zde - Univerzita Karlova

Tím je skutečně úplný důkaz nerovnosti V ≤ 9 hotov. Poznamenejme,
že pokus o podobný důkaz nerovnosti V ≥ 1 se řešiteli [Kv 11] bohužel
nepovedl.
Originální řešení celé úlohy ideově navrhl řešitel [Pha 35], který zjistil,
že dokazované nerovnosti 1 ≤ V ≤ 9 dostaneme sečtením jednodušších
nerovností
1 ≤ 3 − 2(a + b + c − ab − ac − bc) ≤ 3,
0 ≤ 3(ab + ac + bc − abc) ≤ 6.
Je opravdu možné (a schůdné) dokázat, že pro libovolná čísla a, b, c ∈
∈〈0, 1〉 všechny čtyři vypsané nerovnosti platí, ovšem řešiteli [Pha 35] se
to podařilo pouze pro dvě z nich (ty levé), takže fakticky dokázal pouze
nerovnost V ≥ 1 (a byl celkově ohodnocen dvěma body). 7
Jak vystihnout kompenzaci
Většina z 318 posuzovaných protokolů obsahovala pokusy řešitelů zdůvodnit
intuitivně jasnou ideu, dříve podrobně popsanou v paragrafu
Předběžné úvahy. Téměř nikdo však ani částečné zdůvodnění nepodal,
v protokolech najdeme jen v různém stupni nepřesná vyjádření toho,
jak ona kompenzace patrně funguje místo argumentů, proč tomu tak je.
Následující citáty to výstižně potvrzují a podávají jasné signály o slabinách
v matematickém vyjadřování soutěžících. Za pozornost stojí, že
termíny kompenzace nebo (vy)kompenzovat najdeme v několika protokolech
přímo uvedené.
K lepšímu porozumění jsme do úryvků z protokolů implantovali námi
zavedené označení (4) dílčích výrazů V 1 , V 2 , V 3 , ze kterých je celý zkoumaný
výraz V složen.
[Jm 58]: Výrazy V 1 a V 2 obsahují pouze násobení a sčítání, proto když
zvyšujeme a, b, c, hodnoty V 1 a V 2 také rostou. Ve výrazu V 3 se hodnoty
a, b, c odčítají od 1, proto když zvyšujeme a, b, c, hodnota V 3 se snižuje.
Výrazy V 1 , V 2 a V 3 se tedy navzájem kompenzují.
[Ol 2]: Když výrazy V 1 a V 2 nabývají (ztrácejí) na hodnotě, hodnota
výrazu V 3 se chová opačně.
7 V tomto jediném případě bych hodnocení protokolu z kraje poopravil směrem
nahoru, asi o 1 bod. Řešitelův návrh jak dokázat nerovnost V ≤ 9 byl opravdu
schůdný.
36