 Ðèñ. 14.2<br />
x — àáñöèñà òî÷êè M; y — îðäèíàòà òî÷êè M; x, y —<br />
êîîðäèíàòè òî÷êè M (ðèñ. 14.1); OM<br />
uuuur , OM<br />
uuuur (x, y) — âåêòîð;<br />
x — àáñöèñà âåêòîðà OM<br />
uuuur ; y — îðäèíàòà âåêòîðà OM<br />
uuuur ;<br />
x, y — êîîðäèíàòè âåêòîðà OM<br />
uuuur (ðèñ. 14.2).<br />
Çíàêè êîîðäèíàò òî÷êè M ³ âåêòîðà OM<br />
uuuur çîáðàæåíî íà<br />
ðèñ. 14.3.<br />
b1<br />
Sn = b1+ b2<br />
+ K + bn; S = lim Sn;<br />
S =<br />
n→∞<br />
1 − q<br />
.<br />
14.2.10. Á³íîì Íüþòîíà<br />
( ) n 0 n 1 n−1 m n−m m n−1 n−1<br />
n n<br />
a+ b = C a + C a b+ + C a b + + C ab + C b<br />
K K ,<br />
n n n n n<br />
C<br />
m<br />
n<br />
( −1)( −2) K( − + 1)<br />
n n n n m n!<br />
An<br />
= = =<br />
123 ⋅ ⋅ ⋅K⋅m m! n−m ! P<br />
( )<br />
m<br />
n!<br />
An<br />
= n( n−1)( n−2) K ( n− m+ 1)<br />
=<br />
!<br />
,<br />
P = 1⋅2⋅3 ⋅K<br />
⋅ m = m !.<br />
m<br />
( n−<br />
m)<br />
m<br />
m<br />
,<br />
Ðèñ. 14.3<br />
14.3. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒвß<br />
14.3.1. Îçíà÷åííÿ òðèãîíîìåòðè÷íèõ ôóíêö³é<br />
sin α= y<br />
x<br />
y; cos<br />
x<br />
OM<br />
= α= OM<br />
= (íà îäèíè÷íîìó êîë³<br />
OM =1);<br />
494 495
y ⎛ π<br />
⎞ x<br />
tg α= k , k ; ctg ( k , k )<br />
x<br />
⎜α≠ + π ∈ α= α≠π+ π ∈<br />
2<br />
⎟<br />
⎝<br />
Z ⎠ y<br />
Z .<br />
1 1<br />
ctg α= ; tgα=<br />
tgα ctgα ; sin α cosα<br />
tg α= ; ctgα=<br />
cos α sin α ;<br />
1 1<br />
sec α= ; cosecα=<br />
;<br />
cos α sin α<br />
2 1 2 1<br />
1+ tg α = ; 1+ ctg α =<br />
2 2<br />
cos α sin α ;<br />
tgα<br />
1<br />
1+ tg α 1+ ctg α ;<br />
2<br />
α= − α= =<br />
2 2<br />
sin 1 cos<br />
Ðèñ. 14.4<br />
1 ctgα<br />
1+ tg α 1+ ctg α ;<br />
2<br />
α= − α= =<br />
2 2<br />
cos 1 sin<br />
14.3.2. Çíàêè òðèãîíîìåòðè÷íèõ ôóíêö³é<br />
(ðèñ. 14.5):<br />
sin α cos α tg α, ctg α<br />
2<br />
sin α 1−cos α 1<br />
tgα= = =<br />
2<br />
1−sin<br />
α cos α ctgα<br />
;<br />
2<br />
1−sin α cosα<br />
1<br />
ctgα= = =<br />
sin α<br />
2<br />
1−cos<br />
α tgα<br />
.<br />
14.3.4. Òðèãîíîìåòðè÷í³ ôóíêö³¿ ñóìè ³ ð³çíèö³<br />
êóò³â:<br />
Ðèñ. 14.5<br />
14.3.3. Çâ’ÿçîê ì³æ òðèãîíîìåòðè÷íèìè ôóíêö³ÿìè<br />
îäíàêîâîãî àðãóìåíòó:<br />
2 2<br />
sin α+ cos α= 1; tgαctgα= 1;<br />
sin( x ± y) = sin xcos y ± cos xsin<br />
y ;<br />
cos( x ± y) = cos xcos y m sin xsin<br />
y;<br />
tgx ± tgy ctgxctgy<br />
m 1<br />
tg( x ± y) = ; ctg( x ± y)<br />
=<br />
1 m tgxtgy ctgy ± ctgx<br />
.<br />
496 497
14.3.5. Òðèãîíîìåòðè÷í³ ôóíêö³¿ ïîäâ³éíîãî, ïîëîâèííîãî<br />
òà ïîòð³éíîãî àðãóìåíò³â:<br />
2tgα<br />
1 tg<br />
α= α α= +<br />
2 α<br />
;<br />
sin 2 2sin cos<br />
1−tg<br />
α<br />
α= α− α= − α= α− = ; + α<br />
2<br />
cos 2<br />
2 2 2 2<br />
cos sin 1 2sin 2cos 1 1 tg<br />
2<br />
2tgα<br />
2<br />
tg2α= =<br />
2<br />
1−tg<br />
α ctgα−tgα<br />
;<br />
α 1−cosα α 1+ cosα<br />
sin = ; cos = ;<br />
2 2 2 2<br />
1 cos 1 cos<br />
tg<br />
α = − α ; ctg<br />
α =<br />
+ α<br />
2 1+ cosα 2 1−cosα ;<br />
α 1−cosα sinα<br />
tg = =<br />
2 sin α 1 + cos α ;<br />
α 1+ cosα sinα<br />
ctg = =<br />
2 sin α 1 − cos α ;<br />
2 2<br />
( ) ( )<br />
sin 3α= sin α 3−4sin α ; cos3α= cos α 4cos<br />
α−3 ;<br />
tg3 α= α− α α=<br />
α− α<br />
.<br />
3 3<br />
3tg tg ctg 3ctg<br />
; ctg3<br />
2 2<br />
1−3tg α 3ctg α−1<br />
14.3.6. Ôîðìóëè ïåðåòâîðåííÿ ñóìè (ð³çíèö³) òðèãîíîìåòðè÷íèõ<br />
ôóíêö³é ó äîáóòîê:<br />
x ± y x m y<br />
sin x ± sin y = 2sin cos ;<br />
2 2<br />
x + y x − y<br />
cos x + cos y = 2 cos cos ;<br />
2 2<br />
x + y x − y<br />
cos x − cos y = − 2 sin sin ;<br />
2 2<br />
( x ± y) sin ( y ± x)<br />
sin<br />
tg x ± tg y = ; ctg x ± ctg y = ;<br />
cos xcos y sin xsin<br />
y<br />
cos α+ sin α= 2cos( 45 o −α)<br />
;<br />
cos α−sin α= 2sin ( 45 o −α)<br />
;<br />
b<br />
a x+ b x = a + b ( x+ϕ)<br />
ϕ= a + b ≠<br />
a<br />
2 2 2 2<br />
sin cos sin ; tg , 0<br />
2<br />
+ 2 sin ( +ϕ)<br />
sin + cos<br />
b + atg<br />
x= a x b x = a b x<br />
cos x<br />
cos x<br />
2<br />
asin<br />
x+<br />
bcos<br />
x + 2 sin( +ϕ)<br />
a+ bctg<br />
x= = a b x ;<br />
sin x<br />
sin x<br />
b<br />
a<br />
ϕ= ϕ= a + b ≠<br />
a + b a + b<br />
2 2<br />
sin ; cos , 0<br />
2 2 2 2<br />
;<br />
;<br />
;<br />
498 499
1 2<br />
tg α+ ctg α= =<br />
sin αcos α sin 2α .<br />
14.3.7. Ôîðìóëè ïåðåòâîðåííÿ òðèãîíîìåòðè÷íèõ<br />
âèðàç³â ó äîáóòîê:<br />
2 α<br />
2 α<br />
1+ cosα = 2cos ; 1−cosα = 2sin<br />
2 2 ;<br />
2⎛ o α⎞ 2⎛ o α⎞<br />
1+ sin α= 2cos ⎜45 − ⎟; 1−sin α= 2sin<br />
⎜45<br />
− ⎟;<br />
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠<br />
( αmβ) cos( αmβ)<br />
cos<br />
1± tgαtg β= ; ctgαctgβ± 1=<br />
;<br />
cosαcosβ sin αsinβ<br />
o<br />
o<br />
( ±α ) ( ±α)<br />
sin 45 2 sin 45<br />
1± tgα = =<br />
cos 45 cosα<br />
cos α<br />
o<br />
;<br />
2 cos2α<br />
2 cos2α<br />
1−tg α = ; 1−ctg<br />
α =−<br />
2 2<br />
cos α sin α ;<br />
2 2<br />
sin<br />
tg α−tg<br />
β=<br />
cos<br />
2 2<br />
sin<br />
ctg α−ctg<br />
β=<br />
sin<br />
( α+β) sin( α−β)<br />
αcos<br />
β<br />
2 2<br />
( α+β) sin ( β−α)<br />
αsin<br />
β<br />
2 2<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
tg α−sin α= tg αsin α; ctg α−cos α= ctg αcos<br />
α.<br />
14.3.8. Ïåðåòâîðåííÿ äîáóòêó òðèãîíîìåòðè÷íèõ<br />
ôóíêö³é ó ñóìó:<br />
1<br />
sin xsin y = ⎡cos( x −y) − cos( x + y)<br />
⎤<br />
2<br />
⎣ ⎦ ;<br />
;<br />
;<br />
1<br />
cos xcos y = ⎡cos ( x − y) + cos ( x + y)<br />
⎤<br />
2<br />
⎣ ⎦ ;<br />
1<br />
sin xcos y = ⎡sin ( x + y) + sin ( x −y)<br />
⎤<br />
2<br />
⎣ ⎦ .<br />
14.3.9. Ôîðìóëè çâåäåííÿ<br />
Ôóíê-<br />
Àðãóìåíò<br />
ö³ÿ –α 90 ° –α 90 ° +α 180 ° –α 180 ° +α 270 ° –α 270 ° +α 360 ° –α 360 ° +α<br />
π π π 3π<br />
–α<br />
2 –α 2<br />
32 +α π–α π+α –α +α 2π–α 2π+α<br />
2<br />
sin x –sin α cos α cos α sin α –sin α –cos α –cos α –sin α sin α<br />
cos x cos α sin α –sin α –cos α –cos α –sin α sin α cos α cos α<br />
tg x –tg α ctg α –ctg α –tg α tg α ctg α –ctg α –tg α tg α<br />
ctg x –ctg α tg α –tg α –ctg α ctg α tg α –tg α –ctg α ctg α<br />
14.3.10. Çíà÷åííÿ òðèãîíîìåòðè÷íèõ ôóíêö³é äëÿ<br />
äåÿêèõ êóò³â<br />
Ôóíê-<br />
Àðãóìåíò<br />
ö³ÿ 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 120 ° 180 ° 270 ° 360 °<br />
0<br />
sin x 0<br />
cos x 1<br />
tg x 0<br />
π<br />
6<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
3<br />
π<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
ctg x — 3 1<br />
π<br />
3<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
π<br />
2<br />
1<br />
2π<br />
3<br />
3<br />
2<br />
0 − 1 2<br />
π<br />
3π<br />
2<br />
2π<br />
0 –1 0<br />
–1 0 1<br />
1 3 — – 3 0 — 0<br />
1<br />
3<br />
0 – 1 3<br />
— 0 —<br />
500 501
14.3.11. Ïàðí³ñòü ³ íåïàðí³ñòü òðèãîíîìåòðè÷íèõ<br />
ôóíêö³é:<br />
sin (–x) = –sin x, sin — íåïàðíà ôóíêö³ÿ;<br />
cos (–x) = cos x, cos — ïàðíà ôóíêö³ÿ;<br />
tg (–x) = –tg x, tg — íåïàðíà ôóíêö³ÿ;<br />
ctg (–x) = –ctg x, ctg — íåïàðíà ôóíêö³ÿ.<br />
3.12. Ïåð³îäè÷í³ñòü òðèãîíîìåòðè÷íèõ ôóíêö³é:<br />
sin x, cos x — ïåð³îäè÷í³ ôóíêö³¿ (íàéìåíøèé äîäàòíèé<br />
ïåð³îä 2π):<br />
( x k ) x ( x k ) x ( k )<br />
sin + 2 π = sin , cos + 2 π = cos ∈Z .<br />
tg x, ctg x — ïåð³îäè÷í³ ôóíêö³¿ (íàéìåíøèé äîäàòíèé<br />
ïåð³îä π).<br />
( x k ) x ( x k ) x ( k )<br />
tg + π = tg , ctg + π = ctg ∈Z .<br />
14.3.13. Âëàñòèâîñò³ îáåðíåíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ<br />
ôóíêö³é:<br />
arcsin<br />
arctg<br />
( − a) = −arcsin<br />
a ( a ≤1 ); arccos( a) arccos a ( a )<br />
− = π− ≤1 ;<br />
( − a) =−arctg<br />
a ( a∈R ); arcctg( − ) =π−arcctg<br />
( ∈ )<br />
a a a R ;<br />
14.3.15. Çíà÷åííÿ îáåðíåíèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ<br />
ôóíêö³é<br />
14.3.16. Òåîðåìà ñèíóñ³â (ðèñ. 14.6):<br />
a b c<br />
= =<br />
sin α sin β sin γ .<br />
π<br />
arcsin a+ arccos a = a ≤1<br />
2<br />
π<br />
a a a R .<br />
2<br />
( ); arctg + arcctg = ( ∈ )<br />
14.3.14. Ðîçâ’ÿçàííÿ íàéïðîñò³øèõ òðèãîíîìåòðè÷íèõ<br />
ð³âíÿíü:<br />
k<br />
( ) ( ) ( )<br />
sin x = a a ≤ 1 , x = − 1 arcsin a +πk k∈Z ;<br />
( ) ( )<br />
cos x = a a ≤ 1 , x = ± arccos a + 2πk k∈Z ;<br />
( ),<br />
arctg ( )<br />
tg x = a a∈ R x = a + πk k∈Z ;<br />
( ),<br />
arcctg ( )<br />
ctg x = a a∈ R x = a+ πk k∈Z .<br />
Ðèñ. 14.6<br />
14.3.17. Òåîðåìà êîñèíóñ³â:<br />
2 2 2<br />
a = b + c − bc α ;<br />
2 cos<br />
2 2 2<br />
b = a + c − ac β ;<br />
2 cos<br />
2 2 2<br />
c a c 2ab cos .<br />
= + − γ<br />
502 503
14.4. ÅËÅÌÅÍÒÈ ÂÈÙί ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ<br />
14.4.1. Òàáëèöÿ ïîõ³äíèõ<br />
14.4.2. Îñíîâí³ ïðàâèëà äèôåðåíö³þâàííÿ (çíàõîäæåííÿ<br />
ïîõ³äíèõ):<br />
± ′ = ± ′ = = ;<br />
( f g) f′ g′ ; ( cg) cg′<br />
( c const)<br />
′<br />
′ ⎛f ⎞ fg ′ − fg′<br />
⎜<br />
g<br />
⎟<br />
.<br />
⎝ ⎠ g<br />
( fg) = f′ g + fg′<br />
; =<br />
2<br />
14.4.3. Äèôåðåíö³þâàííÿ ñêëàäåíî¿ ôóíêö³¿:<br />
( ), (),<br />
( ())<br />
y = f x x = ϕ t y = f ϕ t ,<br />
t x t<br />
( ) ( )<br />
y′ = y′ x′ = f′ x ϕ ′ t .<br />
14.4.5. гâíÿííÿ äîòè÷íî¿ äî ãðàô³êà äèôåðåíö³éîâíî¿<br />
ôóíêö³¿ (ðèñ. 14.7):<br />
Ðèñ. 14.7<br />
( ) ′( )( )<br />
y− f x = f x x− x .<br />
0 0 0<br />
14.4.6. Îñíîâí³ íåâèçíà÷åí³ ³íòåãðàëè (a, α, C =<br />
const):<br />
14.1. ∫ adx = ax + C . 14.2. ∫sin xdx =− cos x + C .<br />
504 505
14.3.<br />
14.5.<br />
α+ 1<br />
α x<br />
∫ xdx= + C , α≠−1. 14.4.<br />
α+<br />
∫ cos xdx = sin x + C .<br />
1<br />
∫<br />
= ∫ dx = ln +<br />
x<br />
−1<br />
x dx x C<br />
x<br />
x a<br />
x x<br />
14.7. ∫adx= + C;<br />
∫edx= e + C.<br />
ln a<br />
14.8.<br />
2<br />
∫ cosec xdx =− ctgx + C .<br />
dx 1 x<br />
14.9. ∫ 2 2 = arctg + C .<br />
x + a a a<br />
dx 1 x − a<br />
14.10. ∫ =<br />
2 2 ln + C .<br />
x − a 2a x+<br />
a<br />
2<br />
. 14.6. ∫sec<br />
xdx = tg x + C .<br />
ìåòîä ï³äñòàíîâêè —<br />
( ) = ( ) ( = const)<br />
∫af x dx a∫ f x dx a ;<br />
() = ( ϕ( )) ϕ ′( ) ( = ϕ( ))<br />
∫f t dt ∫ f x x dx t x ;<br />
³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè —<br />
( ) ( ) ( ) ′( ) ( ) ( ) ( ) ′( )<br />
∫uxdvx = ∫uxv xdx= uxvx− ∫vxu xdx=<br />
( ) ( ) vxdux ( ) ( )<br />
= uxvx−∫ .<br />
14.4.8. Âèçíà÷åíèé ³íòåãðàë ³ éîãî âëàñòèâîñò³:<br />
b<br />
b<br />
∫ f( x) dx = ( x) = ( b) − ( a) , ′<br />
( x) = f( x)<br />
;<br />
a<br />
a<br />
b<br />
a<br />
β<br />
( ) = ( ϕ( )) ϕ ′() ( = ϕ() , ϕ( α ) = , ϕ()<br />
β = )<br />
∫f x dx ∫ f t t dt x t a b ;<br />
α<br />
14.11.<br />
∫<br />
dx<br />
2 2<br />
x ± a<br />
2 2<br />
= + ± +<br />
ln x x a C .<br />
b<br />
b b<br />
∫uxdvx ( ) ( ) = uxvx ( ) ( ) −∫ vxdux ( ) ( );<br />
a<br />
a a<br />
dx<br />
14.12. ∫<br />
2 2<br />
a − x<br />
x<br />
= arcsin + C<br />
a<br />
.<br />
dx ⎛ x π ⎞<br />
dx x<br />
14.13. ∫ = ln tg⎜ + ⎟ + C . 14.14. ∫ = ln tg + C .<br />
cos x ⎝2 4 ⎠<br />
sin x 2<br />
14.4.7. Îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ ³ ïðàâèëà ³íòåãðóâàííÿ:<br />
′<br />
∫ ∫ ;<br />
( f( x)<br />
dx) = f( x) ; f′<br />
( x) dx = f( x) + C ( C = const)<br />
b a a<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
∫f x dx =− ∫f x dx a < b ; ∫ f x dx = 0;<br />
a b a<br />
b b b<br />
( ) ± ( ) ⎤ = ( ) ± ( )<br />
∫⎡⎣f x g x ⎦ dx ∫f x dx ∫g x dx;<br />
a a a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
( ) = ( ) ( = )<br />
∫kf x dx k∫ f x dx k const ;<br />
b c b<br />
( ) = ( ) + ( )<br />
a a c<br />
a<br />
∫f x dx ∫f x dx ∫ f x dx , a < c < b.<br />
( ) ± ( ) ⎤ = ( ) ± ( )<br />
∫⎡⎣f x g x ⎦ dx ∫f x dx ∫g x dx;<br />
506 507
14.5. ÃÐÀÔ²ÊÈ ÄÅßÊÈÕ ÎÑÍÎÂÍÈÕ<br />
ÅËÅÌÅÍÒÀÐÍÈÕ ÔÓÍÊÖ²É<br />
14.5.1. y = kx + b, k =tgα (ðèñ. 14.8).<br />
Ðèñ. 14.10<br />
14.5.4. y = k<br />
x<br />
(ðèñ. 14.11).<br />
Ðèñ. 14.8<br />
14.5.2. y = a x , a >0, a ≠ 1 (ðèñ. 14.9).<br />
Ðèñ. 14.11<br />
Ðèñ. 14.9<br />
14.5.5. y = log a<br />
x (ðèñ. 14.12).<br />
1<br />
14.5.3. y = x n , y = x n , n ∈ N. Íà ðèñ. 14.10 ö³ ôóíêö³¿<br />
çîáðàæåíî ïðè n = 2 òà n =3.<br />
Ðèñ. 14.12<br />
508 509
14.5.6. y = sin x (ðèñ. 14.13).<br />
14.5.9. y = ctg x (ðèñ. 14.16).<br />
Ðèñ. 14.13<br />
14.5.7. y = cos x (ðèñ. 14.14).<br />
Ðèñ. 14.16<br />
14.5.10. y = arcsin x (ðèñ. 14.17); y = arccos x (ðèñ. 14.18).<br />
Ðèñ. 14.14<br />
14.5.8. y =tgx (ðèñ. 14.15).<br />
Ðèñ. 14.17 Ðèñ. 14.18<br />
Ðèñ. 14.15<br />
510 511
14.5.11. y = arctg x (ðèñ. 14.19).<br />
Ðèñ. 14.19<br />
14.5.12. y = arcctg x (ðèñ. 14.20).<br />
Ðèñ. 14.20<br />
14.6. ÎÑÍÎÂͲ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×Ͳ<br />
ÏÎÇÍÀ×ÅÍÍß<br />
≈<br />
Íàáëèæåíî äîð³âíþº<br />
|a|<br />
Ìîäóëü (àáñîëþòíà âåëè÷èíà)<br />
sgn a Çíàê à<br />
∀<br />
Äëÿ áóäü-ÿêîãî (äëÿ êîæíîãî)<br />
∃<br />
²ñíóº<br />
⇔<br />
гâíîñèëüíî, òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, âèïëèâàº<br />
â îáèäâà áîêè<br />
⇒<br />
Âèïëèâàº<br />
∈<br />
Íàëåæèòü<br />
∉<br />
Íå íàëåæèòü<br />
X ⊂ Y Ìíîæèíà X º ï³äìíîæèíîþ Y<br />
X ⊄ Y Ìíîæèíà X íå º ï³äìíîæèíîþ Y<br />
∅<br />
Ïîðîæíÿ ìíîæèíà<br />
∪<br />
Îá’ºäíàííÿ ìíîæèí<br />
∩<br />
Ïåðåð³ç ìíîæèí<br />
~ Åêâ³âàëåíòí³ñòü, ïîä³áí³ñòü<br />
>, < Á³ëüøå, ìåíøå<br />
≥<br />
Á³ëüøå àáî äîð³âíþº<br />
≤<br />
Ìåíøå àáî äîð³âíþº<br />
∨<br />
ijç’þíêö³ÿ<br />
∧ (&) Êîí’þíêö³ÿ<br />
a<br />
Íå à<br />
log a b Ëîãàðèôì ÷èñëà b çà îñíîâîþ a<br />
lg b Äåñÿòêîâèé ëîãàðèôì ÷èñëà b (a = 10)<br />
ln b<br />
Íàòóðàëüíèé ëîãàðèôì ÷èñëà b<br />
(a = e = 2,71828...)<br />
max Ìàêñèìóì<br />
min<br />
̳í³ìóì<br />
Êâàäðàòíèé êîð³íü<br />
n<br />
Êîð³íü n-ãî ñòåïåíÿ<br />
sin a Ñèíóñ a<br />
cos a Êîñèíóñ a<br />
tg a Òàíãåíñ a<br />
ctg a Êîòàíãåíñ a<br />
sec a Ñåêàíñ a<br />
cosec a Êîñåêàíñ a<br />
512 513
arcsin a Àðêñèíóñ a<br />
arccos a Àðêêîñèíóñ a<br />
arctg a Àðêòàíãåíñ a<br />
arcctg a Àðêêîòàíãåíñ a<br />
a r<br />
Âåêòîð<br />
a v<br />
Äîâæèíà âåêòîðà a r<br />
v<br />
( ab ,<br />
) Ñêàëÿðíèé äîáóòîê<br />
v v r r<br />
⎡<br />
⎣ab , ⎤<br />
⎦<br />
, a×<br />
b Âåêòîðíèé äîáóòîê<br />
M(x, y) Òî÷êà M ç àáñöèñîþ x é îðäèíàòîþ y<br />
ρ(M 1 , M 2 ) ³äñòàíü ì³æ òî÷êàìè M 1 ³ M 2<br />
N<br />
Ìíîæèíà íàòóðàëüíèõ ÷èñåë<br />
Ζ<br />
Ìíîæèíà ö³ëèõ ÷èñåë<br />
Q<br />
Ìíîæèíà ðàö³îíàëüíèõ ÷èñåë<br />
R<br />
Ìíîæèíà ä³éñíèõ ÷èñåë<br />
£ Ìíîæèíà êîìïëåêñíèõ ÷èñåë<br />
Ïðîì³æîê<br />
[a, b] Çàêðèòèé ïðîì³æîê (ñåãìåíò): òî÷êè (÷èñëà)<br />
a ³ b íàëåæàòü ïðîì³æêó<br />
(a, b], [a, b) ϳââ³äêðèò³ ïðîì³æêè: (ï³â³íòåðâàë, ï³âñåãìåíò)<br />
òî÷êà a íå íàëåæèòü ïðîì³æêó, òî÷êà<br />
b íàëåæèòü ïðîì³æêó; â³äïîâ³äíî òî÷êà a<br />
íàëåæèòü, à òî÷êà b íå íàëåæèòü ïðîì³æêó<br />
(a, b), ]a, b[ ³äêðèòèé ïðîì³æîê (³íòåðâàë): òî÷êè a ³ b<br />
íå íàëåæàòü ïðîì³æêó<br />
i<br />
Óÿâíà îäèíèöÿ<br />
z, z Êîìïëåêñí³ ñïðÿæåí³ ÷èñëà<br />
Re z ijéñíà ÷àñòèíà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z<br />
Im z Óÿâíà ÷àñòèíà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z<br />
z<br />
Ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z<br />
Arg z Àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z<br />
n! Äîáóòîê 1×2×3×...×n (÷èòàþòü n ôàêòîð³àë)<br />
P n<br />
×èñëî ïåðåñòàíîâîê ç n åëåìåíò³â<br />
m<br />
C<br />
n<br />
×èñëî ñïîëó÷åíü ç n åëåìåíò³â ïî m åëåìåíò³â<br />
m<br />
A<br />
n<br />
×èñëî ðîçì³ùåíü ç n åëåìåíò³â ïî m åëåìåíò³â<br />
⎛<br />
ab ,<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Êóò ì³æ âåêòîðàìè a ³ b<br />
∠<br />
Êóò<br />
·ABC Âåëè÷èíà êóòà ABC<br />
|| Ïàðàëåëüí³ñòü<br />
⊥<br />
Ïåðïåíäèêóëÿðí³ñòü<br />
∠(a, α) Êóò ì³æ ïðÿìîþ a ³ ïëîùèíîþ α<br />
∪ACB Äóãà ç ê³íöÿìè A ³ B<br />
Êóòîâà âåëè÷èíà äóãè ACB<br />
lim<br />
Ãðàíèöÿ<br />
o(α)<br />
ïðè α → 0 º âåëè÷èíà, ÿêà ïðÿìóº äî íóëÿ<br />
øâèäøå, í³æ α<br />
∆x<br />
Ïðèð³ñò àðãóìåíòó x<br />
∆y<br />
Ïðèð³ñò ôóíêö³¿ y<br />
(x – δ, x + δ) δ–îê³ë òî÷êè x<br />
f¢ ( x), df<br />
dx<br />
Ïåðøà ïîõ³äíà ôóíêö³¿ f(x)<br />
n<br />
( n)<br />
df<br />
f ( x)<br />
,<br />
n<br />
dx<br />
n-íà ïîõ³äíà ôóíêö³¿ f(x)<br />
dy<br />
Äèôåðåíö³àë y<br />
d n y<br />
Äèôåðåíö³àë n-ãî ïîðÿäêó ôóíêö³¿ y<br />
f<br />
z¢ x, f¢ x,<br />
×àñòèííà ïîõ³äíà ôóíêö³¿ z = f(x, y) ïî x<br />
x<br />
2<br />
f<br />
z¢¢ xy, f¢¢<br />
xy,<br />
x<br />
y<br />
ò<br />
b<br />
ò<br />
a<br />
¥<br />
å a<br />
n=<br />
1<br />
n<br />
Çì³øàíà ïîõ³äíà ôóíêö³¿ z = f(x, y) ïî x òà<br />
ó<br />
Íåâèçíà÷åíèé ³íòåãðàë<br />
Âèçíà÷åíèé ³íòåãðàë<br />
×èñëîâèé ðÿä<br />
514 515
14.7. ÍÀÁËÈÆÅÍÅ ÇÍÀ×ÅÍÍß ÄÅßÊÈÕ<br />
ÑÒÀËÈÕ<br />
π≈3,1416 e ≈ 2,71828 lg e ≈ 0,4343<br />
1<br />
p ≈ 0,3183 1<br />
e<br />
≈ 0,3679 ln 10 ≈ 2,3026<br />
π 2 ≈ 9,8696 e 2 ≈ 7,3891 1 ðàä³àí ≈ 57°18′<br />
p ≈ 1,7724 e ≈ 1,6487 1° ≈ 0,0174 ðàä³àíà<br />
3<br />
p ≈ 1,4646 3<br />
e ≈ 1,3956<br />
14.8. ÊÂÀÄÐÀÒÈ ÍÀÒÓÐÀËÜÍÈÕ ×ÈÑÅË<br />
<strong>²</strong>Ä 1 ÄÎ 99<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81<br />
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361<br />
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841<br />
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521<br />
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401<br />
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481<br />
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761<br />
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241<br />
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921<br />
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801<br />
14.9. ÊÂÀÄÐÀÒͲ ² ÊÓÁ²×Ͳ ÊÎÐÅͲ<br />
n n 10n 3<br />
n<br />
3<br />
10n<br />
3<br />
100n<br />
1 1,00 3,16 1,00 2,15 4,64<br />
2 1,41 4,47 1,26 2,71 5,85<br />
3 1,73 5,48 1,44 3,11 6,69<br />
4 2,00 6,32 1,59 3,42 7,37<br />
5 2,24 7,07 1,71 3,68 7,94<br />
6 2,45 7,75 1,82 3,91 8,93<br />
7 2,65 8,37 1,91 4,12 8,88<br />
8 2,83 8,94 2,00 4,31 9,28<br />
9 3,00 9,49 2,08 4,48 9,65<br />
10 3,16 10,00 2,15 4,64 10,00<br />
516
Íàâ÷àëüíå âèäàííÿ<br />
ÊÅÐÅÊÅØÀ Ïåòðî Âîëîäèìèðîâè÷<br />
ËÅÊÖ²¯ ² ÂÏÐÀÂÈ<br />
ç âèùî¿ ìàòåìàòèêè<br />
Äëÿ ñòóäåíò³â<br />
åêîíîì³÷íèõ ñïåö³àëüíîñòåé<br />
Çàâ. ðåäàêö³ºþ Ò. Ì. Çàáàíîâà<br />
Ðåäàêòîð Æ. Á. Ìåëüíè÷åíêî<br />
Òåõí³÷í³ ðåäàêòîðè Ð. Ì. Êó÷èíñüêà, Ã. Î. Êóêëºâà<br />
Êîðåêòîð Í. ². Êðèëîâà<br />
Çäàíî ó âèðîáíèöòâî 11.04.2002. ϳäïèñàíî äî äðóêó 06.05.2003.<br />
Ôîðìàò 60×84/16. Ïàï³ð îôñåòíèé. Ãàðí³òóðà SchoolBook.<br />
Óì. äðóê. àðê. 30,23. Òèðàæ 500 ïðèì. Çàì. ¹ 308.<br />
Âèäàâíèöòâî ³ äðóêàðíÿ «Àñòðîïðèíò»<br />
(Ñâ³äîöòâî ÄÊ ¹ 132 â³ä 28.07.2000 ð.)<br />
65026, ì. Îäåñà, âóë. Ïðåîáðàæåíñüêà, 24,<br />
Òåë./ôàêñ: (0482) 26-98-82, 26-96-82, 37-14-25<br />
www.astroprint.odessa.ua
Ê36<br />
Êåðåêåøà Ï. Â.<br />
Ëåêö³¿ ³ âïðàâè ç âèùî¿ ìàòåìàòèêè: Äëÿ ñòóäåíò³â åêîíîì³÷íèõ<br />
ñïåö³àëüíîñòåé: Íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê. — Îäåñà: Àñòðîïðèíò, 2003. —<br />
520 ñ.<br />
ISBN 966-549-871-1.<br />
Íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê íàïèñàíî â³äïîâ³äíî äî òèïîâî¿ ïðîãðàìè<br />
̳í³ñòåðñòâà îñâ³òè ³ íàóêè Óêðà¿íè ç êóðñó âèùî¿<br />
ìàòåìàòèêè äëÿ åêîíîì³ñò³â. ³í ì³ñòèòü îñíîâí³ òåìè ç ìàòåìàòè÷íîãî<br />
àíàë³çó, âèùî¿ àëãåáðè, àíàë³òè÷íî¿ ãåîìåò𳿠³<br />
äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü. Êð³ì öüîãî, ïîñ³áíèê ìຠäâà äîäàòêè,<br />
â ÿêèõ íàâåäåí³ â³äîìîñò³ ïðî êîìïëåêñí³ ÷èñëà ³ äîâ³äêîâèé<br />
ìàòåð³àë ç åëåìåíòàðíî¿ òà âèùî¿ ìàòåìàòèêè.<br />
Íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê àäðåñîâàíî ñòóäåíòàì óñ³õ åêîíîì³÷íèõ<br />
ñïåö³àëüíîñòåé âèùèõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â òà êîëåäæ³â<br />
åêîíîì³÷íîãî ïðîô³ëþ, ÿê³ âèâ÷àþòü âèùó ìàòåìàòèêó.<br />
Çàïðîïîíîâàíèé ïîñ³áíèê ìîæå áóòè êîðèñíèì åêîíîì³ñòàì-àíàë³òèêàì,<br />
ô³íàíñèñòàì ³ á³çíåñìåíàì, ÿê³ ó ñâî¿é ðîáîò³<br />
çàñòîñîâóþòü ìàòåìàòè÷í³ ìåòîäè.<br />
160200000—054<br />
Ê<br />
549 — 2003<br />
Áåç îãîëîø.<br />
ÁÁÊ 22.1ÿ73<br />
ÓÄÊ 51(075.8)
Change language