zde - Univerzita Karlova

které mají po dosazení a =0,resp.a = 1 do výrazu V (a, b, c) tvar
1 ≤ b + c +2bc +3(1− b)(1 − c) ≤ 9,
1 ≤ 1+b + c +2(b + c + bc) ≤ 9.
Nyní můžeme náš „řešitelský přístup zopakovat. Při pevné hodnotě
parametru c ∈〈0, 1〉 azáměněb za y budeme řešit každou ze čtyř posledních
(opět lineárních) nerovnic s neznámou y. Podobně jako dříve
zjistíme, že první dvě nerovnosti
1 ≤ V (0,y,c) ≤ 9
platí pro každé y ∈〈0, 1〉, právě když platí v krajních bodech
1 ≤ V (0, 0,c) ≤ 9 a 1 ≤ V (0, 1,c) ≤ 9;
analogický závěr platí i pro zbylé dvě nerovnosti
1 ≤ V (1,y,c) ≤ 9.
Shrnuto dohromady: Původní úlohu jsme zredukovali na úkol ověřit,
že v uzavřeném intervalu mezi čísly 1 a 9 leží všechny čtyři hodnoty
V (0, 0,c),V(0, 1,c),V(1, 0,c),V(1, 1,c)
pro libovolné c ∈〈0, 1〉.
Zopakujeme-li „řešitelský přístup k lineárním nerovnicím potřetí
(tentokrát půjde již o nerovnice s jednou neznámou z = c a bez žádného
parametru), dojdeme k závěru, že celá úloha bude vyřešena, ukážeme-li,
že všech osm hodnot
V (0, 0, 0),V(0, 0, 1),V(0, 1, 0),V(0, 1, 1),
V (1, 0, 0),V(1, 0, 1),V(1, 1, 0),V(1, 1, 1)
leží v intervalu uzavřeném čísly 1 a 9. To už je rutinní numerické počítání:
s ohledem na symetrii výrazu V stačí vyčíslit pouze čtyři hodnoty
V (0, 0, 0) = 3, V (0, 0, 1) = 1, V (0, 1, 1) = 4 a V (1, 1, 1) = 9.
Očekávání úlohové komise
Soutěžní úlohy pro Matematickou olympiádu (společné pro ČR a SR i po
rozpadu naší federace) vybírá na svých seminářích česko-slovenská úlohová
komise, složená z učitelů středních škol a těch fakult vysokých škol,
31