zde - Univerzita Karlova
zde - Univerzita Karlova
zde - Univerzita Karlova
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Vánoční svátky strávil Cantor v Berlíně rozvažováním o tom, zda<br />
dobře učinil, když dal na Weierstrassovo doporučení. O svých pochybnostech<br />
napsal Dedekindovi v dopise ze dne 27. prosince, z něhož vyjímáme:<br />
To, že jsem přistoupil na ohraničený charakter tohoto článku,<br />
je dáno částečně <strong>zde</strong> panujícími poměry, o nichž vám budu někdy<br />
vyprávět. Na druhé straně se domnívám, že bylo účelné použít<br />
můj výsledek nejprve na zvláštní případ [algebraická reálná čísla].<br />
Možná zobecnění — a nalezl jsem jich několik — už žádnou práci<br />
nedají a není podstatné udělám-li je já, nebo někdo jiný.<br />
Cantor se domníval, že napsal článek šalamounsky. Rozdělil ho na<br />
dvě části, v první předvedl očíslování algebraických čísel přirozenými<br />
čísly a ve druhé nemožnost očíslovat všechna reálná čísla přirozenými<br />
čísly. Moc si tím však nepomohl. Článek celkově vyznívá tak, že jde<br />
o čísla algebraická, jak si to ostatně přál Weierstrass.<br />
K dovršení smůly hned v lednu 1874 Cantor objevil v Compt. rend.<br />
Acad. sci. Paris 1873 článek, v němž Hermite užitím idejí Liouvillových<br />
dokázal, že Eulerovo číslo e není algebraické. Vedle tohoto výsledku<br />
ovšem sláva Cantorova pouze existenčního důkazu vybledla. Navíc<br />
v roce 1882 Hermitův žák F. Lindemann (1852–1939) dokázal rovněž<br />
užitím Liouvillových idejí, že ani číslo π (udávající poměr délky kružnice<br />
ku délce jejího průměru) není algebraické. Poznamenejme, že teprve tím<br />
byla dokázána neřešitelnost kvadratury kruhu.<br />
Červen 1877<br />
Uchvácen problematikou, kterou otevřel, klade si Cantor hned po návratu<br />
z vánočních trampot v Berlíně otázku, zda je možná úplná korespondence<br />
mezi oborem bodů ležících na nějaké ploše (například na<br />
čtverci) a oborem bodů ležících na úsečce (neboli reálných čísel x, pro<br />
něž 0 ≤ x ≤ 1). V dopise z 5. ledna 1877 pak tuto otázku klade též<br />
Dedekindovi. Dodává, že odpověď nebude jednoduchá, i když jsme nakloněni<br />
považovat zápornou odpověď za natolik evidentní, že ani žádný<br />
důkaz nepotřebuje.<br />
Záporná odpověď na tuto otázku se nejen neodbytně vnucuje, ale<br />
byla by i žádoucí. Prostřednictvím úplných korespondencí mezi obory<br />
bodů ležících na různých geometrických objektech by totiž bylo možno<br />
postihnout jejich dimensi. Měly by ji stejnou (popřípadě různou), jestliže<br />
82
Change language