zde - Univerzita Karlova

dopise od Dedekinda, který právě obdržel, zvláště pak po upozornění,
že algebraická reálná čísla lze očíslovat přirozenými čísly, však změnil
zásadně názor na důležitost této otázky. Nikoliv kladná, ale záporná odpověď
na ni by totiž byla poznatkem navýsost zajímavým. Kdyby pro
nic jiného, tak už jen proto, že by tím byl podán nový a naprosto neobvyklý
důkaz existence (to znamená uskutečnitelnosti) reálného čísla,
které není algebraické. (Poprvé existenci nealgebraického čísla dokázal
Liouville v roce 1840. Jeho důkaz se opírá o zkoumání kořenů algebraických
rovnic a jejich rozložení na číselné ose.)
Po obdržení tohoto dopisu změnil i Dedekind názor na význam položené
otázky.
V dopise ze dne 7. prosince 1873 píše Cantor Dedekindovi:
V posledních dnech jsem měl čas pečlivěji zkoumat tvrzení,
o němž jsem Vám psal. Teprve dnes, jak se mi zdá, jsem ukončil
tuto záležitost. Abych se nedočkal rozčarování, uvážil jsem, že není
shovívavějšího soudce nad Vás. Proto si dovoluji předložit Vám
k posouzení to, co jsem se všemi nedokonalostmi provázejícími
pracovní verzi načrtl na papír.
Dále pak následuje první důkaz tvrzení, podle něhož přirozenými
čísly nelze očíslovat všechna reálná čísla. Po několika zjednodušeních má
důkaz tohoto tvrzení následující podobu:
Nechť a 1 ,a 2 ,...je posloupnost reálných čísel. Dokážeme, že v kterémkoliv
intervalu [x 0 ,y 0 ], kde x 0 < y 0 , reálných čísel existuje (to znamená
lze uskutečnit) reálné číslo, které se v této posloupnosti nenachází.
Nejprve vytvoříme posloupnosti x 0 ,x 1 ,x 2 ,..., y 0 ,y 1 ,y 2 ,... reálných
čísel, a to tak, že budou-li již uskutečněna čísla x 0 ,x 1 ,...,x n−1 ,
y 0 ,y 1 ,...,y n−1 , pak zvolíme x n ,y n tak, aby platilo
x n−1