Materjali fail - Matemaatika didaktika

TARTU ÜLIKOOL
MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND
Katriin Orason
DÜNAAMILISED SLAIDID TRIGONOMEETRIAS
Magistriõppe lõputöö
Juhendaja: dots Tiit Lepmann
Autor ………………………………………. …………“ …..” juuni 2011
Juhendaja ………………………………………………“……“ juuni 2011
Lubatud kaitsmisele
Magistrieksami komisjoni esimees …………………….“……“ juuni 2011
Tartu 2011

Sisukord
Sissejuhatus ...................................................................................................................... 3
1. Trigonomeetria asend matemaatika õppekavas ............................................................ 5
1.1. Matemaatika valdkond trigonomeetria .................................................................. 5
1.2. Trigonomeetria asend matemaatika õppekavas ..................................................... 5
2. GeoGebra programmi võimalused trigonomeetria näitlikustamiseks .......................... 8
2.1. GeoGebra ............................................................................................................... 8
2.2. GeoGebra kasutamine ............................................................................................ 9
2.3. Interaktiivsete veebilehtede loomine ................................................................... 10
3. Dünaamilised slaidid .................................................................................................. 12
3.1. Kolmnurga sisenurkade summa ........................................................................... 12
3.2. Trigonomeetrilised funktsioonid täisnurkses kolmnurgas ................................... 14
3.3. Täisnurkse kolmnurga lahendamine .................................................................... 15
3.4. Nurga mõiste, positiivne ja negatiivne nurk ........................................................ 16
3.5. Nurkade liigitamine ............................................................................................. 18
3.5. Nurga kraadimõõdu teisendamine radiaanmõõtu ja vastupidi ............................. 19
3.6. Mis tahes nurga trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid ........................ 21
3.7. Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi ............................... 22
3.8. Siinusteoreem ....................................................................................................... 24
3.9. Koosinusteoreem ................................................................................................. 26
3.10. Siinusfunktsioon, koosinusfunktsioon ja tangensfunktsioon ............................. 27
Kokkuvõte ...................................................................................................................... 30
Summary ......................................................................................................................... 32
Kasutatud kirjandus ........................................................................................................ 33
Lisa 1. CD-ROM: 12 dünaamilist slaidi trigonomeetrias ja programm GeoGebra (v3.2)
2

Sissejuhatus
Matemaatikaõpetuse üldeesmärgiks on arendada õpilaste loogilist ja loomingulist mõtlemist.
Matemaatika peaks olema aine, kus omandatakse analüüsimise, üldistamise ja
põhjendamise oskus, samuti modelleerimisoskus ning üldisem probleemide lahendamise
oskus. Need oskused ei teki iseenesest, vaid vajavad süstemaatilist arendamist [12].
Harjutamine ja õppimine on aga tulemuslik vaid siis, kui õpilasel on õppimiseks tugev
motivatsioon. Õpilaste motiveerimine on alati olnud üheks oluliseks ülesandeks õpetaja
töös [7].
Trigonomeetria on õpilastele üks raskemaid teemasid koolimatemaatikas, sest see on
mahukas ja keeruline. Trigonomeetria teeb keeruliseks tema abstraktsus ja valemite
rohkus. Selleks, et õpilased seda paremini mõistaksid, tuleb trigonomeetriat muuta õpilasele
konkreetsemaks. Viimast aga saame teha läbi trigonomeetria mõistete ja seoste
visualiseerimise.
Käesoleva magistritöö peamiseks eesmärgiks oli koostada dünaamilised slaidid trigonomeetria
õpetamiseks. Õppematerjal on valmistatud toetudes gümnaasiumi kitsa matemaatika
trigonomeetria kursuse sisule. Samas on slaidid kasutatavad ka laialdasemalt
– trigonomeetria teema tutvustamiseks või kordamiseks nii põhikoolis, kutsekoolis kui
ka kõrgkoolis.
Töö autor valis slaidide koostamiseks koolitarkvaraprogrammi GeoGebra. Programm on
vabavaraline, eestikeelne, internetis kättesaadav ja kergesti kasutatav. Lisaks saab programmi
kasutada nii veebipõhiselt kui ka arvutisse installeeritult. Valikule aitas kaasa ka
see, et programm kogub õpetajate seas üha enam populaarsust. Internetis on leida mitmeid
matemaatika õpetajaid, kes on koostanud hulgaliselt dünaamilisi slaide
GeoGebraga [8], [16], [19]. Lisaks on võimalik leida Tiit Lepmanni koostatud dünaamilisi
slaide ja nende konstrueerimist abistavaid materjale matemaatika didaktika alast
materjali koondavalt võrgulehelt http://matdid.edu.ee.
GeoGebra programmi ja dünaamiliste slaidide loomisega on tegelenud ka mitmed üliõpilased
oma lõputöödes. 2008 aastal koostas Jane Albre oma magistritöö raames hulgaliselt
dünaamilisi slaide 12. klassi matemaatikaõpiku juurde [1]. Samal aastal uuris ka
Kati Vendelin geomeetriliste konstruktsioonülesannete lahendamist GeoGebra abil [11].
Järgmisel aastal tegeles Kaido Kariste GeoGebra abil lookuste konstrueerimisega [6].
3

Ka 2010 aastal oli programm Geogebra üliõpilaste lõputöödes kasutusel. Reelika Leopard
uuris dünaamilise geomeetria programmi GeoGebra mõju 7. klassi õpilaste arusaamisele
matemaatilistest funktsioonidest ja Silja Ljaškov koostas dünaamilisi slaide
koolimatemaatika teema „Funktsioonid I“ juurde [18].
Hoolimata sellest, et nende aastate jooksul on valminud sadu dünaamilisi slaide, ei ole
GeoGebra oma võimalusi veel ammendanud. Enamik dünaamilisi slaide on geomeetria,
funktsioonide, stereomeetria teemalised. Trigonomeetria teemalisi eestikeelseid slaide
leiab ainult üksikuid.
Töö koosneb kolmest peatükist. Esimeses peatükis selgitatakse trigonomeetria asendit
matemaatika uues õppekavas ja tuuakse välja koolis õpetatavad trigonomeetria teemad.
Teises peatükis tutvustatakse programmi GeoGebra ning selgitatakse mõningaid
GeoGebra võimalusi, mida antud töö autor kasutas.
Kolmas peatükk peatub töö käigus koostatud slaidide ja nende kasutamisvõimaluste
tutvustamisele. Iga slaidi puhul on toodud kirjeldus, kuidas töö autor on näinud ette
slaidi kasutamist õppetöös. Loomulikult on dünaamiliste slaidide kasutamise võimalusi
rohkem ning igaühel on võimalus kasutada slaide oma äranägemise järgi.
4

1. Trigonomeetria asend matemaatika õppekavas
1.1. Matemaatika valdkond trigonomeetria
Ülo Kaasik annab oma matemaatikaleksikonis trigonomeetriale järgmise definitsiooni:
see on matemaatika osa, milles uuritakse trigonomeetrilisi funktsioone ja nende rakendusi
geomeetrias [5].
Sõna trigonomeetria tuleneb kreeka keelest, sõnadest (trigonon) – kolmnurk
ja (metreo) – mõõdan. Vajaduse osata lahendada kolmnurka tingisid astronoomia,
merenavigatsioon ja maamõõtmine. Esimesed trigonomeetriaalased ülesanded arvatakse
pärinevat III aastatuhandest e. Kr. Esimesed trigonomeetrilised tabelid koostas
II saj. e. Kr. kreeka astronoom Hipparchos (u. 190 – 125 e.Kr.). II saj. p. Kr. koostas
astronoom Ptolemaios (u. 100 – u. 178 p. Kr.) kõõlude tabeli teravnurkade jaoks. Sisuliselt
oli selles tegemist siinuste tabeliga, kusjuures täpsus oli küllaltki suur [17].
Keskajal arenes trigonomeetria Indias. Indias tunti siis juba siinuste tabeleid, seost
(mida kirjutati mitte matemaatiliste sümbolitega, vaid sõnadega)
ning nürinurga siinuse ja koosinuse taandamist teravnurga funktsioonideks.
IX ja X sajandil võtsid araabia õpetlased tarvitusele tangensi ja koostasid täpsemad siinuse
tabelid. Euroopas kirjutas esimesena trigonomeetriast inglise õpetlane Brawardine
(XIII ja XIV s.). Esimese süstemaatilise trigonomeetria kursuse kirjutas XV sajandil
saksa õpetlane Johannes Müller, kes kirjutas Regiomontanuse nime all. Regiomontanus
käsitleb trigonomeetriat juba iseseisva teadusena, lahus astronoomiast.
Alates XVI sajandist, pärast seda kui Viëta võttis tarvitusele tähelised sümbolid, omandavad
trigonomeetrilised valemid juba nüüdisaegse ilme [15].
1.2. Trigonomeetria asend matemaatika õppekavas
Vaadeldes 2011. aastal vastuvõetud Riiklikku põhikooli ja gümnaasiumi õppekava on
näha, et trigonomeetria teemaga teevad õpilased tutvust juba põhikoolis. III kooliastme
õppesisu hõlmab järgmiseid teemasid: nagu Pythagorase teoreem ja teravnurga trigonomeetrilised
funktsioonid [14].
5

Gümnaasiumi osas jaguneb matemaatika kaheks: kitsas matemaatika ja lai matemaatika.
Lai matemaatika ja kitsas matemaatika erinevad nii sisu kui ka käsitluslaadi poolest.
Laias matemaatikas käsitletakse mõisteid ja meetodeid, mida on vaja matemaatikateaduse
olemusest arusaamiseks. Erinevalt laiast matemaatikast ei ole kitsa matemaatika
õppe põhiülesanne mitte matemaatika kui teadusharu enese tundmaõppimine, vaid peamine
on matemaatika rakenduste vaatlemine inimest ümbritseva maailma teaduspõhiseks
kirjeldamiseks ning elus toimetuleku tagamiseks. Selleks vajalik keskkond luuakse
matemaatika mõistete, sümbolite, omaduste ja seoste, reeglite ja protseduuride käsitlemise
ning intuitsioonil ja loogilisel arutelul põhinevate mõttekäikude esitamise kaudu.
Nii kitsas kui ka lai matemaatika annab õppijale vahendid ja oskused rakendada teistes
õppeainetes vajalikke matemaatilisi meetodeid [4].
Kitsas matemaatika sisaldab 8 kursust, mis jagunevad järgnevalt:
1. „Arvuhulgad. Avaldised. Võrrandid ja võrratused“
2. „Trigonomeetria”
3. „Vektor tasandil. Joone võrrand”
4. „Tõenäosus ja statistika”
5. „Funktsioonid I”
6. „Funktsioonid II”
7. „Tasandilised kujundid. Integraal”
8. „Stereomeetria”
Kursuse „Trigonomeetria“ õppesisu hõlmab järgnevaid teemasid: Nurga mõiste üldistamine,
radiaanmõõt; Mis tahes nurga trigonomeetrilised funktsioonid (sin α, cos α, tan
α), nende väärtused tähtsamate nurkade korral; Negatiivse nurga trigonomeetrilised
funktsioonid; Funktsioonide y= sin x, y= cos x, y=tan x graafikud; Trigonomeetria põhiseosed;
Siinus- ja koosinusteoreem; Kolmnurga pindala valemid; Kolmnurga lahendamine;
Ringjoone kaare pikkus ja sektori pindala.
Ainekavas on loetletud ka pädevused, mida õpilane peab saavutama selle kursuse lõpuks.
Kursuse lõpetanud õpilane
defineerib mis tahes nurga siinuse, koosinuse ja tangensi;
loeb trigonomeetriliste funktsioonide graafikuid;
6

teisendab kraadimõõdus antud nurga radiaanmõõtu ja vastupidi;
teisendab lihtsamaid trigonomeetrilisi avaldisi;
rakendab kolmnurga pindala valemeid, siinus- ja koosinusteoreemi;
lahendab kolmnurki, arvutab kolmnurga, rööpküliku ja hulknurga pindala, arvutab
ringjoone kaare kui ringjoone osa pikkuse ning ringi sektori kui ringi osa
pindala;
lahendab lihtsama rakendussisuga planimeetriaülesandeid.
Lisaks sellele tuleb õpilastel trigonomeetriaga kokku puutuda kursuse „Funktsioonid I“
ja „Stereomeetria“ raames. „Funktsioonid I“ kursuse lõpetanud õpilane oskab lahendada
graafiku järgi trigonomeetrilisi põhivõrrandeid etteantud lõigul. „Stereomeetria“ kursuse
lõpetanu oskab aga rakendada trigonomeetria- ja planimeetriateadmisi lihtsamate stereomeetriaülesannete
lahendamisel [4].
Trigonomeetriaga saab õpilane tegeleda ka valikainete kaudu. Riiklikus õppekavas on
välja pakutud valikkursuste seas „Planimeetria I. Kolmnurkade ja ringide geomeetria” ja
„Planimeetria II. Hulknurkade ja ringide geomeetria”, mille õppesisu hõlmab ka trigonomeetriat
[4].
7

2. GeoGebra programmi võimalused trigonomeetria näitlikustamiseks
2.1. GeoGebra
GeoGebra on vabavaraline ja mitmeplatvormiline dünaamilise matemaatika tarkvara
kõigile kooliastmeile. See on kergesti kasutatav ja ühendab endas geomeetria, algebra,
tabelid, graafika, statistika ning matemaatilise analüüsi. Programm on pälvinud mitmeid
õpitarkvara auhindu nii Euroopas kui USAs [3].
GeoGebra algne versioon valmis austerlase Markus Hohenwarteri magistritöö raames
2001. aastal. Hohenwarter arendas seda edasi doktoritööd tehes. Praegu on ta matemaatika
hariduse professor Linzi Johannes Kepleri Ülikoolis. Tänasel päeval toimub
GeoGebra arendus juba suurema tiimiga [9].
GeoGebra meeskond peab väga oluliseks, et inimesed ning eriti lapsed saaksid kasutada
tarkvara oma emakeeles. Praeguseks on GeoGebra tõlgitud ligikaudu 50 keelde. Tiigrihüppe
SA toel tõlkis programmi ja veebilehe eesti keelde Jane Albre-Andersen.
GeoGebra veebilehte www.geogebra.org on külastanud miljonid inimesed 190 riigist.
GeoGebra kogukonda seob mittetulunduslik Rahvusvaheline GeoGebra Instituut (International
GeoGebra Institute ehk IGI). IGIsse kuuluvate õpetajate ja teadlaste eesmärgiks
on arendada tarkvara, koostada ja jagada materjale, tegeleda uurimustööga, esineda
konverentsidel jne. Lisaks IGI keskusele on aga olemas ka kohalikud instituudid.
Eesti GeoGebra instituut loodi 2010. aasta juunis Tiigrihüppe SA egiidi all. Instituudi
tegevust juhib K. Kreutzberg [9].
Viimane ametlik versioon GeoGebra 3.2 lasti välja 3. juunil 2009. Programmi täpsemale
tutvustamisel on antud töös aluseks võetud Jane Albre–Anderseni tõlgitud GeoGebra
3.2 eestikeelne manuaal [2].
Programm GeoGebra on kõigile saadav aadressilt www.geogebra.org/cms/et/download .
Programmi saamiseks on mitmeid võimalusi. Esimene võimalus on installeerida programm
oma arvutisse otse kodulehelt. Selleks tuleb vajutada nupule „Webstart“. Teiseks
on võimalik kasutada programmi läbi interneti. Kasutaja arvutisse ei installeerita mitte
midagi. Selleks tuleb vajutada nupule „Applet Start“. Kolmandaks on võimalik alla
laadida exe-fail, mille abil saab programmi installeerida arvutitesse, kus internetiühen-
8

dus puudub. Selleks tuleb valida link „Offlain installerid“. Installerid on saadaval vastavalt
Windows, Mac OS X, Ubuntu & Debian, openSUSE, XO operatsioonisüsteemidele.
Veel on võimalik kasutada kaasaskantavat programmi. Kaasaskantav GeoGebra käivitub
igas arvutis installeerimata. Selleks laadige ja pakkige lahti kaasaskantav pakett
USB draivile. Selleks tuleb valida link „Kaasaskantav“. Kaasaskantav GeoGebra on
saadaval vastavalt Windowsi, Mac Os X, Linux (32 bit või 64 bit) operatsioonisüsteemidele.
Kuna programm on Java-põhine, siis nii internetis käivitamiseks kui ka teiste
poolt üles pandud slaidide vaatamiseks peab olema arvutisse installeeritud Java 1.4.2
või uuem versioon.
2.2. GeoGebra kasutamine
GeoGebra ekraanipildil (joonis 1) on võimalik valida kolme vaate vahel. Vasakul pool
ääres avaneb algebravaade. Seal on nähtavad kolme tüüpi objektide algebralised vasted.
Vabad objektid on geomeetria aknas liigutatavad piiranguteta.
Tööriistariba abi
Nupu- ehk tööriistariba
Algebravaade
Graafikavaade ehk
joonestusväli
Arvutustabeli
vaade
Käsuriba
Sisendriba
Joonis 1. GeoGebra ekraanipilt
9

Sõltuvad objektid on seotud vabade objektidega ja on liigutatavad nende kaudu. Abiobjektideks
loetakse vaikimisi arvutustabeli objekte ja neid vaikimisi graafikavaates ei
näidata. Algebralisi avaldisi on võimalik sisestada sisendribalt.
GeoGebras leidub ka arvukalt käske, mida saab sisestada sisendribale. Käsud leiad käsuribalt.
Abi käsu kasutamise kohta saab, kui vajutada klahvikombinatsioonile CTRL+
F1.
Keskel avaneb graafikavaade ehk joonestusväli, kus on võimalik konstrueerida erinevaid
kujundeid. Nende konstrueerimiseks saab kasutata tööriistaribal olevaid tööriistu.
Iga aktiivse tööriista puhul antakse tööriistariba lõppu abistav tekst, mis juhendab, kuidas
vastavat tööriista kasutada (joonis 2). Pärast liigutamise tööriista aktiveerimist on
võimalik objekte graafikavaates liigutada neid hiirega lohistades. Samal ajal uuendatakse
dünaamiliselt nende algebralist esitust algebravaates.
Joonis 2. GeoGebra tööriista riba
Graafikavaate puhul on võimalik muuta vaateakna tausta värvi, lubada või keelata ruudustiku
ja koordinaattelgede näitamist. Muuta saab nii ruudustiku kui ka telgede värvi,
suurust, kuju jne.
Paremale jääb arvutustabel, mis oma olemuselt sarnaneb Exceli tabelile ja on abiks
funktsioonide ning graafikute loomisel. Arvutustabeli lahtritesse on võimalik sisestada
nii arve kui ka kõiki matemaatilisi objekte, mida GeoGebra toetab. Võimaluse korral
näidatakse koheselt ka graafikavaates arvutustabeli lahtrisse sisestatud objekti graafilist
esitust.
2.3. Interaktiivsete veebilehtede loomine
GeoGebra võimaldab luua interaktiivseid veebilehti ehk dünaamilisi töölehti. Selleks
tuleb valida Fail menüüst käsk „Ekspordi“ ja seejärel “Dünaamiline tööleht veebilehena
(html)“. Selle tulemusel avaneb aken, (joonis 3) kus on võimalik veebilehele lisada
pealkiri, autor, kuupäev, tekst enne konstruktsiooni ja tekst pärast konstruktsiooni.
10

Vahelehel „Lisavõimalused“ saab muuta dünaamilise konstruktsiooni funktsionaalsust
Ja kasutajaliidest. Märge „Näita konstruktsiooni lähtestamise ikooni“ teksti ees võimaldab
luua ikooni, mille abil saab alati konstruktsiooni algkujul esitada. Lisaks on võimalik
muuta ka konstruktsiooniala suurust. See on vajalik, et standardse resolutsiooniga
(1024 x 768) ekraani korral mahuks kogu konstruktsioon ekraanile nii, et ei pea kasutama
kerimisribasid. Kui sätted on paika pandud, siis vajutada „Ekspordi“.
Joonis 3. Dünaamilise töölehe eksportimine GeoGebras
Dünaamilise töölehe eksportimisel luuakse kolm erinevat tüüpi faile. Esiteks HTMLfail,
mis sisaldab töölehte ennast. Teiseks GGB-fail, mis on GeoGebra programmi fail ja
sisaldab kogu GeoGebras loodud konstruktsiooni ja kolmandaks JAR-failid. JAR-failid
on vajalikud GeoGebra faili ja veebilehe ühendamiseks ning neid võib olla rohkem kui
üks. Selleks, et dünaamiline konstruktsioon töötaks, peavad kõik need failid (*.html,
*.jar ja *.ggb) asuma ühes ja samas kaustas.
Ekspordi tulemusel tekkinud HTML-faili saab avada ja vaadata iga veebilehitsejaga.
Dünaamilist töölehte saab ka vajadusel muuta. Töölehele sisestatud teksti (tekst enne/peale
konstruktsiooni) muutmine toimub HTML-failis ja see on võimalik paljude
tekstitöötlusprogrammidega, näiteks OpenOffice Writer või NotePad. Dünaamilise
konstruktsiooni muutmine toimub aga GGB-failis. Selleks tuleb vastav fail avada
GeoGebraga ja peale korrigeerimist salvestada see sama nimega.
11

3. Dünaamilised slaidid
Alljärgnevalt on toodud juhendid ja näpunäited kõigi töö raames loodud dünaamiliste
slaidide kasutamise kohta. Iga slaid sisaldab interaktiivseid elemente. See tähendab, et
slaidil olevat kujutist saab liigutada, pöörata, väärtusi muuta või objekte peita. Ka osa
slaididel olevast tekstist on peidetav ja näidatav vastavalt vajadusele.
Reeglina on vabad punktid tähistatud slaididel sinisena, nende abil on võimalik objekte
liigutada. Märkeruutude abil on võimalik peita ja näidata teksti või objekte vastavalt
vajadusele. Liuguri abil saab aga muuta teatud lõikude või nurkade suurusi.
Iga slaidi üleval paremas nurgas asub slaidi lähtestamise nupp. Sellele vajutades taastatakse
slaidi esialgne kuju.
Üks osa slaididest on teoreetilise sisuga. Need slaidid on mõeldud uue teema õppimise
näitlikustamiseks või juba õpitu meelde tuletamiseks. Õpetaja saab lubada õpilastel ise
seoseid avastada ja pärast koos õpilastega jooniselt seose õigsust kontrollida. Selline on
näiteks kolmnurga sisenurkade summa slaid.
Teine osa slaididest on rakendusliku sisuga. Õpetajal on võimalus genereerida lõpmatul
hulgal sarnaseid ülesandeid, et arendada ülesannete lahendamise oskust õpilastel. Selline
on näiteks täisnurkse kolmnurga lahendamise slaid.
Kõik slaidid on koostatud lähtuvalt kehtivas riiklikus õppekavas antud kitsa matemaatika
trigonomeetria kursuse teemadest. Slaididel olevad valemid ja definitsioonid on võetud
riiklikule õppekavale vastavatest 10. klassi matemaatika õpikutest [10], [17].
Kindlasti on vajalik, et antud slaidide kasutamsel õpetaja selgitaks tegevust ka suuliselt,
sest slaidid ei ole mõeldud iseseisvaks õppevahendiks. Vastavad võimalikud õpetaja
tegevused on esitatud alljärgnevas osas.
3.1. Kolmnurga sisenurkade summa
Kolmnurga sisenurkade teema on küll põhikoolis õpitud, kuid siiski leidub õpilasi, kellel
see teadmine on meelest läinud. Seega on hea alustada trigonomeetriat vanade asjade
meelde tuletamisega. Antud slaidi eesmärk on õpilastele õpetada või meelde tuletada, et
kolmnurga sisenurkade summa on alati 180˚.
12

Slaidi avades näeb õpilane kolmnurka, millel on antud nurkade väärtused, ja kolme
märkeruutu (joonis 4). Sissejuhatuseks alustab õpetaja küsimusega: „Mis on sisenurk?“
ja pärast pisikest arutelu näitab õpilastele definitsiooni. Selle tegevuse käigus on kõigile
meelde tuletatud või arusaadavaks tehtud, mis on sisenurk.
Joonis 4. Kolmnurga sisenurkade summa
Edasi järgneb praktiline töö:
1. Õpetaja annab õpilastele ülesandeks leida joonisel oleva kolmnurga sisenurkade
summa. Kõik õpilased arvutavad vaikselt ja kirjutavad vastuse vihikusse.
2. Õpetaja uurib õpilastelt, mis nad vastuseks said ja muudab slaidil olevat
kolmnurka, liigutades seda vabadest (sinistest) punktidest ja palub õpilastel leida
ka uue tekkinud kolmnurga sisenurkade summa.
3. Nüüd kordab ta veel korra 2. punktis kirjeldatud protsetuuri.
4. Võrreldakse koos õpilaste tulemusi ja tehakse järeldus.
5. Nüüd meelitab õpetaja õpilased oma järelduse õigsuses ikka kahtlema ja pakub
välja uue variandi arvutuste tõestuseks. Selleks teeb ta linnukese „Liiguta nurki“
märkeruudule. See võimaldab kolmnurga nurgad kolmnurga alusel asuvasse
musta värvi punkti kokku lohistada. Kollane punkt lubab ühte nurkadest ka
pöörata.
13

6. Õpetaja võtab ja lohistab nurgad kolmnurga alusele kokku ja paigutab nad
üksteise kõrvale nii, et tekib 180˚ nurk. Seda tõsiasja saab kontrollida muutes
kolmnurka tema allesjäänud nurkadest.
7. Nüüd on kahel erineval moel proovitud, et ükskõik milline kolmnurk meil on,
alati on tema sisenurkade summa 180˚.
8. Seejärel näitab õpetaja õpilastele järelduse sõnastust.
3.2. Trigonomeetrilised funktsioonid täisnurkses kolmnurgas
Ka trigonomeetrilised funktsioonid täisnurkses kolmnurgas kuuluvad põhikoolis õpetatavate
teemade hulka. Siiski enamik koolides kasutusel olevatest õpikutest alustab trigonomeetria
teemat just täisnurkse kolmnurga arvutamisega. Seepärast ka antud töö
sisaldab paari slaidi täisnurkse kolmnurga kohta. Käesoleva slaidi (joonis 5) eesmärk on
meelde tuletada, kuidas nimetatakse täisnurkse kolmnurga külgi ning kuidas leida teravnurga
trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi täisnurkses kolmnurgas.
Joonis 5. Trigonomeetrilised funktsioonid täisnurkses kolmnurgas
Sissejuhatuseks tuletab õpetaja meelde, mis on täisnurkne kolmnurk ja kuidas selle külgi
nimetatakse. Kolmnurka sinisest ja kollasest punktist liigutades saab näidata, et külgede
nimetused säilivad kolmnurga kuju muutumisel.
Edasi tuletab õpetaja õpilastele meelde tähtsamaid seoseid täisnurkses kolmnurgas.
14

1. Pythagorase teoreemi näitamiseks tuleb teha linnuke märkeruutu vastava kirje
ees. Selle tulemusel ilmub nähtavale Pythagorase teoreemi valem. Teoreemi esitamisel
ei ole sihilikult kasutatud tähistust a, b ja c, et vältida valemi mehhaanilist
pähe õppimist.
2. Teravnurga trigonomeetrilisi funktsioone saab antud slaidil vaadelda korraga ainult
ühe nurga korral. Kuna täisnurksel kolmnurgal on kaks teravnurka, siis enne
funktsioonide juurde minemist tuleb valida, millist nurka vaadeldakse.
Valides nurgaks α ja klõpsates vastava kirjega märkeruudule, ilmuvad nähtavale
nurga α trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid. Seoses sellega muutub
ka joonis: alles jääb ainult nurk α ja kaatetid nimetatakse ümber vastavalt nurga
α lähiskaatetiks ja vastaskaatetiks. Valides nüüd nurgaks β, muutub definitsioonides
nurga tähis ja ka joonisel kujutatakse kaateteid vastavalt nurgale β.
Lõpetuseks võivad õpilased kogu slaidilt omandatu konspekteerida vihikusse.
3.3. Täisnurkse kolmnurga lahendamine
Vaadeldava slaidi eesmärk on pakkuda õpetajale lõpmata palju erinevate andmetega
täisnurkse kolmnurga lahendamise ülesandeid, millega saab arendada õpilastel vastavate
ülesannete lahendamise oskust.
Joonis 6. Täisnurkse kolmnurga lahendamine
15

1. Tunni sissejuhatuses tuletab õpetaja õpilastele meelde, kuidas lahendada täisnurkset
kolmnurka ja milliseid valemeid selle juures saab kasutada.
2. Edasi avab õpetaja slaidi. Slaidi avanedes on näha kolmnurk, liugur ja kaks
märkeruutu (joonis 6). Liuguri abil saab õpetaja valida, milliste külgede ja nurkade
väärtusi näidatakse. Selleks tuleb muuta liuguril oleva muutuja t väärtust.
Väärtuste valimiseks on kokku üheksa erinevat võimalust:
t = 0 korral ei näidata ühegi külje ega nurga väärtust;
t = 1 korral on antud kaatetite a ja b väärtused;
t = 2 korral on antud kaateti a ja nurga α väärtused;
t = 3 korral on antud kaateti a ja nurga β väärtused;
t = 4 korral on antud kaateti a ja hüpotenuusi c väärtused;
t = 5 korral on antud hüpotenuusi c ja nurga α väärtused;
t = 6 korral on antud hüpotenuusi c ja nurga β väärtused;
t = 7 korral on antud hüpotenuusi c ja kaateti b väärtused;
t = 8 korral on antud kaateti b ja nurga α väärtused;
t = 9 korral on antud kaateti b ja nurga β väärtused.
3. Õpetaja muudab kolmnurga külgede ja nurkade väärtusi vastavalt oma soovile.
Selleks saab kasutada kolmnurga sinise ja kollase punktiga tippe. Edasi näitab
õpetaja slaidi ka õpilastele.
4. Esmalt tuleb õpilastel osata jooniselt sobivad andmed välja lugeda ja kirja panna.
Kontrollimiseks saab õpetaja näidata slaidil antud ja leitavaid andmeid. Selleks
tuleb teha linnuke „Andmed“ nimelisse märkeruutu.
5. Edasi saavad õpilased iseseisvalt lahendada etteantud andmetega kolmnurka.
Kui on vajadus, siis õpetaja lahendab ülesande tahvlile koos õpilastega.
6. Lõpetuseks näitab õpetaja õpilastele vastuseid (pannes linnukese märkeruutu
„Vastused“).
3.4. Nurga mõiste, positiivne ja negatiivne nurk
Antud slaidi eesmärk on õpilastele meelde tuletada nurga mõiste ja selgitada nurga teket.
Lisaks võimaldab slaid visualiseerida positiivse ja negatiivse nurga teket.
Slaidi avades näevad õpilased viit terminit ja tühja koordinaatteljestikku (joonis 7).
16

Joonis 7. Nurga mõiste, positiivne ja negatiivne nurk
1. Sissejuhatuseks küsib õpetaja: „Mis on nurk?“ ja pärast pisikest arutelu näitab
õpilastele definitsiooni. Tehes linnukese märkeruudus „Nurk”, tekib
koordinaatteljestiku x-teljele kiir, mida saab pöörata ümber selle alguspunkti
kasutades sinist punkti, mis asub antud kiirel. Kiir jätab liikumisel jälje, nii saab
õpetaja näidata, milline kujund tekib kiire pöörlemisel ümber oma algpunkti.
Jälje kustutamiseks tuleb klikkida slaidil paremas nurgas oleval konstruktsiooni
taasesitamise nupul.
2. Nurga puhul on määravaks kiire asend kahel juhul: kiire asend, millest algab
pöörlemine ja asend, kus lõpeb pöörlemine. Õpetaja saab näidata õpilastele alghaara
ja lõpphaara definitsiooni klikkides vastava termini ees oleval märkeruudul.
Koos definitsiooniga tuleb nähtavale ka koordinaatteljestikus asuv haar.
Alghaar on kinnitatud x-teljele ja ei ole liigutatav. Lõpphaara saab aga liigutada,
et näidata kuidas nurga suurus vastavalt lõpphaara asukohast muutub.
3. Nüüd saab õpetaja laste tähelepanu suunata sellele, et lõpphaara saab pöörata
kahes vastupidises suunas.
4. Järgneb selgitus: kokkuleppeliselt nimetatakse matemaatikas vastupäeva (kellaosutile
vastupidist) pöörlemise suunda positiivseks pöörlemiseks ja päripäeva
(kellaosuti suunalist) pöörlemise suunda negatiivseks pöörlemissuunaks. Seega
17

saame nurgad jagada pöörlemise suunast lähtuvalt kaheks: positiivseteks nurkadeks
ja negatiivseteks nurkadeks.
5. Lõpetuseks näitab õpetaja slaidil nii positiivse nurga kui ka negatiivse nurga definitsioone.
Muutes nähtavaks positiivse või negatiivse nurga definitsiooni, ilmub
joonisele vastava nurga kujutis, kus lõpphaara liikumise suund on tähistatud
noolega.
3.5. Nurkade liigitamine
Nurki saab liigitada mitmel viisil. Tulemus sõltub sellest, milline tunnus või omadus on
võetud aluseks. Üks võimalus on liigitada nurki nende suuruse põhjal. Antud slaid (joonis
8) on illustreerivaks vahendiks nurkade liigitamisel nurga suuruse järgi.
Joonis 8. Nurkade liigitamine
Õpetaja avab slaidi ja alustab järgnevat arutelu:
1. Nurk on kujund, mis jääb alghaara ja lõpphaara vahele. Kuna alghaar on liikumatu
haar, siis nurga suuruse määrab ära lõpphaara asukoht. Et nurka oleks kergem
kirjeldada, saame nurga paigutada alati koordinaatteljestikku nii, et haarade
algpunkt asub koordinaatteljestiku alguspunktis ja alghaar x-teljel. Koordinaatta-
18

sandi saab jagada neljaks võrdseks osaks. Neid osi nimetatakse veeranditeks. Järelikult
saab ka nurki liigitada veerandite järgi.
2. Edasi vaadeldakse nurki, mis on väiksemad kui 360˚. Lõpphaara saab pöörata
lõpphaaral asuvast sinisest punktist. Vastavalt lõpphaara asukohale näidatakse
ekraanil nurga peal kirjega, mis liiki nurgaga on tegemist:
kui lõpphaar jääb I veerandisse, st. nurga suurus jääb vahemikku 0˚- 90˚, siis
nimetatakse seda nurka teravnurgaks;
kui nurga lõpphaar jääb täpselt I ja II veerandi vahele, st. nurga suurus on
täpselt 90˚, siis nimetatakse seda nurka täisnurgaks;
kui lõpphaar jääb II veerandisse, st. nurga suurus jääb vahemiku 90˚ - 180˚,
siis nimetatakse seda nurka nürinurgaks;
kui lõpphaar jääb täpselt II ja III veerandi vahele, st. nurga suurus on täpselt
180˚, siis nimetatakse seda nurka sirgnurgaks;
kui lõpphaar jääb III või IV veerandisse, st. nurga suurus jääb vahemiku
180˚ - 360˚, siis nimetatakse seda nurka ülinürinurgaks;
kui nurga lõpphaar jääb täpselt alghaara peale, st. nurga suurus on täpselt
360˚, siis nimetatakse seda nurka täispöördeks.
3. Kõikidel üle 360˚ olevatel nurkadel eraldi nimetus puudub. Siiski saame neid
nurki liigitada veerandite kaudu, endiselt vastavalt sellele, millises veerandis
lõpphaar peale pöörlemist peatub.
3.5. Nurga kraadimõõdu teisendamine radiaanmõõtu ja vastupidi
Vaadeldava slaidi eesmärk on aidata õpilastel mõista radiaani mõistet ja paremini meelde
jätta seoseid radiaan-ja kraadimõõdu vahel radiaani ja kraadi vahel.
1. Õpetaja alustab tundi sissejuhatavate küsimustega: „Milliseid nurgamõõdu ühikuid
tunnete? Mitu kraadi on üks täispööre? Mis on ringjoon? Mis on kaar?“.
Edasi selgitab õpetaja, et lisaks kraadimõõdule kasutatakse teatud erialadel ka
radiaanmõõtu. Radiaanmõõdu ühikut nimetatakse radiaaniks.
2. Õpetaja avab teemale vastava teemalise slaidi (joonis 9) ja näitab õpilastele radiaani
definitsiooni klikkides selleks vastava kirje ees olevale märkeruudule.
19

Joonis 9. Nurga kraadimõõdu teisendamine radiaanmõõtu ja vastupidi
3. Edasi uurib õpetaja, kas õpilased mäletavad ringjoone pikkuse valemit ja tuletab
selle neile, kes unustanud, meelde.
4. Järgmiseks annab õpetaja õpilastele ülesandeks hinnata ligikaudu, mitu raadiust
võiks mahtuda ühele ringjoonele. Pärast saadud pakkumisi püütakse vastus leida
kasutades ringjoone pikkuse valemit. Seejärel laseb õpetaja õpilastel kontrollida
vastust slaidilt. Märkeruudu ära märkimise järel jaguneb ring ekraanil radiaani
suuruste nurkadega sektoriteks. Õpetaja saab nüüd veel ka raadiuse pikkust
muuta, lohistades raadiust sinisest punktist.
5. Õpetaja küsib üle, kas kõik mäletavad, mitu kraadi on üks täispööre. Kui see on
uuesti kõigile meelde tuletatud, saab õpetaja minna järelduste tegemise juurde ja
näitab õpilastele, kuidas kraadimõõt ja radiaanmõõt omavahel seotud. Õpilased
saavad vastavad teisenduse valemid vihikusse kirja panna.
6. Tunni lõpetuseks saavad õpilased ise teisendamist proovida. Selleks annab õpetaja
liuguri abil nurgale α deg väärtuse kraadides. Õpilastel tuleb leida vastava
nurga väärtus radiaanides. Vastuse õigsust saab kontrollida, kui õpetaja vajutab
märkeruudule „Vastus“. Siis ilmub joonisele ka nurk α. Joonisele jäävad punktiirjoonega
nähtavaks ka radiaani suuruse kesknurgaga sektorid, mille abil saab
võrrelda kraadides antud nurga suuruse väärtuse vastavust radiaanides antud
20

suuruse väärtusele. Liuguri α rad abil antakse nurgale algne väärtus radiaanides ja
õpilased peavad teisendama radiaanides antud nurga kraadidesse.
3.6. Mis tahes nurga trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid
Õpilastel on eelnevalt juba õpitud trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid teravnurkade
korral. Sarnaselt teravnurkadele saab defineerida antud funktsioone ka mis tahes
nurga korral. Antud slaidi eesmärk on näidata, kuidas defineeritakse trigonomeetrilisi
funktsioone mis tahes nurga korral.
Joonis 10. Mis tahes nurga trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid
1. Õpetaja avab slaidi (joonis 10) ja valib liuguri abil, millist seost ta õpilastele
näidata tahab. Liuguril on võimalik valida neli erinevat väärtust:
kui t = 1, siis kuvatakse y ja r jagatis ehk sinα avaldis;
kui t = 2, siis kuvatakse x ja r jagatis ehk cosα avaldis;
kui t = 3, siis kuvatakse y ja x jagatis ehk tanα avaldis;
kui t = 4, siis kuvatakse x ja y jagatis ehk cotα avaldis.
Klikkides märkeruudul „Vastus“ saab näidata ka jagatise arvulist väärtust.
21

2. Edasi valib õpetaja nurga lõpphaarale sobiva asukoha (nurga suuruse). Haara
saab liigutada sellel asuvast sinisest punktist.
3. Järgmiseks annab õpetaja õpilastele ülesandeks leida slaidil esitatud jagatis. Arvutuse
õigsust saavad lapsed kontrollida, kui õpetaja aktiveerib vastava märkeruudu.
Enne järgmist tegevust tuleb kindlasti jagatise vastus uuesti peita.
4. Õpetaja nihutab nurga lõpphaaral olevat punkti F ja õpilased peavad leidma
punkti muudetud koordinaatide korral uuesti antud jagatise.
5. Õpetaja kordab punkti nihutamist ja laseb veel korra õpilastel leida antud jagatise.
Selleks ajaks on ilmselt juba kõik õpilased taibanud, et antud nurga korral
leitav jagatis jääb alati samaks.
6. Nüüd aga muudab õpetaja nurga lõpphaara asukohta (nurga suurust) ja kordab
õpilastega punktides 4 ja 5 kirjeldatud tegevust.
7. Nüüd on näidatud ka, et jagatise väärtus sõltub nurga suurusest, mitte punkti
asukohast haaral.
8. Lõpetuseks annab õpetaja leitud suhtele nime (siinus, koosinus, tangens või kootangens)
ja näitab õpilastele definitsiooni.
9. Täpselt sama protseduuri saab õpetaja läbi teha kõigi ülejäänud kolme funktsiooni
korral.
3.7. Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi
Enamasti teatakse, et kolmnurga pindala saab leida valemiga
. Kuid mis teha
siis, kui on kolmnurga puhul teada ainult kaks külge ja nende vaheline nurk? Käesoleva
slaidi (joonis 11) abil saab õpetaja näidata, kuidas sellisel juhul saab kolmnurga pindala
leida.
Alustuseks peab õpetaja valima, millised andmed on kolmnurgas antud. Selleks klikib
õpetaja vastaval märkeruudul. Selle tulemusel märgitakse joonisel punasega vastavad
küljed ja nende vaheline nurk.
22

Joonis 11. Kolmnurga pindala kahe külje ja nende vahelise nurga järgi
Enne lahenduse juurde asumist on õpetajal võimalik muuta ka kolmnurka. Kolmnurka
saab muuta liigutades seda sinistest punktidest kolmnurga tippudes.
Kui kolmnurk ja andmed on paigas alustab õpetaja järgmise arutlusega:
1. Esmalt uurib õpetaja õpilastelt: „Milliseid andmeid on meil vaja kolmnurga
pindala leidmiseks?“ Kui õpilased ise ei paku alust ja kõrgust, siis suunab õpetaja
nad selleni.
2. Järelikult on vaja joonestada kolmnurgale kõrgus. Selleks klikib õpetaja vastaval
märkeruudul. Kuna kõrguse joonestamise valikuid on kaks, siis ühise arutelu
käigus jõutakse arusaamisele, millisele küljele peaks kõrguse joonestama.
3. Edasi uurib õpetaja õpilastelt, mis selle kolmnurgaga edasi saaks teha. Mida
kõrgus kolmnurgaga teeb? Kui õpilased vastata ei oska, siis suunab õpetaja nad
vastuseni, et kõrgus jagab antud kolmnurga kaheks täisnurkseks kolmnurgaks.
Selle kinnituseks klõpsab õpetaja märkeruudul „Tükelda“.
4. Tükeldamise tulemusel ilmuvad nähtavale kaks täisnurkset kolmnurka. Kolmnurgad
on liigutatavad sinistest punktidest ja pööratavad kollastest punktidest.
Õpetaja saab täisnurksed kolmnurgad lohistada esialgse kolmnurga peale. Sellega
saab ta näidata õpilastele, et antud täisnurksetest kolmnurkadest saab tõesti
moodustada esialgse kolmnurga.
23

5. Kolmnurkadel ADC ja BDC on märgitud ära andmed, mis on teada. Edasi ärgitab
õpetaja õpilasi leidma võimalusi kolmnurga kõrguse avaldamiseks. Ühest
antud kolmnurgast ei ole võimalik kõrgust avaldada, sest seal ei ole antud piisavalt
andmeid. Teises kolmnurgas on teada nurk ja hüpotenuus ning vaja on leida
nurga vastas olev kaatet. Seega saame välja kirjutada nurga siinuse kui otsitava
kõrguse ja kaateti jagatise. Saadud seosest on võimalik avaldada kolmnurga kõrgus.
6. Õpetaja suunab õpilasi lahenduse leidmisele. Kogu lahendus viiakse läbi tahvlil.
7. Vajadusel teeb õpetaja kogu tuletuskäigu uuesti teistsuguste andmetega läbi.
8. Lõpetuseks näitab õpetaja järeldust.
3.8. Siinusteoreem
Kolmnurga lahendamine tähendab selle kolmnurga puuduvate külgede ja nurkade leidmist.
Puuduvate külgede ja nurkade leidmine on kerge, kui on teada mõningad kolmnurga
nurkade ja külgede vahelised seosed. Üks tähtsamaid nendest on siinusteoreem.
Antud slaid (joonis 12) on abistav vahend siinusteoreemi õpetamiseks. Lisaks on slaid
kasutatav ka siinusteoreemi abil lahendatavate ülesannete koostamisel ja lahendamisel.
Joonis 12. Siinusteoreem
24

Enne teema juurde asumist saab õpetaja muuta vastavalt oma soovile antud kolmnurga
külgede ja nurkade väärtusi. Selleks saab ta liigutada kolmnurka sinistest punktidest.
Edasi toimub töö slaidiga:
1. Õpetaja annab õpilastele ülesandeks leida kolme slaidil oleva suhte väärtused
kasutades joonisel olevaid väärtusi. Iga suhte väärtus on ka slaidilt kontrollitav.
Selleks märgib õpetaja ära vastava suhte ees oleva märkeruudu.
2. Vajadusel muudab õpetaja kolmnurgas olevaid andmeid ja laseb õpilastel punktis
1 kirjeldatud tegevust korrata.
3. Saades kinnitust, et kolmnurga külje ja tema vastasnurga siinuse jagatis antud
kolmnurga korral on muutumatu suurus, näitab õpetaja õpilastele siinusteoreemi
sõnastust.
Antud slaidi saab kasutada ka kolmnurga lahendamiseks siinusteoreemi abil. Siinusteoreem
on kasutatav kolmnurga lahendamisel siis, kui on teada kolmnurga kaks nurka ja
üks külg või kaks külge ja ühe antud külje vastasnurk. Slaidil on toodud liugur, mille
abil on võimalik näidata ja peita kolmnurga erinevate külgede ja nurkade väärtusi. Liuguril
on kokku 16 erinevat väärtust, iga väärtuse korral näidatakse kolmnurgas erinevate
külgede ja nurkade kombinatsiooni.
Kui t = 0, siis on nähtavad kolmnurga kõikide külgede ja nurkade väärtused;
kui t = 1, siis on nähtavad külje a ning nurkade α ja β väärtused;
kui t = 2, siis on nähtavad külje b ning nurkade α ja β väärtused;
kui t = 3, siis on nähtavad külje c ning nurkade α ja β väärtused;
kui t = 4, siis on nähtavad külje a ning nurkade α ja väärtused;
kui t = 5, siis on nähtavad külje b ning nurkade α ja väärtused;
kui t = 6, siis on nähtavad külje c ning nurkade α ja väärtused;
kui t = 7, siis on nähtavad külje a ning nurkade β ja väärtused;
kui t = 8, siis on nähtavad külje b ning nurkade β ja väärtused;
kui t = 9, siis on nähtavad külje c ning nurkade β ja väärtused;
kui t = 10, siis on nähtavad külgede a ja b ning nurk α väärtused;
kui t = 11, siis on nähtavad külgede a ja b ning nurk β väärtused;
kui t = 12, siis on nähtavad külgede a ja c ning nurk α väärtused;
kui t = 13, siis on nähtavad külgede a ja c ning nurk väärtused;
kui t = 14, siis on nähtavad külgede b ja c ning nurk β väärtused;
25

kui t = 15, siis on nähtavad külgede b ja c ning nurk väärtused.
Enne kolmnurga lahendamist tuleb õpetajal valida kolmnurgale sobivad andmed. Edasi
tuleb õpilastel välja kirjutada kõik antud ja puuduvad elemendid. Selleks, et õpilased
saaksid oma joonise lugemise oskust kontrollida, tuleb õpetajal klikkida märkeruutu
„Andmed“. Järgmiseks tuleb siinusteoreemi abil leida puuduvad küljed ja nurgad. Kindlasti
tuleb õpetajal juhendada õpilasi siinusteoreemi kasutamisel. Lõpetuseks saavad
õpilased kontrollida vastuseid. Selleks tuleb õpetajal klikkida märkeruudule „Vastused“.
3.9. Koosinusteoreem
Alati ei õnnestu kolmnurga lahendamisel siinusteoreemi kasutada. Näiteks juhul, kui on
antud ainult kolmnurga kolm külge. Kuid see ei tähenda veel, et kolmnurka ei saa nende
andmete põhjal lahendada. Sellistel juhtudel kasutatakse kolmnurga lahendamiseks koosinusteoreemi.
Antud slaidi (joonis 13) abil saab tuletada koosinusteoreemi.
Joonis 13. Koosinusteoreem
Tuletuskäik on järgmine:
1. Sissejuhatuseks alustab õpetaja teemat küsimusega: „Millise valemi abil saame
leida täisnurkses kolmnurgas kolmanda külje, kui meil on teada kolmnurga ülejäänud
kaks külge?“ Toimub arutelu, mille tulemusel jõutakse ühesele järelduse-
26

le, et selleks on vaja kasutada Pythagorase teoreemi. Õpetaja suunab õpilaste tähelepanu
ka sellele, et tegelikult on meil täisnurkse kolmnurga puhul alati teada
ka kaatetite vaheline nurk.
2. Edasi tõstatab õpetaja küsimuse, et kas seda valemit saab kasutada ka siis, kui
kolmnurk ei ole täisnurkne? Kuidas ja kas saab üldse leida suvalise kolmnurga
kolmanda külje pikkuse siis, kui on teada kolmnurga kaks külge ja nende vaheline
nurk? Õpetaja teeb ettepaneku asja lähemalt uurida.
3. Õpetaja muudab slaidil kolmnurka vastavalt oma soovile ja määrab ära, millised
küljed ja nende vaheline nurk on antud. Kolmnurka saab muuta sinistest punktidest
kolmnurga tippudes. Andmete määramiseks on vaja klikkida vastava kirje
ees olevale märkeruudule. Valitud andmed kajastuvad ka joonisel. Otsitav külg
on algselt märkimata.
4. Järgmiseks arutleb õpetaja selle üle, millega tuleks joonist täiendada, et saaks
uue ülesande taandada tuttavale Pythagorase teoreemi rakendamisele. Selleks lisalõiguks
on kolmnurga kõrgus. Jaotab ju kõrgus antud kolmnurga kaheks täisnurkseks
kolmnurgaks.
5. Tükeldamisel ilmuvad nähtavale kaks täisnurkset kolmnurka. Kolmnurgad on
liigutatavad sinistest punktidest ja pööratavad kollastest punktidest. Õpetaja
saab täisnurksed kolmnurgad lohistada esialgse kolmnurga peale, et siis tuletada
soovitud valem.
6. Kolmnurkadel ADC ja BDC on märgitud ära andmed, mis on teada ja ka külg,
mida on vaja leida. Edasi ärgitab õpetaja õpilasi leidma seoseid, mille abil on
võimalik avaldada otsitav külg. Kogu valemi tuletamine viiakse läbi tahvlil.
7. Vajadusel teeb õpetaja kogu tuletuskäigu uuesti teistsuguste andmetega läbi.
8. Lõpetuseks näitab õpetaja järeldust.
3.10. Siinusfunktsioon, koosinusfunktsioon ja tangensfunktsioon
Trigonomeetriliste funktsioonide y=sin x, y=cos x ja y=tan x graafikute lugemise oskus
on eraldiseisva pädevusena trigonomeetria all kirja pandud alles 2011. aastal vastu võetud
õppekavas. Varasemas õppekavas käsitleti trigonomeetriliste funktsioonide graafikuid
teema „Funktsioonid II“ raames [13].
27

Antud slaidid aitavad õpilastel aru saada, kuidas siinusfunktsiooni, koosinusfunktsiooni
ja tangensfunktsiooni graafikud tekivad. Iga funktsiooni kohta on koostatud eraldi slaid.
Alljärgnev kirjeldus sobib kõigi kolme slaidiga töötamiseks.
Avades antud teemalise slaidi, näeme seal kahte koordinaatteljestikku, millest ühes on
kujutatud nurk (joonis 13). Nurga väärtust saab muuta, liigutades lõpphaara sellel olevast
sinisest punktist H. Punkti H kaugust koordinaatteljestiku alguspunktist saab muuta
liuguri abil. Punkti asukoha muutmisega muutuvad ka vasakul olevad punkti koordinaadid
ja punkti kaugus r .
Joonis 14. Siinusfunktsioon
Õpetaja juhatab teema sisse tuletades õpilastele meelde funktsiooni mõiste ja mis tahes
nurga trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid.
Edasi järgneb praktiline töö:
1. Õpetaja paneb paika punkti kauguse koordinaatteljestikust ja määrab ära lõpphaara
asukoha. Edasi on vaja õpilastel arvutada etteantud nurgale vastav trigonomeetrilise
funktsiooni väärtus kasutades antud suhet.
Selleks määrab õpetaja nurgale suuruse ja annab õpilastele aega arvutada. Enne
nurga suuruse muutmist laseb õpetaja õpilastel tulemust kontrollida, selleks teeb
ta kliki märkeruudul „Arvuta“.
28

2. Olles saanud funktsiooni väärtuse, saab leitud andmete põhjal paigutada koordinaatteljestikku
uue punkti koordinaatidega (α; sinα). Selleks tuleb valida tööriistaribalt
punkti tööriist ja paigutada punkt võimalikult täpselt suurele koordinaatteljestikule.
Et asukohta oleks täpsem määrata, on arvutuste all antud ka kraadimõõdus
nurga teisendus radiaanmõõtu.
3. Sarnaselt punktis 2 kirjeldatule paigutatakse veel mõned punktid koordinaatteljestikku.
4. Edasi näitab õpetaja graafikut aktiveerides vastava märkeruudu. Selle tulemusel
ilmub koordinaatteljestikku vastava trigonomeetrilise funktsiooni graafik koos
sellel asuva punktiga D. Õpilased saavad kontrollida, kas graafik läbib ka nende
poolt paika pandud punkte.
5. Kuna punktide leidmine ühe kaupa võtab palju aega, on õpetajal võimalus näidata
graafiku teket kiiremini. Selleks tuleb tal liigutada nurga lõpphaara samal ajal,
kui funktsiooni graafik on nähtav. Haara liigutades hakkab liikuma ka graafikul
olev punkt D, mis jätab endast maha jälje.
29

Kokkuvõte
Trigonomeetria on õpilastele üks raskemaid teemasid koolimatemaatikas, sest see on
mahukas ja abstraktne. Selleks, et õpilased seda paremini mõistaksid, tuleb trigonomeetriat
muuta õpilasele konkreetsemaks ja paremini mõistetavaks. Viimast aga saame teha
läbi trigonomeetria mõistete ja seoste visualiseerimise.
Käesoleva magistritöö peamiseks eesmärgiks oli koostada abistav materjal trigonomeetria
õpetamiseks ja õppimiseks. Slaidide koostamisel on lähtutud kehtivas riiklikus õppekavas
antud kitsa matemaatika trigonomeetria kursuse teemadest. Samas on slaidid
kasutatavad ka laialdasemalt – trigonomeetria teema tutvustamiseks või kordamiseks nii
põhikoolis, kutsekoolis kui ka kõrgkoolis.
Töö autor valis slaidide koostamiseks koolitarkvaraprogrammi GeoGebra. Programm on
vabavaraline, eestikeelne, internetis kättesaadav ja kergesti kasutatav. Lisaks saab programmi
kasutada nii veebipõhiselt kui ka arvutisse installeeritult. Valikule aitas kaasa ka
see, et programm kogub õpetajate seas üha enam populaarsust.
Lõputöö jaguneb kaheks: teoreetiline töö ja dünaamilised slaidid. Teoreetiline töö koosneb
kolmest peatükist. Esimeses peatükis selgitatakse trigonomeetria asendit matemaatika
uues õppekavas ja tuuakse välja koolis õpetatavad trigonomeetria teemad.
Teises peatükis tutvustatakse programmi GeoGebra ning selgitatakse mõningaid
GeoGebra võimalusi, mida antud töö autor kasutas.
Kolmas peatükk peatub töö käigus koostatud slaidide ja nende kasutamisvõimaluste
kirjeldamisel. Iga slaidi kohta tuuakse välja põhjalik kirjeldus, millised on slaidi kasutamise
võimalused ja kirjeldatakse, kuidas on töö autor näinud slaidi kasutamist õpetaja
töös.
Praktilise osana on töö juurde autori poolt loodud 13 dünaamilist slaidi:
Kolmnurga sisenurkade summa;
Trigonomeetrilised funktsioonid täisnurkses kolmnurgas;
Täisnurkse kolmnurga lahendamine;
Nurga mõiste, positiivne ja negatiivne nurk;
Nurkade liigitamine;
Nurga kraadimõõdu teisendamine radiaanmõõtu ja vastupidi;
30

Mis tahes nurga trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid;
Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi;
Siinusteoreem;
Koosinusteoreem;
Siinusfunktsioon;
Koosinusfunktsioon;
Tangensfunktsioon.
Kõik loodud dünaamilised slaidid asuvad magistritöö elektroonilises osas CD-l.
31

Summary
Dynamic slides for trigonometry
Katriin Orason
For the leaners trigonometry is one of the most difficult subjects in school maths due to
its volume and complexity. Trigonometry is difficult because it is abstract and there are
lots of formulas. In order to make the subject more comprehensible, trigonometry has to
be made more specific for the learner. It can be done via visualising the terms and links
in trigonometry.
The main goal of the present Master`s thesis was to compile study material „Dynamic
Slides for Teaching Trigonometry“. All slides have been prepared pursuant to subjects
of narrow maths trigonometry presented in current public study program. While the
slides can also be used wider – to introduce or revise trigonometry in basic or vocational
school or university.
To prepare the slides the author of the paper has chosen school software program
GeoGebra. It is a freeware program, in Estonian, available in the internet and easy to
use. Additionally the program can be used either web-based or downloaded in your
computer. The choice was supported by the fact that the program is becoming more and
more popular with the teachers.
The final thesis is divided into two parts: theoretical work and dynamic slides.
Theoretical part composes of three chapters. The first chapter explains the place of
trigonometry in new maths study program and gives the subjects taught in trigonometry.
The second chapter introduces the program GeoGebra and describes some possibilities
of GeoGebra used by the author.
The third chapter describes the slides made in work process and the opportunities to use
them. Each slide is thoroughly described, what are the possibilities to use the slides and
how the author sees their usage by a teacher.
As practical part of the work there are 13 dynamic slides. All dynamic slides are
attached to the electronical part of the Master`s thesis on CD.
32

Kasutatud kirjandus
[1] Albe, J. (2008). Dünaamilised slaidid 12. klassi matemaatikaõpiku juurde :
magistritöö. Tartu: Tartu Ülikool.
http://dspace.utlib.ee/dspace/bitstream/10062/6625/1/albre_jane.pdf
(26.05.2011)
[2] Albre –Andersen, J. (2009). GeoGebra 3.2 eestikeelne manuaal.
http://mott.edu.ee/index.php?option=com_remository&Itemid=28&func=file
info&id=177 (26.05.2011)
[3] GeoGebra ametlik veebileht. http://www.geogebra.org/ (26.05.2011)
[4] Gümnaasiumi riiklik õppekava. (2011) Riigi Teataja I osa.
https://www.riigiteataja.ee/akt/114012011002 (26.05.2011)
[5] Kaasik, Ü. (2003). Matemaatikaleksikon. Tartu: AS Atlex, 245.
[6] Kariste, K. (2009). Lookuste konstrueerimine dünaamilise geomeetria tarkvarapaketiga
GeoGebra: bakalaurusetöö. Tartu: Tartu Ülikool.
http://math.ut.ee/~kaido98/Geogebra_bakalaureusetoo/Bakalaureuse_too_Ka
ido_Kariste_033.doc (26.05.2011)
[7] Koolielu. (2008). Õpilaste motiveerimine, õppemeetodite valiku olulisus.
http://arhiiv.koolielu.ee/pages.php/0710,22085 (26.05.2011)
[8] Koppel, T. Tiit Koppeli e-materjalid. http://tiitkoppel.webs.com/
(26.05.2011)
[9] Kreutzberg, K., Pihlap, S., Tõnisson, E. (2010). GeoGebra instituut – liiga
lennukas silt või siiski mitte? - Koolimatemaatika XXXVII. Tartu: Tartu Ülikooli
kirjastus, lk. 14-17.
[10] Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2004). Trigonomeetria. – Matemaatika
10 klassile. Tallinn: Koolibri, lk. 200 – 287.
33

[11] Matemaatika instituudi 2008. aasta aruanne. (2009)
http://www.math.ut.ee/orb.aw/class=file/action=preview/id=520633/aruanne
2008.pdf (26.05.2011)
[12] Palu, A. (2010). Matemaatika. – Õppimine ja õpetamine esimeses ja teises
kooliastmes. Tartu: Ecoprint, lk. 243 – 261.
[13] Põhikooli ja gümnaasiumi riiklik õppekava. (2002) Riigi Teataja I osa.
https://www.riigiteataja.ee/akt/174787 (26.05.2011)
[14] Põhikooli riiklik õppekava. (2011) Riigi Teataja I osa.
https://www.riigiteataja.ee/akt/114012011001 (26.05.2011)
[15] Rõbkin, N. (1954). Tasapinnaline trigonomeetria X – XI klassile. Tallinn:
Eesti Riiklik kirjastus, lk. 3 – 5.
[16] Sazonova, N. Matemaatika. http://www.tvl.tartu.ee/~natalja_sazonova/
(26.05.2011)
[17] Tõnso, T. Veelmaa, A. (1996). Trigonomeetria. – Matemaatika X klassile.
Tallinn: Mathema, lk. 197 – 266.
[18] TÜ Matemaatika instituudi 2010. aasta aruanne. (2011)
http://www.math.ut.ee/orb.aw/class=file/action=preview/id=946701/MMI_ar
uanne2010.pdf (26.05.2011)
[19] Veelmaa, A-R. GeoGebra materjalid.
http://web.zone.ee/veelmaaallar/geogebra/ (26.05.2011)
34