METODE RJEŠAVANJA TRANSPORTNOG PROBLEMA

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU 

FAKULTET ORGANIZACIJE I INFORMATIKE 

V A R A Ţ D I N 

Marina Marković 

METODE RJEŠAVANJA TRANSPORTNOG 

PROBLEMA 

ZAVRŠNI RAD 

Varaţdin, 2011.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU 

FAKULTET ORGANIZACIJE I INFORMATIKE 

V A R A Ţ D I N 

Marina Marković 

Redoviti student 

Broj indeksa: 35881/07-R 

Smjer: Informacijski sustavi 

Preddiplomski studij 

METODE RJEŠAVANJA TRANSPORTNOG 

PROBLEMA 

ZAVRŠNI RAD 

Mentor: 

Dr. sc. Nenad Perši, redoviti profesor 

Varaţdin, rujan 2011.

Sadrţaj 

1. Uvod ............................................................................................................................................ 1 

2. Transportni problem linearnog programiranja ................................................................................ 2 

2.1. Model transportnog problema linearnog programiranja ........................................................... 2 

2.2. Dual transportnog problema................................................................................................... 5 

2.3. Otvoreni i zatvoreni transportni problem................................................................................. 8 

2.3.1. Zatvoreni transportni problem.................................................................................. 8 

2.3.2. Otvoreni transportni problem................................................................................... 9 

2.3.2.1.. Otvoreni transportni problem s viškom u ponudi………………………………………………10 

2.3.2.2.. Otvoreni transportni problem s viškom u potražnji……………………………………………15 

3. Rješavanje transportnog problema............................................................................................... 21 

3.1. Metode za dobivanje početnog rasporeda tereta ................................................................... 22 

3.1.1. Metoda sjeverozapadnog kuta................................................................................ 22 

3.1.2. Metoda minimalnih troškova.................................................................................. 24 

3.1.3. Vogelova aproksimativna metoda ........................................................................... 26 

3.2. Metode za dobivanje optimalnog rješenja ............................................................................. 29 

3.2.1. Metoda relativnih troškova .................................................................................... 30 

3.2.2. MODI metoda........................................................................................................ 35 

4. Degeneracija kod transportnog problema..................................................................................... 40 

5. Problem asignacije ...................................................................................................................... 44 

5.1. Mađarska metoda ................................................................................................................ 45 

6. Zaključak .................................................................................................................................... 47 

7. Literatura ................................................................................................................................... 48 

I

1. Uvod 

Tema ovog rada jest transportni problem linearnog programiranja i metode rješavanja. Porijeklo 

metoda za rješavanje transportnog problema datira iz 1941. godine kada je H. L. Hitchcock 

predstavio studiju naziva „Distribucija proizvoda iz nekoliko izvora do brojnih lokaliteta“ (engl. 

„The Distribution of a Product from Several Sources to Numerous Localities“). Ova studija se 

smatra prvim važnim doprinosom rješavanju transportnog problema. T. C. Koopmans je 1947., 

neovisno o Hitchcocku, prezentirao studiju nazvanu „Optimalno iskorištavanje transportnog 

sustava“ (engl. „Optimum Utilization oft he Transportation System“). [Thierauf, Klekamp, 1975, 

str. 213]. Obje studije su doprinijele razvoju metoda za rješavanje transportnog problema koji 

uključuje slanje homogenog tereta iz ishodišta u odredišta. Unutar odreĎenog vremenskog 

perioda, svako ishodište (izvor pošiljke robe) ima odreĎeni kapacitet, a svako odredište (mjesto 

potražnje za robom) odreĎene zahtjeve. Uz količinu tereta koji se transportira, takoĎer se vežu i 

jedinični troškovi prijevoza. Funkcija cilja svakog transportnog problema jest minimalizirati 

ukupne transportne troškove i zadovoljiti potrebe svih odredišta istovremeno poštujući 

ograničenja u vidu postojećih kapaciteta ishodišta i odredišta. 

Riješiti transportni problem znači postaviti početni program, odnosno odrediti rute kojima će se 

teret transportirati kako bi se zadovoljile potrebe odredišta uz iskorištavanje kapaciteta ishodišta. 

Naravno, takvih kombinacija ima vrlo mnogo, no nama je cilj pronaći onu uz koju će transportni 

troškovi biti što manji. 

U ovom radu obraĎene su tri metode koje nam omogućavaju dobivanje početnog rasporeda 

tereta, a to su metoda sjeverozapadnog kuta, metoda minimalnih troškova te Vogelova 

aproksimativna metoda. Ovim metodama ćemo dobiti odreĎeno rješenje, no kako bi provjerili da 

li je ono optimalno koristimo dvije metode. To su metoda relativnih troškova i MODI metoda, a 

kako bi ih mogli primijeniti moramo postaviti početni raspored tereta. 

TakoĎer, obraĎeni su slučajevi kada ukupna ponuda ishodišta nije jednaka ukupnoj potražnji 

odredišta (otvoreni transportni problem) te je objašnjen pojam degeneracije transportnog 

problema i načini njegovog rješavanja. 

1

2. Transportni problem linearnog programiranja 

Transportni problem dio je klase linearnog programiranje koji se bavi mrežnim problemima. 

Mrežne probleme definiramo skupom čvorova koji su povezani lukovima. Transportni problem 

pripada području optimizacije fizičkih mreža. Uz stvarne fizičke transportne mreže postoje i 

apstraktne mrežne strukture koje uključuju dodjeljivanje, planiranje i upravljanje projektima, 

problem toka novca, itd. 

Transportni problem daje rješenje koje predstavlja optimalan način odvijanja transporta tereta 

izmeĎu odreĎenog broja ishodišta i odredišta. Ishodišta su različiti centri za opskrbu, odnosno 

proizvodnju i time imaju svoj kapacitet. Odredišta su razna mjesta potražnje koji imaju potrebu 

podmiriti svoje potrebe za nekom robom. Najčešće varijable vezane uz problem transporta su 

količina tereta, jedinični troškovi, vrijeme i udaljenost. Pošto jedinične cijene variraju s obzirom 

na transportne putove kojima se roba prevozi, transportni problem nam pomaže odrediti koje su 

najpovoljnije rute za odvijanje transporta kako bi ukupni troškovi bili minimalni. 

Osim toga, transportni problem se primjenjuje i kod složenih problema lokacije višestrukih 

kapaciteta. Radi se o problemu smještaja velikog broja centara različitog kapaciteta, npr. 

skladišta, prodavaonice, tvornice. Njih možemo smjestiti na velik broj mogućih lokacija pa 

trebamo pronaći rješenje koje daje minimalne ukupne troškove transporta. Postupak pronalaska 

najbolje kombinacije je taj da tražimo optimalno rješenje transportnog problema za svaku 

moguću kombinaciju lokacija. Usporedbom dobivenih rezultata odabiremo najpovoljniju opciju 

smještaj. 

2.1. Model transportnog problema linearnog programiranja 

Transportni problem dio je linearnog programiranja s ciljem traženja minimalnih troškova 

transporta istovrsnog tereta iz više ( ) ishodišta u više ( ) odredišta uz 2 uvjeta: da se u 

potpunosti zadovolje potrebe odredišta i da se u potpunosti iskoristi ponuda ishodišta. Označimo 

li ishodišna mjesta s , a odredišna mjesta s , možemo reći da 

ishodišta imaju fiksnu ponudu , a odredišta fiksnu potražnju pri čemu polazimo od toga da 

su transportni troškovi od mjesta do mjesta konstantni i iznose . Količinu tereta koja se 

prevozi iz mjesta u mjesto označavamo s . Dakle, pri rješavanju transportnog problema 

tražimo optimalan program transporta homogenog tereta iz ishodišta u odredišta kako bi 

2

minimalizirali ukupne troškove transporta s obzirom na transportne troškove 

, kapacitete ishodišta i odredišta. Matematička formulacija problema glasi: 

količinu tereta 

1 

Funkcija cilja jest minimalizacija ukupnih troškova transporta, a sastoji se od umnoška 

jediničnih troškova prijevoza i količine tereta koji se prevozi iz -tog ishodišta u -to 

odredište. 

Transportni problem dolazi uz odreĎena ograničenja vezana iz ishodišta i odredišta. Za svako 

ishodište postoji zahtjev da se čitava raspoloživa količini tereta (ponuda) transportira na 

odredišna mjesta gdje postoji potreba za teretom. Taj skup ograničenja zapisujemo u obliku 

jednadžbe: 

2 

Ograničenje za odreĎeno ishodište bi zapisali ovako: 3 

… 

TakoĎer, za svako -to odredište postoji uvjet da se zadovolji ukupna potreba za teretom 

bilo kojeg ishodišta. Taj skup ograničenja zapisujemo: 

iz 

4 

Ograničenje za odreĎeno ishodište bi zapisali ovako: 5 

… 

1 

Barković, D., Operacijska istraživanja, Ekonomski fakultet, Osijek, 2001, str. 117. 

2 Ibid, str. 118. 

3 Fakultet organizacije i informatike (2010). Materijali s predavanja na kolegiju Operacijska istraživanja I akademske 

godine 2010/2011. Transportni problem. Dostupno 30.8.2011. na 

http://servisi.foi.hr/elf2009/mod/resource/view.php?id=4611, str.2. 

4 Barković, D., Operacijska istraživanja, Ekonomski fakultet, Osijek, 2001, str. 118. 

5 Fakultet organizacije i informatike (2010). Materijali s predavanja na kolegiju Operacijska istraživanja I 

akademske godine 2010/2011. Transportni problem. Dostupno 30.8.2011. na 


3

Za svaki par , tj. za svaku relaciju izmeĎu odredišta i odredišta kojom se prevozi odreĎena 

količina tereta vrijedi uvjet nenegativnosti: 

6 

Promatrajući prethodne sustave jednadžbi vidimo da se problem linearnog programiranja sastoji 

od jednadžbi i varijabli. Pošto se sustav transportnog problema sastoji od 

neovisnih jednadžbi, rješenje problema mora sadržavati isto toliko vrijednosti varijable 

. Takvo rješenje nazivamo nedegeneriranim rješenjem. U slučaju da sustav ne sadrži 

vrijednosti , takvo rješenje je degenerirano 7 i ono se mora nadopuniti kako bi ga 

pretvorili u nedegenerirano. 

Rješenje transportnog problema postoji samo ako je ukupna količina robe koje se otprema 

jednaka ukupnoj količini robe koja se potražuje (zaprima), tj.: 

8 

Ukoliko je zadovoljena prethodna jednadžba, takav transportni problem nazivamo zatvoreni 

transportni problem. Nasuprot tome, ako nije ispunjen taj uvjet, takav transportni problem 

nazivamo otvorenim. Tu nailazimo na problem jer postoji suvišak u otpremi (preveliki kapaciteti 

ishodišta) za koji vrijedi nejednadžba 

9 

ili višak u potražnji (nemogućnost podmirenju zahtjeva odredišta) 

10 

Transportni problem prikazujemo tablicom s onoliko redova koliko ima ishodišta ( ) i onoliko 

stupaca koliko ima odredišta ( ), kao što možemo vidjeti u Tablici 2.1. 11 

6 

Barković, D., Operacijska istraživanja, Ekonomski fakultet, Osijek, 2001, str. 118. 

7 Objašnjeno u 4.poglavlju Degeneracija kod transportnog problema 


9 Kalpić, D., Mornar, V., Operacijska istraživanja, ZEUS, Zagreb, 1996, str. 122. 

10 Ibid, str. 122. 

11 Ibid, str. 121. 

4

Tablica 2.1. Tablični prikaz transportnog problema 

O 1 O 2 … O n a i 

I 1 a 1 

I 2 a 2 

I m 

a m 

b j b 1 b 2 b n 

Za svaku relaciju u donji desni ugao upisujemo količinu tereta koju je potrebno prevesti iz 

ishodišta u odredište , a u gornji lijevi ugao upisujemo transportne troškove po jedinici tereta. 

Dakle, je ukupan broj ishodišta ( ), je ukupan broj odredišta ( ), 

jest trošak prijevoza po jedinici tereta koji se transportira, jest količina tereta koji se 

transportira od ishodišta do odredišta . Kapacitet ishodišta jest označen s ( ), 

a potrebe odredišta za teretom s ( ). 

Na Slici 2.1. možemo vidjeti kako transportni problem prikazujemo grafički pomoću mreže tako 

da kružića predstavljaju ishodišta, a kružića sva odredišta. Pomoću strelica označimo 

veza od ishodišta do odredišta . 

ISHODIŠTA 

ODREDIŠTA 

C 11 x 11 

a 1 

b 1 

a 2 

b 2 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

a m 

b n 

Slika 2.1. Grafički prikaz transportnog problema 

2.2. Dual transportnog problema 

Vidjeli smo da je original zatvorenog transportnog problema kanonski problem za minimum. 

Njegov dual jest standardni problem za maksimum bez uvjeta nenegativnosti. Kao što je već 

5

ečeno, kod transportnog problema poželjno je da se ukupna funkcija troškova minimalizira pa 

izmeĎu mogućih programa transporta moramo pronaći onaj koji najbolje zadovoljava funkciju 

cilja, tj. onaj koji osigurava minimalne ukupne troškove transporta. 

Dual transportnog problema ima za cilj maksimalizirati iskoristivost kapaciteta ishodišta i 

zadovoljenje potreba odredišta pri čemu moramo uzimati u obzir da troškovi prijevoza budu što 

manji. Kod duala se pojavljuju dodatne varijable vezane su uz pojedina ishodišta i odredišta. 

Varijable vezane uz ishodišta označavamo s , a dualne varijable vezane uz odredišta s . 

Uzimajući sve navedeno u obzir, dual transportnog problema zapisujemo ovako: 

uz ograničenja 13 

12 

Ograničenja originala transportnog problema su zadana sistemom jednadžbi i ih se pridržavati. 

Dualne varijable mogu biti pozitivne i negative jer nema uvjeta nenegativnosti, no to nikako ne 

utječe na njihov značaj, odnosno upotrebljivost. Vidimo da se problem duala sastoji od 

nejednadžbi ograničenja, te da je to problem linearnog programiranja s varijabli. Dual 

transportnog problema skraćeno možemo zapisati ovako: 

14 

uz ograničenja 

za svaki par 

Varijable i možemo modificirati tako da ih umanjimo, odnosno uvećamo za isti iznos 

Takav modificirani dual gdje varijable umanjimo,odnosno uvećamo za a varijable 

uvećamo, odnosno umanjimo za 

zapisujemo ovako: 


akademske godine 2010/2011. Dostupno 30.8.2011. na 


13 Ibid, str.3. 


akademske godine 2010/2011. Dual numeričkog primjera transportnog problema. Dostupno 30.8.2011. na 


6

15 

ili 

16 

Vrijednosti varijable govori o povećanju/smanjenju vrijednosti programa. Kao što je već 

rečeno, varijabla može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti. Ako je vrijednost 

varijable pozitivna, tada vidimo za koliko će se povećati vrijednost programa ako se iz -tog 

ishodišta otpremi jedna jedinica tereta više. Nasuprot tome, negativna vrijednost go vori za koliko 

će se smanjiti vrijednost programa ako se količina otpreme iz -tog ishodišta poveća. U Tablici 

2.2. vidimo utjecaj ponude ishodišta na vrijednost funkcije Z, odnosno njen rast ili pad, ovisno o 

predznaku dualne varijable . Vrijednost dualne varijable nam govori za koliko će se 

promjeniti vrijednost funkcije cilja Z ako se ponuda poveća ili smanji za jednu jedinicu. 

Tablica 2.2. Utjecaj ponude na vrijednost funkcije cilja Z 

Što se tiče vrijednosti varijable , ona nam u slučaju pozitivne vrijednosti govori za koliko će se 

povećati, odnosno smanjiti vrijednost programa ako se u -to odredište opremi jedinica tereta 

više, odnosno manje. U Tablici 2.3. vidimo utjecaj ponude ishodišta na vrijednost funkcije Z, 

odnosno njen rast ili pad, ovisno o predznaku dualne varijable . Vrijednost dualne varijable 

nam govori za koliko će se promjeniti vrijednost funkcije cilja Z ako se ponuda poveća ili smanji 

za jednu jedinicu. 

Tablica 2.3. Utjecaj ponude na vrijednost funkcije cilja Z 

Možemo zaključiti kako su varijable duala transportnog problema veoma korisne i značajne u 

mnogim ekonomskim analizama kapaciteta i lokacija ishodišta,te lokacija i potreba odredišta. 


akademske godine 2010/2011. Dual numeričkog primjera transportnog problema. Dostupno 30.8.2011. na 


16 Ibid, str.3 

7

2.3. Otvoreni i zatvoreni transportni problem 

Spomenuli smo postojanje otvorenog i zatvorenog transportnog problema. Radi se o ravnoteži 

izmeĎu ishodišta i odredišta, odnosno da li su ukupni kapaciteti ishodišta jednaki ukupnim 

potrebama ishodišta za teretom koji se transportira. Dakako, u stvarnosti će takva situacija gdje 

je ravnoteža uspostavljena biti rijetka. Zbog toga ćemo u nastavku objasniti što učiniti kada 

naiĎemo na takav transportni problem, tzv. otvoreni. 

2.3.1. Zatvoreni transportni problem 

Kada je ukupna potreba odredišta jednaka ukupnoj ponudi ishodišta, takav problem transportnog 

problema nazivamo zatvorenim. Matematički to zapisujemo ovako: 

17 

Original zatvorenog transportnog problema je kanonski problem za minimum, a dual tog 

problema je standardni problem za maksimum (bez uvjeta nenegativnosti). Ako u aktualnom 

problemu nije ispunjen uvjet da je suma svih ponuĎenih količina robe jednaka sumi količina koja 

se potražuje, naišli smo na otvoreni transportni problem. Njega je potrebno prevesti u zatvoreni 

kako bismo mogli nastaviti s rješavanjem problema. 

Primjer zadatka zatvorenog transportnog problema: 

Poduzeće koje se bavi prijevozom i transportom robe dostavlja robu sa skladišta u trgovine. Pri 

tome treba zadovoljiti zahtjeve trgovina da im se dostavi robe u količinama: 70, 40 i 65 težinskih 

jedinica. Prijevozno poduzeće ima na raspolaganju tri skladišta sa kojih može dostaviti robu u 

trgovine, a raspoložive količine u skladištima su: 50, 60 i 65 težinskih jedinica robe. Troškovi 

prijevoza po pojedinim relacijama prikazani su tablično: 

Zadatak je napraviti originalni i dualni oblik ovog transportnog problema. U Tablici 2.4. vidimo 

primjer zatvorenog transportnog problema. 


8

Tablica 2.4. Tablični izgled zatvorenog transportnog problema 

Rješenje zadatka: 

O 1 O 2 O 3 a i 

I 1 

2 4 1 

50 

I 2 

4 4 2 

60 

I 3 

1 3 2 

65 

b j 70 40 65 

175 

175 

Suma kapaciteta ishodišta: 

Originalni oblik transportnog problema: 

ovo je zatvoreni transportni problem. 

Ograničenja za ishodišta: 

Ograničenja za odredišta: 

Dual zatvorenog transportnog problema: 

Ograničenja: 

2.3.2. Otvoreni transportni problem 

Kada postoji neravnoteža izmeĎu količine otpreme iz ishodišta i količine primanja odredišta, 

odnosno kapaciteta ishodišta i potreba odredišta, tada nailazimo na otvoreni transportni problem. 

On se u praksi sreće mnogo češće nego zatvoreni. Matematički ćemo to zapisati ovako: 

9

18 

Za analizu, odreĎivanje, definiranje, ali i srednje te dugoročno planiranje lokacija proizvodnih i 

potrošačkih kapaciteta koristi se upravo otvoreni transportni problem. Ukoliko uvjet 

nije ispunjen, potrebno je uvesti jesno fiktivno mjesto koje će „preuzeti“ 

suvišan teret isporuke ili koje će „isporučiti“ količinu tereta koji nedostaje. 19 

Postoje dvije vrste otvorenog transportnog problema s obzirom na to da li se višak javlja na 

strani ishodišta ili na strani odredišta: 

a) otvoreni transportni problem s viškom u ponudi i 

b) otvoreni transportni problem s viškom u potražnji. 

2.3.2.1. Otvoreni transportni problem s viškom u ponudi 

Kod ovakvog otvorenog transportnog problema višak se javlja na strani ishodišta, odnosno 

ukupna ponuda ishodišta jest veća od ukupne potražnje odredišta. Matematički gledano 

zapisujemo ovako: 

20 

Ovakav problem služi pri analizi lokacije ishodišta, te kako bi eliminirali neka ishodišta ako se 

utvrdi visoka vrijednost transportnog problema. Kako bismo riješili ovakav tip transportnog 

problema, potrebno ga je prvo pretvoriti u zatvoreni transportni problem tako da dodamo 

„fiktivno“ odredište koje će preuzeti višak koji dolazi od ishodišta. Njegov kapacitet ( ) 

iznosi točno onoliko koliko je ponuda veća od potražnje. Matematički model potražnje 

„fiktivnog“ odredišta izgleda ovako: 

21 

Original otvorenog transportnog problema je opći problem za minimum, a kako bismo riješili 

ovu vrstu problema moramo ga prevesti u kanonski problem za minimum. 

Original izgleda ovako: 

18 Krčevinac, S., Petrić J., Čupić, M., Nikolić, I., Algoritmi i programi iz operacionih istraživanja, Naučna knjiga, 

Beograd, 1983, str. 37. 


20 Ibid, str.142. 

21 Ibid, str. 142. 

10

22 

uz ograničenja za ishodišta 23 i ograničenja za odredišta 24 

te uz uvjet nenegativnosti . 

Ograničenja za ishodišta kraće zapisujemo 

n 

m 

j 1 

ij a i 

pri čemu vrijedi za svaki par (i 1,2,…,m; j 1,2,…,n). 

, a ograničenja za odredišta ij b j 

i 1 

25 

Kako bismo riješili ovakav problem gdje su kapaciteti ishodišta veći od potreba odredišta, 

moramo sistem nejednadžbi svesti na sistem jednadžbi. To radimo pomoću dopunskih varijabli 

dodajući u model fiktivno odredište O f- Potrebe fiktivnog odredišta jednake su razlici kapaciteta 

ishodišta i potreba postojećih odredišta. Jedinični troškovi prijevoza na svim relacijama do 

fiktivnog odredišta su jednaki i iznose 0. Zaključujemo da fiktivno odredište ne utječe na ukupne 

troškove programa jer njegovi troškovi iznose 

26 

UvoĎenjem spomenutih dopunskih varijabli u sustav nejednadžbi i jednadžbi dobivamo 

27 

uz ograničenja 







akademske godine 2010/2011. Otvoreni transportni problem. Dostupno 30.8.2011. na 



27 Ibid,str.2. 

11

28 

Time dolazimo do ravnoteže u ponudi i potražnji 

29 

Tako modificirani transportni problem prikazan je u Tablici 2.5. 

Tablica 2.5. Otvoreni transportni problem s viškom u ponudi 

O 1 O 2 … O n O f a i 

I 1 a 1 

I 2 a 2 

I m 

a m 

b j b 1 b 2 b n b f 

Nakon što smo izjednačili kapacitete ishodišta i potrebe odredišta pomoću fiktivnog odredišta 

dobili smo zatvoreni transportni problem. Uzimajući u obzir dopunske varijable fiktivnog 

odredišta dobivamo „dopunjeni“ originalni oblik transportnog problema: 

Ograničenja za ishodišta nisu više nejednadžbe, već jednadžbe te glase: 31 

30 



http://servisi.foi.hr/elf2009/mod/resource/view.php?id=12874,str.2. 

29 Ibid,str.2. 





12

Ograničenja za odredišta dobivaju dodatnu jednadžbu (zbog dodanog odredišta) pa glase: 32 

i vrijedi uvjet nenegativnosti . 

Iz „dopunjenog“ originala transportnog problema izvodimo dual pri čemu je on jednak dualu 

zatvorenog transportnog problema te glasi 

uz ograničenja 34 

33 

U Tablici 2.6. vidimo primjer otvorenog transportnog problema s viškom u ponudi: 

Tablica 2.6. Primjer otvorenog transportnog problema s viškom u ponudi 

O 1 O 2 O 3 a i 

I 1 

2 4 1 75 

I 2 

4 4 2 60 

I 3 

1 3 2 65 

b j 70 40 65 

200 

175 




http://servisi.foi.hr/elf2009/mod/resource/view.php?id=4611,str.5 



13

ž 

š 

Budući da vrijedi 

m n 

a i b j 

i 1 j 1 

Originalni oblik transportnog problema: 

ovo je otvoreni transportni problem s viškom u ponudi. 



Te vrijedi uvjet nenegativnosti . 

Otvoreni transportni problem pretvaramo u zatvoreni dodajući fiktivno odredište 

čija je 

potražnja 

jednaka 

Tablica 2.7. prikazuje dopunjeni oblik transportnog problema, tj. kada smo dodali fiktivno 

odredište. 

Tablica 2.7. Dopunjeni oblik transportnog problema s viškom u ponudi 

O 1 O 2 O 3 

O f 

a i 

I 1 

2 4 1 0 

I 2 

4 4 2 0 

I 3 

1 3 2 0 

b j 70 40 65 25 

75 

60 

65 

200 

200 

„Dopunjeni“ original transportnog problema: 

14



Dual se izvodi iz „dopunjenog originala“: 

Vrijede ograničenja: 

2.3.2.2. Otvoreni transportni problem s viškom u potražnji 

Kod otvorenog transportnog problema s viškom u potražnji problem se javlja jer je suma potrebe 

odredišta za robom veća od sume kapaciteta ishodišta, tj. potražnja je veća od ponude. Mada na 

prvi pogled zvuči nelogično da postoji višak u potražnji (zaprimanju), on se itekako pojavljuje. 

Slučajevi ovakvog otvorenog transportnog problema javljaju se prilikom integracija organizacija, 

pri analizi odredišta kako bi eliminirali najnepovoljnije ili izbjegli nepotrebna ulaganja u 

kapacitete koji bi ostali neiskorišteni. 35 

Matematički to zapisujemo 

36 

Original otvorenog transportnog problema je opći problem za minimum, a kako bismo riješili 

ovu vrstu problema moramo ga prevesti u kanonski problem za minimum. Original izgleda 

ovako: 

37 






15

Ograničenja uz ishodišta i odredišta pojavljuju se kao i kod transportnog problema s viškom u 

ponudi, te takoĎer vrijedi uvjet nenegativnosti . 

Ograničenja za ishodišta 38 Ograničenja za odredišta 39 

Ograničenja za ishodišta kraće možemo zapisati ovako 40 

a ograničenja za ishodišta 

… 

… 

41 

Kako bismo riješili ovakav tip transportnog problema, potrebno ga je prvo pretvoriti u zatvoreni 

transportni problem, jednako kao i otvoreni transportni problem s viškom u ponudi. To ćemo 

učiniti tako da dodamo „fiktivno“ ishodište I f koje će ponuditi onoliko tereta koliko nedostaje da 

se zadovolje potrebe odredišta. Njegov kapacitet (a f ) iznosit će točno onoliko koliko je potražnja 

veća od ponude. Matematički model kapaciteta „fiktivnog“ ishodišta izgleda ovako: 

42 

Jedinični troškovi prijevoza na relacijama od „fiktivnog“ ishodišta I f do svih odredišta su 

jednaki i iznose 0. „Fiktivno“ ishodište, kao ni „fiktivno“ odredište u otvorenom transportnom 

problemu s viškom u ponudi, ne utječe na ukupne troškove programa jer su njegovi ukupni 

troškovi 

43 











16

Pretvaranjem otvorenog transportnog problema u zatvoreni, dobili smo modificirani transportni 

problem koji prikazujemo kao u Tablici 2.8. 

Tablica 2.8. Otvoreni transportni problem s viškom u potraţnji 

O 1 O 2 … O n a i 

I 1 a 1 

I 2 a 2 

I m 

a m 

I f 

a f 

b j b 1 b 2 b n 

Nakon što smo izjednačili kapacitete ishodišta i potrebe odredišta pomoću fiktivnog ishodišta 

dobili smo zatvoreni transportni problem. Nakon što uvrstimo dopunske varijable fiktivnog 

ishodišta dobivamo „dopunjeni“ originalni oblik transportnog problema: 

MeĎu ograničenjima za ishodišta imamo jednadžbu više jer smo dodali „fiktivno“ ishodište pa 

sada ograničenja glase: 45 

44 





17

Ograničenja za odredišta pretvorili smo iz nejednadžbi u jednadžbe: 46 

TakoĎer, vrijedi uvjet nenegativnosti . 

Ograničenja za ishodišta kraće zapisujemo , , a ograničenja za 

odredišta . 47 

Dual otvorenog transportnog problema izvodimo iz „dopunjenog“ originala transportnog 

problema, a on je jednak dualu zatvorenog transportnog problema pa glasi 

uz pripadajuća ograničenja 49 

48 

U Tablici 2.9. vidimo primjer otvorenog transportnog problema s viškom u potražnji. 

Tablica 2.9. Primjer zadatka otvorenog transportnog problema s viškom u potraţnji 

O 1 O 2 O 3 a i 

I 1 

2 4 1 

50 

I 2 

4 4 2 

60 

I 3 

1 3 2 

65 

b j 75 55 65 

175 

195 











18


Suma potražnje odredišta 

Budući da vrijedi 

ovo je otvoreni transportni problem s viškom u potražnji. 

Orginalni oblik transportnog problema: 



Otvoreni transportni problem pretvaramo u zatvoreni dodajući fiktivno ishodište 

čiji je 

kapacitet a f jednak 

„Dopunjeni“ oblik transportnog problema sada prikazujemo Tablicom 2.10. gdje vidimo dodani 

novi redak koji predstavlja fiktivno ishodište. 

Tablica 2.10. Dopunjeni oblik transportnog problema s viškom u potraţnji 

O 1 O 2 O 3 a i 

I 1 

2 4 1 

50 

I 2 

4 4 2 

60 

I 3 

1 3 2 

65 

I f 

0 0 0 

20 

b j 75 55 65 

195 

195 

19



Vrijedi uvjet nenegativnosti: 

Dual zatvorenog transportnog problema izvodimo iz „dopunjenog“ orginala: 

Ograničenja: 

20

3. Rješavanje transportnog problema 

Nakon što smo objasnili što je to transportni problem, kako se postavlja njegov matematički 

model te model njegovog duala, grafički i tablični prikaz te objasnili zatvoreni i otvoreni 

transportni problem, dolazimo do samog rješavanja transportnog modela. Kao što je već rečeno, 

svrha rješavanja jest minimalizacija troškova transporta na relacijama izmeĎu ishodišta i 

odredišta pri čemu moramo u potpunosti zadovoljiti potrebe ishodišta i iskoristiti kapacitete 

ishodišta. Troškovi transporta od ishodišta do odredišta za odreĎenu količinu tereta mogu 

se općenito prikazati kao umnožak jediničnog troška i količine , a funkcija cilja izražava 

ukupne troškove transporta koje treba minimalizirati. Ukupni troškovi se sastoje od jediničnih 

troškova prijevoza i količina tereta koje se prevoze 

50 

Vidimo da visina troškova ovisi o vrijednosti varijabli u funkciji cilja. Kako bismo odredili te 

vrijednosti, trebamo odlučiti koje će količine tereta biti transportirane na odreĎenim 

relacijama izmeĎu ishodišta i odredišta. 

Postoji vrlo mnogo mogućih transportnih programa kojima bi uspješno prevezli teret, ali mi 

moramo pronaći onaj koji će nam osigurati najmanje troškove transporta. Tri osnovna koraka 51 

vode ka konačnom rješenju, kao i kod rješavanja općih problema linearnog programiranja uz 

pomoć simpleks metode: 

1. izbor dopuštenog bazičnog rješenja 

2. primjena kriterija koji pokazuju da li se postignuto rješenje može poboljšati, 

3. iteracija ili modifikacija prvog i svakog daljnjeg rješenja, ako je moguće 

poboljšanje rješenja. 

Sljedeći ove korake pratimo korake simpleks metode, ali ne koristimo standardnu simpleks 

tablicu već transportni problem rješavamo u jednostavnijoj formi. Primjena simpleks metode za 

rješavanje transportnog problema je veoma nepraktična jer uključuje velik broj varijabli i 

ograničenja. Zbog toga radije koristimo transportne metode koje koriste posebnu strukturu 

transportnog problema linearnog programiranja. Dijelimo ih u dvije osnovne grupe: 

1. metode za čije je rješavanje potreban početni raspored tereta, 

50 

Barković, D., Operacijska istraživanja, Ekonomski fa kultet, Osijek, 2001, str. 117. 

51 Barković, D., Operacijska istraživanja, Ekonomski fa kultet, Osijek, 2001, str. 121. 

21

2. metode za čije rješavanje nije potreban raspored tereta. 

Metode za čije je rješavanje potreban početni raspored tereta dijele se na 

1. metode za dobivanje početnog rasporeda tereta: 

1.1. metoda sjeverozapadnog kuta, 

1.2. metoda minimalnih troškova, 

1.3. Vogelova aproksimativna metoda, 

2. metode za dobivanje optimalnog rješenja transportnog problema linearnog 

programiranja: 

2.1. metoda relativnih troškova, 

2.2. MODI metoda 

i one će biti detaljnije objašnjenje u radu. Na Slici 3.1. vidimo grafički prikazane metode 

rješavanja transportnog problema te njihovu podjelu i grananje. 

Metode rješavanja transportnog problema 

potreban početni raspored tereta 

nije potreban 

početni raspored 

tereta 

Metode za dobivanje početnog rasporeda tereta 

Metode za dobivanje optimalnog 

rješenja 

Metoda 

sjeverozapadnog 

kuta 

Metoda 

minimalnih 

troškova 

Vogelova 

aproksimativna 

metoda 

Metoda 

relativnih 

troškova 

MODI 

metoda 

Slika 3.1. Grafički prikaz metoda rješavanja transportnog problema 

Metode koje ne zahtijevaju početni raspored tereta neće biti detaljnije obrazložene jer imaju 

nešto kompliciraniji algoritam - postupno razvijaju program sve dok se ne izvrši potpuni 

raspored tereta i dobije optimalan program transporta. Najpoznatije takve metode su Ford- 

Fulkersonova i metoda razjašnjavajućih pribrojnika, te neke specijalno razraĎene metode za 

kompjutorsko rješavanje transportnog problema. 

3.1. Metode za dobivanje početnog rasporeda tereta 

3.1.1. Metoda sjeverozapadnog kuta 

Ime metode (engl. The Northwest – Corner Rule) proizašlo je iz toga što pri prvoj dodjeli 

količine tereta kojeg treba transportirati krećemo iz gornjeg lijevog kuta ( ) tabličnog 

22

prikaza transportnog problema, odnosno iz „sjeverozapadnog“ kuta. Naziva se takoĎer i 

dijagonalna metoda, a služi za postavljanje početnog rasporeda tereta nakon čega slijede iteracije 

kojima, ako je moguće, postavljamo optimalnije rješenje. U ovoj metodi se ne vodi računa o 

troškovima , već pojedinim poljima dodjeljujemo maksimalne količine tereta kojeg 

treba transportirati. Gledamo ukupnu količinu ponude -tog reda i ukupnu količinu potrebe -tog 

stupca te uzimamo manju. To je maksimalna količina tereta koju možemo upisati na to polje s 

obzirom na kapacitete ishodišta I i (i 1, 2, …, m) i potrebe odredišta O j (j 1, 2, …, n). Nakon što 

smo na polje 1,1 stavili maksimalnu količinu tereta, gledamo da li je u potpunosti iskorišten 

kapacitet ishodišta I 1. Ako nije, prelazimo na polje 1,2 („na zapad“) kako bi zadovoljili potrebe 

odredišta O 2 preostalom količinom s ishodišta I 1. Ako je kapacitet ishodišta I 1 u potpunosti 

iskorišten, prelazimo na polje 2,1, tj. na ishodište I 2 kako bi zadovoljili preostale potrebe 

odredišta O 1 . Dakle, ako smo iskoristili u potpunosti kapacitet -tog reda (ishodišta I i ),a potrebe 

odredišta O j su ostale nepodmirene, prelazimo na sljedeći red (ishodište I i+1 ), pri čemu -ti stupac 

ostaje nepromijenjen. Ovaj postupak ponavljamo sve dok ne doĎemo do donjeg desnog kuta 

(jugoistočni kut - polje ). 52 Završiti postupak znači u potpunosti iskoristiti sve kapacitete 

ishodišta i zadovoljiti potrebe svih odredišta. 

Ova metoda omogućava postavljanje početnog bazičnog nedegeneriranog rješenja, tj. rješenje u 

kojem imamo bazičnih varijabli. To znači da je broj zauzetih (upisanih) polja u ovom 

programu jednak . Pošto se pri postavljanju početnog rasporeda ne obraća pažnja na 

troškove prijevoza, program dobiven ovom metodom je daleko od optimalnog. 

U Tablici 3.1. vidimo primjer zatvorenog transportnog problema. Početni teret odredit ćemo 

metodom sjeverozapadnog kuta. 

Tablica 3.1. Primjer odreĎivanja početnog rasporeda metodom SZ kuta 

O 1 O 2 O 3 O 4 a i 

I 1 2 4 1 3 

50 10 

60 

I 2 4 3 2 1 

30 40 

70 

I 3 1 3 2 5 

20 45 

65 

b j 50 40 60 45 

195 

195 


23

Prvo smo stavili maksimalnu količinu tereta na polje 1,1 s obzirom na kapacitete ishodišta I 1 ( 

a 1 60) i potražnju odredišta O 1 (b 1 =50). Prema tome, . 

Pošto smo zadovoljili potražnju O 1 , prelazimo na zadovoljavanje potreba odredišta O 2 , tj. na 

polje 1,2. Kako je od ishodišta I 1 preostalo još 10 težinskih jedinica, iskorištavamo do kraja 

njegov kapacitet, stavljamo 10 težinskih jedinica na polje 1,2 ( ) pa prelazimo na polje 

2,1 kako bi do kraja zadovoljili potrebe odredišta O 2. Na polje 2,2 smo stavili 30 težinskih 

jedinica tereta ( ) i time zadovoljili potrebe odredišta O 2. Dalje prelazimo na polje 2,3 

kako bi opskrbili odredište O 3 . Kako kapacitet ishodišta I 2 nije do kraja iskorišten, preostali teret 

od 40 težinskih jedinica stavljamo na polje 2,3 ( . Kapacitet ishodišta I 2 jest iskorišten, 

ali nije zadovoljio ukupne potrebe odredišta O 3 pa prelazimo na polje 3,3. Tu stavljamo 20 

težinskih jedinica tereta ( i time smo zadovoljili potrebe odredišta O 3 . Preostalo nam 

je zadnje odredište O 4 i neiskorišten kapacitet ishodišta I 3 u iznosu od 45 težinskih jedinica. To je 

ujedno i zadnje polje (jugoistočno) koje označava da smo došli do kraja postupka postavljanja 

početnog teretana. Na polje 3,4 stavljamo teret od 45 težinskih jedinica ( čime 

zadovoljavamo potrebe odredišta O 4 i kompletan kapacitet ishodišta I 3. Možemo vidjeti da su 

kapaciteti svih ishodišta u potpunosti iskorišteni kao i da su podmirene potražnje svih odredišta. 

Ukupni troškovi ovog programa iznose: 

novčanih jedinica 

3.1.2. Metoda minimalnih troškova 

Za razliku od metode sjeverozapadnog kuta u kojoj je uvjet jedino zadovoljenje potreba svih 

odredišta i iskorištavanje kapaciteta ishodišta, metoda minimalnih troškova (engl. The Least – 

Cost Rule) 53 vodi računa o jediničnim troškovima prijevoza i zbog toga daje povoljniji 

početni raspored tereta, pri čemu je težina, odnosno lakoća provedbe algoritma otprilike jednaka. 

Prvi korak u dobivanju početnog rasporeda tereta jest pronaći najmanji trošak u matrici 

troškova. Kao i u metodi SZ kuta, u to polje upisujemo maksimalnu moguću količinu tereta s 

obzirom na kapacitet pripadajućeg ishodišta i potrebe pripadajućeg odredišta. Maksimalna 

količina tereta, gledajući ukupnu količinu ponude -tog reda i ukupnu količinu potrebe -tog 

stupca, jest ona manja od te dvije. U slučaju da u matrici troškova postoje dva ili više minimalnih 

53 Barković, D., Operacijska istraživanja, Ekonomski fa kultet, Osijek, 2001, str. 122. 

24

troškova, popunjavamo ono polje na koje je moguće staviti što veću količinu tereta. Kada u 

potpunosti iskoristimo ukupni kapacitet odreĎenog ishodišta ili potpuno zadovoljimo potrebe 

nekog odredišta, taj stupac (odredište), odnosno redak (ishodište) u sljedećem razmatranju 

isključujemo. Ovaj postupak ponavljamo sve dok potrebe odredišta ne budu potpuno 

zadovoljene, a kapaciteti svih ishodišta iskorišteni. 

U Tablici 3.2.vidimo primjer zatvorenog transportnog problema. Početni teret odredit ćemo 

metodom minimalnih troškova. 54 

Tablica 3.2. Primjer odreĎivanja početnog rasporeda metodom minimalnih troškova 

O 1 O 2 O 3 a i 

2 4 1 

I 1 

50 

50 

4 4 2 

I 2 

45 15 

60 

1 3 2 

I 3 

70 5 

75 

b j 70 50 65 

185 

185 

Prvi korak je u pronaći minimalni trošak u matrici troškova. Imamo 2 minimalna troška u iznosu 

1 novčane jedinice na poljima 1,3 i 3,1. Gledamo na koje polje možemo staviti maksimalnu 

količinu tereta. Na polju 1,3 to je 50 težinskih jedinica, na polju 3,1 70 težinskih jedinica. 

Odabiremo polje 3,1 pa je Time je u potpunosti zadovoljena potreba odredišta O 1 tako 

da troškove prvog stupca ne uzimamo dalje u razmatranje. Sljedeći minimalni trošak je na polju 

1,3 pa tu stavljamo maksimalnu količinu tereta u iznosu 50 težinskih jedinica ). 

Tražimo najmanji trošak u preostaloj matrici troškova. Ponovno imamo 2 jednaka minimalna 

troška i to na poljima 2,3 i 3,3 ( 

. Gledamo na koje polje možemo staviti veću 

količinu tereta. Na polje 2,3 možemo staviti 15 težinskih jedinica, a na polje 3,3 5 težinskih 

jedinica (jer je toliko ostalo do potpunog iskorištenja ishodišta I 3 . Dakle,stavljamo 15 težinskih 

jedinica na polje 2,3 ). Time su u potpunosti zadovoljene potrebe odredišta O 3 pa treći 

stupac više ne razmatramo. Sljedeći minimalan trošak je na polju 3,2 ( i tu stavljamo 


akademske godine 2010/2011. Rješavanje transportnog problema. Dostupno 30.8.2011. na 


25

maksimalnu količinu tereta od 5 težinskih jedinica jer je toliko preostalo od kapaciteta ishodišta 

I 3 . Zadnje slobodno polje na koje možemo staviti teret jest 2,2 i tu stavljamo količinu od 45 

težinskih jedinica ). Time smo odredili početni raspored metodom minimalnih 

troškova. Ukupni troškovi prijevoza početnog rasporeda dobiveni metodom minimalnih troškova 

iznose: 


3.1.3. Vogelova aproksimativna metoda 

Kada bi usporeĎivali razne metode za postavljanje početnog rasporeda, Vogelova 

aproksimativna metoda (engl. Vogel's Approximation Method) 55 bi imala odreĎenu prednost jer 

program koji dobijemo ovom metodom jest u većini slučajeva veoma blizak optimalnom 

rješenju, ako već i nije optimalan. U ovoj metodi usporeĎujemo troškove transporta pa na osnovu 

toga obavljamo transport tereta, zadovoljavajući uvjete ishodišta i odredišta. 

Metoda se sastoji od nekoliko koraka,a to su: 56 

1. U svakom redu, odnosno svakom stupcu tražimo najmanji trošak ( i sljedeći za 

njim po veličini. 

2. Računamo razliku izmeĎu ta 2 troška i nju upisujemo u stupac „razlika reda“ , tj. 

redak „razlika stupca“ . 

3. Pronalazimo redak, odnosno stupac u kojem je najveća razlika reda , tj. stupca . 

4. U odabranom retku ili stupcu iz prethodnog koraka pronalazimo minimalni trošak 

i na to polje upisujemo maksimalnu moguću količinu tereta. 

Ove korake ponavljamo, kao i u prethodnim metodama, sve dok svi kapaciteti ishodišta ne budu 

iskorišteni,a potrebe odredišta u potpunosti zadovoljene. Nakon što odreĎeni redak ili stupac 

eliminiramo iz daljnjeg razmatranja, u redak, tj. stupac razlike stavljamo slovo Z (završeno), a u 

preostala slobodna polja u tom retku ili stupcu stavljamo znak „X“. Kao što je već rečeno, stupac 

ili redak se eliminiraju iz daljnjeg razmatranja kada je kapacitet tog ishodišta (retka) u potpunosti 

iskorišten ili kada je u potpunosti zadovoljena potreba nekog odredišta (stupac). 





26

Postoji mogućnost da će nam se pojaviti dvije ili više jednakih razlika u redu i stupcu (3. 

korak). Ako nam se to dogodi, tada u pripadnim redovima ili stupcima tražimo najmanji trošak 

prijevoza i na to polje stavljamo maksimalnu količinu tereta. Ako se pak dogodi da su i troškovi 

jednaki i ne možemo odabrati najmanji, tada ćemo odabrati ono polje na koje je moguće staviti 

veću količinu tereta. 

Vogelovu aproksimativnu metodu (skraćeno VAM) upotrebljavamo za dobivanje početnog 

rasporeda tereta koji možemo dalje poboljšavati kako bi dobili optimalan program ili za 

dobivanje aproksimativnog rješenja. Kako bismo bili sigurni da smo dobili optimalno rješenje, 

početni raspored tereta dobiven VAM-om trebamo uvijek „prekontrolirati“ nekom od metoda za 

rješavanje transportnog problema koje zahtijevaju postavljanje početnog programa te ako je 

moguće, napraviti poboljšano rješenje. 57 Početni program koji dobijemo VAM-om, ukoliko i nije 

optimalan, najbliži je optimalnom programu. 

U Tablici 3.3. pogledajmo primjer odreĎivanja početnog rasporeda tereta VAM-om. Kapaciteti 

ishodišta redom iznose 60, 35, 40, a potrebe odredišta 22, 45, 20, 18, 30. Matrica troškova iznosi 

. 

Tablica 3.3. Primjer odreĎivanja početnog rasporeda tereta VAM metodom 

I 1 

4 

I 2 

2 

I 3 

3 

O 1 O 2 O 3 O 4 O 5 r i a i 

1 3 4 4 

2,1,1,0,Z 60 

x 45 x x 15 

3 2 2 3 

1,1,1,1,Z 35 

17 x x 18 x 

5 2 4 4 

1,1,1,1,Z 40 

5 x 20 x 15 

r j 1,1,1,1,Z 2, Z 1,1,1,Z 2,2,Z 

1,1,1,0, 

0,Z 

b j 22 45 20 18 30 

135 

135 

57 Thierauf, R.J., Klekamp, R.C., Decision Making Through Operations Research, John Wiley & Sons, Inc., 1975, 

str. 213. 

27

Prvo računamo razlike redova i stupaca. Uzimamo 2 minimalna troška u stupcu ili retku i 

pronalazimo njihovu razliku. 

Razlike stupaca iznose: Razlike redova su sljedeće: 

Sada tražimo najveću razliku i vidimo da je to razlika reda 2 i 4, te razlika prvog stupca. Pošto 

imamo jednake razlike, tražimo u kojem stupcu ili redu imamo najmanji trošak prijevoza. U 

prvom retku to je polje 1,2 s jediničnim troškom od 1 novčane jedinice, u 2. stupcu to je takoĎer 

polje 1,2,a u 4. stupcu to je polje 2,5 s jediničnim troškom od 2 novčane jedinice. Odabiremo 

polje 1,2 i tu stavljamo maksimalnu količinu tereta od 45 količinskih jedinica 

Zadovoljili smo potražnju odredišta O 2 tako da 2. stupac više ne razmatramo, stavljamo -eve na 

slobodna polja i u redak razlike stavljamo slovo „Z“ kako bi označili da je stupac završen. Sada 

na jednak način ponovno radimo razlike redova i stupaca, ali ne uzimamo u obzir 2. stupac. 

Razlike stupaca iznose: 

Razlike redova su sljedeće: 

Vidimo da je najveća razlika u 4. Stupcu. Sada na najmanji trošak stavljamo maksimalnu 

količinu tereta. To je polje 2,4 ( pa tu stavljamo 18 jedinica tereta. Time smo zadovoljili 

potrebe odredišta O 4 , stavljamo x-eve u preostala slobodna polja u 4.stupcu i oznaku „Z“ u redak 

razlike 4.stupca. 

Ponovno računamo razlike redova i stupaca, s tim da više ne gledamo 2. i 4. stupac. 

Razlike stupaca iznose: 

Razlike redova su sljedeće: 

Vidimo da su razlike sve jednake i iznose 1. Sada tražimo polje s minimalnim troškom. To su 

polja 2,1 te 2,3 i 3,3. Svi oni imaju jednak jedinični trošak,a iznosi 2. Sada gledamo na koje polje 

28

možemo staviti veću količinu tereta. Na polje 2,1 možemo staviti 17, na polje 2,3 takoĎer 17, a 

na polje 3,3 20 jedinica tereta. Prema tome, teret stavljamo na polje 3,3, u razliku reda stavljamo 

oznaku „Z“ za završeno, a u slobodna polja u 3. stupcu stavljamo x-eve jer su potrebe odredišta 

O 3 zadovoljene. Postupak ponavljamo sve dok kapaciteti svih ishodišta ne budu iskorišteni, a 

potrebe odredišta zadovoljene. Teret dalje redom stavljamo na polja: , , 

. Ukupni troškovi prijevoza po programu dobivenog Vogelovom 

aproksimativnom metodom iznose: 


3.2. Metode za dobivanje optimalnog rješenja 

Nakon što smo postavili početno bazično rješenje, trebamo provjeriti da li bi neiskorištene rute, 

tj. „prazna“ polja mogle doprinijeti poboljšanju tog programa, što znači smanjenje ukupnih 

transportnih troškova. Da ispitamo optimalnost početnog rasporeda tereta, primjenjujemo dvije 

metode: 

1. metodu relativnih troškova (metoda skakanja s kamena na kamen) i 

2. MODI metodu 58 . 

U obje metode pronalazimo relativne troškove za nezauzeta polja. Relativni trošak je broj 

koji pokazuje za koliko će se jedinica smanjiti vrijednost programa Z (kada je ), 

odnosno povećati Z (kada je ) ili ostati nepromijenjen (kada je ) ako se jedna 

jedinica prebaci na polje (i, j) za koje se izračunava relativni trošak * . 

Dakle, relativni troškovi mogu biti negativni brojevi, pozitivni ili jednaki nuli. Ako je relativni 

trošak nekog polja pozitivan broj, to nam govori za koliko novčanih jedinica bi se ukupni 

troškovi prijevoza smanjili, odnosno pokazuje nam za koliko su ukupni troškovi po jedinici 

tereta uvećani jer ta relacija nije na ruti transporta. Obratno, ako je relativni trošak negativan 

broj, on nam govori za koliko bi se novčanih jedinica ukupni troškovi transporta povećali po 

jedinici tereta ukoliko bismo odabrali tu relaciju od -tog ishodišta do -tog odredišta za koju 

smo računali relativni trošak. U slučaju da je relativni trošak jednak nuli, znamo da se ukupni 

troškovi neće promijeniti ako „izbacimo“ tu relaciju iz programa transporta. TakoĎer, to nam 

govori da postoji još jedan optimalan program, a njega pronalazimo tako da 0 tretiramo kao 

negativan broj pa to polje uključujemo u program transporta (broj optimalnih rješenja = 2 broj nula ). 

58 

Barković, D., Operacijska istraživanja, Ekonomski fa kultet, Osijek, 2001, str. 134. 

29

Na temelju definicije o relativnom trošku možemo zaključiti da program nije optimalan sve dok 

postoje negativni relativni troškovi i potrebno ga je dalje poboljšavati. Tek kada svi relativni 

troškovi na nezauzetim poljima budu pozitivni ili jednaki nuli, možemo reći da je rješenje 

transportnog problema optimalno. 

3.2.1. Metoda relativnih troškova 

Metoda relativnih troškova naziva se još i metoda skakanja s kamena na kamen (engl. Stepping 

Stone Method). Za primjenu ove metode,potrebno je imati početni raspored tereta, a koristimo ju 

kada želimo dobiti optimalno rješenje transportnog problema. Početni raspored tereta napravimo 

s bilo kojom od spomenutih metoda, te tada primjenjujemo metodu skakanja s kamena na 

kamen. Kako bi dobili najpovoljniju kombinaciju prijevoza robe, moramo testirati sva prazna 

polja, a to radimo tako da za sva prazna polja, tj. za ona na kojima se ne nalazi teret, računamo 

relativni trošak prijevoza. Ukoliko na nekom polju postoji pozitivni relativni trošak, trebamo 

napraviti novi raspored tereta, ali takav da uključuje polje s pozitivnim relativnim troškom. Ako 

postoji više pozitivnih relativnih troškova, uzimamo onaj najveći jer ćemo tako najviše smanjiti 

ukupne troškove. Znamo da je ukupni trošak prijevoza suma svih umnožaka troškova i količine 

tereta pa ćemo ga na taj način najbrže smanjiti. Kada dobijemo prvo poboljšano rješenje i 

izračunamo njegovu vrijednost, vidjet ćemo za koliko je taj program povoljniji od početnog. 

Nakon što je napravljen novi raspored tereta, ponovno izračunavamo relativne troškove za 

nezauzeta polja. Ako se ponovno pojavi pozitivan relativni trošak, to znači da rješenje nije 

optimalno pa postupak moramo ponoviti sve dok relativni troškovi ne budu negativni ili jednaki 

nulu. U suprotnom, dobiveni transportni program je optimalan i ne može se više poboljšavati. 

Računanje relativnog troška za odreĎeno polje se obavlja preko „zatvorenog puta“ ili „lanca“ 

koji polazi od tog polja, prelazi preko zauzetih i vraća se na polazno polje. Broj polja koji čine 

„zatvoreni put“ uvijek je paran, sadrži najmanje 4 polja, a najviše m+n. „Zatvoreni put“ 

definiramo putem 3 pravila: 59 

1. Bilo koja dva uzastopna polja nalaze se u istom stupcu ili retku 

2. U istom stupcu ili retku ne mogu biti tri uzastopna polja 

3. Posljednje polje mora se nalaziti u istom stupcu ili retku u kojem se nalazi polje za koje 

računamo relativni trošak. 




30

Relativan trošak računamo tako da zbrajamo troškove prijevoza po „zatvorenom putu“. Polje za 

koje računamo relativni trošak ima predznak -, sljedeće +, polje poslije toga - i tako dalje, sve do 

polja od kojeg smo krenuli. Dakle, relativni trošak računamo uzimajući jedinične troškove 

naizmjenično s predznacima - i +, s tim da polje od kojeg krećemo (za koje obavljamo račun) 

ima negativan predznak. Možemo uzeti i obratno - da to polje ima pozitivan predznak, no tada je 

optimalno rješenje dobiveno kada su svi relativni troškovi pozitivni ili jednaki nuli (mijenja se 

kriterij optimalnosti). 

Slika 3.2., Slika 3.3. i Slika 3.4. prikazuju primjere ispravnog „zatvorenog puta“ (vrijede 3 

spomenuta pravila): 

Slika 3.2. Primjer pravilnog „zatvorenog puta“ 



Na Slikama 3.5., 3.6. i 3.7. su primjeri neispravnog „zatvorenog puta“. 

Slika 3.5. Primjer nepravilnog „zatvorenog puta“ 

31

Na Slici 3.5.zatvoreni krug nije ispravan jer se polja 2,1 i 4,1 nalaze u istom stupcu, ostale 

relacije se ne nalaze niti u istom stupcu niti u istom retku. 


Zatvoreni put prikazan na Slici 3.6. ne valja jer u 1 stupcu ili retku ne smiju biti 3 uzastopna 

polja. Polje 1,2 je nepotrebni višak i ako bismo njega izbacili iz „zatvorenog puta“, dobili bismo 

ispravan „lanac“. 


„Lanac“ na Slici 3.7. nije ispravan jer kao i u prethodnom primjeru 2 uzastopna polja nisu u 

istom stupcu ili retku (polja 2,3 i 3,4 te polja 3,1 i 2,3). TakoĎer, „zatvoren put“ mora završavati 

s poljem za kojeg računamo relativni trošak, početno polje mora biti i završno, što ovdje nije 

slučaj (polje 1,2). 

Kao što je već rečeno, ako se pojavi pozitivan relativni trošak, moramo obaviti preraspodjelu 

tereta jer nije postignuto optimalno rješenje. Na polje na kojemu je pozitivan relativan trošak 

stavljamo odreĎenu količinu tereta tako da prvo odredimo zatvoreni put za njega. Dakle, na to 

polje dodajemo teret, sa sljedećeg polja po zatvorenom putu oduzimamo, na iduće dodajemo itd. 

Selimo najmanju količinu tereta koja se nalazi na poljima s kojih se teret oduzima. Ako nam se 

na 2 ili više polja pojave jednako velika relativna troška, pronalazimo zatvoreni put za sve njih i 

odabiremo ono polje na koje je moguće staviti više tereta. 60 

Pogledajmo na primjeru primjenu metode relativnih troškova. U Tablici 3.4. imamo prikazan 

zatvoreni transportni program i postavljen početni raspored Vogelovom aproksimativnom 

metodom. 


32

Tablica 3.4. Početni raspored dobiven Vogelovom aproksimativnom metodom 

O 1 O 2 O 3 O 4 a i 

1 5 8 2 

I 1 

25 

2 6 3 4 

I 2 

8 22 

7 9 11 3 

I 3 

7 

50 

25 

30 

b j 25 15 22 28 

90 

3 

10 

90 

Prvo ćemo izračunati relativne troškove za slobodna polja: 


Tablica 3.5. Izračun relativnih troškova metodom skakanja s kamena na kamen 

O 1 O 2 O 3 O 4 a i 

I 1 1 5 8 2 

25 3 -3 25 

50 

I 2 2 6 3 4 

-3 8 22 -4 

30 

I 3 7 9 11 3 

-5 7 -5 3 

10 

b j 25 15 22 28 

90 

90 

U Tablici 3.5. vidimo da je pozitivan relativan trošak na polju 1,2 i tu je potrebno staviti 

odreĎenu količinu tereta kako bi poboljšali program transporta. Teret selimo po zatvorenom putu 

po kojem smo i računali relativni trošak za to polje. Dakle, teret se dodaje na polje 1,2, sa polja 

1,4 se oduzima, pa se ponovno dodaje na polje 3,4 i naposljetku oduzima sa polja 3,2. Gledamo 

polja sa kojih oduzimamo teret i uzimamo najmanju količinu. To će biti količina tereta koji ćemo 

33

seliti. U ovom slučaju to je polje 3,2 s 7 težinskih jedinica tereta. Premještajem tereta dobivamo 

novi raspored koji vidimo u Tablici 3.6. 

Ukupni troškovi prvog poboljšanog programa iznose: 


Tablica 3.6. Prvi poboljšani program dobiven metodom relativnih troškova 

O 1 O 2 O 3 O 4 a i 

1 5 8 2 

I 1 

25 7 

18 

50 

2 6 3 4 

I 2 

8 22 

30 

7 9 11 3 

I 3 

10 

10 

b j 25 15 22 28 

90 

90 

Završili smo prvu iteraciju, a drugu počinjemo ponovnim računanjem relativnih troškova za sva 

slobodna polja. 

U Tablici 3.7. je prikazan korak 2. iteracije. 

Tablica 3.7. Druga iteracija optimiziranja programa transporta 

O 1 O 2 O 3 O 4 a i 

I 1 1 5 8 2 

25 7 -6 18 

50 

I 2 2 6 3 4 

0 8 22 -1 

30 

I 3 7 9 11 3 

-5 -3 -8 10 

10 

b j 25 15 22 28 

90 

90 

34

Vidimo da nema pozitivnih relativnih troškova i da smo dobili optimalno rješenje. No, na polju 

2,1 je relativni trošak 0, a rekli smo da to označava postojanje još jednog optimalnog rješenja. 

Kako bismo pronašli i drugo optimalno rješenje, 0 tretiramo kao pozitivan relativni trošak i 

obavljamo premještaj tereta po istom principu. Dakle, na polje 2,1 trebamo staviti teret, a selimo 

ga po zatvorenom putu tako da s polja 1,1 oduzimamo teret, na polje1,2 dodajemo pa sa polja 2,2 

oduzimamo. Minimalna količina tereta koja se nalazi na poljima s kojih oduzimamo jest 8 

jedinica na polju 2,2. 

Kako izgleda drugo optimalno rješenje, vidimo u Tablici 3.8. 

Tablica 3.8. Drugo optimalno rješenje 

O 1 O 2 O 3 O 4 a i 

I 1 1 5 8 2 

17 15 

18 50 

I 2 2 6 3 4 

8 

22 

30 

I 3 7 9 11 3 

10 10 

b j 25 15 22 28 

90 

90 

Ukupna vrijednost ovog transportnog programa jest 


Pošto smo dobili sva moguća optimalna rješenja, nije potrebno dalje računati relativne troškove 

za slobodna polja. 

3.2.2. MODI metoda 

Druga tehnika za dobivanje optimalnog rješenja transportnog problema jest MODI metoda. Ime 

potječe od engleskog naziva i zapravo je skraćenica za „The Modified Distribution Method“. 

Kako bismo ju mogli primijeniti, prvo moramo nekom od poznatih metoda postaviti početno 

bazično rješenje. MODI metoda je zapravo modificirana i specijalizirana simpleks metoda 

upravo za transportni problem. Ona je potpuno ravnopravna metodi relativnih troškova, no 

možemo ju smatrati njenom usavršenom verzijom. U MODI metodi takoĎer računamo relativne 

troškove za nezauzeta polja, ali na drukčiji način – pomoću dualnih varijabli i . 

35

Ako imamo postavljeno jedno bazično rješenje, onda možemo odrediti realne brojeve 

( i ( tako da za svako zauzeto polje ( ), tj. za sva polja gdje je 

vrijedi 

Drugi korak u rješavanju, nakon postavljanja početnog programa, je da za svaki redak 

računamo vrijednost dualne varijable , a za svaki stupac vrijednost dualne varijable . Kao što 

smo već rekli, ako je rješenje transportnog problema nedegenerirano, onda postoji 

bazičnih varijabli. Iz toga slijedi da je izraz sistem od jednadžbi s 

varijabli. 62 Iz tog razloga možemo veličinu jedne od dualnih varijabli, ili ili , 

odabrati proizvoljno. Mi ćemo uzeti da je i tada lako pronalazimo vrijednosti svih ostalih 

dualnih varijabli. 

U trećem koraku, računamo relativne troškove za nezauzeta polja po formuli 

63 . Ovako dobivene vrijednosti * jednake su relativnim troškovima 

dobivenim metodom skakanja s kamena na kamen. 

Daljnji postupak je jednak kao i u metodi relativnih troškova. Znači, ako u dobivenom rješenju 

postoji makar jedan pozitivni relativni trošak, program nije optimalan i postoji mogućnost 

poboljšavanja. To radimo tako da odaberemo najveći pozitivni relativni trošak, pronalazimo za 

njega „zatvoreni put“ pa po tom putu obavljamo transport tereta. Na taj način dobivamo 

poboljšano rješenje jer računajući ukupne troškove vidimo da je program povoljniji od 

prethodnog. Kako bi izračunali drugo poboljšano rješenje, ponovno za njega računamo 

vrijednosti dualnih varijabli i i relativne troškove. Postupak ponavljamo sve dok ne 

dobijemo optimalno rješenje bez pozitivnih relativnih troškova. Na sljedećem primjeru prikazat 

ćemo primjenu MODI metode. Uzet ćemo jednaki primjer kao i za metodu relativnih troškova 

kako bi pokazali sličnosti i razlike izmeĎu te dvije metode (Tablica 3.4.). U Tablici 3.9. imamo 

prikazan zatvoreni transportni program i postavljen početni raspored Vogelovom 

aproksimativnom metodom čija je ukupna vrijednost 

n.j. 

. 61 

61 Krčevinac, S., Petrić J., Čupić, M., Nikolić, I., Algoritmi i programi iz operacionih istraživanja, Naučna knjiga, 

Beograd, 1983, str. 40. 





36

Dodali smo po jedan redak i stupac u koje ćemo upisivati vrijednosti dualnih varijabli 

koje računamo po formuli , s tim da uzimamo vrijednost . 64 

Vrijednosti dualnih varijabli računamo na ovaj način: 

i 

Tablica 3.9. Vrijednosti dualnih varijabli 

O 1 O 2 O 3 O 4 u i a i 

1 5 8 2 

I 1 

25 

25 

0 50 

2 6 3 4 

I 2 

8 22 

-2 30 

7 9 11 3 

I 3 

7 

3 

1 10 

v j 1 8 5 2 

b j 25 15 22 28 

90 

90 

Nakon što smo pronašli vrijednosti dualnih varijabli, možemo izračunati relativne troškove za 

sva slobodna polja. To radimo po formuli 

iznose: 

Relativni troškovi redom 


37

Tablica 3.10. Relativni troškovi dobiveni MODI metodom 

I 1 

1 

I 2 

2 

I 3 

7 

O 1 O 2 O 3 O 4 u i a i 

5 8 2 

25 3 -3 25 

0 50 

6 3 4 

-3 8 22 -4 

-2 30 

9 11 3 

-5 7 -5 3 

1 10 

v j 1 8 5 2 

b j 25 15 22 28 

90 

90 

U Tablici 3.10. vidimo izračunate relativne troškove pomoću MODI metode te možemo vidjeti 

da smo dobili jednake vrijednosti kao i metodom relativnih troškova (Tablica 3.5.). Dakle, opet 

se pojavio pozitivni relativni trošak na polju 1,2 što znači da rješenje nije optimalno te ga treba 

poboljšati. Postupak je isti kao i kod metode relativniH troškova, a to je da selimo teret po 

zatvorenom putu od onog polja na kojem se nalazi pozitivan relativni trošak. Kad A smo to 

obavili, trebamo dobiti raspored kao na Tablici 3.11. koja je jednaka kako i Tablica 3.6. 

Tablica 3.11. Prvi poboljšani program 

O 1 O 2 O 3 O 4 a i 

1 5 8 2 

I 1 

25 7 

18 

2 6 3 4 

I 2 

8 22 

7 9 11 3 

I 3 

10 

b j 25 15 22 28 

50 

30 

10 

90 

90 

Kako bi izračunali relativne troškove za novi poboljšani program, moramo opet računati 

vrijednosti dualnih varijabli. Postupak je sljedeći: 

38

Tablica 3.12. Izračun dualnih varijabli i relativnih troškova 1. poboljšanog programa 

O 1 O 2 O 3 O 4 u i a i 

I 1 

1 

I 2 

2 

I 3 

7 

25 

0 

-5 

5 

6 

9 

7 

8 

-3 

8 

3 

11 

-6 

22 

-8 

2 

4 

3 

18 

-1 

10 

0 50 

1 30 

1 10 

v j 1 5 2 2 

b j 25 15 22 28 

90 

90 

Nakon što smo izračunali dualne varijable, računamo relativne troškove za slobodna polja: 

Kao što vidimo u Tablici 3.12., nema niti jednog pozitivnog troška, a to znači da smo dobili 

optimalno rješenje. Pošto se na polju 2,1 nalazi nula, znači da postoji još jedno optimalno 

rješenje. Nulu tretiramo kao pozitivan relativni trošak, selimo teret (jednako kao i u metodi 

relativnih troškova) i dobivamo novi raspored tereta koji možemo vidjeti u Tablici 3.8. Pošto je 

broj optimalnih rješenja jednak 2 broj nula , a mi smo dobili 2 optimalna rješenja (2 1 2), možemo 

zaključiti da smo dobili sva moguća optimalna rješenja. Vidimo da su rezultati dobiveni MODI 

metodom jednaki kao i oni koje smo dobili metodom relativnih troškova, jedino se razlikuje 

postupak kojim dolazimo do tih rezultata. 

39

4. Degeneracija kod transportnog problema 

Kao što je već spomenuto, sustav transportnog problema sastoji od 

neovisnih 

jednadžbi pa rješenje problema mora sadržavati isto toliko vrijednosti varijable . Takvo 

rješenje nazivamo nedegeneriranim rješenjem. 65 U slučaju da sustav ne sadrži 

vrijednosti , takvo rješenje je degenerirano, a pojavljuje se kada je parcijalna suma od 

ishodišta (a i ) jednaka nekoj od parcijalnih suma odredišta (b j ). 66 Ono se mora nadopuniti kako 

bismo ga pretvorili u nedegenerirano pošto na degenerirano bazično rješenje nije moguće 

primijeniti metode za dobivanje optimalnog rješenja koje zahtijevaju početan raspored tereta. S 

degeneracijom se možemo sresti prilikom primjene bilo koje od metoda za postavljanje početnog 

rasporeda tereta ili u nekoj od iteracija prilikom optimalizacije rješenja. 

Grafički prikaz degeneriranog rješenja možemo prikazati pomoću stabla sa čvorovima koji 

predstavljaju ishodišta i odredišta. 67 Relacije meĎu odreĎenim ishodištem i odredištem 

označujemo granama. Nedegenerirano rješenje je prikazano neprekinutim drvetom i niti jedna 

relacija nije izolirana od ostatka, kao što vidimo na Slici 4.1.. Neprekinuto drvo ima 

čvorova i grana. 

O 1 O 2 O 3 O 4 

I 1 I 2 I 3 I 4 

Slika 4.1. Grafički prikaz nedegeneriranog rješenja 

Prilikom prikaza degeneriranog rješenja, pojavit će se prekidi na jednom ili više mjesta na 

drvetu. Na Slici 4.2. vidimo da prekinuto drvo ima manje od grana. 






40

O 1 O 2 O 3 O 4 

I 1 I 2 I 3 I 4 

Slika 4.2. Grafički prikaz degeneriranog rješenja 

Na slici vidimo da je relacija I 2 -O 2 potpuno odvojena od ostatka drveta. Ishodište I 2 nije 

povezano s nijednim drugim odredištem niti je odredište O 2 povezano s ijednim ishodištem. 

Kako bi riješili ovaj problem, moramo spojiti ta dva parcijalna dijela drveta. Ima više načina na 

koje možemo spojiti odvojene dijelove i svejedno je koji ćemo odabrati, nema krivog. Bitno je 

jedino da ishodište I 2 povežemo s nekim od preostalih odredišta ili da odredište O 2 spojimo s 

jednim od ishodišta s kojim nije već povezan. Na Slici 4.3. je prikazan jedan od načina 

rješavanja degeneracije. Spojili smo ishodište I 4 na odredište O 2 te smo dodavanjem jedne grane 

riješili problem prekinutog drveta. 

O 1 O 2 O 3 O 4 

I 1 I 2 I 3 I 4 

Slika 4.3. Način povezivanja degeneriranog (parcijalnog) stabla 

Sljedeći korak je da u tablici na polje koje predstavlja novospojeno ishodište i odredište, upišemo 

fiktivni teret. Kao i u slučaju fiktivnih ishodišta i odredišta, tako je i fiktivnom teretu jedinični 

trošak transporta jednak nuli. Na taj način on ne utječe na ukupne troškove prijevoza. Fiktivni 

teret tretiramo kao i svako drugo zauzeto polje te može nestati tokom iteracija za dobivanje 

optimalnog rješenja. 

Pogledajmo primjer rješavanja degeneracije kod transportnog problema. U Tablici 4.1. je 

prikazan transportni problem s kapacitetima ishodišta: 50, 90, 60 i kapacitetima odredišta 

50,40,70,40. Početni raspored je dobiven Vogelovom aproksimativnom metodom. Kako bi 

rješenje bilo nedegenerirano moramo imati vrijednosti varijable , tj. 3+4-1=6. U 

41

dobivenom početnom rasporedu imamo 5 vrijednosti varijable . Zbog toga je rješenje 

degenerirano. 

Tablica 4.1. Početno bazično degenerirano rješenje 

O 1 O 2 O 3 O 4 a i 

2 5 4 5 

I 1 

50 

50 

1 2 1 4 

I 2 

20 70 

90 

3 1 5 2 

I 3 

20 

40 

60 

b j 50 40 70 40 200 

Na Slici 4.4. vidimo kako grafički izgleda degeneracija iz primjera. 

novčanih jedinica. 

O 

O 

O 

O 

1 

2 

3 

4 

I 1 I 2 I 3 

Slika 4.4. Grafički prikaz degeneriranog rješenja 

Kako bismo riješili ovaj problem, moramo spojiti ova dva parcijalna djela drveta. Vidimo da su 

ishodište I 1 i odredište O 1 potpuno odvojeni od svih ostalih ishodišta i odredišta. Ovo 

degenerirano rješenje ćemo pretvoriti u nedegenerirano ako ishodište I 1 spojimo s bilo kojim 

odredištem (O 1 , O 2 ili O 3 ) ili odredište O 1 spojimo s bilo kojim ishodištem (I 2 ili I 3 ). Na Slici 4.5. 

vidimo jedan od načina spajanja parcijalnih dijelova drveta. 

O 1 O 2 O 3 O 4 

I 1 I 2 I 3 

Slika 4.5. Pretvaranje degeneriranog rješenja u nedegenerirano 

42

Spojili smo ishodište I 1 s odredištem O 4 i sljedeći korak je da na odabrano polje u tablici upišemo 

fiktivni teret. Pošto fiktivni teret ne smije utjecati na ukupne troškove programa, odreĎujemo ga 

vrijednošću nula. U danom primjeru fiktivni teret se može staviti na više polja, no mi smo ga 

stavili na polje 1,4. U Tablici 4.2. vidimo kako izgleda nedegenerirano rješenje. 

Tablica 4.2. Početno bazično nedegenerirano rješenje 

O 1 O 2 O 3 O 4 u i a i 

I 1 

2 

I 2 

1 

I 3 

3 

50 

-1 

-4 

5 

2 

1 

-1 

20 

20 

4 

1 

5 

-1 

70 

-5 

5 

4 

2 

0 

-1 

40 

0 50 

-2 90 

-3 60 

v j 2 4 3 5 

b j 50 40 70 40 200 

Ukupna vrijednost programa iznosi: 

novčanih jedinica. 

Sa fiktivnim teretom postupamo kao i sa svakim drugim zauzetim poljem te on može nestati kroz 

daljnje iteracije. Relativni troškovi izračunati su MODI metodom. Vidimo da u tablici nema 

pozitivnih relativnih troškova tako da je ovo optimalno rješenje. 

43

5. Problem asignacije 

Problem asignacije ili problem rasporeĎivanja jest specijalni slučaj transportnog problema. Radi 

se o tome kako raspodijeliti poslova (zadataka, predmeta) na mjesta (ljudi,strojeva), s tim da 

jedan posao može obavljati samo jedan čovjek, tj. jedan rad se može obavljati samo na jednom 

stroju. Dakle, problem asignacije se razlikuje od transportnog po tome što su vrijednosti koje se 

nude i one koje se traže jednake jedan, a cilj je postići optimum na taj način da uzimamo u obzir 

efikasnost pojedinog radnika, stroja itd. Problem rasporeĎivanja se takoĎer svodi na problem 

linearnog programiranja pri čemu asignaciju radnika problemu možemo gledati kao prijevoz 

jedinice tereta iz ishodišta u odredište Razlika je u tome da varijabla može poprimiti samo 

vrijednosti 1 ili 0 pa s tim u vezi i kapaciteti svih odredišta su 1, kao i potražnja svakog 

odredišta. Kao što se u transportnom problemu za svaku relaciju vežu jedinični troškovi 

prijevoza , tako svako dodjeljivanje ima svoj trošak ili vrijeme koje je potrebno da bi se posao 

obavio, odnosno svoju individualnu efikasnost. 

Možemo se susresti s problemom maksimuma, npr. kada želimo podjelom radnih zadataka na 

odreĎen broj radnika s različitim sposobnostima postići maksimalni učinak. Na problem 

minimuma nailazimo npr. kada želimo minimalizirati ukupno vrijeme koje je potrebno broju 

strojeva da obavi neki posao ili kada želimo minimalizirati ukupne troškove potrebne za 

obavljanje posla. I kod problema asignacije možemo se susresti s otvorenim problemom. Kada je 

broj radnika (strojeva, radnih mjesta…) jednak broju poslova (zadataka,predmeta…), takav 

problem nazivamo zatvorenim. Otvoreni problem asignacije je kada se ta dva broja razlikuju. 

Ovakvu neravnotežu rješavamo kao i kod transportnog problem pa ako ima više strojeva nego 

poslova, uvodimo fiktivni stroj, a posao koji prividno dodjeljujemo tom stroju zapravo nije 

dodijeljen niti jednom stroju. Ako je situacija obratna pa postoji više strojeva nego poslova, 

uvodimo fiktivni posao, a stroj koji će obavljati taj posao zapravo ne obavlja niti jedan posao. 

Kod jednakog broja radnika i radnih mjesta ( ) imamo nepoznanica te različitih 

asignacija. Problem je kako odabrati optimalnu asignaciju. Možemo računati svih tih 

asignacija pa odabrat optimalnu s obzirom na zadanu matricu individualne efikasnosti, no to 

često može biti ogroman posao u slučaju veće vrijednosti varijable . 

Matematički problem asignacije formuliramo ovako: 

Zadana je kvadratna matrica individualnih efikasnosti tipa n 

44

s elementima za Treba odrediti kvadratnu matricu 

tipa , koja se zove matrica permutacija, tako da 

68 

[Barković, 2001, str. 159-150]. 

Za matricu permutacija vrijedi: 

U svakom stupcu ili retku matrice X imamo jedan element jednak nuli. Iz matrice trebamo 

izabrati elemenata, ali tako da u istom retku ili stupcu ne ostanu 2 elementa i da suma svih 

elemenata bude minimalna. Kada ispunimo te uvjete postići ćemo optimalno rješenje . 

Za rješavanje problema asignacije postoje efikasni algoritmi. Jedan od najpoznatijih i povijesno 

najvažnijih algoritama jest maĎarska metoda. 

5.1. Mađarska metoda 

Metodu je 1955. razvio Harold W. Kuhn na osnovi jednog stavka teorije grafova maĎarskog 

matematičara Dénesa Kőniga 1916., a koji je formulirao jedan drugi MaĎar Jenő Egerváry. 

Algoritam je takoĎer poznat i pod nazivom Kuhn-Munkres algoritam ili Munkresov algoritam 

pridruživanja jer je James Munkres 1957. uočio polinomnu složenost algoritma. 

Osnova algoritma je da reduciramo matricu individualnih efikasnosti i time dobijemo dvije ili 

više nula koje ne pripadaju istom vektoru (nezavisne nule) i time daju optimalno rješenje 

rasporeĎivanja. 

Postupak se sastoji od 5 osnovnih koraka 69 : 

1. korak jest pronalaženje 1. reducirane matrice. To radimo na taj način da u svakom retku 

pronaĎemo najmanji element i njega oduzmemo od svakog elementa tog reda. Dobili smo 

novu matricu u kojoj u svakom stupcu tražimo najmanji element i njega oduzmemo od 


69 Ibid, str. 152.-54. 

45

svakog elementa tog stupca. Rezultat je matrica čiji su elementi svi jednaki ili veći od 

nule, a u svakom retku i stupcu postoji bar jedna nula. 

2. korak provodimo tako da ispitujemo redove po redu i gdje je jedna nula u redu nju 

markiramo s , a ostale nule u stupcu sa . Isti postupak radimo i sa stupcima. Korak 2 

ponavljamo sve dok niti jedna nula ne ostane neoznačena. Rješenje koje ima samo 1 

markiranu nulu u svakom retku i stupcu jest optimalno. Markirana nula označava da je na 

tom mjestu izvršena dodjela, a prekrižene nule označavaju mjesta gdje ne dolazi do 

asignacije. Ako u redu postoji više nula, pronalazimo onaj redak s najmanje nula i jednu 

nulu u tom retku markiramo, a sve ostale nule koje imaju zajednički red i stupac s 

markiranom nulom prekrižimo. Taj postupak ponavljamo sve dok ne možemo markirati 

više niti jednu nulu. Ako asignacija nije kompletna prelazimo na 3.korak. 

3. korak je odreĎivanje minimalnog broja redova i stupaca koji sadrže sve nule, tj. 

pronalaženje 2. reducirane matrice. 

a. Prvo sve redove koje nemaju markirane nule označimo s . 

b. Stupci koji imaju najmanje jednu prekriženu nulu u markiranom redu takoĎer se 

markiraju. 

c. Znakom markiramo sve redove koji imaju markiranu nulu s u stupcu 

markiranom s . 

d. Postupak b. i c. ponavljamo sve dok više ne možemo markirati ni jedan red niti 

jedan stupac. 

e. Svaki nemarkirani red precrtamo linijom kao i svaki markirani stupac. 

Time smo došli do minimalnog broja redova i stupaca koji sadrže sve nule. 

4. korak jest pronalaženja najmanjeg elementa izmeĎu elemenata koji nisu markirani 

linijama. Njega dodajemo elementima redova koji su markirani, a oduzimamo od svih 

nemarkiranih elemenata. Odnosno, elemente koji nisu markirani umanjujemo za tu 

vrijednost, a elemente na presjeku linija markiranja uvećavamo. 

5. korak je provjeravanje da li smo završetkom 4. koraka dobili optimalno rješenje prema 

pravilima iz 2. koraka. Ako nismo, ponavljamo algoritam od 2.koraka. 

46

6. Zaključak 

U ovom radu potrudila sam se objasniti što je transportni problem linearnog programiranja, gdje 

se koristi i što nam omogućava. Objašnjeno je kako lagano možemo grafički i tablično prikazati 

neki transportni problem, kako izgleda njegov matematički model, što je to original, a što dual 

transportnog problema te kako ih izračunati. Objašnjena je razlika izmeĎu zatvorenog i 

otvorenog transportnog problema, te da otvoreni transportni problem nastaje zbog neravnoteže 

izmeĎu ponude ishodišta i potražnje odredišta. U vezi s time, spomenuti su pojmovi „fiktivno“ 

ishodište i „fiktivno“ odredište. 

Više puta je rečeno kako transportni problem ima za funkciju cilja minimalizirati ukupne 

troškove transporta. Oni se sastoje od umnoška jediničnih troškova prijevoza C ij i količina tereta 

koji se prevozi x ij iz i-tog ishodišta u j-to odredište. Kako bi se uspješno mogli iskoristiti 

pogodnosti koje pruža transportni problem, objašnjene su metode za rješavanje transportnog 

problema. Postoje dvije grupe metoda, one za čije je rješavanje potreban početni raspored tereta i 

one za čije nije. U radu je obraĎena samo prva grupa metoda, s tim da se i one dijele u metode za 

dobivanje početnog rasporeda tereta i metode za dobivanje optimalnog rješenja. U sklopu obrade 

svih metoda navedeni su primjeri i rješenja zadataka. TakoĎer, kod rješavanja transportnog 

problema možemo se susresti s degenerativnim rješenjem transportnog problema pa je objašnjen 

postupak kako takvo rješenje prevesti u nedegenerirano. 

Iako su objašnjene metode prilično jednostavne i s njima možemo dobiti optimalan i 

zadovoljavajući program transporta, moramo biti svjesni da se transportni problem ne može 

uvijek izolirati i biti riješen unutar svojih granica. Transport je samo jedan dio od ukupnog 

distribucijskog sustava neke organizacije. Pronaći najbolji mogući transportni program u 

pogledima usluge i najnižih mogućih ukupnih troškova je veoma teško. Ovo područje zahtjeva 

konstantno ažuriranje i promatranje unutarnjih i vanjskih promjena, što je veoma zahtjevan 

posao za sve one koji rade u domeni poslovnog istraživanja. 

TakoĎer je objašnjen i specijalan problem transportnog problema, a to je problem asignacije 

(rasporeĎivanja) i u sklopu toga maĎarska metoda koja predstavlja algoritam za rješavanje 

problema asignacije. 

U sklopu izrade završnog rada, takoĎer sam izradila programsko rješenje za računanje 

transportnog problema. IzraĎen je u programskom jeziku C++ i nalazi se na priloženom CD-u. 

47

7. Literatura 

1. Barković, D.(2001). Operacijska istraživanja, Ekonomski fakultet, Osijek 

2. Čerić, V., Optimizacija. Transportni problem. Dostupno 30.8.2011. na 

http://www.scribd.com/doc/54063484/Dodatni-materijalHR 

3. Fakultet organizacije i informatike (2010). Materijali s predavanja na kolegiju Operacijska 

istraživanja I akademske godine 2010/2011. Dual numeričkog primjera transportnog 

problema. Dostupno 30.8.2011. na 

http://servisi.foi.hr/elf2009/mod/resource/view.php?id=12875 


istraživanja I akademske godine 2010/2011. Formulacija transportnih problema. Dostupno 

30.8.2011. na http://servisi.foi.hr/elf2009/mod/resource/view.php?id=12872 


istraživanja I akademske godine 2010/2011. Optimalna rješenja transportnog problema. 

Dostupno 30.8.2011. na http://servisi.foi.hr/elf2009/mod/resource/view.php?id=12873 


istraživanja I akademske godine 2010/2011. Otvoreni transportni problem. Dostupno 



istraživanja I akademske godine 2010/2011. Rješavanje transportnog problema. Dostupno 



istraživanja I akademske godine 2010/2011. Transportni problem. Dostupno 30.8.2011. na 

http://servisi.foi.hr/elf2009/mod/resource/view.php?id=4611 

9. Kalpić, D., Mornar, V. (1996). Operacijska istraživanja, ZEUS, Zagreb 

10. Krčevinac, S., Petrić J., Čupić, M., Nikolić, I. (1983). Algoritmi i programi iz operacionih 

istraživanja, Naučna knjiga, Beograd 

11. Lovrić, Lj.(2008). Metode i modeli za donošenje optimalnih poslovnih odluka. Dostupno 

5.9.2011. na http://oliver.efri.hr/~kvmet/UMpredavanja.pdf 

12. Thierauf, R.J., Klekamp, R.C. (1975). Decision Making Through Operations Research, John 

Wiley & Sons, Inc. 

13. Transportni problem. Dostupno 30.8.2011. na 

http://web.efzg.hr/dok//EPO/fgaletic//Transport%20i%20asignacija.pdf 

14. Transportni problem linearnog programiranja. Dostupno 30.8.2011. na 

http://www.scribd.com/doc/18649688/Transportni-Problem-Skripta#archive_trial 

48

15. Zenzerović, Z., Transportni problem linearnog programiranja. Dostupno 30.8.2011. na 

http://www.pfri.uniri.hr/~zenzerov/TP-TEORIJA.doc 

49

METODE RJEŠAVANJA TRANSPORTNOG PROBLEMA

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?