zde - Univerzita Karlova

číslo n:
p(n) =p(n − 1) + (2n − 1) + 2n +(2n +1)=p(n − 1) + 6n, p(1) = 7
Z tohoto rekurentního vztahu vyjádříme vzorec pro p(n) postupným
dosazením čísel n − 1, n − 2,...,3,2zan podobně jako v předchozím
příkladu a sečtením všech takto získaných n − 1rovností
p(n) =p(n − 1) + 6n,
p(n − 1) = p(n − 2) + 6(n − 1),
.
p(2) = p(1) + 6 · 2,
p(1) = 7
dostaneme po úpravě p(n) =3n 2 +3n +1.
Ukážeme si ještě jiné řešení posledních dvou příkladů, a to pomocí následující
věty: Prochází-li libovolnou konvexní oblastí v rovině p přímek,
které se uvnitř této oblasti protínají v b bodech (žádné tři v jednom), pak
pro počet d disjunktních částí, na něž tyto přímky danou oblast rozdělují,
platí d = p + b +1.
Větu dokážeme indukcí podle počtu přímek.
Pro p =1jeb =0ad = 2, takže věta platí. Předpokládejme dále, že
věta platí pro p přímek, a připojme jednu další, která těchto p přímek
protne uvnitř dané oblasti v r průsečících. Těchto r průsečíků rozdělí
připojenou přímku na r + 1 úseků, které rozdělí každou původní část
oblasti, kterou procházejí, na dvě. Původní počet d disjunktních částí se
tak zvětší o r + 1. Máme dokázat, že platí
d +(r +1)=(p +1)+(b + r)+1.
Tato rovnost však ihned vyplývá z indukčního předpokladu přičtením
r + 1 k oběma stranám rovnosti d = p + b +1.
Užitím této věty vyřešíme druhý i třetí příklad velice snadno:
V příkladu 2, kde konvexní oblastí je celá rovina, je p = n a b = ( n
2)
,
takže pro počet disjunktních částí, na něž je rovina n přímkami daných
vlastností rozdělena, je
d = n + ( n
2)
+1=(n 2 + n +2)· 1/2
v souladu s výsledkem získaným z rekurentního vztahu.
206