zde - Univerzita Karlova
zde - Univerzita Karlova zde - Univerzita Karlova
dopise od Dedekinda, který právě obdržel, zvláště pak po upozornění, že algebraická reálná čísla lze očíslovat přirozenými čísly, však změnil zásadně názor na důležitost této otázky. Nikoliv kladná, ale záporná odpověď na ni by totiž byla poznatkem navýsost zajímavým. Kdyby pro nic jiného, tak už jen proto, že by tím byl podán nový a naprosto neobvyklý důkaz existence (to znamená uskutečnitelnosti) reálného čísla, které není algebraické. (Poprvé existenci nealgebraického čísla dokázal Liouville v roce 1840. Jeho důkaz se opírá o zkoumání kořenů algebraických rovnic a jejich rozložení na číselné ose.) Po obdržení tohoto dopisu změnil i Dedekind názor na význam položené otázky. V dopise ze dne 7. prosince 1873 píše Cantor Dedekindovi: V posledních dnech jsem měl čas pečlivěji zkoumat tvrzení, o němž jsem Vám psal. Teprve dnes, jak se mi zdá, jsem ukončil tuto záležitost. Abych se nedočkal rozčarování, uvážil jsem, že není shovívavějšího soudce nad Vás. Proto si dovoluji předložit Vám k posouzení to, co jsem se všemi nedokonalostmi provázejícími pracovní verzi načrtl na papír. Dále pak následuje první důkaz tvrzení, podle něhož přirozenými čísly nelze očíslovat všechna reálná čísla. Po několika zjednodušeních má důkaz tohoto tvrzení následující podobu: Nechť a 1 ,a 2 ,...je posloupnost reálných čísel. Dokážeme, že v kterémkoliv intervalu [x 0 ,y 0 ], kde x 0 < y 0 , reálných čísel existuje (to znamená lze uskutečnit) reálné číslo, které se v této posloupnosti nenachází. Nejprve vytvoříme posloupnosti x 0 ,x 1 ,x 2 ,..., y 0 ,y 1 ,y 2 ,... reálných čísel, a to tak, že budou-li již uskutečněna čísla x 0 ,x 1 ,...,x n−1 , y 0 ,y 1 ,...,y n−1 , pak zvolíme x n ,y n tak, aby platilo x n−1
Dedekindova poznámka o tom, že algebraická reálná čísla lze očíslovat přirozenými čísly, podnítila Cantora k dosažení posledního výsledku. Příběh, který vypravujeme, jsme mohli podstatně zkrátit. Vždyť podobně jako v jiných knihách zabývajících se teorií množin jsme mohli (nebo dokonce snad měli) pouze vznést otázku, kterou si Cantor položil, a předvést, jak na ni odpověděl. Všechno ostatní bylo vlastně nadbytečné a mohli jsme si to odpustit; v těchto rozpravách přece nejde o dějepis matematiky, ale o vývoj jejích idejí. Jenže kdybychom to učinili, pak bychom si zase nemohli položit otázku, jak je možné, že Cantor shora uvedený důkaz nepodal hned, jakmile si příslušnou otázku položil. Vždyť tento důkaz je až průzračně jednoduchý, a je tedy nepochopitelné, že na něj Cantor přišel až po několika letech, v nichž prováděl neplodné úvahy. Tento příběh jsme vyprávěli proto, abychom na něm předvedli podivuhodný psychický jev, který by bylo možno nazvat uvíznutím matematického uvažování ve smyčce. Cantor totiž původně nechtěl dokázat, že očíslování všech reálných čísel přirozenými čísly není možné, ale naopak chtěl takové očíslování nalézt. Jeho podvědomí si to totiž z důvodů obtížně vysvětlitelných přálo. Chytilo ho tak do smyčky, která mu nedovolovala odvrátit zrak od úvah, které prováděl, i když k cíli nevedly. Tato smyčka ho škrtila několik roků, než ho z ní nevinná Dedekindova poznámka vysvobodila. Takovéto uvíznutí matematických úvah ve smyčce není vůbec jevem ojedinělým, ale naopak neustále ohrožujícím každou tvůrčí matematickou činnost. Matematik v ní může někdy být tak uvězněn, že nedělá nic jiného, než že každý den znovu a znovu opakuje tytéž úvahy, o nichž ví, že k cíli nevedou. Není pochyb, že každý tvůrčí matematik o této smyčce ví a také ví, jak obtížné je vymanit se z ní, když se do ní chytí. Náš prosincový příběh z roku 1873 však ještě ani zdaleka nekončí. Aby Cantorův výsledek mohl dojít všeobecného uznání, musel ho ještě schválit führer německé matematiky. Cantor se tedy vydal na cestu do Berlína a žádal o přijetí u Weierstrasse. Ten ho přijal 23. prosince a z Cantorových výsledků vzal na vědomí pouze to, že jde o algebraická reálná čísla. Doporučil Cantorovi, aby pod názvem Über eine Eigenschaft des Inbegriffes alles reellen algebraischen Zahlen uveřejnil výsledek týkající se existence nealgebraického reálného čísla v časopise J. für die reine und angew. Mathematik. Ještě během Štědrého dne Cantor tento článek napsal a odeslal ho do uvedeného časopisu, kde vyšel v roce 1874. To vše pak napsal Dedekindovi v dopise ze dne 25. prosince. 81
- Page 29 and 30: vynásobíme po řadě (nezáporný
- Page 31 and 32: které mají po dosazení a =0,resp
- Page 33 and 34: získají dohromady alespoň 10 bod
- Page 35 and 36: lineární funkce), jak se říká,
- Page 37 and 38: [Pl 2]: Jakmile je V 1 nebo V 2 vys
- Page 39 and 40: Tak mi vychází, že platí V ∈
- Page 41 and 42: zaručeno, že bod minima, resp. ma
- Page 43 and 44: Ako sa prejavuje matematické nadan
- Page 45 and 46: 2. Úlohy z diskrétnej matematiky
- Page 47 and 48: mš mt žš čt čš žt žš žt
- Page 49 and 50: Aktivita Triomino vychádza z hry T
- Page 51 and 52: Skupiny C, D: Žiaci vypísali hrac
- Page 53 and 54: 6. Situácia v hre je ako na obr. 7
- Page 55 and 56: Turnaj měst v České republice s
- Page 57 and 58: Ve školním roce 2006/2007 se dík
- Page 59 and 60: 2. V rovině je dán tečnový čty
- Page 61 and 62: Řešení 2 Čtverec můžeme rozř
- Page 63 and 64: Řešení 8 (bez komentáře, chyb
- Page 65 and 66: 1 Vztah matematiky a fyziky Fyzika
- Page 67 and 68: řujeme platnost navržených hypot
- Page 69 and 70: 6,8 cm, pohybující se ve vzdálen
- Page 71 and 72: 5 Matematika a problémy astronomic
- Page 73 and 74: Úloha 6.2 Lyžař sjíždí po dlo
- Page 75 and 76: graficky. Z grafu 1 vidíme, že p
- Page 77 and 78: změn síly F = F (x), kde x je dé
- Page 79: Pokud jde o obor racionálních č
- Page 83 and 84: taková úplná korespondence mezi
- Page 85 and 86: Nemoha se dočkat odpovědi, píše
- Page 87 and 88: soutěžích, vyjádřené 11 zlat
- Page 89 and 90: koslovenska nejprve do válkou rozb
- Page 91 and 92: Výpočetní technika dovoluje prov
- Page 93 and 94: obtížnosti, problém je proto vho
- Page 95 and 96: tohoto zařízení, ta jím prochá
- Page 97 and 98: v pracovních sešitech a knížká
- Page 99 and 100: Z výše uvedeného dělení lidsk
- Page 101 and 102: žáky nechat zakreslovat pohled do
- Page 103 and 104: http://hlavolamy.zde.cz (odtud je p
- Page 105 and 106: aby byl pro člověka příjemný.
- Page 107 and 108: matika (BKG) je jedním z možných
- Page 109 and 110: Velice oblíbenou, jednoduchou a p
- Page 111 and 112: if not((ch in [’0’..’9’])or
- Page 113 and 114: egin err:=0; {inicializace prom.} i
- Page 115 and 116: Náš kód už tedy zbývá jen obo
- Page 117 and 118: Literatura [1] Češka, M., Rábov
- Page 119 and 120: Nejčastěji respondenti uváděli,
- Page 121 and 122: v jakémkoliv oboru - umění, spor
- Page 123 and 124: • rozšiřování učiva (0/0)
- Page 125 and 126: Algoritmy a RVP Autoři článku pr
- Page 127 and 128: postupy, se kterými se v matematic
- Page 129 and 130: však právě srovnávat rychlost a
Dedekindova poznámka o tom, že algebraická reálná čísla lze očíslovat<br />
přirozenými čísly, podnítila Cantora k dosažení posledního výsledku.<br />
Příběh, který vypravujeme, jsme mohli podstatně zkrátit. Vždyť podobně<br />
jako v jiných knihách zabývajících se teorií množin jsme mohli<br />
(nebo dokonce snad měli) pouze vznést otázku, kterou si Cantor položil,<br />
a předvést, jak na ni odpověděl. Všechno ostatní bylo vlastně nadbytečné<br />
a mohli jsme si to odpustit; v těchto rozpravách přece nejde o dějepis<br />
matematiky, ale o vývoj jejích idejí. Jenže kdybychom to učinili, pak<br />
bychom si zase nemohli položit otázku, jak je možné, že Cantor shora<br />
uvedený důkaz nepodal hned, jakmile si příslušnou otázku položil. Vždyť<br />
tento důkaz je až průzračně jednoduchý, a je tedy nepochopitelné, že na<br />
něj Cantor přišel až po několika letech, v nichž prováděl neplodné úvahy.<br />
Tento příběh jsme vyprávěli proto, abychom na něm předvedli podivuhodný<br />
psychický jev, který by bylo možno nazvat uvíznutím matematického<br />
uvažování ve smyčce. Cantor totiž původně nechtěl dokázat,<br />
že očíslování všech reálných čísel přirozenými čísly není možné, ale naopak<br />
chtěl takové očíslování nalézt. Jeho podvědomí si to totiž z důvodů<br />
obtížně vysvětlitelných přálo. Chytilo ho tak do smyčky, která mu nedovolovala<br />
odvrátit zrak od úvah, které prováděl, i když k cíli nevedly.<br />
Tato smyčka ho škrtila několik roků, než ho z ní nevinná Dedekindova<br />
poznámka vysvobodila.<br />
Takovéto uvíznutí matematických úvah ve smyčce není vůbec jevem<br />
ojedinělým, ale naopak neustále ohrožujícím každou tvůrčí matematickou<br />
činnost. Matematik v ní může někdy být tak uvězněn, že nedělá nic<br />
jiného, než že každý den znovu a znovu opakuje tytéž úvahy, o nichž ví,<br />
že k cíli nevedou. Není pochyb, že každý tvůrčí matematik o této smyčce<br />
ví a také ví, jak obtížné je vymanit se z ní, když se do ní chytí.<br />
Náš prosincový příběh z roku 1873 však ještě ani zdaleka nekončí.<br />
Aby Cantorův výsledek mohl dojít všeobecného uznání, musel ho ještě<br />
schválit führer německé matematiky. Cantor se tedy vydal na cestu<br />
do Berlína a žádal o přijetí u Weierstrasse. Ten ho přijal 23. prosince<br />
a z Cantorových výsledků vzal na vědomí pouze to, že jde o algebraická<br />
reálná čísla. Doporučil Cantorovi, aby pod názvem Über eine Eigenschaft<br />
des Inbegriffes alles reellen algebraischen Zahlen uveřejnil výsledek týkající<br />
se existence nealgebraického reálného čísla v časopise J. für die<br />
reine und angew. Mathematik. Ještě během Štědrého dne Cantor tento<br />
článek napsal a odeslal ho do uvedeného časopisu, kde vyšel v roce 1874.<br />
To vše pak napsal Dedekindovi v dopise ze dne 25. prosince.<br />
81