zde - Univerzita Karlova

Předběžné úvahy
Nerovnosti (1), které máme dokázat, nejsou očividné již proto, že samotný
zadaný algebraický výraz, který označíme
V = a + b + c +2(ab + ac + bc)+3(1− a)(1 − b)(1 − c), (2)
vypadá poměrně složitě. Zjednodušit jeho vyjádření lze jen částečně: po
roznásobení závorek a sloučení členů téhož druhu dostaneme
V =3− 2(a + b + c)+5(ab + ac + bc) − 3abc. (3)
Ani po takové úpravě výrazu V nejsou nerovnosti (1) zřejmé. Vraťme
se proto k zápisu (2) a vyčleňme v něm (zřejmě se nabízejícím způsobem)
tři části:
V = V 1 + V 2 + V 3 ,
kde
V 1 = a + b + c,
V 2 =2(ab + ac + bc),
V 3 =3(1− a)(1 − b)(1 − c).
Možné hodnoty těchto dílčích výrazů V i je snadné určit: pro všechna
čísla a, b, c ∈〈0, 1〉 jistě platí
(4)
0 ≤ V 1 ≤ 3, 0 ≤ V 2 ≤ 6, 0 ≤ V 3 ≤ 3. (5)
Odtud plynou pro hodnotu celkového výrazu V odhady
0+0+0≤ V ≤ 3+6+3, neboli 0 ≤ V ≤ 12.
To je ovšem horší výsledek nežli ten, který máme podle zadání úlohy
dokázat. Cítíme, že za tím účelem musíme provedené „hrubé sečtení globálních
odhadů (5) zjemnit rafinovanějšími postupy, jež by odrážely celkem
zřejmý závěr, který lze nepřesně vyslovit takto: malé hodnoty V 1 , V 2
znamenají velké hodnoty V 3 a naopak velké hodnoty V 1 , V 2 znamenají
malé hodnoty V 3 . Tuto intuitivně jasnou ideu kompenzace, v matematice
tolik častou a v nejjednodušší podobě vyjádřenou pro veličiny z intervalu
〈0, 1〉 identitou
x +(1− x) =1,
je ovšem zapotřebí převtělit do exaktního postupu šitého na míru naší
situace. Popíšeme ho v následujícím paragrafu jako první úplné řešení
dané úlohy. Předtím ještě poznamenejme, že jednodušší vyjádření (3)
výrazu V je pro bezprostřední kompenzační úvahy méně výhodnější nežli
původní zápis (2). Pouhé sčítání globálních odhadů jednotlivých částí
výrazu(3)totižvedekještěhoršímodhadům−2 ≤ V ≤ 18.
27