Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki - Instytut Matematyki PP

Ciało 

Liczby zespolone 

Postać trygonometryczna liczb zespolonych 

Pierwiastki. Równania algebraiczne 

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki 

Liczby zespolone

Ciało 




Treść wykładu 

Ciało. 

Liczby zespolone. Interpretacja geometryczna. 

Postać trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej. 

Pierwiastki. Równania algebraiczne. 

Liczby zespolone

Ciało 




Wykonalność działań w zbiorach liczb 

Mówimy, że w zbiorze liczb X jest wykonalne dodawanie, jeśli dla 

każdej pary liczb x 1 , x 2 ∈ X prawdziwe jest 

x 1 + x 2 ∈ X . 

Liczby zespolone

Ciało 







x 1 + x 2 ∈ X . 

Podobnie rozumiemy wykonalność odejmowania i mnożenia oraz 

dzielenia przez liczbę różną od zera. 

Liczby zespolone

Ciało 







x 1 + x 2 ∈ X . 



W zbiorze N wykonalne jest tylko dodawanie i mnożenie. 

Liczby zespolone

Ciało 







x 1 + x 2 ∈ X . 




W Z wykonalne jest dodawanie, odejmowanie i mnożenie. 

Liczby zespolone

Ciało 







x 1 + x 2 ∈ X . 





W Q wykonalne jest dodawanie, odejmowanie, mnożenie i 

dzielenie. 

Liczby zespolone

Ciało 







x 1 + x 2 ∈ X . 





W Q wykonalne jest dodawanie, odejmowanie, mnożenie i 

dzielenie. 

W przedziale [0, 1] wykonalne jest tylko mnożenie. 

Liczby zespolone

Ciało 




Ciało liczbowe 

Definicja 

Każdy zbiór liczb, który zawiera więcej niż jedną liczbę i w którym 

są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia 

przez 0, nazywamy ciałem liczbowym. 

Liczby zespolone

Ciało 





Definicja 




Zbiory N i Z nie są ciałami. 

Liczby zespolone

Ciało 





Definicja 





Zbiór Q jest ciałem. 

Liczby zespolone

Ciało 





Definicja 





Zbiór Q jest ciałem. 

Zbiór R jest ciałem. 

Liczby zespolone

Ciało 




Fakt 

Zbiór liczb postaci a + b √ 2, gdzie a, b ∈Q jest ciałem liczbowym. 

Liczby zespolone

Ciało 




Fakt 

Zbiór liczb postaci a + b √ 2, gdzie a, b ∈Q jest ciałem liczbowym. 

Należy pokazać,że wyniki działań na takich liczbach są również 

postaci a + b √ 2. 

Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 

Niech D będzie ustaloną liczbą wymierną dodatnią, która nie jest 

kwadratem liczby wymiernej. Zbiór liczb postaci a + b √ D, gdzie 

a, b ∈ Q, jest ciałem. 

Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 

Niech D będzie ustaloną liczbą wymierną dodatnią, która nie jest 

kwadratem liczby wymiernej. Zbiór liczb postaci a + b √ D, gdzie 

a, b ∈ Q, jest ciałem. 

Wniosek: istnieje nieskończenie wiele ciał liczbowych. 

Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 

Każde ciało liczbowe K zawiera ciało liczb wymiernych. 

Liczby zespolone

Ciało 




Dowód 

K jest ciałem, więc zawiera liczbę a ≠ 0. 

Liczby zespolone

Ciało 




Dowód 


Możemy wykonać dzielenie, więc a/a = 1 ∈ K. 

Liczby zespolone

Ciało 




Dowód 


Możemy wykonać dzielenie, więc a/a = 1 ∈ K. Stąd na 

podstawie wykonalności dodawania 2 = 1 + 1 ∈ K, 

3 = 2 + 1 ∈ K itd; 

Liczby zespolone

Ciało 




Dowód 




3 = 2 + 1 ∈ K itd; 

ogólnie, n ∈ K dla dowolnej liczby naturalnej n. 

Liczby zespolone

Ciało 




Dowód 




3 = 2 + 1 ∈ K itd; 


Z wykonalności odejmowania 1 − 1 = 0 ∈ K, a stąd dla 

dowolnego n ∈ N, −n ∈ K. 

Liczby zespolone

Ciało 




Dowód 




3 = 2 + 1 ∈ K itd; 




Z wykonalności dzielenia dla dowolnych liczb naturalnych n i 

m wynika, że n/m ∈ K, −n/m ∈ K 

Liczby zespolone

Ciało 




Dowód 




3 = 2 + 1 ∈ K itd; 




Z wykonalności dzielenia dla dowolnych liczb naturalnych n i 

m wynika, że n/m ∈ K, −n/m ∈ K 

a więc Q ⊂ K 

Liczby zespolone

Ciało 




Wniosek 

Ciało Q jest najmniejszym ciałem liczbowym. 

Liczby zespolone

Ciało 




Wniosek 

Ciało Q jest najmniejszym ciałem liczbowym. 

W szczególności oznacza to, że skończony zbiór liczb nie może być 

ciałem. 

Liczby zespolone

Ciało 




Definicja 

Działaniem w zbiorze K nazywamy funkcję h, która każdej parze 

a, b elementów zbioru K przyporządkowuje pewien element tego 

samego zbioru: h : K × K −→ K. 

Liczby zespolone

Ciało 




Definicja 




Na przykład dodawanie liczb rzeczywistych jest funkcją 

+ : R × R −→ R przyporządkowującą parze liczb x, y ich sumę 

x + y. Znak + jest symbolem tego działania. 

Liczby zespolone

Ciało 




Definicja 




Na przykład dodawanie liczb rzeczywistych jest funkcją 

+ : R × R −→ R przyporządkowującą parze liczb x, y ich sumę 

x + y. Znak + jest symbolem tego działania. 

Niech K będzie zbiorem wektorów na płaszczyźnie. Dla dowolnych 

dwóch wektorów istnieje ich suma: jest to działanie. 

Liczby zespolone

Ciało 




Dodawanie i mnożenie liczb mają własności: 

1. łączność 

Liczby zespolone

Ciało 






2. przemienność 

Liczby zespolone

Ciało 







3. istnieje dla tych działań element neutralny (0 dla dodawania, 

1 dla mnożenia) 

Liczby zespolone

Ciało 







3. istnieje dla tych działań element neutralny (0 dla dodawania, 

1 dla mnożenia) 

4. dla każdej liczby x istnieje element przeciwny −x oraz (dla 

x ≠ 0) element odwrotny x −1 . 

Liczby zespolone

Ciało 




Załóżmy, że mamy zbiór K, w którym są określone dwa działania 

⊕ i ⊙ mające własności: 

Liczby zespolone

Ciało 




1. (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z) (dodawanie jest łączne), 

2. x ⊕ y = y ⊕ x (dodawanie jest przemienne), 

3. 0 ⊕ x = x ⊕ 0 = x (istnieje w K element zerowy 0), 

4. x ⊕ (−x) = 0 (dla każdego elementu x istnieje element 

przeciwny −x), 

Liczby zespolone

Ciało 









5. (x ⊙ y) ⊙ z = x ⊙ (y ⊙ z) (mnożenie jest łączne), 

6. x ⊙ y = y ⊙ x (mnożenie jest przemienne), 

7. 1 ⊙ x = x ⊙ 1 = x (istnieje w K element jednostkowy 1 ≠ 0), 

8. x ⊙ x −1 = x −1 ⊙ x = 1 (dla x ≠ 0 istnieje element odwrotny 

x −1 ), 

Liczby zespolone

Ciało 









5. (x ⊙ y) ⊙ z = x ⊙ (y ⊙ z) (mnożenie jest łączne), 

6. x ⊙ y = y ⊙ x (mnożenie jest przemienne), 

7. 1 ⊙ x = x ⊙ 1 = x (istnieje w K element jednostkowy 1 ≠ 0), 

8. x ⊙ x −1 = x −1 ⊙ x = 1 (dla x ≠ 0 istnieje element odwrotny 

x −1 ), 

9. x ⊙ (y ⊕ z) = x ⊙ y ⊕ x ⊙ z (mnożenie jest rozdzielne 

względem dodawania), 

Liczby zespolone

Ciało 




Definicja 

Niech będzie dany zbiór K, w którym są określone dwa działania ⊕ 

i ⊙ zwane odpowiednio dodawaniem i mnożeniem. Jeżeli dla 

dowolnych x, y, z ∈ K i dla pewnych elementów 0, 1 ∈ K spełnione 

są warunki 1–9 to system (K, ⊕, ⊙) nazywamy ciałem 

(abstrakcyjnym). 

Liczby zespolone

Ciało 




Niech p będzie liczbą pierwszą. Rozpatrzmy zbiór 

Z p = {0, 1, 2, . . . , p − 1} możliwych reszt z dzielenia przez p. 

W tym zbiorze wprowadzimy działania dodawania i mnożenia 

modulo p. 

Liczby zespolone

Ciało 







modulo p. 

a + b = reszta z dzielenia zwykłej sumy przez p, 

Liczby zespolone

Ciało 







modulo p. 


a · b = reszta z dzielenia zwykłego iloczynu przez p. 

Liczby zespolone

Ciało 







modulo p. 



Piszemy a + b = c(mod p), ab = d(mod p). Na przykład: 

Liczby zespolone

Ciało 







modulo p. 




2 + 2 = 1(mod 3), 

Liczby zespolone

Ciało 







modulo p. 




2 + 2 = 1(mod 3), 

3 · 2 = 1(mod 5). 

Liczby zespolone

Ciało 




Tabelki działań dla zbioru Z 2 = {0, 1}: 

+ 0 1 

0 0 1 

1 1 0 

· 0 1 

0 0 0 

1 0 1 

Liczby zespolone

Ciało 




Dla Z 3 = {0, 1, 2}: 

+ 0 1 2 

0 0 1 2 

1 1 2 0 

2 2 0 1 

· 0 1 2 

0 0 0 0 

1 0 1 2 

2 0 2 1 

. 

Liczby zespolone

Ciało 




Tabelki dla Z 4 = {0, 1, 2, 3}: 

+ 0 1 2 3 

0 0 1 2 3 

1 1 2 3 0 

2 2 3 0 1 

3 3 0 1 2 

· 0 1 2 3 

0 0 0 0 0 

1 0 1 2 3 

2 0 2 0 2 

3 0 3 2 1 

. 

Liczby zespolone

Ciało 




Tabelki dla Z 4 = {0, 1, 2, 3}: 

+ 0 1 2 3 

0 0 1 2 3 

1 1 2 3 0 

2 2 3 0 1 

3 3 0 1 2 

· 0 1 2 3 

0 0 0 0 0 

1 0 1 2 3 

2 0 2 0 2 

3 0 3 2 1 

. 

Z 4 nie jest ciałem, 

Liczby zespolone

Ciało 




Tabelki dla Z 4 = {0, 1, 2, 3}: 

+ 0 1 2 3 

0 0 1 2 3 

1 1 2 3 0 

2 2 3 0 1 

3 3 0 1 2 

· 0 1 2 3 

0 0 0 0 0 

1 0 1 2 3 

2 0 2 0 2 

3 0 3 2 1 

. 


bo nie istnieje 2 −1 . 

Liczby zespolone

Ciało 




Tabelki dla Z 4 = {0, 1, 2, 3}: 

+ 0 1 2 3 

0 0 1 2 3 

1 1 2 3 0 

2 2 3 0 1 

3 3 0 1 2 

· 0 1 2 3 

0 0 0 0 0 

1 0 1 2 3 

2 0 2 0 2 

3 0 3 2 1 

. 


bo nie istnieje 2 −1 . 

Założenie, że p jest liczbą pierwszą jest konieczne. 

Liczby zespolone

Ciało 




Wprowadzenie do liczb zespolonych 

Już w XVI wieku okazało się, że zbiór R liczb rzeczywistych jest za 

mały. Mianowicie odkryte wtedy metody rozwiązywania równań 

stopnia 3 (wzory Cardana) wymagają niekiedy obliczenia 

pierwiastka liczby ujemnej. 

Liczby zespolone

Ciało 








pierwiastka liczby ujemnej. Np. równanie 

x 3 = 15x + 4 

Liczby zespolone

Ciało 









x 3 = 15x + 4 

na mocy wzorów Cardano ma rozwiązanie wyrażające się wzorem: 

x = 3 √ 

2 + √ −121 + 3 √2 − √ −121. 

Liczby zespolone

Ciało 









x 3 = 15x + 4 

na mocy wzorów Cardano ma rozwiązanie wyrażające się wzorem: 

x = 3 √ 

2 + √ −121 + 3 √2 − √ −121. 

Skądinąd można zauważyć, że pierwiastkiem tego równania jest 

x = 4; dzieląc następnie x 3 = 15x + 4 przez x − 4, otrzymujemy 

x 2 + 4x + 1 i łatwo obliczymy pozostałe pierwiastki tego równania 

(−2 ± √ 3). 

Liczby zespolone

Ciało 





Tymczasem wzory ogólne wymagają obliczenia pierwiastka z liczby 

ujemnej. Wśród liczb rzeczywistych taki pierwiastek jednak nie 

istnieje. Wyjście z tej sytuacji znaleziono, zakładając istnienie 

takich liczb jak √ −1. Nazwano je liczbami urojonymi, bo trudno 

było uzasadnić ich byt. Stosowano do nich zwykłe prawa algebry. 

Liczby zespolone

Ciało 










Na przykład w powyższym równaniu po oznaczeniu √ −1 = i 

otrzymamy 

√ 

−121 = 

√ 

−1 · 

√ 

121 = 11 i . 

Liczby zespolone

Ciało 











otrzymamy 

√ 

−121 = 

√ 

−1 · 

√ 

121 = 11 i . 

Można także obliczyć, że: 

(2 + i) 3 = 2 + 11 i, (2 − i) 3 = 2 − 11 i, 

Liczby zespolone

Ciało 











otrzymamy 

√ 

−121 = 

√ 

−1 · 

√ 

121 = 11 i . 

Można także obliczyć, że: 

(2 + i) 3 = 2 + 11 i, (2 − i) 3 = 2 − 11 i, 

zatem x = (2 + i) + (2 − i) = 4. 

Liczby zespolone

Ciało 





Mamy pewną analogię. Spostrzeżenie, że równanie x 2 = 2 nie ma 

rozwiązania wymiernego doprowadziło do rozważania nowych liczb, 

które teraz nazywamy niewymiernymi. 

Liczby zespolone

Ciało 








Wprowadzono nowy symbol √ 2 na dodatni pierwiastek równania 

x 2 = 2. Jak już wiemy, zbiór liczb postaci a + b √ 2, gdzie a, b ∈ Q, 

jest ciałem. 

Analogicznie, skoro równanie x 2 = −1 nie ma rozwiązania 

rzeczywistego, to wprowadzamy symbol i na oznaczenie 

pierwiastka równania x 2 = −1. 

Liczby zespolone

Ciało 










jest ciałem. 




Jak się okaże, zbiór liczb(?) postaci a + b i, gdzie a, b ∈ R, jest 

ciałem. 

Liczby zespolone

Ciało 










jest ciałem. 




Jak się okaże, zbiór liczb(?) postaci a + b i, gdzie a, b ∈ R, jest 

ciałem. 

Pozostaje pytanie: czym właściwie jest i? Bo o ile √ 2 jest 

długością (więc liczbą) przekątnej kwadratu, to i nie ma tak prostej 

interpretacji. 

Liczby zespolone

Ciało 




Metoda Hamiltona konstrukcji liczb zespolonych. 

Liczby zespolone

Ciało 





Tworzymy iloczyn kartezjański R × R. Jego elementami są pary 

liczb rzeczywistych. W zbiorze par wprowadzamy działania 

Liczby zespolone

Ciało 







dodawania: 

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 

Liczby zespolone

Ciało 







dodawania: 

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 

i mnożenia 

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc). 

Liczby zespolone

Ciało 







dodawania: 

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 

i mnożenia 

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc). 

Parę z = (a, b) będziemy nazywać liczbą zespoloną, a cały zbiór 

R × R — zbiorem liczb zespolonych. Będziemy go oznaczać literą 

C. 

Liczby zespolone

Ciało 




Para (0, 0) jest elementem zerowym dodawania, 

Liczby zespolone

Ciało 





a para (1, 0) jest elementem jednostkowym mnożenia. 

Liczby zespolone

Ciało 





a para (1, 0) jest elementem jednostkowym mnożenia. 

Elementem przeciwnym do (a, b) jest taka para 

(x, y), że (a + x, b + y) = (0, 0); stąd (x, y) = (−a, −b). 

Liczby zespolone

Ciało 




Czy istnieje element odwrotny do (a, b) ≠ (0, 0)? 

Liczby zespolone

Ciało 





Załóżmy, że z = (a, b) jest niezerową liczbą zespoloną, tj. 

a 2 + b 2 > 0, oraz że 

(a, b) · (x, y) = (1, 0). 

Liczby zespolone

Ciało 






a 2 + b 2 > 0, oraz że 

(a, b) · (x, y) = (1, 0). 

Wtedy, zgodnie z definicją mnożenia, musi być: 

ax − by = 1, ay + bx = 0. 

Liczby zespolone

Ciało 






a 2 + b 2 > 0, oraz że 

(a, b) · (x, y) = (1, 0). 


ax − by = 1, ay + bx = 0. 

Rozwiązaniem tego układu jest para liczb 

x = 

a 

a 2 + b 2 , y = −b 

a 2 + b 2 , 

Liczby zespolone

Ciało 






a 2 + b 2 > 0, oraz że 

(a, b) · (x, y) = (1, 0). 


ax − by = 1, ay + bx = 0. 

Rozwiązaniem tego układu jest para liczb 

x = 

a więc liczba zespolona 

( 

jest odwrotnością liczby z. 

a 

a 2 + b 2 , y = −b 

a 2 + b 2 , 

a 

a 2 + b 2 , 

) 

−b 

a 2 + b 2 

Liczby zespolone

Ciało 




W jakim sensie zbiór C zawiera zbiór R? 

Liczby zespolone

Ciało 





Ponieważ zachodzą równości: 

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) 

(a, 0) · (b, 0) = (ab, 0), 

więc parę (a, 0) można utożsamić z liczbą a. 

Liczby zespolone

Ciało 





Ponieważ zachodzą równości: 

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) 

(a, 0) · (b, 0) = (ab, 0), 

więc parę (a, 0) można utożsamić z liczbą a. 

Zbiór wszystkich takich par można utożsamić ze zbiorem liczb 

rzeczywistych. 

Liczby zespolone

Ciało 




Jeśli wprowadzimy oznaczenie 

i = (0, 1), 

to liczba zespolona (a, b) daje się przedstawić za pomocą liczby i 

oraz liczb rzeczywistych a, b. 

Liczby zespolone

Ciało 




Jeśli wprowadzimy oznaczenie 

i = (0, 1), 

to liczba zespolona (a, b) daje się przedstawić za pomocą liczby i 

oraz liczb rzeczywistych a, b. 

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + b i, 

gdzie zamiast (a, 0), (b, 0) napisaliśmy a, b. 

Liczby zespolone

Ciało 




Zauważmy, że 

i 2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1. 

Liczby zespolone

Ciało 




Zauważmy, że 

i 2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1. 

Liczby zespolone będziemy zapisywać w postaci a + b i. Zapis ten 

pozwala przy działaniach arytmetycznych operować liczbami a + b i 

jak wielomianami, przy czym należy zastępować i 2 przez −1. 

Liczby zespolone

Ciało 




Przykłady: 

(1+2 i)(2−3 i) = 1·2−1·3 i +2 i ·2−2 i ·3 i = 2−3 i +4 i −6 i 2 = 8+i . 

Liczby zespolone

Ciało 




Przykłady: 

(1+2 i)(2−3 i) = 1·2−1·3 i +2 i ·2−2 i ·3 i = 2−3 i +4 i −6 i 2 = 8+i . 

1 + 2 i (1 + 2 i)(2 + 3 i) 2 + 3 i +4 i +6 i2 

= = 

2 − 3 i (2 − 3 i)(2 + 3 i) 4 − 9 i 2 = −4 + 7 i 

13 

Liczby zespolone

Ciało 




W prostokątnym układzie współrzędnych liczbę zespoloną 

z = a + b i można interpretować jako punkt o odciętej a i rzędnej b. 

Liczby zespolone

Ciało 




W prostokątnym układzie współrzędnych liczbę zespoloną 

z = a + b i można interpretować jako punkt o odciętej a i rzędnej b. 

Punkty rzeczywiste, tj. takie punkty z = a + b i, dla których b = 0, 

wypełniają oś układu zwaną osią rzeczywistą, zaś punkty, dla 

których a = 0, wypełniają drugą oś, zwaną osią urojoną. 

Liczby zespolone

Ciało 




Niech z = a + b i. Przyjmiemy oznaczenie 

a − b i = z. 

Liczbę z nazywamy sprzężoną z liczbą z. 

Liczby zespolone

Ciało 





a − b i = z. 


Np. 2 − 5 i = 2 + 5 i. 

Liczby zespolone

Ciało 





a − b i = z. 


Np. 2 − 5 i = 2 + 5 i. 

Wzory: 

z 1 + z 2 = ¯z 1 + ¯z 2 , z 1 − z 2 = ¯z 1 − ¯z 2 , 

( ) z1 

z 1 z 2 = ¯z 1¯z 2 , = ¯z 1 

. 

z 2 ¯z 2 

Liczby zespolone

Ciało 





a − b i = z. 


Np. 2 − 5 i = 2 + 5 i. 

Wzory: 

z 1 + z 2 = ¯z 1 + ¯z 2 , z 1 − z 2 = ¯z 1 − ¯z 2 , 

( ) z1 

z 1 z 2 = ¯z 1¯z 2 , = ¯z 1 

. 

z 2 ¯z 2 

A także dla z = a + b i: 

z¯z = (a + b i)(a − b i) = a 2 − b 2 i 2 = a 2 + b 2 = |z| 2 . 

Symbol |z| = √ a 2 + b 2 oznacza wartość bezwzględną – więcej za 

chwilę. 

Liczby zespolone

Ciało 




Niech z = a + b i. Wprowadzamy oznaczenia 

Re z = a, Im z = b. 

Liczby Re z i Im z nazywamy odpowiednio częścią rzeczywistą i 

częścią urojoną liczby z. 

Liczby zespolone

Ciało 








Np. Re(2 + 7 i) = 2, 

Liczby zespolone

Ciało 








Np. Re(2 + 7 i) = 2, 

Im(2 + 7 i) = 7 

Liczby zespolone

Ciało 




Czasem wygodniej jest traktować liczbę z = a + b i jako wektor 

zaczepiony w początku układu współrzędnych i końcu (a, b). 

Wtedy dodawanie liczb zespolonych jest (geometrycznie) 

dodawaniem wektorów. 

Liczby zespolone

Ciało 




Suma liczb zespolonych 

Liczby zespolone

Ciało 




Jeśli z jest wektorem, to ma długość, kierunek i zwrot. 

Liczby zespolone

Ciało 





Długość wynosi √ a 2 + b 2 . Nazywamy ją modułem bądź 

wartością bezwzględną liczby zespolonej z i oznaczamy |z|. 

Liczby zespolone

Ciało 







Przykładowo: 

|1 + 2 i | = √ 1 + 4 = √ 5, |3 − 4 i | = √ 9 + 16 = 5. 

Liczby zespolone

Ciało 







Przykładowo: 

|1 + 2 i | = √ 1 + 4 = √ 5, |3 − 4 i | = √ 9 + 16 = 5. 

Zauważmy, że równość |z| = 1 jest spełniona przez te punkty 

płaszczyzny, które leżą na okręgu o środku w początku układu i 

promieniu 1. 

Liczby zespolone

Ciało 







Przykładowo: 

|1 + 2 i | = √ 1 + 4 = √ 5, |3 − 4 i | = √ 9 + 16 = 5. 

Zauważmy, że równość |z| = 1 jest spełniona przez te punkty 

płaszczyzny, które leżą na okręgu o środku w początku układu i 

promieniu 1. 

Nierówność |z| < 1 charakteryzuje punkty wewnątrz tego okręgu. 

Liczby zespolone

Ciało 




Argument liczby zespolonej 

Kierunek i zwrot wektora z = a + b i można określić, podając 

miarę ϕ kąta skierowanego, którego pierwszym ramieniem jest 

półoś rzeczywista dodatnia, a drugim ramieniem — wektor z. Tę 

miarę nazwiemy argumentem liczby z. 

Liczby zespolone

Ciało 









Argument jest wieloznaczny: 

ϕ = ϕ 0 + 2kπ, gdzie: 0 ϕ 0 < 2π, k ∈ Z. 

ϕ 0 nazywamy argumentem głównym. 

Liczby zespolone

Ciało 












Oznaczamy: 

ϕ 0 = arg z, ϕ = Arg z. 

Liczby zespolone

Ciało 












Oznaczamy: 


arg i = 1 2 π, 

Liczby zespolone

Ciało 












Oznaczamy: 


arg i = 1 2 π, Arg i = 1 2 π + 2kπ, 

Liczby zespolone

Ciało 












Oznaczamy: 


arg i = 1 2 π, Arg i = 1 2π + 2kπ, arg 1 = 0, 

Liczby zespolone

Ciało 












Oznaczamy: 


arg i = 1 2 π, Arg i = 1 2π + 2kπ, arg 1 = 0, Arg 1 = 2kπ. 

Liczby zespolone

Ciało 




cos ϕ = 

a 

√ 

a 2 + b 2 , 

sin ϕ = 

b 

√ 

a 2 + b 2 . 

Moduł i argument liczby zespolonej 

Liczby zespolone

Ciało 




Postać trygonometryczna liczby zespolonej 

W takim razie 

z = a + b i = |z| 

( ) a 

|z| + i b 

= |z|(cos ϕ + i sin ϕ). 

|z| 

Liczby zespolone

Ciało 




Postać trygonometryczna liczby zespolonej 

W takim razie 

z = a + b i = |z| 

( ) a 

|z| + i b 

= |z|(cos ϕ + i sin ϕ). 

|z| 

Twierdzenie 

Każda liczba zespolona daje się przedstawić w postaci 

z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ), 

zwanej postacią trygonometryczną liczby z. 

Liczby zespolone

Ciało 




1 = 1 · (cos 0 + i sin 0), 

Liczby zespolone

Ciało 




1 = 1 · (cos 0 + i sin 0), 

i = 1 · (cos π 2 + i sin π 2 ), 

Liczby zespolone

Ciało 




1 = 1 · (cos 0 + i sin 0), 

i = 1 · (cos π 2 + i sin π 2 ), 

1 + i = √ 2 · (cos π 4 + i sin π 4 ). 

Liczby zespolone

Ciało 




Przykład Znaleźć postać trygonometryczną liczby z = √ 3 − i. 

Liczby zespolone

Ciało 





|z| = 

√ 

( √ 3) 2 + (−1) 2 = 2, 

Liczby zespolone

Ciało 





|z| = 

√ 

( √ 3) 2 + (−1) 2 = 2, 

cos ϕ = 

√ 

3 

2 , 

Liczby zespolone

Ciało 





|z| = 

√ 

( √ 3) 2 + (−1) 2 = 2, 

cos ϕ = 

√ 

3 

2 , 

sin ϕ = −1 

2 , 

Liczby zespolone

Ciało 





|z| = 

√ 

( √ 3) 2 + (−1) 2 = 2, 

cos ϕ = 

√ 

3 

2 , 

więc ϕ = 11 6 π oraz 

sin ϕ = −1 

2 , 

Liczby zespolone

Ciało 





|z| = 

√ 

( √ 3) 2 + (−1) 2 = 2, 

cos ϕ = 

√ 

3 

2 , 

sin ϕ = −1 

2 , 

więc ϕ = 11 6 π oraz z = 2(cos 11 11 

π + i sin 

6 6 π). 

Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 

Dla dowolnych liczb zespolonych z 1 i z 2 : 

Arg z 1 z 2 = Arg z 1 + Arg z 2 . (1) 

Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 



Np. jeśli z 1 = 3((cos π 4 + i sin π 4 ), z 2 = 2(cos 11 6 π + i sin 11 6 

π), to 

Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 




π), to 

z 1 z 2 = 3 · 2(cos( π 4 + 11 

6 π) + i sin(π 4 + 11 

6 π)) = 

Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 




π), to 

z 1 z 2 = 3 · 2(cos( π 4 + 11 

6 π) + i sin(π 4 + 11 

6 π)) = 

6(cos 25 

12 

π + i sin 

25 

12 π) = Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 




π), to 

z 1 z 2 = 3 · 2(cos( π 4 + 11 

6 π) + i sin(π 4 + 11 

6 π)) = 

6(cos 25 25 

π + i sin 

12 12 π) = 6(cos π 12 + i sin π 12 ). 

Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 

Dla dowolnych liczb zespolonych z 1 i z 2 , (z 2 ≠ 0): 

Arg z 1 

z 2 

= Arg z 1 − Arg z 2 . (2) 

Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 


Arg z 1 

z 2 

= Arg z 1 − Arg z 2 . (2) 


π), to 

Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 


Arg z 1 

z 2 

= Arg z 1 − Arg z 2 . (2) 


π), to 

z 1 

= 3 ( 

cos( π z 2 2 4 − 11 ) 

6 π) + i sin(π 4 − +11 6 π) = 

Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 


Arg z 1 

z 2 

= Arg z 1 − Arg z 2 . (2) 


π), to 

3 

2 

z 1 

= 3 z 2 2 

( 

cos ( − 19 

12 π) + i sin ( − 19 

12 π)) = 

( 

cos( π 4 − 11 ) 

6 π) + i sin(π 4 − +11 6 π) = 

Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 


Arg z 1 

z 2 

= Arg z 1 − Arg z 2 . (2) 


π), to 

3 

2 

z 1 

= 3 ( 

cos( π z 2 2 4 − 11 ) 

6 π) + i sin(π 4 − +11 6 π) = 

( 

cos 5π 5π ) 

+ i sin . 

12 12 

( 

cos ( − 19 

12 π) + i sin ( − 19 

12 π)) = 3 2 

Liczby zespolone

Ciało 




Wzór de Moivre’a 

Twierdzenie 

Dla każdej liczby zespolonej z i każdego całkowitego n: 

Arg z n = n · Arg z. (3) 

Liczby zespolone

Ciało 





Twierdzenie 

Dla każdej liczby zespolonej z i każdego całkowitego n: 

Równoważnie można to zapisać następująco. 

Wzór de Moivre’a: 

Arg z n = n · Arg z. (3) 

(cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ. (4) 

Liczby zespolone

Ciało 





(√ √ ) 26 

2 2 

2 + i = 

2 

Liczby zespolone

Ciało 





(√ √ ) 26 

2 2 

2 + i = 

2 

( 

cos π 4 + i sin π 4 

) 26 

= 

Liczby zespolone

Ciało 





(√ √ ) 26 

2 2 

2 + i = 

2 

( 


) 26 

= 

= cos 26π 

4 

+ i sin 

26π 

4 = 

Liczby zespolone

Ciało 





(√ √ ) 26 

2 2 

2 + i = 

2 

( 


) 26 

= 

= cos 26π 26π 

+ i sin 

4 4 = 

( 

= cos 6π + 2π ) ( 

+ i sin 6π + 2π 4 

4 

) 

= 

Liczby zespolone

Ciało 





(√ √ ) 26 

2 2 

2 + i = 

2 

( 


) 26 

= 

= cos 26π 26π 

+ i sin 

4 4 = 

( 

= cos 6π + 2π ) ( 

+ i sin 6π + 2π 4 

4 

= cos π 2 + i sin π 2 = 

) 

= 

Liczby zespolone

Ciało 





(√ √ ) 26 

2 2 

2 + i = 

2 

( 


) 26 

= 

= cos 26π 26π 

+ i sin 

4 4 = 

( 

= cos 6π + 2π ) ( 

+ i sin 6π + 2π 4 

4 

= cos π 2 + i sin π 2 = i, 

) 

= 

Liczby zespolone

Ciało 





(√ √ ) 26 

2 2 

2 + i = 

2 

( 


) 26 

= 

= cos 26π 26π 

+ i sin 

4 4 = 

( 

= cos 6π + 2π ) ( 

+ i sin 6π + 2π 4 

4 

= cos π 2 + i sin π 2 = i, 

) 

= 

( √ ) −3 

−1 3 

2 + i = 

2 

( 

cos 2π 3 + i sin 2π 3 

) −3 

= 

= cos (−2π) + i sin (−2π) = 

= cos 0 + i sin 0 = 1. 

Liczby zespolone

Ciało 





Dowód. Dla n naturalnego wzór (3) otrzymamy po wielokrotnym 

zastosowaniu wzoru (1). 

Gdy n = 0, to prawdziwość wzoru wynika z równości Arg 1 = 2kπ. 

Natomiast, gdy n = −k, gdzie k ∈ N, to 

Arg z n = Arg z −k = Arg 1 

z k = Arg 1 − Arg zk = 

= −k Arg z = n Arg z. 

Liczby zespolone

Ciało 




Symbol e i ϕ 

Określamy: 

e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ. 

Liczby zespolone

Ciało 




Symbol e i ϕ 

Określamy: 


Ten symbol można traktować jako potęgę liczby e. 

Liczby zespolone

Ciało 




Symbol e i ϕ 

Określamy: 



Własności symbolu e i ϕ . 

1 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) = e i ϕ1 · e i ϕ 2 

; 

Liczby zespolone

Ciało 




Symbol e i ϕ 

Określamy: 




1 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) = e i ϕ1 · e i ϕ 2 

; 

2 e i(ϕ 1−ϕ 2 ) = ei ϕ 1 

e i ϕ 2 ; 

Liczby zespolone

Ciało 




Symbol e i ϕ 

Określamy: 




1 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) = e i ϕ1 · e i ϕ 2 

; 

2 e i(ϕ 1−ϕ 2 ) = ei ϕ 1 

e i ϕ 2 ; 

3 (e i ϕ ) k = e i kϕ ; 

Liczby zespolone

Ciało 




Symbol e i ϕ 

Określamy: 




1 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) = e i ϕ1 · e i ϕ 2 

; 

2 e i(ϕ 1−ϕ 2 ) = ei ϕ 1 

e i ϕ 2 ; 

3 (e i ϕ ) k = e i kϕ ; 

4 e i(ϕ+2kπ) = e i ϕ ; 

Liczby zespolone

Ciało 




Symbol e i ϕ 

Określamy: 




1 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) = e i ϕ1 · e i ϕ 2 

; 

2 e i(ϕ 1−ϕ 2 ) = ei ϕ 1 

e i ϕ 2 ; 

3 (e i ϕ ) k = e i kϕ ; 

4 e i(ϕ+2kπ) = e i ϕ ; 

5 e i ϕ ≠ 0; 

Liczby zespolone

Ciało 




Symbol e i ϕ 

Określamy: 




1 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) = e i ϕ1 · e i ϕ 2 

; 

2 e i(ϕ 1−ϕ 2 ) = ei ϕ 1 

e i ϕ 2 ; 

3 (e i ϕ ) k = e i kϕ ; 

4 e i(ϕ+2kπ) = e i ϕ ; 

5 e i ϕ ≠ 0; 

6 |e i ϕ | = 1; 

Liczby zespolone

Ciało 




Symbol e i ϕ 

Określamy: 




1 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) = e i ϕ1 · e i ϕ 2 

; 

2 e i(ϕ 1−ϕ 2 ) = ei ϕ 1 

e i ϕ 2 ; 

3 (e i ϕ ) k = e i kϕ ; 

4 e i(ϕ+2kπ) = e i ϕ ; 

5 e i ϕ ≠ 0; 

6 |e i ϕ | = 1; 

7 e i ϕ 1 

= e i ϕ 2 

⇔ ϕ 1 = ϕ 2 + 2kπ; 

Liczby zespolone

Ciało 




Symbol e i ϕ 

Przykłady Obliczyć e i π 2 , e 2π i , e i . 

Liczby zespolone

Ciało 




Symbol e i ϕ 


e i π 2 

= cos 

π 

2 + i sin π 2 = i, 

Liczby zespolone

Ciało 




Symbol e i ϕ 


e i π 2 

= cos 

π 

2 + i sin π 2 = i, 

e 2π i = cos 2π + i sin 2π = 1, 

Liczby zespolone

Ciało 




Symbol e i ϕ 


e i π 2 

= cos 

π 

2 + i sin π 2 = i, 

e 2π i = cos 2π + i sin 2π = 1, 

e i = cos 1 + i sin 1. 

Liczby zespolone

Ciało 




Wzory Eulera 

Ponieważ 

e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ, 

Liczby zespolone

Ciało 




Wzory Eulera 

Ponieważ 


e − i ϕ = cos ϕ − i sin ϕ, 

Liczby zespolone

Ciało 




Wzory Eulera 

Ponieważ 



więc 

cos ϕ = ei ϕ + e − i ϕ 

, sin ϕ = ei ϕ − e − i ϕ 

2 

2 i 

Liczby zespolone

Ciało 




Wzory Eulera 

Ponieważ 


więc 


cos ϕ = ei ϕ + e − i ϕ 

, sin ϕ = ei ϕ − e − i ϕ 

2 

2 i 

Powyższe tożsamości nazywamy wzorami Eulera. 

Liczby zespolone

Ciało 




Postać wykładnicza liczby 

Liczbę zespoloną z można więc zapisać w postaci: 

z = |z|e i ϕ 

którą nazywamy postacią wykładniczą liczby z. 

Liczby zespolone

Ciało 






z = |z|e i ϕ 


Np. 

3(cos π 4 + i sin π 4 ) = 3ei π 4 

Liczby zespolone

Ciało 






z = |z|e i ϕ 


Np. 

3(cos π 4 + i sin π 4 ) = 3ei π 4 

2(cos 11 6 π + i sin 11 6 

π) = 2ei 

11π 

6 . 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki 

Definicja 

Pierwiastkiem stopnia n z liczby z nazywamy taką liczbę w, że 

w n = z. 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki 

Definicja 

Pierwiastkiem stopnia n z liczby z nazywamy taką liczbę w, że 

w n = z. 

Twierdzenie 

Każda liczba zespolona z = a + b i ≠ 0 ma dwa różne pierwiastki 

drugiego stopnia, określone wzorami: 

⎧⎪ ± √ a dla b = 0, a 0, 

√ ⎨ 

z = 

± √ −a i dla b = 0, a < 0, 

(√ √ ) 

⎪ ⎩ ± a+|z| 

2 

+ i ·sgn b −a+|z| 

2 

dla b ≠ 0. 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki 

Przykład 

⎛√ 

√ 3 + 5 

3 − 4 i = ± ⎝ 

2 

+ i(−1) 

√ 

⎞ 

−3 + 5 

⎠ = ±(2 − i). 

2 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki 

Twierdzenie 

Liczba z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) ≠ 0 ma dokładnie n różnych 

pierwiastków n-tego stopnia. Określone są one wzorem: 

( 

w k = 

√|z| 

n cos ϕ + 2kπ 

n 

k = 0, 1, . . . , n − 1. 

+ i sin ϕ + 2kπ ) 

, 

n 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki 

Obliczymy 3√ i: 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki 


i = cos π 2 + i sin π 2 , 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki 


i = cos π 2 + i sin π 2 , 

zatem 

w 0 = cos π 6 + i sin π 6 = 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki 


i = cos π 2 + i sin π 2 , 

zatem 

w 0 = cos π 6 + i sin π 6 = √ 

3 

2 + 1 2 i, 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki 


zatem 

( π 

w 1 = cos 

6 + 2π 3 

i = cos π 2 + i sin π 2 , 

w 0 = cos π 6 + i sin π 6 = √ 

3 

2 + 1 2 i, 

) ( π 

+ i sin 

6 + 2π 3 

) 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki 


zatem 

( π 

w 1 = cos 

6 + 2π 3 

i = cos π 2 + i sin π 2 , 

w 0 = cos π 6 + i sin π 6 = √ 

3 

2 + 1 2 i, 

) ( π 

+ i sin 

6 + 2π 3 

) 

= − 

√ 

3 

2 + 1 2 i, 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki 


zatem 

( π 

w 1 = cos 

6 + 2π 3 

i = cos π 2 + i sin π 2 , 

w 0 = cos π 6 + i sin π 6 = √ 

3 

2 + 1 2 i, 

( π 

w 2 = cos 

6 + 4π 3 

) ( π 

+ i sin 

6 + 2π 3 

) ( π 

+ i sin 

6 + 4π 3 

) 

= − 

) 

= 

√ 

3 

2 + 1 2 i, 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki 


zatem 

( π 

w 1 = cos 

6 + 2π 3 

i = cos π 2 + i sin π 2 , 

w 0 = cos π 6 + i sin π 6 = √ 

3 

2 + 1 2 i, 

( π 

w 2 = cos 

6 + 4π 3 

) ( π 

+ i sin 

6 + 2π 3 

) ( π 

+ i sin 

6 + 4π 3 

) 

= − 

√ 

3 

2 + 1 2 i, 

) 

= − i . 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki 

Pierwiastki stopnia n z liczby z są wierzchołkami n-kąta foremnego 

wpisanego w okrąg o promieniu n√ |z|. Na przykład pierwiastki 

stopnia 6 z 64, określone wzorem 

( 

w k = 2 cos 2πk 2πk ) 

+ i sin , k = 0, 1, . . . , 5 

6 6 

są wierzchołkami sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o 

promieniu 2. 

Liczby zespolone

Ciało 




Równania algebraiczne 

Równanie algebraiczne drugiego stopnia: 

az 2 + bz + c = 0 

o współczynnikach zespolonych rozwiązujemy w zwykły sposób, 

tzn. obliczamy wyróżnik ∆ = b 2 − 4ac i stosujemy wzory: 

z 1,2 = −b ± √ ∆ 

. 

2a 

Liczby zespolone

Ciało 





Równanie algebraiczne drugiego stopnia: 

az 2 + bz + c = 0 

o współczynnikach zespolonych rozwiązujemy w zwykły sposób, 

tzn. obliczamy wyróżnik ∆ = b 2 − 4ac i stosujemy wzory: 

z 1,2 = −b ± √ ∆ 

. 

2a 

Zauważmy, że w tym przypadku (w przeciwieństwie do przypadku 

liczb rzeczywistych) zawsze istnieje √ ∆. W istocie są dwa 

pierwiastki różniące się znakiem. Do powyższych wzorów wystarczy 

podstawiać dowolny z nich (ten drugi da te same wartości z 1,2 ). 

Liczby zespolone

Ciało 





Przykłady 

1. Rozwiązać równanie 

z 2 − 4z + 5 = 0. 

Liczby zespolone

Ciało 





Przykłady 


Obliczamy ∆ = −4, 

z 2 − 4z + 5 = 0. 

Liczby zespolone

Ciało 





Przykłady 


Obliczamy ∆ = −4, √ ∆ = ±2 i, 

z 2 − 4z + 5 = 0. 

Liczby zespolone

Ciało 





Przykłady 


Obliczamy ∆ = −4, √ ∆ = ±2 i, 

z 2 − 4z + 5 = 0. 

z 1 = 4 + 2 i 

2 

= 2 + i, 

Liczby zespolone

Ciało 





Przykłady 


Obliczamy ∆ = −4, √ ∆ = ±2 i, 

z 2 − 4z + 5 = 0. 

z 1 = 4 + 2 i 

2 

= 2 + i, z 2 = 4 − 2 i 

2 

= 2 − i . 

Liczby zespolone

Ciało 





Przykłady 


Obliczamy ∆ = −4, √ ∆ = ±2 i, 

z 2 − 4z + 5 = 0. 

z 1 = 4 + 2 i 

2 

= 2 + i, z 2 = 4 − 2 i 

2 

= 2 − i . 

To równanie miało współczynniki rzeczywiste i jego pierwiastki są 

liczbami sprzężonymi. 

Liczby zespolone

Ciało 






z 2 + (−1 + i)z + (2 + i) = 0. 

Liczby zespolone

Ciało 






Obliczamy ∆ = −8 − 6 i, 

z 2 + (−1 + i)z + (2 + i) = 0. 

Liczby zespolone

Ciało 






z 2 + (−1 + i)z + (2 + i) = 0. 

Obliczamy ∆ = −8 − 6 i, √ ∆ = ±(1 − 3 i), 

Liczby zespolone

Ciało 






z 2 + (−1 + i)z + (2 + i) = 0. 

Obliczamy ∆ = −8 − 6 i, √ ∆ = ±(1 − 3 i),więc 

z 1 = 1 − i +1 − 3 i 

2 

= 1 − 2 i, z 2 = 1 − i −1 + 3 i 

2 

= i . 

Liczby zespolone

Ciało 






z 2 + (−1 + i)z + (2 + i) = 0. 


z 1 = 1 − i +1 − 3 i 

2 

= 1 − 2 i, z 2 = 1 − i −1 + 3 i 

2 

W ogólnym przypadku pierwiastki nie są sprzężone. 

= i . 

Liczby zespolone

Ciało 






z 2 + (−1 + i)z + (2 + i) = 0. 


z 1 = 1 − i +1 − 3 i 

2 

= 1 − 2 i, z 2 = 1 − i −1 + 3 i 

2 

= i . 

W ogólnym przypadku pierwiastki nie są sprzężone. 

Tak więc równanie algebraiczne drugiego stopnia ma dokładnie 

dwa pierwiastki, jeśli przyjmiemy, że pierwiastek podwójny 

(występujący, gdy ∆ = 0) liczymy dwa razy. 

Liczby zespolone

Ciało 





Rozważmy teraz równanie postaci: 

a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 = 0, 

gdzie a k ∈ C dla k = 0, 1, . . . , n i a n ≠ 0. Takie równanie 

nazywamy równaniem algebraicznym stopnia n. 

Liczby zespolone

Ciało 






a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 = 0, 



Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie algebry) 

Algebraiczne równanie stopnia n o współczynnikach zespolonych 

ma w ciele liczb zespolonych dokładnie n pierwiastków (każdy 

pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność). 

Liczby zespolone

Ciało 






a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 = 0, 







Trudny dowód tego twierdzenia pominiemy. Zauważymy dla 

przykładu, że rozwiązaniami równania 

z n − 1 = 0 

Liczby zespolone

Ciało 






a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 = 0, 







Trudny dowód tego twierdzenia pominiemy. Zauważymy dla 

przykładu, że rozwiązaniami równania 

z n − 1 = 0 

są pierwiastki stopnia n z liczby 1. 

Liczby zespolone

Ciało 




Wielomiany 

Definicja 

Wielomian o współczynnikach z ciała K to funkcja f : K −→ K 

postaci: 

f (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0 , 

gdzie a k ∈ K dla k = 0, 1, . . . , n. 

Liczby zespolone

Ciało 




Wielomiany 

Definicja 


postaci: 



Element a n c n + · · · + a 1 c + a 0 nazywać będziemy wartością 

wielomianu w punkcie c ∈ K. 

Liczby zespolone

Ciało 




Wielomiany 

Definicja 


postaci: 



Element a n c n + · · · + a 1 c + a 0 nazywać będziemy wartością 

wielomianu w punkcie c ∈ K. 

Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z 

K oznaczamy przez K[x]. 

Liczby zespolone

Ciało 




Wielomiany 

Stopień wielomianu f , tzn. największą z liczb n, dla których a n ≠ 0, 

będziemy oznaczali przez deg f . Przyjmujemy, że deg 0 = −∞. 

Liczby zespolone

Ciało 




Wielomiany 



Łatwo zauważyć, że 

deg(f + g) max(deg f , deg g), 

Liczby zespolone

Ciało 




Wielomiany 



Łatwo zauważyć, że 

deg(f + g) max(deg f , deg g), 

deg(fg) = deg f + deg g. 

Liczby zespolone

Ciało 




Dzielenie wielomianów 

Definicja 

Niech f , g ∈ K[x]. Mówimy, że w K[x] jest wykonalne dzielenie 

z resztą wielomianu g przez wielomian f , gdy istnieją takie 

wielomiany q, r ∈ K[x], że g = fq + r, przy czym deg r < deg f . 

Liczby zespolone

Ciało 





Definicja 




Dla dowolnego ciała K w K[x] jest wykonalne dzielenie z resztą g 

przez f . 

Liczby zespolone

Ciało 





Definicja 




Dla dowolnego ciała K w K[x] jest wykonalne dzielenie z resztą g 

przez f . 

Przykład Obliczyć ilorazy i reszty z dzielenia: 

1. (x 4 + 4x 3 + x 2 + ax + 1) : (x 2 + x − 1) 

2. (3x 5 − x 4 + x 3 + 7x 2 − 6x + 8) : (x 3 − x + 2) 

3. (2x 3 − x 2 + 2x − 3) : (x − 1) 

4. (i z 3 + 2z − 1 + 3 i) : (z − 2 i) 

Liczby zespolone

Ciało 




Dzielenie wielomianu przez dwumian 

Twierdzenie (twierdzenie Bézout) 

Reszta z dzielenia f (x) przez x − x 0 wynosi f (x 0 ). 

Liczby zespolone

Ciało 







D o w ó d. 

Dzieląc f (x) przez x − x 0 otrzymamy iloraz q(x) i resztę r. Zatem 

f (x) = q(x)(x − x 0 ) + r. 

Liczby zespolone

Ciało 







D o w ó d. 


Podstawiając x = x 0 mamy 

f (x) = q(x)(x − x 0 ) + r. 

f (x 0 ) = q(x 0 )(x 0 − x 0 ) + r = r. 

□ 

Liczby zespolone

Ciało 







D o w ó d. 



f (x) = q(x)(x − x 0 ) + r. 

f (x 0 ) = q(x 0 )(x 0 − x 0 ) + r = r. 

□ 

Np. dzieląc f (x) = x 5 + 4x 4 + 3x 3 − 2x + 1 przez x − 3 

otrzymujemy q(x) = x 4 + 7x 3 + 24x 2 + 72x + 214 i resztę 643. 

Liczby zespolone

Ciało 







D o w ó d. 



f (x) = q(x)(x − x 0 ) + r. 

f (x 0 ) = q(x 0 )(x 0 − x 0 ) + r = r. 

□ 

Np. dzieląc f (x) = x 5 + 4x 4 + 3x 3 − 2x + 1 przez x − 3 

otrzymujemy q(x) = x 4 + 7x 3 + 24x 2 + 72x + 214 i resztę 643. 

Zatem f (3) = 643. 

Liczby zespolone

Ciało 




Pierwiastki wielomianów 

Definicja 

Element c ∈ K jest pierwiastkiem wielomianu f ∈ K[x], jeśli 

f (c) = 0. 

Liczby zespolone

Ciało 





Definicja 


f (c) = 0. 

Twierdzenie 

Element c ∈ K jest pierwiastkiem wielomianu f ∈ K[x] wtedy i 

tylko wtedy, gdy f jest podzielny przez (x − c). 

Liczby zespolone

Ciało 





Definicja 


f (c) = 0. 

Twierdzenie 



D o w ó d. (⇒) Na mocy twierdzenia o dzieleniu z resztą 

f (x) = (x − c)q(x) + r(x), deg r < 1, czyli r jest stałą. 

Liczby zespolone

Ciało 





Definicja 


f (c) = 0. 

Twierdzenie 





Ponieważ f (c) = 0, więc 0 = f (c) = (c − c)q(c) + r. 

Liczby zespolone

Ciało 





Definicja 


f (c) = 0. 

Twierdzenie 





Ponieważ f (c) = 0, więc 0 = f (c) = (c − c)q(c) + r.Stąd r = 0. 

Liczby zespolone

Ciało 





Definicja 


f (c) = 0. 

Twierdzenie 





Ponieważ f (c) = 0, więc 0 = f (c) = (c − c)q(c) + r.Stąd r = 0. 

(⇐) Odwrotnie, jeśli f = (x − c)q, to f (c) = (c − c)q(c) = 0, co 

kończy dowód twierdzenia. 

Liczby zespolone

Ciało 




Definicja 

Jeżeli f (x) = (x − c) k q(x), gdzie q(c) ≠ 0, to c nazywamy 

k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f . Elementy ciała K nie 

będące pierwiastkami wielomianu f nazywamy 0-krotnymi 

pierwiastkami wielomianu. 

Liczby zespolone

Ciało 




Definicja 

Jeżeli f (x) = (x − c) k q(x), gdzie q(c) ≠ 0, to c nazywamy 

k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f . Elementy ciała K nie 

będące pierwiastkami wielomianu f nazywamy 0-krotnymi 

pierwiastkami wielomianu. 

Przykład Każdy pierwiastek niezerowego wielomianu ma jakąś 

krotność nie większą niż deg f , gdyż wielomian stopnia n nie może 

być podzielny przez (x − c) k dla k > n. 

Liczby zespolone

Ciało 




Twierdzenie 

Niech f ∈ K[x], f ≠ 0, i niech c 1 , c 2 , . . . , c n będą różnymi 

pierwiastkami wielomianu f o krotnościach m 1 , m 2 , . . . , m n . 

Wielomian f można przedstawić w postaci 

f = (x − c 1 ) m 1 

(x − c 2 ) m2 · · · (x − c n ) mn · h, (5) 

gdzie h jest pewnym wielomianem. 

Liczby zespolone

Ciało 




Wzory Viete’a 

Twierdzenie (wzory Viete’a) 

Jeżeli c 1 , c 2 , . . . , c n są różnymi pierwiastkami wielomianu 

f (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0 , to 

Liczby zespolone

Ciało 








n∑ 

k=1 

c k = − a n−1 

a n 

, 

Liczby zespolone

Ciało 








n∑ 

k=1 

n∑ 

i,j=1,i≠j 

c k = − a n−1 

a n 

, 

c i c j = a n−2 

a n 

, 

Liczby zespolone

Ciało 








n∑ 

k=1 

n∑ 

i,j=1,i≠j 

n∏ 

k=1 

c k = − a n−1 

a n 

, 

c i c j = a n−2 

a n 

, 

. . . 

c k = (−1) n a 0 

a n 

. 

Liczby zespolone

Ciało 





D o w ó d. Ponieważ f można zapisać w postaci 

f = a n (x − c 1 )(x − c 2 ) · · · (x − c n ), to po wymnożeniu mamy: 

a n x n +a n−1 x n−1 +· · ·+a 1 x+a 0 = a n x n −a n (c 1 +· · ·+c n )x n−1 +· · · □ 

Przykład . Jeśli wielomian f (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ma 

pierwiastki c 1 , c 2 , c 3 , to: 

Liczby zespolone

Ciało 





D o w ó d. Ponieważ f można zapisać w postaci 

f = a n (x − c 1 )(x − c 2 ) · · · (x − c n ), to po wymnożeniu mamy: 

a n x n +a n−1 x n−1 +· · ·+a 1 x+a 0 = a n x n −a n (c 1 +· · ·+c n )x n−1 +· · · □ 

Przykład . Jeśli wielomian f (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ma 

pierwiastki c 1 , c 2 , c 3 , to: 

c 1 + c 2 + c 3 = − a 2 

a 3 

c 1 c 2 + c 1 c 3 + c 2 c 3 = a 1 

a 3 

c 1 c 2 c 3 = − a 0 

a 3 

Liczby zespolone

Ciało 




Zasadnicze twierdzenie algebry 

Twierdzenie 

Każdy wielomian stopnia dodatniego o współczynnikach 

zespolonych posiada w ciele liczb zespolonych co najmniej jeden 

pierwiastek. 

Liczby zespolone

Ciało 





Twierdzenie 



pierwiastek. 

W ciałach Q i R twierdzenie nie jest prawdziwe, bo wielomian 

x 2 + 1 nie ma pierwiastka w R (a tym bardziej w Q). 

Liczby zespolone

Ciało 





Twierdzenie 



pierwiastek. 



Z twierdzenia wynikają poniższe wnioski. 

Liczby zespolone

Ciało 





Twierdzenie 



pierwiastek. 



Z twierdzenia wynikają poniższe wnioski. 

Wniosek 

Dowolny wielomian stopnia n o współczynnikach zespolonych 

posiada w ciele liczb zespolonych dokładnie n pierwiastków 

(pierwiastki wielokrotne liczymy tyle razy, ile wynosi ich krotność). 

Liczby zespolone

Ciało 




Wniosek 

Jeżeli wielomian f (z) stopnia n o współczynnikach zespolonych ma 

pierwiastki z 1 , z 2 , . . . , z m o krotnościach k 1 , k 2 , . . . , k m 

odpowiednio, to 

f (z) = a n (z − z 1 ) k 1 

(z − z 2 ) k2 · · · (z − z m ) km 

Liczby zespolone

Ciało 




Wniosek 




f (z) = a n (z − z 1 ) k 1 

(z − z 2 ) k2 · · · (z − z m ) km 

W szczególności k 1 + k 2 + · · · + k m = n. 

Liczby zespolone

Ciało 




Wniosek 




f (z) = a n (z − z 1 ) k 1 

(z − z 2 ) k2 · · · (z − z m ) km 


Rozkład na czynniki liniowe nie zawsze jest możliwy dla 

wielomianu o współczynnikach z R. 

Liczby zespolone

Ciało 




Wniosek 




f (z) = a n (z − z 1 ) k 1 

(z − z 2 ) k2 · · · (z − z m ) km 




Każdy wielomianu o współczynnikach z R można rozłożyć na 

czynniki stopnia co najwyżej drugiego. 

Liczby zespolone

Ciało 




Wniosek 




f (z) = a n (z − z 1 ) k 1 

(z − z 2 ) k2 · · · (z − z m ) km 






Przykład 

x 4 + 1 = x 4 + 2x 2 + 1 − 2x 2 = (x 2 + 1) 2 − ( √ 2x) 2 = 

Liczby zespolone

Ciało 




Wniosek 




f (z) = a n (z − z 1 ) k 1 

(z − z 2 ) k2 · · · (z − z m ) km 






Przykład 

x 4 + 1 = x 4 + 2x 2 + 1 − 2x 2 = (x 2 + 1) 2 − ( √ 2x) 2 = 

= (x 2 − √ 2x + 1)(x 2 + √ 2x + 1) 

Liczby zespolone

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki - Instytut Matematyki PP

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?