zde - Univerzita Karlova
zde - Univerzita Karlova zde - Univerzita Karlova
je požadavek, aby do ústředního kola MO (jež se v kategoriích B a C nekoná) byli pozváni skutečně nejlepší soutěžící bez ohledu na to, ze kterého kraje jsou. Různou míru přejícnosti a tolerance opravovatelů lze jistě pochopit a akceptovat (je-li stejná ke všem soutěžícím z daného kraje). U posuzované úlohy v několika krajích hodnotící pracovníci udělovali například tolerantně 1 bod za pouhé správné roznásobení a úpravu daného výrazu (přestože provedená úprava nebyla dále nijak využita, takže nebylo jasné, jaký měla význam). V některých krajích opravovatelé považovali různá nepřesná kompenzační vyjádření za dostatečně exaktní. Často bylo jen mírně penalizováno (ztrátou 1–2 bodů) „opomenutí řešitelů, kteří za parametry a, b, c dosazovalipouzekrajníhodnoty0a1danéhointervalu a nijak přitom nevysvětlili, proč to stačí (tedy nezmínili linearitu). 4 Protože jsem sám byl opravovatelem protokolů v Jihomoravském kraji, strhával jsem za tento nedostatek nyní (stejně jako tehdy) 4 body. Přijde vám to příliš kruté? Domnívám se, že v soutěži Matematická olympiáda nikdy nešlo pouze o výsledky úloh, ale spíše o myšlenkovou úplnost úvah, které řešitele k výsledkům dovedou a které je soutěžící povinen do protokolů formou slovního výkladu zaznamenat. Nejhodnotnější protokoly Dvě třetiny (vyjádřeno absolutně: čtyři ze šesti) řešitelů, kteří za posuzovanou úlohu získali plný počet 6 bodů, soutěžili v Praze. Pro autora příspěvku bylo velmi nečekané, že dva z těchto pražských soutěžících [Pha 7] a [Pha 18] 5 (studenti 2. ročníků gymnázií v Litoměřické a Ohradní ulici) vyřešili úlohu metodou hledání extrémů funkce tří reálných proměnných cestou výpočtů jejich parciálních derivací (a nezapomněli přitom ani na nutné doplňující úvahy o hraničních bodech dané prostorové oblasti – krychle). Není mi známo, zda oba studenti tuto vysokoškolskou látku nastudovali sami, nebo je s ní seznámili na střední škole (již v 2. ročníku!), například z důvodů přípravy na infinitezimální úvahy v hodinách fyziky. Takovou možnost autonomní školní vzdělávací programy připouštějí. I když je použití diferenciálního počtu v dané úloze zcela legitimní, nabízí se srovnání (s ohledem na to, že se hledají extrémy 4 Slovo „opomenutí uvádím v uvozovkách, protože jsem přesvědčen, že řešitelé většinou na nějakou vlastnost výrazu V , jako jeho linearitu, vůbec nepomysleli. 5 Místo konkrétních jmen soutěžících budeme psát zkratku kraje a pořadové číslo jeho protokolu v tomto kraji. 34
lineární funkce), jak se říká, s „palbou z kanónu na vrabce. Další dva „šestibodoví řešitelé z Prahy ([Pha 16] a [Pha 21]) zaplnili své protokoly sice správnými, ale nadmíru složitými až nepřehlednými (v podstatě kompenzačními) úvahami, které zde nemá smysl reprodukovat. Jeden ze dvou mimopražských „šestibodových, řešitel [Pl 1] (z gymnázia v Plzni na Mikulášském náměstí) založil své řešení na objevu linearity. Vypočetl nejprve hodnoty V (a, b, c) pro všechny kombinace 0, 1 a pak napsal: 6 Protože je celý výraz lineární (tzn. dosadíme-li za dvě proměnné a třetí bude měnící se proměnná, bude grafem přímka) a pro krajní hodnoty byly nerovnosti ověřeny, může se tvrdit, že dané nerovnosti jsou dokázány. Pro zajímavost dodejme, že [Pl 1] byl jediný ze šestice úspěšných řešitelů úlohy, který v dalším ročníku MO postoupil do jejího ústředního kola kategorie A. Také druhý mimopražský „šestibodový řešitel [Ol 6] (z gymnázia v Zábřehu) využil linearitu, i když tento běžný pojem uvedl pouze popisným způsobem: V okrajových hodnotách a, b, c ∈{0, 1} je výraz V vintervalu〈1, 9〉, proto je tomu tak ve všech hodnotách (protože proměnné jsou pouze v prvních mocninách). Do tohoto paragrafu s výčtem nejúspěšnějších prací zařaďme ještě protokol „čtyřbodového soutěžícího [Kv 11], který zcela úplně a exaktně realizoval ideu kompenzace pro nerovnost V ≤ 9, když po její úpravě do tvaru 5(ab + bc + ac) ≤ 6+2(a + b + c)+3abc napsal: To je součet dvou nerovností 2(ab + bc + ac) ≤ 2(a + b + c), 3(ab + bc + ac) ≤ 6+3abc. První je splněna triviálně (ab ≤ a atd.), druhou upravíme na ab(1 − c)+(a + b)c ≤ 2. Protože ab ≤ 1 a a + b ≤ 2, stačí, aby platilo (1 − c)+2c ≤ 2, tj. c ≤ 1. 6 Citáty z protokolů budou uváděny ne v uvozovkách, ale odlišným typem písma. 35
- Page 1 and 2: Univerzita Karlova v Praze - Pedago
- Page 3 and 4: OBSAH Úvodem 5 Zhouf, J.: Jižpot
- Page 5 and 6: ÚVODEM Již potřetí ... Již pot
- Page 7 and 8: PLENÁRNÍ PŘEDNÁŠKY Přístupy
- Page 9 and 10: znalostí při řešení kognitivn
- Page 11 and 12: kovávání poznání. Kontext je v
- Page 13 and 14: li se v tomto procesu podle modelů
- Page 15 and 16: částí pedagogiky nadaných, kter
- Page 17 and 18: Těžiště útvaru Ve všech vyše
- Page 19 and 20: Konstrukce 2 Těžiště obvodu tro
- Page 21 and 22: Druhá etapa řešení Při zkoumá
- Page 23 and 24: Druhá etapa řešení (zkoumá zm
- Page 25 and 26: V případě jednotkové kružnice
- Page 27 and 28: Předběžné úvahy Nerovnosti (1)
- Page 29 and 30: vynásobíme po řadě (nezáporný
- Page 31 and 32: které mají po dosazení a =0,resp
- Page 33: získají dohromady alespoň 10 bod
- Page 37 and 38: [Pl 2]: Jakmile je V 1 nebo V 2 vys
- Page 39 and 40: Tak mi vychází, že platí V ∈
- Page 41 and 42: zaručeno, že bod minima, resp. ma
- Page 43 and 44: Ako sa prejavuje matematické nadan
- Page 45 and 46: 2. Úlohy z diskrétnej matematiky
- Page 47 and 48: mš mt žš čt čš žt žš žt
- Page 49 and 50: Aktivita Triomino vychádza z hry T
- Page 51 and 52: Skupiny C, D: Žiaci vypísali hrac
- Page 53 and 54: 6. Situácia v hre je ako na obr. 7
- Page 55 and 56: Turnaj měst v České republice s
- Page 57 and 58: Ve školním roce 2006/2007 se dík
- Page 59 and 60: 2. V rovině je dán tečnový čty
- Page 61 and 62: Řešení 2 Čtverec můžeme rozř
- Page 63 and 64: Řešení 8 (bez komentáře, chyb
- Page 65 and 66: 1 Vztah matematiky a fyziky Fyzika
- Page 67 and 68: řujeme platnost navržených hypot
- Page 69 and 70: 6,8 cm, pohybující se ve vzdálen
- Page 71 and 72: 5 Matematika a problémy astronomic
- Page 73 and 74: Úloha 6.2 Lyžař sjíždí po dlo
- Page 75 and 76: graficky. Z grafu 1 vidíme, že p
- Page 77 and 78: změn síly F = F (x), kde x je dé
- Page 79 and 80: Pokud jde o obor racionálních č
- Page 81 and 82: Dedekindova poznámka o tom, že al
- Page 83 and 84: taková úplná korespondence mezi
je požadavek, aby do ústředního kola MO (jež se v kategoriích B a C<br />
nekoná) byli pozváni skutečně nejlepší soutěžící bez ohledu na to, ze<br />
kterého kraje jsou.<br />
Různou míru přejícnosti a tolerance opravovatelů lze jistě pochopit<br />
a akceptovat (je-li stejná ke všem soutěžícím z daného kraje). U posuzované<br />
úlohy v několika krajích hodnotící pracovníci udělovali například<br />
tolerantně 1 bod za pouhé správné roznásobení a úpravu daného výrazu<br />
(přestože provedená úprava nebyla dále nijak využita, takže nebylo jasné,<br />
jaký měla význam). V některých krajích opravovatelé považovali různá<br />
nepřesná kompenzační vyjádření za dostatečně exaktní. Často bylo jen<br />
mírně penalizováno (ztrátou 1–2 bodů) „opomenutí řešitelů, kteří za<br />
parametry a, b, c dosazovalipouzekrajníhodnoty0a1danéhointervalu<br />
a nijak přitom nevysvětlili, proč to stačí (tedy nezmínili linearitu). 4<br />
Protože jsem sám byl opravovatelem protokolů v Jihomoravském kraji,<br />
strhával jsem za tento nedostatek nyní (stejně jako tehdy) 4 body. Přijde<br />
vám to příliš kruté? Domnívám se, že v soutěži Matematická olympiáda<br />
nikdy nešlo pouze o výsledky úloh, ale spíše o myšlenkovou úplnost úvah,<br />
které řešitele k výsledkům dovedou a které je soutěžící povinen do protokolů<br />
formou slovního výkladu zaznamenat.<br />
Nejhodnotnější protokoly<br />
Dvě třetiny (vyjádřeno absolutně: čtyři ze šesti) řešitelů, kteří za posuzovanou<br />
úlohu získali plný počet 6 bodů, soutěžili v Praze. Pro autora<br />
příspěvku bylo velmi nečekané, že dva z těchto pražských soutěžících<br />
[Pha 7] a [Pha 18] 5 (studenti 2. ročníků gymnázií v Litoměřické a<br />
Ohradní ulici) vyřešili úlohu metodou hledání extrémů funkce tří reálných<br />
proměnných cestou výpočtů jejich parciálních derivací (a nezapomněli<br />
přitom ani na nutné doplňující úvahy o hraničních bodech dané<br />
prostorové oblasti – krychle). Není mi známo, zda oba studenti tuto vysokoškolskou<br />
látku nastudovali sami, nebo je s ní seznámili na střední<br />
škole (již v 2. ročníku!), například z důvodů přípravy na infinitezimální<br />
úvahy v hodinách fyziky. Takovou možnost autonomní školní vzdělávací<br />
programy připouštějí. I když je použití diferenciálního počtu v dané úloze<br />
zcela legitimní, nabízí se srovnání (s ohledem na to, že se hledají extrémy<br />
4 Slovo „opomenutí uvádím v uvozovkách, protože jsem přesvědčen, že řešitelé<br />
většinou na nějakou vlastnost výrazu V , jako jeho linearitu, vůbec nepomysleli.<br />
5 Místo konkrétních jmen soutěžících budeme psát zkratku kraje a pořadové číslo<br />
jeho protokolu v tomto kraji.<br />
34
Change language