zde - Univerzita Karlova
zde - Univerzita Karlova zde - Univerzita Karlova
Úloha 3.1 Hmotnost atmosféry. Odhadněte, jakou hmotnost má zemská atmosféra. Plošný obsah zemského povrchu je asi 510 miliónů km 2 . Kdyby se plyny tvořící atmosféru stlačily na hustotu vzduchu při hladině moře, potom by vytvořila atmosféra homogenní vrstvu o tloušťce asi 10 km. Toto však možné není, ale víme, že tlak atmosférického vzduchu při hladině moře má hodnotu 0,10 MPa. Stačí tyto údaje ke stanovení hmotnosti zemské atmosféry? Řešení. První model nám umožní určit objem homogenní vrstvy V = 5,1 · 10 9 km 3 , odtud určíme její hmotnost 6,5 · 10 18 kg. Druhý model vysvětluje, že tlak vzduchu p = mg/S, takžepotomm = pS/g = =5,1 · 10 18 kg. Oba výsledky se řádově shodují. Úloha 3.2 Kdyby asteroid dopadl do Antarktidy. Antarktida je světadíl, který se neustále potýká s nízkými teplotami. V jejich důsledku je na jejím povrchu ledovec o plošném obsahu 13,8 miliónů km 2 a střední tloušťce 2,2 km. Kdyby do Antarktidy dopadl asteroid nebo kdyby se zvýšila globální teplota na povrchu Země, mohl by pevninský led roztát. Odhadněte, jak by se tání tohoto ledovce projevilo na zvýšení hladiny oceánů. Řešení. Stanovíme nejprve objem ledu V =3,0 · 10 16 m 3 ,tedyvoda v ledovci vzniklá by měla hmotnost asi 2,7 · 10 16 tun, a tedy objem 2,7 · 10 16 m 3 .Je-liS plošný obsah povrchu Země, potom pro případ, že by se vzniklá voda rovnoměrně rozprostřela v mořích a oceánech, je h = V/0,71S, tedy asi 72 m. Zvýšení hladiny světových oceánů by však vedlo k rozšíření plochy moří, takže by zvýšení hladiny bylo jenom 65 m, ale ty důsledky! Prohlédněte si mapu Evropy a odhadněte, která území by byla zaplavena. Úloha 3.3 Model sluneční soustavy, kdyby Zemi představoval malý globus. Malý globus zakoupený v obchodě má průměr 25 cm. Jak by vypadal model sluneční soustavy – jaké rozměry by měly jednotlivé planety a Slunce, jaké by byly vzdálenosti mezi planetami a Sluncem? Proč neposkytuje tellurium vždycky vhodnou představu o planetární soustavě? Řešení. Nejprve stanovíme měřítko: průměr globu je 25 cm, průměr Země 12 740 km. Odtud 1 cm na globu představuje asi 500 km, vzdálenost 1,0 m představuje 50 000 km a vzdálenost 1,0 km představuje v tomto modelu 50 miliónů km. Měsíc se bude jevit jako tenisový míček o průměru 68
6,8 cm, pohybující se ve vzdálenosti 7,7 m od středu globu (Země). Slunce bude mít v průměru 27,5 m (asi jako desetipatrový dům) ve vzdálenosti 3,0 km. Merkur bude mít průměr 7,0 cm a bude umístěn necelý kilometr od Slunce. Venuše bude mít v průměru asi 23 cm, bude se pohybovat asi 2,2 km od středu Slunce. Mars bude mít v průměru asi 14 cm a bude se pohybovat po elipse ve vzdálenosti 4,5 km. Trpasličí planeta Pluto bude mít asi 7 cm v průměru a bude se pohybovat ve vzdálenosti asi 120 km. Tento model však ještě nezachycuje pohyb planet, jejich rotaci kolem osy. Přesto však z modelu máme dojem, jak je model prázdný, což vyjadřuje realitu kolem nás: prázdno, prázdno. Kdybychom všechny rozměry zmenšily desetkrát, přesto by zůstal tento mechanický model planetární soustavy dosti názorný. 4 Matematika a řešení problémů kolem nás Představy člověka o jevech mikrosvěta jsou velmi složité – vzpomeňme např. na planetární model atomu, kdy E. Rutherford dospěl k určité analogii mezi stavbou atomu a planetární soustavy. Mechanické představy jsou vědomí člověka nejbližší. Navíc malé rozměry a obrovské počty částic vyžadují, abychom nacházeli vhodné podobnosti, které umožňují lepší pochopení. Úloha 4.1 Představa Avogadrovy konstanty N A = 6,022 · 10 23 mol −1 . Kdosi vymyslel přirovnání: v jednom molu je tolik částic jako zrnek písku na Sahaře. Je to pravda? Lineární rozměr zrnka písku berte 0,5 mm, plošný obsah Sahary je 8,0 miliónů km 2 . Řešení. Objem zrnka písku je 0,125 mm 3 , objem všech zrnek na Sahaře (pochopitelně v našem modelu, kdy na Sahaře je určený počet zrnek písku) je 7,5·10 4 km 3 . Vytvoříme si model, kdy písková vrstva na Sahaře je všude stejná a použijeme-li vztahu h = V/S,pakh =9,3 m,cožzase není tak nereálné. Úloha 4.2 Lineární rozměry a hmotnost molekuly vody H 2 O. Odhadněte lineární rozměry a hmotnost molekuly vody H 2 O. Řešení. Přímé měření ani jedné z hledaných veličin není možné. Užitím matematických výpočtů však odpověď dáme. Využijeme znalosti Avogadrovy konstanty a skutečnosti, že známe molární hmotnost vody 69
- Page 17 and 18: Těžiště útvaru Ve všech vyše
- Page 19 and 20: Konstrukce 2 Těžiště obvodu tro
- Page 21 and 22: Druhá etapa řešení Při zkoumá
- Page 23 and 24: Druhá etapa řešení (zkoumá zm
- Page 25 and 26: V případě jednotkové kružnice
- Page 27 and 28: Předběžné úvahy Nerovnosti (1)
- Page 29 and 30: vynásobíme po řadě (nezáporný
- Page 31 and 32: které mají po dosazení a =0,resp
- Page 33 and 34: získají dohromady alespoň 10 bod
- Page 35 and 36: lineární funkce), jak se říká,
- Page 37 and 38: [Pl 2]: Jakmile je V 1 nebo V 2 vys
- Page 39 and 40: Tak mi vychází, že platí V ∈
- Page 41 and 42: zaručeno, že bod minima, resp. ma
- Page 43 and 44: Ako sa prejavuje matematické nadan
- Page 45 and 46: 2. Úlohy z diskrétnej matematiky
- Page 47 and 48: mš mt žš čt čš žt žš žt
- Page 49 and 50: Aktivita Triomino vychádza z hry T
- Page 51 and 52: Skupiny C, D: Žiaci vypísali hrac
- Page 53 and 54: 6. Situácia v hre je ako na obr. 7
- Page 55 and 56: Turnaj měst v České republice s
- Page 57 and 58: Ve školním roce 2006/2007 se dík
- Page 59 and 60: 2. V rovině je dán tečnový čty
- Page 61 and 62: Řešení 2 Čtverec můžeme rozř
- Page 63 and 64: Řešení 8 (bez komentáře, chyb
- Page 65 and 66: 1 Vztah matematiky a fyziky Fyzika
- Page 67: řujeme platnost navržených hypot
- Page 71 and 72: 5 Matematika a problémy astronomic
- Page 73 and 74: Úloha 6.2 Lyžař sjíždí po dlo
- Page 75 and 76: graficky. Z grafu 1 vidíme, že p
- Page 77 and 78: změn síly F = F (x), kde x je dé
- Page 79 and 80: Pokud jde o obor racionálních č
- Page 81 and 82: Dedekindova poznámka o tom, že al
- Page 83 and 84: taková úplná korespondence mezi
- Page 85 and 86: Nemoha se dočkat odpovědi, píše
- Page 87 and 88: soutěžích, vyjádřené 11 zlat
- Page 89 and 90: koslovenska nejprve do válkou rozb
- Page 91 and 92: Výpočetní technika dovoluje prov
- Page 93 and 94: obtížnosti, problém je proto vho
- Page 95 and 96: tohoto zařízení, ta jím prochá
- Page 97 and 98: v pracovních sešitech a knížká
- Page 99 and 100: Z výše uvedeného dělení lidsk
- Page 101 and 102: žáky nechat zakreslovat pohled do
- Page 103 and 104: http://hlavolamy.zde.cz (odtud je p
- Page 105 and 106: aby byl pro člověka příjemný.
- Page 107 and 108: matika (BKG) je jedním z možných
- Page 109 and 110: Velice oblíbenou, jednoduchou a p
- Page 111 and 112: if not((ch in [’0’..’9’])or
- Page 113 and 114: egin err:=0; {inicializace prom.} i
- Page 115 and 116: Náš kód už tedy zbývá jen obo
- Page 117 and 118: Literatura [1] Češka, M., Rábov
Úloha 3.1 Hmotnost atmosféry. Odhadněte, jakou hmotnost má zemská<br />
atmosféra. Plošný obsah zemského povrchu je asi 510 miliónů km 2 .<br />
Kdyby se plyny tvořící atmosféru stlačily na hustotu vzduchu při hladině<br />
moře, potom by vytvořila atmosféra homogenní vrstvu o tloušťce asi<br />
10 km. Toto však možné není, ale víme, že tlak atmosférického vzduchu<br />
při hladině moře má hodnotu 0,10 MPa. Stačí tyto údaje ke stanovení<br />
hmotnosti zemské atmosféry?<br />
Řešení. První model nám umožní určit objem homogenní vrstvy<br />
V = 5,1 · 10 9 km 3 , odtud určíme její hmotnost 6,5 · 10 18 kg. Druhý<br />
model vysvětluje, že tlak vzduchu p = mg/S, takžepotomm = pS/g =<br />
=5,1 · 10 18 kg. Oba výsledky se řádově shodují.<br />
Úloha 3.2 Kdyby asteroid dopadl do Antarktidy. Antarktida je světadíl,<br />
který se neustále potýká s nízkými teplotami. V jejich důsledku je<br />
na jejím povrchu ledovec o plošném obsahu 13,8 miliónů km 2 a střední<br />
tloušťce 2,2 km. Kdyby do Antarktidy dopadl asteroid nebo kdyby se<br />
zvýšila globální teplota na povrchu Země, mohl by pevninský led roztát.<br />
Odhadněte, jak by se tání tohoto ledovce projevilo na zvýšení hladiny<br />
oceánů.<br />
Řešení. Stanovíme nejprve objem ledu V =3,0 · 10 16 m 3 ,tedyvoda<br />
v ledovci vzniklá by měla hmotnost asi 2,7 · 10 16 tun, a tedy objem<br />
2,7 · 10 16 m 3 .Je-liS plošný obsah povrchu Země, potom pro případ,<br />
že by se vzniklá voda rovnoměrně rozprostřela v mořích a oceánech, je<br />
h = V/0,71S, tedy asi 72 m. Zvýšení hladiny světových oceánů by však<br />
vedlo k rozšíření plochy moří, takže by zvýšení hladiny bylo jenom 65 m,<br />
ale ty důsledky! Prohlédněte si mapu Evropy a odhadněte, která území<br />
by byla zaplavena.<br />
Úloha 3.3 Model sluneční soustavy, kdyby Zemi představoval malý globus.<br />
Malý globus zakoupený v obchodě má průměr 25 cm. Jak by vypadal<br />
model sluneční soustavy – jaké rozměry by měly jednotlivé planety<br />
a Slunce, jaké by byly vzdálenosti mezi planetami a Sluncem? Proč neposkytuje<br />
tellurium vždycky vhodnou představu o planetární soustavě?<br />
Řešení. Nejprve stanovíme měřítko: průměr globu je 25 cm, průměr<br />
Země 12 740 km. Odtud 1 cm na globu představuje asi 500 km, vzdálenost<br />
1,0 m představuje 50 000 km a vzdálenost 1,0 km představuje v tomto<br />
modelu 50 miliónů km. Měsíc se bude jevit jako tenisový míček o průměru<br />
68
Change language