Artikli fail

Veel kord teemal “Matemaatika riigieksamid”
Olaf Prinits, Tartu Ülikool
Olen sel teemal paaril korral pedagoogilises ajakirjanduses sõna võtnud,
kuid pole nende ülesastumistega tähelepanu äratanud ([1], [2]). Olen siiski
mures, kui minu poolt rõhutatud aspekt jääb tähelepanuta. Et olla veelgi
konkreetsem proovin kogumikus “Koolimatemaatika XXIX” avaldada kaks
varianti Hollandi koolide matemaatika riigieksamite ülesannetest. Üks neist
on mõeldud klassile, kus reaalteadustest pälvivad enam tähelepanu
majandus- ja loodusteadused (Wiskunde A) ja teine klassile, kus on
rõhutatud matemaatikat (Wiskunde B).
Õpilastele antakse lahendamiseks aega 3 tundi. Ülesanded antakse kätte
trükitult DIN- formaadis lehtedel, lehekülgede arv ulatub kuni 8-ni. Ülesandeid
on tavaliselt 4-5, mis jaotuvad aga kokku kuni 20-neks alaülesandeks.
Õpetajatele antakse kätte paranduseeskirjad “Correctievoorschrift”, kus on
esitatud üldine hindamise eeskiri ja iga ülesande puhul on näidatud mille
eest ja kui palju on võimalik punkte saada. Järgnevalt esitame Hollandis
1993. a. kasutatud matemaatika riigieksami ülesannete tekstid.
Wiskunde A
I Veepuhastusjaamas läbib põhjavesi kolm bioloogilist puhastusbasseini
enne, kui puhastatud vesi juhitakse joogivee reservuaari (joonis 1).
Joonis 1.
Kõigis puhastusbasseinides toimub vee puhastamine samaaegselt. Iga
puhastusperioodi lõpul pumbatakse vesi kolmandast basseinist joogivee
reservuaari, teisest basseinist kolmandasse, esimesest basseinist teise ja uus
kogus põhjavett esimesse basseini. Ülepumpamise käigus jääb alati 8%
veest igasse basseini alles ja 2% veest imbub pumpade lekkimise tõttu iga
pumba juures maasse.
1. Esita ülemineku maatriks M, mille elemendid näitavad, mitmendik
osa iga basseini veest jõuab pärast ülepumpamist järgmistesse
basseinidesse.
62

2. Põhjenda, miks maatriksi M 2 (kahekordsel ülepumpamisel) elementide
hulgas on üks 0 vähem, kui maatriksis M.
3. Et maatriks M ei anna protsessist täielikku pilti, siis esita viie
tipuga (I-V) suunatud graaf, mis kirjeldab seda protsessi täielikumalt.
Kirjuta tippudest I, II ja III tõmmatud noolekeste juurde
vastavad osamäärad.
4. Oletame, et pärast puhastusperioodi lõppemist ja enne puhastatud
vee ülepumpamist reservuaari oli I basseinis x m³ vett, II basseinis
y m³ vett ja III basseinis z m³ vett. Mahtugu pärast ülepumpamist
I basseini juurde 5290 m³ põhjavett. Avalda tundmatute x, y
ja z kaudu, kui palju vett on siis igas basseinis.
5. Puhastusprotsessi nimetatakse statsionaarseks, kui igas ülespumpamise
tsüklis pumbatakse ühepalju põhjavett I basseini ja samuti
ühepalju vett joogivee reservuaari. Statsionaarse puhastusprotsessi
korral pumbatakse iga kord I basseini juurde 5290 m³ vett.
Mitu m³ vett on sel juhul II ja III basseinis pärast ülepumpamist,
I basseinis pärast põhjavee sissepumpamist?
6. Veepuhastusjaamale antakse ülesanne statsionaarse puhastusrežiimi
korral, iga kord pumbata joogivee reservuaari 5000 m³
vett. Mitu m³ põhjavett peab sel juhul iga kord I basseini juurde
pumpama?
II Kaubandusettevõttel on pesupulbri pakkimismasin võimsusega 7536 kg
päevas. Masinaga pakkimisel esineb juhuslikke mõjusid, mistõttu pakkide
kaalud jaotuvad normaalselt, standarthälbega 40 grammi, sõltumata paki
raskusest. Tarbijakaitse ühing nõuab, et ainult 4% (ühe kümnendkoha täpsusega)
müüki tulevatest masinaga pakitud pakkidest võivad kaaluda vähem
kui pakil märgitud.
Kaubandusettevõte toob müügile pesupulbripakid 1 kilogrammistes pakkides.
Pakkimismasin on reguleeritud nii, et igasse pakki peaks tulema
1070 grammi pesupulbrit.
1. Selgita, kas niisuguse reguleerimisega on tarbijakaitse nõue täidetud.
2. Kaubandusettevõttel on soovitatud hakata pesupulbrit väljastama
ka 2,5 kg pakkides. Missugusele raskusele peab nende pakkide
korral olema pakkimismasin reguleeritud.
3. Oletame, et pesupulbri väiksemate pakkide arv planeeritakse kaks
korda suurem kui suurte pakkide arv. Mitu suuremat pakki on sel
juhul võimalik päevas pakkida kui pakkimismasina võimsus jääb
endiseks?
63

4. Ettevõtte kasum väikeste pakkide korral on 0,40 guldnat ja suurte
pakkide korral 1,00 gulden.
Iga päev saab ettevõte pakkimismaterjali, millest piisab 5000 väiksema ja
1500 suure paki valmistamiseks. Suurte pakkide arv tohib olla ülimalt pool
väikeste pakkide arvust.
Olgu päevas toodetavate väikeste pakkide arv x ja suurte pakkide arv y.
Esita tingimused, mida x ja y peavad rahuldama ja leia nendele tingimustele
vastav piirkond koordinaattasandil.
5. Missuguste väikeste pakkide ja suurte pakkide arvu korral võib
ettevõte arvestada suurimat kasumit?
III Ühe tööstuse kliimaseadmes on tehniline rike, mistõttu seadme sisselülitamisest
mõne aja möödumisel väheneb ruumis hapnikusisaldus. Kliimaseadme
tööd kirjeldab valem:
10 100
z 200 1
2
t 10 t 10
kus t on aeg minutites ja z on hapnikusisaldus kuupsentimeetrites 1 liitri
õhu kohta ajamomendil t.
Hetkel t=0 on hapnikusisaldus normaalne.
1. Teatud aja möödudes läheneb hapnikusisaldus jälle normaalsele
nivoole. Näita, et see ilming on ka valemist väljaloetav.
2. Näita, et alates hetkest t=0 , hakkab hapnikusisaldus õhus vähenema.
3. Leia, missugusel ajahetkel on hapnikusisaldus madalaim.
4. Ohutustehnika insener arvab, et üks tund pärast rikke tekkimist on
hapnikusisaldus 90% normaalsest nivoost.
Selgita, kas see arvamus on kooskõlas matemaatilise mudeliga.
5. Joonesta funktsiooni z=f(t) graafik ühe tunni ulatuses alates hetkest
t=0.
6. Meditsiiniliste ettekirjutiste kohaselt võib hapnikusisaldus langeda
kuni 80% normaalsest tasemest. Selgita, mitu minutit on
käesoleval juhul hapnikusisaldus madalam lubatust.
IV Tabelis 1 on esitatud ühel katsepõllul kasvatatud päevalillede keskmised
kõrgused külvamisest teatud aja möödumisel. Keskmine maksimaalne kõrgus
nendel päevalilledel on 256 cm. Päevalillede kõrgust mõõdeti kahenädalaste
ajavahemike järel. Tabelisse 1 on kantud veel kahe järjestikku
mõõdetud kõrguste vahed ja jagatised.
64

Tabel 1.
Nädalate arv t Päevalillede
keskmine kõrgus
H(t)
2 36
4 98
6 170
8 228
10 251
12 255
Kõrguste vahe Kõrguste jagatis
62 2,72
72 1,73
58 1,34
23 1,10
4 1,02
1. Kas tegemist on ühtlase või eksponentsiaalse kasvamisega?
256 H t
2. Joonesta funktsiooni F t ln graafik kasutades tabelit
1.
H t
3. Näita, et leidub lineaarfunktsioon, mis lähendab hästi funktsiooni
F(t) ja esita selle lineaarfunktsiooni eeskiri.
4. Leia küsimuste 2 ja 3 vastustele tuginedes funktsiooni H(t)
eeskiri.
V Agronoom tahab uurida ühe väetise mõju päevalillede kasvule kasutades
märgitesti. Ta külvab 12 paari päevalille seemneid, kusjuures igas paaris
ühele antakse seda väetist, teisele mitte. Neli nädalat pärast külvi mõõtis
agronoom päevalillede pikkust. Tulemused on toodud tabelis 2.
Tabel 2.
paar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
väetiseta 97 99 98 96 95 98 98 100 97 96 97 93
väetisega 102 97 100 99 99 103 101 97 102 98 98 101
+ - + + + + + - + + + +
Kas tulemused lubavad väita, et väetisel on oluline mõju päevalille kasvule?
Olulisuse nivooks võta 2,5%.
65

Wiskunde B
3
x 3
I On antud funktsioon f : x
määramispiirkonnaga R\ 0 . Selle
2
3x
funktsiooni koordinaatteljestikus esitatud graafikut tähistame tähega K.
1) Näita, et funktsiooni f tuletis on esitatav kujul
2
x 6 x 3
x .
3
3x
2) Esita graafiku K kaldasümptoodi võrrand.
3) Uuri funktsiooni ja esita tema graafik K.
4) V on pinnatükk, mida piiravad K, x-telg ja sirge
x 1. Leia pinnatüki V pindala.
II Koordinaatteljestikus O
xy
on antud kõver K oma parameetriliste võrranditega
2
t 1
x t , y t e , t R .
5) Leia kõvera K nende punktide koordinaadid, kust
kõverale K tõmmatud puutujad on paralleelsed ühega
koordinaattelgedest.
6) Esita K ühe asümptoodi võrrand.
dy y 1 x
7) On antud diferentsiaalvõrrand D : .
dx 2x
Esita selle võrrandiga määratud integraalkõvera
võrrand, mis läbib punkti 1 , 1 . Üks osa kõverast K
ühtib selle integraalkõveraga.
8) Näita missugune osa see kõverast K on.
III Iga p 0, 4 korral on määramispiirkonnas 0 , antud funktsioon
2
f p
: x 2sin x psin
x . Olgu K
p
funktsiooni f
p
graafikuks.
Graafik K 1 on joonisel 2 antud. A ja B on selle graafiku lõikepunktid x-teljega,
C ja D tema minimaalse ordinaadiga punktid.
Joonis 2.
66

9) Leia punktide A, B, C ja D koordinaadid.
Joonisel 3 on esitatud funktsioonide f
p
graafikud erinevatel p väärtustel.
Igal graafikul on kas üks või kaks punkti minimaalse ordinaadiga.
10) Näita, et need punktid asuvad funktsiooni
x cos2x
1 graafikul.
Joonis 3.
IV Joonisel 4 on kujutatud keha ABCDEF
ABCD on ristkülik, kus AB = 8 ja AD = 4,
EF AB,
AE = DE = BF = CF = EF = 4,
P on lõigu BC keskpunkt,
Q on lõigu DC keskpunkt,
l on tasandiga ABCD ristuv sirge.
10) Leia selle keha ruumala.
11) Leia sirgete BF ja DE vaheline kaugus.
Koonusele K, mille teljeks on l, on BCF puutujatasandiks.
13) Leia koonuse tipunurk kraadides.
Läbi punkti P saab koonusele K kujutada 2 puutujatasandit, millest üks on
BCF.
14) Joonesta joonisele 4 teine koonuse K puutujatasand,
mis läbib punkti P.
67

Joonis 4.
Head lahendamist!
Kirjandus
1. Prinits, O., Kokk, K. Rahvusvaheline matemaatika test 12. klassis.
Haridus, 1996, 2, 49-52.
2. Prinits, O. Matemaatika küpsuseksami ülesannetest. Haridus, 1999,
1, 47-51.
Once Again on the Topic of “Government Final Examinations in
Mathematics”
Olaf Prinits
Summary
This paper features the differing opinions on government final examinations
in mathematics in Estonia. For comparison, the reader is introduced
to similar mathematics examination issues in the Netherlands in 1993.
68