zde - Univerzita Karlova
zde - Univerzita Karlova zde - Univerzita Karlova
0,018 kg/mol. Odtud vychází hmotnost molekuly 3,28 · 10 −25 kg. Jeden mol vody má objem 0,018 · 10 −3 m 3 , takže pro jednu molekulu připadá objem 30·10 −30 m 3 . Hrana krychličky o tomto objemu má délku 0,31 nm; lineární rozměry budou mít hodnotu desetin nanometru. Úloha 4.3 Molekuly kuchyňské soli v Černém moři. Podle zeměpisné encyklopedie má Černé moře plošný obsah 413 488 km 2 a střední hloubku 1 271 m. Do moře vhodíme z lodi půlkilogramový pytlík kuchyňské soli a necháme sůl dobře rozpustit. Je pochopitelné, že zvýšení salinity mořské vody nemůžeme pozorovat. Odhadněte, kolik molekul soli z tohoto pytlíku bychom mohli najít v jednom desetilitrovém kbelíku mořské vody pocházející z Černého moře. Řešení. Objem vody v Černém moři je V = Sh = 525 543 km 3 .Kuchyňská sůl má molární hmotnost 0,0585 kg/mol, Avogadrovu konstantu známe. V půlkilogramovém pytlíku máme asi 5·10 24 částic. Přepočteme- -li objem vody v Černém moři na počet kbelíků, dostaneme hodnotu 525 543 · 10 11 , takže v jednom kbelíku najdeme 5·10 24 5,25·10 16 ≈ 10 8 částic. Úloha 4.4 Problém z dětské encyklopedie. V jedné dětské encyklopedii se uvádí, že zlato je velmi zajímavý kov, který se dá dobře zpracovávat. Z jedné unce zlata lze vytáhnout drátek o délce až 80 km a vytepat plátek o ploše až 10 m 2 . Porovnejte tloušťku zlatého drátku i zlaté fólie s lineárními rozměry atomu zlata. Řešení. Hmotnost 1 unce = 31,1 g zlata. Zlato má hustotu 19 200 kg/m 3 , takže 1 unce zlata má objem 1,62 cm 3 . Plátek zlata má potom tloušťku asi 160 nm, drátek má tloušťku 5,1 µm. Lineární rozměry atomu zlata jsou řádově desetiny nanometru. Úloha 4.5 Délka řetězce. Jak dlouhý by byl řetězec, v němž bychom umístili všechny molekuly vody, které jsou obsaženy v jednom molu vody? Řešení. Zjistili jsme v úloze 4.2, že lineární rozměr molekuly vody je asi 0,31 nm. Počet částic v jednom molu je 6 · 10 23 , tedy délka řetězce x =0,31 · 10 −9 · 6 · 10 23 m = 186 · 10 12 m = 186 miliard km, tedy řetězec by sahal od středu Slunce až do tisícinásobku poloviční vzdálenosti mezi Zemí a Marsem. 70
5 Matematika a problémy astronomické Na rozdíl od mikrosvěta jsou astronomické problémy spojeny s velkými, často málo představitelnými vzdálenostmi, hmotnostmi, pochopením vesmírné prázdnoty, velkých rychlostí. Opět se snažíme žákům přiblížit, tentokrát megasvět, do rámce, který je pro ně pochopitelnější a vytváříme vhodné analogie. Úloha 5.1 Poměr hmotností Slunce a Země. Na základě údajů, které může zjistit pozorovatel na povrchu Země, určete hmotnost Země a hmotnost Slunce nebo alespoň jejich poměr. Nebude to zřejmě obtížné, protože již Jan Neruda uvádí ve Zpěvech kosmických, že „ze Slunce by nastrouhal třistatřicet tisíc Zemí. Řešení. Ke stanovení hmotností užijeme Newtonův gravitační zákon, který vyjadřuje sílu, působící mezi Sluncem a Zemí a mezi Zemí a Měsícem. Tato síla je silou dostředivou, takže po vzájemném porovnání zjišťujeme, že musíme znát nejen dobu oběhu Země kolem Slunce a dobu oběhu Měsíce kolem Země (siderické doby stanovíme na základě pozorovaných dob synodických), ale musíme znát i vzdálenost těchto těles. Pro výpočet je nutno znát také hodnotu gravitační konstanty. Při porovnání obou hmotností vystačíme jenom se vzájemnými vzdálenostmi a siderickými dobami oběhu. Poměr hmotností je 330 000. Úloha 5.2 Střední hustota Slunce. Víte, že sluneční kotouč se jeví pro pozorovatele na povrchu Země pod úhlem 32 ′ adobaoběhuZeměkolem Slunce je rovna 365,24 dne (podle R. P. Feynmana Ô · 107 sekund). Na základě těchto údajů určete střední hustotu Slunce. Řešení. Označíme-li R poloměr Slunce a r vzájemnou vzdálenost středů Slunce a Země, potom 2R/r =32 ′ ,aR/r =0,004 65 rad. Odtud nám vychází střední hustota Slunce asi 1 400 kg/m 3 . Úloha 5.3 Mars – Země – Slunce. Z pozemských pozorování víme, že synodická doba oběhu Marsu kolem Slunce (doba, za kterou se opakuje situace, kdy Slunce, Země a Mars jsou přibližně na jedné polopřímce) je 2,135 roku. Jak je velká poloosa oběžné trajektorie Marsu od Slunce a jakou střední rychlostí se Mars kolem Slunce pohybuje? 71
- Page 19 and 20: Konstrukce 2 Těžiště obvodu tro
- Page 21 and 22: Druhá etapa řešení Při zkoumá
- Page 23 and 24: Druhá etapa řešení (zkoumá zm
- Page 25 and 26: V případě jednotkové kružnice
- Page 27 and 28: Předběžné úvahy Nerovnosti (1)
- Page 29 and 30: vynásobíme po řadě (nezáporný
- Page 31 and 32: které mají po dosazení a =0,resp
- Page 33 and 34: získají dohromady alespoň 10 bod
- Page 35 and 36: lineární funkce), jak se říká,
- Page 37 and 38: [Pl 2]: Jakmile je V 1 nebo V 2 vys
- Page 39 and 40: Tak mi vychází, že platí V ∈
- Page 41 and 42: zaručeno, že bod minima, resp. ma
- Page 43 and 44: Ako sa prejavuje matematické nadan
- Page 45 and 46: 2. Úlohy z diskrétnej matematiky
- Page 47 and 48: mš mt žš čt čš žt žš žt
- Page 49 and 50: Aktivita Triomino vychádza z hry T
- Page 51 and 52: Skupiny C, D: Žiaci vypísali hrac
- Page 53 and 54: 6. Situácia v hre je ako na obr. 7
- Page 55 and 56: Turnaj měst v České republice s
- Page 57 and 58: Ve školním roce 2006/2007 se dík
- Page 59 and 60: 2. V rovině je dán tečnový čty
- Page 61 and 62: Řešení 2 Čtverec můžeme rozř
- Page 63 and 64: Řešení 8 (bez komentáře, chyb
- Page 65 and 66: 1 Vztah matematiky a fyziky Fyzika
- Page 67 and 68: řujeme platnost navržených hypot
- Page 69: 6,8 cm, pohybující se ve vzdálen
- Page 73 and 74: Úloha 6.2 Lyžař sjíždí po dlo
- Page 75 and 76: graficky. Z grafu 1 vidíme, že p
- Page 77 and 78: změn síly F = F (x), kde x je dé
- Page 79 and 80: Pokud jde o obor racionálních č
- Page 81 and 82: Dedekindova poznámka o tom, že al
- Page 83 and 84: taková úplná korespondence mezi
- Page 85 and 86: Nemoha se dočkat odpovědi, píše
- Page 87 and 88: soutěžích, vyjádřené 11 zlat
- Page 89 and 90: koslovenska nejprve do válkou rozb
- Page 91 and 92: Výpočetní technika dovoluje prov
- Page 93 and 94: obtížnosti, problém je proto vho
- Page 95 and 96: tohoto zařízení, ta jím prochá
- Page 97 and 98: v pracovních sešitech a knížká
- Page 99 and 100: Z výše uvedeného dělení lidsk
- Page 101 and 102: žáky nechat zakreslovat pohled do
- Page 103 and 104: http://hlavolamy.zde.cz (odtud je p
- Page 105 and 106: aby byl pro člověka příjemný.
- Page 107 and 108: matika (BKG) je jedním z možných
- Page 109 and 110: Velice oblíbenou, jednoduchou a p
- Page 111 and 112: if not((ch in [’0’..’9’])or
- Page 113 and 114: egin err:=0; {inicializace prom.} i
- Page 115 and 116: Náš kód už tedy zbývá jen obo
- Page 117 and 118: Literatura [1] Češka, M., Rábov
- Page 119 and 120: Nejčastěji respondenti uváděli,
5 Matematika a problémy astronomické<br />
Na rozdíl od mikrosvěta jsou astronomické problémy spojeny s velkými,<br />
často málo představitelnými vzdálenostmi, hmotnostmi, pochopením vesmírné<br />
prázdnoty, velkých rychlostí. Opět se snažíme žákům přiblížit,<br />
tentokrát megasvět, do rámce, který je pro ně pochopitelnější a vytváříme<br />
vhodné analogie.<br />
Úloha 5.1 Poměr hmotností Slunce a Země. Na základě údajů, které<br />
může zjistit pozorovatel na povrchu Země, určete hmotnost Země a<br />
hmotnost Slunce nebo alespoň jejich poměr. Nebude to zřejmě obtížné,<br />
protože již Jan Neruda uvádí ve Zpěvech kosmických, že „ze Slunce by<br />
nastrouhal třistatřicet tisíc Zemí.<br />
Řešení. Ke stanovení hmotností užijeme Newtonův gravitační zákon,<br />
který vyjadřuje sílu, působící mezi Sluncem a Zemí a mezi Zemí a Měsícem.<br />
Tato síla je silou dostředivou, takže po vzájemném porovnání<br />
zjišťujeme, že musíme znát nejen dobu oběhu Země kolem Slunce a dobu<br />
oběhu Měsíce kolem Země (siderické doby stanovíme na základě pozorovaných<br />
dob synodických), ale musíme znát i vzdálenost těchto těles.<br />
Pro výpočet je nutno znát také hodnotu gravitační konstanty. Při porovnání<br />
obou hmotností vystačíme jenom se vzájemnými vzdálenostmi<br />
a siderickými dobami oběhu. Poměr hmotností je 330 000.<br />
Úloha 5.2 Střední hustota Slunce. Víte, že sluneční kotouč se jeví pro<br />
pozorovatele na povrchu Země pod úhlem 32 ′ adobaoběhuZeměkolem<br />
Slunce je rovna 365,24 dne (podle R. P. Feynmana Ô · 107 sekund). Na<br />
základě těchto údajů určete střední hustotu Slunce.<br />
Řešení. Označíme-li R poloměr Slunce a r vzájemnou vzdálenost středů<br />
Slunce a Země, potom 2R/r =32 ′ ,aR/r =0,004 65 rad. Odtud nám<br />
vychází střední hustota Slunce asi 1 400 kg/m 3 .<br />
Úloha 5.3 Mars – Země – Slunce. Z pozemských pozorování víme, že<br />
synodická doba oběhu Marsu kolem Slunce (doba, za kterou se opakuje<br />
situace, kdy Slunce, Země a Mars jsou přibližně na jedné polopřímce) je<br />
2,135 roku. Jak je velká poloosa oběžné trajektorie Marsu od Slunce a<br />
jakou střední rychlostí se Mars kolem Slunce pohybuje?<br />
71
Change language