zde - Univerzita Karlova

vynásobíme po řadě (nezápornými) čísly 1 − c, 1− b, 1− a; po sečtení
všech tří vynásobených nerovností pak obdržíme
3(1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ (1 − a)+(1− b)+(1− c),
odkud již snadnou úpravou dostaneme slíbenou nerovnost (6).
Významný dodatek
V průběhu autorova vystoupení na samotné konferenci v Hradci Králové
objevil jeden z přítomných posluchačů, dr. Antonín Jančařík zPedF
UK v Praze, pěknou geometrickou interpretaci celé úlohy, jež vysvětluje
kompenzační nerovnosti, které v předchozím podání tak trochu „spadly
z nebe. Představme si krychli 1 × 1 × 1atřinavzájemkolméroviny
(rovnoběžné se stěnami krychle), které rozdělují hrany vycházející z každého
vrcholu krychle na dvojice úseček délek a a1− a, b a1− b, resp.c
a1− c. Vidíme, že celá krychle je vyplněna soustavou čtyř kvádrů
a × 1 × 1, 1 × b × 1, 1 × 1 × c, (1 − a) × (1 − b) × (1 − c),
(první tři z nich se dokonce překrývají), takže sečtením jejich objemů
dostaneme geometrický důkaz nerovnosti V ≥ 1. Ihned je rovněž jasné,
proč platí i nerovnost (6), na které jsme založili dříve uvedený důkaz
nerovnosti V ≤ 9: v součtu
a · 1 · 1+1· b · 1+1· 1 · c +3(1− a)(1 − b)(1 − c)
je totiž každá část objemu celé krychle započítána nejvýše třikrát.
Přidáme-li k uvedeným čtyřem kvádrům ještě dva exempláře čtvrtého
z nich a po dvou exemplářích každého ze tří kvádrů
a × b × 1, a× 1 × c, 1 × b × c,
zjistíme, že hodnota V je součtem objemů těchto 12 kvádrů, kterými
je „několikanásobně vyplněna celá krychle tak, že každá z osmi částí
krychle (rozdělené zmíněnými třemi rovinami) je součástí devíti, čtyř,
tří nebo jednoho z 12 uložených kvádrů:
V =9abc +3(1− a)(1 − b)(1 − c)+
+4ab(1 − c)+4ac(1 − b)+4bc(1 − a)+
+ a(1 − b)(1 − c)+b(1 − a)(1 − c)+c(1 − a)(1 − b)
Odtud znovu plynou obě nerovnosti
1 ≤ V ≤ 9.
29