zde - Univerzita Karlova

1. Vyjdeme z rovnosti, která platí pro každé reálné x a každé přirozené
číslo n:
x +2x +3x + ···+ nx = n(n +1)x/2
2. Úpravou pravé strany dostaneme rovnost, která platí pro všechna
x ≠0:
x +2x +3x + ···+ nx =[(n +1)x/2 · nx/2]/(x/2)
3. Obě strany vynásobíme nenulovou konstantou, kterou označíme „sin:
tj.:
sin ·(x +2x +3x + ···+ nx) =sin·([(n +1)x/2 · nx/2]/(x/2))
sin(x +2x +3x + ···+ nx) =sin([(n +1)x/2 · nx/2]/(x/2))
4. Použitím zákonů pro násobení součtu a podílu
a(b + c) =ab + ac,
a(bc/d) =[(ab) · (ac)]/(ad)
dostaneme výsledný vzorec
sin x +sin2x +sin3x + ···+sinnx =[sin(n +1)x/2 · sin nx/2]/ sin x/2,
který ještě vzhledem k tomu, že jmenovatel každého zlomku musí být
různý od nuly, doplníme podmínkami 2 ≠0ax ≠2kÔ.
Stojí za povšimnutí, že v matematické literatuře se na první z těchto
podmínek, tj. na podmínku 2 ≠ 0, zapomíná.
Poznámka. Autor příspěvku se všem účastníkům společenského večera
omlouvá a vyjadřuje naději, že nepadne (příspěvek ani autor) do rukou
nepovolaných.
242