zde - Univerzita Karlova

doby, než jsem díky dosti složitým pochodům mysli nabyl přesvědčení,
že odpověď je kladná, a to bez jakýchkoliv omezení. Krátce
poté jsem nalezl důkaz.
Vskutku, v dopise Dedekindovi již ze dne 20. června 1877 popsal
Cantor následující jednoduchou korespondenci mezi oborem reálných čísel
x, proněž0≤ x ≤ 1 (neboli oborem bodů ležících na úsečce), a
oborem všech uspořádaných dvojic 〈x, y〉 (popřípadě trojic, ...) reálných
čísel, pro něž 0 ≤ x, y ≤ 1, neboli oborem všech bodů ležících na
čtverci (popřípadě v krychli i vícerozměrné).
Každému reálnému číslu x,proněž0≤ x ≤ 1, odpovídá totiž jeho desetinný
rozvoj tvaru 0,a 1 a 2 a 3 ...,kdea 1 ,a 2 ,a 3 ,...jsou číslice 0, 1,...,9.
Pouze ta čísla, jejichž desítkový rozvoj obsahuje od jistého místa samé
nuly, mají ještě druhý rozvoj; ten naopak od předcházejícího místa obsahuje
samé devítky (například 0,35800...a 0,357999...jsou rozvoje téhož
čísla). V takovém případě se rozhodneme pro ten rozvoj čísla x, kterýod
jistého místa obsahuje samé devítky. Jsou-li nyní x, y reálná čísla, pro
něž 0 ≤ x, y ≤ 1, x =0,a 1 a 2 ..., y =0,b 1 b 2 ..., pak uspořádané dvojici
〈x, y〉 přidáme to číslo, jehož desítkovým rozvojem je 0,a 1 b 1 a 2 b 2 ...
Případ uspořádaných trojic, čtveřic, . . . je obdobný.
Dedekind okamžitě odpověděl a upozornil Cantora, že jím popsaná
korespondence není úplná. Každé dvojici 〈x, y〉 reálných čísel, pro něž
0 ≤ x, y ≤ 1, sice odpovídá jediné reálné číslo z intervalu [0, 1], avšak ne
každé reálné číslo z tohoto intervalu je přiřazeno některé uspořádané dvojici
takovýchto reálných čísel. Jako příklad Dedekind uvedl číslo, jehož
desetinný rozvoj je 0, 478310507090a 7 0a 8 0...
V dopise ze dne 23. června 1877 dává Cantor Dedekindovi za pravdu
a vyslovuje přesvědčení, že jde o závadu technické povahy. Ukázalo se
však, že tato technická závada není odstranitelná nějakým nasnadě jsoucím
způsobem. Nicméně Cantor ji odstranil a v dopise Dedekindovi ze
dne 25. června 1877 již popsal úplnou korespondenci mezi dotčenými
obory. (My ji popisovat nebudeme, neboť onu technickou závadu, kterou
Cantor pracně odstraňoval, lze užitím pozdějších výsledků odstranit
vskutku jednoduchým způsobem.)
Na konci tohoto dopisu ještě Cantor píše, že pokud se nedopustil
chyby, jsou tímto výsledkem zpochybněny všechny výsledky geometrie,
které byly založeny na tom, že k určení bodů ležících na n-rozměrném
útvaru je zapotřebí n nezávislých souřadnic. Rozdíl v dimensích různých
útvarů je třeba hledat jinde než v počtu souřadnic.
84