zde - Univerzita Karlova

Druhé řešení
Vraťme se znovu k zadání naší úlohy na důkaz dvou algebraických nerovností
(1). Podívejme se na roli zastoupených proměnných a, b, c zintervalu
〈0, 1〉 trochu jinak: považujme je za nyní neznámé ve dvou daných
nerovnicích (nikoliv nerovnostech), které si předsevzeme v daném oboru
〈0, 1〉 řešit, tj. určit jejich obory pravdivosti. Psychologicky vzato, je
tato změna pohledu vlastní kritické duši každého matematika. Zapochybujeme,
že zadané tvrzení o nerovnostech s parametry platí, a teprve
procesem řešení příslušných nerovnic se přesvědčíme, že do jejich oboru
pravdivosti patří všechny hodnoty parametrů, které jsou uvedeny v zadání.
Uvažujme tedy závislost
V (a, b, c) =a + b + c +2(ab + ac + bc)+3(1− a)(1 − b)(1 − c)
a nejprve při pevných hodnotách parametrů b, c ∈〈0, 1〉 řešme následující
soustavu nerovnic s neznámou x:
1 ≤ V (x, b, c) ≤ 9 (7)
(Abychom zdůraznili přechod od proměnné k neznámé, zaměnili jsme
písmeno a písmenem x.) O jaký druh nerovnic se jedná? Výraz V (x, b, c)
je zřejmě lineární funkcí proměnné x:
V (x, b, c) =Px+ Q,
kde
P =5(b + c) − 3bc − 2
Q =5bc − 2(b + c)+3
(Jak se ovšem dále ukáže, konkrétní vzorce pro koeficienty P a Q vůbec
potřebovat nebudeme, důležitá bude později pouze jejich lineární závislost
na parametech b a c.) Řešit soustavu lineárních nerovnic (7), tedy
soustavu
1 ≤ Px+ Q ≤ 9,
je rutinní školská úloha (s mírně komplikovanou diskusí podle znaménka
koeficientu P ). Ani to zde dělat nebudeme, neboť naším úkolem je pouze
ověřit, že do oboru pravdivosti patří jakékoliv číslo x zintervalu〈0, 1〉.
To s ohledem na linearitu nastane, právě když bude soustava splněna pro
krajní hodnoty x =0a x = 1 (grafem lineární funkce na intervalu je
totiž úsečka). Stačí tedy dokázat dvojici nerovností
1 ≤ V (0,b,c) ≤ 9 a 1 ≤ V (1,b,c) ≤ 9,
30