Artikli fail
Artikli fail
Artikli fail
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Veel kord teemal “Matemaatika riigieksamid”<br />
Olaf Prinits, Tartu Ülikool<br />
Olen sel teemal paaril korral pedagoogilises ajakirjanduses sõna võtnud,<br />
kuid pole nende ülesastumistega tähelepanu äratanud ([1], [2]). Olen siiski<br />
mures, kui minu poolt rõhutatud aspekt jääb tähelepanuta. Et olla veelgi<br />
konkreetsem proovin kogumikus “Koolimatemaatika XXIX” avaldada kaks<br />
varianti Hollandi koolide matemaatika riigieksamite ülesannetest. Üks neist<br />
on mõeldud klassile, kus reaalteadustest pälvivad enam tähelepanu<br />
majandus- ja loodusteadused (Wiskunde A) ja teine klassile, kus on<br />
rõhutatud matemaatikat (Wiskunde B).<br />
Õpilastele antakse lahendamiseks aega 3 tundi. Ülesanded antakse kätte<br />
trükitult DIN- formaadis lehtedel, lehekülgede arv ulatub kuni 8-ni. Ülesandeid<br />
on tavaliselt 4-5, mis jaotuvad aga kokku kuni 20-neks alaülesandeks.<br />
Õpetajatele antakse kätte paranduseeskirjad “Correctievoorschrift”, kus on<br />
esitatud üldine hindamise eeskiri ja iga ülesande puhul on näidatud mille<br />
eest ja kui palju on võimalik punkte saada. Järgnevalt esitame Hollandis<br />
1993. a. kasutatud matemaatika riigieksami ülesannete tekstid.<br />
Wiskunde A<br />
I Veepuhastusjaamas läbib põhjavesi kolm bioloogilist puhastusbasseini<br />
enne, kui puhastatud vesi juhitakse joogivee reservuaari (joonis 1).<br />
Joonis 1.<br />
Kõigis puhastusbasseinides toimub vee puhastamine samaaegselt. Iga<br />
puhastusperioodi lõpul pumbatakse vesi kolmandast basseinist joogivee<br />
reservuaari, teisest basseinist kolmandasse, esimesest basseinist teise ja uus<br />
kogus põhjavett esimesse basseini. Ülepumpamise käigus jääb alati 8%<br />
veest igasse basseini alles ja 2% veest imbub pumpade lekkimise tõttu iga<br />
pumba juures maasse.<br />
1. Esita ülemineku maatriks M, mille elemendid näitavad, mitmendik<br />
osa iga basseini veest jõuab pärast ülepumpamist järgmistesse<br />
basseinidesse.<br />
62
2. Põhjenda, miks maatriksi M 2 (kahekordsel ülepumpamisel) elementide<br />
hulgas on üks 0 vähem, kui maatriksis M.<br />
3. Et maatriks M ei anna protsessist täielikku pilti, siis esita viie<br />
tipuga (I-V) suunatud graaf, mis kirjeldab seda protsessi täielikumalt.<br />
Kirjuta tippudest I, II ja III tõmmatud noolekeste juurde<br />
vastavad osamäärad.<br />
4. Oletame, et pärast puhastusperioodi lõppemist ja enne puhastatud<br />
vee ülepumpamist reservuaari oli I basseinis x m³ vett, II basseinis<br />
y m³ vett ja III basseinis z m³ vett. Mahtugu pärast ülepumpamist<br />
I basseini juurde 5290 m³ põhjavett. Avalda tundmatute x, y<br />
ja z kaudu, kui palju vett on siis igas basseinis.<br />
5. Puhastusprotsessi nimetatakse statsionaarseks, kui igas ülespumpamise<br />
tsüklis pumbatakse ühepalju põhjavett I basseini ja samuti<br />
ühepalju vett joogivee reservuaari. Statsionaarse puhastusprotsessi<br />
korral pumbatakse iga kord I basseini juurde 5290 m³ vett.<br />
Mitu m³ vett on sel juhul II ja III basseinis pärast ülepumpamist,<br />
I basseinis pärast põhjavee sissepumpamist?<br />
6. Veepuhastusjaamale antakse ülesanne statsionaarse puhastusrežiimi<br />
korral, iga kord pumbata joogivee reservuaari 5000 m³<br />
vett. Mitu m³ põhjavett peab sel juhul iga kord I basseini juurde<br />
pumpama?<br />
II Kaubandusettevõttel on pesupulbri pakkimismasin võimsusega 7536 kg<br />
päevas. Masinaga pakkimisel esineb juhuslikke mõjusid, mistõttu pakkide<br />
kaalud jaotuvad normaalselt, standarthälbega 40 grammi, sõltumata paki<br />
raskusest. Tarbijakaitse ühing nõuab, et ainult 4% (ühe kümnendkoha täpsusega)<br />
müüki tulevatest masinaga pakitud pakkidest võivad kaaluda vähem<br />
kui pakil märgitud.<br />
Kaubandusettevõte toob müügile pesupulbripakid 1 kilogrammistes pakkides.<br />
Pakkimismasin on reguleeritud nii, et igasse pakki peaks tulema<br />
1070 grammi pesupulbrit.<br />
1. Selgita, kas niisuguse reguleerimisega on tarbijakaitse nõue täidetud.<br />
2. Kaubandusettevõttel on soovitatud hakata pesupulbrit väljastama<br />
ka 2,5 kg pakkides. Missugusele raskusele peab nende pakkide<br />
korral olema pakkimismasin reguleeritud.<br />
3. Oletame, et pesupulbri väiksemate pakkide arv planeeritakse kaks<br />
korda suurem kui suurte pakkide arv. Mitu suuremat pakki on sel<br />
juhul võimalik päevas pakkida kui pakkimismasina võimsus jääb<br />
endiseks?<br />
63
4. Ettevõtte kasum väikeste pakkide korral on 0,40 guldnat ja suurte<br />
pakkide korral 1,00 gulden.<br />
Iga päev saab ettevõte pakkimismaterjali, millest piisab 5000 väiksema ja<br />
1500 suure paki valmistamiseks. Suurte pakkide arv tohib olla ülimalt pool<br />
väikeste pakkide arvust.<br />
Olgu päevas toodetavate väikeste pakkide arv x ja suurte pakkide arv y.<br />
Esita tingimused, mida x ja y peavad rahuldama ja leia nendele tingimustele<br />
vastav piirkond koordinaattasandil.<br />
5. Missuguste väikeste pakkide ja suurte pakkide arvu korral võib<br />
ettevõte arvestada suurimat kasumit?<br />
III Ühe tööstuse kliimaseadmes on tehniline rike, mistõttu seadme sisselülitamisest<br />
mõne aja möödumisel väheneb ruumis hapnikusisaldus. Kliimaseadme<br />
tööd kirjeldab valem:<br />
10 100<br />
z 200 1<br />
2<br />
t 10 t 10<br />
kus t on aeg minutites ja z on hapnikusisaldus kuupsentimeetrites 1 liitri<br />
õhu kohta ajamomendil t.<br />
Hetkel t=0 on hapnikusisaldus normaalne.<br />
1. Teatud aja möödudes läheneb hapnikusisaldus jälle normaalsele<br />
nivoole. Näita, et see ilming on ka valemist väljaloetav.<br />
2. Näita, et alates hetkest t=0 , hakkab hapnikusisaldus õhus vähenema.<br />
3. Leia, missugusel ajahetkel on hapnikusisaldus madalaim.<br />
4. Ohutustehnika insener arvab, et üks tund pärast rikke tekkimist on<br />
hapnikusisaldus 90% normaalsest nivoost.<br />
Selgita, kas see arvamus on kooskõlas matemaatilise mudeliga.<br />
5. Joonesta funktsiooni z=f(t) graafik ühe tunni ulatuses alates hetkest<br />
t=0.<br />
6. Meditsiiniliste ettekirjutiste kohaselt võib hapnikusisaldus langeda<br />
kuni 80% normaalsest tasemest. Selgita, mitu minutit on<br />
käesoleval juhul hapnikusisaldus madalam lubatust.<br />
IV Tabelis 1 on esitatud ühel katsepõllul kasvatatud päevalillede keskmised<br />
kõrgused külvamisest teatud aja möödumisel. Keskmine maksimaalne kõrgus<br />
nendel päevalilledel on 256 cm. Päevalillede kõrgust mõõdeti kahenädalaste<br />
ajavahemike järel. Tabelisse 1 on kantud veel kahe järjestikku<br />
mõõdetud kõrguste vahed ja jagatised.<br />
64
Tabel 1.<br />
Nädalate arv t Päevalillede<br />
keskmine kõrgus<br />
H(t)<br />
2 36<br />
4 98<br />
6 170<br />
8 228<br />
10 251<br />
12 255<br />
Kõrguste vahe Kõrguste jagatis<br />
62 2,72<br />
72 1,73<br />
58 1,34<br />
23 1,10<br />
4 1,02<br />
1. Kas tegemist on ühtlase või eksponentsiaalse kasvamisega?<br />
256 H t<br />
2. Joonesta funktsiooni F t ln graafik kasutades tabelit<br />
1.<br />
H t<br />
3. Näita, et leidub lineaarfunktsioon, mis lähendab hästi funktsiooni<br />
F(t) ja esita selle lineaarfunktsiooni eeskiri.<br />
4. Leia küsimuste 2 ja 3 vastustele tuginedes funktsiooni H(t)<br />
eeskiri.<br />
V Agronoom tahab uurida ühe väetise mõju päevalillede kasvule kasutades<br />
märgitesti. Ta külvab 12 paari päevalille seemneid, kusjuures igas paaris<br />
ühele antakse seda väetist, teisele mitte. Neli nädalat pärast külvi mõõtis<br />
agronoom päevalillede pikkust. Tulemused on toodud tabelis 2.<br />
Tabel 2.<br />
paar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
väetiseta 97 99 98 96 95 98 98 100 97 96 97 93<br />
väetisega 102 97 100 99 99 103 101 97 102 98 98 101<br />
+ - + + + + + - + + + +<br />
Kas tulemused lubavad väita, et väetisel on oluline mõju päevalille kasvule?<br />
Olulisuse nivooks võta 2,5%.<br />
65
Wiskunde B<br />
3<br />
x 3<br />
I On antud funktsioon f : x<br />
määramispiirkonnaga R\ 0 . Selle<br />
2<br />
3x<br />
funktsiooni koordinaatteljestikus esitatud graafikut tähistame tähega K.<br />
1) Näita, et funktsiooni f tuletis on esitatav kujul<br />
2<br />
x 6 x 3<br />
x .<br />
3<br />
3x<br />
2) Esita graafiku K kaldasümptoodi võrrand.<br />
3) Uuri funktsiooni ja esita tema graafik K.<br />
4) V on pinnatükk, mida piiravad K, x-telg ja sirge<br />
x 1. Leia pinnatüki V pindala.<br />
II Koordinaatteljestikus O<br />
xy<br />
on antud kõver K oma parameetriliste võrranditega<br />
2<br />
t 1<br />
x t , y t e , t R .<br />
5) Leia kõvera K nende punktide koordinaadid, kust<br />
kõverale K tõmmatud puutujad on paralleelsed ühega<br />
koordinaattelgedest.<br />
6) Esita K ühe asümptoodi võrrand.<br />
dy y 1 x<br />
7) On antud diferentsiaalvõrrand D : .<br />
dx 2x<br />
Esita selle võrrandiga määratud integraalkõvera<br />
võrrand, mis läbib punkti 1 , 1 . Üks osa kõverast K<br />
ühtib selle integraalkõveraga.<br />
8) Näita missugune osa see kõverast K on.<br />
III Iga p 0, 4 korral on määramispiirkonnas 0 , antud funktsioon<br />
2<br />
f p<br />
: x 2sin x psin<br />
x . Olgu K<br />
p<br />
funktsiooni f<br />
p<br />
graafikuks.<br />
Graafik K 1 on joonisel 2 antud. A ja B on selle graafiku lõikepunktid x-teljega,<br />
C ja D tema minimaalse ordinaadiga punktid.<br />
Joonis 2.<br />
66
9) Leia punktide A, B, C ja D koordinaadid.<br />
Joonisel 3 on esitatud funktsioonide f<br />
p<br />
graafikud erinevatel p väärtustel.<br />
Igal graafikul on kas üks või kaks punkti minimaalse ordinaadiga.<br />
10) Näita, et need punktid asuvad funktsiooni<br />
x cos2x<br />
1 graafikul.<br />
Joonis 3.<br />
IV Joonisel 4 on kujutatud keha ABCDEF<br />
ABCD on ristkülik, kus AB = 8 ja AD = 4,<br />
EF AB,<br />
AE = DE = BF = CF = EF = 4,<br />
P on lõigu BC keskpunkt,<br />
Q on lõigu DC keskpunkt,<br />
l on tasandiga ABCD ristuv sirge.<br />
10) Leia selle keha ruumala.<br />
11) Leia sirgete BF ja DE vaheline kaugus.<br />
Koonusele K, mille teljeks on l, on BCF puutujatasandiks.<br />
13) Leia koonuse tipunurk kraadides.<br />
Läbi punkti P saab koonusele K kujutada 2 puutujatasandit, millest üks on<br />
BCF.<br />
14) Joonesta joonisele 4 teine koonuse K puutujatasand,<br />
mis läbib punkti P.<br />
67
Joonis 4.<br />
Head lahendamist!<br />
Kirjandus<br />
1. Prinits, O., Kokk, K. Rahvusvaheline matemaatika test 12. klassis.<br />
Haridus, 1996, 2, 49-52.<br />
2. Prinits, O. Matemaatika küpsuseksami ülesannetest. Haridus, 1999,<br />
1, 47-51.<br />
Once Again on the Topic of “Government Final Examinations in<br />
Mathematics”<br />
Olaf Prinits<br />
Summary<br />
This paper features the differing opinions on government final examinations<br />
in mathematics in Estonia. For comparison, the reader is introduced<br />
to similar mathematics examination issues in the Netherlands in 1993.<br />
68