zde - Univerzita Karlova

[Vy 8] ke třem výrazům z vyjádření
V = −2(a + b + c)+5(ab + ac + bc)+3(1− abc)
a k důkazu V ≤ 9napsal:První dva výrazy nikdy nemohou překonat
hodnotu 9 a s jejich ubývající hodnotou vzrůstá hodnota třetího výrazu
pomaleji, než klesá u prvních dvou.
[Pha 33]: Výsledek
V = −2(a + b + c)+5(ab + ac + bc)+3(1− abc)
bude nejvíce záležet na části 5(ab + ac + bc), protože se tam násobí největším
koeficientem 5. ProtoV bude maximální, resp. minimální, když
bude ab + ac + bc maximální (a = b = c =1), resp. minimální (stačí, aby
sedvězčísela, b, c rovnala nule).
[Pl 10]: V 1 + V 2 nabývá hodnot od 0 do 9, přičemž nižší je pro menší
hodnoty proměnných. Výraz V 3 nabývá hodnot od 0 do 3, přičemž nižší
je pro větší hodnoty proměnných. Při násobení ve výrazu V 3 jsou rozdíly
menší než při sčítání ve výrazu V 1 + V 2 , z toho usuzuji, že když hodnota
V 1 + V 2 klesne, tak hodnota V 3 vzroste míň, než klesla hodnota V 1 + V 2 ,
čili hodnota celkového součtu se bude vždy udržovat do čísla 9.
[Ms 32]: Pokud v třetím výrazu bude jeho možné maximum, tak
v obou předchozích jsou minima a naopak, takže když tyto výrazy sečteme,
dostaneme jako maximum číslo 9 ajakominimumčíslo3.
[Vy 18]: Pokud dosahují maxim V 1 a V 2 , dosahuje V 3 minima. Pokud
dosáhne V 3 maxima, jsou V 1 a V 2 minimální. Protože V 3 je součin tří
činitelů menších než 1 s trojkou, roste jeho hodnota pomaleji, než klesají
hodnoty V 1 a V 2 .
Pozoruhodná je argumentace řešitelky [Ús 5], která upravila výraz V
do tvaru V = −2(a + b + c)+5(ab + ac + bc)+3(1− abc) apaknapsala:
Vyšly nám tři výrazy s intervaly hodnot 〈−6, 0〉, 〈0, 15〉 a 〈0, 3〉. Odtud
vyplývá pouze, že V ∈〈−6, 18〉, takže to ještě upřesním. Čím vyšší je
a + b + c, tímnižšíje−2(a + b + c), tedy interval zapíšu v závislosti na
vzrůstajících a, b, c takto:
−2(a + b + c) ∈〈0, −6〉.
U druhého a třetího tu závislost zapíšu takto:
5(ab + ac + bc) ∈〈0, 15〉,
3(1 − abc) ∈〈3, 0〉.
38