zde - Univerzita Karlova
zde - Univerzita Karlova zde - Univerzita Karlova
Než přejdeme k úloze 3, řekneme si, co rozumíme množinou dvojstředových trojúhelníků 4 . Jsou to trojúhelníky, které mají společnou jak kružnici opsanou, tak kružnici vepsanou. Sestrojíme je např. tak, že k danému trjúhelníku ABC sestrojíme opsanou kružnici K i vepsanou kružnici k. Sestrojíme-li nyní libovolný trojúhelník XY Z vepsaný kružnici K, jehož dvě strany se dokýtají kružnice k, pak se i třetí strana dotýká kružnice k (obr. 8). Mají tedy oba trojúhelníky společnou kružnici opsanou i vepsanou. Obr. 8 Obr. 9 Úloha 3 Máme vyšetřit dráhy těžišť všech dvojstředových trojúhelníků s pevnou opsanou kružnicí K a s pevnou vepsanou kružnicí k. Řešení Oproti předešlým dvěma úlohám jsou výsledky jednoduché. Dráhy těžiště obvodu trojúhelníků i standardního těžiště jsou kružnice zobrazené na obr. 9. Avšak ověřit početně, že jde opravdu o kružnice není vůbec jednoduché. Těžiště obvodu trojúhelníků XY Z se pohybuje po větší kružnici vyznačené tučnou čarou, standardní těžiště se pohybují po čárkované kružnici. Velikost těchto kružnic závisí na vzdálenosti d středů opsané a vepsané kružnice. S rostoucí vzdáleností d se tyto kružnice zvětšují a naopak se zmenšující se vzdáleností d se tyto kružnice zmenšují (obr. 10). 4 Viz http://mathworld.wolfram.com/BicentricPolygon.html, kde se lze podrobněji seznámit o dvojstředových trojúhelnících, čtyřúhelnících, pětiúhelnících atd. 24
V případě jednotkové kružnice K mají tyto kružnice rovnice: ( x − d ) 2 ( ) d + y 2 2 2 ( = x − 2d ) 2 ( ) d + y 2 2 2 = 2 2 3 3 Závěr Obr. 10 Čtenáři, kterého tento příspěvek zaujal, můžeme doporučit práci [2]. V ní jsou vyšetřovány dráhy těžišť a dalších význačných bodů nejen u trojúhelníků, ale i u čtyřúhelníků vepsaných do pevné kružnice. Literatura [1] Koman, M.: Kolik těžišť má mnohoúhelník? Sestrojujeme s CABRI těžiště pevných a proměnných mnohoúhelníků. In: Krátká, M. (ed.): Jak učit matematice žáky ve věku 11–15 let, Vydavatelský servis, Plzeň, 2006, 89–97. [2] Fritsch, R., Koman, M.: The loci of some Spieker Centres and other notable Points of Triangles and Quadrangles inscribed in a fixed Circle. http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/Spieker%20centers4.pdf [3] Šimša, J.: Archimedova statika v geometrii. Rozhledy mat.-fyz., 1997. 25
- Page 1 and 2: Univerzita Karlova v Praze - Pedago
- Page 3 and 4: OBSAH Úvodem 5 Zhouf, J.: Jižpot
- Page 5 and 6: ÚVODEM Již potřetí ... Již pot
- Page 7 and 8: PLENÁRNÍ PŘEDNÁŠKY Přístupy
- Page 9 and 10: znalostí při řešení kognitivn
- Page 11 and 12: kovávání poznání. Kontext je v
- Page 13 and 14: li se v tomto procesu podle modelů
- Page 15 and 16: částí pedagogiky nadaných, kter
- Page 17 and 18: Těžiště útvaru Ve všech vyše
- Page 19 and 20: Konstrukce 2 Těžiště obvodu tro
- Page 21 and 22: Druhá etapa řešení Při zkoumá
- Page 23: Druhá etapa řešení (zkoumá zm
- Page 27 and 28: Předběžné úvahy Nerovnosti (1)
- Page 29 and 30: vynásobíme po řadě (nezáporný
- Page 31 and 32: které mají po dosazení a =0,resp
- Page 33 and 34: získají dohromady alespoň 10 bod
- Page 35 and 36: lineární funkce), jak se říká,
- Page 37 and 38: [Pl 2]: Jakmile je V 1 nebo V 2 vys
- Page 39 and 40: Tak mi vychází, že platí V ∈
- Page 41 and 42: zaručeno, že bod minima, resp. ma
- Page 43 and 44: Ako sa prejavuje matematické nadan
- Page 45 and 46: 2. Úlohy z diskrétnej matematiky
- Page 47 and 48: mš mt žš čt čš žt žš žt
- Page 49 and 50: Aktivita Triomino vychádza z hry T
- Page 51 and 52: Skupiny C, D: Žiaci vypísali hrac
- Page 53 and 54: 6. Situácia v hre je ako na obr. 7
- Page 55 and 56: Turnaj měst v České republice s
- Page 57 and 58: Ve školním roce 2006/2007 se dík
- Page 59 and 60: 2. V rovině je dán tečnový čty
- Page 61 and 62: Řešení 2 Čtverec můžeme rozř
- Page 63 and 64: Řešení 8 (bez komentáře, chyb
- Page 65 and 66: 1 Vztah matematiky a fyziky Fyzika
- Page 67 and 68: řujeme platnost navržených hypot
- Page 69 and 70: 6,8 cm, pohybující se ve vzdálen
- Page 71 and 72: 5 Matematika a problémy astronomic
- Page 73 and 74: Úloha 6.2 Lyžař sjíždí po dlo
V případě jednotkové kružnice K mají tyto kružnice rovnice:<br />
(<br />
x − d ) 2 ( ) d<br />
+ y 2 2 2 (<br />
=<br />
x − 2d ) 2 ( ) d<br />
+ y 2 2 2<br />
=<br />
2 2<br />
3<br />
3<br />
Závěr<br />
Obr. 10<br />
Čtenáři, kterého tento příspěvek zaujal, můžeme doporučit práci [2]. V ní<br />
jsou vyšetřovány dráhy těžišť a dalších význačných bodů nejen u trojúhelníků,<br />
ale i u čtyřúhelníků vepsaných do pevné kružnice.<br />
Literatura<br />
[1] Koman, M.: Kolik těžišť má mnohoúhelník? Sestrojujeme s CABRI těžiště pevných<br />
a proměnných mnohoúhelníků. In: Krátká, M. (ed.): Jak učit matematice<br />
žáky ve věku 11–15 let, Vydavatelský servis, Plzeň, 2006, 89–97.<br />
[2] Fritsch, R., Koman, M.: The loci of some Spieker Centres and other notable<br />
Points of Triangles and Quadrangles inscribed in a fixed Circle.<br />
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/Spieker%20centers4.pdf<br />
[3] Šimša, J.: Archimedova statika v geometrii. Rozhledy mat.-fyz., 1997.<br />
25
Change language