zde - Univerzita Karlova

postupy, se kterými se v matematice setkáváme, jsou v praxi zčásti nebo
zcela nerealizovatelné z časových důvodů. Je velmi důležité, aby se žáci
seznámili s tím, že některé výpočty jsou tak pomalé, že je není možné
realizovat ani na nejrychlejších počítačích. Typickým příkladem je hledání
rozkladu čísla na součin prvočísel pomocí postupného dělení všemi
potencionálními děliteli. V roce 1876 poukázal F. E. A. Lucas, že číslo
2 127 − 1, které má 39 cifer, je prvočíslo. Je jisté, že nemohl k výpočtům
použít ani počítač ani kalkulačku. Zkuste s žáky spočítat, kolik času by
potřebovali, kdyby museli zkoušet všechny potencionální dělitele. Dnes
největší známé prvočíslo má přibližně 8,5 miliónu cifer. Opět lze snadným
výpočtem ověřit, že prověřit všechny jeho potencionální dělitele by
nebylo možné ani s využitím všech počítačů na Zemi využitých po dobu
celého tisíciletí.
Předchozí otázky jsou sice zajímavé, ale od školské matematiky poněkud
vzdálené. Ukážeme proto dva alternativní, mnohem rychlejší algoritmy
k úlohám, se kterými se žáci běžně na základních a středních
školách setkávají.
Hornerovo schéma
Prvním algoritmem je Hornerovo schéma. Tento algoritmus se, kromě
jiného, používá pro výčet hodnoty polynomu v bodě. Pokud hodnotu
polynomu stupně n vboděx počítáme běžným dosazováním, tak potřebujeme
n − 1 násobení pro výpočet všech mocnin x až do stupně n, dále
n + 1 násobení na vynásobení vybrané mocniny příslušným koeficientem
a nakonec n sčítání na sečtení všech členů polynomu dohromady.
Nyní je dobré položit si otázku, zda nemůžeme počítat efektivněji,
tedy s využitím menšího počtu početních operací. Odpověď na tuto
otázku je kladná – ano, existuje způsob, jak hodnotu obecného polynomu
spočítat rychleji. Nazývá se Hornerovo schéma.
Myšlenka výpočtu podle Hornerova schématu je velice jednoduchá a
budeme si ji demonstrovat na polynomu 5x 3 − 6x 2 + 4x − 5.
Tento polynom můžeme vhodným přezávorkováním upravit do tvaru
((5 · x − 6) · x +4)· x − 5. Z něj je zřejmé, že pro výpočet hodnoty
polynomu (pokud je zapsán v tomto tvaru) stačí použít pouze třikrát
operaci násobení a třikrát operaci dělení. Na rozdíl od šesti násobení a
tří sčítání v případě běžného dosazování.
127