Artikli fail
Artikli fail
Artikli fail
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Õpilaste lahendusstrateegiad proportsionaalse mõtlemise<br />
ülesannetes<br />
Kait Kleemann, Oru Kool<br />
Jüri Kurvits, Tallinna Ülikool, Helsingi Ülikool<br />
Proportsionaalse mõtlemise mõiste<br />
Teise kooliastmesse jõudes puutuvad õpilased matemaatikas kokku selliste<br />
keeruliste mõistetega nagu osamäär, suhe ja proportsionaalsus. Õpetajate ja<br />
uurijate seas ollakse üksmeelel, et loetletud mõistetega mõtestatult arutlemine<br />
osutub õpilaste jaoks tõeliseks väljakutseks (Nabors, 2002). Vastavate<br />
mõistete sisuline mõistmine mängib aga õpilase arengus kriitilist rolli ning<br />
proportsionaalset mõtlemist peetakse gümnaasiumi matemaatika nurgakiviks<br />
(Lesh jt, 1988). Samuti on proportsionaalne mõtlemine üheks parimaks<br />
indikaatoriks ratsionaalarvu mõiste ning selle erinevate tähenduste ja<br />
esitusviiside sisulise mõistmise hindamisel (Lamon, 2012).<br />
Proportsionaalset mõtlemist on aastaid käsitletud katusmõistena, mis hõlmab<br />
erinevaid ratsionaalarvuga seotud mõisteid, seoseid ja kontekste. Sageli<br />
vältisid uurijad selle korrektset defineerimist ning piirdusid pigem selliste<br />
situatsioonide kirjeldamisega, kus õpilane või täiskasvanu ei mõtle<br />
proportsionaalselt (Lamon, 2012). Van de Walle (2007) järgi on antud<br />
mõiste defineerimine ühe või kahe lihtsa lausega lausa võimatu. Näiteks<br />
Lesh (1988) koos kolleegidega kirjutab, et proportsionaalne mõtlemine sisaldab<br />
endas oskust:<br />
tajuda multiplikatiivseid seoseid suuruste vahel ning nende üheaegseid<br />
muutusi;<br />
võrrelda mitut suhtarvu;<br />
informatsiooni killukesi mälus salvestada ning töödelda.<br />
Proportsionaalne mõtlemine on Leshi jt arvates tihedalt seotud järelduste<br />
tegemise ja prognoosimisega ning sisaldab nii kvalitatiivset kui ka kvantitatiivset<br />
mõtlemist.<br />
Lamon’i (2012) järgi tähendab proportsionaalne mõtlemine aga arutluskäiku<br />
üles ja alla (reasoning up and down) situatsioonides, kus suuruste vahel<br />
on konstantne multiplikatiivne seos. Multiplikatiivsetest seostest ning vastavatest<br />
strateegiatest saab täpsemalt lugeda J. Kurvitsa (2008) artiklist<br />
„Multiplikatiivne mõtlemine – probleem koolimatemaatikas“. Järgnevalt<br />
selgitame üles ja alla arutluskäiku näite 1 abil.<br />
3 1<br />
Näide 1. Oletame, et tervest on . Esitame 1 antud ter-<br />
4 2<br />
vest.<br />
23
Tabel 1. Arutluskäigu üles ja alla selgitus<br />
Mõtleme<br />
Kuna 6 osale vastab 4<br />
3 ,<br />
Alustame esialgse murruga<br />
siis 2 osale peaks vastama 4<br />
1 ning<br />
Tekib uus terve (ühik)<br />
8 osale vastab 4<br />
4 või üks terve.<br />
Nüüd esialgse terve (ühiku)<br />
juurde tagasi<br />
Ütleme<br />
Kuna<br />
on üks terve, siis<br />
Esitame<br />
1<br />
1 tervest<br />
2<br />
on<br />
1<br />
1 .<br />
2<br />
Seega on ülesannete lahendamine proportsionaalse mõtlemise abil omaette<br />
protsess, mitte lihtsalt õige tehte valimine. See on võimas tööriist, millest<br />
on abi nii matemaatiliste kui ka paljude teiste eluliste ning teaduslike probleemide<br />
lahendamisel (Fernandez jt, 2010).<br />
Proportsionaalne mõtlemine on ühenduslüliks üleminekul alg- ja põhikooli<br />
matemaatika juurest keerukama ja abstraktsema matemaatika juurde, seetõttu<br />
on antud teema põhikooli matemaatikas olulise tähtsusega. Põhikoolis<br />
läheb proportsionaalse mõtlemise oskust vaja eelkõige sellistes ainetes nagu<br />
keemia, füüsika, geograafia ja bioloogia. Samuti on seda vaja vanemate<br />
klasside matemaatikatundides näiteks sarnasuse, tõenäosuse ja funktsioonidega<br />
tegeledes.<br />
24
Proportsionaalse mõtlemise areng<br />
Proportsionaalne mõtlemine areneb väga aeglaselt ja uurimused on näidanud,<br />
et ka enamusel täiskasvanutest ei ole see täielikult välja arenenud<br />
(Lamon, 2012; Noelting, 1980; Tourniaire jt, 1985). Seega ei kujune proportsionaalne<br />
mõtlemine iseenesest aastate jooksul ega ole miski, mida<br />
saaks konkreetse teemana selgeks õpetada. See koosneb paljude erinevate<br />
teemade sisulisest mõistmisest (joonis 1) ning areng nõuab aega (Proportional<br />
reasoning, 2007).<br />
Joonis 1. Ülevaade oskustest ja teemadest, millest koosneb proportsionaalne mõtlemine<br />
Teadlaste arvates võib proportsionaalse mõtlemise arenemist kirjeldada õppimise<br />
trajektoorina kvalitatiivselt mõtlemiselt multiplikatiivseni (Kurvits,<br />
2011; Steinthorsdottir jt, 2009).<br />
Kvalitatiivne mõtlemine põhineb intuitiivsetel teadmistel suhetest ilma arvuliste<br />
seosteta. See tähendab näiteks, et arvulist vastust leidmata saadakse<br />
aru, et kui töölisi on rohkem, siis tehakse töö ära lühema ajaga.<br />
Kvalitatiivsele tasemele järgneb eelproportsionaalse mõtlemise tase, millel<br />
on laps võimeline märkama lihtsamaid multiplikatiivseid seoseid suuruste<br />
vahel. Kuid üldjuhul kasutab ta probleemide lahendamisel strateegiaid, mis<br />
on oma olemuselt aditiivsed.<br />
Aditiivne strateegia põhineb liitmisel ja nooremas eas märkabki laps suuruste<br />
vahel vaid aditiivseid seoseid. Kui hakatakse korrutustabelit õppima,<br />
siis vaadeldakse sageli korrutamist kui järjestikust liitmist. Nii saab õpilane<br />
paremini aru korrutamise sisust ja korrutustabeli vajalikkusest. Liitmine on<br />
lapse jaoks paremini arusaadav ja „käegakatsutavam“ kui korrutamine ning<br />
25
kui ülesanded muutuvad keerukamaks, siis pöördub laps korrutamiselt tagasi<br />
liitmist sisaldavate strateegiate juurde.<br />
Eelproportsionaalsel tasemel olevad õpilased võivad märgata lihtsamaid<br />
multiplikatiivseid seoseid. Näiteks võivad nad märgata, et teatud suurus on<br />
kaks või kolm korda suurem teisest ning oskavad seda multiplikatiivset<br />
seost probleemi lahendamisel kasutada. Kuid üldjuhul kasutatakse ülesannete<br />
lahendamisel strateegiaid, mis on oma olemuselt aditiivsed. Üheks populaarseks<br />
meetodiks on näites 3 illustreeritud korduva liitmise strateegia<br />
(build-up strategy), mida tegelikult Eesti koolides ei õpetata.<br />
Proportsionaalne mõtlemine on välja arenenud, kui õpilane suudab näha<br />
multiplikatiivseid seoseid ühe suhte sees (within ratio) ja kahe suhte vahel<br />
(between ratios) (Kurvits, 2011). Vastavad seosed võivad seejuures olla<br />
väljendatud nii täisarvuliselt kui ka murdarvuliselt (Steinthorsdottir jt,<br />
2009). Piaget’ teooria kohaselt ei ole laps võimeline multiplikatiivset mõtlemist<br />
kasutama enne 11. eluaastat, s.t mitte enne, kui ta on jõudnud formaalsete<br />
operatsioonide tasemele (Lesh jt, 1988).<br />
Ühe suhte sees ja kahe suhte vahel olevaid multiplikatiivseid seoseid saab<br />
eristada selle järgi, kuidas tekstülesande andmete põhjal võrre moodustatakse.<br />
Erinevates õpikutes käsitletakse seda erinevalt (Nurk jt, 2000, lk<br />
124–127; Kaldmäe jt, 2011, lk 100–102). Öeldut selgitatakse järgneva näite<br />
2 abil.<br />
Näide 2.<br />
6 kassi toitmiseks kulub 4 konservi kassitoitu. Mitu konservi kulub 48 kassi<br />
toitmiseks?<br />
Selle teksti põhjal võiks koostada võrde kas kujul<br />
või hoopis kujul<br />
6 4 <br />
48 x<br />
6 <br />
4<br />
(2)<br />
Kui räägitakse suhte sees ja kahe suhte vahel olevatest seostest, siis on oluline<br />
vahet teha, kumba esitust mõeldakse. Toetudes teiste autorite käsitlusele<br />
(Baxter, 2001; Steinthorsdottir jt, 2009), kasutatakse antud artiklis viimasena<br />
toodud kuju (2). See tähendab, et ühe situatsiooni kohta käivat kahte<br />
erinevat mõõdet vaadeldakse kui seost ühe suhte sees. Ühe ja sama suuruse<br />
kaks erinevat väärtust erinevates situatsioonides kirjeldavad seost kahe<br />
suhte vahel. Antud ülesande puhul on seega sisemine seos 6 kassi ja 4 konservi<br />
vahel, s.o 6 : 4 = 1,5. Kuid 48 kassi ja 6 kassi vahelist suhet käsitletakse<br />
kui kahe suhte vahel olevat seost, s.o 48 : 6 = 8.<br />
Järgnevalt vaadeldakse lähemalt erinevaid proportsionaalse mõtlemise<br />
ülesandeid.<br />
48<br />
x<br />
(1)<br />
26
Ülesannete tüübid proportsionaalse mõtlemise hindamiseks<br />
Projekti The Rational Number Project (TRNP) raames on uurimisrühm välja<br />
töötanud kolm järgnevat ülesannete tüüpi (Cramer jt, 1993), mis võimaldavad<br />
uurida õpilaste proportsionaalse mõtlemise arengut.<br />
1. Kvalitatiivse ennustamise ja võrdlemise ülesanded (qualitative prediction<br />
and comparison problems), mille lahendamisel ei toetuta arvulistele<br />
väärtustele. Arvuliste võrdluste puhul võib õpilane kasutada tehniliselt<br />
meelde jäetud meetodeid või reegleid, kuid kvalitatiivse võrdlemise ja ennustamise<br />
puhul peab ta mõistma esitatud seoseid sisuliselt. Kvalitatiivne<br />
mõtlemine võimaldab oma tulemuse õigsust hinnata ning ülesannete lahendamiseks<br />
sobivaid parameetreid määrata. Proportsionaalne mõtlemine eeldab<br />
sellist tüüpi mõtlemise oskust.<br />
2. Arvulise võrdlemise ülesanded (numerical comparison problems).<br />
Nendes ülesannetes on antud kaks suhtarvu, mida tuleb omavahel võrrelda.<br />
Ülesannete keerukusaste sõltub sellest, kas suhtarvude sees on täisarvulised<br />
või murdarvulised seosed. Uuringud näitavad (Cramer jt, 1993; Hart,<br />
1984), et kui täisarvuliste suhete korral lahendab enamik õpilasi ülesande<br />
õigesti, siis murdarvulise suhte puhul pöörduvad paljud aditiivsete strateegiate<br />
juurde, mis viivad vale vastuseni.<br />
3. Võrdelise ja pöördvõrdelise seose ülesanded (missing-value problems)<br />
ehk ülesanded, mille puhul kolm suurust on antud ja neljas tuleb leida. Suuruste<br />
vahel on kas võrdeline või pöördvõrdeline seos. Ülesannete lahenduse<br />
edukus sõltub ka siin sellest, kas multiplikatiivsed seosed arvude vahel on<br />
täisarvulised või murdarvulised.<br />
Näiteid iga ülesandetüübi kohta leiab J. Kurvitsa (2011) artiklist „Proportsionaalse<br />
mõtlemise areng“.<br />
Proportsionaalse mõtlemise ülesannete lahendusstrateegiad<br />
Et proportsionaalse mõtlemise ülesandeid on võimalik lahendada erinevate<br />
strateegiate abil, on strateegia valik oluline näitaja õpilase proportsionaalse<br />
mõtlemise arengu hindamisel.<br />
Kirjanduse põhjal võib välja tuua järgmised proportsionaalse mõtlemise<br />
ülesannete lahendusstrateegiad (Cramer jt, 1993).<br />
Ühe ühiku strateegia<br />
Antud strateegiat iseloomustab küsimus „kui palju on ühe kohta?“. Näiteks<br />
leitakse kõigepealt ühiku hind, liikumise kiirus ühe tunni kohta, 1%-le vastav<br />
osa vms ja selle järgi arvutatakse vastus ülesandes esitatud küsimusele.<br />
Kordistamise strateegia<br />
Kui kahe kassi toitmiseks kulub 5 konservi, siis mitu konservi kulub kuue<br />
kassi toitmiseks? Kuus kassi on kolm korda rohkem kui kaks kassi, seega<br />
27
kulub 3 korda rohkem toitu: 5 3 15<br />
konservi. Lahendamise edukus sõltub<br />
sellest, kas vastavate suuruste vahel on täisarvulised või murdarvulised<br />
seosed. Lahendus saadakse kas korduva liitmise teel või otse korrutades.<br />
Harilike murdude strateegia<br />
Selle strateegia puhul ei vaatle õpilane suurustega seotud ühikuid, vaid<br />
keskendub arvudevahelistele multiplikatiivsetele seostele. Ta käsitleb suhteid<br />
hariliku murru kujul ning lahendab ülesanded hariliku murru põhiomadust<br />
kasutades. Näiteks kui kahe kassi toitmiseks kulub 5 konservi, siis õpilane<br />
vaatleb seda kui murdu 5<br />
2 . Et leida, kui palju läheb vaja 6 kassi toitmiseks,<br />
korrutab ta murru lugejat ja nimetajat 3-ga ehk<br />
2 3<br />
<br />
53<br />
6<br />
15<br />
ning jõuab<br />
vastuseni, et tarvis on 15 konservi.<br />
Võrde põhiomaduse strateegia<br />
See on mehaaniline lahendus, mille käigus kasutatakse võrde põhiomadust.<br />
Mitmete uurimuste põhjal (Lesh jt, 1988; Norton, 2005) on selgunud, et<br />
antud lahendusmeetodi sisuline arusaamine jääb puudulikuks ning seda kasutatakse<br />
pigem proportsionaalse mõtlemise vältimiseks.<br />
Konkreetse ülesande puhul kasutatav lahendusmeetod sõltub ülesande keerukusest<br />
ja kontekstist, selles sisalduvatest arvandmetest, kasutatavatest<br />
abivahenditest (nt kalkulaator), õpilase teadmistest ja tema proportsionaalse<br />
mõtlemise tasemest.<br />
Uurimismetoodika ja valimi kirjeldus<br />
Järgnevas esitatakse mõningaid tulemusi uurimusest, mille raames uuriti<br />
Läänemaal Linnamäel asuva Oru Kooli õpilaste proportsionaalset mõtlemist.<br />
Uuringus osalesid selle põhikooli kõik 6. – 9. klasside õpilased, neid<br />
oli kokku 30. Antud uurimuse objektiks oli proportsionaalse mõtlemise<br />
arenguga seotud õppimise trajektoor ning vastavad arengutasemed. Samuti<br />
püüti selgitada, milliseid strateegiaid kasutavad õpilased proportsionaalse<br />
mõtlemise ülesannete lahendamiseks ning kuidas on nende strateegiate valik<br />
seotud proportsionaalse mõtlemise tasemetega.<br />
Uuring koosnes kahest osast. Esmalt lahendasid õpilased kirjalikult 18st<br />
tekstülesandest koosneva testi. Kasutatud ülesannete tüübid ning vastavate<br />
ülesannete arv on esitatud tabelis 2. Lisaks kirjeldatud kolmele ülesande<br />
tüübile sisaldas test ka avatud ülesandeid, mis andsid lisainformatsiooni<br />
õpilaste mõttekäikude ja arengutaseme kohta. Iga tüübi alla kuulus erineva<br />
keerukusastmega ülesandeid.<br />
Antud artikli raames kirjeldatakse lahendusstrateegiaid, mida õpilased kasutasid.<br />
Samuti tuuakse näiteid õpilaste lahendustest ja nende selgitustest.<br />
28
Tabel 2. Ülevaade testis sisaldunud ülesannetest<br />
Ülesannete tüübid<br />
Ülesannete arv<br />
Kvalitatiivse ennustamise ja võrdlemise ülesanded 4<br />
Arvulise võrdlemise ülesanded 5<br />
Võrdelise ja pöördvõrdelise seose ülesanded 6<br />
Avatud ülesanded 3<br />
Õpilaste poolt kasutatud lahendusstrateegiad<br />
Õpilased ei olnud enne testi läbiviimist teadlikud selle sisust. Iga klass oli<br />
õppinud oma tavapärase programmi alusel, ilma et neid oleks kuidagi spetsiaalselt<br />
ette valmistatud. Testi ülesanded olid sellised, mida oli võimalik<br />
lahendada erinevate võtete abil. Uurijatele pakkus eeskätt huvi see, milliseid<br />
võtteid õpilased kasutavad siis, kui nad ei ole seda teemat vahetult enne<br />
harjutanud. Lisaks taheti välja selgitada, kuivõrd mõtestatud on lahenduskäigud<br />
ning kui palju kasutatakse tehnilisi võtteid.<br />
Üheks levinud võtteks, mida õpilased testide lahendamisel kasutasid, võib<br />
lugeda korduva liitmise strateegiat. Sisuliselt on tegu sarnase strateegiaga<br />
kui Crameri (1993) poolt kirjeldatud kordistamine, kuid enamasti kasutatakse<br />
selle puhul siiski liitmist korrutamise asemel. Mõnel juhul võivad<br />
õpilased kasutada ka lihtsamaid korrutamistehteid, kuid eelistavad siiski<br />
liitmist. Näites 3 kirjeldatakse antud strateegia kasutamist joonise 2 abil.<br />
Näide 3.<br />
Kolme poisi kohta on klassis 4 tüdrukut. Mitu tüdrukut on klassis, kui poiste<br />
arv on 9?<br />
Joonis 2. Näide korduva liitmise strateegia kasutamisest<br />
Seda võtet koolis otseselt ei õpetata, vaid õpilased leiavad selle ise, sest<br />
sisu on nende jaoks lihtne ning loogiline. Ka need õpilased, kes paljude<br />
ülesannete puhul kasutasid mõnda järgnevas kirjeldatud strateegiatest,<br />
29
pöördusid aeg-ajalt korduva liitmise strateegia juurde tagasi kas lahenduse<br />
kontrollimiseks või otsisid sellest abi keerukamate ülesannete lahendamisel.<br />
Murdarvuliste multiplikatiivsete seoste puhul ei pruugi see strateegia<br />
õige vastuseni viia, samuti ei jõuta sel teel õige lahenduseni pöördvõrdelise<br />
seose ülesannete puhul.<br />
Järgmine võte, mida õpilased kasutasid, ilma et seda otseselt õpetatud<br />
oleks, tuleneb korduva liitmise strateegiast, kuid selle abil on võimalik jõuda<br />
ka murdarvuliste seostega ülesande puhul õige vastuseni. Selle võtte puhul<br />
on õpilane võimeline tekitama uusi ühikuid (terveid) ja siis liitma vastavaid<br />
osi. Seda võtet võiks nimetada korduva liitmise teiseks tasemeks.<br />
Näites 4 selgitatakse antud strateegiat testist pärit ülesande põhjal.<br />
Näide 4.<br />
Matkajad läbivad 3 tunniga 9 km. Mitme tunniga läbivad nad 33 km, kui<br />
liikumise kiirus jääb samaks?<br />
Seosest 3 tunniga läbitakse 9 km jõutakse järelduseni, et 1 tunniga läbitakse<br />
3 km ning lahendatakse ülesanne järgmiselt:<br />
9 9 9 9 3 33 (km)<br />
3 3<br />
3<br />
31<br />
11<br />
(h).<br />
Või leitakse, et 2 tunniga läbitakse 6 km ning lahendatakse nii:<br />
9 9 9 6 33 (km)<br />
3 3<br />
3<br />
2 11<br />
(h).<br />
Seega oskavad korduva liitmise teise taseme strateegiat kasutavad õpilased<br />
tekitada sisuliselt uue ühiku (terve) ning seda ülesande edasisel lahendamisel<br />
kasutada, mis ongi sisuliselt eelpool kirjeldatud arutluskäigu üles ja alla<br />
rakendamine.<br />
Selle strateegia abil võib antud ülesandele leida veel mitmeid erinevaid lahenduskäike.<br />
Ühte võimalikku varianti demonstreeritakse joonisel 3. Lahenduse<br />
aluseks on võetud, et kui 3 tunniga läbitakse 9 km, siis 1 tunniga<br />
läbitakse 3 km.<br />
Joonis 3. Näide korduva liitmise teise taseme strateegia kasutamisest<br />
30
Tuleb märkida, et seda strateegiat kasutavad õpilased ei vaatle kunagi suhet<br />
hariliku murru kujul. Nad saavad aru, millised kaks suurust on omavahel<br />
seotud ja mõistavad, et kui ühte neist teha väiksemaks, siis teist tuleb „sama<br />
palju“ väiksemaks teha või kui üht võtta mitu korda, siis tuleb ka teist<br />
võtta sama arv kordi.<br />
Korduva liitmise teise taseme kasutamine võimaldab mõnikord arvutamist<br />
lihtsustada ning seda oskavad võimekamad õpilased kalkulaatori puudumisel<br />
ära kasutada.<br />
Mõnel juhul võivad seda strateegiat kasutavad õpilased läbi teha päris mahuka<br />
mõtlemise tsükli ning jõuda nii õige lahenduseni. Nad ei suuda näha<br />
lihtsamat teed, kuna see võte tundub usaldusväärne ja loogiline ning nad<br />
teavad, et see viib vastuseni. On üllatav, kui keerukaid mõtestatud arutlusi<br />
ollakse võimelised tegema. Vaatleme veel ühe õpilase lahendust näites 4<br />
kirjeldatud ülesandele matkajate liikumise aja leidmise kohta, kus vastus<br />
saadakse üsna keerulist teed pidi.<br />
Õpilane alustas lahendamist korduva liitmise teel:<br />
9 9 9 9 36 (km)<br />
3 3<br />
3<br />
3 12<br />
(h).<br />
Seejärel märkas ta, et 36 on suurem kui küsitud 33 ja tõmbas esimesest<br />
avaldisest viimase 9 maha ning kirjutas selle asemel 6. Tõmbas 36 maha ja<br />
kirjutas selle asemele 33.<br />
Edasi hakkas mõtlema, kui palju peaks teises avaldises viimase kolme asemel<br />
liitma, et õiget vastust saada. Selleks arutles järgnevalt:<br />
9 : 2 = 4,5;<br />
4,5 + 1,5 = 6;<br />
3 : 2 = 1,5.<br />
„Kui 9-le liidan 1,5, siis 3-le pean liitma umbes 0,5, et sama tuleks ja liiga<br />
palju ei liidaks.“<br />
Paluti selgitada, kuidas ta leidis, et tuleb liita 0,5.<br />
Järgnes pikk mõttepaus ja sellele küllaltki ebakindel selgitus: „Ma tean, et<br />
kui liidan 1,5 + 1,5 + 1,5, saan vastuseks 4,5 ja see on sama, nagu 0,5 +<br />
+ 0,5 + 0,5 = 1,5. Nii et kui ma tahan teada, kui palju aega läheb 33 km läbimiseks,<br />
siis kui liidan 9 + 9 + 9 + 4,5 + 1,5 saan vastuseks 33 ja samamoodi<br />
3 + 3 + 3 + 1,5 + 0,5 tuleb vastuseks 11. Üksteist tundi peaks aega<br />
minema.“<br />
Järgmine laialt kasutusel olev võte, mida kirjeldas ka Cramer, on ühiku<br />
strateegia. Väga sageli kasutatakse seda kiirusega seotud ülesannetes või<br />
teiste selliste ülesannete puhul, kus ühe ühiku kohta leitaval suurusel on<br />
mingi konkreetne nimetus või õpilane oskab seda enda jaoks sõnastada.<br />
Kui ühe ühiku kohta on suurus välja arvutatud, siis edasine lahendus jätkub<br />
31
sõltuvalt ülesandest kas korrutamise või jagamise teel.<br />
Joonis 4 kirjeldab, kuidas õpilane lahendas testi ülesande ühiku strateegiat<br />
kasutades.<br />
Joonis 4. Näide ühiku strateegia kasutamisest<br />
Ühiku strateegiat õpetatakse lastele sageli ja seda loetakse mõtestatud lahendusvõtteks.<br />
Testi lahenduste uurimisel selgus, et need õpilased, kes ei<br />
ole korduva liitmise strateegiatelt edasi liikunud korrutamise juurde, võivad<br />
küll mõnel juhul välja arvutada suuruse ühe ühiku kohta ja kasutada lahenduse<br />
lõpuni viimisel korduvat liitmist, kuid sel juhul on tegemist siiski korduva<br />
liitmise strateegia teise taseme lahendusega. Vahe on selles, kuidas<br />
leitakse ühele ühikule vastav suurus. Kui nähakse peast tuttavaid kordseid<br />
seoseid ja lahendatakse ülesanne nende abil, ei ole tegemist ühiku strateegia<br />
kasutamisega. Seda strateegiat kasutav õpilane oskab ühele ühikule vastava<br />
suuruse leida jagamistehte abil ning selle tehte sisu on tema jaoks selgesti<br />
mõistetav. Ta on võimeline välja arvutama mingi suuruse ühe ühiku<br />
kohta ja teab, kuidas seda kasutada edasise lahendamise juures. See strateegia<br />
on multiplikatiivse iseloomuga.<br />
Kui lasta õpilastel oma lahenduskäike põhjendada, siis on võimalik aru<br />
saada, millisel juhul kasutatakse formaalselt äraõpitud tehteid ja millal on<br />
ülesande lahendamine mõtestatud. Kahe õpilase puhul tuli välja, et ühiku<br />
strateegiat kasutati tehnilise võttena. Nad teadsid, et ühe ühiku kohta suuruse<br />
leidmiseks tuleb teha jagamistehe ja puuduva suuruse leidmiseks tuleb<br />
saadud vastus otsitava suhte teadaoleva liikmega korrutada. Selline võte<br />
viiks aga viimatiesitatud ülesande puhul vale tulemuseni. Need õpilased<br />
kasutasid seda strateegiat valesti ka pöördvõrdelise seose ülesannetes.<br />
Ühiku strateegiat ei ole võimalik niisama lihtsalt kasutada kõikide ülesandetüüpide<br />
lahendamiseks. Seetõttu võib õpilane, kes toetub ainult sellele<br />
strateegiale, teatud olukordades hätta jääda. Need on ülesanded, mille puhul<br />
ei ole võimalik sõnastada küsimust „kui palju on ühe kohta?“ või nõuab<br />
sellise küsimuse esitamine suhete mõistmist väga heal tasemel. Samuti ei<br />
ole selle strateegia kasutamine alati otstarbekas, sest võib asjatult nõuda<br />
keerukate jagamistehete sooritamist.<br />
Üks väga oluline strateegia oli kordistamine. See tähendab, et kasutati<br />
arvandmete vahelisi multiplikatiivseid seoseid ning puuduv suurus leiti ja-<br />
32
gamise ja korrutamise teel. Erinevalt Crameri kirjeldusest ei loeta siin kordistamiseks<br />
seda, kui lahenduseni jõutakse korduva liitmise teel. Oluline<br />
on, et kordistamise puhul ei vaadelda kaht omavahel seotud arvu jäiga tervikuna,<br />
millega saab vaid paarikaupa opereerida, vaid mõistetakse arvude<br />
vahelisi multiplikatiivseid seoseid ning osatakse neid kasutada. Proportsionaalse<br />
mõtlemise arenemise seisukohast on oluline, et õpilane hakkaks<br />
multiplikatiivseid seoseid mõistma ja kasutama ning lisaks absoluutsele<br />
võrdlemisele kasutaks suhtelist võrdlemist (Baxter, 2001). Seetõttu on vajalik<br />
eristada seda strateegiat korduva liitmise omast. Seda võtet kasutav õpilane<br />
võib sõnastada oma lahenduse näiteks nii: „Kui 4 km läbimiseks kulub<br />
3 tundi, siis 24 km läbimiseks kuluva aja leidmiseks jagan 24 : 4 6. See<br />
tähendab, et teepikkus on 6 korda suurem, järelikult kulub ka 6 korda rohkem<br />
aega.“ Selle strateegia puhul on võimalik multiplikatiivseid seoseid<br />
kasutada ka siis, kui need ei ole peast leitavad või tuttavad. Kahe arvu vahelise<br />
erinevuse leidmiseks kasutatakse jagamistehet. Näide 5 illustreerib<br />
antud strateegia kasutamist joonise 6 abil.<br />
Näide 5.<br />
Alloleval joonisel on kaks fotot. Väiksema laius on 6 cm, pikkus 8 cm.<br />
Klient tahtis seda fotot suuremas formaadis ja sellepärast fotograaf suurendas<br />
väiksemat pilti. Ta sai uue foto, mille pikkuseks on 12 cm. Leia suurema<br />
foto laius.<br />
Joonis 5. Testis kasutatud ülesande joonis<br />
Joonis 6. Näide kordistamise strateegia kasutamisest<br />
Võrde põhiomaduse strateegiat esines ainult osades 9. klassi lahendustes.<br />
Vestluse käigus paluti õpilastel selgitada, mida selline lahendus sisuliselt<br />
tähendab. Kui Lesh jt (1988) kirjutasid oma töös, et õpilased kasutavad an-<br />
33
tud meetodit harva ning pigem proportsionaalse mõtlemise vältimiseks, siis<br />
seda kinnitavad ka antud uuringu tulemused. Enamik seda strateegiat kasutanud<br />
õpilasi suutis põhjendada, mida selles sisalduvate tehetega arvutatakse<br />
ning oleksid osanud need ülesanded lahendada ka mõne teise siin kirjeldatud<br />
strateegia abil. Nad said aru, millises situatsioonis sai võrret kasutada<br />
ning mõistsid, et pöördvõrdelise seose ülesande puhul viiks selline võte<br />
vale lahenduseni. Vaid ühe õpilase puhul selgus, et võrde põhiomaduse võte<br />
oli omandatud tehniliselt ühte kindlat tüüpi ülesannete lahendamiseks ja<br />
sellel ei olnud tema jaoks muud sisu, kui et arvud tuleb vastavalt üksteise<br />
alla paigutada ja siis risti läbi korrutada. Seda strateegiat kasutanud õpilased<br />
ütlesid, et kasutavad antud võtet seetõttu, et nii on võimalik palju lihtsama<br />
vaevaga vastuseni jõuda.<br />
Hariliku murru kuju ja selle põhiomaduse kasutamist esines vaid väga<br />
väheste õpilaste üksikutes lahendustes. Vaid üks 9. klassi poiss kasutas kahe<br />
suhte võrdlemisel harilike murdude kuju, kuid ka tema jõudis vale järelduseni.<br />
Kui intervjuu käigus juhiti õpilaste tähelepanu selle võimaluse kasutamisele,<br />
siis isegi need, kes mõistsid sellise üleskirjutuse sisu, väitsid, et<br />
see nõuab liiga keerukat mõtlemist ning palju lihtsam on kaks arvu omavahel<br />
läbi jagada ning siis neid kümnendmurruna võrrelda.<br />
Nii kirjanduse kui ka õpilaste tööde ning intervjuu tulemuste analüüsimise<br />
põhjal on selge, et kasutatavad lahendusstrateegiad on otseselt seotud sellega,<br />
milliseid seoseid on õpilased võimelised arvude vahel märkama ja kasutama.<br />
See omakorda on võtmenäitaja proportsionaalse mõtlemise arengu<br />
juures.<br />
Kokkuvõte<br />
Kahjuks ei mahu antud artiklisse empiirilise uurimuse andmete põhjal<br />
konstrueeritud proportsionaalse mõtlemise arengumudel. Samuti ei jõuta<br />
selgitada, kuidas on eelpool kirjeldatud strateegiate valik seotud proportsionaalse<br />
mõtlemise tasemetega. Kuid õpilaste poolt kasutatud lahendusstrateegiate<br />
rohkus võib matemaatikaõpetajate jaoks osutuda suureks üllatuseks.<br />
Kindlasti ei ole paljud praktiseerivad pedagoogid neid endale teadvustanud.<br />
Sellepärast otsustatigi antud artiklis keskenduda just vastavatele<br />
ülesannetele ning nende lahendusstrateegiatele.<br />
Kahjuks pööratakse ratsionaalarvuga ja proportsionaalsusega seotud teemade<br />
õpetamisel suuremat tähelepanu teatud faktide ja algoritmide pähe<br />
õppimisele ning puhtformaalsete võtete „treenimisele“. Seetõttu jääb vastavate<br />
mõistete, tähenduste ja seoste sisuline mõistmine puudulikuks ning<br />
proportsionaalne mõtlemine ei arene täielikult välja. Tegelikult toetavad ka<br />
Eesti kooliõpikud sellist lähenemist vastavate teemade õpetamisele. Kuid<br />
õppimine peab olema mõtestatud, tunnis ei peagi võimalikult palju tüüp-<br />
34
ülesandeid lahendama. Kahjuks need tüübid lähevad kõik meelest ning näiteks<br />
mõne aasta pärast on õpilane võimeline liitma harilikke murde ainult<br />
kalkulaatori abiga. Rääkimata juba protsentarvutusest, mille tegelik sisu<br />
jääb enamusele arusaamatuks.<br />
Võrdelise seose ülesannete lahendamisel tuleks vältida võrde põhiomaduse<br />
strateegia tutvustamist, vähemalt algul. Pole mõtet kohe alustada formaalsete<br />
võtete „treenimisega“. Õpilastele tuleks anda võimalus lahendada lihtsamaid<br />
multiplikatiivseid seoseid sisaldavaid ülesandeid iseseisvalt või<br />
rühmas ning seejärel analüüsida koos erinevaid lahendusi ja ideid. Enne<br />
reeglite tutvustamist peaks õpetaja ennast õpilaste mitteformaalsete strateegiatega<br />
kurssi viima. Seejärel on lihtsam õpilasi juhendada keerulisemate<br />
probleemide juures.<br />
Kirjandus<br />
1. Baxter, G.P. & Junker, B. (2001). Designing cognitive-developmental<br />
assessments: A case study in proportional reasoning. The annual meeting<br />
of the National Council for Measurement in Education. Seattle,<br />
Washington. URL http://www.stat.cmu.edu/~brian/rpm/baxterjunkernc<br />
me.pdf (5.02.2012).<br />
2. Cramer, K., Post, T. (1993). Connecting research to teaching proportional<br />
reasoning. Mathematics Teacher 86(5), 404–407.<br />
3. Fernandez, C., Linares, S., Modestou, M., Gagatsis, A. (2010). Proportional<br />
reasoning: How task variables influence the development of<br />
students’ strategies from primary to secondary school. Acta Didactica<br />
Universitatis Comenianae – Mathematics (10), 1–18.<br />
4. Hart, K. M. (1984). Ratio: Children´s strategies and errors. London:<br />
NFER-NELSON Publishing Company Ltd.<br />
5. Kaldmäe, K., Kontson, A., Matiisen, K., Pais, E. (2011). Matemaatika<br />
õpik 7. klassile. Tallinn: Avita.<br />
6. Kurvits, J. (2008). Multiplikatiivne mõtlemine – probleem koolimatemaatikas.<br />
Koolimatemaatika XXXV. Tartu: TÜ Kirjastus, 29–33.<br />
7. Kurvits, J. (2011). Proportsionaalse mõtlemise areng. Koolimatemaatika<br />
XXXVIII. Tartu: TÜ Kirjastus, 34–39.<br />
8. Lamon, S. J. (2012). Teaching fractions and ratios for understanding:<br />
essential content knowledge and instructional strategies for teachers.<br />
New York: Routledge.<br />
9. Lesh, R., Post, T., Behr, M. (1988). Proportional reasoning. Number<br />
Concepts and Operations in the Middle Grades. Reston, VA: Lawrence<br />
Erlbaum & NCTM, 93–118.<br />
10. Nabors, W. (2002). On the path to proportional reasoning. Proceedings<br />
of the 26 th Annual Conference International Group for the Psychology<br />
35
of Mathematics Education (3). Norwich, UK: University of East Anglia,<br />
385–401.<br />
11. Noelting, G. (1980). The development of proportional reasoning and<br />
the ratio concept. Part 1 – Differentiation of stages. Educational Studies<br />
in Mathematics (11), 217–253.<br />
12. Norton, S. J. (2005). The construction of proportional reasoning. Proceedings<br />
of the 29 th Annual Conference International Group for the<br />
Psychology of Mathematics Education (4). Melbourne, Australia: University<br />
of Melbourne, 17–24.<br />
13. Nurk, E., Telgmaa, A., Undusk, A. (2000). Matemaatika VII klassile.<br />
Tallinn: Koolibri.<br />
14. Proportional Reasoning: A Research Based Unit of Study for Middle<br />
School Teachers (2007). Rhode Island: Department of Education Office<br />
of Instruction.<br />
15. Steinthorsdottir, O. B., Sriraman, B. (2009). Icelandic 5th-grade girls’<br />
developmental trajectories in proportional reasoning. Mathematics Education<br />
Research Journal (21), 6–30.<br />
16. Tourniaire, F., Pulos, S. (1985). Proportional reasoning: A review of<br />
the literature. Educational Studies in Mathematics (16), 181–204.<br />
17. Van de Walle, J. A. (2007). Elementary and middle school mathematics:<br />
Teaching Developmentally. Boston, MA: Pearson Education.<br />
Students’ reasoning strategies in proportional reasoning<br />
problems<br />
Kait Kleemann, Oru School<br />
Jüri Kurvits, Tallinn University, University of Helsinki<br />
Summary<br />
Proportional reasoning has been described as a watershed concept, a cornerstone<br />
of higher mathematics. Proportionality is a fundamental concept<br />
in middle grades mathematics and plays a critical role in students’ mathematical<br />
development. It has important implications for higher-level mathematics<br />
and can be seen as a link between elementary school arithmetic and<br />
the more abstract high school mathematics. Furthermore, it is not only important<br />
in mathematics but also in our everyday life as many situations revolve<br />
around the idea of ratio and proportion.<br />
In this paper we focus on the reasoning strategies that middle grades students<br />
use when solving proportional word problems. In addition, we discuss<br />
the concept of proportional reasoning and briefly describe the developmental<br />
trajectory of proportional reasoning.<br />
36