zde - Univerzita Karlova
zde - Univerzita Karlova zde - Univerzita Karlova
které připravují budoucí středoškolské učitele matematiky. Jaké okolnosti vedly tuto komisi k zařazení posuzované úlohy do soutěže? Úloha byla shledána zajímavou, netradiční a byla ji přisouzena role nejobtížnější úlohy krajského kola, která by měla rozhodnout o vítězích této soutěže v jednotlivých krajích. Byli jsme si vědomi, že úloha je poměrně vzdálena běžné praxi školské matematiky, ve které se úlohy na dokazování nerovností objevují jen sporadicky, zato je kladen velký důraz na řešení nerovnic (lineárních, kvadratických i těch s absolutními hodnotami, viz učebnici [1]). Žáci, kteří se chtějí v dokazování nerovností zdokonalit, jsou tak odkázáni na samostudium literatury (pro dané téma jsou nejvhodnější brožura [6], kapitola 2 ze skript [3], kapitola 7 knihy [7] nebo kapitola 7 sbírky [4], méně rozsáhlé poučení lze nalézt též kupř. v paragrafu 3.2 knihy [2]), nebo na čtení ročenek [5] či novějších úloh MO dostupných na internetové stránce www.math.muni.cz/mo. Obě výše popsaná řešení přispěly k rozhodnutí posuzovanou úlohu o nerovnostech soutěžícím předložit, přestože nebylo příliš jasné, jak se žáci k situaci ze zadání úlohy postaví. První výrazně nealgoritmické řešení otevírá velký prostor pro uplatnění nápadů a důmyslu talentovaných žáků, kteří jistě ideu kompenzace rychle a správně vytuší. Druhé řešení založené na linearitě zadaného výrazu v jednotlivých proměnných vyvolává zajímavou otázku, zda žáci dovedou skrytou linearitu odhalit a v nezvyklé situaci poznatky o lineárních nerovnicích (ve škole důkladně probrané) uplatnit. Podívejme se proto, jaké výsledky tyto předpoklady přinesly optikou rozboru autentických protokolů, sepsaných soutěžícími v průběhu krajského kola MO dne 21. 3. 2006. Nejprve uvedeme statistiku úspěšnosti, kterou vypracovávají jednotlivé krajské komise. Úspěšnost soutěžících Pro čtenáře neznalého praxe vyhodnocování výsledků krajských kol MO ve středoškolských kategoriích A, B, C nejprve popíšeme stručně její zásady. Během takového kola řeší soutěžící po dobu čtyř hodin v jejím úvodu zadané (do této chvíle utajené) čtyři úlohy. Za bezchybné a úplné vyřešení jedné úlohy získává soutěžící 6 bodů, za neúplné řešení s případnými chybami 1 až 5 bodů. Za neodevzdaný protokol nebo protokol, v němž je dopuštěna zásadní chyba nebo není dosažen na cestě k cíli žádný pokrok, nezíská soutěžící žádný bod. Za úspěšné řešitele jsou krajskou komisí vyhlášeni ti účastníci, kteří za všechny čtyři úlohy 32
získají dohromady alespoň 10 bodů (z celkem 24 možných). Podle těchto celkových součtů bodů jsou sestavována pořadí nejúspěšnějších řešitelů (v každém kraji samostatně). Je velmi těžké (spíše nemožné) vydat z ústředí MO pokyny, podle kterého by neúplná řešení byla bodově hodnocena ve všech krajích „stejným metrem. 2 Proto jsem bodové zisky z krajů před jejich zanesením do společné výsledkové tabulky sjednocujícím způsobem poopravil, a to ve všech případech, kdy došlo ke změně, směrem dolů. Svoji větší přísnost bych rád v závěrečném odstavci tohoto paragrafu ospravedlnil. Podívejme se tedy na tabulku (mnou poopravených) bodových zisků za posuzovanou úlohu v jednotlivých krajích. 3 Vedle sloupce zkratek krajů je pod značkou Σ uveden celkový počet protokolů daného kraje a pak v dalších sloupcích jejich částečné počty ohodnocené 0 až 6 body. Kraj Σ 0 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b Pha 40 20 6 7 2 1 0 4 Sč 27 21 4 1 1 0 0 0 Jč 29 20 6 3 0 0 0 0 Pl 21 17 2 1 0 0 0 1 Kv 11 10 0 0 0 1 0 0 Ús 19 13 3 2 1 0 0 0 Vy 25 16 6 1 1 0 0 0 Jm 69 57 9 1 2 0 0 0 Ol 18 10 1 6 0 0 0 1 Ms 36 28 1 7 0 0 0 0 Zl 23 15 3 4 1 0 0 0 Σ 318 227 41 33 8 3 0 6 Z tabulky je hned patrné, že, celkově vzato, řešitelé si s úlohou poradili velice špatně ve všech krajích. Pracovníci MO by jistě dosvědčili, že dosažená úspešnost na jedné úloze je v krajských kolech MO kategorie B patrně nejhorší za několik posledních let (jde spíše o neúspěšnost). Nelze to doložit čísly, neboť statistiku celostátní úspěšnosti podle jednotlivých úloh krajských kol MO ústřední komise vypracovává pouze pro kategorii A, v níž se protokoly ze všech krajů ústředně přeopravují. Důvodem 2 U dané úlohy bylo stanoveno jediné doporučení: za důkaz nerovnosti V ≥ 1dejte 2 body, za důkaz nerovnosti V ≤ 9 udělte 4 body. 3 Ze tří chybějících krajů (Královéhradeckého, Libereckého a Pardubického) jsem protokoly k posouzení nedostal. 33
- Page 1 and 2: Univerzita Karlova v Praze - Pedago
- Page 3 and 4: OBSAH Úvodem 5 Zhouf, J.: Jižpot
- Page 5 and 6: ÚVODEM Již potřetí ... Již pot
- Page 7 and 8: PLENÁRNÍ PŘEDNÁŠKY Přístupy
- Page 9 and 10: znalostí při řešení kognitivn
- Page 11 and 12: kovávání poznání. Kontext je v
- Page 13 and 14: li se v tomto procesu podle modelů
- Page 15 and 16: částí pedagogiky nadaných, kter
- Page 17 and 18: Těžiště útvaru Ve všech vyše
- Page 19 and 20: Konstrukce 2 Těžiště obvodu tro
- Page 21 and 22: Druhá etapa řešení Při zkoumá
- Page 23 and 24: Druhá etapa řešení (zkoumá zm
- Page 25 and 26: V případě jednotkové kružnice
- Page 27 and 28: Předběžné úvahy Nerovnosti (1)
- Page 29 and 30: vynásobíme po řadě (nezáporný
- Page 31: které mají po dosazení a =0,resp
- Page 35 and 36: lineární funkce), jak se říká,
- Page 37 and 38: [Pl 2]: Jakmile je V 1 nebo V 2 vys
- Page 39 and 40: Tak mi vychází, že platí V ∈
- Page 41 and 42: zaručeno, že bod minima, resp. ma
- Page 43 and 44: Ako sa prejavuje matematické nadan
- Page 45 and 46: 2. Úlohy z diskrétnej matematiky
- Page 47 and 48: mš mt žš čt čš žt žš žt
- Page 49 and 50: Aktivita Triomino vychádza z hry T
- Page 51 and 52: Skupiny C, D: Žiaci vypísali hrac
- Page 53 and 54: 6. Situácia v hre je ako na obr. 7
- Page 55 and 56: Turnaj měst v České republice s
- Page 57 and 58: Ve školním roce 2006/2007 se dík
- Page 59 and 60: 2. V rovině je dán tečnový čty
- Page 61 and 62: Řešení 2 Čtverec můžeme rozř
- Page 63 and 64: Řešení 8 (bez komentáře, chyb
- Page 65 and 66: 1 Vztah matematiky a fyziky Fyzika
- Page 67 and 68: řujeme platnost navržených hypot
- Page 69 and 70: 6,8 cm, pohybující se ve vzdálen
- Page 71 and 72: 5 Matematika a problémy astronomic
- Page 73 and 74: Úloha 6.2 Lyžař sjíždí po dlo
- Page 75 and 76: graficky. Z grafu 1 vidíme, že p
- Page 77 and 78: změn síly F = F (x), kde x je dé
- Page 79 and 80: Pokud jde o obor racionálních č
- Page 81 and 82: Dedekindova poznámka o tom, že al
získají dohromady alespoň 10 bodů (z celkem 24 možných). Podle těchto<br />
celkových součtů bodů jsou sestavována pořadí nejúspěšnějších řešitelů<br />
(v každém kraji samostatně).<br />
Je velmi těžké (spíše nemožné) vydat z ústředí MO pokyny, podle<br />
kterého by neúplná řešení byla bodově hodnocena ve všech krajích „stejným<br />
metrem. 2 Proto jsem bodové zisky z krajů před jejich zanesením do<br />
společné výsledkové tabulky sjednocujícím způsobem poopravil, a to ve<br />
všech případech, kdy došlo ke změně, směrem dolů. Svoji větší přísnost<br />
bych rád v závěrečném odstavci tohoto paragrafu ospravedlnil.<br />
Podívejme se tedy na tabulku (mnou poopravených) bodových zisků<br />
za posuzovanou úlohu v jednotlivých krajích. 3 Vedle sloupce zkratek<br />
krajů je pod značkou Σ uveden celkový počet protokolů daného kraje a<br />
pak v dalších sloupcích jejich částečné počty ohodnocené 0 až 6 body.<br />
Kraj Σ 0 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b<br />
Pha 40 20 6 7 2 1 0 4<br />
Sč 27 21 4 1 1 0 0 0<br />
Jč 29 20 6 3 0 0 0 0<br />
Pl 21 17 2 1 0 0 0 1<br />
Kv 11 10 0 0 0 1 0 0<br />
Ús 19 13 3 2 1 0 0 0<br />
Vy 25 16 6 1 1 0 0 0<br />
Jm 69 57 9 1 2 0 0 0<br />
Ol 18 10 1 6 0 0 0 1<br />
Ms 36 28 1 7 0 0 0 0<br />
Zl 23 15 3 4 1 0 0 0<br />
Σ 318 227 41 33 8 3 0 6<br />
Z tabulky je hned patrné, že, celkově vzato, řešitelé si s úlohou poradili<br />
velice špatně ve všech krajích. Pracovníci MO by jistě dosvědčili, že dosažená<br />
úspešnost na jedné úloze je v krajských kolech MO kategorie B<br />
patrně nejhorší za několik posledních let (jde spíše o neúspěšnost). Nelze<br />
to doložit čísly, neboť statistiku celostátní úspěšnosti podle jednotlivých<br />
úloh krajských kol MO ústřední komise vypracovává pouze pro kategorii<br />
A, v níž se protokoly ze všech krajů ústředně přeopravují. Důvodem<br />
2 U dané úlohy bylo stanoveno jediné doporučení: za důkaz nerovnosti V ≥ 1dejte<br />
2 body, za důkaz nerovnosti V ≤ 9 udělte 4 body.<br />
3 Ze tří chybějících krajů (Královéhradeckého, Libereckého a Pardubického) jsem<br />
protokoly k posouzení nedostal.<br />
33
Change language