zde - Univerzita Karlova

2 auta osobní, 1 nákladní a 1 autobus 12
žádné osobní, 3 nákladní a žádný autobus 1
žádné osobní, 2 nákladní a 1 autobus 3
žádné osobní, 1 nákladní a 2 autobusy 3
žádné osobní, žádné nákladní a 3 autobusy 1
Všech možností rozmístění vozidel daných tří druhů je 43
Ukážeme si nyní řešení pomocí rekurentního vztahu. Budeme předpokládat,
že na parkovišti podél chodníku je n stejně dlouhých parkovacích
míst, kde n>2, a označíme p(n) počet způsobů, kterými mohou daná
vozidla všechna tato místa zaplnit. Všechny tyto způsoby rozložíme do
tří disjunktních tříd podle toho, které vozidlo stojí první zleva:
Je-li to osobní auto, zbývá n − 1 míst, která lze obsadit p(n − 1)
způsoby, je-li to autobus nebo nákladní auto, zbývá n − 2míst,ježlze
obsadit p(n − 2) způsoby.
Zjistíme-li ještě, že p(1) = 1 a p(2) = 3, dostáváme rekurentní vzorec
p(n) =p(n − 1) + 2p(n − 2), p(1) = 1, p(2) = 3.
Postupným výpočtem hodnot p(3) = 5, p(4) = 11 a p(5) = 21 dostaneme
výsledek
p(6) = p(5) + 2p(4) = 21 + 2 · 11 = 43.
Výhoda tohoto postupu je zřejmá: Z odvozeného rekurentního vzorce
můžeme postupně určovat počet způsobů zaparkování vozidel daných tří
druhů pro libovolná přirozená čísla n. I když tento postup je pro velká n
poněkud zdlouhavý, je jistě rychlejší, než kdybychom tento počet určovali
výčtem. Další výhodou je to, že v některých případech lze rekurentní
vzorec posloupnosti (p(n)) převést na vzorec pro její n-tý člen, s jehož
pomocí můžeme počet způsobů zaparkování pro libovolné n určit přímo.
Připomeňme si, jakým způsobem se dá právě odvozený rekurentní
vzorec převést na vzorec pro n-tý člen. 2 Jak známo, jde o řešení lineární
rekurentní rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty, tj. o řešení
rovnice
f(n +2)+a 1 f(n +1)+a 2 f(n) =0, a 2 ≠0.
Její obecné řešení je
f(n) =c 1 x n−1
1 + c 2 x n−1
2 pro x 1 ≠ x 2 ,
f(n) =(c 1 + c 2 n)x n−1
1 pro x 1 = x 2 ,
2 Studentům tento postup sdělovat nemusíme – někteří se s ním seznámí na vysoké
škole, a to i s odvozením, které zde vynecháme.
203