zde - Univerzita Karlova

nin, úpravy algebraických výrazů, přesné numerické výpočty (na 1 000
desetinných míst), řešení rovnic a soustav rovnic, rozmanitou práci se
standardními i uživatelsky definovanými funkcemi, vykreslování grafů
funkcí a 3D grafů funkcí dvou proměnných, derivace funkcí a totální
diferenciál, goniometrii, komplexní čísla a maticové operace. Vhodným
příkladem výhod tohoto programu může být použití určitého integrálu
pro výpočet momentu setrvačnosti válce a koule. Protože téma rotačního
pohybu (resp. valení tělesa po nakloněné rovině) se probírá ve fyzice
v době, kdy žáci nemají potřebný matematický aparát k dispozici, může
být právě zde Maxima výborným pomocníkem pro práci s matematicky
či fyzikálně talentovanými žáky.
Výpočet momentu setrvačnosti válce a koule
K výpočtům integrálů v CAS Maxima slouží příkaz integrate(expr,x);
pro neurčitý, resp. integrate(expr,x,a,b); pro určitý integrál. Ukažme
si výpočet momentu setrvačnosti válce a koule užitím určitých integrálů.
Představme si, že válec s celkovou hmotností m je složen z tenkých prstenců
o tloušťce dx, hmotnost každého je dm = m·2πx·dx
πr
, kde proměnný
2
poloměr jednotlivých prstenců je x. Tento poloměr se mění od nuly do r
a výsledný moment setrvačnosti zjistíme integrací, kterou žákům prvního
ročníku velmi zjednodušeně představíme jako zobecnění sčítání pro
velmi malé veličiny dx, momentů setrvačnosti dm · x 2 těchto tenkých
prstenců:
(C1) integrate(2*Pi*x/(Pi*r^2)*m*x^2,x,0,r);
2
m r
(D1) ---
2
Tedy platí:
∫ r
2πx
0 πr 2 mx2 dx = 1 2 mr2
Když známe moment setrvačnosti válce, můžeme ho využít k výpočtu
momentu setrvačnosti koule. Představme si, že koule je složena z tenkých
plátků (jako když krájíme salám) o tloušťce dx. Každý plátek je malý
válec o poloměru y = √ r 2 − x 2 a výšce dx. Jehohmotnostje
dm = πy2
4
dx
3πr3 222