zde - Univerzita Karlova

Pokud jde o obor racionálních čísel, pak nejprve každému racionálnímu
číslu r přiřadíme dvoučlennou posloupnost a, b celých čísel takovou,
že čísla a, b jsou nesoudělná, b kladné, r = a b
. Potom stejným způsobem
jako prve, pouze s tím rozdílem, že se omezíme na uvedené dvoučlenné
posloupnosti, seřadíme tyto posloupnosti, a tím i všechna racionální čísla,
do posloupnosti jediné.
Dedekind odepsal Cantorovi obratem. Napsal, že očíslovat všechna
reálná čísla čísly přirozenými nedovede a také neví, proč by si tato otázka
zasluhovala pozornost. Vypracoval však přesný důkaz toho, že všechna
reálná algebraická čísla lze přirozenými čísly očíslovat. Opíral se přitom
o Cantorovy myšlenky obsažené v dosud neuveřejněné Cantorově práci,
jejíž rukopis znal, zvláště pak o pojem výšky mnohočlenu, který byl
v ní zaveden.
Připomeňme, že algebraickým číslem rozumíme každé číslo, které je
kořenem algebraické rovnice
a n x n + ···+ a 0 =0,
kde a 0 ,...,a n jsou celá čísla. (Zřejmě každé racionální číslo je algebraické
ataké √ 2 je algebraické číslo, neboť je kořenem rovnice x 2 − 2=0.)
Protože každá algebraická rovnice n-tého stupně má nejvýše n různých
reálných kořenů (což v těchto rozpravách nebudeme dokazovat),
lze očíslování všech algebraických čísel přirozenými čísly provést, velmi
stručně řečeno, následujícím způsobem. V prve popsané posloupnosti S
všech konečných posloupností celých čísel nahradíme každou posloupnost
a 0 ,...,a n reálnými kořeny rovnice a n x n + ···+ a 0 = 0 seřazenými
podle velikosti, pokud ovšem některý z nich nebyl použit už dříve. Nemáli
tato rovnice žádný dosud nepoužitý kořen, popřípadě nemá-li žádný
reálný kořen, pak posloupnost a 0 ,...,a n vyškrtneme z posloupnosti S.
K tomu dodejme, že i Zeus by se při této práci dost nadřel; Bohočlověk
by ji ovšem zvládl snadno.
V dopise ze dne 2. prosince 1873 napsal Cantor Dedekindovi, že se
už několik let čas od času marně pokoušel očíslovat reálná čísla všemi
přirozenými čísly. Nebyl si však jist, zda mu z jeho čistě osobní zahleděnosti
určitým směrem neuniká nějaké jednoduché řešení. Proto také
tuto otázku položil Dedekindovi, a když nyní vidí, že ani on nezná odpověď,
nabyl přesvědčení, že důvody neúspěchu mají hlubší příčinu. Ani
Cantor až dosud neviděl žádný vážný důvod, proč by si tato otázka zasluhovala
pozornost, a kladl si jí jen proto, že ho prostě zajímala. Po
79