zde - Univerzita Karlova

More documents

Recommendations

Info

PRACOVNÍ DÍLNY Kombinatorické úlohy řešené nalezením rekurentního vztahu Emil Calda, MFF UK Praha 1 Abstrakt. V článku jsou pomocí odvozených rekurentních vzorců vyřešeny tři kombinatorické úlohy a ukázány způsoby řešení lineárních rekurentních rovnic 1. a 2. řádu s konstantními koeficienty. Na závěr je odvozen (a aplikován) vzorec pro počet disjunktních částí rovinné konvexní oblasti, kterou prochází daný počet přímek protínajících se uvnitř této oblasti v daném počtu bodů. Na střední škole se kombinatorické úlohy obvykle řeší užitím vzorců pro počty variací, permutací a kombinací a způsob jejich řešení pomocí nalezeného rekurentního vztahu se téměř nepoužívá. Domnívám se, že by mohlo být užitečné, kdyby se studenti aspoň na několika příkladech mohli s touto metodou seznámit. Ukážeme si ji v následujících úlohách. Příklad 1. Podél chodníku, tj. rovnoběžně s ním, je šest stejně velkých parkovacích míst, na kterých mohou parkovat autobusy, osobní a nákladní auta. Určete, kolika způsoby se na těchto šest míst mohou tato vozidla seřadit, zabere-li osobní auto jedno místo, nákladní auto dvě místa a autobus také dvě místa. (Osobní auta mezi sebou nerozlišujeme, nerozlišujeme ani mezi auty nákladními ani mezi autobusy.) Řešení. Úlohu nejprve vyřešíme výčtem všech možností, které pro umístění daných vozidel mohou nastat; pro počet těchto možností můžeme využít vzorec pro počet permutací s opakováním, pokud ho studenti znají. Rozmístíme Počet možností 6 aut osobních, žádné nákladní a žádný autobus 1 4 auta osobní, 1 nákladní a žádný autobus 5 4 auta osobní, žádné nákladní a 1 autobus 5 2 auta osobní, 2 nákladní a žádný autobus 6 2 auta osobní, žádné nákladní a 2 autobusy 6 1 e-mail: ecalda@volny.cz 202
2 auta osobní, 1 nákladní a 1 autobus 12 žádné osobní, 3 nákladní a žádný autobus 1 žádné osobní, 2 nákladní a 1 autobus 3 žádné osobní, 1 nákladní a 2 autobusy 3 žádné osobní, žádné nákladní a 3 autobusy 1 Všech možností rozmístění vozidel daných tří druhů je 43 Ukážeme si nyní řešení pomocí rekurentního vztahu. Budeme předpokládat, že na parkovišti podél chodníku je n stejně dlouhých parkovacích míst, kde n>2, a označíme p(n) počet způsobů, kterými mohou daná vozidla všechna tato místa zaplnit. Všechny tyto způsoby rozložíme do tří disjunktních tříd podle toho, které vozidlo stojí první zleva: Je-li to osobní auto, zbývá n − 1 míst, která lze obsadit p(n − 1) způsoby, je-li to autobus nebo nákladní auto, zbývá n − 2míst,ježlze obsadit p(n − 2) způsoby. Zjistíme-li ještě, že p(1) = 1 a p(2) = 3, dostáváme rekurentní vzorec p(n) =p(n − 1) + 2p(n − 2), p(1) = 1, p(2) = 3. Postupným výpočtem hodnot p(3) = 5, p(4) = 11 a p(5) = 21 dostaneme výsledek p(6) = p(5) + 2p(4) = 21 + 2 · 11 = 43. Výhoda tohoto postupu je zřejmá: Z odvozeného rekurentního vzorce můžeme postupně určovat počet způsobů zaparkování vozidel daných tří druhů pro libovolná přirozená čísla n. I když tento postup je pro velká n poněkud zdlouhavý, je jistě rychlejší, než kdybychom tento počet určovali výčtem. Další výhodou je to, že v některých případech lze rekurentní vzorec posloupnosti (p(n)) převést na vzorec pro její n-tý člen, s jehož pomocí můžeme počet způsobů zaparkování pro libovolné n určit přímo. Připomeňme si, jakým způsobem se dá právě odvozený rekurentní vzorec převést na vzorec pro n-tý člen. 2 Jak známo, jde o řešení lineární rekurentní rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty, tj. o řešení rovnice f(n +2)+a 1 f(n +1)+a 2 f(n) =0, a 2 ≠0. Její obecné řešení je f(n) =c 1 x n−1 1 + c 2 x n−1 2 pro x 1 ≠ x 2 , f(n) =(c 1 + c 2 n)x n−1 1 pro x 1 = x 2 , 2 Studentům tento postup sdělovat nemusíme – někteří se s ním seznámí na vysoké škole, a to i s odvozením, které <strong>zde</strong> vynecháme. 203
Page 1 and 2:
Univerzita Karlova v Praze - Pedago
Page 3 and 4:
OBSAH Úvodem 5 Zhouf, J.: Jižpot
Page 5 and 6:
ÚVODEM Již potřetí ... Již pot
Page 7 and 8:
PLENÁRNÍ PŘEDNÁŠKY Přístupy
Page 9 and 10:
znalostí při řešení kognitivn
Page 11 and 12:
kovávání poznání. Kontext je v
Page 13 and 14:
li se v tomto procesu podle modelů
Page 15 and 16:
částí pedagogiky nadaných, kter
Page 17 and 18:
Těžiště útvaru Ve všech vyše
Page 19 and 20:
Konstrukce 2 Těžiště obvodu tro
Page 21 and 22:
Druhá etapa řešení Při zkoumá
Page 23 and 24:
Druhá etapa řešení (zkoumá zm
Page 25 and 26:
V případě jednotkové kružnice
Page 27 and 28:
Předběžné úvahy Nerovnosti (1)
Page 29 and 30:
vynásobíme po řadě (nezáporný
Page 31 and 32:
které mají po dosazení a =0,resp
Page 33 and 34:
získají dohromady alespoň 10 bod
Page 35 and 36:
lineární funkce), jak se říká,
Page 37 and 38:
[Pl 2]: Jakmile je V 1 nebo V 2 vys
Page 39 and 40:
Tak mi vychází, že platí V ∈
Page 41 and 42:
zaručeno, že bod minima, resp. ma
Page 43 and 44:
Ako sa prejavuje matematické nadan
Page 45 and 46:
2. Úlohy z diskrétnej matematiky
Page 47 and 48:
mš mt žš čt čš žt žš žt
Page 49 and 50:
Aktivita Triomino vychádza z hry T
Page 51 and 52:
Skupiny C, D: Žiaci vypísali hrac
Page 53 and 54:
6. Situácia v hre je ako na obr. 7
Page 55 and 56:
Turnaj měst v České republice s
Page 57 and 58:
Ve školním roce 2006/2007 se dík
Page 59 and 60:
2. V rovině je dán tečnový čty
Page 61 and 62:
Řešení 2 Čtverec můžeme rozř
Page 63 and 64:
Řešení 8 (bez komentáře, chyb
Page 65 and 66:
1 Vztah matematiky a fyziky Fyzika
Page 67 and 68:
řujeme platnost navržených hypot
Page 69 and 70:
6,8 cm, pohybující se ve vzdálen
Page 71 and 72:
5 Matematika a problémy astronomic
Page 73 and 74:
Úloha 6.2 Lyžař sjíždí po dlo
Page 75 and 76:
graficky. Z grafu 1 vidíme, že p
Page 77 and 78:
změn síly F = F (x), kde x je dé
Page 79 and 80:
Pokud jde o obor racionálních č
Page 81 and 82:
Dedekindova poznámka o tom, že al
Page 83 and 84:
taková úplná korespondence mezi
Page 85 and 86:
Nemoha se dočkat odpovědi, píše
Page 87 and 88:
soutěžích, vyjádřené 11 zlat
Page 89 and 90:
koslovenska nejprve do válkou rozb
Page 91 and 92:
Výpočetní technika dovoluje prov
Page 93 and 94:
obtížnosti, problém je proto vho
Page 95 and 96:
tohoto zařízení, ta jím prochá
Page 97 and 98:
v pracovních sešitech a knížká
Page 99 and 100:
Z výše uvedeného dělení lidsk
Page 101 and 102:
žáky nechat zakreslovat pohled do
Page 103 and 104:
http://hlavolamy.zde.cz (odtud je p
Page 105 and 106:
aby byl pro člověka příjemný.
Page 107 and 108:
matika (BKG) je jedním z možných
Page 109 and 110:
Velice oblíbenou, jednoduchou a p
Page 111 and 112:
if not((ch in [’0’..’9’])or
Page 113 and 114:
egin err:=0; {inicializace prom.} i
Page 115 and 116:
Náš kód už tedy zbývá jen obo
Page 117 and 118:
Literatura [1] Češka, M., Rábov
Page 119 and 120:
Nejčastěji respondenti uváděli,
Page 121 and 122:
v jakémkoliv oboru - umění, spor
Page 123 and 124:
• rozšiřování učiva (0/0)
Page 125 and 126:
Algoritmy a RVP Autoři článku pr
Page 127 and 128:
postupy, se kterými se v matematic
Page 129 and 130:
však právě srovnávat rychlost a
Page 131 and 132:
• Významný model pro hledání
Page 133 and 134:
2. vnější - využití funkcí k
Page 135 and 136:
Dále je zde také uvedena historie
Page 137 and 138:
zkumu se v tomto případě ukázal
Page 139 and 140:
si lépe zapamatovat, snadněji neg
Page 141 and 142:
D5: „Už to zkouším počtvrté!
Page 143 and 144:
2.5 Ukázky dialogů E: „Rozumít
Page 145 and 146:
pomocných záznamů, jen s dotýk
Page 147 and 148:
Vývoj nových forem péče o talen
Page 149 and 150:
10. Která odpověď na otázku „
Page 151 and 152: 18. Kolik litrů horké vody o tepl
Page 153 and 154: Jeden žák naší školy stráví
Page 155 and 156: v rovnici lze pouze veličiny stejn
Page 157 and 158: oven −1, 0, +1. Můžeme si před
Page 159 and 160: veličin, vystupujících v Maxwell
Page 161 and 162: „sklepení odpustit. Obětujeme t
Page 163 and 164: Tab. 2: Tabulka LTM 163
Page 165 and 166: Tab. 4: Tabulka UILT 165
Page 167 and 168: Tab. 6: Části tabulky UILT-2 167
Page 169 and 170: správné vyřešení všech část
Page 171 and 172: povědí, dále je možné upravit
Page 173 and 174: správná odpověď např. u osmi o
Page 175 and 176: ozdíly se vytvoří mezi nimi. Pr
Page 177 and 178: Graf 10 Závěrem lze říci, že u
Page 179 and 180: Jsou v matematických třídách ma
Page 181 and 182: • od 90 do 110 - průměrná úro
Page 183 and 184: počty zájemců o studium v těcht
Page 185 and 186: 3 metry pětkrát a pak se střída
Page 187 and 188: Řešení: Tabulka má tvar: Z Č M
Page 189 and 190: měr, prakticky nemožné. Nejjedno
Page 191 and 192: Společnost pro talent a nadání N
Page 193 and 194: zium se jejich problémy výrazně
Page 195 and 196: tam slibovali přístup s porozumě
Page 197 and 198: směry. Jedním z nich je jeho inte
Page 199 and 200: sporenie, pôžičky, ...) podľa v
Page 201: máme robiť, keď sme natočili vi
Page 205 and 206: Z tohoto rekurentního vztahu vyjá
Page 207 and 208: V příkladu 3, kde konvexní oblas
Page 209 and 210: vat i s těmi „vypočítanými ob
Page 211 and 212: Na obr. 5 je poloměr kružnice př
Page 213 and 214: pryč z pracovní plochy, neboť pr
Page 215 and 216: Poslední ukázkou (obr. 13) je pom
Page 217 and 218: účastníci kurzů byli nadšení
Page 219 and 220: objeví, zaškrtneme u bodů G a H
Page 221 and 222: Cabri Geometrie. Neznamená to vša
Page 223 and 224: a moment setrvačnosti dJ = 3 y 2 8
Page 225 and 226: Pro účely příspěvku rozdělím
Page 227 and 228: covat i ve dvojicích, neboť zápi
Page 229 and 230: Komplexní čísla AKTIVITA 1 cos 1
Page 231 and 232: √ a b Odmocniny PRACOVNÍ LIST 3
Page 233 and 234: Součtové vzorce PRACOVNÍ LIST 5
Page 235 and 236: Domino Tato hra je velice známá s
Page 237 and 238: Šifrování, aneb žáci rádi po
Page 239 and 240: NÁZORY UČITELŮ Co nás znepokoju
Page 241 and 242: ZE SPOLEČENSKÉHO VEČERA O matema
Page 243 and 244: SEZNAM ÚČASTNÍKŮ 1. Baláš Jos
Page 245 and 246: 35. Hříbková Lenka e-mail: lenka
Page 247 and 248: 71. Pekárková Dáša e-mail: dasa
Page 249 and 250: 106. Veverka Tomáš Pracoviště:
show all

zde - Univerzita Karlova

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?