zde - Univerzita Karlova

Ve školním roce 2006/2007 se díky grantové podpoře MŠMT ČR Turnaj
měst konal poprvé (experimentálně) také v České republice. Soutěže
se zúčastnila následující česká města: Praha, Bílovec, Olomouc, Přerov,
Benešov. Snahou organizátorů z Přírodovědecké fakulty UP v Olomouci
je zapojit od 29. ročníku Turnaje měst do soutěže větší počet českých
měst než v uplynulém roce. Své případné dotazy směřujte na emailovou
adresu prvního z autorů tohoto příspěvku: svrcek@inf.upol.cz
Přínos soutěže
Za nesporný přínos zavedení Turnaje měst v České republice považují
organizátoři možnost zapojení většího počtu našich matematicky talentovaných
žáků do mezinárodní matematické soutěže. Zde přitom reprezentují
města, v nichž studují. Dalším pozitivním rysem této soutěže
je možnost volby těch úloh, které každému soutěžícímu nejlépe vyhovují.
Tím mohou žáci lépe prokázat to, co se naučili, a nikoliv to, co
sami nezvládnou. Mezi pozitiva soutěže lze bezesporu považovat také
skutečnost, že matematicky nadaní žáci odevzávají protokoly s úplnými
řešeními úloh, což výrazně napomáhá tříbení jejich stylizace řešení matematických
úloh a precizování jejich matematického vyjadřování.
Úlohy
Na ukázku uvádíme dále texty všech přípravných úloh Turnaje měst kola
28. ročníku soutěže včetně navrženého bodového maxima u jednotlivých
úloh v obou věkových kategoriích tak, jak byly předloženy soutěžícím
v Praze a Bílovci na podzim 2006.
JUNIOR
1. Na tabuli byla napsána po řadě dvě přirozená čísla x a y (x ≤ y).
Jirka si na list papíru napsal hodnotu x 2 (druhou mocninu prvního
čísla) a pak zaměnil čísla na tabuli dvojicí čísel x a y−x (napřed bylo
napsáno menší z obou čísel). S novými čísly na tabuli pak provedl
stejnou operaci atd., až jedno z čísel na tabuli bylo rovno 0. Určete,
jaký byl (v tomto okamžiku) součet všech čísel, která si Jirka napsal
na list papíru.
(4 body)
2. Je známo, že lháři vždy lžou, pravdomluvní lidé vždy mluví pravdu
a vychytralí někdy mluví pravdu a někdy lžou. Můžete jim dávat
57