zde - Univerzita Karlova
zde - Univerzita Karlova zde - Univerzita Karlova
tzv. přímých měřeních určovat aritmetický průměr i příslušné absolutní, relativní či kvadratické odchylky, a zvyšovat tak pravděpodobnost získaného výsledku, u nepřímých měření, měřit „něco jiného a hledanou veličinu zjišťovat výpočtem. f) Matematika nám poskytuje prostředky, které se využívají až na vysoké škole k přesnějšímu vyjadřování a řešení problémů – derivování, integrování a řešení diferenciálních rovnic, ale známe také geometrické způsoby, jak se tomuto, leckdy obtížnému postupu, vyhnout (např. rozbor grafu v = v(t), výpočet obsahu obrazce místo integrace, určení směrnice tečny místo derivování). g) Na rozdíl od matematiky pracuje fyzika vždycky s fyzikálními veličinami. Fyzikální veličina je určena nejen hodnotou (u vektorů je to velikost, u skalárů hodnota), ale musí mít také příslušnou jednotku (nebo její násobek či díl), u veličin vektorových ještě směr. Ve fyzice pracujeme s jednotkami sestavenými do Mezinárodní soustavy jednotek SI, která tvoří systém na sebe navazujících veličin a jednotek. h) Důležité místo zaujímá matematika při užití přibližných výpočtů, a to nejenom s použitím prostředků výpočetní techniky a grafických metod, ale také běžných numerických metod. 2 Matematika a fyzikální modely Fyzika se vyrovnává s úkolem popsat reálnou situaci co nejjednodušším, ale také co nejpřesnějším způsobem. Tak se každý problém formulovaný jako fyzikální úloha řeší tak, že nejprve odstraňujeme z popisu ty součásti, které nejsou pro popis podstatné, zjednodušujeme vyjádření tohoto problému s ohledem na úroveň matematického a fyzikálního poznání, na niž se žáci (nebo i jiní řešitelé) zatím dostali. Tím získáváme tzv. model. Tento postup se projevuje při formulaci problémů fyzikálních, kde často nahrazujeme složitější realitu jednoduššími představami (někdy i ryze mechanickými, protože mechanické jevy a děje si jsme schopni představit nejvěrněji). Často řešíme na modelové úrovni problémy z oblasti mezipředmětových jevů, např. úlohy z biofyziky, biomechaniky, geofyziky, astrofyziky. Důležité jsou i problémy plynoucí z běžného, každodenního života, které pro úspěšné řešení musíme zbavit nepodstatných podrobností. Zajímavé jsou úlohy z historie fyziky a techniky, u nichž pro řešení musíme najít jejich fyzikální základ. Velmi vděčné jsou problémy plynoucí z experimentování, a to jednak pro případ, že experiment je východiskem problémové situace, i pro případ, kdy experimentem ově- 66
řujeme platnost navržených hypotéz. Při zpracování údajů z experimentu často hledáme nové, řešiteli zatím neznámé fyzikální funkční závislosti, a zde hraje matematika prvořadou úlohu. Myšlenkově postupujeme při vytváření fyzikálního modelu takto: realita a její popis → fyzikální model pojmový → fyzikální model veličinový → matematický model reality → grafická reprezentace matematického modelu → fyzikalizované řešení matematického modelu → konfrontace s realitou Proces řešení fyzikálního problému tedy začíná modelováním a končí konfrontací získaného řešení s realitou, z níž problém vychází. Součástí matematizace je postupné nacházení vhodné funkce nebo funkcí, jež můžeme při popisu předmětů, jevů a dějů i v procesu řešení problémů použít. Plyne však z toho závěr, že jakékoliv pokusy vykládat školskou fyziku bez použití matematických prostředků a metod jsou již předem odsouzeny k neúspěchu. Proto jednou z prvních cest, kterou se vydávají učitelé fyziky zejména na střední škole, je postupné prohlubování matematických znalostí i dovedností. Zde si dovolím připomenout poslední práce, které vyšly v Knihovničce Fyzikální olympiády: Jarešová, M., Volf, I., Vybíral, B.: Kapitoly z matematiky pro řešitele fyzikální olympiády, Hradec Králové, MAFY 2006. Text byl vyvěšen i na internetových stránkách http://fo.cuni.cz a www.uhk.cz/fo. V dalším chceme na několika příkladech ukázat, jaké prostředky matematika fyzice poskytuje, a tak ji umožňuje řešit problémy, které by bez matematiky vyřešit nemohla. Vybrali jsme úlohy z různých oblastí. Při jejich řešení se snažíme nepoužívat složité vztahy, nýbrž především logické úvahy a matematické cesty při stanovení hledané odpovědi na otázky spojené s řešenými problémy. 3 Matematika a řešení problémů kolem nás Jak jsme již uvedli, při řešení reálných problémů musíme vytvářet zjednodušené modely, protože není možné zařadit do popisu všechny zjistitelné veličiny a sledované situace popisovat ze všech oborů fyziky. Tak se vytvářejí fyzikální úlohy, které jsou řešitelné na určité úrovni fyzikálního poznání, která odpovídá úrovni fyzikální přípravy žáků, jimž jsou úlohy předkládány. Uvedeme několik jednoduchých úloh: 67
- Page 15 and 16: částí pedagogiky nadaných, kter
- Page 17 and 18: Těžiště útvaru Ve všech vyše
- Page 19 and 20: Konstrukce 2 Těžiště obvodu tro
- Page 21 and 22: Druhá etapa řešení Při zkoumá
- Page 23 and 24: Druhá etapa řešení (zkoumá zm
- Page 25 and 26: V případě jednotkové kružnice
- Page 27 and 28: Předběžné úvahy Nerovnosti (1)
- Page 29 and 30: vynásobíme po řadě (nezáporný
- Page 31 and 32: které mají po dosazení a =0,resp
- Page 33 and 34: získají dohromady alespoň 10 bod
- Page 35 and 36: lineární funkce), jak se říká,
- Page 37 and 38: [Pl 2]: Jakmile je V 1 nebo V 2 vys
- Page 39 and 40: Tak mi vychází, že platí V ∈
- Page 41 and 42: zaručeno, že bod minima, resp. ma
- Page 43 and 44: Ako sa prejavuje matematické nadan
- Page 45 and 46: 2. Úlohy z diskrétnej matematiky
- Page 47 and 48: mš mt žš čt čš žt žš žt
- Page 49 and 50: Aktivita Triomino vychádza z hry T
- Page 51 and 52: Skupiny C, D: Žiaci vypísali hrac
- Page 53 and 54: 6. Situácia v hre je ako na obr. 7
- Page 55 and 56: Turnaj měst v České republice s
- Page 57 and 58: Ve školním roce 2006/2007 se dík
- Page 59 and 60: 2. V rovině je dán tečnový čty
- Page 61 and 62: Řešení 2 Čtverec můžeme rozř
- Page 63 and 64: Řešení 8 (bez komentáře, chyb
- Page 65: 1 Vztah matematiky a fyziky Fyzika
- Page 69 and 70: 6,8 cm, pohybující se ve vzdálen
- Page 71 and 72: 5 Matematika a problémy astronomic
- Page 73 and 74: Úloha 6.2 Lyžař sjíždí po dlo
- Page 75 and 76: graficky. Z grafu 1 vidíme, že p
- Page 77 and 78: změn síly F = F (x), kde x je dé
- Page 79 and 80: Pokud jde o obor racionálních č
- Page 81 and 82: Dedekindova poznámka o tom, že al
- Page 83 and 84: taková úplná korespondence mezi
- Page 85 and 86: Nemoha se dočkat odpovědi, píše
- Page 87 and 88: soutěžích, vyjádřené 11 zlat
- Page 89 and 90: koslovenska nejprve do válkou rozb
- Page 91 and 92: Výpočetní technika dovoluje prov
- Page 93 and 94: obtížnosti, problém je proto vho
- Page 95 and 96: tohoto zařízení, ta jím prochá
- Page 97 and 98: v pracovních sešitech a knížká
- Page 99 and 100: Z výše uvedeného dělení lidsk
- Page 101 and 102: žáky nechat zakreslovat pohled do
- Page 103 and 104: http://hlavolamy.zde.cz (odtud je p
- Page 105 and 106: aby byl pro člověka příjemný.
- Page 107 and 108: matika (BKG) je jedním z možných
- Page 109 and 110: Velice oblíbenou, jednoduchou a p
- Page 111 and 112: if not((ch in [’0’..’9’])or
- Page 113 and 114: egin err:=0; {inicializace prom.} i
- Page 115 and 116: Náš kód už tedy zbývá jen obo
řujeme platnost navržených hypotéz. Při zpracování údajů z experimentu<br />
často hledáme nové, řešiteli zatím neznámé fyzikální funkční závislosti,<br />
a <strong>zde</strong> hraje matematika prvořadou úlohu.<br />
Myšlenkově postupujeme při vytváření fyzikálního modelu takto:<br />
realita a její popis → fyzikální model pojmový → fyzikální model<br />
veličinový → matematický model reality → grafická reprezentace matematického<br />
modelu → fyzikalizované řešení matematického modelu →<br />
konfrontace s realitou<br />
Proces řešení fyzikálního problému tedy začíná modelováním a končí<br />
konfrontací získaného řešení s realitou, z níž problém vychází. Součástí<br />
matematizace je postupné nacházení vhodné funkce nebo funkcí, jež můžeme<br />
při popisu předmětů, jevů a dějů i v procesu řešení problémů použít.<br />
Plyne však z toho závěr, že jakékoliv pokusy vykládat školskou fyziku<br />
bez použití matematických prostředků a metod jsou již předem odsouzeny<br />
k neúspěchu. Proto jednou z prvních cest, kterou se vydávají učitelé<br />
fyziky zejména na střední škole, je postupné prohlubování matematických<br />
znalostí i dovedností. Zde si dovolím připomenout poslední práce,<br />
které vyšly v Knihovničce Fyzikální olympiády: Jarešová, M., Volf, I.,<br />
Vybíral, B.: Kapitoly z matematiky pro řešitele fyzikální olympiády, Hradec<br />
Králové, MAFY 2006. Text byl vyvěšen i na internetových stránkách<br />
http://fo.cuni.cz a www.uhk.cz/fo.<br />
V dalším chceme na několika příkladech ukázat, jaké prostředky matematika<br />
fyzice poskytuje, a tak ji umožňuje řešit problémy, které by<br />
bez matematiky vyřešit nemohla. Vybrali jsme úlohy z různých oblastí.<br />
Při jejich řešení se snažíme nepoužívat složité vztahy, nýbrž především<br />
logické úvahy a matematické cesty při stanovení hledané odpovědi na<br />
otázky spojené s řešenými problémy.<br />
3 Matematika a řešení problémů kolem nás<br />
Jak jsme již uvedli, při řešení reálných problémů musíme vytvářet zjednodušené<br />
modely, protože není možné zařadit do popisu všechny zjistitelné<br />
veličiny a sledované situace popisovat ze všech oborů fyziky. Tak se vytvářejí<br />
fyzikální úlohy, které jsou řešitelné na určité úrovni fyzikálního<br />
poznání, která odpovídá úrovni fyzikální přípravy žáků, jimž jsou úlohy<br />
předkládány. Uvedeme několik jednoduchých úloh:<br />
67
Change language