zde - Univerzita Karlova

Uvíznutí matematických úvah ve smyčce
Petr Vopěnka, PřF UJEP Ústí nad Labem
Abstrakt. Poněkud obrazně řečeno, Cantorova teorie množin vznikla v dopisech,
které G. Cantor zasílal R. Dedekindovi. V článku jsou podrobně zachyceny
psychologické překážky – autorem nazvané „uvíznutí úvah ve smyčce –
které musel Cantor překonávat.
Protože nemám dostatek zkušeností s výukou mimořádně nadaných
studentů gymnázií, rozhodl jsem se v tomto článku upozornit na jistý
jev, jenž s tématem talentovaných studentů do jisté míry souvisí, neboť
se s ním setkává patrně každý, kdo se pokouší usilovně vědecky tvořit.
Nazval jsem ho „uvíznutím matematických úvah ve smyčce a popsal
jsem ho v knize [2] na příkladu úvah, které prováděl George Cantor při
vytváření teorie množin. Jde o následující dva odstavce z této knihy.
Prosinec 1873
V dopise ze dne 29. listopadu 1873 se Cantor otázal Dedekinda, zda
by uměl očíslovat přirozenými čísly všechna čísla reálná (neboli nalézt
úplnou korespondenci mezi uvedenými obory čísel). Připomněl, že přirozenými
čísly umí očíslovat nejen všechna čísla racionální, ale též všechny
konečné posloupnosti celých čísel.
Cantor očíslovával konečné posloupnosti celých čísel následujícím způsobem:
Zavedl výšku konečné posloupnosti a 0 ,a 1 ,...,a n celých čísel jakožto
přirozené číslo
N = n + |a 0 | + ···+ |a n |.
Je-li N přirozené číslo, pak zřejmě jen konečně mnoho konečných posloupností
celých čísel má výšku N; nechťψ(N) je jejich počet. Nalezení
vzorce, podle něhož lze číslo ψ(N) snadno vypočítat, podobně
jako popsat nějaké jednoduché očíslování těch posloupností, které mají
výšku N, čísly 1, 2,...,ψ(N), je vhodnou úlohou pro studenty vyšších
tříd gymnázií. Všechny konečné posloupnosti celých čísel pak sestavíme
do posloupnosti tak, že nejprve seřadíme ty, které mají výšku 0, pak ty,
které mají výšku 1, za ně ty, které mají výšku 2, atd. Tím je zároveň
vytvořena korespondence mezi uvedenými obory.
78