zde - Univerzita Karlova

Z tohoto rekurentního vztahu vyjádříme vzorec pro p(n) tak, že sečteme
všech n následujících rovností:
p(n) =p(n − 1) + n
p(n − 1) = p(n − 2) + (n − 1)
.
p(2) = p(1) + 2
p(1) = 2
Po úpravě dostaneme hledaný vzorec:
p(n) =(n 2 + n +2)· 1/2
Příklad 3. NakaždéstranětrojúhelníkuABC zvolíme libovolně n vnitřních
bodů, kde n>1, a sestrojíme všechny úsečky spojující každý vrchol
trojúhelníku se zvolenými n body protější strany. Určete, na kolik
disjunktních částí je těmito úsečkami trojúhelník ABC rozdělen za předpokladu,
že žádné tři z těchto úseček neprocházejí týmž bodem.
Řešení. Označíme p(n−1) počet disjunktních částí, na něž je trojúhelník
ABC rozdělen všemi úsečkami, které spojují každý jeho vrchol s n − 1
body protější strany, a na každé straně postupně zvolme další vnitřní
bod. Počet úseček vycházejících z každého vrcholu vzroste o jednu a
počet disjunktních částí se tímto způsobem zvětší na p(n).
Připojme nejprve vnitřní bod X k n − 1 vnitřním bodům strany BC.
Úsečka AX protne všechny úsečky vycházející z vrcholů B, C ve 2n − 2
bodech, které ji rozdělí na 2n − 1 úseků, takže přibude 2n − 1 nových
částí.
V dalším kroku připojíme vnitřní bod Y k n − 1 vnitřním bodům
strany CA. ÚsečkaBY protne všechny úsečky vycházející z vrcholů A,
C ve 2n − 1 bodech, neboť z vrcholu A po předchozím připojení úsečky
AX vychází nyní n úseček. Těchto 2n − 1 průsečíků rozdělí úsečku BY
na 2n úseků, takže nových částí přibude také 2n.
Nakonec připojíme vnitřní bod Z k n − 1 vnitřním bodům strany
AB. ÚsečkaCZ protne všechny úsečky vycházející z vrcholů A, B ve
2n bodech, které ji rozdělí na 2n úseků. V trojúhelníku ABC tak přibude
2n + 1 nových částí.
Zjistíme-li ještě, že je p(1) = 7, dostáváme vzorec, který umožňuje
určit počet disjunktních částí daného trojúhelníku pro každé přirozené
205