zde - Univerzita Karlova

Nad žákovskými protokoly jedné úlohy MO
Jaromír Šimša, Ústav matematiky a statistiky, PřF MU, Brno 1
Abstrakt. Příspěvek je věnován teorii i praktickým zkušenostem z řešení
jedné úlohy autora, která byla zařazena v roce 2006 do krajského kola Matematické
olympiády v kategorii B, určené žákům 2. ročníků středních škol.
V první části jsou vyloženy možné přístupy k řešení úlohy, ve druhé části jsou
pak vyhodnoceny a obsahově i formulačně analyzovány protokoly této úlohy od
celkového počtu 318 řešitelů z 11 krajů ČR.
Úvod
Budeme se zabývat úlohou, kterou autor příspěvku připravil pro krajské
kolo 55. ročníku Matematické olympiády v kategorii B, jež se konalo
21. března 2006 ve všech krajích ČR. Nejprve posoudíme zadání úlohy
a přístupy, které řešitelé mohli na cestě k jejímu řešení uplatnit. Vyložíme
je v podobě dvou „vzorových řešení. V další části pak zhodnotíme
(podle jednotlivých krajů i celkově) úspěšnost řešitelů úlohy (kterou posuzují
a vyjadřují 0–6 body krajské komise MO). Následně podrobíme
obsahovému rozboru žákovské protokoly k dané úloze (které si autor
příspěvku od krajských komisí MO vyžádal); nevyhneme se přitom ani
analýze chybných úvah a logických zkratů při neúspěšných pokusech.
Mnohé nepodložené závěry a občas i kuriózní vyjádření žáků ocitujeme
a pokusíme se v závěru alespoň částečně dobrat příčin, proč zadaná úloha
byla nad síly naprosté většiny řešitelů krajských kol MO v celé ČR.
Úloha a její řešení
Úloha byla při soutěži zadána v následující podobě: Dokažte, že pro
libovolná reálná čísla a, b, c z intervalu 〈0, 1〉 platí
1 ≤ a + b + c +2(ab + ac + bc)+3(1− a)(1 − b)(1 − c) ≤ 9. (1)
1 e-mail: simsa@ipm.cz
26